Θεώρημα Στιούαρτ

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Στιούαρτ ή σχέση Στιούαρτ (αναφέρεται και ως θεώρημα Stewart ή σχέση Stewart) είναι μία σχέση για το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος από την μία κορυφή ενός τριγώνου προς την απέναντι πλευρά. Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο  και ένα σημείο  της . Τότε,
.

Το θεώρημα Στιούαρτ είναι μία γενίκευση του πρώτου θεωρήματος διαμέσων και επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκους των υψών, των διαμέσων και των διχοτόμων ενός τριγώνου. 

Η γενικευμένη σχέση Στιούαρτ δίνει ότι για κάθε σημείο  της ευθείας  (όχι μόνο για το ευθύγραμμο τμήμα), ισχύει ότι 
.

Το θεώρημα ονομάζεται έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μάθιου Στιούαρτ που δημοσίευσε τη σχέση το 1746.

 Απόδειξη 

 Εφαρμογές 

 Υπολογισμός διαμέσου 

Για τον υπολογισμό του μήκους της διαμέσου, έχουμε ότι  είναι το μέσο της διαμέσου δηλαδή . Επομένως, η σχέση Στιούαρτ δίνει ότι

Απλοποιώντας, λαμβάνουμε ότι 

και τελικώς ότι
.

 Υπολογισμός εσωτερικής διχοτόμου 

Για τον υπολογισμό του μήκους της εσωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι  και  από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την σχέση Στιούαρτ, λαμβάνουμε ότι 
.
Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε ότι 

 Υπολογισμός εξωτερικής διχοτόμου 

Θεωρούμε ένα τρίγωνο που δεν είναι ισοσκελές. Για τον υπολογισμό του μήκους της εξωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι  και  από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την γενικευμένη σχέση Στιούαρτ, λαμβάνουμε ότι 
.
Αναδιατάσσοντας και απλοπλοιώντας, λαμβάνουμε ότι 

 Γενικεύσεις 

Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος  και αναδρομές στην ιστορία του θεωρήματος και των παραλλαγών του.

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα και εφαρμογές στο art of problem solving.
 Απόδειξη με διανύσματα
 Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα Στιούαρτ στο Geogebra

 Ελληνικά άρθρα 


 Ξενόγλωσσα άρθρα 



 Δείτε επίσης 
 Πρώτο θεώρημα διαμέσων
 Νόμος των συνημιτόνων

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία