Θεώρημα διχοτόμου

Στην γεωμετρία, το θεώρημα διχοτόμου (ή αλλιώς θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ή πρώτο θεώρημα διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο η διχοτόμος μίας γωνίας του χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών. 

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο  αν  διχοτόμος, τότε 


Το δεύτερο θεώρημα διχοτόμου (ή θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο  με  αν  η εξωτερική διχοτόμος, τότε 

 Αποδείξεις 

 Πορίσματα 

Το θεώρημα της διχοτόμου χρησιμοποιείται στις αποδείξεις πολλών άλλων θεωρημάτων και μετρικών σχέσεων στην γεωμετρία. Παρακάτω παραθέτουμε μερικές από αυτές.

 Διχοτόμοι τριγώνου συντρέχουν 
Σε ένα τρίγωνο  οι διχοτόμοι ,  και  διέρχονται από το ίδιο σημείο (το ονομαζόμενο έγκεντρο του τριγώνου). 

 Υπολογισμός ΒΔ και ΓΔ 
 Έστω ,  και , τότε 
 και .

 Συντεταγμένες για το έγκεντρο 
Σε ένα τρίγωνο  το διάνυσμα του έγκεντρου δίνεται από 
,
όπου  τα διανύσματα των τριών κορυφών του τριγώνου. 

 Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου 

 Απόδειξη 

Η απόδειξη είναι παρόμοια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου που χρησιμοποιεί το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:

 Υπολογισμός των ΒΔ' και ΓΔ' 
Έστω ,  και , τότε 
 και .

 Απολλώνιος κύκλος 

Το θεώρημα της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιούνται για την απόδειξη ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων  των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία  και , έχουν σταθερό λόγο  (δηλαδή ), είναι ένας κύκλος. Αυτός ο κύκλος λέγεται Απολλώνιος κύκλος.

 Αρμονική τετράδα 
Από το θεώρημα της της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου προκύπτει ότι τα σημεία  είναι αρμονικά συζυγή των , καθώς
.

 Υπολογισμός του ΔΔ' 
Έστω ,  και . Αν  τότε
.

 Δείτε επίσης 
 Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου
 Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου
 Έγκεντρο τριγώνου
 Απολλώνιος κύκλος

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία