Βαρύκεντρο τριγώνου

Στην γεωμετρία, το βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) ενός τριγώνου είναι το σημείο του τριγώνου όπου διέρχονται οι τρεις διάμεσοί του. Πιο συγκεκριμένα:

Σε ένα τρίγωνο , οι τρεις διάμεσοι  διέρχονται από το ίδιο σημείο . Επιπλέον ισχύει ότι 
,  και .

Με όρους φυσικής, το κέντρο βάρους μίας τριγωνικής λαμαρίνας (ομοιόμορφου βάρους) ταυτίζεται με το βαρύκεντρο του τριγωνικού της σχήματος. Επίσης το κέντρο βάρους τριών σημειακών αντικειμένων (ίσου βάρους) στις κορυφές του τριγώνου, ταυτίζεται με το βαρύκεντρο τους. Όμως, γενικά το κέντρο βάρους της τριγωνικής περιμέτρου του δεν ταυτίζεται με το βαρύκεντρο.Αυτό είναι το κέντρο Spieker του τριγώνου.

 Αποδείξεις 

 Ιδιότητες 
Κάποιες από τις κυριότερες ιδιότητες του βαρύκεντρου είναι οι εξής:
 Το βαρύκεντρο χωρίζει τις διαμέσους σε δύο ευθύγραμμα τμήματα με λόγο , δηλαδή ..
 Οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου  δίνονται από τον μέσο όρο των συντεταγμένων των τριών κορυφών του τριγώνου: 

 (Θεώρημα Πάππου) Έστω  μία ευθεία στο επίπεδο που δεν έχει κοινά σημεία με το . Τότε η απόσταση του βαρύκεντρου από την  είναι ο αριθμητικός μέσος των αποστάσεων των τριών κορυφών από την .
 (Ευθεία του Όιλερ) Έστω  το περίκεντρο,  το ορθόκεντρο του τριγώνου . Τότε τα  είναι συνευθειακά και .
 (Σχέση του Λάιμπνιτς) Έστω  ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Τότε,

 Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι το βαρύκεντρο είναι το σημείο  του επιπέδου που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις τρεις κορυφές του, δηλαδή την τιμή της συνάρτησης:
.
 Το συμπληρωματικό τρίγωνο  έχει τις ίδιες διαμέσους και το ίδιο βαρύκεντρο με το τρίγωνο .
 Έστω , ,  οι αποστάσεις του βαρυκέντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε.
.
 Το ισογώνιο συζυγές του βαρυκέντρου είναι το σημείο Λεμουάν.

 Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη 

Η κατασκευή του βαρυκέντρου ενός τριγώνου βασικά ακολουθεί την κατασκευή των δύο διαμέσων  και , η τομή των οποίων είναι το βαρύκεντρο. Αναλυτικότερα:
 Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα ,  και  και ακτίνα το μέγιστο από τα  και .
 Βρίσκουμε τα σημεία τομής  και  των κύκλων με κέντρο το  και το .
 Βρίσκουμε τα σημεία τομής  και  των κύκλων με κέντρο το  και το .
 Χαράζουμε τις ευθείες που διέρχονται από τα  και , και τα  και  αντίστοιχα.
 Το σημείο τομής των  και  είναι το μέσο  της . Αντίστοιχα, το σημείο τομής των  και  είναι το μέσο  της .
 Το σημείο τομής των  και  είναι το βαρύκεντρο  του τριγώνου.

 Δείτε επίσης 
 Διάμεσος (γεωμετρία)
 Βαρυκεντρικές συντεταγμένες
 Ορθόκεντρο τριγώνου
 Περίκεντρο τριγώνου
 Έγκεντρο τριγώνου
 Κέντρο Spieker

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Κέντρα τριγώνου