Ταυτότητα Κασίνι

Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Κασίνι λέει ότι για τον -οστό αριθμό Φιμπονάτσι  ισχύει ότι
.
Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Τζοβάνι Ντομένικο Κασίνι.

 Παραδείγματα 
Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε την ταυτότητα για τους πρώτους αριθμούς Φιμπονάτσι:
 Για , .
 Για , .
 Για , .
 Για , .
 Για , .

 Αποδείξεις 

 Με χρήση πινάκων 
Για κάθε  οι αριθμοί Φιμπονάτσι ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα πινάκων:

Παίρνοντας την ορίζουσα και στα δύο μέλη, από τις ιδιότητες της ορίζουσας έχουμε ότι 

Επομένως, 
.

 Με μαθηματική επαγωγή 
Θα χρησιμοποιήσουμε την μαθηματική επαγωγή για να αποδείξουμε ότι:
.

Βάση: Για , έχουμε ότι 
.
Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η σχέση ισχύει για , τότε
.
Από την αναδρομική σχέση των αριθμών Φιμπονάτσι έχουμε ότι
. 
Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση, λαμβάνουμε ότι

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

 Γενικεύσεις 
Η ταυτότητα Catalan είναι μία γενίκευση της ταυτότητας Κασίνι όπου για κάθε  με  έχουμε ότι 

Η ταυτότητα Vajda γενικεύει ακόμα περισσότερο αυτήν την ταυτότητα δίνοντας ότι για κάθε  ισχύει ότι 

 Δείτε επίσης 
 Ακολουθία Φιμπονάτσι

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Μαθηματικές ταυτότητες
Κατηγορία:Ακολουθία Φιμπονάτσι