Ομοπαραλληλική γεωμετρία

Στα μαθηματικά, η ομοπαραλληλική γεωμετρία ή αφινική γεωμετρία είναι αυτό που απομένει από την ευκλείδεια γεωμετρία όταν αγνοούνται οι μετρικές έννοιες της απόστασης και της γωνίας (οι μαθηματικοί συχνά λένε "ξεχασμένες"See also forgetful functor.).

Δεδομένου ότι η έννοια των παράλληλων γραμμών είναι μία από τις κύριες ιδιότητες που είναι ανεξάρτητες από οποιαδήποτε μετρική, η αφινική γεωμετρία θεωρείται συχνά ότι είναι η μελέτη των παράλληλων γραμμών. Κατά συνέπεια, το αξίωμα του Πλέιφερ (Δεδομένης μιας ευθείας   και ενός σημείου P που δεν βρίσκεται πάνω στην  , υπάρχει ακριβώς μία ευθεία παράλληλη στην   που διέρχεται από το  .) είναι θεμελιώδες για τη συγγενή γεωμετρία. Οι συγκρίσεις των σχημάτων στη συγγενή γεωμετρία γίνονται με τη χρήση συγγενών μετασχηματισμών, οι οποίοι είναι απεικονίσεις που διατηρούν την ευθυγράμμιση των σημείων και την παραλληλία των ευθειών.

Η αφινική γεωμετρία μπορεί να αναπτυχθεί με δύο τρόπους που είναι ουσιαστικά ισοδύναμοι (Reprint of the 1957 original; A Wiley-Interscience Publication).

Στη συνθετική γεωμετρία, ένας αφινικός χώρος είναι ένα σύνολο σημείων με ένα σχετικό σύνολο γραμμών, τα οποία ικανοποιούν ορισμένα αξιώματα (όπως το αξίωμα του Πλέιφερ).

Η αφινική γεωμετρία μπορεί επίσης να αναπτυχθεί με βάση τη γραμμική άλγεβρα. Σε αυτό το πλαίσιο, ο αφινικός χώρος είναι ένα σύνολο σημείων εξοπλισμένο με ένα σύνολο μετασχηματισμών (δηλαδή διμερείς απεικονίσεις), τις μεταφράσεις, οι οποίες σχηματίζουν ένα διανυσματικό χώρο (πάνω σε ένα δεδομένο πεδίο, γενικά τους πραγματικούς αριθμούς), και έτσι ώστε για κάθε δεδομένο διατεταγμένο ζεύγος σημείων να υπάρχει μια μοναδική μετάφραση που στέλνει το πρώτο σημείο στο δεύτερο- η σύνθεση δύο μεταφράσεων είναι το άθροισμά τους στο διανυσματικό χώρο των μεταφράσεων.

Πιο συγκεκριµένα, αυτό ισοδυναµεί µε την ύπαρξη µιας πράξης που συσχετίζει ένα διάνυσµα µε οποιοδήποτε διατεταγµένο ζεύγος σηµείων και µιας άλλης πράξης που επιτρέπει σε ένα σηµείο να µεταφραστεί µε ένα διάνυσµα για να δώσει ένα άλλο σηµείο- αυτές οι πράξεις πρέπει να ικανοποιούν έναν αριθµό αξιωµάτων (ειδικότερα, ότι δύο διαδοχικές µεταφράσεις έχουν το αποτέλεσµα µιας µετάφρασης µε το διάνυσµα του αθροίσµατος). Με την επιλογή οποιουδήποτε σημείου ως "αρχή", τα σημεία βρίσκονται σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα διανύσματα, αλλά δεν υπάρχει προτιμώμενη επιλογή για την αρχή- έτσι, ένας αφινικός χώρος μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από τον διανυσματικό χώρο που συνδέεται με αυτόν "ξεχνώντας" την αρχή (μηδενικό διάνυσμα).

Η ιδέα της λήθης της μετρικής μπορεί να εφαρμοστεί στη θεωρία των πολλαπλών. Αυτό αναπτύσσεται στο άρθρο σχετικά με την αφινική σύνδεση.

Ιστορία
Το 1748, ο Λέοναρντ Όιλερ εισήγαγε τον όρο affine (από το λατινικό affinis "συγγενής") στο βιβλίο του Introductio in analysin infinitorum (τόμος 2, κεφάλαιο XVIII). Το 1827, ο Άουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους
έγραψε για τη συγγενή γεωμετρία στο βιβλίο του Der barycentrische Calcul (Βαρυκεντρικός υπολογισμός) (κεφάλαιο 3).

Μετά το πρόγραμμα του Φέλιξ Κλάιν στο Έρλανγκεν, η συγγενής γεωμετρία αναγνωρίστηκε ως γενίκευση της ευκλείδειας γεωμετρίας.

Το 1918, ο Χέρμαν Βάιλ αναφέρθηκε στη συγγενή γεωμετρία στο κείμενό του Χώρος, Χρόνος, Ύλη. Χρησιμοποίησε τη συγγενή γεωμετρία για να εισαγάγει την πρόσθεση και την αφαίρεση διανυσμάτωνHermann Weyl (1918)Raum, Zeit, Materie. 5 edns. to 1922 ed. with notes by Jūrgen Ehlers, 1980. trans. 4th edn. Henry Brose, 1922 Space Time Matter, Methuen, rept. 1952 Dover.  . See Chapter 1 §2 Foundations of Affine Geometry, pp 16–27 στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της μαθηματικής φυσικής του. Αργότερα, ο E. T. Whittaker έγραψε:E. T. Whittaker (1958). From Euclid to Eddington: a study of conceptions of the external world, Dover Publications, p. 130.

Η γεωμετρία του Βάιλ είναι ιστορικά ενδιαφέρουσα επειδή ήταν η πρώτη από τις αφινικές γεωμετρίες που εκπονήθηκε λεπτομερώς: βασίζεται σε ένα ειδικό είδος παράλληλης μεταφοράς [... χρησιμοποιώντας] παγκόσμιες γραμμές φωτεινών σημάτων σε έναν τετραδιάστατο χωροχρόνο. Ένα σύντομο στοιχείο μιας από αυτές τις παγκόσμιες γραμμές μπορεί να ονομαστεί μηδενικό διάνυσμα- η εν λόγω παράλληλη μεταφορά είναι τότε τέτοια ώστε να μεταφέρει οποιοδήποτε μηδενικό διάνυσμα σε ένα σημείο στη θέση ενός μηδενικού διανύσματος σε ένα γειτονικό σημείο.

Συστήματα αξιωμάτων
Νόμος του Πάππου  
Έχουν διατυπωθεί διάφορες αξιωματικές προσεγγίσεις για την αφινική γεωμετρία:
νόμος του Πάππου

Καθώς η αφινική γεωμετρία ασχολείται με παράλληλες γραμμές, μία από τις ιδιότητες των παραλλήλων που σημείωσε ο Πάππος της Αλεξάνδρειας έχει ληφθεί ως προϋπόθεση:Veblen 1918: p. 103 (figure), and p. 118 (exercise 3).Coxeter 1955, The Affine Plane, § 2: Affine geometry as an independent system

Ας υποθέσουμε ότι οι  βρίσκονται σε μια γραμμή και οι  σε μια άλλη. Αν οι ευθείες  και  είναι παράλληλες και οι ευθείες   και  είναι παράλληλες, τότε οι ευθείες  και  είναι παράλληλες.

Το πλήρες σύστημα αξιωμάτων που προτείνεται έχει ως πρωταρχικές έννοιες το σημείο, την ευθεία και την ευθεία που περιέχει σημείο:

Δύο σημεία περιέχονται σε μία μόνο γραμμή.
Για οποιαδήποτε ευθεία  και οποιοδήποτε σημείο , που δεν βρίσκεται πάνω στην , υπάρχει μόνο μία ευθεία που περιέχει το  και δεν περιέχει κανένα σημείο της . Αυτή η ευθεία λέγεται παράλληλη με την .
Κάθε ευθεία περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία.
Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία που δεν ανήκουν σε μία ευθεία.

Σύμφωνα με τον H. S. M. Coxeter:
Το ενδιαφέρον αυτών των πέντε αξιωμάτων ενισχύεται από το γεγονός ότι μπορούν να αναπτυχθούν σε ένα τεράστιο σύνολο προτάσεων, οι οποίες ισχύουν όχι μόνο για την ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά και για τη γεωμετρία Μινκόφσκι του χρόνου και του χώρου (στην απλή περίπτωση των 1+1 διαστάσεων, ενώ η ειδική θεωρία της σχετικότητας χρειάζεται 1+3). Η επέκταση στην ευκλείδεια γεωμετρία ή στη γεωμετρία Μινκόφσκι γίνεται με την προσθήκη διαφόρων αξιωμάτων ορθογωνιότητας κ.λπ.Coxeter 1955, Affine plane, p. 8

Οι διάφοροι τύποι της αφινικής (Oμοπαραλληλικής) γεωμετρίας αντιστοιχούν στην ερμηνεία που δίνουμε στην περιστροφή. Η ευκλείδεια γεωμετρία αντιστοιχεί στη συνηθισμένη ιδέα της περιστροφής, ενώ η γεωμετρία Μινκόφσκι αντιστοιχεί στην υπερβολική περιστροφή. Όσον αφορά τις κάθετες γραμμές, παραμένουν κάθετες όταν το επίπεδο υποβάλλεται σε μια συνηθισμένη περιστροφή. Στη γεωμετρία Μινκόφσκι, οι υπερβολικές-ορθογώνιες γραμμές παραμένουν σε αυτή τη σχέση όταν το επίπεδο υποβάλλεται σε υπερβολική περιστροφή.

Διατεταγμένη δομή

Μια αξιωματική αντιμετώπιση της επίπεδης αφινικής γεωμετρίας μπορεί να οικοδομηθεί από τα αξιώματα της διατεταγμένης γεωμετρίας με την προσθήκη δύο επιπλέον αξιωμάτων:Coxeter, Introduction to Geometry, p. 192

(Συγγενές αξίωμα παραλληλισμού) Δεδομένου ενός σημείου  και μιας ευθείας  που δεν διέρχεται από το , υπάρχει το πολύ μία ευθεία που διέρχεται από το  και δεν συναντά την .
(Ζιράρ Ντεζάργκ) Έστω επτά διακριτά σημεία  τέτοια ώστε ' να είναι διακριτές ευθείες που διέρχονται από το , και η  να είναι παράλληλη με την , και η  να είναι παράλληλη με την , τότε η  να είναι παράλληλη με την .

Η έννοια του παραλληλισμού αποτελεί μια σχέση ισοδυναμίας στις ευθείες. Δεδομένου ότι τα αξιώματα της διατεταγμένης γεωμετρίας όπως παρουσιάζονται εδώ περιλαμβάνουν ιδιότητες που υποδηλώνουν τη δομή των πραγματικών αριθμών, οι ιδιότητες αυτές μεταφέρονται εδώ, έτσι ώστε να πρόκειται για μια αξιωματοποίηση της αφινικής γεωμετρίας πάνω στο πεδίο των πραγματικών αριθμών.

Τριαδικοί δακτύλιοι
Το πρώτο επίπεδο που δεν είναι του Ντεζαργκ σημειώθηκε από τον Ντέιβιντ Χίλμπερτ στο βιβλίο του "Θεμέλια της Γεωμετρίας" David Hilbert, 1980 (1899). The Foundations of Geometry, 2nd ed., Chicago: Open Court, weblink from Project Gutenberg, p. 74.- το επίπεδο Μουλτόν είναι μια τυπική απεικόνιση. Προκειμένου να δοθεί ένα πλαίσιο για αυτόν τον τύπο γεωμετρίας, καθώς και για εκείνες όπου ισχύει το θεώρημα Ντεζαργκ, η έννοια του τριμερούς δακτυλίου αναπτύχθηκε από τον Μάρσαλ Χολ.

Σε αυτή την προσέγγιση, τα αφινικά επίπεδα κατασκευάζονται από διατεταγμένα ζεύγη που εξάγονται από έναν τριμερή δακτύλιο. Ένα επίπεδο λέγεται ότι έχει την "δευτερεύουσα αφινική ιδιότητα Ντεζαργκ" όταν δύο τρίγωνα σε παράλληλη προοπτική, που έχουν δύο παράλληλες πλευρές, πρέπει να έχουν και την τρίτη πλευρά παράλληλη. Εάν αυτή η ιδιότητα ισχύει στο αφινικό επίπεδο που ορίζεται από έναν τριμερή δακτύλιο, τότε υπάρχει μια σχέση ισοδυναμίας μεταξύ των "διανυσμάτων" που ορίζονται από ζεύγη σημείων στο επίπεδοRafael Artzy (1965). Linear Geometry, Addison-Wesley, p. 213.. Επιπλέον, τα διανύσματα σχηματίζουν μια αβελιανή ομάδα υπό πρόσθεση- ο τριμερής δακτύλιος είναι γραμμικός και ικανοποιεί τη δεξιά διανεμητικότητα:

Αφινικοί μετασχηματισμοί
Γεωμετρικά, οι αφινικοί μετασχηματισμοί ("affinities") διατηρούν την παραλληλία: μετατρέπουν τις παράλληλες γραμμές σε παράλληλες γραμμές και διατηρούν τις σχέσεις απόστασης κατά μήκος των παράλληλων γραμμών.

Αφινικό θεώρημα είναι κάθε γεωμετρικό αποτέλεσμα που είναι αναλλοίωτο στην αφινική ομάδα (στο πρόγραμμα Ερλάνγκεν του Φέλιξ Κλάιν, αυτή είναι η υποκείμενη ομάδα συμμετρικών μετασχηματισμών για την αφινική γεωμετρία). Σε ένα διανυσματικό χώρο V, θεωρούμε τη γενική γραμμική ομάδα . Αυτή δεν είναι ολόκληρη η αφινική ομάδα, διότι πρέπει επίσης να επιτρέψουμε μετατροπές με διανύσματα   στον . (Μια τέτοια μετατροπή μετασχηματίζει οποιοδήποτε  στον  σε .)  Η αφινική ομάδα παράγεται από τη γενική γραμμική ομάδα και τις μετατροπές και είναι στην πραγματικότητα το ημι-άμεσο γινόμενό τους  (Εδώ θεωρούμε την  ως ομάδα υπό την πράξη πρόσθεσης και χρησιμοποιούμε την οριστική αναπαράσταση της  στην  για να ορίσουμε το ημιάμεσο γινόμενο).

Παραδείγματος χάριν, το θεώρημα από την επίπεδη γεωμετρία των τριγώνων σχετικά με τη σύμπτωση των ευθειών που συνδέουν κάθε κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς (στο κεντροειδές ή βαρύκεντρο) εξαρτάται από τις έννοιες του μέσου και του κέντρου ως αφινικές αναλλοίωτες. Άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν τα θεωρήματα του Τσέβα και του Μενέλαου.

Οι αναλλοίωτοι affine μπορούν επίσης να διευκολύνουν τους υπολογισμούς. Παραδείγματος χάριν, οι γραμμές που χωρίζουν το εμβαδόν ενός τριγώνου σε δύο ίσα μισά σχηματίζουν ένα φάκελο μέσα στο τρίγωνο. Ο λόγος μεταξύ του εμβαδού του περιβλήματος και του εμβαδού του τριγώνου είναι αναλλοίωτος affine, οπότε αρκεί να την υπολογίσουμε από μια απλή περίπτωση όπως ένα μοναδιαίο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο για να έχουμε , δηλαδή 0,019860... ή λιγότερο από 2%, για όλα τα τρίγωνα.

Γνωστοί τύποι όπως το μισό της βάσης πολλαπλασιασμένο με το ύψος για το εμβαδόν ενός τριγώνου, ή το ένα τρίτο της βάσης πολλαπλασιασμένο με το ύψος για τον όγκο μιας πυραμίδας, είναι επίσης αναλλοίωτοι affine. Αν και ο τελευταίος τύπος είναι λιγότερο προφανής από τον πρώτο στη γενική περίπτωση, είναι εύκολα αντιληπτός για το έκτο του μοναδιαίου κύβου που σχηματίζεται από μια όψη (εμβαδόν 1) και το μέσο του κύβου (ύψος 1/2). Επομένως, ισχύει για όλες τις πυραμίδες, ακόμη και για εκείνες που είναι κεκλιμένες και των οποίων η κορυφή δεν βρίσκεται ακριβώς πάνω από το κέντρο της βάσης, καθώς και για εκείνες των οποίων η βάση είναι παραλληλόγραμμο αντί για τετράγωνο. Στη συνέχεια, ο τύπος γενικεύεται σε πυραμίδες των οποίων η βάση μπορεί να τεμαχιστεί σε παραλληλόγραμμα, συμπεριλαμβανομένων των κώνων, επιτρέποντας έναν άπειρο αριθμό παραλληλογράμμων (δίνοντας προσοχή στη σύγκλιση). Η ίδια προσέγγιση δείχνει ότι μια τετραδιάστατη πυραμίδα έχει τετραδιάστατο υπερόγκο ίσο με το ένα τέταρτο του τρισδιάστατου όγκου της παραλληλεπίπεδης βάσης της πολλαπλασιασμένου με το ύψος, και ούτω καθεξής για υψηλότερες διαστάσεις.

Κινηματική
Στην κινηματική χρησιμοποιούνται δύο τύποι αφινικών μετασχηματισμών, τόσο κλασικοί όσο και σύγχρονοι. Η ταχύτητα v περιγράφεται χρησιμοποιώντας το μήκος και την κατεύθυνση, με το μήκος να θεωρείται απεριόριστο. Αυτή η ποικιλία της κινηματικής, γνωστή ως Γαλιλαϊκή ή Νευτώνεια, χρησιμοποιεί απόλυτες συντεταγμένες χώρου και χρόνου. Η διατμητική απεικόνιση ενός επιπέδου με έναν άξονα για το καθένα αναπαριστά την αλλαγή των συντεταγμένων για έναν παρατηρητή που κινείται με ταχύτητα v σε ένα σύστημα αναφοράς σε ηρεμίαabstract Algebra/Shear and Slope.

Η πεπερασμένη ταχύτητα του φωτός, που παρατηρήθηκε για πρώτη φορά από την καθυστέρηση στην εμφάνιση των φεγγαριών του Δία, απαιτεί σύγχρονη κινηματική. Η μέθοδος χρησιμοποιεί την ταχύτητα αντί της ταχύτητας και αντικαθιστά τη διατμητική απεικόνιση που χρησιμοποιούνταν προηγουμένως με μια συνθλιπτική απεικόνιση. Αυτή η συγγενής γεωμετρία αναπτύχθηκε συνθετικά το 1912Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912). "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics", Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507Synthetic Spacetime, a digest of the axioms used, and theorems proved, by Wilson and Lewis. Archived by WebCite για να εκφράσει τη θεωρία της ειδικής σχετικότητας. Το 1984, "το συγγενές επίπεδο που σχετίζεται με τον Λορεντζιανό διανυσματικό χώρο L2 περιγράφηκε από τους Graciela Birman και Katsumi Nomizu σε ένα άρθρο με τίτλο "Τριγωνομετρία στη Λορεντζιανή γεωμετρία"Graciela S. Birman & Katsumi Nomizu (1984). "Trigonometry in Lorentzian geometry", American Mathematical Monthly 91(9):543–9, Lorentzian affine plane: p. 544.

Αφινικός χώρος
Η αφινική (Oμοπαραλληλική) γεωμετρία μπορεί να θεωρηθεί ως η γεωμετρία ενός αφινικού χώρου δεδομένης διάστασης n, συντονισμένου πάνω σε ένα πεδίο K. Υπάρχει επίσης (σε δύο διαστάσεις) μια συνδυαστική γενίκευση του συντονισμένου αφινικού χώρου, όπως αναπτύχθηκε στην πεπερασμένη συνθετική γεωμετρία. Στην προβολική γεωμετρία, ένας συγγενής χώρος είναι το συμπλήρωμα ενός υπερεπιπέδου στο άπειρο σε έναν προβολικό χώρο. Ο αφινικός χώρος μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως ένας διανυσματικός χώρος του οποίου οι πράξεις περιορίζονται σε γραμμικούς συνδυασμούς των οποίων οι συντελεστές αθροίζουν σε ένα, για παράδειγμα , , , , κ.λπ.

Εν συντομία, τα αφινικά επίπεδα είναι δισδιάστατες αφινικές γεωμετρίες που ορίζονται με βάση τις σχέσεις μεταξύ σημείων και ευθειών (ή μερικές φορές, σε υψηλότερες διαστάσεις, υπερεπίπεδα). Ορίζοντας τις αφινικές (και προβολικές) γεωμετρίες ως διαμορφώσεις σημείων και ευθειών (ή υπερεπιπέδων) αντί να χρησιμοποιούμε συντεταγμένες, λαμβάνουμε παραδείγματα χωρίς πεδία συντεταγμένων. Μια σημαντική ιδιότητα είναι ότι όλα αυτά τα παραδείγματα έχουν διάσταση 2. Τα πεπερασμένα παραδείγματα στη διάσταση 2 (πεπερασμένα affine επίπεδα) ήταν ανεκτίμητα για τη μελέτη διαμορφώσεων σε άπειρους αφινικούς χώρους, στη θεωρία ομάδων και στη συνδυαστική.

Αν και είναι λιγότερο γενικές από τη διαμορφωτική προσέγγιση, οι άλλες προσεγγίσεις που συζητήθηκαν έχουν ρίξει φως στα μέρη της γεωμετρίας που συνδέονται με τη συμμετρία.

Προβολική άποψη
Στην παραδοσιακή γεωμετρία, η αφινική (Oμοπαραλληλική) γεωμετρία θεωρείται ότι είναι μια μελέτη μεταξύ της ευκλείδειας γεωμετρίας και της προβολικής γεωμετρίας. Από τη μία πλευρά, η αφινική γεωμετρία αντιστοιχεί στην ευκλείδεια γεωμετρία χωρίς συγγραμμικότητα- από την άλλη πλευρά, η αφινική γεωμετρία μπορεί να προκύψει από την προβολική γεωμετρία ορίζοντας μια συγκεκριμένη γραμμή ή επίπεδο για την αναπαράσταση των σημείων στο άπειρο H. S. M. Coxeter (1942). Non-Euclidean Geometry, University of Toronto Press, pp. 18, 19.. Στη συγγενή γεωμετρία δεν υπάρχει μετρική δομή, αλλά ισχύει το αξίωμα της παραλληλίας. Η αφινική γεωμετρία παρέχει τη βάση για την ευκλείδεια δομή όταν ορίζονται κάθετες γραμμές, ή τη βάση για τη γεωμετρία Μινκόφσκι χάρη στην έννοια της υπερβολικής ορθογωνιότητας Coxeter 1942, p. 178. Από αυτή την άποψη, ένας αφινικός μετασχηματισμός είναι ένας προβολικός μετασχηματισμός που δεν αντιμεταθέτει πεπερασμένα σημεία με σημεία στο άπειρο, και η γεωμετρία των αφινικών μετασχηματισμών είναι η μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων μέσω της δράσης της ομάδας των αφινικών μετασχηματισμών.

 Δημοσιεύσεις 
 Emil Artin (1957) Geometric Algebra, chapter 2: "Affine and projective geometry", via Internet Archive
 V.G. Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) Ideas and Methods of Affine and Projective Geometry (in Russian), Ministry of Education, Moscow.
 M. K. Bennett (1995) Affine and Projective Geometry, John Wiley & Sons  .
 H. S. M. Coxeter (1955) "The Affine Plane", Scripta Mathematica 21:5–14, a lecture delivered before the Forum of the Society of Friends of Scripta Mathematica on Monday, April 26, 1954.
 Felix Klein (1939) Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry, translated by E. R. Hedrick and C. A. Noble, pp 70–86, Macmillan Company.
 Bruce E. Meserve (1955) Fundamental Concepts of Geometry, Chapter 5 Affine Geometry,, pp 150–84, Addison-Wesley.
 Peter Scherk & Rolf Lingenberg (1975) Rudiments of Plane Affine Geometry, Mathematical Expositions #20, University of Toronto Press.
 Wanda Szmielew (1984) From Affine to Euclidean Geometry: an axiomatic approach, D. Reidel,  .
 Oswald Veblen (1918) Projective Geometry, volume 2, chapter 3: Affine group in the plane, pp 70 to 118, Ginn & Company.

Παραπομπές

Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών