Τύποι Μολβάιντε

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, οι τύποι Μολβάιντε σε ένα τρίγωνο  με πλευρές  και κορυφές , είναι οι εξής σχέσεις
,
και
.

Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον μαθηματικό Καρλ Μολβάιντε.

 Απόδειξη 

Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι 

όπου  η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι 

Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων 

και 

Ακόμα, θα χρησιμοποιήσουμε ότι 

Απόδειξη 1ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες () έχουμε ότι 
.
Έπειτα η () και η () δίνουν ότι
.
Αφού οι  είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι . Χρησιμοποιώντας ότι , καταλήγουμε ότι 
.

Απόδειξη 2ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες () έχουμε ότι 
.
Έπειτα η () και η () δίνουν ότι
.
Αφού οι  είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι . Χρησιμοποιώντας ότι , καταλήγουμε ότι 
.

 Απόδειξη χωρίς λόγια 
Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Ρεξ Χ. Γου.

 Εφαρμογές 

 Νόμος των εφαπτομένων 

Διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, λαμβάνουμε τον νόμο των εφαπτομένων
.

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Γωνία
Κατηγορία:Γεωμετρία του τριγώνου
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Τριγωνομετρία
Κατηγορία:Όρος με ελλιπή ελληνική μετάφραση