Πεπερασμένο σύνολο

Στην θεωρία συνόλων, ένα πεπερασμένο σύνολο είναι ένα σύνολο  για το οποίο υπάρχει φυσικός αριθμός  και 1-1 και επί συνάρτηση  ή είναι το κενό σύνολο. Ο αριθμός  είναι ο πληθάριθμος του συνόλου και συμβολίζεται ως .

Για παράδειγμα, τα παρακάτω σύνολα είναι πεπερασμένα
 ,
 ,
 ,
ενώ τα σύνολα των φυσικών αριθμών , ακεραίων αριθμών  και των πραγματικών αριθμών  είναι μη-πεπερασμένα.

Σε ένα πεπερασμένο σύνολο τα στοιχεία του μπορούν να απαριθμηθούν ως .

 Βασικές ιδιότητες 

 Κάθε γνήσιο υποσύνολο , ικανοποιεί . Κατά συνέπεια, δεν μπορεί να υπάρξει μια αμφίρριψη μεταξύ ενός πεπερασμένου συνόλου  και ενός κατάλληλου υποσυνόλου του .  Κάθε σύνολο με αυτή την ιδιότητα ονομάζεται πεπερασμένο κατά Ντέντεκιντ.  Χρησιμοποιώντας τα τυπικά αξιώματα ZFC για τη θεωρία συνόλων, κάθε Ντέντεκιντ-πεπεπερασμένο σύνολο είναι επίσης πεπερασμένο, αλλά αυτή η συνέπεια δεν μπορεί να αποδειχθεί μόνο με τα αξιώματα ZF (αξιώματα Ζερμέλο-Φράνκελ χωρίς το αξίωμα της επιλογής).
Το αξίωμα της μετρήσιμης επιλογής, μια αδύναμη εκδοχή του αξιώματος της επιλογής, είναι αρκετό για να αποδειχθεί αυτή η ισοδυναμία.
 Για δύο πεπερασμένα σύνολα  και  ισχύει από την αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού ότι 
.
 Για δύο πεπερασμένα σύνολα  και  το καρτεσιανό τους γινόμενο , ικανοποιεί
.
 Το δυναμοσύνολο  του  έχει  στοιχεία.
 Κάθε πεπερασμένο σύνολο είναι αριθμήσιμο.
 Κάθε ερριπτική συνάρτηση μεταξύ δύο πεπερασμένων συνόλων είναι επιρριπτική. Επίσης, κάθε επιρριπτική συνάρτηση μεταξύ πεπερασμένων συνόλων είναι ερριπτική.

 Πηγές 
















 Σημείωση 

 Παραπομπές 

Πεπερασμενο
Κατηγορία:Πληθάριθμοι