Ανισότητα Σάμιουελσον

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στην στατιστική, η ανισότητα Σάμιουελσον (αναφέρεται και ως ανισότητα Samuelson) λέει ότι για κάθε , ισχύει ότι

όπου  είναι η δειγματική μέση τιμή και  είναι η δειγµατική διακύμανση.

Δηλαδή σε μία δειγματοληψία, κάθε ένα από τα δείγματα είναι στο διάστημα .

Ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Πολ Σάμιουελσον.

 Απόδειξη 

Η απόδειξη που θα δούμε βασίζεται στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς και ακολουθεί αυτή στην εργασία του Άρνολντ.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα αποδείξουμε την ανισότητα για . Θεωρούμε τα διανύσματα  και . Από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, έχουμε ότι

Το εσωτερικό τους γινόμενο δίνεται από

Το δεξί μέλος της ανισότητας δίνεται από

Συνδυάζοντας τα δύο μέλη, λαμβάνουμε
.
Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη,
,
και προσθέτοντας τον όρο  και στα δύο μέλη,
.
Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι

Από τον ορισμό της δειγµατικής διακύµανσης έχουμε ότι
.

 Σχέση με ανισότητα Τσεμπισιόφ 

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να δώσει ένα λιγότερο ισχυρό φράγμα για την απόκλιση . Για κάθε τυχαία μεταβλητή  η ανισότητα Τσεμπισιόφ λέει ότι για κάθε ,
.
Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή  για την οποία  για κάθε . Τότε ισχύει ότι  και . Για  η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει ότι

Επομένως, με πιθανότητα  (δηλαδή πάντοτε αφού κάθε τιμή έχει πιθανότητα να επιλεγεί ) ισχύει ότι,

που είναι ισοδύναμο ότι για κάθε ,

Σε σχέση με την ανισότητα Σάμιουελσον είναι λιγότερο ισχυρό αφού , αλλά η ανισότητα μπορεί να δώσει φράγματα για κάποιο δοθέν ποσοστό των δειγμάτων.

 Γενικεύσεις 

Διάφορες γενικεύσεις της ανισότητας Σάμιουελσον έχουν μελετηθεί.

 Δείτε επίσης 
 Ανισότητα Τσεμπισιόφ

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Ανισότητες