Ανισότητα Χέλντερ

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Χέλντερ (αναφέρεται και ως ανισότητα Hölder) είναι η ανισότητα,

που ισχύει για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς  και  και για  έτσι ώστε .

Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις ,

Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Όττο Χέλντερ για την εργασία του το 1889.

Απόδειξη

Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα Γιανγκ. Η ανισότητα Γιανγκ δίνει ότι για κάθε πραγματικούς αριθμούς  και  με ,

Για την ανισότητα Χέλντερ κάνουμε την παρατήρηση ότι είναι ομογενής, δηλαδή αν θεωρήσουμε τους αριθμούς  και  για οποιεσδήποτε σταθερές , λαμβάνουμε μία ανισότητα ισοδύναμη με την αρχική ανισότητα, καθώς
 και .
Επομένως διαλέγοντας  και , αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε  και  με  και , ισχύει ότι

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Γιανγκ, έχουμε ότι 

ολοκληρώνοντας την απόδειξη της ανισότητας Χέλντερ.

Δείτε επίσης
 Ανισότητα Γιανγκ για το Γινόμενο

Παραπομπές

Κατηγορία:Ανισότητες