Ανισότητα Μινκόβσκι

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Μινκόβσκι (αναφέρεται και ως ανισότητα Minkowski) λέει ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς  και , ισχύει ότι

Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις ,

Η ανισότητα χρησιμοποιείται στην απόδειξη ότι οι Lp-χώροι είναι νορμικοί διανυσματικοί χώροι, και συγκεκριμένα επιβεβαιώνει την τριγωνική ανισότητα.

Απόδειξη
Θα κάνουμε χρήση της ανισότητας Χέλντερ, η οποία λέει ότι για κάθε  και  με , ισχύει ότι
.

Για την απόδειξη της ανισότητας Μινκόβσκι για , ξεκινάμε γράφοντας 

όπου χρησιμοποιήσαμε την τριγωνική ανισότητα .

Εφαρμόζοντας την ανισότητα Χέλντερ δύο φορές, μία για  και  και μία για  και , λαμβάνουμε 

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι  (που προκύπτει από την συνθήκη ). 

Συνδυάζοντας με την () έχουμε ότι,

η οποία, διαιρώντας και τα δύο μέλη με , είναι ισοδύναμη με 

Τέλος, χρησιμοποιώντας ότι , λαμβάνουμε την ανισότητα Μινκόβσκι.

Ιστορία
Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Χέρμαν Μινκόβσκι, που δημοσίευσε την ανισότητα στο έργο του το 1910.

Δείτε επίσης
 Ανισότητα Χέλντερ

Παραπομπές

Κατηγορία:Ανισότητες