Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

Στα μαθηματικά, η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου λέει ότι ο αριθμητικός μέσος  μη-αρνητικών πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον γεωμετρικό μέσο αυτών των αριθμών. Για παράδειγμα, για τρεις αριθμούς ,
.
Στην γενική περίπτωση για  μη-αρνητικούς αριθμούς , ισχύει ότι

Η ανισότητα αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να αποδείξει αρκετές άλλες ανισότητες στα μαθηματικά και βρίσκει εφαρμογές στην ανάλυση αλγορίθμων και στην θεωρία βελτιστοποίησης. Η ανισότητα αναφέρεται ως ανισότητα ΑΜ-ΓΜ από την σύντμηση των αρχικών του αριθμητικού μέσου και του γεωμετρικού μέσου.

Αποδείξεις

Περίπτωση n = 2

Θα αποδείξουμε την την περίπτωση , όπου η ανισότητα έχει την μορφή
.

Γενική περίπτωση

Εφαρμογές

Απόδειξη της ανισότητας γεωμετρικού-αρμονικού μέσου
Θέτοντας  για κάθε  στην ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου λαμβάνουμε ότι
.
Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη λαμβάνουμε ότι

δηλαδή ο αρμονικός μέσος είναι μικρότερος ή ίσος του γεωμετρικού, με ισότητα αν και μόνο αν .

Απόδειξη της ανισότητας Νέσμπιττ
Η ανισότητα Νέσμπιττ λέει ότι για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς :

 Δείτε επίσης 
 Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου
 Αριθμητικός μέσος
 Γεωμετρικός μέσος

Παραπομπές

Κατηγορία:Ανισότητες