Διωνυμικό θεώρημα

Το διωνυμικό θεώρημα είναι ένα θεώρημα στην άλγεβρα, για το ανάπτυγμα του αθροίσματος δύο όρων υψωμένο στην -οστή δύναμη. Πιο συγκεκριμένα, για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό  και οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς , ισχύει ότι

όπου  είναι οι διωνυμικοί συντελεστές.  

Για παράδειγμα, για  παίρνουμε

 Αποδείξεις 

 Εφαρμογές 

 Απόδειξη διωνυμικών ταυτοτήτων 

Το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην απόδειξη ταυτοτήτων.

 Παράδειγμα 1ο 
Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό , ισχύει ότι

 Παράδειγμα 2ο 
Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό , ισχύει ότι

 Παράδειγμα 3ο: Ταυτότητα Βαντερμόντ 

Για οποιοσδήποτε φυσικούς αριθμούς   και , έχουμε ότι

 Τριγωνομετρικοί τύποι 

Το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να γραφτεί το  και , για  φυσικό αριθμό, ως πολυώνυμο των  και . Πιο παράδειγμα,
 και .

Πιο γενικά, για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό  και οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ,
 και 

 Διωνυμική κατανομή 

Στην διωνυμική κατανομή, το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξουμε ότι η  για  είναι συνάρτηση πιθανότητας. Πιο συγκεκριμένα, θέτοντας  και , έχουμε ότι

 Άλλες εφαρμογές 
 Στην [[Ανισότητα_Μπερνούλι#Με_το_διωνυμικό_θεώρημα_(για_α_>=_0)|απόδειξη]] της ειδική περίπτωσης της ανισότητας Μπερνούλι.
 Στον ορισμό της μαθηματικής σταθεράς e.
 Στην απόδειξη του μικρού θεωρήματος του Φερμά.

 Επεκτάσεις 

 Αντιμεταθετικός δακτύλιος 

Στις παραπάνω αποδείξεις χρησιμοποιήσαμε μόνο την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού και την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. Επομένως, το διωνυμικό θεώρημα ισχύει για κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο (π.χ. για τους μιγαδικούς αριθμούς).

 Πολυωνυμικό θεώρημα 

Το πολυωνυμικό θεώρημα γενικεύει το διωνυμικό θεώρημα, θεωρώντας πάνω από δύο όρους στην βάση, π.χ. .

Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς  και πραγματικούς αριθμούς , έχουμε ότι

όπου  είναι οι πολυωνυμικοί συντελεστές.

Η ιδέα της παραπάνω συνδυαστικής απόδειξης μπορεί να εφαρμοστεί και εδώ, αυτή την φορά μετρώντας όρους της μορφής , με . Για παράδειγμα, 

 Διωνυμική σειρά 

Η διωνυμική σειρά δίνει ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό  και  με ,
,
με τους γενικευμένους διωνυμικούς συντελεστές

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Εξωτερικοί συνδεσμοι 
 Διωνυμικό θεώρημα: Αποδείξεις και Εφαρμογές
 Ταμπλό Galton

 Ελληνικά άρθρα 


 Ξενόγλωσσα άρθρα 








 Δείτε επίσης 
 Διωνυμικός συντελεστής
 Διωνυμική κατανομή
 Διωνυμική σειρά
 Διωνυμικός σωρός

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Άλγεβρα
Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα