Ταυτοτική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, ταυτοτική συνάρτηση (ή ταυτοτική απεικόνιση) λέγεται η συνάρτηση που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο στον εαυτό της. Πιο συγκεκριμένα, για ένα σύνολο , η ταυτοτική συνάρτηση στο  είναι η συνάρτηση , η οποία ικανοποιεί για κάθε στοιχείο , . 

Η ονομασία  είναι συντομογραφία της αγγλικής λέξης identity που σημαίνει ταυτότητα. Όταν το σύνολο  είναι ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα, μπορεί να παραληφθεί, και η συνάρτηση γράφεται ως .

 Παραδείγματα 

 Για τους φυσικούς αριθμούς, η ταυτοτική συνάρτηση ικανοποιεί .
 Για το πεπερασμένο σύνολο , η ταυτοτική συνάρτηση δίνεται από .

 Ιδιότητες 

 Η συνάρτηση είναι επί, καθώς για κάθε στοιχείο , .
 Η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, καθώς καθώς αν για δύο στοιχεία  έχουμε ότι , τότε .
 Έστω  και  δύο σύνολα και  το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το  στο . Η συνάρτηση  είναι η δεξιά αντίστροφη ως προς τη σύνθεση συνάρτησης, καθώς για κάθε συνάρτηση , ισχύει ότι για κάθε 
.
Αντίστοιχα, η συνάρτηση  είναι η αριστερή αντίστροφη.
 Επομένως, έπεται ότι η ταυτοτική συνάρτηση έχει ως αντίστροφο τον εαυτό της.
 Η ταυτοτική συνάρτηση στους πραγματικούς αριθμούς  είναι συνεχής και παραγωγίσιμη.

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Θεμελιώδεις έννοιες θεωρίας συνόλων