Ταυτοτικός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ο ταυτοτικός ή μοναδιαίος πίνακας είναι ο πίνακας ο οποίος έχει την μονάδα σε όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου και το μηδέν σε όλα τα άλλα στοιχεία. Πιο συγκεκριμένα, σε έναν διανυσματικό χώρο  με  διαστάσεις, ο  ταυτοτικός πίνακας είναι ο πίνακας  με

για κάθε , όπου  είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και  το ουδέτερο στοιχείο του βαθμωτού πολλαπλασιασμού στον διανυσματικό χώρο. Η συνάρτηση στο δεξί μέλος είναι η συνάρτηση δέλτα του Κρόνεκερ, επομένως .

Διαγραμματικά ο πίνακας δίνεται ως εξής:

 Παραδείγματα  

 Για , .
 Για , .
 Για , .

 Ιδιότητες 

 Για κάθε  πίνακα  έχουμε ότι

Δηλαδή, ο ταυτοτικός πίνακας είναι το ταυτοτικό (ή ουδέτερο) στοιχείο των πινάκων ως προς τον πολλαπλασιασμό πινάκων.
 Πιο γενικά, για κάθε  πίνακα  έχουμε ότι
.
 Η ορίζουσα του πίνακα είναι .
 Το ίχνος του πίνακα .
 Ο πίνακας είναι συμμετρικός, καθώς ο ανάστροφος .
 Ο πίνακας είναι ορθογώνιος, καθώς .
 Ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του είναι ο ίδιος ο πίνακας.
 Έχει ιδιοτιμή το  με πολλαπλότητα  και κάθε διάνυσμα  είναι ιδιοδιάνυσμα.
 Ο πίνακας είναι διαγώνιος και μπορεί να γραφτεί ως .

 Παραπομπές 



Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα