Δείκτρια τυχαία μεταβλητή

Στην θεωρία πιθανοτήτων, δείκτρια τυχαία μεταβλητή ενός γεγονότος  του δειγματοχώρου , είναι η τυχαία μεταβλητή , η οποία ορίζεται ως

Συμβολίζεται και ως 𝟙A, .

Ιδιότητες

Οι δείκτριες τυχαίες μεταβλητές έχουν τις εξής ιδιότητες:
 .

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, 
.

 Για κάθε , , καθώς η τυχαία μεταβλητή λαμβάνει μόνο τιμές  και .
 .

Από τον ορισμό της διακύμανσης, 

Από την προηγούμενη ιδιότητα για , 

Χρησιμοποιώντας την πρώτη ιδιότητα, 

 .
 .
 .

Παραδείγματα

Αναμενόμενη τιμή διωνυμικής κατανομής
Έχουμε ένα νόμισμα που με πιθανότητα  είναι κορώνα και με πιθανότητα  είναι γράμματα. Θα στρίψουμε το νόμισμα  φορές και θέλουμε να βρούμε το αναμενόμενο πλήθος κορωνών. 

Έστω  το ενδεχόμενο να είναι το -οστό στρίψιμο κορώνα και  η δείκτρια τυχαία μεταβλητή αυτού του γεγονότος. Τότε, το συνολικό πλήθος κορωνών δίνεται από
.
Χρησιμοποιώντας την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής και ότι , έχουμε ότι 

που είναι και το αναμενόμενο πλήθος κορωνών.

Πλήθος αντιστροφών σε μία τυχαία μετάθεση
Σε μία μετάθεση , ένα ζευγάρι δεικτών  με  είναι αντιστροφή αν ισχύει ότι . Θέλουμε να υπολογίσουμε το αναμενόμενο πλήθος αντιστροφών σε μία τυχαία μετάθεση. 

Έστω ότι  είναι το γεγονός ότι η  είναι αντιστροφή. Τότε, λόγω συμμετρίας στις μισές μεταθέσεις, η  είναι αντιστροφή και στις μισές όχι, άρα 
.
Το συνολικό πλήθος των αντιστροφών δίνεται από 

Από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι

Εφαρμογές
Οι δείκτριες τυχαίες μεταβλητές χρησιμοποιούνται σε αρκετά στην θεωρία πιθανοτήτων. Ενδεικτικά αναφέρουμε τις εξής εφαρμογές:
 Στην απόδειξη της ανισότητας Μαρκόφ.
 Στην απόδειξη της μεθόδου δεύτερης ροπής.
 Στην ανάλυση της χρονικής πολυπλοκότητας του αλγόριθμου γρήγορης ταξινόμησης.

Παραπομπές

Κατηγορία:Θεωρία πιθανοτήτων