Μέθοδος δεύτερης ροπής

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η μέθοδος της δεύτερης ροπής αναφέρεται σε τεχνική απόδειξης ότι μία τυχαία μεταβλητή  είναι μη-μηδενική με θετική πιθανότητα, δηλαδή , με την χρήση της ροπής δεύτερης τάξης, δηλαδή την  ή διακύμανση . Συνήθως αναφέρεται στην χρήση της εξής ανισότητας για κάθε ακέραια τυχαία μεταβλητή  με ,

Για μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή , εμφανίζεται και με την μορφή

Αποδείξεις

1η Μορφή

Για την τυχαία μεταβλητή  με διακύμανση , η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει για 

Όταν  έπεται ότι . Συνεπώς, 

2η Μορφή

Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για δύο τυχαίες μεταβλητές  και , ισχύει ότι

Για την ζητούμενη ανισότητα, θεωρούμε την δείκτρια τυχαία μεταβλητή , για την οποία ισχύει ότι  και  από τις ιδιότητες των δείκτριων τυχαίων μεταβλητών. Επίσης, ισχύει ότι 
, 
καθώς η  είναι μη-αρνητική και αν  τότε και  (άρα ), ενώ διαφορετικά  (άρα ). Συνεπώς χρησιμοποιώντας την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς,

Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη της ανισότητας, προκύπτει το ζητούμενο

Παραπομπές

Κατηγορία:Ανισότητες
Κατηγορία:Θεωρία πιθανοτήτων