Διαγώνιος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, διαγώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μη-μηδενικά στοιχεία μόνο στην κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, διαγώνιος είναι κάθε  πίνακας , ο οποίος ικανοποιεί  για κάθε  και .

Για , κάθε διαγώνιος πίνακας διαστάσεων  έχει αντίστοιχα την μορφή:

για κάποια στοιχεία . Στην γενική περίπτωση, ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία  στην κυρία διαγώνιό του, γράφεται και ως εξής:

 Παραδείγματα 

 Παρακάτω δίνονται παραδείγματα διαγωνίων πινάκων με διαστάσεις  για  αντίστοιχα:

 Ο τετραγωνικός μηδενικός πίνακας  είναι διαγώνιος.
 Ο μοναδιαίος πίνακας  είναι διαγώνιος.

 Ιδιότητες  

 Το άθροισμα δύο διαγωνίων πινάκων  και  είναι διαγώνιος και ίσoς με
.
 Το γινόμενο δύο διαγωνίων πινάκων  και  είναι διαγώνιος και ίσος με
.
Επομένως με την χρήση μαθηματικής επαγωγής έχουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό 
.
 Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διαγώνιου πίνακα  με ένα στοιχείο  είναι ένας διαγώνιος πίνακας ίσος με
.
 Το ίχνος ενός διαγωνίου πίνακα  είναι το άθροισμα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή
.
 Η ορίζουσα ενός διαγωνίου πίνακα  είναι το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή
.
Από αυτό προκύπτει ότι ένας διαγώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι διάφορα του μηδέν.
 Αν  με , τότε
,
που επιβεβαιώνεται από την ιδιότητα του γινομένου, καθώς
.

 Παραπομπές 



Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων