Δεκατριάγωνο

Στη γεωμετρία, το δεκατριάγωνο είναι ένα πολύγωνο με δεκατρείς κορυφές και δεκατρείς πλευρές.

Ένα δεκατριάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

 Ιδιότητες 
 Σε κάθε απλό δεκατριάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα  (ή  ακτίνια).
 Κάθε δεκατριάγωνο έχει 65 διαγωνίους.

 Κυρτό κανονικό δεκατριάγωνο 

 Ιδιότητες 
Για το κανονικό δεκατριάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
 Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με  (ή  ακτίνια).
 Έχει δεκατρεις άξονες συμμετρίας.
 Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
 Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
 Έχει περιστροφική συμμετρία δεκατης τρίτης τάξεως.
 Το σύμβολο Schläfli του δεκατριάγωνο είναι .

 Μετρικές σχέσεις 

 Η ακτίνα  του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκατριαγώνου είναι ίση με

Η ακτίνα  του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκατριαγώνου είναι ίση με

 Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκατριαγώνου δίνονται από τις σχέσεις

Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
.
Το ύψος του είναι 
.

 Εμβαδόν 
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκατριαγώνου πλευράς  και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου  είναι 
.
Το εμβαδό  ενός κανονικού δεκατριαγώνου πλευράς  δίνεται από τη σχέση:

Αν  είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκατριαγώνου είναι

Aν  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότεΤο διάστημα που ορίζουν οι δύο τελευταίοι συντελεστές (3,020... και 3,020...) περιλαμβάνει την τιμή του , που είναι το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου.
.

 Περίμετρος 
Η περίμετρος  του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
.

Κατασκευή
Το κανονικό δεκατριάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευαστεί μόνο με κανόνα και διαβήτη, καθώς το 13 δεν είναι πρώτος αριθμός Φερμά. Μπορεί ωστόσο να κατασκευασθεί με νεύση ή με έναν τριχοτομητή γωνίας.

Το επόμενο σχήμα δείχνει τα στάδια κατασκευής με νεύση ενός κανονικού δεκατριαγώνου με ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου  σύμφωνα με τον Άντριου Μ. Γκλήζον, με βάση την τριχοτόμηση γωνίας με μάχαιρα υποδηματοποιού (γαλάζιο).

Το παρακάτω σχήμα δίνει μία προσεγγιστική κατασκευή με κανόνα και διαβήτη για το κανονικό δεκατριάγωνο.

Μία πιο πολύπλοκη κατασκευή με κανόνα και διαβήτη δίνει ακόμα καλύτερη προσέγγιση:


Σύμφωνα με το GeoGebra, BME1 = 27,692307692307764° , ενώ 360° ÷ 13 = 27,69230769230769°, δηλαδή η διαφορά είναι λιγότερο από ένα μέρος στα 10 τρισεκατομμύρια.

Συμμετρία
Το κανονικό δεκατριάγωνο έχει διεδρική συμμετρία Dih13 , με τάξη 26. Επειδή ο 13 είναι πρώτος αριθμός, υπάρχουν επίσης μία υποομάδα με διεδρική συμμετρία, η Dih1, και δύο συμμετρίες κυκλικής ομάδας,τις Z13 και Z1.

Αυτές οι 4 ομάδες συμμετρίας μπορούν να παρατηρηθούν σε 4 διαφορετικές συμμετρίες στο δεκατριάγωνο. Ο Τζων Κόνγουεϊ τις συμβολίζει με ένα γράμμα και την τάξη της ομάδας.John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss: The Symmetries of Things, 2008, ISBN 978-1-56881-220-5, Κεφ. 20, σσ. 275-278 Η πλήρης συμμετρία του κανονικού δεκατριαγώνου είναι η r26, ενώ καμιά συμμετρία δεν είναι a1. Οι διεδρικές συμμετρίες διακρίνονται σε αυτές που περνούν από κορυφές (συμβολίζονται με d από τη λέξη diagonal = διαγώνιος), σε αυτές που περνούν από πλευρές (p από τη λέξη perpendiculars = κάθετοι) και σε αυτές των οποίων οι γραμμές ανακλάσεως περνούν από αμφότερες (συμβολίζονται με i).

Η κάθε υποομάδα συμμετρίας επιτρέπει έναν ή περισσότερους βαθμούς ελευθερίας για μη κανονικές μορφές. Μόνο η κυκλική υποομάδα g13 δεν έχει βαθμούς ελευθερίας.

Αστεροειδές κανονικό δεκατριάγωνο
Το αστεροειδές πολύγωνο με δεκατρείς πλευρές ονομάζεται δεκατριάγραμμα. Υπάρχουν 5 κανονικές μορφές του, που συμβολίζονται με τα σύμβολο Schläfli , , ,  και .




Πολύγωνα Πέτρι
Το κανονικό δεκατριάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι 12-simplex:

A12125px12-simplex

Εφαρμογές

Νομίσματα
Το κανονικό δεκατριάγωνο χρησιμοποιείται ως σχήμα για το κέρμα των 20 κορονών Τσεχίας.Colin R. Bruce, II, George Cuhaj, Thomas Michael: 2007 Standard Catalog of World Coins, Krause Publications, 2006, σελ. 81.
Αρχείο:20 CZK.png

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Διαδραστική κατασκευή δεκατριαγώνου στο Geogebra.

 Σημειώσεις 

Παραπομπές

Δεκατριαγωνο
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη