Τετραγωνική ρίζα του 2

Η τετραγωνική ρίζα του 2, ή αλλιώς, γραμμένο στα μαθηματικά,  ή , είναι ο θετικός αλγεβρικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 2. Τεχνικά, ονομάζεται η κύρια τετραγωνική ρίζα του 2, έτσι ώστε να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα.

Γεωμετρικά, η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά μήκους 1 (προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα). Ήταν ίσως ο πρώτος γνωστός άρρητος αριθμός.

 Ιστορία 
δεξιά|μικρογραφία|200x200εσ|Βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα (YBC 7289) με σχολιασμούς. Δείχνει την τετραγωνική ρίζα του 2 σε εξηκονταδική μορφή (1 24 51 10).
Η βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα YBC 7289 (1800-1600 π.Χ.) δίνει μια προσέγγιση του  σε τέσσερα εξηνταδικά στοιχεία, 1 24 51 10, η οποία έχει ακρίβεια περίπου έξι δεκαδικά ψηφία, Fowler and Robson, p. 368.Φωτογραφία και περιγραφή της πλακέτας για το ρίζα 2 από την βαβυλωνιακή συλλογή του Yale 
Φωτογραφίες υψηλής ευκρίνειας, περιγραφές και ανάλυση της ταμπλέτας για το ρίζα 2 (YBC 7289) από την βαβυλωνιακή συλλογή του Yale και είναι η κοντινότερη δυνατή εξηκονταδική αναπαράσταση του :

Μια άλλη πρώιμη προσέγγιση δίνεται στα αρχαία Ινδικά μαθηματικά κείμενα, τα Sulbasutras (800-200 π.Χ.) ως εξής: Αύξηση του μήκους της πλευράς με την τρίτη και της τρίτης από τη δική τέταρτη μικρότερη των τριάντα τέταρτο μέρος του τέταρτου.Henderson. Δηλαδή,

Η προσέγγιση αυτή είναι η έβδομη στη σειρά από ολοένα και πιο ακριβείς προσεγγίσεις με βάση την ακολουθία των αριθμών του Πελ, η οποία μπορεί να προέρχεται από το συνεχές κλάσμα της επέκτασης του . Παρά τον μικρότερο παρονομαστή, είναι μόνο ελαφρώς λιγότερο ακριβές από τη βαβυλωνιακή προσέγγιση.

Πυθαγόρειοι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι μη υπολογίσιμη, ή σε σύγχρονη γλώσσα, η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι άρρητη. Λίγα είναι γνωστά σχετικά με το χρόνο ή τις συνθήκες αυτής της ανακάλυψης, αλλά το όνομα του Ιππάσου από το Μεταπόντιο αναφέρεται συχνά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Ίππασος δολοφονήθηκε για αυτήν την αποκάλυψη.Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945. Η τετραγωνική ρίζα του δύο μερικές φορές αποκαλείται «ο αριθμός του Πυθαγόρα» ή «Πυθαγόρεια σταθερά», για παράδειγμα στο  . 

 Υπολογισμός με αλγορίθμους 
Υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι για την προσέγγιση του  ως κλάσμα ακεραίων αριθμών. Ο πιο κοινός αλγόριθμος για αυτό, ο οποίος χρησιμοποιείται σε πολλούς υπολογιστές και αριθμομηχανές είναι η βαβυλωνιακή μέθοδος Παρόλο που ο όρος "βαβυλωνιακή μέθοδος" είναι πιο σύνηθης αυτή την εποχή, δεν υπάρχουν ευθείς αποδείξεις  που δείχνουν πώς οι Βαβυλώνιοι υπολόγισαν την προσέγγιση του  που εμφανίζεται στην πινακίδα YBC 7289. Οι Fowler and Robson δίνουν μια πιο λεπτομερή ανάλυση και ικασίες.Fowler and Robson, σελ. 376. Flannery, σελ. 32, 158. υπολογισμού τετραγωνικών ριζών. Η μέθοδος λειτουργεί ως εξής:

Πρώτον, διαλέγουμε ένα , η τιμή του οποίου επηρεάζει μόνο πόσες επαναλήψεις απαιτούνται για την επίτευξη μίας προσέγγισης με συγκεκριμένη ακρίβεια. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας αυτή την αρχική τιμή, χρησιμοποιεί τον ακόλουθο αναδρομικό υπολογισμό:
.

Όσο περισσότερες επαναλήψεις τρέξουμε από τον αλγόριθμο (δηλαδή, όσο περισσότερους υπολογισμούς εκτελούμε και όσο μεγαλύτερο είναι το ), τόσο καλύτερη προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 που επιτυγχάνεται. Κάθε  επανάληψη περίπου διπλασιάζει το πλήθος των σωστών ψηφίων. Ξεκινώντας με το  οι επόμενες προσεγγίσεις είναι οι εξής (όπου με bold είναι τα δεκαδικά ψηφία που είναι σωστά):

 3/2 = 1 ,5
 17/12 = 1,41 6 ...
 577/408= 1,41421 5 ...
 665857/470832= 1,41421356237 46 ...

Η τιμή της  υπολογίστηκε με 137.438.953.444 δεκαδικά ψηφία από την ομάδα Yasumasa στον Καναδά  το 1997. Τον Φεβρουάριο του 2006 το ρεκόρ για τον υπολογισμό του  επιτεύχθηκε με την χρήση του προσωπικού υπολογιστή. Ο Σιγκέρου Κόντο υπολόγισε 1 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία το 2010.  Για την επίτευξη αυτού του ρεκόρ, δείτε τον παρακάτω πίνακα. Μεταξύ μαθηματικών σταθερών που είναι δύσκολο να υπολογιστούν, μόνο το   έχει υπολογιστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια. 

 Ημερομηνία  Όνομα  Πλήθος ψηφίων Ιανουάριος 5, 2022  Tizian Hanselmann   Ιούνιος 28, 2016  Ron Watkins   Απρίλιος 3, 2016  Ron Watkins   Ιανουάριος 20, 2016  Ron Watkins   Φεβρουάριος 9, 2012  Alexander Yee   Μάρτιος 22, 2010  Shigeru Kondo  

 Αποδείξεις αρρητότητας 

 Με εις άτοπον απαγωγή 

Ας υποθέσουμε ότι το  μπορεί να γραφτεί ως το κλάσμα , όπου  και  είναι φυσικοί αριθμοί που είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους, δηλαδή δεν υπάρχει κάποιος αριθμός (μεγαλύτερος του 1) που να διαιρεί και το  και το . Τότε, έχουμε ότι 
.
Επομένως, έχουμε ότι  και άρα , δηλαδή  για κάποιον φυσικό αριθμό . 

Επιστρέφοντας στην σχέση , έχουμε ότι 
.
Συνεπώς,  και . Αυτό όμως μας οδηγεί σε άτοπο καθώς και ο  και ο  είναι ζυγοί, άρα δεν είναι πρώτοι μεταξύ (άτοπο).

 Με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής 

Ξανά γράφοντας το  σαν κλάσμα , έχουμε ότι 
.
Από το θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής, οι αριθμοί  και  μπορούν να γραφτούν μοναδικά ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Ο , λόγω του τετραγώνου, έχει κάθε πρώτο παράγοντα ζυγό αριθμό φορών. Το ίδιο και το . Αλλά τότε ο  έχει μονό πλήθος από παράγοντες . Συνεπώς, δεν μπορούν οι α και  να είναι ίσοι. 

 Περεταίρω ανάγνωση 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 .

 Η Τετραγωνική Ρίζα του Δύο και 5 εκατομμύρια ψηφία από Jerry Bonnell και Robert J. Nemiroff
 Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητη, μια συλλογή από αποδείξεις


 Ελληνικά άρθρα 





 Ξενόγλωσσα άρθρα 




Παραπομπές

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία
Κατηγορία:Άρρητοι αριθμοί
Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές
Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία