Αναζήτηση μεγάλων πρώτων αριθμών

Η αναζήτηση μεγάλων πρώτων αριθμών ασχολείται με την εύρεση ολοένα και μεγαλύτερων αριθμών οι οποίοι διαθέτουν τις ιδιότητες των πρώτων αριθμών, δεν διαιρούνται δηλαδή με κανέναν άλλο αριθμό ως διαιρέτη τους παρά μόνο τον εαυτό τους και το 1. Παρότι έχει αποδειχθεί μαθηματικά ήδη κατά την αρχαιότητα από τον Ευκλείδη πως οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, η αναζήτηση ολοένα και μεγαλύτερων πρώτων αριθμών είναι διαχρονική, και εξακολουθούν να υπάρχουν πολλοί ερευνητές οι οποίοι συνεχίζουν να αναζητούν όλο και μεγαλύτερους πρώτους αριθμούς. Ειδικά με την συστηματική χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών από τα μέσα του 20ού αιώνα και έπειτα, ο ρυθμός και συχνότητα εύρεσης έχει αυξηθεί κατά πολύ σε σχέση με πριν. Οι περισσότεροι από τους μεγάλους πρώτους αριθμούς είναι πρώτοι αριθμοί Μερσέν της μορφής 2ν-1 (όπου και ο ν είναι πρώτος). Παρότι από την θεωρητική μαθηματική άποψη η εύρεση ολοένα και μεγαλύτερων αριθμών δεν έχει κάποια ιδιαίτερη σημασία, εκτός από την ανθρώπινη περιέργεια η αναζήτηση είναι χρήσιμη στην επιστήμη υπολογιστών ως προς την βελτιστοποίηση αλγορίθμων και ως προς την δοκιμή των δυνατοτήτων επεξεργαστικής δύναμης, ενώ χρησιμεύουν και για την εύρεση νέων τέλειων αριθμών βάσει του τύπου 2k-1(2k-1).

 Aναζήτηση  

 Μέθοδοι 
Ήδη από τον 3ο αιώνα π.Χ. υπήρχε η μέθοδος του κόσκινου του Ερατοσθένη για την εύρεση μικρών πρώτων αριθμών, ενώ ο Ευκλείδης δημιούργησε το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής σύμφωνα με το οποίο ο κάθε αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο 2 πρώτων αριθμών εάν δεν είναι πρώτος ο ίδιος.

Η σύγχρονη μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εύρεση μεγάλων πρώτων αριθμών είναι συνήθως ο γρήγορος μετασχηματισμός Φουριέ με υλοποίηση της εξέτασης πρώτου αριθμού Λούκας-Λέιμερ για πρώτους αριθμούς Μερσέν.

 GIMPS και EFF 
Το 1997 ιδρύθηκε το εγχείρημα Μεγάλη διαδικτυακή αναζήτηση πρώτων αριθμών Μερσέν (Great Internet Mersenne Prime Search, GIMPS) το οποίο χρησιμοποιεί την κατανεμημένη υπολογιστική ισχύ χιλιάδων υπολογιστών παγκοσμίως οι οποίοι ανήκουν σε άτομα που συμμετέχουν εθελοντικά στο εγχείρημα και εγκαθιστούν την εφαρμογή στον υπολογιστή τους. Έως το 2018 μέσω του εγχειρήματος είχαν ανακαλυφθεί οι 16 μεγαλύτεροι πρώτοι αριθμοί Μερσέν. Ως επιβράβευση ο οργανισμός που διαχειρίζεται το εγχείρημα προσφέρει το ποσό των 3.000 δολαρίων ΗΠΑ στο άτομο του οποίου ο υπολογιστής θα βρει κάποιον νέο πρώτο αριθμό Μερσέν.

Ο οργανισμός Electronic Frontier Foundation για την προάσπιση των διαδικτυακών ελευθεριών, προσφέρει επίσης βραβείο για την εύρεση μεγάλων πρώτων αριθμών με το ποσό των 150.000 δολαρίων εφόσον βρεθεί κάποιος ο οποίος αποτελείται από 100 εκατομμύρια ψηφία. Επιπλέον προσφέρει 250.000 δολάρια εάν βρεθεί πρώτος αριθμός αποτελούμενος από ένα δισεκατομμύριο ψηφία.
Ο μεγαλύτερος γνωστός

Τον Φεβρουάριο του 2025 ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός είναι ο 2136279841 − 1, αριθμός που διαθέτει συνολικά 41.024.320 ψηφία. Ανακαλύφθηκε τον Οκτώβριο του 2024 από το GIMPS.

Ιστορική εξέλιξη
Η ιστορική εξέλιξη των μεγαλύτερων γνωστών πρώτων αριθμών είναι όπως παρακάτω. Όπου Mn= 2n − 1 ο αριθμός είναι πρώτος αριθμός Μερσέν. Σχετικά με τους αρχικούς γνωστούς μεγάλους πρώτους αριθμούς παρατίθενται μόνο όσοι έχουν αναφερθεί σε γραπτά, ανεξάρτητα από τις μεθόδους του Ευκλείδη (Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής) και του Ερατοσθένη (Κόσκινο του Ερατοσθένη). 

Αριθμοί Συμβολισμός Συνολικά ψηφία αριθμού Έτος εύρεσης Σημειώσεις7 7 1 ~400 π.Χ. γραπτά στοιχεία πως ήταν γνωστός στον Φιλόλαο Harris, H. S. The Reign of the Whirlwind, 1999 (p.252)127 M7 3 ~300 π.Χ. γραπτά στοιχεία πως ήταν γνωστός στον ΕυκλείδηNicomachus' "Introduction to Arithmetic"  translated by Martin Luther D'Ooge (p.52)8.191 M13 4 1456 Ανώνυμος131.071 M17 6 1460 Ανώνυμος524.287 M19 6 1588 Από τον Πιέτρο Κατάλντι6.700.417  7 1732 Από τον Λέοναρντ Όιλερ2.147.483.647 M31 10 1772 Από τον Λέοναρντ Όιλερ67.280.421.310.721  14 1855 Από τον Τόμας Κλάουζεν2127 -1 M127 39 1876 Από τον Εντουάρ Λυκά20.988.936,65.....2.593.863.921  44 1951 (α) Από την Αιμέ Φεριέ, ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που βρέθηκε χωρίς χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή 180×(M127)2+1 180×(M127)2+1 79 1951 (β) Από τον υπολογιστή EDSAC του πανεπιστημίου του Καίμπρητζ (Μίλερ και Ουίλερ)24423 -1 M4423 1.332 1961 IBM 7090 (Αλεξάντερ Χόρβιτς)219937 -1 M19937 6.002 1971 IBM 360/91 (Μπράιαντ Τάκερμαν)286243 -1 M86243 25.962 1982 Cray 1 (Ντέιβιντ Σλόουινσκι)2756839 -1 M756839 227.832 1992 Cray 2 (Ντέιβιντ Σλόουινσκι και Πωλ Κέιτζ)213466917-1 M13466917 4.053.946 2001 GIMPS (Cameron, Woltman, Kurowski)257885161 – 1 M57885161 17.425.170 2013 GIMPS (Cooper, Woltman, Kurowski, et al)274207281 – 1 M74207281 22.338.618 2016 GIMPS (Cooper, Woltman, Kurowski, Blosser, et al)277232917 – 1 M77232917 23.249.425 2017 GIMPS (Pace Jonathan)282589933 − 1M8258993324.862.048 2018GIMPS (Laroche Patrick)2136279841 − 1M13627984141,024,3202024GIMPS (Laroche Patrick)

Οι δέκα μεγαλύτεροι γνωστοί
Από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο:
 Κατάταξη  Αριθμός  Ανακάλυψη  Αριθμός ψηφίων  Σχόλια 12136279841 – 12024 41.024.320  2282589933 – 12018 24.862.048 3 277232917 – 1 2017 23.249.425 4 274207281 – 1 2016 22.338.618 5 257885161 – 1 2013 17.425.170 6 243112609 – 1 2008 12.978.189  7 242643801 – 1 2009 12.837.064  8 237156667 – 1 2008 11.185.272  9 232582657 – 1 2006 9.808.358  10 10223 × 231172165 + 1 2016 9.383.761 

Παραπομπές

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
 Κατάλογος των μεγαλύτερων γνωστών πρώτων αριθμών - primes.utm.edu
 Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) - mersenne.org

Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί