Δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης

Το δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι θεσιακό σύστημα αρίθμησης το οποίο χρησιμοποιεί το 12 ως την αριθμητική βάση του.

 Περιγραφή 

 Ιδιότητες και προέλευση 
μικρογραφία|Οι φάλαγγες (οριζόντιες αρθρώσεις) των δαχτύλων χρησιμοποιούνται σε κάποιους πολιτισμούς για τη μέτρηση έως το 12 με τη χρήση του ενός χεριού
Ο αριθμός 12 είναι εξαιρετικά υψηλός σύνθετος αριθμός καθώς διαθέτει μεγάλο αριθμό διαιρετών με 6 διαιρέτες (1 2 3 4 6 12) σε σχέση με την αριθμητική του θέση. Οι παράγοντες του (2 και 3) είναι πρώτοι αριθμοί κάτι που σημαίνει πως οι αντίστροφοι όλων των αριθμών που πραγματοποιούνται με το 3 δεν δημιουργούν άρρητους αριθμούς όταν διαιρούνται. Έτσι αποτελεί βολικό σύστημα για τον υπολογισμό συχνά χρησιμοποιούμενων κλασμάτων όπως  1⁄2,   1⁄3,   2⁄3,   1⁄4 και 3⁄4 καθώς δίνει αποτελέσματα χωρίς επαναλαμβανόμενα ψηφία.

Η προέλευση του πιθανώς πηγάζει από τους 12 σεληνιακούς κύκλους του έτους, καθώς και από το γεγονός ότι υπάρχει 12 φάλαγγες (αρθρώσεις, οι οριζόντιες γραμμές των δαχτύλων) στα 4 δάχτυλα του χεριού εκτός του αντίχειρα. Σε κάποιες περιοχές της Ασίας η μέτρηση με το ένα χέρι γίνεται έως το 12 με την καταμέτρηση των φαλαγγών των δαχτύλων και τον αντίχειρα να χρησιμοποιείται ως δείκτης της καταμέτρησης, κάτι που εξηγεί την προέλευση του δωδεκαδικού συστήματος καθώς και των πολλαπλάσιων της αριθμητικής βάσης του 12 όπως π.χ. το εξηνταδικό σύστημα.. Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk.Επιπλέον, το δωδεκαδικό σύστημα είναι ενσωματωμένο σε διάφορα αριθμητικά συστήματα γλωσσών, όπως διάφορες γλώσσες της Νιγηρίας (Τζάντζι, Γκμπίρι-Νιράγκου, Πίτι, Γκουαντάρα), τη γλώσσα Τσεπάνγκ στο Νεπάλ, και τη γλώσσα Ντιβέχι στις Μαλδίβες και περιοχές της Ινδίας.

 Μονάδες μέτρησης 
Ιστορικά, οι μονάδες μέτρησης χρόνου σε πολλούς πολιτισμούς υπήρξαν δωδεκαδικές, κάτι που καταδεικνύεται από το γεγονός ότι υπάρχουν 12 μήνες και ζωδιακά σύμβολα σε ένα έτος, ενώ οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν 12 ώρες εντός της ημέρας και αργότερα μετατράπηκε σε 24 όπως και στη σύγχρονη εποχή. Στο παραδοσιακό κινεζικό ημερολόγιο τα ωρολόγια και οι πυξίδες βασίζονται επίσης στο δωδεκαδικό σύστημα.

Σε ότι αφορά τη μέτρηση χώρου και διαστάσεων, το σύστημα κλασμάτων των Ρωμαίων βασίζονταν στο 12, και από εκεί προέκυψε η ουγγιά. Στο βρετανικό αυτοκρατορικό σύστημα μέτρησης το αυτοκρατορικό πόδι απαρτίζεται από 12 ίντσες, μια λίβρα τρόυ αποτελείται από 12 ουγγιές τρόυ, ένα βρετανικό σελίνι απαρτίζεται από 12 παλαιές βρετανικές πένες, ενώ στο νομισματικό σύστημα υπήρχαν διάφορες επιπλέον υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσια (π.χ. 240 πένες = 20 σελίνια). Το δεκαδικό σύστημα με τη μορφή του μετρικού συστήματος αντικατέστησε σε μεγάλο βαθμό το δωδεκαδικό με προέλευση τη Γαλλία, καθώς ιδιαίτερα μετά τη γαλλική επανάσταση οι Γάλλοι επαναστάτες υπήρξαν ακραία υπέρ του δεκαδικού συστήματος αντικαθιστώντας το δωδεκαδικό παντού και φτάνοντας έως το σημείο να ορίσουν εβδομάδες 10 ημερών (γαλλικό δημοκρατικό ημερολόγιο) και ώρες των 100 λεπτών.

Στη χρωματική κλίμακα, υπάρχουν 12 τονικά ύψη σε χαμηλές και υψηλές νότες, κάτι που πηγάζει από την αρχική μουσική κλίμακα των Πυθαγορείων.

 Αναπαραστάσεις ψηφίων 
μικρογραφία|Εναλλακτική μορφή αναπαράστασης του έντεκα στο δωδεκαδικό σύστημα με τη μορφή του ανεστραμμένου 3
Σε κάποιες μορφές του δωδεκαδικού συστήματος, ο αριθμός δέκα γράφεται με τη μορφή καθέτως ανεστραμμένου 2, ενώ ο αριθμός έντεκα ως καθέτως ανεστραμμένο 3. Η χρήση των συμβόλων αυτών είναι βρετανικής προέλευσης,Pitman, Isaac (ed.): A triple (twelve gross) Gems of Wisdom. London 1860 και τα σύμβολα αυτά διαθέτουν τη δική τους καταχώρηση στο πρότυπο Unicode από τον Ιούνιο του 2015 (↊ με κωδικό 218A, και ↋ με κωδικό 218B).Μια παλαιότερη μορφή αναπαραστάσεων αμερικανικής προέλευσης αποτελούν τα σύμβολα X και ℰ. Γενικά οι παραστάσεις αυτές προέρχονται από συλλόγους δωδεκαδιστών οι οποίοι δραστηριοποιούνται στην προώθηση και εκμάθηση του δωδεκαδικού συστήματος αρίθμησης με απώτατο στόχο την αντικατάσταση του δεκαδικού συστήματος με το δωδεκαδικό.

Κατά τη σύμβαση με τις υπόλοιπες αναπαραστάσεων ψηφίων αριθμητικών βάσεων μεγαλύτερων του 10, εναλλακτικά χρησιμοποιούνται τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, έτσι το δέκα αναπαριστάται ως A και το έντεκα ως B.

Υπάρχουν διάφορες άλλες αναπαραστάσεις, και σε κάποιες από αυτές τις περιπτώσεις χρησιμοποιείται το ελληνικό γράμμα δέλτα (δ) για το δέκα, και το ταυ (τ) ή έψιλον (ε) για το έντεκα.

 Πίνακες τιμών 
 Αντιστοιχία δωδεκαδικών με δεκαδικούς αριθμούς 
Εκατοντάδες χιλ.ΜυριάδεςΧιλιάδεςΕκατοντάδεςΔεκάδεςΜονάδεςΥπομονάδεςΥποδεκάδες 100.00010  10.00010  1.00010  10010  1010  110  0,110 0,112 0,0110 0,012 200.00010  20.00010  2.00010  20010  2010  210  0,210 0,12 0,0210 0,012 300.00010  30.00010  3.00010  30010  3010  310  0,310 0,312 0,0310 0,012 400.00010  40.00010  4.00010  40010  4010  410  0,410 0,12 0,0410 0,12 500.00010  50.00010  5.00010  50010  5010  510  0,510 0,612 0,0510 0,012 600.00010  60.00010  6.00010  60010  6010  610  0,610 0,12 0,0610 0,012 700.00010  70.00010  7.00010  70010  7010  710  0,710 0,812 0,0710 0,012 800.00010  80.00010  8.00010  80010  8010  810  0,810 0, 0,0810 0,12 900.00010  90.00010  9.00010  90010  9010  910  0,910 0,A12 0,0910 0,1121.000.00010100.0001010.000101.000101001010101100,10100,1121.010.00010110.0001011.000101.100101101011101,1101,10,11100,11121.020.00010120.0001012.000101.200101201012101,2101,2120,12100,112

 Πίνακας πολλαπλασιασμού 
χωρίς-πλαίσιο|300x300εσ

 Δυνάμεις 
 Εκθέτης 2 3 4 5 6 7 Δεκ. Δωδ. Δεκ. Δωδ. Δεκ. Δωδ. Δεκ. Δωδ. Δεκ. Δωδ. Δεκ. Δωδ. 6 64 54 729 509 4.096 2454 15.625 9.061 46.656 23.000 117.649 58.101 5 32 28 243 183 1.024 714 3.125 1.985 7.776 4.600 16.807 9.887 4 16 14 81 69 256 194 625 441 1.296 900 2.401 1.481 3 8 8 27 23 64 54 125 B5 216 160 343 247 2 4 4 9 9 16 14 25 21 36 30 49 41 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 −1 0,5 0,6 0, 0,4 0,25 0,3 0,2 0, 0,1 0,2 0, 0, −2 0,25 0,3 0, 0,14 0,0625 0,09 0,04 0, 0,02 0,04 0, 0,

 Κλάσματα 
 Δεκαδική βάσηΠαράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης: 2, 5Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από τη βάση: 3Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από τη βάση: 11Όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι: 7 Δωδεκαδική βάσηΠαράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης: 2, 3Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από τη βάση: AΠαράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από τη βάση: 11Όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι: 7 Κλάσμα Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή Θεσιακή αναπαράσταση Θεσιακή αναπαράσταση Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή Κλάσμα 1/2 2 0,5 0,6 2 1/2 1/3 3 0, 0,4 3 1/3 1/4 2 0,25 0,3 2 1/4 1/5 5 0,2 0, 5 1/5 1/6 2, 3 0,1 0,2 2, 3 1/6 1/7 7 0, 0, 7 1/7 1/8 2 0,125 0,16 2 1/8 1/9 3 0, 0,14 3 1/9 1/10 2, 5 0,1 0,1 2, 5 1/B 1/11 11 0, 0, A 1/A 1/12 2, 3 0,08 0,1 2, 3 1/10 1/13 13 0, 0, 11 1/11 1/14 2, 7 0,0 0,0 2, 7 1/12 1/15 3, 5 0,0 0,0 3, 5 1/13 1/16 2 0,0625 0,09 2 1/14 1/17 17 0, 0, 15 1/15 1/18 2, 3 0,0 0,08 2, 3 1/16 1/19 19 0, 0, 17 1/17 1/20 2, 5 0,05 0,0 2, 5 1/18 1/21 3, 7 0, 0,0 3, 7 1/19 1/22 2, 11 0,0 0,0 2, A 1/1B 1/23 23 0, 0, 1A 1/1A 1/24 2, 3 0,041 0,06 2, 3 1/20 1/25 5 0,04 0, 5 1/21 1/26 2, 13 0,0 0,0 2, 11 1/22 1/27 3 0, 0,054 3 1/23 1/28 2, 7 0,03 0,0 2, 7 1/24 1/29 29 0, 0, 25 1/25 1/30 2, 3, 5 0,0 0,0 2, 3, 5 1/26 1/31 31 0, 0, 27 1/27 1/32 2 0,03125 0,046 2 1/28 1/33 3, 11 0, 0,0 3, A 1/29 1/34 2, 17 0,0 0,0 2, 15 1/2B 1/35 5, 7 0,0 0, 5, 7 1/2A 1/36 2, 3 0,02 0,04 2, 3 1/30

 Άρρητοι αριθμοί 
 Αλγεβρικοί άρρητοι αριθμοί Δεκαδικό σύστημα Δωδεκαδικό σύστημα √2 (το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου 1x1) 1,41421356237309,,, (≈ 1,4142) 1,4A79170B07A857,,, (≈ 1,5) √3 (το μήκος της διαγωνίου του κύβου, ή το διπλάσιο του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου) 1,73205080756887,,, (≈ 1,732) 1,894A97AA968704,,, (≈ 1,895) √5 (το μήκος της διαγωνίου σε ορθογώνιο 1×2) 2,2360679774997,,, (≈ 2,236) 2,29AA132540589,,, (≈ 2,2B) φ (η χρυσή τομή = ) 1,6180339887498,,, (≈ 1,618) 1,74AA6772802B4,,, (≈ 1,75) Υπερβατικοί άρρητοι αριθμοί Δεκαδικό σύστημα Δωδεκαδικό σύστημα π (αναλογία της περιφέρειας προς τη διάμετρο) 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510,,,(≈ 3,1416) 3,184809493A918664573B6211AA151551B05729290B7809B492,,,(≈ 3,1848) e (η βάση του φυσικού λογάριθμου) 2,718281828459045,,, (≈ 2,718) 2,8752360698219A8,,, (≈ 2,875)

 Παραπομπές 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

  Dozenal Society of America
  Dozenal Society of Great Britain

Κατηγορία:Συστήματα αρίθμησης