Καταλανικό στερεό

160px|μικρογραφία|δεξιά|Το δισδυάκις τριακοντάεδρο, με διαμόρφωση εδρών V4.6.10, είναι το μεγαλύτερο Καταλανικό στερεό με 120 έδρες.
Στη γεωμετρία, Καταλανικό στερεό ονομάζεται το δυϊκό πολύεδρο ενός στερεού του Αρχιμήδη, έτσι είναι γνωστό και ως Αρχιμήδειο δυϊκό. Τα Καταλανικά στερεά πήραν το όνομά τους από τον Βέλγο μαθηματικό Ευγένιο Καταλάν, που τα περιέγραψε πρώτος το 1865.

 Περιγραφή 
Τα καταλανικά στερεά είναι όλα κυρτά και έχουν μεταβατικότητα εδρών και όχι κορυφών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα δυϊκά τους, τα στερεά του Αρχιμήδη, έχουν μεταβατικότητα κορυφών και όχι εδρών. Σε αντίθεση με τα Πλατωνικά στερεά και τα στερεά του Αρχιμήδη, οι έδρες των Καταλανικών στερεών είναι μη κανονικά πολύγωνα. Ωστόσο, το σχήμα κορυφής των Καταλανικών στερεών είναι κανονικό και έχουν σταθερές δίεδρες γωνίες. Λόγω της μεταβατικότητας των εδρών τους, τα Καταλανικά στερεά είναι ισόεδρα.

Επιπλέον, δύο από τα Καταλανικά στερεά έχουν μεταβατικότητα ακμών, το ρομβικό δωδεκάεδρο και το ρομβικό τριακοντάεδρο. Αυτά είναι τα δυϊκά των δύο ψευδοκανονικών στερεών του Αρχιμήδη (κυβοκτάεδρο και εικοσιδωδεκάεδρο αντίστοιχα). 

Ακριβώς όπως τα πρίσματα και τα αντιπρίσματα που δεν θεωρούνται γενικά στερεά του Αρχιμήδη, έτσι και οι διπυραμίδες και τα τραπεζόεδρα δεν θεωρούνται γενικά Καταλανικά στερεά, παρά το γεγονός ότι έχουν μεταβατικότητα εδρών.Pugh (1976), Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms.

Δύο από τα Καταλανικά στερεά είναι χειρικά, το πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο και το πενταγωνικό εξηκοντάεδρο, που είναι τα αντίστοιχα δυϊκά του χειρικού πεπλατυσμένου κύβου και του πεπλατυσμένου δωδεκαέδρου. Το καθένα από αυτά εμφανίζεται με δύο εναντιόμορφα. Επειδή δεν καταμετρώνται ξεχωριστά τα εναντιόμορφα τραπεζόεδρα και διπυραμίδες, έτσι υπάρχουν συνολικά 13 Καταλανικά στερεά.

 ΑΑ  Αρχιμήδειο στερεό  Καταλανικό στερεό1κόλουρο τετράεδροτριάκις τετράεδρο2κόλουρος κύβοςτριάκις οκτάεδρο3κόλουρο κυβοκτάεδροδισδυάκις δωδεκάεδρο4κόλουρο οκτάεδροτετράκις εξάεδρο5κόλουρο δωδεκάεδροτριάκις εικοσάεδρο6κόλουρο εικοσιδωδεκάεδροδισδυάκις τριακοντάεδρο7κόλουρο εικοσάεδροπεντάκις δωδεκάεδρο8κυβοκτάεδρορομβικό δωδεκάεδρο9εικοσιδωδεκάεδρορομβικό τριακοντάεδρο10ρομβοκυβοκτάεδροδελτοειδές εικοσιτετράεδρο11ρομβοεικοσιδωδεκάεδροδελτοειδές εξηκοντάεδρο12πεπλατυσμένος κύβοςπενταγωνικό εικοσιτετράεδρο13πεπλατυσμένο δωδεκάεδροπενταγωνικό εξηκοντάεδρο

 Συμμετρία 
Τα καταλανικά στερεά, μαζί με τα δυϊκά τους Αρχιμήδεια στερεά, μπορούν να ομαδοποιηθούν ως προς τη συμμετρία τους (τετραεδρική, οκταεδρική και εικοσαεδρική). Υπάρχουν έξι μορφές ανά συμμετρία, ενώ η αυτοσυμμετρική τετραεδρική ομάδα έχει μόνο τρεις μοναδιαίες μορφές και δύο από αυτά αναπαράγονται με οκταεδρική συμμετρία.
+ Τετραεδρική συμμετρίαΑρχιμήδεια60px60px60pxΚαταλανικά60px60px60px+ Οκταεδρική συμμετρίαΑρχιμήδεια60px60px60px60px60px60pxΚαταλανικά60px60px60px60px60px60px
+ Εικοσαεδρική συμμετρίαΑρχιμήδεια60px60px60px60px60px60pxΚαταλανικά60px60px60px60px60px60px

 Κατάλογος 
 Ονομασία(ονομασία δυϊκού)ονομασία Conway Εικόνες Ορθέςπροβολές Πολύγωνοέδρας Έδρες Ακμές Κορυφές Συμ. τριάκις τετράεδρο(κόλουρο τετράεδρο)"kT" 60px|τριάκις τετράεδρο60px|τριάκις τετράεδρο 60px60px60px Ισοσκελές40pxV3.6.6  12  18  8  Td ρομβικό δωδεκάεδρο(κυβοκτάεδρο)"jC" 60px|ρομβικό δωδεκάεδρο60px|ρομβικό δωδεκάεδρο 60px60px60px Ρόμβος40pxV3.4.3.4  12  24  14  Oh τριάκις οκτάεδρο(κόλουρος κύβος)"kO" 60px|τριάκις οκτάεδρο60px|τριάκις οκτάεδρο 60px60px60px Ισοσκελές40pxV3.8.8  24  36  14  Oh τετράκις εξάεδρο(κόλουρο οκτάεδρο)"kC" 60px|τετράκις εξάεδρο60px|τετράκις εξάεδρο 60px60px60px Ισοσκελές40pxV4.6.6  24  36  14  Oh δελτοειδές εικοσιτετράεδρο(ρομβοκυβοκτάεδρο)"oC" 60px|δελτοειδές εικοσιτετράεδρο60px|δελτοειδές εικοσιτετράεδρο 60px60px60px Δελτοειδές40pxV3.4.4.4  24  48  26  Oh δισδυάκις δωδεκάεδρο(κόλουρο κυβοκτάεδρο)"mC" 60px|δισδυάκις δωδεκάεδρο60px|δισδυάκις δωδεκάεδρο 60px60px60px Σκαληνό40pxV4.6.8  48  72  26  Oh πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο(πεπλατυσμένος κύβος)"gC" 60px|πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο60px|πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο (Ccw) 60px60px60px  Πεντάγωνο40pxV3.3.3.3.4  24  60  38  O ρομβικό τριακοντάεδρο(εικοσιδωδεκάεδρο)"jD" 60px|ρομβικό τριακοντάεδρο60px|ρομβικό τριακοντάεδρο 60px60px60px Ρόμβος40pxV3.5.3.5  30  60  32  Ih τριάκις εικοσάεδρο(κόλουρο δωδεκάεδρο)"kI" 60px|τριάκις εικοσάεδρο60px|τριάκις εικοσάεδρο60px60px60px Ισοσκελές40pxV3.10.10  60  90  32  Ih πεντάκις δωδεκάεδρο(κόλουρο εικοσάεδρο)"kD" 60px|πεντάκις δωδεκάεδρο60px|πεντάκις δωδεκάεδρο 60px60px60px Ισοσκελές40pxV5.6.6  60  90  32  Ih δελτοειδές εξηκοντάεδρο(ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο)"oD" 60px|δελτοειδές εξηκοντάεδρο60px|δελτοειδές εξηκοντάεδρο 60px60px60px Δελτοειδές40pxV3.4.5.4  60  120  62  Ih δισδυάκις τριακοντάεδρο(κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο)"mD" 60px|δισδυάκις τρικαοντάεδρο60px|δισδυάκις τρικαοντάεδρο 60px60px60px Σκαληνό40pxV4.6.10  120  180  62  Ih πενταγωνικό εξηκοντάεδρο(πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο)"gD" 60px|πενταγωνικό εξηκοντάεδρο60px|πενταγωνικό εξηκοντάεδρο (Ccw) 60px60px60px  Πεντάγωνο40pxV3.3.3.3.5  60  150  92  I

 Δείτε επίσης 
 Στερεό του Αρχιμήδη
 Στερεό του Τζόνσον

 Παραπομπές 

 Πηγές 




  (Section 3-9)

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 





Κατηγορία:Πολύεδρα