Ολοκληρωμένο πλέγμα

Στα μαθηματικά, ένα ολοκληρωμένο (ή πλήρες) πλέγμα είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο  (partially ordered set) στο οποίο όλα τα υποσύνολα έχουν ένα supremum sup (που ονομάζεται και join ή ένωση και είναι το ελάχιστο άνω φράγμα)  και ένα infimum inf (που ονομάζεται και meet ή τομή και είναι το μέγιστο κάτω φράγμα).
Τα ολοκληρωμένα πλέγματα χρησιμοποιούνται σε πολλές εφαρμογές στα μαθηματικά και στην επιστήμη των υπολογιστών. Επειδή τα ολοκληρωμένα πλέγματα αποτελούν μία ειδική περίπτωση πλεγμάτων, μελετώνται επίσης στη θεωρία διατάξεων και στην καθολική άλγεβρα.

Τα ολοκληρωμένα πλέγματα δεν πρέπει να συγχέονται με τα ολικώς διατεταγμένα σύνολα (complete partial orders ή dcpos ή cpos), τα οποία απαρτίζουν μία περισσότερο γενική κατηγορία μερικώς διατεταγμένων συνόλων (partially ordered sets). Πιο συγκεκριμένα ένα ολοκληρωμένα πλέγμα είναι μία πλήρης αλγεβρα Boole και  πλήρης άλγεβρα Heyting (που ονομάζεται και locales).

 Oρισμός 
Ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο (L, ≤) είναι ένα ολοκληρωμένο πλέγμα, αν κάθε υποσύνολο A του L έχει ένα μέγιστο κάτω φράγμα (infimum που ονομάζεται και meet - τομή) και ένα ελάχιστο άνω φράγμα (supremum που ονομάζεται και join-ένωση) στο (L, ≤).

Η τομή (meet) παριστάνεται με  , και η ένωση (join) με  .

Ας σημειωθεί, ότι στην ειδική περίπτωση όπου Α είναι το κενό σύνολο, η τομή meet) του Α θα είναι το μέγιστο στοιχείο του L. Παρομοίως, η ένωση (join)  του Α θα είναι  το ελάχιστο στοιχείο του L. Επειδή εξ ορισμού έχουμε  ως δεδομένη την ύπαρξη των δυαδικών  τομών (meets) και ενώσεων (joins), τα ολοκληρωμένα πλέγματα απαρτίζουν μια ειδική κατηγορία φραγμένων πλεγμάτων. 

Περισσότερες λεπτομέρειες του παραπάνω ορισμού αναφέρονται στο άρθρο σχετικά με τις  ιδιότητες πληρότητας  (completeness properties) στην θεωρία διατάξεων.

 Ολοκληρωμένα ημιπλέγματα 
Στην θεωρία διατάξεων, οι τυχαίες τομές (meets) μπορούν να εκφραστούν με την χρήση τυχαίων ενώσεων (joins) και αντιστρόφως (για λεπτομέρειες, δείτε την παραπομπή completeness (order theory)). Αυτό σημαίνει, ότι αρκεί να διαθέτουμε είτε όλες τις τομές (meets) είτε όλες τις ενώσεις (joins) για να αναγνωρίσουμε την κατηγορία οποιουδήποτε ολοκληρωμένου πλέγματος. 

Ως συνέπεια των προηγούμενων, πολλοί αναφέρονται στα ολοκληρωμένα πλέγματα με τους  όρους     ολοκληρωμένο ημιπλέγμα τομών ή ολοκληρωμένο ημιπλέγμα ενώσεων,για να αναφερθούν στα ολοκληρωμένα πλέγματα. Αν και οι ορισμοί αναφέρονται σε όμοια αντικείμενα, όμως εμπεριέχουν διαφορετικές έννοιες ομομορφισμού (homomorphism), όπως θα εξηγηθεί πιο κάτω, στην παράγραφο περί μορφισμών.

Από την άλλη πλευρά, πολλοί δεν αποδέχονται αυτήν την διαφοροποίηση των μορφισμών (ιδίως αφού οι νεες έννοιες των «μορφισμών ολοκληρωμένων ημιπλεγμάτων» μπορούν επίσης να καθοριστούν σε γενικές γραμμές). Κατά συνέπεια, τα ολοκληρωμένα ημιπλέγματα επαφών έχουν επίσης οριστεί ως τα ημιπλέγματα επαφών  που είναι επίσης και ολικώς διατεταγμένα σύνολα (complete partial orders). Αυτή η έννοια είναι αναμφισβήτητα η «πιο ολοκληρωμένη» έννοια ενός ημιπλέγματος επαφών που δεν είναι ακόμη πλέγμα (στην πραγματικότητα, μόνο το άνω στοιχείο μπορεί να λείπει). Η συζήτηση αυτή βρίσκεται επίσης στο άρθρο σχετικά με τα ημιπλέγματα (semilattices).

 Ολοκληρωμένα υποπλέγματα 
Ένα υποπλέγμα M ενός ολοκληρωμένου  πλέγματος L ονομάζεται ολοκληρωμένο υποπλέγμα του L , αν για κάθε υποσύνολο Α του M τα στοιχεία Α και Α, όπως ορίστηκαν  στο L, βρίσκονται πράγματι  εντός του M.Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. 

Ένα υποπλέγμα M ενός ολοκληρωμένου πλέγματος L ονομάζεται κλειστό  υποπλέγμα του L όταν το M περιέχει μόνον  τις  μη κενές τομές (meets) και ενώσεις (joins).

 Παραδείγματα 
 Κάθε μη κενό πεπερασμένο πλέγμα είναι  ολοκληρωμένο.
 Το  δυναμοσύνολο ενός δεδομένου συνόλου, που διατάσσεται με ένταξη (⊆).  Το supremum δίνεται από την ένωση και το infimum από την τομή των υποσυνόλων.
 Το κλειστό διάστημα [0,1] και το εκτεταμένο σύνολο πραγματικών αριθμών.
 Οι μη αρνητικοί ακέραιοι, διατεταγμένοι με βάση την διαιρετότητά τους. Το ελάχιστο στοιχείο αυτού του πλέγματος είναι ο αριθμός 1, αφού διαιρεί οποιονδήποτε άλλο αριθμό. Ίσως μας εκπλήσσει αλλά το μεγαλύτερο στοιχείο είναι το 0, διότι μπορεί να διαιρεθεί από οποιονδήποτε άλλο αριθμό. Το supremum των πεπερασμένων συνόλων δίνεται από το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο και το infimum από το μέγιστο κοινό διαιρέτη. Για άπειρα σύνολα, το supremum θα είναι πάντα 0, ενώ το infimum μπορεί να είναι μεγαλύτερο από 1. Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των άρτιων αριθμών, έχει το 2 ως το μέγιστο κοινό διαιρέτη. Αν το 0 αφαιρεθεί από αυτή τη δομή, αυτή παραμένει ένα πλέγμα, αλλά παύει να είναι ολοκληρωμένο.
 Οι υποομάδες της κάθε ομάδας σε ένταξη. (Ενώ το infimum εδώ είναι η συνήθης  τομή,το supremum ενός συνόλου υποομάδων είναι η υποομάδα που παράγεται από την ένωση των υποομάδων, και όχι από την ίδια την ένωση.) Αν e είναι η ταυτότητα της G, τότε η τετριμμένη ομάδα {e} είναι η ελάχιστη υποομάδα της G, ενώ η μέγιστη υποομάδα είναι η ίδια ομάδα G.
 Οι υποενότητες της ενότητας, που είχε διαταχθεί με ένταξη. Το supremum δίνεται από το άθροισμα των υποενοτήτων και το infimum από την τομή.
 Τα ιδεώδη του δακτυλίου, διατεταγμένα με ένταξη. Το supremum δίνεται από το άθροισμα των ιδεώδων και το infimum από την τομή.
 Τα ανοιχτά σύνολα ενός τοπολογικού χώρου, που διατάσσεται με ένταξη. Το supremum δίνεται από την ένωση ανοικτών συνόλων και το infimum από το εσωτερικό της τομής. Από την άλλη πλευρά, αν ορίσουμε το infimum ως την  τομή, τα ανοικτά σύνολα σχηματίζουν ένα φραγμένο αλλά όχι ολοκληρωμένο πλέγμα. Γενικά, τυχαίες τομές ανοικτών συνόλων δεν είναι ανοιχτές.
 Τα κυρτά υποσύνολα  ενός πραγματικού ή μιγαδικού διανυσματικού χώρου, που διατάσσεται με ένταξη. Το infimum δίνεται από την τομή κυρτών συνόλων και το supremum από το μικρότερο κυρτό σύνολο της ένωσης.
 Οι τοπολογίες σε ένα σύνολο, που διατάσσεται με ένταξη. Το infimum δίνεται από την τομή των τοπολογιών, και το supremum με την τοπολογία που παράγεται από την ένωση του τοπολογίες.
 Το πλέγμα όλων των μεταβατικών σχέσεων σε ένα σύνολο.
 Το πλέγμα όλων των υπο-πολυσυνόλων ενός πολυσυνόλου.
 Το πλέγμα όλων των σχέσεων ισοδυναμίας σε ένα σύνολο.  Η σχέση ισοδυναμίας ~ θεωρείται μικρότερη (ή πιο αδύναμη) από την ≈, αν x~y συνεπάγεται πάντα x≈y.
 Το πλέγμα αυτοπροσαρτώμενων προβολών (γνωστών και ως ορθογώνιων προβολών) μιας άλγεβρας φον Νόιμαν ή W*-άλγεβρας.

 Τοπικά πεπερασμένα ολοκληρωμένα πλέγματα 
Ένα ολοκληρωμένο πλέγμα L είναι τοπικά πεπερασμένο αν το supremum του κάθε άπειρου υποσυνόλου είναι ίσο με 1, ή ισοδύναμα, το σύνολο  είναι πεπερασμένο για οποιοδήποτε . Το πλέγμα (Ν, |) είναι τοπικά πεπερασμένο. Ας σημειωθεί ότι σε αυτό το πλέγμα, το στοιχείο που γενικά συμβολίζεται με "0" είναι στην πραγματικότητα 1 και αντίστροφα.

 Μορφισμοί ολοκληρωμένων πλεγμάτων 
Οι παραδοσιακοί μορφισμοί μεταξύ ολοκληρωμένων πλεγμάτων είναι οι ολοκληρωμένοι ομομορφισμοί (ή πλήρεις μορφισμοί πλεγμάτων. Αυτοί χαρακτηρίζονται ως συναρτήσεις που διατηρούν όλες τις ενώσεις (joins) και τομές (meets). Ρητώς, αυτό σημαίνει ότι μια συνάρτηση            μεταξύ δύο ολοκληρωμένων πλεγμάτων L και M  είναι ένας ολοκληρωμένος ομομορφισμός αν 
  και
 ,
για όλα τα υποσύνολα A του L.Τέτοιες συναρτήσεις είναι μονότονες,  όμως ένας  ολοκληρωμένος ομομορφισμός είναι στην πραγματικότητα μία πολύ συγκεκριμένη κατάσταση. Για τον λόγο αυτό, είναι χρήσιμο να θεωρήσουμε χαλαρότερες έννοιες μορφισμών, που απαιτούνται μόνο για να διατηρήσουμε όλες τις ενώσεις (joins αποτελώντας μια κατηγορία sup) ή όλες τις τομές (meets αποτελώντας μια κατηγορία Inf), που είναι πράγματι διαφορετικές καταστάσεις. Αυτός ο μορφισμός μπορεί να χαρακτηριστεί ως ομομορφισμός ολοκληρωμένου ημιπλέγματος επαφών ή ολοκληρωμένου ημιπλέγματος ενώσεων.

Περαιτέρω, οι μορφισμοί που διατηρούν όλες τις ενώσεις (joins) χαρακτηρίζονται ισοδύναμα ως η χαμηλότερη προσάρτηση (adjoint) μιας μοναδικής σχέσης Galois. Καθένας από αυτούς, καθορίζει μία μοναδική άνω προσάρτηση στην αντίστροφη κατεύθυνση, που διατηρεί όλες τις τομές (meets). Έτσι τελικά, θεωρώντας τα ολοκληρωμένα πλέγματα με μορφισμούς ολοκληρωμένων ημιπλεγμάτων καταλήγουμε στην θεώρηση σχέσων Galois ως μορφισμών. Με αυτό καταλήγουμε ότι κατά βάση οι χρησιμοποιούμενοι μορφισμοί, περιγράφουν μόνο δύο διαφορετικές κατηγορίες ολοκληρωμένων πλεγμάτων: ένα με ολοκληρωμένους ομομορφισμoύς (complete homomorphisms) και ένα με συναρτήσεις τομών (meets) (ανώτερες προσαρτήσεις), δυϊκό προς ένα με συναρτήσεις ενώσεων (joins) (κατώτερες προσαρτήσεις) 

 Ελεύθερη κατασκευή και ολοκλήρωση 

 Ελεύθερα "ολοκληρωμένα ημιπλέγματα" 
Ως συνήθως, ο σχηματισμός  ελεύθερων αντικειμένων εξαρτάται από την επιλεγείσα κατηγορία μορφισμών. Αρχικά ας θεωρήσουμε συναρτήσεις που διατηρούν όλες τις ενώσεις (joins) (π.χ. κάτω προσαρτήσεις σχέσεων Galois) αφού αυτή η περίπτωση είναι απλούστερη από την περίπτωση ολοκληρωμένου ομομορφισμού. Χρησιμοποιώντας την παραπάνω ορολογία, αυτό θα μπορούσε να ονομασθεί ως ένα ελεύθερο ολοκληρωμένο ημιπλέγμα ενώσεων.

Χρησιμοποιώντας τους τυπικούς ορισμούς της καθολικής άλγεβρας, ένα ελεύθερο ολοκληρωμένο πλέγμα και το παραγόμενο σύνολο S  είναι ένα ολοκληρωμένο πλέγμα L μαζί με μία συνάρτηση  i:S→L, έτσι ώστε κάθε συνάρτηση  f από το S προς το σύνολο κάποιου πλέγματος M μπορεί να σχηματιστεί μοναδικά χρησιμοποιώντας έναν μορφισμό  f° από το  L στο M. Διατυπωμένο αλλιώς, για κάθε στοιχείο  s του S βρίσκουμε πως  f(s) = f°(i(s)) και πως f° είναι ο μοναδικός μορφισμός με αυτή την ιδιότητα. Υπάρχει λοιπόν ένος συναρτητής (κατηγορικός τελεστής functor) μεταξύ της κατηγορίας συνόλων και συναρτήσεων προς την κατηγορία των ολοκληρωμένων πλεγμάτων και συναρτήσεων ενώσεων, που είναι η αριστερή διασύνδεση  στον αφαιρετικό τελεστή  των ολοκληρωμένων πλεγμάτων προς τα υποκείμενά τους σύνολα.

Με αυτήν την έννοια, τα ελεύθερα ολοκληρωμένα πλέγματα μπορούν να παραχθούν πολύ εύκολα: το ολοκληρωμένο πλέγμα που παράγεται από κάποιο σύνολο S είναι το δυναμοσύνολο 2S, π.χ. το σύνολο όλων των υποσυνόλων του S, διατεταγμένων με ένταξη. Το ζητούμενο στοιχείο  i:S→2S αντιστοιχεί κάθε στοιχείο  s του S προς το μοναδιαίο σύνολο {s} (singleton). Με δεδομένη μια αντιστοίχιση  f  όπως παραπάνω, η συνάρτηση f°:2S→M  ορίζεται από
 f°(X) = {f(s)|s in X}.
Είναι φανερό ότι η  f° μετατρέπει ενώσεις  σε suprema διατηρώντας έτσι τις ενώσεις-joins.

Στην πράξη, μπορούμε απλώς να αντικατοπτρίσουμε (δυϊσουμε) ότι έχει ήδη λεχθεί παραπάνω: ελεύθερα αντικείμενα δίδονται ως δυναμοσύνολα διατεταγμένα με αντίστροφη ένταξη, έτσι ώστε η συνάρτηση f°  να ορίζεται με χρήση των τομών (meet) αντί των ενώσεων (joins). Το αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας  μπορεί να ονομασθεί ως ελεύθερο ολοκληρωμένο ημιπλέγμα επαφών. 

 Ελεύθερα ολοκληρωμένα πλέγματα 
Η κατάσταση στην οποία έχουμε ολοκληρωμένα πλέγματα  με ολοκληρωμένο ομομοφισμό, προφανώς είναι πιο περίπλοκη. Στην πραγματικότητα, ελεύθερα ολοκληρωμένα πλέγματα γενικώς δεν υπάρχουν. Φυσικά, μπορεί κανείς να διατυπώσει ένα λεκτικό πρόβλημα παρόμοιο με εκείνο των  πλεγμάτων,  αλλά η συλλογή όλων των πιθανών λέξεων (ή "όρων") σε αυτήν την περίπτωση θα ήταν μια κανονική κλάση και όχι σύνολο, γιατί οι τυχαίες τομές  (meets) και ενώσεις (joins) περιλαμβάνουν λειτουργίες συνόλων οποιασδήποτε πληθικότητας. 

Η παραπάνω ιδιότητα αυτή καθ'εαυτή δεν αποτελεί πρόβλημα: όπως φάνηκε προηγουμένως από την  περίπτωση του ελεύθερου ολοκληρωμένου ημιπλέγματος, μπορεί κάλλιστα η λύση του λεκτικού προβλήματος να μας αφήσει ένα μόνον σύνολο ισοδύναμων κλάσεων.
Με άλλα λόγια, είναι πιθανό ότι οι κανονικές κλάσεις της κλάσεως όλων των όρων να έχουν την ίδια σημασία και επομένως να προσδιορίζονται στην ελεύθερη κατασκευή. Ωστόσο, οι κλάσεις ισοδυναμίας για το λεκτικό πρόβλημα  του ολοκληρωμένου  πλέγματος είναι "πολύ μικρές", έτσι ώστε το ελεύθερο ολοκληρωμένο πλέγμα θα εξακολουθούσε να είναι μια κανονική κλάση, πράγμα που δεν επιτρέπεται.

Μπορεί κάποιος ακόμη να ελπίζει πως υπάρχουν κάποιες χρήσιμες περιπτώσεις όπου το σύνολο των γεννητριών είναι αρκούντως μικρό ώστε να υπάρξει ένα ελεύθερο ολοκληρωμένο πλέγμα.  Δυστυχώς, ο περιορισμός μεγέθους είναι πολύ χαμηλός και έχουμε το ακόλουθο θεώρημα:
 Το ελεύθερο ολοκληρωμένο πλέγμα τριών γεννητριών δεν υπάρχει. Είναι μια κανονική κλάση.
Μία απόδειξη αυτού του θεωρήματος δίνεται από τον Johnstone;P. T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982; (see paragraph 4.7) Η αρχική διατύπωση αποδίδεται στον Alfred W. Χέιλς;A. W. Hales, On the non-existence of free complete Boolean algebras, Fundamenta Mathematicae 54: pp.45-66. βλ. επίσης το άρθρο για ελεύθερα πλέγματα.

 Πληρωση 
Εάν ένα ολοκληρωμένο (πλήρες) πλέγμα δημιουργείται ελεύθερα από ένα δεδομένο μερικώς διατεταγμένο σύνολο (partially ordered set ή αλλιώς poset) που χρησιμοποιείται αντί του συνόλου των γεννητριών που αναφέρθηκαν προηγουμένως, τότε αναφερόμαστε στην πληρότητα του poset. Ο ορισμός του αποτελέσματος αυτής της λειτουργίας είναι παρόμοιος προς τον προηγούμενο ορισμό των ελεύθερων αντικειμένων, όπου τα σύνολα και οι συναρτήσεις αντικαθίστανται από τα posets και τις μονότονες απεικονίσεις.
Ομοίως, κάποιος μπορεί να περιγράψει την διαδικασία πλήρωσης ως ένα κατηγορικό τελεστή (functor) από την κατηγορία των posets με μονότονες συναρτήσεις προς κάποια κατηγορία πλήρων πλεγμάτων  με κατάλληλους μορφισμούς που είναι  αριστερές   στην κατηγορικό τελεστή στην αντίστροφη κατεύθυνση.

Όσο θεωρούμε τις συναρτήσεις τομών ή ενώσεων ως μορφισμούς, αυτό μπορεί εύκολα να επιτευχθεί μέσω της λεγόμενης πλήρωσης  Dedekind–MacNeille. Για αυτήν τη διαδικασία, τα στοιχεία του poset απεικονίζονται σε τομές Dedekind, οι οποίες μπορούν να απεικονιστούν με posets ή αυθαίρετα ολοκληρωμένα πλέγματα με τον ίδιο τρόπο όπως έγινε ήδη με τα σύνολα και τα ελεύθερα ολοκληρωμένα ημιπλέγματα.

Μετά το συμπέρασμα ότι τα ελεύθερα ολοκληρωμένα πλέγματα δεν υπάρχουν, συμπεραίνουμε πως μία ελεύθερη κατασκευή από poset δεν είναι δυνατή. Αυτό φαίνεται εύκολα αν θεωρήσουμε posets με διακριτή διάταξη, όπου κάθε στοιχείο συνδέεται μόνον με τον εαυτό του. Αυτά είναι ακριβώς τα ελεύθερα posets επί ενός υποκείμενου συνόλου. Αν υπήρχε μία ελεύθερη κατασκευή ολοκληρωμένου πλέγματος από posets, τότε και οι δύο κατασκευές θα ήταν δυνατόν να συντεθούν, πράγμα που είναι αντίθετο με το αρνητικό αποτέλεσμα πίό πάνω. 

 Αναπαράσταση 
Υπάρχουν διάφοροι άλλοι μαθηματικοί τρόποι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν τα ολοκληρωμένα πλέγματα. Ένας από αυτούς είναι η πλήρωση Dedekind-MacNeille.  Όταν αυτή η πλήρωση  εφαρμόζεται σε ένα poset που είναι ήδη ένα πλήρες  πλέγμα, τότε το αποτέλεσμα είναι ένα πλήρες πλέγμα από σύνολα που είναι ισομορφικό με το αρχικό. Έτσι συμπεραίνουμε αμέσως ότι κάθε πλήρες πλέγμα είναι ισομορφικό με ένα πλήρες πλέγμα συνόλων.

Μια άλλη αναπαράσταση λαμβάνεται σημειώνοντας ότι η εικόνα  οποιουδήποτε τελεστή κλειστότητας σε ένα πλήρες πλέγμα είναι και πάλι ένα πλήρες πλέγμα (που ονομάζεται σύστημα κλειστότητας). Επειδή η ταυτοτική συνάρτηση είναι επίσης ένας τελεστής κλειστότητας, αυτό σημαίνει ότι τα πλήρη πλέγματα είναι ακριβώς οι εικόνες των τελεστών πληρότητας σε πλήρη πλέγματα. Τώρα μπορεί να εφαρμοσθεί η πλήρωση Ντέντεκιντ-MacNeille σε έναν τελεστή κλειστότητας: κάθε σύνολο στοιχείων απεικονίζεται στη μικρότερη κάτω (ή άνω) τομή Ντέντεκιντ που περιέχει αυτό το σύνολο. Μιά τέτοια ελάχιστη τομή πράγματι υπάρχει και έτσι έχουμε έναν τελεστή κλειστότητας  στο δυναμοσύνολο πλέγμα όλων των στοιχείων. Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι κάθε πλήρες  πλέγμα είναι ισομορφικό προς την εικόνα του ενός τελεστή κλειστότητας σε ένα δυναμοσύνολο πλέγμα.

Αυτό με τη σειρά του χρησιμοποιείται στην ανάλυση δεδομένων, όπου χρησιμοποιούνται δυαδικές σχέσεις (πίνακες σχέσεων που ονομάζονται τυπικά πλαίσια) για να αναπαραστήσουν  τέτοιους τελεστές κλειστότητας.

 Περισσότερα αποτελέσματα 
Εκτός από την προηγούμενα αποτελέσματα αναπαραστάσεων, υπάρχουν και κάποιες άλλες θεωρήσεις που μπορούν να γίνουν για τα ολοκληρωμένα πλέγματα, ή που λαμβάνουν μια ιδιαίτερα απλή μορφή. Ένα παράδειγμα είναι το Knaster–Tarski θεώρημα, που θεωρεί ότι το σύνολο των σταθερών σημείων  μιας μονότονης συνάρτησης επί ενός ολοκληρωμένου πλέγματος είναι και πάλι ένα ολοκληρωμένο πλέγμα. Φαίνεται εύκολα ότι αυτή είναι  μια γενίκευση της παραπάνω παρατήρησης σχετικά με τις εικόνες των τελεστών κλειστότητας, αφού  αυτά είναι ακριβώς τα σύνολα των σταθερών σημείων τέτοιων τελεστών.

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία διάταξης
 Θεωρία κατηγοριών
 Άλγεβρα Μπουλ
 Σχέση ισοδυναμίας
 Θεωρία δακτυλίων

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Θεωρία διάταξης
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα