Συμμετρία στα μαθηματικά

Συμμετρία εμφανίζεται όχι μόνο στη γεωμετρία αλλά και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών. Η συμμετρία είναι αναλλοίωτη, δηλαδή δεν αλλάζει κάτω από ένα σύνολο μετασχηματισμών.

Λαμβάνοντας υπόψη ένα δομημένο αντικείμενο Χ οποιουδήποτε είδους, η συμμετρία είναι μια χαρτογράφηση του αντικειμένου, η οποία διατηρεί τη δομή του. Αυτό συμβαίνει σε πολλές περιπτώσεις. Για παράδειγμα, εάν το Χ είναι ένα σύνολο χωρίς πρόσθετη δομή, μία συμμετρία είναι ένας αμφιμονοσήμαντος χάρτης από το σύνολο στον εαυτό του που οδηγεί στη δημιουργία αντιμεταθετικών ομάδων. Αν, τώρα, το αντικείμενο Χ είναι ένα σύνολο σημείων του επιπέδου με τη μετρική του δομή ή με οποιοδήποτε άλλο μετρικό χώρο, η συμμετρία είναι μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία του συνόλου Χ στον εαυτό του, η οποία διατηρεί την απόσταση ανάμεσα σε κάθε ζεύγος σημείων (ισομετρία).

Γενικά,κάθε είδους δομή στα μαθηματικά θα έχει το δικό του είδος συμμετρίας,πολλές από τις οποίες παρατίθενται στα δοσμένα σημεία που αναφέρθηκαν παραπάνω.

 Συμμετρία στη γεωμετρία 
Κυρίως άρθρο: Συμμετρία

Τα είδη συμμετρίας της βασικής γεωμετρίας (όπως η κατοπτρική και η περιστροφική συμμετρία) περιγράφονται πληρέστερα στο κύριο άρθρο για τη συμμετρία.

 Συμμετρία στο λογισμό 

 Άρτιες και περιττές συναρτήσεις 
Κυρίως άρθρα: Άρτιες και περιττές συναρτήσεις.
μικρογραφία|f(x)=x2 είναι ένα παράδειγμα μιας άρτιας συνάρτησης.

 Άρτιες συναρτήσεις 
Έστω f(x) μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής. Τότε η f είναι άρτια αν η ακόλουθη εξίσωση ισχύει για όλα τα x και -x στο πεδίο ορισμού της f:

.

Γεωμετρικά, το γράφημα  μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρικό σε σχέση με τον άξονα y, που σημαίνει ότι η γραφική παράστασή της παραμένει αμετάβλητη μετά από ανάκλαση στον άξονα y.

Παραδείγματα άρτιων συναρτήσεων: x,x2 ,x4,cos(x) και cosh(x).

 Περιττές συναρτήσεις 
Έστω ξανά f(x) μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής. Τότε η f είναι περιττή αν η ακόλουθη εξίσωση ισχύει για για όλα τα x και -x στο πεδίο ορισμού της f:

,

ή
μικρογραφία|f(x)=x3 είναι ένα παράδειγμα περιττής συνάρτησης.
.

Γεωμετρικά, η γραφική παράσταση  μιας περιττής συνάρτησης έχει περιστροφική συμμετρία σε σχέση με την αρχή των αξόνων, που σημαίνει ότι το γράφημά της παραμένει αμετάβλητο μετά από περιστροφή 180 μοιρών γύρω από την αρχή των αξόνων.

Παραδείγματα περιττών συναρτήσεων: x, x3, sin(x), sinh(x) και erf(x).

 Ολοκληρώνοντας 
Το ολοκλήρωμα μιας περιττής συνάρτησης από το -Α έως το +Α είναι μηδέν (όπου το Α είναι πεπερασμένο και η συνάρτηση δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες μεταξύ -Α και Α).

Το ολοκλήρωμα μιας άρτιας συνάρτησης από το -Α στο +Α είναι διπλάσιο του ολοκληρώματος από το 0 έως το +Α (όπου το Α είναι πεπερασμένο και η συνάρτηση δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες μεταξύ -Α και Α). Αυτό, επίσης, ισχύει και όταν το Α είναι άπειρο αλλά μόνο εάν το ολοκλήρωμα συγκλίνει).

 Σειρές 
 Η σειρά Maclaurin μιας άρτιας συνάρτησης περιλαμβάνει μόνο άρτιες δυνάμεις.
 Η σειρά Μaclaurin μιας περιττής συνάρτησης περιλαμβάνει μόνο περιττές δυνάμεις.
 Η σειρά Fourier μιας περιοδικής, άρτιας συνάρτησης περιλαμβάνει μόνο όρους με συνημίτονα. 
 Η σειρά Fourier μιας περιοδικής, περιττής συνάρτησης περιλαμβάνει μόνο όρους με ημίτονα.

 Συμμετρία στην γραμμική άλγεβρα 

 Συμμετρία σε πίνακες 

Στην γραμμική άλγεβρα, συμμετρικός πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας που είναι ίσος με τον ανάστροφο του. Δηλαδή ένας πίνακας Α είναι συμμετρικός αν ισχύει
,
όπου ΑΤ ο ανάστροφος πίνακας του Α. Επειδή ο ορισμός της ισότητας πινάκων απαιτεί ισότητα των διαστάσεων τους, μόνο οι τετραγωνικοί πίνακες μπορούν να είναι συμμετρικοί.

Επιπλέον, τα στοιχεία ενός συμμετρικού πίνακα είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο. Οπότε, αν τα στοιχεία ενός πίνακα είναι γραμμένα ως Α=(aij), τότε θα πρέπει να ισχύει aij = aji , για κάθε i  και j. Για παράδειγμα, ο παρακάτω 3x3 πίνακας είναι συμμετρικός:

Επίσης, αν όλα τα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα, εκτός από αυτά της διαγωνίου του, είναι μηδέν (δηλαδή ο πίνακας είναι διαγώνιος, τότε ο πίνακας αυτός είναι συμμετρικός.

Αντιθέτως, κάθε στοιχείο της διαγωνίου ενός αντι-συμμετρικού πίνακα πρέπει να είναι μηδέν, αφού τα αντιδιαμετρικά στοιχεία είναι ήδη αντίθετα.

Για παράδειγμα, ο παρακάτω πίνακας είναι αντισυμμετρικός:

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας πραγματικός συμμετρικός πίνακας αντιπροσωπεύει έναν αυτοσυζυγή τελεστή με πραγματικό εσωτερικό γινόμενο. Το αντίστοιχο αντικείμενο για ένα μιγαδικό εσωτερικό γινόμενο είναι ένας Ερμιτιανός πίνακας με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς, που είναι ισοδύναμος με τον αναστροφοσυζυγές του.

Επομένως, στην γραμμική άλγεβρα εκτός των μιγαδικών αριθμών, θεωρείται συχνά ότι ένας συμμετρικός πίνακας έχει πραγματικά στοιχεία.

Οι συμμετρικοί πίνακες, ωστόσο, εμφανίζονται σε μια μεγάλη ποικιλία εφαρμογών και ιδιαίτερα στην τυπική αριθμητική γραμμική άλγεβρα λογισμικών.

 Συμμετρία στην αφηρημένη άλγεβρα 

 Συμμετρικές ομάδες 
Κυρίως άρθρο: Συμμετρική ομάδα

Η συμμετρική ομάδα Sν πάνω σε ένα πεπερασμένο σύνολο n στοιχείων είναι μία ομάδα, τα στοιχεία της οποίας είναι όλες οι μεταθέσεις του ν, και η λειτουργικότητα της ομάδας είναι η σύνθεση όλων των μεταθέσεων, οι οποίες είναι αμφιμονοσήμαντες συναρτήσεις ενός συνόλου ως προς τον εαυτό του.Jacobson (2009), p. 31. Αφού υπάρχουν ν! (ν παραγοντικό) πιθανές μεταθέσεις ενός συνόλου ν στοιχείων, έπεται ότι ο αριθμός των στοιχείων της συμμετρικής ομάδας Sν  είναι ν!.

 Συμμετρικά πολυώνυμα 
Κυρίως άρθρο: Συμμετρικά πολυώνυμα

Συμμετρικό πολύωνυμο είναι ένα πολυώνυμο P(X1, X2, ..., Xν) με ν μεταβλητές, τέτοιο ώστε αν οποιαδήποτε από τις μεταβλητές του μετακινηθεί προκύπτει το ίδιο πολυώνυμο.  Συμπληρωματικά, το P είναι ένα συμμετρικό πολύωνυμο αν για οποιαδήποτε μετάθεση σ των δεικτών 1, 2, ..., ν ισχύει P(Xσ(1), Xσ(2), ..., Xσ(ν)) = P(X1, X2, ..., Xν).

Τα συμμετρικά πολυώνυμα είναι φυσικό να εγείρουν την μελέτη γύρω από την σχέση που συνδέει τις ρίζες ενός πολυωνύμου με μία μεταβλητή και τους συντελεστές του, καθώς οι συντελεστές μπορούν να δοθούν ως πολυωνυμικές εκφράσεις των ριζών. Επιπλέον, όλες οι ρίζες παίζουν σημαντικό ρόλο στην σύνθεση. Από αυτήν την οπτική γωνία, τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα είναι τα θεμελιώδη συμμετρικά πολυώνυμα. Ένα θεώρημα αναφέρει ότι οποιοδήποτε συμμετρικό πολυώνυμο μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των στοιχειωδών συμμετρικών πολυωνύμων, κάτι το οποίο υποδηλώνει ότι κάθε συμμετρικά πολυωνυμική έκφραση των ριζών ενός μονικού πολυωνύμου μπορεί να δωθεί εναλλακτικά σαν μία πολυωνιμική έκφραση των συντελεστών του πολυωνύμου.

 Παραδείγματα 
Συμμετρικά πολυώνυμα με δύο μεταβλητές Χ1, Χ2:


Συμμετρικά πολυώνυμα τριών μεταβλητών Χ1, Χ2, Χ3:


 Συμμετρικοί τανυστές 
Κυρίως άρθρο: Συμμετρικός Τανυστής

Στα μαθηματικά, ένας συμμετρικός τανυστής είναι ένας τανυστής, ο οποίος μένει αμετάβλητος κάτω από μία μετάθεση των διανυσμάτων του:

για κάθε μετάθεση σ των συμβόλων {1, 2, ..n}. Εναλλακτικά, ένας n-οστός συμμετρικός τανυστής με μορφή συντεταγμένων ως μία ποσότητα με n δείκτες ικανοποιεί την παρακάτω σχέση:

Ο χώρος των συμμετρικών τανυστών βαθμίδας n πάνω σε έναν διανυσματικό χώρο είναι φυσικά ισόμορφος με τα ομογενή πολυώνυμα βαθμού n πάνω στο V.

Πάνω από τα σύνολα με χαρακτηριστική μηδέν, ο διαβαθμισμένος διανυσματικός χώρος όλων των συμμετρικών τανυστών μπορούν φυσικά να ταυτίζονται με την συμμετρική άλγεβρα πάνω στο V. Μια σχετική έννοια είναι αυτή του αντισυμμετρικού τανυστή ή του εναλλασσόμενου τανυστή. Οι συμμετρικοί τανυστές χρησιμοποιούνται ευρέως στην μηχανική, στην φυσική και τα μαθηματικά.

 Θεωρία Γκαλουά 
Κυρίως θέμα: Θεωρία Γκαλουά

Σε ένα πολυώνυμο μπορεί μερικές από τις ρίζες να είναι συνδεδεμένες με ποικίλες αλγεβρικές εξισώσεις. Για παράδειγμα, μπορεί για δύο από τις ρίζες, έστω Α και Β, να ισχύει Α2+5Β3 = 7. Η κύρια ιδέα της θεωρίας Γκαλουά είναι να εξετάσει εκείνες τις μεταθέσεις (αναδιατάξεις) των ριζών που έχουν την ιδιότητα ότι κάθε αλγεβρική εξίσωση ικανοποιούμενη από κάποιες ρίζες, ικανοποιείται ακόμα και μετά από μετάθεση των ριζών αυτών. Ωστόσο, μια σημαντική προϋπόθεση είναι ότι περιοριζόμαστε σε αλγεβρικές εξισώσεις των οποίων οι συντελεστές είναι ρητοί αριθμοί. Έτσι, η θεωρία Γκαλουά μελετά τις συμμετρίες που συνδέονται με τις αλγεβρικές εξισώσεις.

 Αυτομορφισμός αλγεβρικών αντικειμένων 
Κυρίως άρθρο: Αυτομορφισμός

Στην αφηρημένη άλγεβρα, αυτομορφισμός είναι ένας ισομορφισμός από μαθηματικά αντικείμενα στον εαυτό τους. Είναι με μία έννοια, μία συμμετρία αντικειμένων και ένας τρόπος χαρτογράφησης των αντικειμένων αυτών ως προς τον εαυτό τους ενώ διατηρεί όλη τη δομή του. Το σύνολο όλων των αυτομορφισμών ενός αντικειμένου μιας ομάδας, καλείται ομάδα αυτομορφισμών. Είναι δηλαδή η συμμετρική ομάδα των αντικειμένων.

 Παραδείγματα 
 Στην θεωρία ομάδων, μία αυθαίρετη μετάθεση των στοιχείων μίας ομάδας Χ είναι ένας αυτομορφισμός. Επιπλέον, η ομάδα αυτομορφισμών Χ καλείται συμμετρική ομάδα του Χ.
 Στην στοιχειώδη αριθμητική, η ομάδα των ακεραίων Ζ, που θεωρείται ως μία ομάδα υπό προσθήκη, έχει έναν μοναδικό τετριμμένο αυτομορφισμό: την άρνηση. Ωστόσο, θεωρούμενη ως ένας δακτύλιος, έχει μόνο τον τετριμμένο αυτομορφισμό. Γενικά, η άρνηση είναι ένας αυτομορφισμός για κάθε αβελιανή ομάδα, αλλά όχι για έναν δακτύλιο ή ένα σύνολο.
 Μία ομάδα αυτομορφισμών είναι μία ομάδα ισομορφισμών από μία ομάδα στον εαυτό της. Ανεπίσημα, είναι μία μετάθεση των στοιχείων της ομάδας κατά την οποία η δομή παραμένει αναλλοίωτη. Για κάθε ομάδα G υπάρχει μία φυσική ομάδα ομομορφισμού G → Aut(G) ,της οποίας η εικόνα είναι μία ομάδα Inn(G) εσωτερικού αυτομορφισμού και ο πυρήνας της είναι το κέντρο της G. Έτσι, αν η G έχει τετριμμένο κέντρο μπορεί να ενσωματωθεί μέσα στην δική της ομάδα αυτομορφισμου.
 Στην γραμμική άλγεβρα, ο ενδομορφισμός ενός διανυσματικού χώρου V είναι μία γραμμική συνάρτηση V → V. Ένας αυτομορφισμός είναι μία αντιστρέψιμη γραμμική συνάρτηση πάνω στο V. Όταν ο διανυσματικός χώρος είναι πεπερασμένης διάστασης, η ομάδα αυτομορφισμών του V είναι η ίδια με την γενική γραμμική ομάδα, GL(V).
 Ένα σύνολο αυτομορφισμού είναι ένας αμφιμονοσήμαντος δακτύλιος ομομορφισμού από ένα σύνολο στον εαυτό του. Στην περίπτωση των ρητών αριθμών (Q) και των παραγματικών αριθμών (R) δεν υπάρχουν μη τετριμμένα σύνολα αυτομορφισμού. Μερικά υποσύνολα του R έχουν μη τετριμμένα σύνολα αυτομορφισμών, τα οποία ωστόσο δεν επεκτείνονται σε όλο το R (επειδή δεν μπορούν να διατηρήσουν την ιδιοκτησία των αριθμών που έχουν τετραγωνική ρίζα στο R). Στην περίπτωση των μιγαδικών αριθμών (C) υπάρχει ένας μοναδικός μη τετριμμένος αυτομορφισμός που στέλνει το R στο R: σύζευξη μιγαδικών, αλλά άπειροι (μη μετρήσιμοι) "άγριοι" αυτομορφισμοί (υποθέτοντας το αξίωμα της επιλογής). Τα σύνολα αυτομορφισμών είναι σημαντικά στην θεωρία των επεκτάσεων των συνόλων, συγκεκριμένα στις επεκτάσεις Γκαλουά. Στην περίπτωση μιας Γκαλουά επέκτασης L/K, η υποομάδα όλων των αυτομορφισμών από το L ονομάζεται ομάδα Γκαλουά της επέκτασης.

 Συμμετρία στη θεωρία αναπαράστασης 

 Συμμετρία στην κβαντική μηχανική: μποζόνια και φερμιόνια 
Στην κβαντική μηχανική, τα μποζόνια έχουν εκπροσώπους, οι οποίοι είναι συμμετρικοί κάτω από αντιμεταθετικούς φορείς και τα φερμιόνια έχουν αντισυμμετρικούς αντιπροσώπους.

Αυτό συνεπάγεται την απαγορευτική αρχή του Pauli για τα φερμιόνια. Στην πραγματικότητα, η αρχή του Pauli με μια κυματοσυνάρτηση πολλών σωματιδίων είναι ισοδύναμη με την απαίτηση μια κυματοσυνάρτηση να είναι αντισυμμετρική. Μια αντισυμμετρική κατάσταση δύο σωματιδίων αναπαρίσταται ως ένα άθροισμα καταστάσεων, στο οποίο ένα σωματίδιο είναι στην κατάσταση  και το άλλο στην κατάσταση :

και αντισυμμετρία υπό ανταλλαγή σημαίνει ότι A(x,y)=-A(y,x). Αυτό σημαίνει ότι Α(x,x)=0, που είναι η απαγορευτική του Pauli. Ισχύει σε κάθε βάση, δεδομένου ότι οι ενιαίες αλλαγές βάσεων διατηρούν την αντισυμμετρικότητα των αντισυμμετρικών πινάκων, παρ'όλο που με την αυστηρή έννοια, η ποσότητα A(x,y) δεν είναι πίνακας αλλά ένας αντισυμμετρικός τανυστής δεύτερης τάξης.

Αντιστρόφως, αν οι διαγώνιες ποσότητες Α(x,x) είναι μηδέν σε κάθε βάση, τότε η συνιστώσα κυματοσυνάρτηση:

είναι απαραίτητα αντισυμμετρική. Για την απόδειξη, θεωρείστε το στοιχείο του πίνακα:

Αυτό είναι μηδέν γιατί τα δύο σωματίδια έχουν μηδενική πιθανότητα να βρίσκονται και τα δύο στην κατάσταση υπέρθεσης . Αλλά αυτό είναι ίσο με:

Ο πρώτος και ο τελευταίος όρος από δεξιά είναι διαγώνια στοιχεία άρα είναι μηδέν και ολόκληρο το άθροισμα ισούται με μηδέν. Οπότε τα στοιχεία του πίνακα της κυματοσυνάρτησης ικανοποιούν την σχέση:

ή

.

 Συμμετρία στη θεωρία συνόλων 

 Συμμετρική σχέση 
Κυρίως άρθρο: Συμμετρική σχέση

Καλούμε μία σχέση συμμετρική αν κάθε φορά η σχέση που ανέρχεται από το Α στο Β, ανέρχεται και από το Β στο Α. Να σημειωθεί ότι η συμμετρία δεν είναι το ακριβώς αντίθετο της αντισυμμετρίας.

 Συμμετρία στους μετρικούς χώρους 

 Ισομετρίες του χώρου 
Κυρίως άρθρο: Ισομετρία

Ισομετρία είναι ένας χάρτης που διατηρεί την απόσταση μεταξύ μετρικών χώρων. Δοθέντος ενός μετρικού χώρου ή ενός συνόλου και συστήματος για την ανάθεση αποστάσεων μεταξύ των στοιχείων του συνόλου, μια ισομετρία είναι ένας μετασχηματισμός που απεικονίζει τα στοιχεία σε άλλο μετρικό χώρο έτσι ώστε η απόσταση μεταξύ των στοιχείων στο νέο μετρικό χώρο να είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των στοιχείων στον αρχικό μετρικό χώρο. Σε δισδιάστατο ή τρισδιάστατο χώρο, δύο γεωμετρικά σχήματα είναι ίσα αν σχετίζονται με μια ισομετρία: σχετίζονται είτε με άκαμπτη κίνηση είτε με σύνθεση μιας άκαμπτης κίνησης και μιας αντανάκλασης. Στην πρώτη περίπτωση, είναι ίσα αν σχετίζονται με μια άμεση ισομετρία.

Οι ισομετρίες χρησιμοποιήθηκαν για την κατασκευή ενός ενοποιημένου ορισμού, για τη συμμετρία στη γεωμετρία και για συναρτήσεις, κατανομές πιθανοτήτων, πίνακες, χορδές, γραφήματα, κ.τ.λ.

 Συμμετρίες των διαφορικών εξισώσεων 
Η συμμετρία μιας διαφορικής εξίσωσης είναι ένας μετασχηματισμός που αφήνει αναλλοίωτη τη διαφορική εξίσωση. Η γνώση αυτών των συμμετριών μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση της διαφορικής εξίσωσης.

Μια κατοπτρική συμμετρία ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων είναι μία συνεχής συμμετρία του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων. Η γνώση μιας κατοπτρικής συμμετρίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην απλούστευση μιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης μέσω μείωσης της τάξης.

Για τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, η γνώση του κατάλληλου συνόλου συμμετριών Lie επιτρέπει τον υπολογισμό μιας σειράς πρώτων ολοκληρωμάτων, παρέχοντας μια ολοκληρωμένη λύση χωρίς ολοκλήρωση.

Συμμετρίες μπορούν να βρεθούν με την επίλυση ενός σχετικού συνόλου συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Η επίλυση αυτών των εξισώσεων είναι συχνά πολύ πιο απλή από την επίλυση των αρχικών διαφορικών εξισώσεων.

 Συμμετρία στις πιθανότητες 
Στην περίπτωση ενός πεπερασμένου αριθμού πιθανών αποτελεσμάτων, η συμμετρία σε σχέση με τις μεταθέσεις συνεπάγεται μια διακριτή ομοιόμορφη κατανομή.

Στην περίπτωση ενός πραγματικού διαστήματος πιθανών αποτελεσμάτων, η συμμετρία σε σχέση με την εναλλαγή των υποδιαστημάτων ίσου μήκους αντιστοιχεί σε μία συνεχής ομοιόμορφη κατανομή.

Σε άλλες περιπτώσεις, όπως το να διαλέχθεί τυχαία ένας ακέραιος ή ένας πραγματικός αριθμός, δεν υπάρχουν καθόλου κατανομές πιθανότητας συμμετρικές σε σχέση με τις μεταθέσεις ή την ανταλλαγή ίσου μήκους υποδιαστημάτων. Άλλες λογικές συμμετρίες δεν ξεχωρίζουν μία μόνο συγκεκριμένη κατανομή, ή με άλλα λόγια, δεν υπάρχει μία μοναδική κατανομή πιθανότητας που να παρέχει τη μέγιστη συμμετρία.

Ωστόσο, υπάρχει ένα είδος ισομμετρίας σε μία διάσταση που μπορεί να αφήσει την κατανομή πιθανότητας αμετάβλητη. Αυτό είναι η αντανάκλαση ενός σημείου, για παράδειγμα το μηδέν.

Μία πιθανή συμμετρία της τυχαιότητας με θετικά αποτελέσματα είναι ότι η πρώτη εφαρμόζεται σε λογαρίθμους, δηλαδή τα αποτελέσματα της έχουν την ίδια κατανομή. Ωστόσο, η συμμετρία αυτή δεν ξεχωρίζει καμία συγκεκριμένη κατανομή.

Για ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου ή του χώρου, ο καθένας μπορεί να επιλέξει από που, και να εξετάσει μια κατανομή πιθανότητας κυκλικής ή σφαιρικής συμμετρίας, αντίστοιχα.

 Παραπομπές 

 Βιβλιογραφία 


 Marcus du Sautoy, Finding Moonshine: a Mathematician's Journey through Symmetry, Fourth Estate, 2009

Κατηγορία:Συμμετρία