Καταχρηστικό κανονικό πολύγωνο

Στη γεωμετρία, ένα καταχρηστικό κανονικό πολύγωνο είναι το κανονικό πολύγωνο που έχει λιγότερες από τρεις πλευρές (ακμές) και λιγότερες από τρεις κορυφές. Ένα καταχρηστικό κανονικό πολύγωνο είναι εκφυλισμένο σε ένα Ευκλείδειο επίπεδο, αλλά μπορεί να κατασκευαστεί πάνω σε μια σφαίρα. Ένα δίγωνο δεν είναι εκφυλισμένο, όταν έχει κατασκευαστεί μεταξύ δύο αντιπόδων σημείων σε έναν κύκλο, ή ως σελήνη σε μια σφαίρα.Coxeter, Harold Scott MacDonald (1948). Regular polytopes, Chapter 1, Polygons and Polyhedra, p.4 digonCoxeter, Harold Scott MacDonald (1948). Regular polytopes, Chapter 1, Polygons and Polyhedra, p.12 digon or lunes, pp.66-67 improper tessellations for p=2.

 Μονόγωνο 
Μονόγωνο250pxΤύποςΚανονικό πολύγωνοΠλευρές και κορυφές1Schläfli{1}  ή  h{2}Coxeter-Dynkin  ή  ΣυμμετρίαΔιεδρική D1, [ ], (*•)Διπλό πολύγωνοτο ίδιο
Στη γεωμετρία ένα μονόγωνο, γνωστό και ως 1-γωνο ή μονόπλευρο, είναι ένας εκφυλισμένος τύπος πολυγώνου με μία πλευρά (ακμή) και μία κορυφή. Επισημαίνεται με το σύμβολο Schläfli {1}Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969). Introduction to geometry (2η έκδοση), sec 21.3 Regular maps, p.386-388 και μπορεί να κατασκευαστεί ως ένα εναλλακτικό δίγωνο, h{2}.

 Ευκλείδεια γεωμετρία 
Στην Ευκλείδεια γεωμετρία  ένα μονόγωνο με ευθείες πλευρές είναι αδύνατον να κατασκευαστεί, διότι τα δύο άκρα του πρέπει να συμπίπτουν, σε αντίθεση με οποιοδήποτε άλλο Ευκλείδειο ευθύγραμμο τμήμα. Για το λόγο αυτό, το μονόγωνο είναι καταχρηστικό πολύγωνο στην Ευκλείδεια γεωμετρία.

Σε έναν κύκλο, το μονόγωνο μπορεί να κατασκευαστεί ως μία κορυφή και μία ακμή 360° τόξο με δύο άκρα που μοιράζονται την ίδια κορυφή.

 Σφαιρική γεωμετρία 
Σε μια σφαίρα το μονόγωνο μπορεί να κατασκευαστεί ως μία κορυφή σε έναν μεγάλο κύκλο (ισημερινός). Αυτό αποτελεί ένα δίεδρο, {1,2}, με δύο ημισφαιρικές μονογωνικές έδρες, οι οποίες μοιράζονται μία ακμή 360° και μία κορυφή. Το διπλό του είναι ένα οσόεδρο, {2,1}, το οποίο έχει δύο αντιπόδες κορυφές στους πόλους, μία σελήνη 360° έδρα, και μία ακμή (μεσημβρινός) μεταξύ των δύο κορυφών. Το αποκεκομμένο μονόγωνο, t{1}, είναι ένα δίγωνο, {2}.

160pxΔίεδρο, {1,2}160pxΟσόεδρο, {2,1}

 Δίγωνο 
Δίγωνο250pxΤύποςΚανονικό πολύγωνοΠλευρές και κορυφές2Schläfli{2}Coxeter-DynkinΣυμμετρίαΔιεδρική D2, [2], (*2•)Διπλό πολύγωνοτο ίδιο
Στη γεωμετρία, ένα δίγωνο, γνωστό και ως 2-γωνο ή δίπλευρο, είναι ένας τύπος πολυγώνου με δύο πλευρές (ακμές) και δύο κορυφές. Επισημαίνεται με το σύμβολο Schläfli {2}. Η κατασκευή του είναι εκφυλισμένη σε ένα Ευκλείδειο επίπεδο, αλλά το δίγωνο μπορεί να κατασκευαστεί σε μια σφαίρα ως ένα ζεύγος τόξων 180 μοιρών που συνδέουν δύο αντιπόδα σημεία.

 Διγωνα 
Προκειτε για ένα σχημα που θυμίζει τετράγωνο αλλά δεν είναι καθώς λείπει μια πλευρά. Αποτελείτε από δυο ορθές γωνιές. Το εμβαδόν του είναι άπειρο καθώς το εμβαδόν τους είναι άπειρο. Εφευρεθήκαν από τον διάσημο μαθηματικό φιλόσοφο Οδυσσέας Τς. όπου ξόδεψε μεγάλο μέρος της ζωής του στην τουαλέτα προκειμένου να διμηουργησει την θεωρία του διγωνου. Συνπερματικα θα λέγαμε πως το διγωνο είναι ενα  ένα φανταστικό γεωμετρικό σχήμα που αμφισβητεί την κανονική κατανόηση της γεωμετρίας και μπορεί να έχει εφαρμογές στην εξερεύνηση των πιο αφηρημένων μαθηματικών και φυσικών εννοιών. Είναι ένα εργαλείο για τη μελέτη των ορίων της ανθρώπινης κατανόησης των διαστάσεων και της χωρικής αντίληψης.

 Σφαιρικές πλακοστρώσεις 
Ένα σφαιρικό πολύεδρο μπορεί να περιέχει μη εκφυλισμένα δίγωνα (με μη μηδενικό εσωτερικό εμβαδόν), εάν οι κορυφές τους είναι αντίποδες. Η εσωτερική γωνία της κορυφής του σφαιρικού διγώνου μπορεί να είναι οποιαδήποτε γωνία μεταξύ 0 και 360 μοιρών. Ένα τέτοιο σφαιρικό πολύγωνο μπορεί επίσης να ονομάζεται σφαιρική σελήνη.

Το αποκεκομμένο δίγωνο, t{2} είναι ένα τετράγωνο, {4}. Το εναλλακτικό δίγωνο, h{2} είναι ένα μονόγωνο, {1}.

 Πολύεδρα 
Ένα δίγωνο θεωρείται εκφυλισμένη έδρα ενός πολύεδρου, διότι δεν έχει γεωμετρικό εμβαδόν και τα άκρα του αλληλοκαλύπτονται, αλλά μερικές φορές μπορεί να έχει χρήσιμη τοπολογική ύπαρξη στον μετασχηματισμό πολυέδρων.

Οποιοδήποτε πολύεδρο μπορεί να τροποποιηθεί τοπολογικά αντικαθιστώντας μια πλευρά του με ένα δίγωνο. Μια τέτοια πράξη προσθέτει μία πλευρά και μία έδρα στο πολύεδρο, αν και το αποτέλεσμα είναι γεωμετρικώς πανομοιότυπο. Αυτή η μετατροπή δεν έχει καμία επίδραση στην χαρακτηριστική Όιλερ ().

Μια δίγωνη έδρα μπορεί επίσης να δημιουργηθεί από γεωμετρική κατάρρευση μιας τετράπλευρης έδρας με την μετακίνηση ζεύγων κορυφών έτσι ώστε να συμπίπτουν στο χώρο. Αυτό το δίγωνο μπορεί στη συνέχεια να αντικατασταθεί με μία ενιαία πλευρά. Μια τέτοια πράξη αφαιρεί μία έδρα, δύο κορυφές και τρεις πλευρές, αφήνοντας και πάλι αμετάβλητη την χαρακτηριστική Όιλερ.

Οι τάξεις πολυέδρων μπορεί να προκύψουν ως εκφυλισμένες μορφές πρωτογενούς πολύεδρου, φέρνοντας ζεύγη ή ομάδες κορυφών σε σύμπτωση. Για παράδειγμα, τα ακόλουθα ομοιόμορφα πολύεδρα με οκταεδρική συμμετρία υπάρχουν ως εκφυλισμένες μορφές του αποκεκομμένου κυβοκτάεδρου (4.6.8):

ΚύβοςΑποκεκομμένος κύβοςΑποκεκομμένο οκτάεδροΟκτάεδροΚυβοκτάεδροΡομβοειδές κυβοκτάεδροΑποκεκομμένο κυβοκτάεδρο109px100px100px100px100px100px100px(2.4)33.8.2.82.6.4.6(2.3)4(3.4)23.4.4.44.6.8

Σε αυτές τις εικόνες, οι ακμές μεταξύ κόκκινων εδρών στα δύο πρώτα πολύεδρα και των κίτρινων εδρών στο τρίτο και στο τέταρτο μπορεί να θεωρηθούν ως μπλε εκφυλισμένες δίγωνες έδρες {2}. Οι κίτρινες έδρες του κύβου εκφυλίζονται σε σημεία, οι κόκκινες έδρες του οκτάεδρου και οι μπλε έδρες του κυβοκτάεδρου εκφυλίζονται επίσης σε σημεία. Η αρχή αυτή χρησιμοποιείται στην κατασκευή Wythoff.

 Δείτε επίσης 
 Ντεμιυπερκύβος

 Παραπομπές 

 Βιβλιογραφία 




 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 




Κατηγορία:Πολύγωνα