Δελτάεδρο

μικρογραφία|δεξιά|Ένα περικομμένο τετράεδρο με εξάγωνα διαιρεμένα σε τρίγωνα. Το σχήμα αυτό δεν είναι αυστηρώς κυρτό δελτάεδρο διότι οι συνεπίπεδες έδρες δεν επιτρέπονται εξ ορισμού.
Το δελτάεδρο είναι ένα πολύεδρο οι έδρες του οποίου είναι όλες ισόπλευρα τρίγωνα. Η λέξη δελτάεδρο συνδυάζει το επίθεμα -έδρα με το πρόθεμα δέλτα-, καθώς το κεφαλαίο γράμμα δέλτα αναπαριστά ως σχήμα ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Υπάρχουν άπειρα δελτάεδρα, αλλά από αυτά μόνο οκτώ είναι κυρτά, αυτά που έχουν 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 και 20 πλευρές.Freudenthal & van der Waerden (1947) — Απέδειξαν ότι υπάρχουν μόνο 8 κυρτά δελτάεδρα. Ο αριθμός των εδρών, των ακμών και των κορυφών παρατίθεται παρακάτω για κάθε ένα από τα οκτώ κυρτά δελτάεδρα.

 Τα οκτώ κυρτά δελτάεδρα 
Υπάρχουν μόνον οκτώ αυστηρώς κυρτά δελτάεδρα: τα τρία είναι κανονικά πολύεδρα και τα άλλα πέντε είναι στερεά του Τζόνσον.

 Κανονικά δελτάεδρα Εικόνα  Όνομα  Έδρες  Ακμές  Κορυφές  Διαμορφώσεις κορυφών  Συμμετρία 60px  Τετράεδρο  4  6  4  4 × 33  Td, [3,3] 60px  Οκτάεδρο  8  12  6  6 × 34  Oh, [4,3] 60px Εικοσάεδρο   20  30  12  12 × 35  Ih, [5,3]Δελτάεδρα του Τζόνσον Εικόνα  Όνομα  Έδρες  Ακμές  Κορυφές  Διαμορφώσεις κορυφών  Συμμετρία 60px   Τριγωνική διπυραμίδα  6  9  5  2 × 333 × 34  D3h, [3,2] 60px  Πενταγωνική διπυραμίδα  10  15  7  5 × 342 × 35  D5h, [5,2] 60px  Κολοβό δισφηνοειδές  12  18  8  4 × 344 × 35  D2d, [2,2] 60px Τρις επαυξημένο τριγωνικό πρίσμα   14  21  9  3 × 346 × 35  D3h, [3,2] 60px   Γυροσκοπική επιμήκης τετραγωνική διπυραμίδα  16  24  10  2 × 348 × 35  D4d, [4,2]
Στο δελτάεδρο με 6 πλευρές, μερικές κορυφές έχουν 3 μοίρες και κάποιες 4 μοίρες. Στα δελτάεδρα με 10, 12, 14 και 16 πλευρές, μερικές κορυφές έχουν 4 μοίρες και κάποιες 5 μοίρες. Αυτά τα πέντε αντικανονικά δελτάεδρα ανήκουν στην κατηγορία των στερεών του Τζόνσον (κυρτά πολύεδρα με έδρες κανονικά πολύγωνα).

Τα δελτάεδρα διατηρούν το σχήμα τους, ακόμη και όταν οι ακμές περιστρέφονται ελεύθερα γύρω από τις κορυφές τους, και έτσι οι γωνίες μεταξύ των ακμών τους είναι ρευστές. Δεν έχουν όμως όλα τα πολύεδρα αυτή την ιδιότητα, για παράδειγμα, αν χαλαρώσετε μερικές από τις γωνίες ενός κύβου, ο κύβος μπορεί να παραμορφωθεί σε ένα λανθάνον τετραγωνικό πρίσμα.

Κυρτά δελτάεδρα με 18 πλευρές δεν υπάρχουν.Trigg (1978), σσ. 55–57. Ωστόσο, το συμβεβλημένης ακμής εικοσάεδρο δίνει ένα παράδειγμα οκταδεκάεδρου το οποίο μπορεί είτε να κατασκευαστεί κυρτό με 18 αντικανονικές τριγωνικές πλευρές, είτε να κατασκευαστεί με ισόπλευρα τρίγωνα που περιλαμβάνουν δύο συνεπίπεδες ομάδες των τριών τριγώνων.

 Μη αυστηρώς κυρτά δελτάεδρα 
Υπάρχουν άπειρες περιπτώσεις συνεπίπεδων τριγώνων που καθορίζουν τμήματα για τριγωνική ψηφοθέτηση επ' άπειρον. Οι συνεπίπεδες τριγωνικές έδρες μπορούν να συγχωνευθούν σε ρομβοειδείς, τραπεζοειδείς, εξαγωνικές, ή και άλλες έδρες ισόπλευρων πολυγώνων. Εάν το σύνολο των συνεπίπεδων τριγώνων θεωρηθεί ως ενιαία έδρα (που ονομάζεται triamond), μπορεί να προστεθεί και ένα μικρότερο σύνολο εδρών, πλευρών και κορυφών. Οι triamond έδρες που χρησιμοποιούνται πρέπει να είναι κυρτές και συμπεριλαμβάνουν: 20px, 30px, 30px, 40px, 30px, 50px, 60px και 30px, ...

Μερικά μικρότερα παραδείγματα περιλαμβάνουν:

+ Συνεπίπεδα δελτάεδρα Εικόνα  Όνομα  Έδρες  Ακμές  Κορυφές  Διαμορφώσεις κορυφών  Συμμετρία60pxΕπαυξημένο οκτάεδροΑύξηση1 τετρ + 1 οκτ 10 20px15  71 × 333 × 343 × 350 × 36C3v, [3] 4 20px 3 30px 1260pxΤριγωνικό τραπεζόεδροΑύξηση2 τετρ + 1 οκτ 12 20px1882 × 330 × 346 × 350 × 36 C3v, [3] 6 30px1260pxΑύξηση2 τετρ + 1 οκτ 12 20px1882 × 331 × 344 × 351 × 36 C2v, [2] 2 20px2 30px2 30px11760pxΤριγωνικό frustumΑύξηση3 τετρ + 1 οκτ 14 20px2193 × 330 × 343 × 353 × 36 C3v, [3] 1 20px3 30px1 30px9660pxΕπιμήκης οκτάεδροΑύξηση2 τετρ + 2 οκτ 16 20px24100 × 334 × 344 × 352 × 36 D2h, [2,2] 4 20px4 30px12660pxΤετράεδροΑύξηση4 τετρ + 1 οκτ 16 20px24104 × 330 × 340 × 356 × 36 Td, [3,3] 4 30px64 60pxΑύξηση3 τετρ + 2 οκτ 18 20px27111 × 332 × 345 × 353 × 36 D2h, [2,2] 2 20px1 30px2 30px2 40px14960pxΣυμβεβλημένης ακμής εικοσάεδρο 18 20px27110 × 332 × 348 × 351 × 36 C2v, [2] 12 20px2 30px221060pxΤριγωνικό bifrustumΑύξηση6 tets + 2 octs 20 20px30120 × 333 × 346 × 353 × 36 D3h, [3,2] 2 20px6 30px15960pxΤριγωνικός τρούλοςΑύξηση4 tets + 3 octs 22 20px3313 0 × 333 × 346 × 354 × 36 C3v, [3]3 20px3 30px1 30px1 30px15960pxΤριγωνική διπυραμίδαΑύξηση8 τετρ + 2 οκτ24 20px36142 × 333 × 340 × 359 × 36 D3h, [3] 6 30px9560pxΕξαγωνικό αντιπρίσμα 24 20px36140 × 330 × 3412 × 352 × 36  D6d, [12,2+] 12 20px2 30px241260pxΠερικομμένο τετράεδροΑύξηση6 τετρ + 4 οκτ 28 20px42160 × 330 × 3412 × 354 × 36  Td, [3,3] 4 20px4 30px181260pxΤετράκις κυβοκτάεδροΟκτάεδροΑύξηση8 τετρ + 4 οκτ32 20px24180 × 3312 × 340 × 356 × 36  Oh, [4,3] 8 30px126

 Μη κυρτές μορφές 
Υπάρχει άπειρος αριθμός μη κυρτών μορφών.

Μερικά παραδείγματα δελτάεδρων με τεμνόμενες έδρες:
 Μεγάλο εικοσάεδρο - ένα στερεό των Kepler-Poinsot, με 20 τεμνόμενα τρίγωνα
 160px

Άλλα μη κυρτά δελτάεδρα μπορούν να δημιουργηθούν με την προσθήκη ισοπλεύρων πυραμίδων στις έδρες όλων των 5 κανονικών πολυέδρων:
120px120px120px120px120px Τριάκις τετράεδρο Τετράκις εξάεδρο Τριάκις οκτάεδρο(αστερώδης οκτάεδρο) Πεντάκις δωδεκάεδρο Τριάκις εικοσάεδρο12 τρίγωνα24 τρίγωνα60 τρίγωνα

Άλλες επαυξήσεις του τετραέδρου περιλαμβάνουν:
+ Παραδείγματα επαυξημένων τετράεδρων160px160px160px8 τρίγωνα10 τρίγωνα12 τρίγωνα

Επίσης, με την προσθήκη ανεστραμμένων πυραμίδων στις έδρες:
160pxΤο ανασκαμμένο δωδεκάεδρο160pxΈνα σπειροειδές δελτάεδρο60 τρίγωνα48 τρίγωνα

 Παραπομπές 

 Σημειώσεις 

 Βιβλιογραφία 








 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 The eight convex deltahedra 

Κατηγορία:Πολύεδρα