Χιλιάγωνο

Στη γεωμετρία, το χιλιάγωνο είναι ένα πολύγωνο με χίλιες κορυφές και χίλιες πλευρές. Αρκετοί φιλόσοφοι το έχουν χρησιμοποιήσει για να τονίσουν θέματα που αφορούν τη σκέψη.

Ένα χιλιάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

 Ιδιότητες 
 Σε κάθε απλό χιλιάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα  (ή  ακτίνια).
 Κάθε χιλιάγωνο έχει 498.500 διαγωνίους.

 Κυρτό κανονικό χιλιάγωνο 

μικρογραφία|δεξιά|Το πλήρες κανονικό χιλιάγωνο δεν είναι οπτικά ευδιάκριτο και μοιάζει με κύκλο. Το κάτω μέρος είναι τμήμα κανονικού χιλιαγώνου, 200 φορές μεγαλύτερο από το μικρότερο στο πάνω μέρος, όπου οι κορυφές επισημαίνονται.
 Ιδιότητες 
Για το κανονικό χιλιάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
 Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με  (ή  ακτίνια).
 Έχει χίλιους άξονες συμμετρίας.
 Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
 Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
 Έχει περιστροφική συμμετρία χίλιας τάξεως.
 Το σύμβολο Schläfli του χιλιαγώνου είναι .

 Μετρικές σχέσεις 

 Η ακτίνα  του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού χιλιαγώνου είναι ίση με

Η ακτίνα  του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού χιλιαγώνου είναι ίση με

 Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού χιλιαγώνου δίνονται από τις σχέσεις

Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
.
Το ύψος του είναι 
.

 Εμβαδόν 
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού χιλιαγώνου πλευράς  και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου  είναι 
.
Το εμβαδό  ενός κανονικού χιλιαγώνου πλευράς  δίνεται από τη σχέση:

Αν  είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του χιλιαγώνου είναι

Aν  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότεΤο διάστημα που ορίζουν οι δύο τελευταίοι συντελεστές (3,141571... και 3,141602...) περιλαμβάνει την τιμή του , που είναι το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου.
.

 Περίμετρος 
Η περίμετρος  του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
.

 Κατασκευή κανονικού χιλιαγώνου 
Το κανονικό χιλιάγωνο δεν είναι κατασκευάσιμο, διότι ο αριθμός των πλευρών του, , δεν είναι ούτε δύναμη του δύο, ούτε γινόμενο διακριτών πρώτων αριθμών Φερμά (δείτε Θεώρημα Γκάους-Βαντσέλ).

 Χιλιάγραμμα 
Το χιλιάγραμμα είναι ένα αστεροειδές πολύγωνο 1000 πλευρών. Υπάρχουν 199 κανονικές μορφές του:
500 περιπτώσεις -1 (το κυρτό) -100 (τα πολλαπλάσια του 5) -250 (τα πολλαπλάσια του 2) +50 (τα πολλαπλάσια των 2 και 5) = 199 περιπτώσεις

Οι περιπτώσεις αυτές δίνονται από σύμβολα Schläfli της μορφή {1000/ν}, όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός μεταξύ του 2 και του 500, που είναι πρωταρχικός έως το 1000. Υπάρχουν επίσης 300 κανονικά αστεροειδή σχήματα στις υπόλοιπες περιπτώσεις.

Για παράδειγμα, το αστεροειδές κανονικό πολύγωνο {1000/499} κατασκευάζεται με σχεδόν 1000 ακτινικές ακμές. Κάθε κορυφή του άστρου διαθέτει μια εσωτερική γωνία 0,36 μοιρών:
180 (1 - 2/(1000/499)) = 180 (1 - 998/1000) = 180 (2/1000) = 180/500 = 0,36

+ Αστεροειδές κανονικό πολύγωνο {1000/499}300px415pxΚεντρική περιοχή με πρότυπα Moiré

 Δείτε επίσης 
 Μυριάγωνο
 Μεγάγωνο

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Χιλιάγωνο στο PolytopeWiki.

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Πολύγωνα