Κανονικό πολύγωνο

Στην γεωμετρία, το κανονικό πολύγωνο είναι ένα πολύγωνο το οποίο είναι ισογώνιο (όλες οι γωνίες του είναι ιδίων μοιρών) και ισόπλευρο (όλες οι πλευρές του είναι ιδίου μήκους).

Το κανονικό τρίγωνο είναι το ισόπλευρο τρίγωνο. Το κανονικό τετράπλευρο με τέσσερις πλευρές είναι το τετράγωνο. 

Τα κανονικά πολύγωνα μπορούν να είναι κυρτά ή αστεροειδή. 

 Κανονικά κυρτά πολύγωνα 

 Ιδιότητες 
Η κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
.
 Οι γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσες με
.

 Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

 Κάθε κανονικό πολύγωνο είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου λέγεται απόστημα του πολυγώνου και συμβολίζεται με .
 Κάθε κανονικό πολύγωνο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου. 
 Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι, και το κέντρο τους λέγεται κέντρο του πολυγώνου. 
 Το κέντρο του πολυγώνου είναι και κέντρο βάρους του, καθώς και κέντρο συμμετρίας του πολυγώνου όταν  είναι ζυγός.

 Έχει  άξονες συμμετρίας.
 Αν , είναι ζυγός, τότε οι άξονες ενώνουν αντιδιαμετρικές κορυφές ή μέσα απέναντι πλευρών.
 Αν  είναι μονός, τότε οι άξονες ενώνουν κορυφές με τα μέσα απέναντι πλευρών.
 Έχει περιστροφική συμμετρία τάξης .

 Μετρικές σχέσεις 
Οι παρακάτω σχέσεις μεταξύ της πλευράς ενός κανονικού πολυγώνου, της ακτίνας του περιγεγραμμένου του κύκλου και της ακτίνας του εγγεγραμμένου του κύκλου προκύπτουν αν θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από το απόστημα μίας πλευράς του κανονικού πολυγώνου. 

Πιο συγκεκριμένα, το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει την εξής σχέση
,
και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας  δίνουν τις παρακάτω σχέσεις. 

 Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου 
 Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με 

 Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου 
 Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με το απόστημα του πολυγώνου

 Η πλευρά του πολυγώνου συναρτήσει της ακτίνας και της κεντρικής γωνίας δίνεται ως 

 Διαγώνιοι 
 Το κανονικό πολύγωνο έχει  διαγωνίους.Δείτε εδώ για την απόδειξη. 
 Η διαγώνιος  (για ) που συνδέει την κορυφή  με την  έχει μήκος
.

 Ισχύει ότι 
.

 Άλλοι τύποι 
: ακτίνα κοινού περιγεγραμμένου κύκλου
: πλευρά οκταγώνου
(: πλευρά τετραπλεύρου)
: ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου τετραγώνου
 (Τύπος του Αρχιμήδη) Έστω ένας κύκλος ακτίνας  στον οποίο είναι εγγεγραμμένα ένα κανονικό πολύγωνο με  πλευρές μήκους  και ένα κανονικό πολύγωνο με  πλευρές και ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου . Τότε,Δείτε εδώ για την απόδειξη.
. 
Σημείωση: Ο τύπος του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται στην απόδειξη του θεωρήματος του Ιπποκράτη.
 Σε δύο όμοια κανονικά πολύγωνα, ο λόγος των ακτίνων και των αποστημάτων τους είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους.
 (Θεώρημα Βιβιάνι) Το αλγεβρικό άθροισμα των αποστάσεων ενός σημείο από τις πλευρές ενός κανονικού πολυγώνου με κορυφές είναι ίσο με .

 Το άθροισμα των αποστάσεων των κορυφών ενός κανονικού πολυγώνου από μία ευθεία είναι  φορές η απόσταση της από το κέντρο του πολυγώνου.
 Ειδική περίπτωση: Το άθροισμα των αποστάσεων των κορυφών ενός κανονικού πολυγώνου από μία ευθεία εφαπτόμενη στον περιγεγραμμένο της κύκλο είναι .

 Το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων των κορυφών ενός κανονικού πολυγώνου από ένα σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι ίσο με .

 Το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων των μέσων των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου από ένα σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι ίσο με
.

 Περίμετρος 
 Η περίμετρος ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με 
.

 Εμβαδόν 
Το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσο με
.

Επίσης συναρτήσει της πλευράς δίνεται ως 
,
συναρτήσει της ακτίνας  του εγγεγραμμένου κύκλου ως 
,
και συναρτήσει της ακτίνας  του περιγεγραμμένου κύκλου ως
.

Για δοσμένη περίμετρο  και πλήθος πλευρών , το κανονικό πολύγωνο είναι το πολύγωνο με το μεγαλύτερο εμβαδόν. 

 Προσέγγιση κύκλου 
Θεωρώντας έναν κύκλο ακτίνας  και εγγράφοντας σε αυτόν κανονικά πολύγωνα με  πλευρές, το εμβαδόν τους σιγά σιγά προσεγγίζει (από κάτω) το εμβαδόν του κύκλου. Αντίστοιχα περιγράφοντας σε αυτόν τα κανονικά πολύγωνα με  πλευρές, το εμβαδόν τους σιγά σιγά προσεγγίζει (από πάνω) το εμβαδόν του κύκλου.

Παρατηρήστε ότι στον παρακάτω πίνακα, το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου προσεγγίζει τον κύκλο, στην περίπτωση του περιγεγραμμένου κύκλου από κάτω (γι'αυτό η σχετική απόκλιση είναι ) και στην περίπτωση του εγγεγραμμένου κύκλου από πάνω (γι'αυτό η σχετική απόκλιση είναι ). Και στις δύο περιπτώσεις, η σχετική απόκλιση τίνει στο .

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Προσέγγιση εμβαδού κύκλου
|-
! rowspan=2 | # !! rowspan=2 | Όνομα !! colspan=4 | Περιγεγραμμένος κύκλος  !! colspan=4 | Εγγεγραμμένος κύκλος 
|-
! Ακριβής τύπος !! Προσέγγιση !! Σχετικό σφάλμα !! !! Ακριβής τύπος !! Προσέγγιση !! Σχετικό σφάλμα ||
|-
|  || -γωνο ||  || ||  ||  ||  ||  || 
|-
| 3 || Ισόπλευρο τρίγωνο || || 1.299038 || 0.413497 || 60px ||  || 5.196152 || 1.653987 || 60px
|-
| 4 || Τετράγωνο || || 2.000000 || 0.636620 || 60px ||  || 4.000000 || 1.273240 || 60px
|-
| 5 || Κανονικό πεντάγωνο || || 2.377641 || 0.756827 || 60px ||  || 3.632713 || 1.156328 || 60px
|-
| 6 || Κανονικό εξάγωνο|| || 2.598076 || 0.826993 || 60px ||  || 3.464102 || 1.102658 || 60px
|-
| 7 || Κανονικό επτάγωνο || || 2.736410 || 0.871026 || 60px ||  || 3.371022 || 1.073030 || 60px
|-
| 8 || Κανονικό οκτάγωνο || || 2.828427 || 0.900316 || 60px ||  || 3.313708 || 1.054786 || 60px
|-
| 9 || Κανονικό εννεάγωνο || || 2.892544 || 0.920725 || 60px ||  || 3.275732 || 1.042698 || 60px
|-
| 10 || Κανονικό δεκάγωνο || || 2.938926 || 0.935489 || 60px ||  || 3.249197 || 1.034252 || 60px
|-
| 11 || Κανονικό ενδεκάγωνο|| || 2.973524 || 0.946502 || 60px ||  || 3.229891 || 1.028106 || 60px
|-
| 12 || Κανονικό δωδεκάγωνο|| || 3.000000 || 0.954930 || 60px ||  || 3.215390 || 1.023491 || 60px
|-
| 13 || Κανονικό δεκατριάγωνο|| || 3.020701 || 0.961519 || 60px ||  || 3.204212 || 1.019932 || 60px
|-
| 14 || Κανονικό δεκατετράγωνο|| || 3.037186 || 0.966766 || 60px ||  || 3.195409 || 1.017130 || 60px
|-
| 15 || Κανονικό δεκαπεντάγωνο|| || 3.050525 || 0.971012 || 60px ||  || 3.188348 || 1.014883 || 60px
|-
| 16 || Κανονικό δεκαεξάγωνο || || 3.061467 || 0.974495 || 60px ||  || 3.182598 || 1.013052 || 60px
|-
| 17 || Κανονικό δεκαεπτάγωνο|| || 3.070554 || 0.977388 || 60px ||  || 3.177851 || 1.011541 || 60px
|-
| 18 || Κανονικό δεκαοκτάγωνο|| || 3.078181 || 0.979816 || 60px ||  || 3.173886 || 1.010279 || 60px
|-
| 19 || Κανονικό δεκαεννεάγωνο|| || 3.084645 || 0.981873 || 60px ||  || 3.170539 || 1.009214 || 60px
|-
| 20 || Κανονικό εικοσάγωνο|| || 3.090170 || 0.983632 || 60px ||  || 3.167689 || 1.008307 || 60px
|- 
| colspan=8 | 
|-
| 103 || Κανονικό χιλιάγωνο|| || 3.141572 || 0.999993 || ||  || 3.141603 || 1.000003 || 
|-
| 104 || Κανονικό μυριάγωνο|| || 3.141592 || 0.999999 || ||  || 3.141592 || 1.000000+ || 
|}

 Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη 

(Θεώρημα Γκάους-Βαντσέλ) Ένα κανονικό πολύγωνο με  πλευρές είναι κατασκευάσιμο με κανόνα και διαβήτη αν και μόνο αν , όπου  ένας φυσικός αριθμός και  είναι διακριτοί πρώτοι αριθμοί Φερμά.

 Το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο, το κανονικό πεντάγωνον, το κανονικό εξάγωνο, το κανονικό οκτάγωνο, το κανονικό δεκάγωνο, το κανονικό δωδεκάγωνο, το κανονικό δεκαπεντάγωνο, το κανονικό δεκαεξάγωνο, το κανονικό δεκαεπτάγωνο, ... είναι κατασκευάσιμα.

 Κατασκευή με οριγκάμι 
Ένα κανονικό πολύγωνο με  πλευρές μπορεί να κατασκευαστεί με οριγκάμι αν και μόνο αν  όπου  φυσικοί αριθμοί και  είναι διακριτοί πρώτοι αριθμοί Pierpont.

 Σχηματισμός κανονικών πολυγώνων 

 Αν  σημεία διαιρούν έναν κύκλο σε  ίσα μέρη, τότε σχηματίζουν κανονικό πολύγωνο.
 Έστω ένα κανονικό πολύγωνο και ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Τα σημεία τομής των εφαπτομένων στις κορυφές του πολυγώνου, ορίζουν ένα κανονικό πολύγωνο.
 Τα μέσα των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου, ορίζουν ένα κανονικό πολύγωνο.

 Κανονικά πολύγωνα ως έδρες πολυέδρων 
 Ένα ομοιόμορφο πολύεδρο έχει ως έδρες κανονικά πολύγωνα, έτσι ώστε για κάθε δύο κορυφές να υπάρχει μια ισομετρία χαρτογραφώντας το ένα μέσα στο άλλο (ομοίως με τα κανονικά πολύγωνα).
 Ένα σχεδόν-κανονικό πολύεδρο είναι ένα ομοιόμορφο πολύεδρο που έχει μόνο δύο είδη εδρών που εναλλάσσονται γύρω από κάθε κορυφή του.
 Ένα κανονικό πολύεδρο είναι ένα ομοιόμορφο πολύεδρο που έχει μόνο ένα είδος έδρας.
 Τα υπόλοιπα (ανομοιόμορφα) κυρτά πολύεδρα με κανονικές έδρες είναι γνωστά ως στερεά του Τζόνσον.
 Ένα πολύεδρο που έχει κανονικά τρίγωνα ως έδρες ονομάζεται δελτάεδρο.

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 Διαδραστικές εφαρμογές στο Φωτόδεντρο: στοιχεία κανονικού πολυγώνου
Διαδραστικές εφαρμογές στο mathopenref: περιγραφή κανονικού πολυγώνου, Εγγεγραμμένος κύκλος κανονικού πολυγώνου, τρεις τύποι για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου
Κατασκευές κανονικών πολυγώνων από αναγεννησιακούς καλλιτέχνες

 Ελληνικά άρθρα 




 Ξενόγλωσσα άρθρα 






 Βιβλιογραφία 




 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Πολύγωνα