Ντεμιυπερκύβος

Στην γεωμετρία, ο ντεμιυπερκύβος ή ημιυπερκύβος (που ονομάζεται επίσης ν-ντεμικύβος ή ν-ημικύβος, διεθνώς: demihypercube, n-demicube, n-hemicube, ή half measure polytope) είναι μία τάξη ν-πολυτόπου που κατασκευάστηκε από την εναλλαγή ενός ν-υπερκύβου, συμβολίζεται με ηγν (ενώ η οικογένεια των υπερκύβων, με γν). Οι μισές από τις κορυφές ενός υπερκύβου διαγράφονται και σχηματίζονται έτσι νέες έδρες. Οι 2ν έδρες γίνονται 2ν (ν-1)-ντεμικύβοι, και σχηματίζονται 2ν (ν-1)-πλέγματα εδρών στη θέση των διαγεγραμμένων κορυφών.

Όλοι οι υπερκύβοι παίρνουν και το πρόθεμα ντεμί- στο όνομά τους: ντεμί-κύβος, ντεμί-τεσσεράκτιο, κοκ. Ο ντεμικύβος είναι πανομοιότυπος με το κανονικό τετράεδρο, και το ντεμιτεσσεράκτιο είναι πανομοιότυπο με το κανονικό δεκαεξάχωρο. Το ντεμιπεντεράκτιο θεωρείται ημικανονικό διότι έχει μόνον τις έδρες του κανονικές. Οι υπόλοιπες υψηλότερες μορφές δεν έχουν όλες τις έδρες τους κανονικές, αλλά όλες αυτές οι μορφές είναι ενιαία πολύτοπα.

Οι κορυφές και οι ακμές ενός ντεμιυπερκύβου αποτελούν δύο αντίγραφα γραφήματος του κατά το ήμισυ κύβου.

 Ανακάλυψη 
Ο Thorold Gosset περιγράφει το ντεμιπεντεράκτιο στη λίστα δημοσίευσής του το 1900, που αφορούσε το σύνολο των τακτικών και ημικανονικών σχημάτων με ν-διαστάσεις περισσότερες από τρεις. Εκεί το ονόμασε ως 5-ic ημικανονικό. Εντάσσεται, επίσης, στην οικογένεια των ημικανονικών k21 πολυτόπων (Semiregular k21 polytope family).

Οι ντεμιυπερκύβοι μπορούν να συμβολιστούν με Schläfli σημειογραφία της μορφής η{4,3,...,3} ως το ήμισυ των κορυφων του {4,3,...,3}. Το σχήμα κορυφών των ντεμιυπερκύβων είναι διορθωμένο με ν-πλέγματα.

 Κατασκευή 
Υλοποιείται από διαγράμματα Coxeter-Dynkin τριών κατασκευαστικών μορφών:
...  (Ως ενναλακτικό ορθότοπο) sr{2n-1}
... (Ως ενναλακτικός υπερκύβος) h{4,3n-1}
.... (Ως ντεμιυπερκύβος) {31,n-3,1}

Ο Χάρολντ Σκοτ ΜακΝτόναλντ Κόξετερ επισημαίνει επίσης τα τρίτα διακλαδούμενα διαγράμματα ως 1k1 να αντιπροσωπεύουν τα μήκη των 3 κλάδων και να οδηγούνται από τον κλάδο δακτυλίου.

Ένας ν-ντεμικύβος, όταν το ν είναι μεγαλύτερο του 2, έχει ν × (ν-1) / 2 ακμές να συναντώνται σε κάθε κορυφή του. Τα παρακάτω διαγράμματα δείχνουν λιγότερες ακμές σε κάθε κορυφή λόγω της επικάλυψης των ακμών στην προβολή της συμμετρίας.

n 1k1 ΠέτριπολύγωνοSchläfliCoxeter-DynkinA1n οικογένειαBCn οικογένειαDn οικογένειαΣτοιχείαΈδρες:Ντεμιυπερκύβοι &ΠλέγματαΣχήμα κορυφώνΚορυφέςΑκμές     ΕπιφάνειεςΚελιά4-επιφ.5-επιφ.6-επιφ.7-επιφ.8-επιφ.9-επιφ.2 1-1,1ντεμιτετράγωνο(δίγωνο)60pxsr{21}h{4}{31,-1,1}22         2 ακμές --3 101ντεμικύβος(τετράεδρο)60px60pxsr{22}h{4,3}{31,0,1}464       6 δίγωνα4 τρίγωναΤρίγωνο(Διορθωμένο τρίγωνο)4  111ντεμιτεσσεράκτιο(δεκαεξάχωρο)60px60pxsr{23}h{4,3,3}{31,1,1}8243216      8 ντεμικύβοι(τετράεδρα)8 τετράεδραΟκτάεδρο(Διορθωμένο τετράεδρο)5  121ντεμιπεντεράκτιο60px60pxsr{24}h{4,33}{31,2,1}168016012026     10 δεκαεξάχωρα16 πεντάχωραΔιορθωμένο πεντάχωρο6 131ντεμιεξεράκτιο60px60pxsr{25}h{4,34}{31,3,1}3224064064025244    12 ντεμιπεντεράκτια32 5-πλέγμαΔιορθωμένο εξάτερο7 141ντεμιεπτεράκτιο60px60pxsr{26}h{4,35}{31,4,1}6467222402800162453278   14 ντεμιεξεράκτια64 6-πλέγμαΔιορθωμένο 6-πλέγμα8 151ντεμιοκτεράτκιο60px60pxsr{27}h{4,36}{31,5,1}1281792716810752828840321136144  16 ντεμιεπτεράκτια128 7-πλέγμαΔιορθωμένο 7-πλέγμα9 161ντεμιεννεράκτιο60px60pxsr{28}h{4,37}{31,6,1}25646082150437632362882352098882448274 18 ντεμιοκτεράτκια256 8-πλέγμαΔιορθωμένο 8-πλέγμα10 171ντεμιδεκεράκτιο60px60pxsr{29}h{4,38}{31,7,1}51211520614401228801424641155846480024000530053220 ντεμιεννεράκτια512 9-πλέγμαΔιορθωμένο 9-πλέγμα...n 1n-3,1n-ντεμικύβοςsr{2n-1}h{4,3n-2}{31,n-3,1}.........2n-1 n (n-1)-ντεμικύβοι2n (n-1)-πλέγμαΔιορθωμένο (n-1)-πλέγμα

Σε γενικές γραμμές, τα στοιχεία ενός ντεμικύβου μπορούν να προσδιοριστούν από τον αρχικό ν-κύβο: με Cn,m = mth-επιφάνεια συνυπολογίζοντας ότι n-κύβος = 2n-m × n! / ( m! × (n-m)! )
 Κορυφές: Dn,0 = 1/2 × Cn,0 = 2n-1 (Παραμένουν οι μισές από τις κορυφές του n-κύβου)
 Ακμές: Dn,1 = Cn,2 = 1/2 n(n-1) 2n-2 (Όλες οι αρχικές ακμές χάνονται, κάθε τετράγωνη έδρα δημιουργεί μια νέα ακμή)
 Επιφάνειες: Dn,2 = 4 × Cn,3 = n(n-1)(n-2) 2n-3 (Όλες οι αρχικές επιφάνειες χάνονται, ο κάθε κύβος δημιουργεί 4 νέες τριγωνικές επιφάνειες)
 Κελιά: Dn,3 = Cn,3 + 2n-4 Cn,4 (Τα τετράεδρα από τα αρχικά κελιά καθώς και νέα)
 Υπερκελιά: Dn,4 = Cn,4 + 2n-5 Cn,5 (Τα 16-κελιά και τα 5-κελιά κατ' ακολουθίαν)
 ...
 [Για m=3...n-1]: Dn,m = Cn,m + 2n-1-m Cn,m+1 (Οι m-ντεμικύβοι και τα m-πλέγματα κατ' ακολουθίαν)
...
 Έδρες: Dn,n-1 = n + 2n (Οι (n-1)-ντεμικύβοι και τα (n-1)-πλέγματα κατ' ακολουθίαν)

 Ομάδα συμμετρίας 
Η ομάδα συμμετρίας του ντεμιυπερκύβου είναι η ομάδα Coxeter  [3n-3,1,1] έχει τάξη  και είναι ένας δείκτης 2 υποομάδας της ομάδας υπεροκτάεδρων (η οποία είναι η ομάδα Coxeter  [4,3n-1]).

 Ορθοτοπικές κατασκευές 
μικρογραφία|δεξιά|Ρομβικό δισφηνοειδές μέσα από ένα κυβοειδές
Κατασκευές όπως τα εναλλασσόμενα ορθότοπα έχουν την ίδια τοπολογία, αλλά μπορούν να επεκταθούν με διαφορετικά μήκη σε ν-άξονες συμμετρίας.

Το ρομβικό δισφηνοειδές είναι το τρισδιάστατο παράδειγμα ενός εναλλασσόμενου κυβοειδούς. Έχει τρία σύνολα από μήκη ακμών, και οι επιφάνειές του είναι σκαληνά τρίγωνα.

 Περαιτέρω ανάγνωση 
 Ημικύβος (γεωμετρία)
 Γεωμετρικό πολύτοπο

 Παραπομπές 

 Πηγές 
 Thorold Gosset (1900), On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan.
 John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass (2008), The Symmetries of Things (Chapter 26. p. 409: Hemicubes: 1n1), ISBN 978-1-56881-220-5.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 


Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα
Κατηγορία:Κύβοι