Υπεροκτάεδρο

Στη γεωμετρία, το υπεροκτάεδρο ή πολύτοπο-διασταύρωσης ή ορθόπλεξη (Αγγλικά: hyperoctahedron, cocube, cross-polytope, Chapter IV, five dimensional semiregular polytope. ή orthoplex,Ο John Horton Conway το αναφέρει ως n-orthoplex for orthant complex.) είναι ένα κανονικό κυρτό πολύτοπο που υπάρχει σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων. Οι κορυφές σε ένα υπεροκτάεδρο είναι όλες οι παραλλαγές (±1, 0, 0, ..., 0). Το υπεροκτάεδρο είναι το κυρτό περίβλημα των κορυφών του. Οι έδρες του υπεροκταέδρου είναι πλέγματα της προηγούμενης διάστασης, ενώ το σχήμα των κορυφών του είναι ένα άλλο υπεροκτάεδρο επίσης από την προηγούμενη διάσταση.

Το ν διαστάσεων υπεροκτάεδρο μπορεί επίσης να οριστεί ως μία κλειστή μονάδα ("unit ball"), ή στα όριά του (σύμφωνα με ορισμένους συγγραφείς), με την ℓ1-νόρμα στο Rn:

Σε 1 διάσταση το υπεροκτάεδρο είναι απλά ένα ευθύγραμμο τμήμα [−1, +1], σε 2 διαστάσεις είναι ένα τετράγωνο (ή διαμάντι στην ξενόγλωσση βιβλιογραφία) με κορυφές {(±1, 0), (0, ±1)}. Σε 3 διαστάσεις είναι ένα οκτάεδρο (ένα από τα πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα που είναι γνωστά ως πλατωνικά στερεά). Σε υψηλότερες διαστάσεις τα υπεροκτάεδρα είναι γενικεύσεις των προηγουμένων διαστάσεων.
120px|2-υπεροκτάεδρο120px|3-υπεροκτάεδρο120px|4-υπεροκτάεδρο2 διαστάσειςΤετράγωνο3 διαστάσειςΟκτάεδρο4 διαστάσειςΔεκαεξάχωρο

Το υπεροκτάεδρο είναι το διπλό πολύτοπο του υπερκύβου. Ο μονοδιάστατος σκελετός ενός ν διαστάσεων υπεροκταέδρου είναι ένα γράφημα Turán: T(2ν,ν).

 4 διαστάσεις 
Το υπεροκτάεδρο 4-διαστάσεων είναι επίσης γνωστό με το όνομα δεκαεξάχωρο (αγγλικά: hexadecachoron ή 16-cell). Είναι ένα από τα έξι κυρτά κανονικά πολύτοπα 4-διαστάσεων. Τα πολύχωρα αυτά περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Ελβετό μαθηματικό Ludwig Schläfli στα μέσα του 19ου αιώνα.

 Υψηλότερες διαστάσεις 
Η οικογένεια υπεροκταέδρων είναι μία από τις τρεις οικογένειες κανονικών πολυτόπων, οι οποίες φέρουν Coxeter ως βν, οι άλλες δύο είναι η οικογένεια υπερκύβων, ως γν, και τα πλέγματα, ως αν. Μία τέταρτη οικογένεια, είναι οι άπειρες ψηφιδοθετήσεις των υπερκύβων (hypercubic honeycomb), που χαρακτηρίζονται ως δν.

Τα ν διαστάσεων υπεροκτάεδρα έχουν 2ν κορυφές, και 2ν έδρες (ν−1 διαστάσεων τμήματα) οι οποίες είναι όλες ν−1 πλέγματα. Τα σχήματα κορυφών είναι όλα ν−1 υπεροκτάεδρα. Το σύμβολο Schläfli του υπεροκταέδρου είναι {3,3,…,3,4}. Η δίεδρη γωνία των n διαστάσεων υπεροκταέδρων είναι:
.

Ο αριθμός των συνιστωσών k-διαστάσεων (κορυφές, ακμές, επιφάνειες, ..., έδρες) σε n διαστάσεων υπεροκτάεδρα δίνεται (με βάση τον διωνυμικό συντελεστή) από την:

Ο όγκος των υπεροκταέδρων n-διαστάσεων είναι:

Υπάρχουν πολλές πιθανές ορθογραφικές προβολές που μπορεί να δείξουν τα υπεροκτάεδρα σε γραφικά 2-διαστάσεων. Οι προβολές του Πέτρι πολυγώνου χαρτογραφούν τα σημεία σε ένα κανονικό 2ν-γώνιο ή κατώτερης τάξης κανονικά πολύγωνα. Μια δεύτερη προβολή παίρνει το 2(ν-1)-γώνιο Πέτρι πολύγωνο της κάτω διάστασης, δείχνοντάς το ως μια διπυραμίδα, που προβάλεται κάτω από τον άξονα, με 2 κορυφές της να αντιστοιχίζονται στο κέντρο.

+ 
Στοιχεία υπεροκταέδρου n βnk11 ΟνομασίεςΓραφικά Γραφικά2n-γώνια Γραφικά2(n-1)-γώνια Schläfli Coxeter-Dynkin Κορυφές Ακμές Επιφάνειες Κελιά 4-Επιφ. 5-Επιφ. 6-Επιφ. 7-Επιφ. 8-Επιφ. 9-Επιφ. 1β1ευθύγραμμο τμήμα1-ορθόπλεξη80px{} 2                   2β2 −111τετράγωνο2-ορθόπλεξηBicross80px80px{4}{}+{} 4 4                 3β3011 οκτάεδρο3-ορθόπλεξηTricross80px80px{3,4}{30,1,1}{}+{}+{} 6 12 8               4β4111δεκαεξάχωρο4-ορθόπλεξηTetracross80px80px{3,3,4}{31,1,1}4{} 8 24 32 16             5β52115-ορθόπλεξηPentacross80px80px{33,4}{32,1,1}5{} 10 40 80 80 32           6β6311 6-ορθόπλεξηHexacross80px80px{34,4}{33,1,1}6{} 12 60 160 240 192 64         7β74117-ορθόπλεξηHeptacross80px80px{35,4}{34,1,1}7{} 14 84 280 560 672 448 128       8β85118-ορθόπλεξηOctacross80px80px{36,4}{35,1,1}8{} 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256     9β96119-ορθόπλεξηEnneacross80px80px{37,4}{36,1,1}9{} 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512   10 β1071110-ορθόπλεξηDecacross80px80px{38,4}{37,1,1}10{}201809603360806413440153601152051201024... n βnk11n-ορθόπλεξηn-cross{3n − 2,4}{3n − 3,1,1}n{}......... 2n 0-επιφάνειες, ...  k-επιφάνειες ..., 2n (n-1)-επιφάνειες

Όλες οι κορυφές ενός ευθυγραμμισμένου άξονα υπεροκταέδρου είναι σε ίση απόσταση με την κάθε άλλη κορυφή σε απόσταση Manhattan (L1 νόρμα). Ο Kusner στις Εικασίες του δηλώνει ότι αυτό το σύνολο των 2d σημείων είναι το μεγαλύτερο δυνατό ισαπέχον σύνολο για την απόσταση αυτή..

 Παραπομπές 

 Πηγές 
 σελ. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5).

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 


 Olshevsky, George, Glossary for Hyperspace: Cross polytope.

Κατηγορία:Πολύτοπα
Κατηγορία:Πολυδιάστατη γεωμετρία
Κατηγορία:Τετραδιάστατη γεωμετρία