Βαθμωτό πεδίο

Στη θεωρητική φυσική, η θεωρία βαθμωτών πεδίων μπορεί να αναφερθεί ως κλασική ή ως κβαντική θεωρία βαθμωτών πεδίων. Ένα πεδίο που μένει αμετάβλητο κάτω από κάθε Μετασχηματισμό Λόρεντς (Lorentz) λέγεται "βαθμωτό", σε αντίθεση με ένα διανυσματικό πεδίο ή ένα τανυστικό πεδίο. Τα κβάντα του κβαντισμένου βαθμωτού πεδίου είναι σωματίδια μηδενικού σπιν και τέτοια δύνανται να είναι μόνο μποζόνια.

Κανένα θεμελιώδες βαθμωτό πεδίο δεν έχει παρατηρηθεί στη φύση, αν και το πεδίο Χιγκς (Higgs) ίσως αποδειχτεί το πρώτο παράδειγμα. Όμως, βαθμωτά πεδία παρουσιάζονται στη θεωρία ισοδύναμων πεδίων που περιγράφουν πολλά φυσικά φαινόμενα. Ένα παράδειγμα είναι το «π μεσόνιο» (pion),που είναι στην πραγματικότητα «ψευδοβαθμωτό», που σημαίνει ότι δεν είναι αμετάβλητο κάτω από μετασχηματισμούς ισότητας που αντιστρέφουν τις χωρικές διευθύνσεις, διαφορετικό από ένα πραγματικό βαθμωτό, που είναι αμετάβλητο (parity-invariant). Εξαιτίας της σχετικής απλότητας των μαθηματικών, τα βαθμωτά πεδία συχνά είναι τα πρώτα πεδία στα οποία εισάγεται ένας φοιτητής κλασικής ή κβαντικής θεωρίας.

Oρισμός
Μαθηματικά, ένα βαθμωτό πεδίο σε μία περιοχή U είναι μία πραγματική ή μιγαδική ανάλυση ή κατανομή στην U . Η περιοχή U μπορεί να είναι ένα σύνολο σε μερικούς Ευκλείδιους χώρους, χώρους Μινκόβσκι (Minkowski), ή γενικότερα ένα υποσύνολο μιας πολλαπλότητας και είναι τυπικό στα μαθηματικά να επιβάλλονται περαιτέρω συνθήκες στο πεδίο, τέτοιες ώστε να είναι συνεχές ή συχνά συνεχώς παραγωγίσιμη μέχρι κάποια τάξη. Ένα βαθμωτό πεδίο είναι τανυστικό πεδίο μηδενικής τάξης και ο όρος "βαθμωτό πεδίο" μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διαχωριστεί μία συνάρτηση αυτού του είδους από ένα πιο γενικό τανυστικό πεδίο, πυκνότητα, ή παραγωγίσιμη μορφή.

Φυσικά, ένα βαθμωτό πεδίο διαχωρίζεται επιπλέον έχοντας μονάδες μέτρησης σχετικές με αυτό. Σε αυτό το ευρύτερο πλαίσιο, ένα βαθμωτό πεδίο πρέπει επίσης να είναι ανεξάρτητο από το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται για να περιγράψει το φυσικό σύστημα. Αυτό σημαίνει, ότι για δύο οποιουσδήποτε παρατηρητές που χρησιμοποιούν τις ίδιες μονάδες πρέπει να συμφωνούν στην αριθμητική τιμή του βαθμωτού πεδίου σε οποιοδήποτε δοθέν σημείο του φυσικού χώρου. Τα βαθμωτά πεδία έρχονται σε αντίθεση με άλλες φυσικές ποσότητες, όπως τα διανυσματικά πεδία που συνδέουν ένα διάνυσμα με κάθε σημείο μιας περιοχής, όπως επίσης και τα τανυστικά πεδία ή τα πεδία spinor.  Πιο ανεπαίσθητα, τα βαθμωτά πεδία έρχονται συχνά σε αντίθεση με τα ψευδοβαθμωτά πεδία.

 Χρήσεις στη φυσική  
Στη φυσική, τα βαθμωτά πεδία συχνά περιγράφουν τη δυναμική ενέργεια που σχετίζεται με μια συγκεκριμένη δύναμη.  Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό πεδίο, το οποίο μπορεί να προκύψει ως παράγοντας της κλίσης του βαθμωτού πεδίου δυναμικής ενέργειας.  Παραδείγματα περιλαμβάνουν:
 Τα δυναμικά πεδία, όπως το Νευτώνειο βαρυτικό δυναμικό, ή το ηλεκτρικό δυναμικό στην ηλεκτροστατική, είναι βαθμωτά πεδία που περιγράφουν τις πιο γνωστές δυνάμεις.
 Ένα πεδίο θερμοκρασίας, υγρασίας ή πίεσης, όπως αυτά που χρησιμοποιούνται στη μετεωρολογία.

 Άλλα είδη πεδίων 
 Διανυσματικά πεδία, τα οποία συσχετίζουν ένα διάνυσμα με κάθε σημείο του χώρου. Ορισμένα παραδείγματα διανυσματικών πεδίων περιλαμβάνουν το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και τη ροή του αέρα (άνεμος) στη μετεωρολογία.

Τανυστικά πεδία, τα οποία συσχετίζουν έναν τανυστή με κάθε σημείο του χώρου. Παραδείγματος χάριν, στη γενική θεωρία της σχετικότητας η βαρύτητα συνδέεται με το τανυστικό πεδίο που ονομάζεται τανυστής Αϊνστάιν. Στη θεωρία Καλούζα-Κλάιν, ο χωροχρόνος επεκτείνεται σε πέντε διαστάσεις και ο τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν μπορεί να διαχωριστεί στη συνηθισμένη τετραδιάστατη βαρύτητα συν ένα επιπλέον σύνολο, το οποίο είναι ισοδύναμο με τις εξισώσεις του Μάξγουελ για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, συν ένα επιπλέον κλιμακωτό πεδίο γνωστό ως «dilaton» (Η βαθμωτή  dilaton βρίσκεται επίσης μεταξύ των άμαζων μποζονικών πεδίων στη θεωρία χορδών).

 Βιβλιογραφία 








Παραπομπές

Κατηγορία:Πολυμεταβλητός λογισμός
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός