Υπερκύβος

+ Προοπτικές προβολές190px190pxΚύβος (3-κύβος)Τεσσεράκτιο (4-κύβος)
Στη γεωμετρία, ο υπερκύβος ν-διαστάσεων είναι ανάλογος ενός τετραγώνου (για ν = 2) ή κύβου (για ν = 3), κτλ., και είναι επίσης ένα ορθότοπο. Πρόκειται για ένα συμπαγές πολύτοπο ο σκελετός του οποίου αποτελείται από ιδίου μήκους παράλληλα ή κάθετα μεταξύ τους ευθύγραμμα τμήματα τα οποία εδράζουν σε όλες τις διαστάσεις του χώρου που ανήκει. Η μεγαλύτερη διαγώνιος που εγγράφεται εντός ενός υπερκύβου ν-διαστάσεων είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του ν.

Ένας ν-διαστάσεων υπερκύβος καλείται επίσης ν-κύβος. Ο όρος «πολύτοπο μέτρο»Olshevsky, George, Measure polytope at Glossary for Hyperspace. που χρησιμοποιείται επίσης, κυρίως στην εργασία του H.S.M. Coxeter και αρχικά από τον Elte, το 1912, Chapter IV, five dimensional semiregular polytope. έχει πλέον αντικατασταθεί.

Ο Υπερκύβος μονάδας είναι ένα υπερκύβος του οποίου η πλευρά έχει μήκος μία μονάδα. Συχνά ο υπερκύβος, οι κορυφές του οποίου (ή γωνίες) είναι 2ν στο Rν με συντεταγμένες ίσες με 0 ή 1, λέγεται Μονάδα υπερκύβου.

 Κατασκευή 
μικρογραφία|αριστερά|350px|Ένα διάγραμμα που δείχνει πώς να δημιουργήσετε ένα Τεσσεράκτιο από ένα σημείο. 

0 – Ένα σημείο είναι ένας υπερκύβος σε χώρο μηδενικών διαστάσεων.
1 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτό το σημείο κατά μία μονάδα μήκους, τότε θα σαρώσει ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο είναι ένας υπερκύβος μονάδας σε χώρο μίας διαστάσεως.
2 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτό το ευθύγραμμο τμήμα (όλο το μήκος του) προς μια κάθετη κατεύθυνση σε σχέση με αυτό και απόσταση ίση με το μήκος του, τότε θα σαρώσει ένα 2-διαστάσεων τετράγωνο.
3 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτό το τετράγωνο κατά μία μονάδα μήκους σε κατεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο που βρίσκεται, θα δημιουργήσει έναν 3-διαστάσεων κύβο.
4 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτόν τον κύβο κατά μία μονάδα μήκους στην τέταρτη διάσταση, τότε θα δημιουργήσει ομοίως έναν 4-διαστάσεων υπερκύβο, που ονομάζεται Τεσσεράκτιο.

Αυτό μπορεί να γενικευθεί σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων και αυτή καθ' εαυτού η διαδικασία των σαρώσεων είναι γνωστή στα μαθηματικά ως ένα άθροισμα Minkowski: ο δ διαστάσεων υπερκύβος είναι το άθροισμα Minkowski των δ αμοιβαίων ευθυγράμμων τμημάτων που είναι κάθετα σε μία μονάδα μήκους, και κατά συνέπεια αποτελεί παράδειγμα ενός ζωνότοπου.

Κατά την τοπολογία ο μονοδιάστατος σκελετός ενός υπερκύβου είναι ένα γράφημα του υπερκύβου.

 Συντεταγμένες 
Μια μονάδα υπερκύβου ν διαστάσεων είναι επίσης ένα κυρτό περίβλημα όλων των σημείων του όπως αυτά μετατέθηκαν στις καρτεσιανές συντεταγμένες:

. Έχει μήκος ακμής 1 και ν-διάστατο όγκο ίσο με 1.

Ένας ν διαστάσεων υπερκύβος θεωρείται επίσης ως το κυρτό περίβλημα όλων των μεταθέσεων:

. Έχει αντίστοιχα μήκος ακμής 2, και ν-διάστατο όγκο ίσο με 2ν.

Αυτή η μορφή επιλέγεται συχνά λόγω της ευκολίας που έχει στο να καταγράψει τις συντεταγμένες του.Bowen (1982), σσ. 97–99.

 Σχετικές οικογένειες πολυτόπων 
Οι υπερκύβοι είναι μία από τις λίγες οικογένειες κανονικών πολυτόπων που ισχύουν για οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων.

Άλλες οικογένειες υπερκύβων είναι:
 η αν (Πλέγμα)
 η βν (Υπεροκτάεδρο)
 η γν (Μετατόπιση)Coxeter (1973), σελ. 123.
 η δν (Υπερκυβική κυψέλη)

Μια άλλη σχετική οικογένεια ημικανονικών και ομοιόμορφων πολυτόπων είναι των Ημιυπερκύβων, οι οποίοι είναι κατασκευασμένοι από υπερκύβους με εναλλακτική διαγραφή των κορυφών και πλέγμα των έδρων στα κενά, επισημαίνεται ως ηγν.

 Στοιχεία 
Κάθε ν-κύβος, όπου ν > 0, αποτελείται από στοιχεία ή ν-κύβους μιας κατώτερης διάστασης, σχετικής με την (ν-1) διαστάσεων επιφάνεια επί του υπερκύβου γονέα. Η κάθε πλευρά του υπερκύβου γονέα είναι και ένα στοιχείο της (ν-1) διάστασής του. Ένας υπερκύβος ν διαστάσεων έχει 2ν πλευρές.OEIS A005843. Δηλαδή, μία 1-διαστάσεων γραμμή έχει 2 άκρα (σημεία 0-διαστάσεων), ένα 2-διαστάσεων τετράγωνο έχει 4 πλευρές (γραμμές 1-διαστάσεων), ένας 3-διαστάσεων κύβος έχει 6 έδρες (τετράγωνα 2-διαστάσεων), ένα 4-διαστάσεων τεσσεράκτιο έχει 8 κελιά (κύβους 3-διαστάσεων), κοκ. ο αριθμός των κορυφών ενός ν-κύβου είναι 2νOEIS A000079. (για παράδειγμα, ένας κύβος έχει 23 = 8 κορυφές).

Ένας απλός τύπος για τον υπολογισμό του αριθμού των (ν-2)-επιφανειών ενός υπερκύβου ν-διαστάσεων είναι: 2ν2 - 2ν

+ 
Στοιχεία Υπερκύβου  n γ κύβος m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n γn n-κύβος ΟνομασίεςSchläfliCoxeter-Dynkin Κορυφές Πλευρές Επιφάνειες Κελλιά 4-Επιφάνειες 5-Επιφάνειες 6-Επιφάνειες 7-Επιφάνειες 8-Επιφάνειες 9-Επιφάνειες 10-Επιφάνειες 0 γ0 0-κύβος Σημείο- 1                     1 γ1 1-κύβος Ευθύγραμμο τμήμα{} 2 1                   2 γ2 2-κύβος Τετράγωνο{4} 4 4 1                 3 γ3 3-κύβος ΚύβοςΕξάεδρο{4,3} 8 12 6 1               4 γ4 4-κύβος ΤεσσεράκτιοΟκτάχωρο{4,3,3} 16 32 24 8 1             5 γ5 5-κύβος ΠεντεράκτιοΔεκάτερο{4,3,3,3} 32 80 80 40 10 1           6 γ6 6-κύβος ΕξεράκτιοΔωδεκάπετο{4,3,3,3,3} 64 192 240 160 60 12 1         7 γ7 7-κύβος ΕπτεράκτιοΤετραδικό 7-τοπο{4,3,3,3,3,3} 128 448 672 560 280 84 14 1       8 γ8 8-κύβος ΟκτεράκτιοΕξαδικό 8-τοπο{4,3,3,3,3,3,3} 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1     9 γ9 9-κύβος ΕννεράκτιοΟκταδικό 9-τοπο{4,3,3,3,3,3,3,3} 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1   10 γ10 10-κύβος ΔεκεράκτιοΕικοσαδικό 10-τοπο{4,3,3,3,3,3,3,3,3}1024512011520153601344080643360960180201

 Γραφικά 
Ένας ν-κύβος μπορεί να προβληθεί μέσα σε ένα κανονικό 2ν-γώνιο πολύγωνο με παραποίηση της ορθής προβολής, όπως παρουσιάζεται παρακάτω (από ευθύγραμμο τμήμα σε 12-κύβος).Trott, M. Hypercube Projections (The Mathematica Guidebooks Additional Material).

+ Ορθογραφικές προβολές του Πέτρι πολυγώνου160pxΕυθύγραμμο τμήμα160pxΤετράγωνο160pxΚύβος160px4-κύβος (Τεσσεράκτιο)160px5-κύβος (Πεντεράκτιο)160px6-κύβος (Εξεράκτιο)160px7-κύβος (Επτεράκτιο)160px8-κύβος (Οκτεράκτιο)160px9-κύβος (Εννεράκτιο)160px10-κύβος (Δεκεράκτιο)160px11-κύβος (Ενδεκεράκτιο)160px12-κύβος (Δωδεκεράκτιο)

 Περαιτέρω ανάγνωση 
 Υπερσφαίρα
 Πλέγμα

 Παραπομπές 

 Πηγές 

  σελ. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)
  Cf Chapter 7.1 "Cubical Representation of Boolean Functions" wherein the notion of "hypercube" is introduced as a means of demonstrating a distance-1 code (Gray code) as the vertices of a hypercube, and then the hypercube with its vertices so labelled is squashed into two dimensions to form either a Veitch diagram or Karnaugh map.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 


 www.4d-screen.de: Rotation of 4D – 7D-Cube.
  Rotating a Hypercube by Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.
 Stereoscopic Animated Hypercube.
 Rudy Rucker and Farideh Dormishian's Hypercube Downloads.

Κατηγορία:Πολυδιάστατη γεωμετρία
Κατηγορία:Κύβοι