Προβλήματα του Χίλμπερτ

Τα προβλήματα του Χίλμπερτ αποτελούν μια λίστα από 23 προβλήματα στα μαθηματικά τα οποία εκδόθηκαν από τον Γερμανό μαθηματικό Ντάβιντ Χίλμπερτ το 1900. Τα προβλήματα ήταν όλα άλυτα εκείνη την περίοδο, και πολλά από αυτά είχαν μεγάλη επιρροή στους μαθηματικούς του 20ου αιώνα. Ο Χίλμπερτ παρουσίασε 10 από αυτά τα προβλήματα (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 και 22) όταν ήταν ομιλητής στο διεθνές συνέδριο μαθηματικών του Παρισιού, στις 8 Αυγούστου στη Σορβόνη. Η πλήρης λίστα με τα 23 προβλήματα δημοσιεύθηκε αργότερα, με πιο σημαντική τη μετάφραση της το 1902 από τη Μαρί Φρανσέ Ουίνστον Νίουσον  στο Περιοδικό της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρείας.David Hilbert, , Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 8, no. 10 (1902), pp. 437-479. Earlier publications (in the original German) appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 253-297, and Archiv der Mathematik und Physik, 3dser., vol. 1 (1901), pp. 44-63, 213-237.

Φύση και επιρροές των προβλημάτων
Τα προβλήματα του Χίλμπερτ έχουν μεγάλη κύμανση τόσο σε θεματολογία όσο και σε ακρίβεια διατύπωσης.  Μερικά από αυτά είναι διατυπωμένα με τόση ακρίβεια ώστε είναι δυνατόν να απαντηθούν με μια θετική ή αρνητική απάντηση όσον αφορά την ισχύ τους, όπως το 3ο πρόβλημα (πιθανώς το πιο εύκολο για κάποιον μη μυημένο στα μαθηματικά για να το καταλάβει καθώς και το πρώτο το οποίο λύθηκε) ή το διαβόητο 8ο πρόβλημα (η υπόθεση του Ρίμαν).  Υπάρχουν άλλα προβλήματα (σημειωτέον το 5ο) για τα οποία οι ειδικοί έχουν συμφωνήσει σε μια διατύπωση και λύση, στη μετάφραση που δόθηκε, αλλά παραμένουν και άλυτα προβλήματα τα οποία συνδέονται μεταξύ τους, πράγμα το οποίο ενδέχεται να επιδίωκε ο ίδιος ο Χίλμπερτ.  Μερικές φορές οι διατυπώσεις του Χίλμπερτ δεν ήταν αρκετά ακριβείς, έτσι ώστε να προσδιορίσουν πλήρως ένα πρόβλημα, ωστόσο υποδηλώνονται σε ικανοποιητικό βαθμό, έτσι ώστε τα συγκεκριμένα προβλήματα να μπορούν να προσεγγιστούν σήμερα, για παράδειγμα οι περισσότεροι αλγεβριστές θα προτιμούσαν το 9ο πρόβλημα να αναφέρεται ως (εικασία) η αλληλογραφία του Λάνγκλαντς στις παραστάσεις της απολύτου ομάδας του Γκαλουά ενός σώματος αριθμών. Ακόμη άλλα προβλήματα (π.χ το 11ο και το 16ο) αποτελούν ακμάζοντες υποκλάδους των σύγχρονων μαθηματικών, όπως η θεωρία των τετραγωνικών μορφών και οι πραγματικές αλγεβρικές καμπύλες.

Υπάρχουν δύο προβλήματα τα οποία δεν είναι απλώς άλυτα, αλλά ίσως να είναι γενικώς μη επιλύσιμα με τις τωρινές μαθηματικές γνώσεις.  Το 6ο πρόβλημα αφορά την αξιωματοποίηση της φυσικής, ένα στόχο που έχουν καταστήσει οι φυσικοί του 20ου αιώνα (συμπεριλαμβανομένης και της αναγνώρισης της φυσικής ως μια αυστηρά ανεξάρτητης επιστήμης από τα μαθηματικά) κατά κάποιο τρόπο λιγότερο σημαντικό απ'ότι την εποχή του Χίλμπερτ. Επίσης, το τέταρτο πρόβλημα που αφορά τα θεμέλια της γεωμετρίας, διατυπώνεται με ένα τρόπο ο οποίος χαρακτηρίζεται ως ασαφής στο να επιτρέψει μια συγκεκριμένη απάντηση.

Αξιοσημείωτο είναι ότι, τα υπόλοιπα είκοσι ένα προβλήματα προσέλκυσαν μεγάλη προσοχή, και μέχρι και τον εικοστό πρώτο αιώνα θεωρούνται προβλήματα μεγάλης σημασίας.  Ο Πολ Κοέν έλαβε το Βραβείο Φιλντς το 1966 για την δουλεία του στο πρώτο πρόβλημα, ενώ η απόρριψη του δέκατου προβλήματος το 1970 από τον Ματιγιάσεβιτς (ολοκλήρωσε την δουλεία των Ντέιβις, Πούτναμ και Ρόμπινσον) του έδωσε μεγάλη αναγνώριση. Πτυχές αυτών των προβλημάτων παρουσιάζουν ακόμη και σήμερα μεγάλο ενδιαφέρον.

Μη ύπαρξη ασύλληπτου
Πολλά από τα προβλήματα του Χίλμπερτ έχουν επιλυθεί (ή αμφισβητήσιμα επιλυθεί) με τρόπους πραγματικά εκπληκτικούς , που σε ορισμένες περιπτώσεις ενόχλησαν, και τον ίδιο τον Χίλμπερτ . Επηρεασμένος από τον Φρέγκε και τον Ράσελ , ο Χίλμπερτ προσπάθησε να προσδιορίσει τα μαθηματικά χρησιμοποιώντας τη λογική της μεθόδου των φορμαλιστικών συστημάτων, δηλαδή, άπειρες αποδείξεις από ένα σύνολο αποδεκτών αξιωμάτων.A reliable source of Hilbert's axiomatic system, his comments on them and on the foundational "crisis" that was on-going at the time (translated into English), appears as Hilbert's 1927 "The foundations of mathematics". This can be found on p. 464ff in Jean van Heijenoort (editor) 1976/1966, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979–1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-67j4-32449-8(pbk.).  Ένας από τους κύριους στόχους του προγράμματος του Χίλμπερτ ήταν μία απειροστική απόδειξη της συνέπειας των αξιωμάτων της αριθμητικής : αυτό ήταν το δεύτερο του πρόβλημα.See Nagel and Newman revised by Hofstadter 2001:107, footnote #37: "Moreover, although most specialists in mathematical logic do not question the cogency of [Gentzen's] proof, it is not finitistic in the sense of Hilbert's original stipulations for an absolute proof of consistency". Also see next page: "But these proofs [Gentzen's et al.] cannot be mirrored inside the systems that they concern, and, since they are not finitistic, they do not achieve the proclaimed objectives of Hilbert's original program." Hofstadter rewrote the original (1958) footnote slightly, changing the word "students" to "specialists in mathematical logic". And this point is discussed again on page 109 and has not been modified by Hofstadter. (p.108)

Παρόλα αυτά, το το δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας του Κουρτ Γκέντελ, δίνει μία ακριβή έννοια με την οποία μία τέτοια απειροστική απόδειξη της συνέπειας της αριθμητικής είναι πιθανόν αδύνατη. Ο Χίλμπερτ έζησε για 12 χρόνια μετά το θεώρημα του Γκέντελ , αλλά δεν φαίνεται να έχει γράψει καμία επίσημη απάντηση για το έργο του Γκέντελ.Reid reports that upon hearing about "Gödel's work from Bernays, he was 'somewhat angry'. . . . At first he was only angry and frustrated, but then he began to try to deal constructively with the problem. . . . It was not yet clear just what influence Gödel's work would ultimately have." (p. 198–199). Reid reports that Hilbert proposed a different form of induction called "'unendliche Induktion.' In 1931 two papers in the new direction appeared." (p. 199)Reid's biography of Hilbert, written during the 1960s from interviews and letters,  reports that "Godel (who never had any correspondence with Hilbert) feels that Hilbert's scheme for the foundations of mathematics 'remains highly interesting and important in spite of my negative results' (p. 217). Observe the use of present tense – she reports that Gödel and Bernays among others "answered my questions about Hilbert's work in logic and foundations"(p. vii). Χωρίς αμφιβολία όμως η σημασία του έργου του Γκέντελ στα μαθηματικά ως σύνολο (και όχι μόνο ως τυπική λογική) ήταν επαρκής και απεικονίζεται δραματικά κατά την εφαρμογή αυτών σε ένα από τα προβλήματα του Χίλμπερτ.

Το δέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ δεν ρωτάει αν υπάρχει ένας αλγόριθμος που να αποφασίζει αν λύνονται οι διοφαντικές εξισώσεις, αλλά μάλλον να ζητάει την  κατασκευή ενός τέτοιου αλγορίθμου: "που να βρίσκει ένα τρόπο σύμφωνα με τον οποίο μπορεί να προσδιοριστεί σε πεπερασμένο πλήθος αριθμών και πράξεων κατά πόσο η εξίσωση λύνεται σε λογικούς ακεραίους." Το ότι αυτό το πρόβλημα λύθηκε αποδεικνύοντας ότι δεν μπορεί κατά πάσα πιθανότητα να υπάρχει ένας τέτοιος αλγόριθμος θα ήταν κάτι πολύ περίεργο για αυτόν.

Αναφέροντας την άποψη του ότι κάθε μαθηματικό πρόβλημα θα έπρεπε να είχε μία λύση, ο Χίλμπερτ πιστεύει ότι υπάρχει το ενδεχόμενο ότι η λύση μπορεί να είναι μία απόδειξη ότι το αρχικό πρόβλημα είναι αδύνατο.This issue that finds its beginnings in the "foundational crisis" of the early 20th century, in particular the controversy about under what circumstances could the Law of Excluded Middle be employed in proofs. See much more at Brouwer–Hilbert controversy. Με περηφάνια, δήλωσε ότι το θέμα είναι να γνωρίζουμε τον έναν ή τον άλλον τρόπο για το ποία είναι η λύση, και πίστευε ότι πάντα μπορούμε να το γνωρίζουμε αυτό, ότι στα μαθηματικά δεν υπάρχει καμία μη συλλήψιμη έννοια."This conviction of the solvability of every mathematical problem is a powerful incentive to the worker. We hear within us the perpetual call: There is the problem. Seek its solution. You can find it by pure reason, for in mathematics there is no ignorabimus." (Hilbert 1902:445.)  Είναι σαφές ότι η λύση του δέκατου προβλήματος θα είχε θεωρηθεί ως ένα παράδειγμα αγνώστου: αυτό που αποδεικνύεται να μην υπάρχει δεν είναι ακέραια λύση, αλλά (κατά κάποιον τρόπο) η δικιά μας ικανότητα να διακρίνουμε αν υπάρχει λύση.

Από την άλλη μεριά, η δομή του πρώτου και δεύτερου προβλήματος είναι ακόμα πιο περίπλοκη: δεν υπάρχει καμία σαφής μαθηματική παραδοχή εάν τα αποτελέσματα του Γκέντελ (στην περίπτωση του δεύτερου προβλήματος), ή του Γκέντελ και του Κόχεν (στην περίπτωση του πρώτου προβλήματος) δίνουν οριστικές αρνητικές λύσεις ή όχι, αφού αυτές οι λύσεις ισχύουν για μία ορισμένη ομάδα προβλημάτων , αλλά δεν εξασφαλίζουν τη γενική απόδειξη τους.Nagel, Newman and Hofstadter discuss this issue: "The possibility of constructing a finitistic absolute proof of consistency for a formal system such as Principia Mathematica is not excluded by Gödel's results. ... His argument does not eliminate the possibility ... But no one today appears to have a clear idea of what a finitistic proof would be like that is not capable of being mirrored inside Principia Mathematica (footnote 39, page 109). The authors conclude that the prospect "is most unlikely."

Το 24ο πρόβλημα
Ο Χίλμπερτ αρχικά συμπεριέλαβε 24 προβλήματα στη λίστα του, αλλά αργότερα αποφάσισε να μην δημοσιεύσει το ένα από αυτά.  Το "24ο πρόβλημα" (στη θεωρία αποδείξεων, για ένα κριτήριο προς απλούστευση και γενίκευση των αποδεικτικών μεθόδων) ανακαλύφθηκε στα προσωπικά χειρόγραφα του Χίλμπερτ από τον Γερμανό Ρουίντιγκερ Θίλε το 2000.Hilbert’s twenty-fourth problem Rüdiger Thiele, American Mathematical Monthly, January 2003

Επακόλουθα
Από το 1900 μαθηματικοί και οργανώσεις μαθηματικών έχουν δημοσιεύσει λίστες προβλημάτων, αλλά εκτός από λίγες εξαιρέσεις, αυτές οι συλλογές δεν είχαν τόση επιρροή ούτε είχαν την επιρροή των προβλημάτων του Χίλμπερτ.

Εξαίρεση αποτελούν οι τρεις εικασίες που δημιουργήθηκαν από τον Αντρέ Βέιλ στα τέλη της δεκαετίας του 1940, (οι εικασίες του Βέιλ). Στους τομείς της Αλγεβρικής γεωμετρίας, της θεωρίας των αριθμών και τις σχέσεις μεταξύ των δύο, οι εικασίες Βέιλ ήταν πολύ σημαντικές. Η πρώτη από τις εικασίες αποδείχθηκε από τον Μπερνάρντ Ντορκ, ενώ μία απόδειξη για τις πρώτες δύο εικασίες μέσω της Ετάλ Σοχομολογκί δόθηκε από τον Αλεξάντερ Γκρότεντικ. Η τελευταία και βαθύτερη από τις εικασίες του Βέιλ (κάτι ανάλογο της υπόθεσης του Riemann) αποδείχθηκε από τον Πιερ Ντελέν. Στους δύο τελευταίους απονεμήθηκε το Μετάλλιο Φιλντς. Ωστόσο, οι εικασίες του Βέιλ στο πεδίο εφαρμογής τους είναι απλά προβλήματα σε σχέση με αυτά του Χίλμπερτ. Παρόλα αυτά ο Βέιλ ήταν ένας εξαιρετικός μαθηματικός της δεκαετίας του 1940 και του 1950, και ήταν εξοικειωμένος με όλους σχεδόν τους τομείς των (θεωρητικών) μαθηματικών και είχε ουσιαστικό ρόλο στην ανάπτυξη πολλών από αυτούς.

Ο Πολ Έρντος, γνωστός μαθηματικός ο οποίος έχει θέσει εκατοντάδες, αν όχι χιλιάδες, μαθηματικά προβλήματα, προσέφερε χρηματικές αμοιβές για την επίλυση τους.  Το μέγεθος της αμοιβής εξαρτάται από την εκτιμώμενη δυσκολία του προβλήματος. 

Στο τέλος της χιλιετίας, που είναι επίσης και τέλος της εκατονταετίας στην οποία ανακοίνωσε ο Χίλμπερτ τα προβλήματα, αποτέλεσε εφαλτήριο για νέα προβλήματα. Αρκετοί μαθηματικοί αποδέχθηκαν την πρόκληση, ιδιαίτερα ο κάτοχος βραβείου Φίλντς Στέφαν Σμέιλ, ο οποίος ανταποκρίθηκε στο αίτημα του Βλαδίμηρ Άρνολντ προτείνοντας μια λίστα με 18 προβλήματα. Τα προβλήματα του Σμέιλ δεν έχουν λάβει έως τώρα πολύ μεγάλη προσοχή από τα μέσα μαζικής ενημέρωσης, και δεν είναι σαφές πόση προσοχή παίρνουν από τη μαθηματική κοινότητα.

Τουλάχιστον τα κύρια μέσα μαζικής ενημέρωσης, το ανάλογο εξ ορισμού των προβλημάτων του Χίλμπερτ του 21ου αιώνα, είναι η λίστα των επτά επικηρυγμένων προβλημάτων της χιλιετίας που επιλέχθηκε το 2000 από το  ινστιτούτο του Κλέι.  Σε αντίθεση με τα προβλήματα του Χίλμπερτ, όπου το κύριο βραβείο ήταν ο θαυμασμός του Χίλμπερτ και των μαθηματικών γενικότερα, κάθε πρόβλημα έχει ως βραβείο επίλυσης του ένα εκατομμύριο δολάρια. Όπως και με τα προβλήματα του Χίλμπερτ, ένα από τα βραβευμένα προβλήματα η εικασία του Πουανκαρέ) λύθηκε σχετικά σύντομα μετά την ανακοίνωση των προβλημάτων.

Το 2008, το κέντρο προηγμένων ερευνών άμυνας των Η.Π.Α ανακοίνωσε τη δικιά του λίστα με 23 προβλήματα τα οποία ελπίζει να προκαλέσουν ανάλογη μαθηματική έκρηξη με αυτών του Χίλμπερτ.

Περίληψη
Από τα καθαρά διατυπωμένα προβλήματα του Hilbert, τα προβλήματα 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20, και 21 έχουν ένα γίνει πλήρως αποδεκτά ως προς τη διατύπωση τους. Από την άλλη, τα προβλήματα 1, 2, 5, 9, 15, 18+,και 22 έχουν λύσεις που έχουν μερική αποδοχή, και υπάρχει κάποια διαμάχη για το αν όντως έχουν λυθεί τα προβλήματα.
Το + στο 18 υποδηλώνει ότι η λύση στην εικασία του Κέπλερ είναι απόδειξη με τη βοήθεια υπολογιστή, μια έννοια αναχρονιστική για ένα πρόβλημα του Χίλμπερτ και σε κάποιο βαθμό αμφιλεγόμενη, λόγω της έλλειψης της επαληθευσιμότητας από έναν ανθρώπινο αναγνώστη σε ένα εύλογο χρονικό διάστημα.  

Αυτό αφήνει τα 16 ,8 (υπόθεση του Ρίμαν) και 12 άλυτα. Σε αυτή την κατάταξη τα 4, 16, και 23 είναι πολύ ασαφή για να περιγραφούν κάποτε ως λυμένα. Η αποσυρμένη 24 είναι επίσης σε αυτή την κατηγορία. Τέλος η 6 θεωρείται  πρόβλημα της φυσικής και όχι των μαθηματικών .

Πίνακας των προβλημάτων
Τα είκοσι τρία προβλήματα του Χίλμπερτ είναι:
  Πρόβλημα Σύντομη εκφώνηση  Κατάσταση  Έτος επίλυσης 1ο Η υπόθεση της συνέχειας (αυτή είναι, ότι δεν υπάρχει σύνολο του οποίου ο πληθάριθμος είναι αυστηρά ανάμεσα σε ένα ακέραιο και ένα πραγματικό αριθμό) Αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατο να το αποδείξεις αλλά και να το απορρίψεις μέσα στη θεωρία συνόλων των Ζερμέλο-Φρένκελ με ή χωρίς το αξίωμα της επιλογής. Δεν υπάρχει ομοφωνία στο αν αυτό αποτελεί λύση για το πρόβλημα. 1963 2ο Απόδειξη ότι τα αξιώματα της αριθμητικής είναι συνεπή. Δεν υπάρχει ομοφωνία εάν τα αποτελέσματα των Γκέντελ και Γκέτντζεν δίνουν λύση στο πρόβλημα έτσι όπως διατυπώθηκε από τον Χίλμπερτ. Το δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ, το οποίο αποδείχθηκε το 1931, δείχνει ότι η απόδειξη της ισχύς του μπορεί να μεταφερθεί και στην αριθμητική. Ο Γκέντζεν απέδειξε το 1936 ότι η συνέπεια των αξιωμάτων της αριθμητικής εναρμονίζεται με τη κανονικότητα των αριθμών [[ε0]]. 1936; 3ο Δοσμένων δύο οποιονδήποτε πολυέδρων ίσου όγκου, είναι πάντα δυνατό να χωρίσουμε το πρώτο σε πεπερασμένο αριθμό μικρότερο πολυέδρων έτσι ώστε να μπορούμε να σχηματίσουμε το δεύτερο; Λύθηκε με χρήση των αναλλοίωτων του Ντεν. 1900 4ο Κατασκευάστε όλες τις μετρικές όπου όλες οι γραμμές είναι γεωδαισιακές. Πολύ ασαφές έτσι ώστε να χαρακτηριστεί λυμένο ή όχι. – 5ο Είναι οι συνεχείς ομάδες αυτόματα διαφορίσιμες ομάδες; Λύθηκε από τον Άντριου Γκλίσον, αναλόγως με το πως είχε διατυπωθεί το πρόβλημα. Αν όμως θεωρηθεί ως παρόμοιο με την εικασία των Χίλμπερτ-Σμιθ, παραμένει ακόμη άλυτο. 1953; 6ο Η αξιωματοποίηση της φυσικής    – 7ο Είναι ο α β υπερβατικός, για τον αλγεβρικό α ≠ 0,1 και για τον άρρητο αλγεβρικό β ;  1935 8ο Η υπόθεση του Ρίμαν ("το πραγματικό μέρος κάθε μη-τετριμμένης ρίζας της συνάρτησης ζήτα είναι ½") και άλλα προβλήματα πρώτων αριθμών, όπως η εικασία του Γκόλντμπαχ και η εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών  – 9ο Βρείτε τον πιο γενικό νόμο του θεωρήματος της αμοιβαιότητας σε κάθε αλγεβρικό σώμα αριθμών.  – 10ο Βρείτε έναν αλγόριθμο έτσι ώστε να καθορίσετε εάν κάθε δοσμένη πολυωνυμική Διοφαντική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές έχει ακέραια λύση.  1970 11ο Λύστε τετραγωνικές μορφές με αλγεβρικούς αριθμητικούς συντελεστές. Λύθηκε μερικώς. – 12ο Επεκτείνεται το θεώρημα των Κρόνεκερ-Βέμπερ σε αβελιανές επεκτάσεις των ρητών αριθμών σε κάθε αριθμητική βάση.  – 13ο Να λυθούν μερικώς οι εξισώσεις βαθμού 7 χρησιμοποιώντας συνεχείς συναρτήσεις δύο παραμέτρων. Άλυτο. Το πρόβλημα λύθηκε μερικώς από τον Βλαδιμήρ Άρνολντ ο οποίος βασίστηκε σε εργασία του Άντρει Κολμογκόροφ.  1957 14ο Συμπεριφέρεται ο δακτύλιος των αναλλοίωτων μιας αλγεβρικής ομάδας σε ένα  πολυωνυµικό δακτύλιο πάντα ως πεπερασμένα παραγόμενος;  1959 15ο Αυστηρή διατύπωση του απαριθμητικού λογισμού του Σούμπερτ. Λύθηκε μερικώς. – 16ο Περιγράψτε τις σχετικές θέσεις των οβάλ που προέρχονται από πραγματικές αλγεβρικές καμπύλες και περιορίστε τον κύκλο σε ένα  διανυσματικό πεδίο στο επίπεδο.  – 17ο Εκφράστε μια μη αρνητική ρητή συνάρτηση ως πηλίκο αθροισμάτων τετραγώνων.  1927 18ο (α) Υπάρχει πολύεδρο το οποίο έχει Ανισόεδρο τμήμα το οποίο πρόσκειται σε τρεις διαστάσεις;  (β) Ποίο είναι το πυκνότερο πακετάρισμα της σφαίρας?  19ο Οι λύσεις των κανονικών προβλημάτων του λογισμού των διακυμάνσεων είναι πάντα αναλυτικές;  1957 20ο Έχουν όλα τα προβλήματα διακυμάνσεων με δοσμένες οριακές συνθήκες λύσεις;  ; 21ο Απόδειξη της ύπαρξης των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων έχοντας προκαθορισμένη μια μονοδρομική ομάδα  ; 22ο Τυποποίηση των αναλυτικών σχέσεων με την βοήθεια αυτομορφικών συναρτήσεων  ; 23ο Περαιτέρω ανάπτυξη του λογισμού της διακύμανσης  –

 Παραπομπές 
Γενικά




 Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.



Συγκεκριμένα

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

Αυθεντικό κείμενο του Χίλμπερτ, στα Γερμανικά