Μαθηματική φυσική

Η μαθηματική φυσική αναφέρεται στην ανάπτυξη μαθηματικών μεθόδων για την εφαρμογή σε προβλήματα της φυσικής.  Το περιοδικό "Journal of Mathematical Physics" ορίζει το πεδίο ως εξής: «η εφαρμογή των μαθηματικών σε προβλήματα στη φυσική και την ανάπτυξη των μαθηματικών μεθόδων κατάλληλων για τέτοιες εφαρμογές και για την παρασκευή των φυσικών θεωριών»..

Πεδίο εφαρμογής
Υπάρχουν διάφοροι διακριτοί κλάδοι της μαθηματικής φυσικής, οι οποίοι αντιστοιχούν περίπου σε συγκεκριμένα ιστορικά μέρη του κόσμου μας.

Κλασική μηχανική
Η εφαρμογή των τεχνικών της μαθηματικής φυσικής στην κλασική μηχανική περιλαμβάνει γενικά την αυστηρή, αφηρημένη και προηγμένη αναδιατύπωση της Νευτώνειας μηχανικής με όρους Λαγκρανζιανής μηχανικής και Χαμιλτονιανής μηχανικής (συμπεριλαμβανομένων και των δύο προσεγγίσεων με την παρουσία περιορισμών). Αυτές οι δύο διατυπώσεις ενσωματώνονται στην αναλυτική μηχανική και μας επιτρέπουν να κατανοήσουμε τη βαθιά αλληλεπίδραση μεταξύ των εννοιών της συμμετρίας και της διατήρησης των ποσοτήτων κατά τη δυναμική εξέλιξη των μηχανικών συστημάτων, όπως φαίνεται από την πιο στοιχειώδη διατύπωση του θεωρήματος  Νέτερ. Οι εν λόγω προσεγγίσεις και ιδέες επεκτάθηκαν σε άλλους τομείς της φυσικής, όπως η στατιστική μηχανική, η μηχανική της συνέχειας, η κλασική θεωρία πεδίου και η κβαντική θεωρία πεδίου. Επιπλέον, έδωσαν πολλά παραδείγματα και ιδέες στη διαφορική γεωμετρία (παραδείγματος χάριν, διάφορες έννοιες της συμπλεκτικής γεωμετρίας και των διανυσματικών δεσμών).

Μερικές διαφορικές εξισώσεις
Κύριο άρθρο: διαφορικές εξισώσεις

Στον χώρο των μαθηματικών, η θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων, ο λογισμός των μεταβολών, η ανάλυση Φουριέ, η θεωρία δυναμικού και η διανυσματική ανάλυση συνδέονται ίσως περισσότερο με τη μαθηματική φυσική. Τα πεδία αυτά αναπτύχθηκαν εντατικά από το δεύτερο μισό του 18ου αιώνα (παραδείγματος χάριν, από τους Νταλεμπέρ, Όιλερ και Λαγκράνζ) μέχρι τη δεκαετία του 1930. Οι φυσικές εφαρμογές αυτών των εξελίξεων περιλαμβάνουν την υδροδυναμική, την ουράνια μηχανική, τη μηχανική της συνέχειας, τη θεωρία της ελαστικότητας, την ακουστική, τη θερμοδυναμική, τον ηλεκτρισμό, τον μαγνητισμό και την αεροδυναμική.

Κβαντική θεωρία
Κύριο άρθρο: Κβαντική μηχανική

Η θεωρία των ατομικών φασμάτων (και, αργότερα, η κβαντομηχανική) αναπτύχθηκε σχεδόν ταυτόχρονα με τμήματα των μαθηματικών πεδίων της γραμμικής άλγεβρας, της θεωρίας φασματικών τελεστών, των αλγεβρών τελεστών και, ευρύτερα, της συναρτησιακής ανάλυσης. Η μη σχετικιστική κβαντομηχανική περιλαμβάνει τελεστές Σρέντινγκερ και έχει δεσμούς με την ατομική και μοριακή φυσική. Η κβαντική θεωρία της πληροφορίας είναι μια άλλη υποειδικότητα.

Θεωρίες της σχετικότητας και της κβαντικής σχετικότητας
Κύρια άρθρα: Θεωρία της σχετικότητας και Κβαντική θεωρία πεδίου

Οι θεωρίες της ειδικής σχετικότητας και της γενικής σχετικότητας απαιτούν ένα μάλλον διαφορετικό είδος μαθηματικών. Πρόκειται για τη θεωρία ομάδων, η οποία διαδραμάτισε σημαντικό ρόλο τόσο στην κβαντική θεωρία πεδίου όσο και στη διαφορική γεωμετρία. Ωστόσο, συμπληρώθηκε σταδιακά από την τοπολογία και τη συναρτησιακή ανάλυση στη μαθηματική περιγραφή των κοσμολογικών φαινομένων και της κβαντικής θεωρίας πεδίου. Στη μαθηματική περιγραφή αυτών των φυσικών πεδίων, ορισμένες έννοιες από την ομολογική άλγεβρα και τη θεωρία κατηγοριών είναι επίσης σημαντικές.

Στατιστική μηχανική
Κύριο άρθρο: Στατιστική μηχανική
Η στατιστική μηχανική αποτελεί ένα ξεχωριστό πεδίο, το οποίο περιλαμβάνει τη θεωρία των μεταβάσεων φάσης. Βασίζεται στη Χαμιλτονιανή μηχανική (ή στην κβαντική εκδοχή της) και συνδέεται στενά με την πιο μαθηματική εργοδική θεωρία και ορισμένα τμήματα της θεωρίας πιθανοτήτων. Υπάρχουν αυξανόμενες αλληλεπιδράσεις μεταξύ της συνδυαστικής και της φυσικής, ιδίως της στατιστικής φυσικής.

Χρήση
μικρογραφία|265x265εσ|Σχέση μεταξύ μαθηματικών και φυσικής
Η χρήση του όρου "μαθηματική φυσική" είναι μερικές φορές ιδιότυπη. Ορισμένα τμήματα των μαθηματικών, τα οποία αρχικά προέκυψαν από την ανάπτυξη της φυσικής, δεν θεωρούνται στην πραγματικότητα μέρος της μαθηματικής φυσικής, ενώ άλλες στενά συνδεδεμένες περιοχές είναι. Παραδείγματος χάριν, οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και η συμπλεκτική γεωμετρία θεωρούνται γενικά καθαρά μαθηματικοί κλάδοι, ενώ τα δυναμικά συστήματα και η Χαμιλτονιανή μηχανική ανήκουν στη μαθηματική φυσική. Ο Τζον Χέραπαθ χρησιμοποίησε τον όρο για τον τίτλο του κειμένου του το 1847 με θέμα "Μαθηματικές αρχές της φυσικής φιλοσοφίας", με αντικείμενο τότε "τα αίτια της θερμότητας, την ελαστικότητα των αερίων, τη βαρύτητα και άλλα μεγάλα φαινόμενα της φύσης"John Herapath (1847) Mathematical Physics; or, the Mathematical Principles of Natural Philosophy, the causes of heat, gaseous elasticity, gravitation, and other great phenomena of nature, Whittaker and company via HathiTrust.

Μαθηματική φυσική και θεωρητική φυσική
Ο όρος "μαθηματική φυσική" χρησιμοποιείται μερικές φορές για να υποδηλώσει την έρευνα που αποσκοπεί στη μελέτη και την επίλυση προβλημάτων της φυσικής ή πειραμάτων σκέψης μέσα σε ένα μαθηματικά αυστηρό πλαίσιο. Από αυτή την άποψη, η μαθηματική φυσική καλύπτει ένα πολύ ευρύ ακαδημαϊκό πεδίο που διακρίνεται μόνο από την ανάμειξη κάποιας μαθηματικής πτυχής και πτυχής της θεωρητικής φυσικής. Αν και σχετίζεται με τη θεωρητική φυσική,Quote: " ... a negative definition of the theorist refers to his inability to make physical experiments, while a positive one... implies his encyclopaedic knowledge of physics combined with possessing enough mathematical armament. Depending on the ratio of these two components, the theorist may be nearer either to the experimentalist or to the mathematician. In the latter case, he is usually considered as a specialist in mathematical physics.", Ya. Frenkel, as related in A.T. Filippov, The Versatile Soliton, pg 131. Birkhauser, 2000. η μαθηματική φυσική με αυτή την έννοια δίνει έμφαση στη μαθηματική αυστηρότητα παρόμοιου τύπου με αυτή που συναντάται στα μαθηματικά.

Από την άλλη πλευρά, η θεωρητική φυσική δίνει έμφαση στους δεσμούς με τις παρατηρήσεις και την πειραματική φυσική, γεγονός που συχνά απαιτεί από τους θεωρητικούς φυσικούς (και τους μαθηματικούς φυσικούς με τη γενικότερη έννοια) να χρησιμοποιούν ευρετικά, διαισθητικά ή προσεγγιστικά επιχειρήματαQuote: "Physical theory is something like a suit sewed for Nature. Good theory is like a good suit. ... Thus the theorist is like a tailor." Ya. Frenkel, as related in Filippov (2000), pg 131. . Οι μαθηματικοί δεν θεωρούν τέτοια επιχειρήματα αξιόπιστα.

Αυτοί οι μαθηματικοί φυσικοί αναπτύσσουν και διαφωτίζουν κυρίως φυσικές θεωρίες. Λόγω του επιπέδου της μαθηματικής ακρίβειας που απαιτείται, οι ερευνητές αυτοί ασχολούνται συχνά με ερωτήματα που οι θεωρητικοί φυσικοί θεωρούν ότι έχουν ήδη επιλυθεί. Ωστόσο, μπορούν μερικές φορές να δείξουν ότι η προηγούμενη λύση ήταν ελλιπής, λανθασμένη ή απλώς πολύ αφελής. Παραδείγματα αποτελούν τα ερωτήματα που σχετίζονται με τις προσπάθειες εξαγωγής του δεύτερου θερμοδυναμικού νόμου από τη στατιστική μηχανική.  Άλλα παραδείγματα αφορούν τις λεπτές αποχρώσεις που εμπλέκονται στις διαδικασίες συγχρονισμού της ειδικής και της γενικής σχετικότητας (το φαινόμενο Σάνιακ και ο συγχρονισμός Αϊνστάιν).

Η προσπάθεια να τεθούν οι φυσικές θεωρίες σε μια μαθηματικά αυστηρή βάση δεν ανέπτυξε μόνο τη φυσική, αλλά επηρέασε επίσης την ανάπτυξη ορισμένων μαθηματικών τομέων. Παραδείγματος χάριν, η ανάπτυξη της κβαντομηχανικής και ορισμένων πτυχών της συναρτησιακής ανάλυσης είναι παράλληλες με πολλούς τρόπους. Η μαθηματική μελέτη της κβαντικής μηχανικής, της κβαντικής θεωρίας πεδίου και της κβαντικής στατιστικής μηχανικής παρακίνησε αποτελέσματα στις άλγεβρες τελεστών. Η προσπάθεια κατασκευής μιας αυστηρής μαθηματικής διατύπωσης της κβαντικής θεωρίας πεδίου οδήγησε επίσης σε πρόοδο σε τομείς όπως η θεωρία αναπαράστασης.

Επιφανείς φυσικοί και μαθηματικοί
Πριν από τον Νεύτων

Υπάρχει μια παράδοση μαθηματικής ανάλυσης της φύσης που ανάγεται στους αρχαίους Έλληνες: Ευκλείδης (Οπτική), Αρχιμήδης (Περί ισορροπίας των επιπέδων, Περί πλωτών σωμάτων) και Πτολεμαίος (Οπτική, Αρμονική). Αργότερα, οι ισλαμιστές και οι βυζαντινοί λόγιοι βασίστηκαν σε αυτά τα έργα, τα οποία τελικά επανήλθαν ή έγιναν προσιτά στη Δύση τον 12ο αιώνα και κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης.

Την πρώτη δεκαετία του 16ου αιώνα, ο ερασιτέχνης αστρονόμος Νικόλαος Κοπέρνικος πρότεινε τον ηλιοκεντρισμό και δημοσίευσε μια πραγματεία για το θέμα το 1543. Διατήρησε την πτολεμαϊκή ιδέα των επικύκλων και απλώς προσπάθησε να απλοποιήσει την αστρονομία κατασκευάζοντας απλούστερα σύνολα επικύκλων τροχιών. Οι επικύκλιοι αποτελούνται από κύκλους επί κύκλων. Σύμφωνα με την αριστοτελική φυσική, ο κύκλος είναι η τέλεια μορφή της κίνησης και η εγγενής κίνηση του πέμπτου στοιχείου του Αριστοτέλη, της πεμπτουσίας ή παγκόσμιας ουσίας, γνωστής στα ελληνικά ως αιθέρας , η οποία είναι η καθαρή ουσία πέρα από την υποσελήνια σφαίρα και συνεπώς η καθαρή σύνθεση των ουράνιων οντοτήτων. Ο Γερμανός Γιόχανς Κέπλερ [1571-1630], βοηθός του Τύχο Μπράχε, τροποποίησε τις κοπερνίκειες τροχιές σε ελλείψεις, που επισημοποιήθηκαν στις εξισώσεις των νόμων του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών.

Ενθουσιώδης ατομιστής, ο Γαλιλαίος υποστήριξε το 1623 στο βιβλίο του Ο επιτιθέμενος ότι "το βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο με μαθηματικά"Peter Machamer "Galileo Galilei"—sec 1 "Brief biography", in Zalta EN, ed, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2010 edn. Το βιβλίο του 1632, το οποίο αφηγείται τις τηλεσκοπικές του παρατηρήσεις, υποστήριζε τον ηλιοκεντρισμόAntony G Flew, Dictionary of Philosophy, rev 2nd edn (New York: St Martin's Press, 1984), p 129. Αφού εισήγαγε τον πειραματισμό, ο Γαλιλαίος συνέχισε να αντικρούει τη γεωκεντρική κοσμολογία καταρρίπτοντας την ίδια την αριστοτελική φυσική. Στο βιβλίο του "Δύο νέες επιστήμες"), που δημοσιεύτηκε το 1638, ο Γαλιλαίος καθιέρωσε τον νόμο της ίσης ελεύθερης πτώσης και τις αρχές της αδρανειακής κίνησης, θέτοντας έτσι τα θεμέλια για τις κεντρικές έννοιες αυτού που θα γινόταν η σημερινή κλασική μηχανική.  Με βάση τον νόμο της αδράνειας του Γαλιλαίου και την αρχή του αναλλοίωτου του Γαλιλαίου, που ονομάζεται επίσης γαλαξιακή σχετικότητα, για κάθε αντικείμενο που υπόκειται σε αδράνεια, είναι εμπειρικά δικαιολογημένο να γνωρίζουμε μόνο ότι βρίσκεται σε σχετική ηρεμία ή σε σχετική κίνηση - σε ηρεμία ή σε κίνηση σε σχέση με ένα άλλο αντικείμενο.

Ο Ρενέ Ντεκάρτ ανέπτυξε ένα ολοκληρωμένο σύστημα ηλιοκεντρικής κοσμολογίας βασισμένο στην αρχή της κίνησης στροβιλισμού, την καρτεσιανή φυσιολογία, η οποία με τη γενικευμένη αποδοχή της προκάλεσε  έφερε την κατάρρευση της αριστοτελικής φυσικής. Ο Ντεκάρτ επιδίωξε να τυποποιήσει τη μαθηματική συλλογιστική στην επιστήμη και ανέπτυξε τις καρτεσιανές συντεταγμένες για τη γεωμετρική αποτύπωση των θέσεων στον τρισδιάστατο χώρο και την επισήμανση της εξέλιξής τους στο χρόνοAntony G Flew, Dictionary of Philosophy, rev 2nd edn (New York: St Martin's Press, 1984), p 89.

Ένας προγενέστερος σύγχρονος του Νεύτων, ο Κριστιάν Χόιγκενς, ήταν ο πρώτος που εξιδανίκευσε ένα φυσικό πρόβλημα με ένα σύνολο παραμέτρων και ο πρώτος που μαθηματικοποίησε πλήρως μια μηχανιστική εξήγηση των μη παρατηρήσιμων φυσικών φαινομένων.Για τους λόγους αυτούς, ο Χόιγκενς θεωρείται ο πρώτος θεωρητικός φυσικός και ένας από τους θεμελιωτές της σύγχρονης μαθηματικής φυσικήςDijksterhuis, F. J. (2008). Stevin, Huygens and the Dutch republic. Nieuw archief voor wiskunde, 5, pp. 100–107. https://research.utwente.nl/files/6673130/Dijksterhuis_naw5-2008-09-2-100.pdfAndreessen, C.D. (2005) Huygens: The Man Behind the Principle. Cambridge University Press: 6.

 Βιβλιογραφία 

 Γενικές εργασίες



Συγγράμματα για προπτυχιακές σπουδές
, (Mathematical Methods for Physicists, Solutions for Mathematical Methods for Physicists (7th ed.), archive.org)

Hassani, Sadri (2009), Mathematical Methods for Students of Physics and Related Fields, (2nd ed.), New York, Springer, eISBN 978-0-387-09504-2



Συγγράμματα για μεταπτυχιακές σπουδές

Εξειδικευμένα κείμενα κλασικής φυσικής



Εξειδικευμένα κείμενα σύγχρονης φυσικής

Παραπομπές


Μαθηματικη