Δεκαπεντάγωνο

Στη γεωμετρία, το δεκαπεντάγωνο είναι ένα πολύγωνο με δεκαπέντε κορυφές και δεκαπέντε πλευρές.

Ένα δεκαπεντάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

 Ιδιότητες 
 Σε κάθε απλό δεκαπεντάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα  (ή  ακτίνια).
 Κάθε δεκαπεντάγωνο έχει 90 διαγωνίους.

 Κυρτό κανονικό δεκαπεντάγωνο 

 Ιδιότητες 
Για το κανονικό δεκαπεντάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
 Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με  (ή  ακτίνια).
 Έχει δεκαπέντε άξονες συμμετρίας.
 Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
 Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
 Έχει περιστροφική συμμετρία δέκατης πέμπτης τάξεως.
 Το σύμβολο Schläfli του δεκαπενταγώνου είναι .

 Κεντρική γωνία 
Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με  (ή  ακτίνια). 

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της  είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους
,
,
.

 Μετρικές σχέσεις 

 Η ακτίνα  του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαπενταγώνου είναι ίση με

Η ακτίνα  του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαπενταγώνου είναι ίση με

 Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκαπενταγώνου δίνονται από τις σχέσεις

Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
.
Το ύψος του είναι 
.

 Εμβαδόν 
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκαπενταγώνου πλευράς  και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου  είναι 
.
Το εμβαδό  ενός κανονικού δεκαπενταγώνου πλευράς  δίνεται από τη σχέση:

Αν  είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκαπενταγώνου είναι

Aν  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότεΤο διάστημα που ορίζουν οι δύο τελευταίοι συντελεστές (3,050... και 3,188...) περιλαμβάνει την τιμή του , που είναι το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου.
.

 Περίμετρος 
Η περίμετρος  του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη
Το κανονικό δεκαπεντάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη. Η κατασκευή παρακάτω κατασκευή ακολουθεί σε γενικές γραμμές την Πρόταση 16 του 4ου βιβλίου στα Στοιχεία του Ευκλείδη.


Αστεροειδές κανονικό δεκαπεντάγωνο
Υπάρχουν τρία κανονικά αστεροειδή δεκαπεντάγωνα, τα , ,, που κατασκευάζονται από τις ίδιες 15 κορυφές ενός κανονικού δεκαπενταγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε δεύτερη, τέταρτη ή έβδομη κορυφή, αντιστοίχως.



Πολύγωνα Πέτρι
Το κανονικό δεκαπεντάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για ένα πολύτοπο περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθεται παρακάτω σε ορθογώνια προβολή:

150px14-simplex (14D)

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας π/15 στο MathWorld.

 Ξενόγλωσσα άρθρα 



 Σημειώσεις 

Παραπομπές

Δεκαπενταγωνο