Θεώρημα των Σιμούρα-Τανιγιάμα

Το θεώρημα των Σιμούρα-Τανιγιάμα δείχνει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη πάνω από τους ρητούς αριθμούς συνδέεται με μια δομοστοιχειωτή μορφή.

Ο Άγγλος μαθηματικός Άντριου Γουάιλς απέδειξε, τη δεκαετία του 1990, το θεώρημα στην περίπτωση των ημιευσταθών ελλειπτικών καμπυλών, το οποίο ήταν αρκετό για να αποδειχθεί το τελευταίο θεώρημα του Φερμά ως πόρισμα. Μια ιδέα που πρωτοδιατύπωσε ο Γερμανός μαθηματικός Γκέρχαρντ Φράι. Οι Μπρόιλ, Μπράιαν Κόνραντ, Φρεντ Ντάιαμοντ, και Ρίτσαρντ Τέιλορ επέκτειναν τη μέθοδο του Ουάλις για να αποδείξουν το θεώρημα για όλες τις ελλειπτικές καμπύλες πάνω από τους ρητούς το 2001.

Ιστορία

Ο Γιούτάκα Τανιγιάμα  διατύπωσε μια προκαταρκτική («λίγο λανθασμένη») εκδοχή της εικασίας στο διεθνές συμπόσιο του 1955 για την αλγεβρική θεωρία αριθμών στο Τόκιο και το Νίκκο. Ο Γκόρο Σιμούρα και ο Τανιγιάμα εργάστηκαν για τη βελτίωση της ακρίβειάς της μέχρι το 1957. Ο Αντρέ Βέιλ  ανακάλυψε εκ νέου την εικασία και έδειξε το 1967 ότι αυτή θα προέκυπτε από τις (εικαζόμενες) λειτουργικές εξισώσεις για κάποιες στριμμένες σειρές  της ελλειπτικής καμπύλης- αυτή ήταν η πρώτη σοβαρή απόδειξη ότι η εικασία μπορεί να είναι αληθινή. Ο Βέιλ έδειξε επίσης ότι ο αγωγός της ελλειπτικής καμπύλης πρέπει να είναι το επίπεδο της αντίστοιχης σπονδυλωτής μορφής. Η εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ έγινε μέρος του προγράμματος Λάνγκλαντς.

Η εικασία προσέλκυσε σημαντικό ενδιαφέρον όταν ο Γκερχάρντ Φρέι]πρότεινε το 1986 ότι συνεπάγεται το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Αυτό το έκανε προσπαθώντας να δείξει ότι οποιοδήποτε αντιπαράδειγμα στο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά θα συνεπαγόταν την ύπαρξη τουλάχιστον μίας μη μοδικής ελλειπτικής καμπύλης. Το επιχείρημα αυτό ολοκληρώθηκε το 1987 όταν ο Ζαν-Πιερ Σερ εντόπισε έναν χαμένο κρίκο (σήμερα γνωστό ως εικασία του έψιλον ή θεώρημα του Ριμπέ) στην αρχική εργασία του Φρέι, και δύο χρόνια αργότερα ο Κεν Ριμπέ ολοκλήρωσε την απόδειξη της εικασίας του έψιλον.

Ακόμα και αφού κέρδισε την προσοχή, η εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ θεωρήθηκε από τους σύγχρονους μαθηματικούς ως εξαιρετικά δύσκολη να αποδειχθεί ή ίσως και απρόσιτη για απόδειξη. Παραδείγματος χάριν, ο επιβλέπων του διδακτορικού του Γουάιλς, Τζον Κόουτς, αναφέρει ότι φαινόταν «Αδύνατον να αποδειχθεί στην πραγματικότητα», και ο Κεν Ρίμπετ θεωρούσε τον εαυτό του «έναν από τη συντριπτική πλειοψηφία των ανθρώπων που πίστευαν ότι ήταν εντελώς απρόσιτη».

Το 1995, ο Άντριου Γουάιλς, με λίγη βοήθεια από τον Ρίτσαρντ Τέιλορ, απέδειξε την εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουέιλ για όλες τις ελλειπτικές καμπύλες που είναι ημισταθερές. Ο Γουάιλς το χρησιμοποίησε αυτό για να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά και η πλήρης εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ αποδείχθηκε τελικά από τους Ντάιμοντ, Οι Κονράντ, Ντάιαμοντ & Τέιλορ και οι Μπρέουιλ, Κονράντ, Ντάιαμοντ & Τέιλορ, βασιζόμενοι στην εργασία του Γουάιλς, σταδιακά απέκλεισαν τις υπόλοιπες περιπτώσεις μέχρι να αποδειχθεί το πλήρες αποτέλεσμα το 1999.  Μόλις αποδείχθηκε πλήρως, η εικασία έγινε γνωστή ως το θεώρημα της modularity.

Αρκετά θεωρήματα στη θεωρία αριθμών παρόμοια με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά προκύπτουν από το θεώρημα της modularity. Παραδείγματος χάριν: κανένας κύβος δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο συντριπτικών -th δυνάμεων,.

Βιβλιογραφία 

Contains a gentle introduction to the theorem and an outline of the proof.

 Discusses the Taniyama–Shimura–Weil conjecture 3 years before it was proven for infinitely many cases.

 English translation in 

Παραπομπές



Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία