Ενδεκάγωνο

Στη γεωμετρία, το ενδεκάγωνο (ή εντεκάγωνο) είναι ένα πολύγωνο με έντεκα κορυφές και έντεκα πλευρές.

Ένα εντεκάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

 Ιδιότητες 
 Σε κάθε απλό ενδεκάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα  (ή  ακτίνια).
 Κάθε ενδεκάγωνο έχει 44 διαγωνίους.

 Κυρτό κανονικό ενδεκάγωνο 

 Ιδιότητες 
Για το κανονικό ενδεκάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
 Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με  (ή  ακτίνια).
 Έχει ένδεκα άξονες συμμετρίας.
 Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
 Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
 Έχει περιστροφική συμμετρία ενδέκατης τάξεως.
 Το σύμβολο Schläfli του ενδεκαγώνου είναι .

 Μετρικές σχέσεις 

 Η ακτίνα  του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού ενδεκάγωνου είναι ίση με

Η ακτίνα  του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού ενδεκάγωνου είναι ίση με

 Το κανονικό ενδεκάγωνο έχει τεσσάρων ειδών διαγωνίους με μήκη
.
Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
.
Το ύψος του είναι 
.

 Εμβαδόν 
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού ενδεκάγωνου πλευράς  και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου  είναι 
.
Το εμβαδό  ενός κανονικού ενδεκαγώνου πλευράς  δίνεται από τη σχέση:

Αν  είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του ενδεκαγώνου είναι

Aν  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότεΤο διάστημα που ορίζουν οι δύο τελευταίοι συντελεστές (2,973... και 3,229...) περιλαμβάνει την τιμή του , που είναι το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου.
.

 Περίμετρος 
Η περίμετρος  του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
.

Κατασκευή

Το κανονικό ενδεκάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη, αλλά υπάρχουν μέθοδοι κατασκευής που δίνουν πολύ καλές προσεγγίσεις, όπως η παρακάτω:


Επειδή το 11 δεν είναι πρώτος αριθμός Pierpont, το κανονικό ενδεκάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευασθεί ούτε με βαθμονομημένο χάρακα και διαβήτη ή τριχοτομητή γωνίας (αυτό το είδος κατασκευής αποκλήθηκε από τους αρχαίους `Ελληνες νεύσις). Αλλά υπάρχουν άλλα εργαλεία που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή ενός κανονικού ενδεκαγώνου καθώς μπορεί να κατασκευαστεί και με δίπλωμα χαρτιού.

 Εφαρμογές 
Το κέρμα του δολαρίου Καναδά ("loonie") έχει προσεγγιστικά το σχήμα ενός κανονικού ενδεκαγωνικού πρίσματος. Το ίδιο και το κέρμα των δύο ρουπιών της Ινδίας.

Ενδεκαγράμματα
Το κανονικό ενδεκάγωνο αποτελεί την περίμετρο τεσσάρων κανονικών ενδεκαγραμμάτων, των {11/2}, {11/3}, {11/4} και {11/5}.

Πολύγωνα Petrie
Το κανονικό ενδεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για δεκαδιάστατα ομοιομορφικά πολύτοπα της οικογένειας των simplex, που  παρατίθενται εδώ σε ορθογώνια προβολή:

150px10-simplex150pxανορθωμένο 10-simplex150pxδιανορθωμένο 10-simplex150pxτριανορθωμένο 10-simplex150pxτετρανορθωμένο 10-simplex

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

 Ορισμός και ιδιότητες του ενδεκαγώνου (με διαδραστική animation)

 Σημειώσεις 

 Δείτε επίσης 
 Ενδεκάγραμμα

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Πολύγωνα
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη