Δεκάγωνο

Στη γεωμετρία, το δεκάγωνο είναι ένα πολύγωνο με δέκα κορυφές και δέκα πλευρές.

Ένα δεκάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

 Ιδιότητες 
 Σε κάθε απλό δωδεκάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα  (ή  ακτίνια).
 Κάθε δεκάγωνο έχει 35 διαγωνίους.

 Κυρτό κανονικό δεκάγωνο 

 Ιδιότητες 
Για το κανονικό δεκάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
 Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με  (ή  ακτίνια).
 Έχει δέκα άξονες συμμετρίας.
 Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
 Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
 Έχει περιστροφική συμμετρία δεκάτης τάξεως.
 Το σύμβολο Schläfli του δεκαγώνου είναι .

 Κεντρική γωνία 
Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με  (ή  ακτίνια). 

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της  είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους
,
,
.

 Μετρικές σχέσεις 

 Η ακτίνα  του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαγώνου είναι ίση με
,
όπου  ο χρυσός λόγος.
Η ακτίνα  του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαγώνου είναι ίση με

 Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκαγώνου δίνονται από τις σχέσεις

Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
.
Το ύψος του είναι 
.

 Εμβαδόν 
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκαγώνου πλευράς  και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου  είναι 
.
Το εμβαδό  ενός κανονικού δωδεκαγώνου πλευράς  δίνεται από τη σχέση:

Αν  είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκαγώνου είναι

Aν  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότεΤο διάστημα που ορίζουν οι δύο τελευταίοι συντελεστές (2,938 και 3,249...) περιλαμβάνει την τιμή του , που είναι το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου.

Αν  το ύψος του κανονικού δεκαγώνου, τότε
,

 Περίμετρος 
Η περίμετρος  του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
.

 Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη 
Το κανονικό δεκάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη.

Η κατασκευή ενός κανονικού δεκαγώνου με κανόνα και διαβήτη.|thumb|center|350px

Μια εναλλακτική (αλλά παρόμοια) μέθοδος είναι η εξής:
 Κατασκευάστε ένα κανονικό πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με μία από τις μεθόδους που δίνονται στο αντίστοιχο λήμμα.
 Εκτείνετε μία ευθεία από κάθε κορυφή του πενταγώνου διερχόμενη από το κέντρο του κύκλου προς την αντίθετη πλευρά. Το σημείο όπου η κάθε γραμμή τέμνει τον κύκλο απέναντι είναι μία κορυφή του δεκαγώνου.
 Οι πέντε κορυφές του πενταγώνου είναι οι άλλες 5 κορυφές του δεκαγώνου. Ενώστε αυτά τα σημεία με τα νέα για να σχηματίσετε το (κανονικό) δεκάγωνο.

 Ιδιότητες 
 Σε ένα κανονικό δεκάγωνο, αν  το σημείο τομής του φορέα της  και του φορέα της ακτίνας, τότε
.

Αστεροειδές κανονικό δεκάγωνο
Υπάρχει ένα κανονικό αστεροειδές δεκάγωνο, το , που κατασκευάζεται από τις ίδιες 10 κορυφές ενός κανονικού δεκαγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε πέμπτη κορυφή, αντιστοίχως.

 Σχετικά σχήματα 

 Σχέση με άλλα πολύγωνα 

 (Πρόταση 10η, Βιβλίο 13ο, Στοιχεία Ευλείδη ) Αν ένα κανονικό πεντάγωνο πλευράς , ένα κανονικό εξάγωνο πλευράς  και ένα κανονικό δεκάγωνο πλευράς  είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, τότε .

 Πολύγωνα Πέτρι 
Το κανονικό δεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για πολλά πολύτοπα περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε διάφορα επίπεδα Coxeter:

A9100px9-simplex100pxανορθωμένο 9-simplex100pxδιανορθωμένο 9-simplex100pxτριανορθωμένο 9-simplex100pxτετρανορθωμένο 9-simplexBC5100px5-orthoplex100pxανορθωμένο 5-orthoplex100pxδιανορθωμένος 5-κύβος100pxανορθωμένος 5-κύβος100px5-κύβοςD6100pxt1(431)100pxt3(131)100pxt2(131)100pxt1(131)100px6-ημίκυβος(131)H3100pxδωδεκάεδρο Πέτρι100pxεικοσάεδρο Πέτρι100pxεικοσιδωδεκάεδρο

 Εφαρμογές 

 Δείτε επίσης 
 Δεκαγωνικός αριθμός
 Χρυσή τομή
 Πεντάγωνο

 Περαιτέρω ανάγνωση 
 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 Ορισμός και ιδιότητες του δεκαγώνου (με διαδραστική animation)
 Εγγραφή κανονικού δεκαγώνου (διαδραστική εφαρμογή)
 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας π/10 στο MathWorld.
 Διαδραστικές εφαρμογές για την κατασκευή κανονικού δεκαγώνου 1 2 και τις γωνίες δεκαγώνου 3 στο Geogebra.

 Ξενόγλωσσα άρθρα 





 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Πολύγωνα
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη