Δωδεκάγωνο

Στη γεωμετρία, το δωδεκάγωνο είναι ένα πολύγωνο με δώδεκα κορυφές και δώδεκα πλευρές.

Ένα δωδεκάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

 Ιδιότητες 
 Σε κάθε απλό δωδεκάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα  (ή  ακτίνια).
 Κάθε δωδεκάγωνο έχει 54 διαγωνίους.

 Κυρτό κανονικό δωδεκάγωνο 

 Ιδιότητες 
Για το κανονικό δωδεκάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
 Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με  (ή  ακτίνια).
 Έχει δώδεκα άξονες συμμετρίας.
 Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
 Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
 Έχει περιστροφική συμμετρία δωδέκατης τάξεως.
 Το σύμβολο Schläfli του δωδεκαγώνου είναι .

 Κεντρική γωνία 
Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με  (ή  ακτίνια). 

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της  είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους
,
,
.

 Μετρικές σχέσεις 

 Η ακτίνα  του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δωδεκαγώνου είναι ίση με

Η ακτίνα  του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δωδεκαγώνου είναι ίση με

 Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δωδεκαγώνου δίνονται από τις σχέσεις

Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
.
Το ύψος του είναι 
.

 Εμβαδόν 
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου πλευράς  και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου  είναι 
.
Το εμβαδό  ενός κανονικού δωδεκαγώνου πλευράς  δίνεται από τη σχέση:


Αν  είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δωδεκαγώνου είναι

Aν  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότεΤο διάστημα που ορίζουν οι δύο τελευταίοι συντελεστές (3 και 3,215...) περιλαμβάνει την τιμή του , που είναι το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου.

Αν  το ύψος του κανονικού δωδεκαγώνου, τότε
.

 Περίμετρος 
Η περίμετρος  του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
.

 Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη 
Το κανονικό δωδεκάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη:


 Ιδιότητες 
 Οι διαγώνιοι , ,  διέρχονται από το ίδιο σημείο.
 Οι διαγώνιοι , , ,  διέρχονται από το ίδιο σημείο.
 Έστω  το σημείο τομής των διαγωνίων , . Το τρίγωνο  είναι ισόπλευρο.

Αστεροειδές κανονικό δωδεκάγωνο
Υπάρχει ένα κανονικό αστεροειδές δωδεκάγωνο, το , που κατασκευάζεται από τις ίδιες 12 κορυφές ενός κανονικού δωδεκαγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε πέμπτη κορυφή, αντιστοίχως.

 Σχετικά σχήματα 
Πλακόστρωση
Παρακάτω δίνονται τρία παραδείγματα περιοδικής πλακόστρωσης του επιπέδου που χρησιμοποιεί κανονικά δωδεκάγωνα:

 Πολύγωνα Πέτρι 
Το κανονικό δωδεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για πολλά πολύτοπα περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε διάφορα επίπεδα Coxeter, όπως τα:

A11100px11-simplex100pxανορθωμένο 11-simplex100pxδιανορθωμένο 11-simplex100pxτριανορθωμένο 11-simplex100pxτετρανορθωμένο 11-simplex100pxπεντανορθωμένο 11-simplexBC6100px6-orthoplex100pxανορθωμένο 6-orthoplex100pxδιανορθωμένο 6-orthoplex100pxδιανορθωμένος 6-κύβος100pxανορθωμένος 6-κύβος100px6-κύβοςD7100pxt5(141)100pxt4(141)100pxt3(141)100pxt2(141)100pxt1(141)100pxt0(141)E6100pxt0(221)100pxt1(221)100pxt1(122)100pxt0(122)F4100px24-cell100pxΑνορθωμένο 24-cell100pxSnub 24-cell

 Γράμματα και κέρματα 

Τα «παχιά» κεφαλαία γράμματα E, Η και X (και το I σε γραμματοσειρά slab serif) έχουν δωδεκαγωνικές περιμέτρους.

Αλλά και αρκετά κέρματα έχουν δωδεκαγωνικές περιμέτρους, όπως:

 Το βρετανικό κέρμα των τριών πεννών από το 1937 ως το 1971
 Το αυστραλιανό κέρμα του μισού δολαρίου
 Τα κέρματα των 50 σεντς των Νησιών Φίτζι
 Το κέρμα των 50 σενίτι της Τόγκα (Tongan paʻanga), από το 1974
 Το κέρμα των 50 σεντς των Νησιών Σολομώντα
 Το κροατικό κέρμα των 25 κούνα
 Το Ρουμανικό κέρμα των 5000 λέι από το 2001 ως το 2005
 Το κέρμα της μιας καναδικής πέννας από το 1982 ως το 1996
 Το κέρμα των 25 đồng του Νότιου Βιετνάμ από το 1968 ως το 1975
 Το κέρμα των 50 ngwee της Ζάμπια από το 1969 ως το 1992
 Το κέρμα των 50 τάμπαλα του Μαλάουι από το 1986 ως το 1995
 Το κέρμα των 20 σεντάβος του Μεξικού από το 1992

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 Το θεώρημα Kürschak
 Ορισμός και ιδιότητες του δωδεκαγώνου (με διαδραστική animation)
 Διαδραστικές εφαρμογές για τον διαμερισμό κανονικού δωδεκαγώνου στο Geogebra: πλακόστρωση Kürschák, απόδειξη για εμβαδόν, σε ρόμβους και ισόπλευρα τρίγωνα, απόδειξη για ισοδύναμα σχήματα

 Ξενόγλωσσα άρθρα 





 Δείτε επίσης 
 Δωδεκαγωνικός αριθμός
 Δωδεκάεδρο – ένα κανονικό πολύεδρο με 12 πενταγωνικές έδρες.
 Δωδεκάγραμμα

Σημειώσεις

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Πολύγωνα