Οκτάγωνο

Στη γεωμετρία, το οκτάγωνο είναι ένα πολύγωνο με οκτώ κορυφές και οκτώ πλευρές.

Ένα οκτάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

 Ιδιότητες 
 Σε κάθε απλό οκτάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα  (ή  ακτίνια).
 Κάθε οκτάγωνο έχει 20 διαγωνίους.

 Κυρτό κανονικό οκτάγωνο 

 Ιδιότητες 
Για το κανονικό οκτάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
 Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με  (ή  ακτίνια).
 Έχει οκτώ άξονες συμμετρίας.
 Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
 Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
 Έχει περιστροφική συμμετρία ογδόης τάξεως.
 Το σύμβολο Schläfli του οκταγώνου είναι .

 Κεντρική γωνία 
Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με  (ή  ακτίνια). 

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της  είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού οκταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους
,
,
.

 Μετρικές σχέσεις 

Η ακτίνα  του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού οκταγώνου είναι ίση με
.
Η ακτίνα  του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού οκταγώνου είναι ίση με
.

Το κανονικό οκτάγωνο έχει 
 8 μικρές διαγωνίους με μήκος

 8 μεσαίες διαγωνίους με μήκος

 και 4 μεγάλες διαγωνίους με μήκος

Το πλάτος του είναι
.
Το ύψος του είναι 
.

(Θεώρημα Βιβιάνι) Για κάθε εσωτερικό σημείο  ενός κανονικού οκταγώνου ισχύει ότι το άθροισμα των αποστάσεων του  από τις πλευρές του οκταγώνου είναι σταθερό, δηλαδή
, 
όπου  η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

 Εμβαδόν 
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς  και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου  είναι 
.

Το εμβαδό  ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς  δίνεται από τη σχέση:

Αν  είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του οκταγώνου είναι

Aν  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότεTο διάστημα που ορίζουν οι δύο τελευταίοι συντελεστές (2,828... και 3,31...) περιλαμβάνει την τιμή του , που είναι το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου.
.

Αν  το μήκος της μεσαίας διαγωνίου, τότε
.

 Επίσης, αν  είναι το πλάτος του, τότε
.

 Περίμετρος 
Η περίμετρος  του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό οκτάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί από ένα τετράγωνο, ως εξής:
 Βρίσκουμε το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου ως την τομή των δύο διαγωνίων του.
 Βρίσκουμε τις μεσοκαθέτους δύο διαδοχικών πλευρών του. 
 Βρίσκουμε τις τομές τους με τον περιγεγραμμένο του κύκλου.
 Οι τέσσερις αυτές τομές και οι αρχικές κορυφές του τετραγώνου, ορίζουν ένα κανονικό οκτάγωνο. 

Η παρακάτω κατασκευή δίνει μία πλήρη κατασκευή του κανονικού οκταγώνου με κανόνα και διαβήτη. 


 Κατασκευή με δίπλωμα χαρτιού 

 Κατασκευή με μπάρες meccano 

Καρτεσιανές συντεταγμένες
Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες των κορυφών ενός κανονικού οκταγώνου το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και το οποίο έχει μήκος πλευράς 2, είναι:


 .

 Κανονικό αστεροειδές οκτάγωνο 

Υπάρχει και ένα κανονικό αστεροειδές οκτάγωνο το οποίο προκύπτει από τις κορυφές ενός κυρτού κανονικού οκταγώνου και πλευρές μεταξύ κορυφών που απέχουν τρεις κορυφές στο αρχικό. 

Πιο συγκεκριμένα, το αστεροειδές οκτάγωνο που προκύπτει από το κυρτό κανονικό οκτάγωνο  είναι το  και συμβολίζεται ως 

Εφαρμογές

 Μιγαδική ανάλυση 
Οι όγδοες ρίζες της μονάδας είναι κορυφές ενός κανονικού οκταγώνου με κέντρο την αρχή των αξόνων. Πιο συγκεκριμένα, είναι οι λύσεις της μιγαδικής εξίσωσης  που δίνονται από
, για .

 Χρήσεις στην καθημερινή ζωή 

Σχετικά σχήματα

 Επιπεδομετρία 

 Στερεομετρία 

Πλακοστρώσεις

Πολύγωνα Πέτρι
Το κανονικό οκτάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για τα παρακάτω 12 ομοιομορφικά πολύτοπα, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε επίπεδα Coxeter A7, B4 και D5:
A7150px7-simplex150pxανορθωμένο 7-simplex150pxδιανορθωμένο 7-simplex150pxτριανορθωμένο 7-simplexB4150px16-cell150pxανορθωμένο 16-cell150pxανορθωμένο tesseract150pxTesseractD5150px5-orthoplex150pxανορθωμένο 5-orthoplex150pxανορθωμένο demipenteract150pxDemipenteract

 Περαιτέρω ανάγνωση 
Εξωτερικοί σύνδεσμοι



 Εγγραφή κανονικού οκταγώνου σε τετράγωνο στο φωτόδεντρο.
 Περιστροφική συμμετρία κανονικού οκταγώνου στο Geogebra.
 Κατασκευή κανονικού οκταγώνου στο Desmos.
 Κατασκευή κανονικού οκταγώνου στο Geogebra.

Δείτε επίσης
 Οκτάγραμμα
 Οκταγωνικός αριθμός
 Τετράγωνο
 Δεκαεξάγωνο

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Πολύγωνα
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη