Εξάγωνο

Στη γεωμετρία, το εξάγωνο είναι ένα πολύγωνο με έξι κορυφές και έξι πλευρές.

Ένα εξάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

 Ιδιότητες 
 Σε κάθε απλό εξάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα  (ή  ακτίνια).
 Κάθε εξάγωνο έχει 12 διαγωνίους.

 Κυρτό κανονικό εξάγωνο 

 Ιδιότητες 
Για το κανονικό εξάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
 Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με  (ή  ακτίνια).
 Έχει έξι άξονες συμμετρίας.
 Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
 Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
 Έχει περιστροφική συμμετρία έκτης τάξεως.
 Το σύμβολο Schläfli του εξαγώνου είναι .

 Μετρικές σχέσεις 

Η ακτίνα  του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εξαγώνου είναι ίση με την πλευρά του εξαγώνου

Η ακτίνα  του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εξαγώνου είναι ίση με
.

Το κανονικό εξάγωνο έχει 
 6 μικρές διαγωνίους με μήκος

 3 μεγάλες διαγωνίους με μήκος

Το πλάτος του είναι
.
Το ύψος του είναι 
.

(Θεώρημα Βιβιάνι) Για κάθε εσωτερικό σημείο  ενός κανονικού εξαγώνου ισχύει ότι το άθροισμα των αποστάσεων του  από τις πλευρές του εξαγώνου είναι σταθερό, δηλαδή
, 
όπου  η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

 Εμβαδόν 
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς  και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου  είναι 
.

Το εμβαδό  ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς  δίνεται από τη σχέση:

Aν  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
.

 Περίμετρος 
Η περίμετρος  του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
.

 Θεωρήματα 
250px|thumb|Το άθροισμα των πράσινων αποστάσεων ισούται με αυτό των μπλε.
Έστω ένα κανονικό εξάγωνο  και  είναι οποιοδήποτε σημείο του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου μεταξύ των  και , τότε ισχύει
.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Στην Πρόταση 15 του 4ου Βιβλίου στα Στοιχεία, ο Ευκλείδης περιγράφει την εξής κατασκευή ενός κανονικού πολυγώνου με κανόνα και διαβήτη.

 Κυκλικό εξάγωνο 
Κυκλικό εξάγωνο ονομάζεται οποιοδήποτε εξάγωνο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, δηλαδή υπάρχει κύκλος στον οποίο ανήκουν όλες του οι κορυφές. 

 Αν οι διαδοχικές πλευρές ενός τέτοιου εξαγώνου έχουν μήκη α, β, γ, δ, ε, ζ, τότε οι τρεις κύριες διαγώνιοί του περνούν από το ίδιο σημείο στο εσωτερικό του αν και μόνο αν .
 (Εξάγωνο Τάκερ) Σε ένα τρίγωνο τα έξι σημεία τομής τριών αντιπαράλληλων ευθυγράμμων τμημάτων προς τις πλευρές του τριγώνου τα οποία έχουν ίσο μήκος, δημιουργούν ένα κυκλικό εξάγωνο, το εξάγωνο Τάκερ. Ο κύκλος που διέρχεται από αυτά τα σημεία λέγεται κύκλος Τάκερ. 
 Ειδικές περιπτώσεις κύκλων Τάκερ είναι πρώτος κύκλος Λεμουάν, ο δεύτερος κύκλος Λεμουάν και ο κύκλος Τέιλορ.

Εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κωνική τομή
(Θεώρημα του Πασκάλ) Έστω ένα εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κωνική τομή (έλλειψη, παραβολή, υπερβολή) και προεκτείνουμε τα ζεύγη των απέναντι πλευρών του μέχρι που να συναντηθούν. Τότε, τα τρία αυτά σημεία τομής θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, η λεγόμενη «γραμμή Πασκάλ» του εξαγώνου.
 Ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Πασκάλ είναι το θεώρημα εξαγώνου του Πάππου όπου τα σημεία του εξαγώνου χωρίζονται σε δύο ομάδες συγγραμμικών σημείων.  

 Εξάγωνο εφαπτόμενο σε κωνική τομή 
(Θεώρημα του Brianchon) Έστω ένα εξάγωνο  που σχηματίζεται από έξι ευθείες εφαπτόμενες σε μία κωνική τομή, τότε οι τρεις κύριες διαγώνιοί του ,  και  διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Σχετικά σχήματα

 Επιπεδομετρία 

140pxΤο κανονικό εξάγωνο μπορεί να δημιουργηθεί ως ένα κόλουρο ισόπλευρο τρίγωνο, με σύμβολο Σλέφλι t{3}. Αυτή η μορφή έχει συμμετρία μόνο D3. Σε αυτό το σχήμα οι παραμένουσες πλευρές του αρχικού τριγώνου είναι γαλάζιες, ενώ οι νέες είναι κόκκινες.140pxΤο εξάγραμμα μπορεί να δημιουργηθεί με την προέκταση των 6 πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου μέχρι που να συναντηθούν σε 6 νέες κορυφές.140pxΕνα κοίλο εξάγωνο140pxΕνα «αυτοτεμνόμενο» εξάγωνο (αστεροειδές πολύγωνο)140pxΜη επίπεδο κανονικό εξάγωνο αποτελούμενο από τις ακμές ενός κύβου

Πολύγωνα Πέτρι
Το κανονικό εξάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για τα παρακάτω κανονικά και ομοιομορφικά πολύτοπα, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές:

(3D)(5D)120pxκύβος120pxοκτάεδρο120px5-simplex120pxανορθωμένο 5-simplex120pxδιανορθωμένο 5-simplex

Πολύεδρα με εξαγωνικές έδρες
Δεν υπάρχει πλατωνικό στερεό με έδρες κανονικά εξάγωνα, επειδή ακριβώς τα εξάγωνα καλύπτουν πλήρως το επίπεδο, μην αφήνοντας «χώρο» για το «δίπλωμά» τους. Τα αρχιμήδεια στερεά με κάποιες έδρες τους εξαγωνικές είναι το κόλουρο τετράεδρο, το κόλουρο οκτάεδρο, το κόλουρο εικοσάεδρο (γνωστό από τη μπάλα του ποδοσφαίρου), το κόλουρο κυβοκτάεδρο και το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο.

Αρχιμήδεια στερεά100pxκόλουρο τετράεδρο100pxκόλουρο οκτάεδρο100pxκόλουρο εικοσάεδρο100pxκόλουρο κυβοκτάεδρο100pxκόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο

Υπάρχουν επίσης 9 στερεά Τζόνσον:
 τριγωνικός θόλος, επιμηκυμένος τριγωνικός θόλος, γυροεπιμηκυμένος τριγωνικός θόλος, προσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, παραδιπροσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, μεταδιπροσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, τριπροσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, προσαυξημένο κόλουρο τετράεδρο και τριγωνική σφηνοροτόντα

ΠρισμοειδήΛοιπά συμμετρικά πολύεδρα100pxεξαγωνικό πρίσμα100pxεξαγωνικό αντιπρίσμα100pxεξαγωνική πυραμίδα100pxκόλουρο τριάκις τετράεδρο100pxκόλουρο ρομβικό δωδεκάεδρο100pxκόλουρο ρομβικό τριακοντάεδρο100px

Πλακοστρώσεις με εξάγωνα
100pxΤο κανονικό εξάγωνο καλύπτει το επίπεδο έχοντας 3 εξάγωνα γύρω από κάθε κορυφή.100pxΗ ρομβοειδής κάλυψη χρησιμοποιεί δύο χρώματα εξαγώνων.100pxΜια δεύτερη εξαγωνική κάλυψη του επιπέδου με τρία χρώματα εξαγώνων.100pxΤριεξαγωνική κάλυψη100pxΤριεξαγωνική κάλυψη100pxΡομβοτριεξαγωνική κάλυψη100pxΚόλουρη τριεξαγωνική κάλυψη

Εξάγωνα στη φύση

 Τεχνητά εξάγωνα 

Δείτε επίσης
 Εξάγραμμα
 Εξαγωνικός αριθμός
 Ισόπλευρο τρίγωνο
 Δωδεκάγωνο

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι

 Ορισμός και ιδιότητες του εξαγώνου με διαδραστική animation και κατασκευή με κανόνα και διαβήτη.
 Διαδραστική εφαρμογή για το άθροισμα γωνιών ενός εξαγώνου στο Geogebra.
 Διαδραστική εφαρμογή για την κατασκευή κανονικού εξαγώνου στο Desmos.

 Ελληνικά άρθρα 


 Ξενόγλωσσα άρθρα 







 Παραπομπές 

Εξαγωνο
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη