Περιβάλλουσα

Στα μαθηματικά, περιβάλλουσα ονομάζεται η καμπύλη ή η επιφάνεια που περιβάλλει όλες τις καμπύλες ή επιφάνειες τις οποίες παριστάνει μια εξίσωση, όταν η παράμετρος που υπάρχει μέσα σ` αυτήν την εξίσωση, παίρνει όλες τις δυνατές τιμές.

Στη γεωμετρία, η περιβάλλουσα μιας οικογένειας καμπυλών στο επίπεδο είναι μια καμπύλη, η οποία είναι εφαπτόμενη  σε κάθε μέλος της οικογένειας σε ένα σημείο. Κλασικά ένα σημείο πάνω στην περιβάλλουσα μπορεί να θεωρηθεί ως η τομή δύο  "γειτονικών" καμπυλών, εννοώντας το όριο των τομών των κοντινών καμπυλών. Αυτή η ιδέα γενικεύεται σε μια περιβάλλουσα των επιπέδων στο χώρο κοκ σε μεγαλύτερες διαστάσεις.

Περιβάλλουσα οικογένειας καμπυλών

Έστω ότι κάθε καμπύλη Ct στην οικογένεια δίνεται από ft(x, y)=0, όπου t είναι μία παράμετρος. Γράφουμε F(t, x, y)=ft(x, y) και υποθέτουμε ότι η  F είναι παραγωγίσιμη.

Η περιβάλλουσα της οικογένειας  Ct ορίζεται τότε ως το σύνολο των σημείων για τα οποία


για κάποια τιμή του  t,

όπου  είναι η μερική παράγωγος της F ως προς το t.

Να σημειωθεί ότι αν t καιu, t≠u είναι δυο τιμές της παραμέτρου τότε η τομή των καμπυλών Ct και Cu δίνεται από

η  ισάξια 

Έχοντας u→t παίρνουμε τον παραπάνω ορισμό.

Μια σημαντική ειδική περίπτωση συμβαίνει όταν η F(t, x, y) είναι  ένα πολυώνυμο στο  t. Αυτό περιλαμβάνει με την απαλοιφή των παρονομαστών, την περίπτωση που F(t, x, y) είναι μια ρητή συνάρτηση στο t. Σε αυτή την περίπτωση ο ορισμός ισοδυναμεί με το  t να είναι η διπλή ρίζα της F(t, x, y), ώστε η εξίσωση της περιβάλλουσας μπορεί να βρεθεί θέτοντας τη διακρίνουσα της F στο 0.

Για παράδειγμα, έστω ότι  Ct είναι η ευθεία της οποίας οι τομές με  x και y είναι t και 1−t, αυτό φαίνεται από την εικόνα επάνω. Η εξίσωση της Ct είναι

ή, απαλείφοντας τα κλάσματα

Η εξίσωση της περιβάλλουσας είναι τότε

Συχνά όταν η  F δεν είναι ρητή συνάρτηση της παραμέτρου μπορεί να περιοριστεί σε αυτή την περίπτωση από μία κατάλληλη αντικατάσταση. Για παράδειγμα αν η οικογένεια δίνεται από τον τύπο Cθ με μια εξίσωση της μορφής 

u(x, y)cosθ+v(x, y)sinθ=w(x, y), 

μετά θέτοντας  t=eiθ, cosθ=(t+1/t)/2, sinθ=(t-1/t)/2i αλλάζουμε την εξίσωση της καμπύλης σε 

ή 

Η εξίσωση της περιβάλλουσας δίνεται τότε με το να θέσουμε τη διακρίνουσα ίση με 0:

ή 

 Βιβλιογραφία
 Richard Courant, Fritz John: Introduction to Calculus and Analysis II/1. Reprint of the 1989 Edition, Springer-Verlag Berlin, 1991, ISBN 3-540-66569-2.
 Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Vol. 3. 2. ed. Publish or Perish, Houston TX 1979, ISBN 0-914098-82-9.
 W. I. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik, Teil II. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1990, ISBN 3-326-00029-4.

Παραπομπές



Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία