Διαφορική εξίσωση Κλαιρώ

Στα μαθηματικά, μια εξίσωση Κλαιρώ είναι μια διαφορική εξίσωση της μορφής:

.

 Επίλυση εξίσωσης 

Για την επίλυση αυτής της εξίσωσης, παραγωγίζουμε ως προς , έχοντας:

,

έτσι:

.

Επομένως, είτε ισχύει ότι
,
ή ότι
.

Στην πρώτη περίπτωση  C = dy/dx για κάποια σταθερά C. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Κλαιρώ, έχουμε την οικογένεια συναρτήσεων που δίνεται από τον τύπο:

Αυτή ονομάζεται η γενική λύση της εξίσωσης Κλαιρώ.

Στη δεύτερη περίπτωση, προκύπτει η εξίσωση:

Αυτή ορίζει μόνο μια λύση y(x), την επονομαζόμενη μοναδική λύση, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η περιβάλλουσα των γραφικών παραστάσεων των γενικών λύσεων. Η μοναδική λύση συνήθως αναπαρίσταται ως  (x(p), y(p)), όπου p είναι το dy/dx.

Αυτή η εξίσωση πήρε το όνομά της από τον Αλεξίς Κλαιρώ, ο οποίος την παρουσίασε το 1734.

Μια πρώτης τάξης μερική διαφορική εξίσωση είναι επίσης γνωστή ως  εξίσωση του Κλαιρώ ή εξίσωση Κλαιρώ:

 Πηγές 

Κατηγορία:Μερικές διαφορικές εξισώσεις
Κατηγορία:Διαφορικές εξισώσεις