Θεώρημα Τεβενί

Θεώρημα Τεβενί (γνωστό και ως θεώρημα Θέβενιν) είναι ένα θεώρημα της ηλεκτρονικής που αναφέρεται στην ισοδυναμία ενός σύνθετου και ενός απλού κλάδου. Ονομάστηκε έτσι από τον Λεό Σαρλ Τεβενί (Léon Charles Thévenin) ο οποίος το επανανακάλυψε. Σύμφωνα με το θεώρημα: Εστω ένας κλάδος που περιλαμβάνει στοιχεία σταθερής αντίστασης (ή εμπέδησης) ή πηγές τάσης ή ρεύματος ανεξάρτητες ή με γραμμική εξάρτηση από τα υπόλοιπα στοιχεία του κλάδου. Τότε ο κλάδος είναι ισοδύναμος με έναν κλάδο που αποτελείται από δύο στοιχεία σε σειρά, μια πηγή τάσης και μια αλγεβρική αντίσταση (ή εμπέδηση). Με τον όρο αλγεβρική αντίσταση ενοείται ότι η αντίσταση μπορεί να είναι αρνητική. Μπορεί κάποιο από τα δύο στοιχεία να λείπει, ή μπορούν να λείπουν και τα δύο (βραχυκύκλωμα). Το ισοδύναμο κύκλωμα ονομάζεται κύκλωμα Τεβενί.

Εκτός από το ισοδύναμο κύκλωμα Τεβενί υπάρχει και το ισοδύναμο κύκλωμα Νόρτον, το οποίο αποτελείται από δύο παράλληλα συνδεδεμένους βρόχους, ο ένας είναι μια πηγή έντασης και άλλος μια αλγεβρική αντίσταση (ή εμπέδηση). Αν η έξοδος ενός κλάδου είναι γραμμική συνάρτηση της εισόδου, τότε σίγουρα ο κλάδος έχει ένα ισοδύναμο κύκλωμα Τεβενί ή ένα ισοδύναμο κύκλωμα Νόρτον. Υπάρχουν δύο ακραίες περιπτώσεις, να υπάρχει κύκλωμα Τεβενί, αλλά όχι κύκλωμα Νόρτον, ή να υπάρχει κύκλωμα Νόρτον χωρίς να υπάρχει αντίστοιχο κύκλωμα Τεβενί.

Έστω VTh η τάση του κυκλώματος Τεβενί, IN η ένταση του κυκλώματος Νόρτον και Z η αντίσταση (ή εμπέδηση). Τότε ισχύει:
Σύμφωνα με το θεώρημα του Thevenin, οποιοδήποτε σύνθετο γραμμικό κύκλωμα, συνδεδεμένο σε δυο σημεία σε ένα άλλο κύκλωμα (π.χ. σε μια αντίσταση φορτίου), μπορεί να αντικατασταθεί με ένα απλό ισοδύναμο κύκλωμα, αποτελούμενο από μια ιδανική πηγή τάσης ΕΤ και μια αντίσταση σε σειρά. (Γραμμικό κύκλωμα λέμε ένα κύκλωμα, που αποτελείται από γραμμικές αντιστάσεις και πηγές)

Το σχήμα δείχνει ένα σύνθετο κύκλωμα (1) και το ισοδύναμο του (2) σύμφωνα με το θεώρημα Thevenin. Το αριστερό μέρος του κυκλώματος (α) μεταξύ των ακροδεκτών έχει αντικατασταθεί με την πηγή ΕΤ σε σειρά με την αντίσταση RT. Στο δεξιό μέρος των δυο κυκλωμάτων βρίσκεται η ίδια αντίσταση φορτίου R.

Για να προσδιορίσουμε την ΕΤ και την αντίσταση του RT του ισοδυνάμου κυκλώματος, εργαζόμαστε ως εξής:

1] Αποσυνδέουμε το σύνθετο κύκλωμα, που θα απλοποιηθεί, από το υπόλοιπο κύκλωμα, ώστε να παρουσιάσει δυο ακροδέκτες α, β.

2] Υπολογίζουμε την τάση σε κενό μεταξύ των ακροδεκτών α και β. Η τάση αυτή έχει τιμή ίση με την ζητούμενη τάση ΕΤ

3] Βραχυκυκλώνουμε τις πηγές τάσης του κυκλώματος (v=0) και ανοικτοκυκλώνουμε τις πηγές ρεύματος (i=0), διατηρούμε όμως τις εσωτερικές αντιστάσεις των πηγών. Κατόπιν, υπολογίζουμε την ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος, μεταξύ των ακροδεκτών α και β. Αυτή είναι η ζητούμενη αντίσταση RT

Παράδειγμα: Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου Ε=30V , R1 = 20Ω και R2=30Ω Να υπολογιστεί το ρεύμα, που διαρρέει την αντίσταση φορτίου R=6Ω

1) Αποσυνδέουμε την αντίσταση φορτίου R από το κύκλωμα, ώστε να παραμείνει το σύνθετο κύκλωμα, που θα απλοποιήσουμε, με τους ακροδέκτες του α και β

2) Η τάση thevenin ΕΤ είναι ίση με την τάση U2 στα ανοικτά άκρα α και β.

ΕΤ= U2=iR2   όπου   i=E/( R1+ R2)=30V/50Ω=0,6Α  επομένως ΕΤ=0,6×30 = 18V

3) Βραχυκυκλώνουμε την πηγή τάσης Ε. Έτσι προκύπτει το κύκλωμα του σχήματος (3) Η ισοδύναμη αντίσταση RT μεταξύ των ακροδεκτών α και β, βρίσκεται από την παράλληλη σύνδεση των αντιστάσεων R1 και R2

RT= R1‧ R2/( R1+ R2)=20‧30/20+30=12Ω

Το σχήμα (4) δίνει το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin. Για να προσδιορίσουμε το ζητούμενο ρεύμα και τάση στην αντίσταση φορτίου συνδέουμε το φορτίο στους ακροδέκτες α και β και παίρνουμε:

i = ΕΤ / (RT + R) = 18/(12+6) = 1A

Παράδειγμα: Σχεδιάστε το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin στα άκρα της αντίστασης R, όπου R1=75Ω, R2=40Ω, R3=20Ω, R=50Ω, is=2A, vs=5V

Βραχυκυκλώνουμε την πηγή τάσης ανοικτοκυκλώνουμε (αφαιρούμε) την πηγή ρεύματος, Στην συνέχεια αφαιρούμε την αντίσταση R από τα άκρα (α) και (β). Υπολογίζουμε την αντίσταση Thevenin όπως φαίνεται από αυτά τα άκρα:

RT=R3+R1//R2=20+(75×40)/(75+40)=46,1Ω

Τοποθετούμε τις πηγές τάσης και ρεύματος και υπολογίζουμε την τάση Thevenin στα άκρα (α) και (β) με αποσυνδεμένη την αντίσταση R. Εφαρμόζοντας τους κανόνες ρεύματος και τάσης του Kirhhoff, έχουμε:

i1 + i2 = 2 (*)

i1R1 – i2R2 + vS = 0  =>  i175 – i240 = -5 (**)

Επιλύοντας το παραπάνω γραμμικό σύστημα εξισώσεων παίρνουμε: i1 = 0,65A  και  i2 = 1,35A

Η τάση Thevenin είναι ET = i1R1 = 0,65 × 75 = 48,75

Στο ακόλουθο κύκλωμα βλέπουμε το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin, καθώς επίσης σε αυτό έχουμε συνδέσει σε αυτό και την αντίσταση R

Το ρεύμα διαμέσου της R υπολογίζεται ως εξής IR = ET/(RT+R) = 48,75/(46,1+50) = 0,51A

ενώ η τάση στα άκρα της R είναι: VR = IRR = 0,51×50=25,5V

Κατηγορία:Ηλεκτρονικά κυκλώματα