Ουδέτερο στοιχείο

Στα μαθηματικά, το ουδέτερο στοιχείο ή ταυτοτικό στοιχείο μιας δυαδικής πράξης ενός συνόλου, είναι ένα στοιχείο του συνόλου που αφήνει απαράλλακτο κάθε στοιχείο του συνόλου μετά την εφαρμογή της εν λόγω πράξης. Συν τοις άλλοις, η έννοια αυτή βρίσκει εφαρμογή σε αλγεβρικές δομές όπως οι ομάδες και οι δακτύλιοι.

 Ορισμοί 
Έστω  ένα σύνολο  εφοδιασμένο με μία δυαδική πράξη ∗. Ένα στοιχείο  του  ονομάζεται «εξ αριστερών ουδέτερο στοιχείο» αν ισχύει ότι  για όλα τα   στο  και «εκ δεξιών ουδέτερο στοιχείο» αν ισχύει ότι  για όλα τα  στο . αν το  είναι και εξ αριστερών και εκ δεξιών ουδέτερο στοιχείο, τότε συνιστά ένα «αμφίπλευρο ουδέτερο στοιχείο».

Το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης ονομάζεται «ουδέτερο στοιχείο ως προς την πρόσθεση» (συχνά συμβολίζεται με το 0) και το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού ονομάζεται «ουδέτερο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό» ή «πολλαπλασιαστικό ταυτοτικό στοιχείο» (συχνά συμβολίζεται με το 1). Σημειωτέον, ότι με τους όρους «πρόσθεση» και «πολλαπλασιασμός» δεν εννούνται μόνον οι συμβατικές μορφές αυτών των πράξεων, καθώς η υπό εξέταση πράξη μπορεί να έχει οριστεί διαφορετικά. Επί παραδείγματι, στην περίπτωση μιας ομάδας το ουδέτερο στοιχείο αποδίδεται συμβολικά ως . Η διάκριση των ουδέτερων στοιχείων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού γίνεται, συνήθως, για σύνολα που είναι εφοδιασμένα με αμφότερες τις δυαδικές πράξεις, όπως ισχύει για τους δακτυλίους, τις ακέραιες περιοχές και τα σώματα.

 Παραδείγματα 
ΣύνολοΠράξηΟυδέτερο στοιχείοΠραγματικοί αριθμοί + (Πρόσθεση)0Πραγματικοί αριθμοί· (Πολλαπλασιασμός)1Μιγαδικοί αριθμοί + (Πρόσθεση)0Μιγαδικοί αριθμοί· (Πολλαπλασιασμός)1Θετικοί ακέραιοι αριθμοίΕλάχιστο κοινό πολλαπλάσιο1Μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοίΜέγιστος κοινός διαιρέτης0 (σύμφωνα με τους περισσότερους ορισμούς του ΜΚΔ)Πίνακες ×Πρόσθεση πινάκωνΜηδενικός πίνακαςΤετραγωνικοί πίνακες ×Πολλαπλασιασμός πινάκωνI n (ταυτοτικός πίνακας)Πίνακες ×○ [Γινόμενο Χάνταμαρντ (Hadamard)] (μοναδιαίος πίνακας)Όλες οι συναρτήσεις που αναχωρούν από ένα σύνολο, , με άφιξη στον εαυτό του∘ (Σύνθεση συνάρτησης)Ταυτοτική συνάρτησηΌλες οι κατανομές σε μια ομάδα, ∗ (Συνέλιξη) (δέλτα Ντιράκ)Εκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοίΕλάχιστο/infimum +∞ (συν άπειρο)Εκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοίΜέγιστο/supremum−∞ (πλην άπειρο)Υποσύνολα ενός συνόλου ∩ (Τομή)  (ήτοι το ίδιο το σύνολο)Σύνολα∪ (Ένωση )∅ (κενό σύνολο)Συμβολοσειρές, πλειάδεςΣυνένωσηΚενή συμβολοσειρά, κενή πλειάδαΆλγεβρα Μπουλ (δομή)∧ (Λογικό «και», σύζευξη)⊤ (αληθές)Άλγεβρα Μπουλ (δομή)↔ (Λογική ισοδυναμία)⊤ (αληθές)Άλγεβρα Μπουλ (δομή)∨ (Λογικό «ή», διάζευξη)⊥ (ψευδές)Άλγεβρα Μπουλ (δομή)⊕ (Αποκλειστικό «ή», αποκλειστική διάζευξη)⊥ (ψευδές)ΚόμβοιΆθροισμα κόμβωνΛύση κόμβουΣυμπαγείς επιφάνειες# (Συνεκτικό άθροισμα)S 2ΟμάδεςΆμεσο γινόμενοΤετριμμένη ομάδαΟμογενείς σχέσεις σε ένα σύνολο ΧΣχετικό γινόμενοΤαυτοτική σχέσηΣύνολο δύο στοιχείων ∗ ορίζεται ως:
  Αμφότερα τα  και  είναι εξ αριστερών ουδέτερα στοιχεία,
αλλά δεν υπάρχει εκ δεξιών ουδέτερο στοιχείο, ούτε αμφίπλευρο ουδέτερο στοιχείο

 Ιδιότητες 
Στο παράδειγμα S = {e,f} με τις ισότητες που δίνονται παραπάνω, το S συνιστά μια ημιομάδα. Με το παράδειγμα αυτό καταδεικνύεται η πιθανότητα το  να έχει πολλά εξ αριστερών ουδέτερα στοιχεία. Μάλιστα, κάθε στοιχείο μπορεί να είναι εξ αριστερών ουδέτερο στοιχείο. Σε ένα αντίστοιχο παράδειγμα, μπορούν να υπάρχουν πολλά εκ δεξιών ουδέτερα στοιχεία. Αν όμως συμβαίνει να υπάρχουν και εξ αριστερών και εκ δεξιών ουδέτερα στοιχεία, τότε πρέπει να είναι ίσα, οπότε προκύπτει ένα αμφίπλευρο ουδέτερο στοιχείο. Για να καταστεί αυτό εμφανές, έστωσαν  εξ αριστερών ουδέτερο στοιχείο και  εκ δεξιών ουδέτερο στοιχείο· τότε ισχύει ότι . Στην υπό εξέταση περίπτωση δεν μπορούν να υπάρξουν περισσότερα από ένα αμφίπλευρα ουδέτερα στοιχεία, καθώς για δύο τέτοια στοιχεία,  και , η πράξη  θα ισούταν με αμφότερα τα  και .

Είναι, επίσης, πιθανόν το  να μην έχει ουδέτερο στοιχείο, όπως συμβαίνει με τον πολλαπλασιασμό στους άρτιους ακεραίους. Ένα, ακόμα, παράδειγμα είναι το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, όπου η απουσία του ουδέτερου στοιχείου οφείλεται στο ότι η κατεύθυνση οποιουδήποτε μη μηδενικού διανυσματικού γινομένου είναι πάντοτε κάθετη στα πολλαπλασιαζόμενα στοιχεία· συνεπώς, δεν είναι εφικτό να προκύψει ένα μη μηδενικό διάνυσμα στην ίδια κατεύθυνση με το αρχικό (όπως θα συνέβαινε αν το αρχικό διάνυσμα είχε πολλαπλασιαστεί με το ουδέτερο στοιχείο της πράξης). Ακόμα ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η προσθετική ημιομάδα των θετικών φυσικών αριθμών.

 Δείτε επίσης 

 Αλγεβρικές ταυτότητες
 Αντίθετος αριθμός
 Μονοειδές

 Παραπομπές 

 Βιβλιογραφία 





 M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, , p. 14–15
 Α. Kαλογεροπούλου, Μ. Γκίκας, Δ. Καραγιαννάκης, Μ. Λάμπρου. «Αγγλοελληνικό λεξικό μαθηματικών όρων», Εκδόσεις Τροχαλία, 1992, λήμματα «identity» (σελ 68), «additive» (σελ. 14)

Κατηγορία:Άλγεβρα
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Δυαδικές πράξεις