Αριθμητική πρόοδος

Στα μαθηματικά, αριθμητική πρόοδος είναι η ακολουθία , στην οποία για οποιοσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους της ,  ισχύει ότι , για μία σταθερή τιμή . Η ποσότητα  ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου.

Ισοδύναμα, οι όροι μίας αριθμητικής προόδου μπορούν να οριστούν με τον γενικό και τον αναδρομικό τύπο:
Γενικός τύπος: , όπου ορίζεται ο -οστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς.
Αναδρομικός τύπος:  για , όπου ορίζεται ο -οστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.

Για παράδειγμα, για  και , οι όροι της αριθμητικής προόδου είναι 

και για  και 

Η αριθμητική πρόοδος είναι ειδική περίπτωση γραμμικής αναδρομικής ακολουθίας πρώτης τάξης και ειδική περίπτωση μικτής προόδου.

 Παραδείγματα 


 Αν  και  τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών: .
 Αν  και  τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών: . Αντίστοιχα, για  και , είναι το σύνολο των αρνητικών άρτιων αριθμών: .
 Αν  και  τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών: . Αντίστοιχα, για  και , είναι το σύνολο των αρνητικών περιττών αριθμών: .

 Σχέση με άλλες ακολουθίες 

 Η αρμονική πρόοδος μπορεί να οριστεί ως κάθε ακολουθία αριθμών  με  ώστε η ακολουθία: ,  αποτελεί μία αριθμητική πρόοδο.
 Αν  είναι μία γεωμετρική πρόοδος με  και λόγο , τότε η ακολουθία  είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά , καθώς .
 (Τρίγωνοι αριθμοί) Οι τρίγωνοι αριθμοί είναι ίσοι με το άθροισμα της αριθμητικής προόδου με αρχικό όρο  και διαφορά .

 Ισοδυναμία ορισμών 

 Γενικός σε αναδρομικό τύπο 

 Αναδρομικός σε γενικό τύπο 

 Ιδιότητες 


 Μονοτονία 

Καθώς , προκύπτει άμεσα ότι:
 Αν , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα.
 Αν , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα.
 Αν , η αριθμητική πρόοδος είναι σταθερή.

 Γραφική παράσταση 

Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικά σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με .

 Άθροισμα πρώτων όρων 
Το άθροισμα των  πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου  (με πρώτο όρο τον ) ισούται με

Σύμφωνα με κάποιες πηγές, ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα  και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.

 Μέσος όρος 
Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών  και  είναι ο , αν και μόνο αν οι όροι , ,  είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

 Υπολογισμός 

Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ χρησιμοποιεί τον αναδρομικό τύπο ώστε να τυπώσει τους πρώτους πέντε όρους της προόδου

#include <iostream>

int main() {
   double a_1 = 4.0;
   double omega = 1.5;

   double a_n = a_1;
   for (int n = 1; n <= 5; ++n) {
     std::cout << "a_" << n << " = " << a_n << ", ";
     a_n = a_n + omega; // Υπολογισμός επόμενου όρου.
   }
   return 0;
}
/* Τυπώνει: a_1 = 4, a_2 = 5.5, a_3 = 7, a_4 = 8.5, a_5 = 10, */

Ο παρακάτω κώδικας χρησιμοποιεί τον γενικό τύπο ώστε να υπολογίσει έναν όρο της ακολουθίας. Χρησιμοποιεί σταθερό αριθμό πράξεων. 
double arithmetic_nth(double a1, double omega, int n) {
   return a1 + (n - 1) * omega;
}
Ο αναδρομικός τύπος είναι πιο αργός καθώς χρειάζεται γραμμικό αριθμό πράξεων, δηλαδή  πράξεις.
double arithmetic_nth_recursive(double a1, double omega, int n) {
   if (n == 1) return a1;
   return omega + arithmetic_nth_recursive(a1, omega, n-1);
}

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Διαδραστικές εφαρμογές στις αριθμητικές προόδους
 Αριθμητική πρόοδος: Θεωρία και προβλήματα

 Ελληνικά άρθρα 


 Ξενόγλωσσα άρθρα 








 Δείτε επίσης 
 Γενικευμένη αριθμητική πρόοδος
 Γεωμετρική πρόοδος
 Αρμονική πρόοδος
 Μικτή πρόοδος

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Ακολουθίες