Σχέση ισοδυναμίας

Στα μαθηματικά, σχέση ισοδυναμίας ονομάζεται μια σχέση που είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Η πιο απλή τέτοια σχέση είναι η ισότητα. Για οποιουσδήποτε αριθμούς , ισχύει ότι 
  (ανακλαστική),
 αν , τότε και  (συμμετρική),
 αν  και , τότε  (μεταβατική).

Μία σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο  διαμερίζει το σύνολο σε κλάσεις ισοδυναμίας που είναι ξένες μεταξύ τους.

Ορισμός
Μια σχέση σε ένα σύνολο  ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας αν είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Δηλαδή ανν για κάθε στοιχεία  στο  ισχύει ότι:
 ,
 αν  τότε , και
 αν  και , τότε .

Ισοδύναμος ορισμός 
Ισοδύναμα μία σχέση  στο σύνολο  είναι σχέση ισοδυναμίας, αν
  (ανακλαστική), όπου  είναι η ταυτοτική σχέση,
  (συμμετρική), όπου  είναι η αντίστροφη σχέση της ,
  (μεταβατική), όπου  είναι η σύνθεση σχέσεων.

Συμβολισμός
Στη βιβλιογραφία υπάρχουν διάφοροι συμβολισμοί για να δηλώσουν ότι δύο στοιχεία  ενός συνόλου είναι ισοδύναμα. Οι πιο κοινοί είναι  και , οι οποίοι χρησιμοποιούνται όταν η σχέση  είναι προφανής από τα συμφραζόμενα, διαφορετικά χρησιμοποιούνται οι παραλλαγές της ,  ή απλά .

Παραδείγματα
Παράδειγμα 1ο
Στο σύνολο  η σχέση  είναι σχέση ισοδυναμίας. Οι κλάσεις της είναι οι εξής:
 και ,
και επομένως το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας για αυτή τη σχέση είναι .

Παράδειγμα 2ο
Στο σύνολο  η σχέση

είναι σχέση ισοδυναμίας. Οι κλάσεις της είναι οι εξής:
 και ,
και επομένως το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας για αυτή τη σχέση είναι .

Σχέσεις ισοδυναμίας
Μερικά παραδείγματα σχέσεων ισοδυναμίας είναι τα εξής:
 "Είναι ίσο με" για το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
"Έχει τα ίδια γενέθλια, όπως" για το σύνολο όλων των ανθρώπων.
"Είναι όμοιο με" για το σύνολο όλων των τριγώνων.
"Είναι ίσα με" για το σύνολο όλων των τριγώνων.
"Έχουν το ίδιο υπόλοιπο στην διαίρεση με το " για τους ακέραιους.
"Έχει το ίδιο σύνολο τιμών με τη συνάρτηση" στο σύνολο των συναρτήσεων.
"Έχει την ίδια απόλυτη τιμή" για το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
"Έχει το ίδιο συνημίτονο" για το σύνολο όλων των γωνιών.
"Είναι παράλληλες" για το σύνολο των ευθειών (ή επιπέδων) του Ευκλείδειου χώρου.
"Υπάρχει μονοπάτι μεταξύ του  και " σε έναν μη-κατευθυνόμενο γράφο. Οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι οι συνεκτικές συνιστώσες του γράφου.
"Υπάρχει μονοπάτι από το  στο  και από το  στο " σε έναν μη-κατευθυνόμενο γράφο. Οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι οι ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες του γράφου.

Σχέσεις που δεν είναι ισοδυναμίες

Η σχέση  στους πραγματικούς αριθμούς είναι ανακλαστική και μεταβατική, αλλά δεν είναι συμμετρική. Για παράδειγμα,  δεν συνεπάγεται ότι . Είναι, ωστόσο, μια μερική διάταξη.
Η σχέση "έχει ένα κοινό παράγοντα μεγαλύτερο από  με το" στους φυσικούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από , είναι ανακλαστική και συμμετρική, αλλά δεν είναι μεταβατική. 
Παράδειγμα: Οι φυσικοί αριθμοί  και  έχουν ένα κοινό παράγοντα μεγαλύτερο από , και  και , έχουν ένα κοινό παράγοντα μεγαλύτερο από , αλλά  και  δεν έχουν ένα κοινό παράγοντα μεγαλύτερο από .
Η κενή σχέση  σε ένα μη κενό σύνολο  (δηλαδή  δεν είναι αληθές) είναι συμμετρική και μεταβατική, αλλά δεν είναι ανακλαστική. (Εάν το  είναι επίσης κενό τότε η  είναι ανακλαστική.)
Η σχέση "είναι περίπου ίσος με" στους πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή  ανν , δεν είναι μια σχέση ισοδυναμίας για κανένα , επειδή αν και ανακλαστική και συμμετρική, δεν είναι μεταβατική, καθώς αν και  και , δεν ισχύει ότι . 
Ωστόσο, εάν η προσέγγιση ορίζεται ασυμπτωτικά, για παράδειγμα, λέγοντας ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι περίπου ίσες κοντά κάποιο σημείο, αν το όριο των f-g είναι μηδέν σε εκείνο το σημείο, τότε αυτό ορίζει μια σχέση ισοδυναμίας.
Η σχέση "είναι αδέλφια του" (που χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει τα ζεύγη των ανθρώπων που έχουν τους ίδιους γονείς) για το σύνολο όλων των ανθρώπων δεν είναι μια σχέση ισοδυναμίας. 
Αν η σχέση είναι συμμετρική (αν  είναι ένα αδελφός του , τότε το  είναι αδελφός του ) και μεταβατική για κάθε 3 ξεχωριστούς ανθρώπους (αν ο  είναι ένας αδελφός του  και ο  είναι ένας αδελφός του , τότε ο  είναι ένας αδελφός του , με την προϋπόθεση να μην είναι ο .Σημειώστε ότι η "είναι αδέλφια του" δεν είναι μια μεταβατική σχέση, δεδομένου ότι , και  συνεπάγεται  από την μεταβατικότητα), δεν είναι ανακλαστική (ο  δεν μπορεί να είναι αδελφός του ). Η μικρή τροποποίηση, "είναι αδέλφια του, ή είναι το ίδιο πρόσωπο", είναι μια σχέση ισοδυναμίας.

Συνδέσεις με άλλες σχέσεις

Μια μερική διάταξη είναι μια σχέση που είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική.
Η ισότητα αποτελεί τόσο μια σχέση ισοδυναμίας και μια μερικής διάταξης. Η ισότητα είναι, επίσης, η μόνη σχέση σε ένα σύνολο που είναι ανακλαστική, συμμετρική και αντισυμμετρική.
Μια αυστηρή μερική διάταξη είναι ανακλαστική, μεταβατική, και αντισυμμετρική σχέση.
Μια μερική σχέση ισοδυναμίας είναι μεταβατική και συμμετρική. Μεταβατική και συμμετρική συνεπάγεται και ανακλαστική αν και μόνο αν για όλα τα , υπάρχει  τέτοιο ώστε .

Καλώς ορισμένη ιδιότητα ως προς σχέση ισοδυναμίας

Έστω  είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο , και  είναι μια ιδιότητα των στοιχείων του , τέτοια ώστε για οποτεδήποτε , η  να είναι αληθής εάν  είναι αληθής, τότε η ιδιότητα  λέγεται καλώς ορισμένη ή μία αναλλοίωτη της σχέσης .

Μια συχνή ειδική περίπτωση είναι όταν η  είναι μία συνάρτηση από το  σε ένα άλλο σύνολο . Εάν  συνεπάγεται , τότε η  λέγεται ότι είναι ένας μορφισμός για , αναλλοίτωτος στο . 

Πιο γενικά, μια συνάρτηση μπορεί να αντιστοιχίσει ισοδύναμα στοιχεία στο πεδίο ορισμού της (κάτω από μια σχέση ισοδυναμίας ) σε ισοδύναμες τιμές (κάτω από μια σχέση ισοδυναμίας ). Μια τέτοια συνάρτηση είναι γνωστή ως ένα μορφισμός από  στο .

Κλάση ισοδυναμίας, σύνολο πηλίκου, διαμέριση

Έστω  ένα μη κενό σύνολο, και έστω . Παρακάτω παραθέτουμε μερικούς σημαντικούς ορισμούς:

Κλάση ισοδυναμίας
Το σύνολο όλων των  και  για τα οποία  συνθέτουν μια κλάση ισοδυναμίας του  σχετικά την . Το σύνολο  προσδιορίζει το σύνολο των ισοδύναμων στοιχείων με το . Όλα τα στοιχεία του X που είναι ισοδύναμα μεταξύ τους ορίζουν την ίδια κλάση ισοδυναμίας.

Σύνολο πηλίκου
Το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας του  σχετικά με την , ορίζεται ως  και ονομάζεται το πηλίκο του . Αν  είναι ένας τοπολογικός χώρος, υπάρχει ένας φυσικός τρόπος για να μετατρέψει το  σε ένα τοπολογικό χώρο (δείτε χώρος πηλίκο).

Προβολή
Η προβολή της  είναι η συνάρτηση   που ορίζεται ως , δηλαδή αντιστοιχεί τα στοιχεία του  στις αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναμίας τους στην σχέση .

Ισοτιμία πυρήνα

Η ισοτιμία του πυρήνα της συνάρτησης f είναι η ισοδυναμία ~ σχέση που ορίζεται από    . Η ισοτιμία του πυρήνα είναι μια ένα προς ένα ταυτοτική σχέση.

Διαμερισμός

Ένας διαμερσιμός του  είναι ένα σύνολο  των πεπερασμένων υποσυνόλων του , τέτοιο ώστε κάθε στοιχείο του  ανήκει σε κάποιο από τα σύνολα του . Κάθε στοιχείο του  είναι ένα μέρος του διαμερισμού. Επιπλέον, τα στοιχεία του  είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους και η ένωσή τους είναι το .

Πλήθος δυνατών διαμερισμών

Έστω  ένα πεπερασμένο σύνολο με  στοιχεία. Δεδομένου ότι κάθε σχέση ισοδυναμίας πάνω στο  αντιστοιχεί σε έναν διαμερισμό του , και αντιστρόφως, ο αριθμός των πιθανών σχέσεων ισοδυναμίας στο  ισούται με το πλήθος των διακριτών διαμερισμών του  που δίνεται από τον -ιοστό αριθμό Μπελ
.

Θεμελιώδες θεώρημα της ισοδυναμίας σχέσεων

Ένα βασικό αποτέλεσμα συνδέει τις σχέσεις ισοδυναμίας και τους διαμερισμούς:

Μια σχέση ισοδυναμίας  σε ένα σύνολο , είναι διαμερίζει το .
Αντίθετα, για κάθε διαμερισμό του , αντιστοιχεί μια σχέση ισοδυναμίας  στο .

Σε αμφότερες τις περιπτώσεις, τα μέρη του διαμερισμού του  είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας  του . Δεδομένου ότι κάθε στοιχείο του  ανήκει σε ένα μοναδικό μέρος οποιουδήποτε διαμερισμού του , και δεδομένου ότι κάθε μέρος του διαμερισμού είναι ταυτόσημο με μία κλάση ισοδυναμίας  του , κάθε στοιχείο του  ανήκει σε μια μοναδική κλάση ισοδυναμίας  του . Έτσι, υπάρχει μια φυσική αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το σύνολο όλων των πιθανών σχέσεων ισοδυναμίας για το  στο σύνολο όλων των διαμερισμών του .

Σύγκριση σχέσεων ισοδυναμίας

Έστω  και  είναι δύο σχέσεις ισοδυναμίας στο ίδιο σύνολο , και επιπλέον  συνεπάγεται  για όλα τα , τότε λέγεται ότι η  είναι λεπτότερη της  (και η  είναι αδρότερη της ). Ισοδύναμα,
 η  λεπτότερη από την  αν κάθε κλάση ισοδυναμίας της  είναι ένα υποσύνολο μιας κλάσης ισοδυναμίας της , και έτσι κάθε κλάση ισοδυναμίας της  είναι μια ένωση των κλάσεων ισοδυναμίας της .
 η  είναι λεπτότερη της  αν ο διαμερισμός που δημιουργήθηκε από την  είναι μια διαίρεση του διαμερισμού που δημιουργήθηκε από την .

Η ισότητα ως σχέση ισοδυναμίας είναι η λεπτότερη σχέση ισοδυναμίας για οποιοδήποτε σύνολο, ενώ η καθολική σχέση που κάνει όλα τα ζεύγη των στοιχείων που σχετίζονται είναι η αδρότερη.

Δημιουργία σχέσεων ισοδυναμίας

Για κάθε σύνολο , υπάρχει μια σχέση ισοδυναμίας για το σύνολο  όλων των δυνατών συναρτήσεων . Οι δύο αυτές συναρτήσεις θεωρούνται ισοδύναμες όταν σταθερά τους σημεία τους έχουν τον ίδιο πληθάριθμο. Συναρτήσεις ισοδύναμες με τον τρόπο αυτό σχηματίζουν μία κλάση ισοδυναμίας για , και αυτές οι κλάσεις ισοδυναμίας, έναν διαμερισμό του .
 Η σχέση ισοδυναμίας  στο  είναι η ισοδυναμία του πυρήνα της επί προβολής  Αντίστροφα, κάθε επί συνάρτηση μεταξύ των συνόλων ορίζει έναν διαμερισμό του πεδίου ορισμού της, το σύνολο των προεικόνων των μονοσυνόλων των στοιχείων στο σύνολο τιμών της. Επομένως, μία σχέση ισοδυναμίας στο , ένα διαμερισμός στο , και μία προβολή της οποίας το πεδίο ορισμού είναι το , είναι τρεις ισοδύναμοι τρόποι να οριστεί το ίδιο πράγμα.
Η τομή μίας συλλογής από σχέσεις  ισοδυναμίας στο σύνολο  είναι επίσης μια σχέση ισοδυναμίας. Αυτό παρέχει ένα βολικό τρόπο για να παράγει μια σχέση ισοδυναμίας: 
Για οποιαδήποτε δυαδική σχέση  στο , η μικρότερη σχέση ισοδυναμίας που παράγεται από την  είναι η τομή όλων των σχέσεων ισοδυναμίας ισοδυναμίας που περιέχουν την , δηλαδή
.
Πιο συγκεκριμένα, η  δημιουργεί την σχέση ισοδυναμίας  αν και μόνο αν υπάρχουν στοιχεία  τέτοια, ώστε , , και  ή  για .
Σχέσεις ισοδυναμίας μπορούν να κατασκευάσουν ενώνοντας σχέσεις ισοδυναμίας που δρουν σε ξένα σύνολα. 
Για παράδειγμα, έστω  το μοναδιαίο τετράγωνο , και έστω  είναι η σχέση ισοδυναμίας στο  που ορίζεται  για κάθε  και  για κάθε . Στη συνέχεια, ο χώρος πηλίκου  μπορεί  φυσικά να ταυτιστεί με έναν τόρο: πάρτε ένα τετράγωνο κομμάτι χαρτί, λυγίστε το και κολλήστε μαζί το άνω και κάτω άκρο για να σχηματιστεί ένας κύλινδρος, τότε λυγίστε τον κύλινδρο, έτσι ώστε να κολλήσουν μαζί τα δύο ανοικτά άκρα του, δημιουργώντας έναν τόρο.

Αλγεβρική δομή

Ένα μεγάλο μέρος των μαθηματικών στηρίζεται στη μελέτη των ισοδυναμιών, και τις σχέσεις διάταξης. Η θεωρία των πλεγμάτων ασχολείται με την μαθηματική δομή των σχέσεων διάταξης. Ακόμα κι αν σχέσεις ισοδυναμίας είναι τόσο συχνές στα μαθηματικά και τις σχέσεις τάξης, η αλγεβρική δομή των ισοδυναμιών δεν είναι τόσο γνωστή όσο εκείνη των διατάξεων. Η πρώτη βασίζεται κατά κύριο λόγο στην  θεωρία των ομάδων και, σε μικρότερο βαθμό, στη θεωρία των πλεγμάτων και στις κατηγορίες.

Θεωρία ομάδων

Ακριβώς όπως οι σχέσεις διάταξης θεμελιώνονται σε διατεταγμένα σύνολα, σύνολα κλειστά στις δυαδικές πράξεις supremum και infimum, οι σχέσεις ισοδυναμίας στηρίζονται σε κατανεμημένα σύνολα, τα οποία είναι κλειστά σε αμφιμονοσήμαντες συναρτήσεις και διατηρούν την δομή και τον διαμερισμό τους. Δεδομένου ότι όλοι αυτοί οι διαμερισμοί καθορίζουν μια κλάση ισοδυναμίας, οι εν λόγω διαμερίσεις έχουν παραλλαγές. Ως εκ τούτου, παραδείγματα ομάδων (επίσης γνωστός  μετασχηματισμός ομάδων) αποτελεί η σχετική έννοια της τροχιάς σχετικά με την μαθηματική δομή των σχέσεων ισοδυναμίας.

Έστω  μια σχέση ισοδυναμίας πάνω για κάποιο μη κενό σύνολο , το ονομάζεται υποκείμενο σύνολο. Έστω  οι αμφιμονοσήμαντες συναρτήσεις που διατηρούν τη δομή του διαμερισμού του : 
.
Στη συνέχεια, ισχύουν τα εξής τρία αλληλένδετα θεωρήματα:
 Η  χωρίζει το  σε κλάσεις ισοδυναμίας. (Αυτό είναι το θεμελιώδες θεώρημα των σχέσεων ισοδυναμίας που αναφέρθηκαν παραπάνω)
Λαμβάνοντας υπόψη ένα κομμάτι του ,  είναι μια ομάδα μετασχηματισμού σύμφωνα με τη σύνθεση, των οποίων οι τροχιές είναι τα μέρη του κομματιού
Λαμβάνοντας υπόψη μια αλλαγή της ομάδας  πάνω στο , υπάρχει μια σχέση ισοδυναμίας  πάνω αστο , του οποίου οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι οι τροχιές των .

Εν ολίγοις, δίνεται μια σχέση ισοδυναμίας  πάνω στο , υπάρχει μια ομάδα μετασχηματισμού  πάνω στο  της οποίας η τροχιά είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας της  στο .

Ο χαρακτηρισμός μεταμόρφωση της ομάδας των σχέσεων ισοδυναμίας διαφέρει ριζικά από τον τρόπο που χαρακτηρίζονται τα πλέγματα κλάσεων ισοδυναμίας. Τα επιχειρήματα της θεωρίας των πλεγμάτων ενώνονται και εντάσσονται ως στοιχεία ενός συνόλου . σύμπαντος Εν τω μεταξύ, τα επιχειρήματα των εργασιών της ομάδας μετασχηματισμού είναι στοιχεία ενός συνόλου διαμερίσεων, .

Η μετακίνηση σε ομάδες σε γενικές γραμμές, εστω  είναι μια υποομάδα κάποιας ομάδας . Ας είναι  μια σχέση ισοδυναμίας στο , όπως και . Οι κλάσεις ισοδυναμίας της  - που ονομάζονται επίσης  τροχιές της δράσης του  στο  - είναι τα σωστά ομοσύνολα της  στην .

Ας είναι σύνθετη συνάρτηση που θα ερμηνεύσει τον πολλαπλασιασμό της ομάδας, και αντίστροφη συνάρτηση [ου θα ερμηνεύσει την αντίστροφη ομάδας. Στη συνέχεια, G είναι μια ομάδα με σύνθεση, πράγμα που σημαίνει ότι  για κάθε  και , επειδή το  πληροί τις ακόλουθες τέσσερις προϋποθέσεις:

 είναι κλειστή ως προς τη σύνθεση. Η σύνθεση των οποιωνδήποτε δύο στοιχείων της  υπάρχει, επειδή ο τομέας και το πεδίο τιμών του κάθε στοιχείου του  είναι .
Ύπαρξη της ταυτοτικής συνάρτησης. Η ταυτοτική συνάρτηση, , αποτελεί ένα προφανές στοιχείο του .
Ύπαρξη αντίστροφης συνάρτησης. Κάθε συνάρτηση  έχει έναν αντίστροφη , έτσι ώστε .
Προσεταιριστική ιδιότητα συναρτήσεων, . Αυτό ισχύει για όλες τις συναρτήσεις σε όλους τους τομείς

Έστω  και  να είναι οποιαδήποτε δύο στοιχεία του . Δυνάμει του ορισμού του ,  και , έτσι ώστε . Ως εκ τούτου, το  είναι επίσης μια ομάδα μετασχηματισμού (και μία ομάδα αυτομορφισμού), καθώς η σύνθεσή συναρτήσεων διατηρεί την αυτονομία της.

Κατηγορίες και Ομαδοποίηση

Έστω  μια ομάδα και έστω ότι το  υποδηλώνει μια σχέση ισοδυναμίας πάνω στη . Στη συνέχεια, μπορούμε να σχηματίσουμε μια ομάδα που θα εκπροσωπεί την σχέση ισοδυναμίας ως εξής. Τα αντικείμενα είναι τα στοιχεία της , και για κάθε δύο στοιχεία  και  της , υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός από το  προς  αν και μόνο αν .

Τα πλεονεκτήματα της σχετικά με μια σχέση ισοδυναμίας ως ειδική περίπτωση μίας ομάδας περιλαμβάνουν:

Ότι η έννοια της "ελεύθερης σχέσης ισοδυναμίας" δεν υπάρχει,στηρίζεται στο ότι μεταβαίνει από μια ελεύθερη ομάδα σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα. Έτσι έχει νόημα να μιλάμε για μια «παρουσίαση μιας σχέσης ισοδυναμίας», δηλαδή, μια παρουσίαση της αντίστοιχης ομάδας.
Δέσμες των ομάδων, ομαδικές αγωγές, σύνολα και σχέσεις ισοδυναμίας μπορούν να θεωρηθούν ως ειδική περίπτωση της έννοιας της ομάδας, μια άποψη που υποδηλώνει μια σειρά από αναλογίες.
Οι πολλές περιπτώσεις "πηλίκων," και ως εκ τούτου οι κατάλληλες σχέσεις ισοδυναμίας που συχνά αποκαλoύνται μαθηματικές αναλογίες, είναι σημαντικές. Αυτό οδηγεί στην έννοια της εσωτερικής ομάδας σε μια κατηγορία.

Πλέγματα

Οι σχέσεις ισοδυναμίας σε ένα σύνολο X, όταν διαταχθούν με βάση την σχέση υποσυνόλου, δημιουργούν ένα ολοκληρωμένο πλέγμα, που αποκαλείται Con X . Η συνάρτηση ker : X^X → Con X, συσχετίζει ένα μονοειδές X^X από όλες τις συναρτήσεις στο X και Con X. Η ker είναι επί και όχι ένα προς ένα. Δηλαδή, κάθε σχέση ισοδυναμίας ker στο X, αντιστοιχεί κάθε συνάρτηση f : X → X στον πυρήνα της ker f. Παρομοίως, η ker(ker) είναι σχέση ισοδυναμίας στο X^X.

Σχέσεις ισοδυναμίας και μαθηματικής λογικής

Οι σχέσεις ισοδυναμίας αποτελούν μια συνήθη πηγή για παραδείγματα ή αντιπαραδείγματα. Για παράδειγμα, μια σχέση ισοδυναμίας με ακριβώς δύο άπειρες κλάσεις ισοδυναμίας είναι ένα εύκολο παράδειγμα μιας θεωρίας η οποία είναι -υποσύνολο, αλλά όχι υποσύνολο για οποιοδήποτε μεγαλύτερο αριθμό.

Μια συνέπεια της θεωρίας μοντέλων είναι ότι οι ιδιότητες που καθορίζουν μια σχέση μπορούν να αποδειχθούν ανεξάρτητες μεταξύ τους (και ως εκ τούτου απαραίτητα μέρη του ορισμού) αν και μόνο αν, για κάθε ιδιότητα, τα παραδείγματα μπορούν να βρεθούν από τις σχέσεις που δεν πληρούν τη συγκεκριμένη ιδιότητα, ενώ ικανοποιούνται από όλες τις άλλες ιδιότητες. Ως εκ τούτου, οι τρεις καθορισμοί των ιδιοτήτων των σχέσεων ισοδυναμίας μπορούν να αποδειχθούν αμοιβαίως ανεξάρτητα από τα ακόλουθα τρία παραδείγματα:

Ανακλαστική και μεταβατική: Η σχέση  στο .
Συμμετρική και μεταβατική: Η σχέση  σε , ορίζεται ως . Ή οποιαδήποτε μερική σχέση ισοδυναμίας
Ανακλαστική και συμμετρική: Η σχέση  στο , ορίζεται ως  ανν η διαφορά  διαιρείται με τουλάχιστον ένα από τα  ή . Ή οποιαδήποτε σχέση εξάρτησης.

Ιδιότητες που μπορούν να οριστούν στην λογική πρώτου βαθμού που μία σχέση ισοδυναμίας μπορεί να κατέχει ή όχι περιλαμβάνουν:
Το πλήθος των κλάσεων ισοδυναμίας είναι πεπερασμένο ή άπειρο
Το πλήθος των κλάσεων ισοδυναμίας ισούται με το (πεπερασμένο) φυσικό αριθμό .
 Όλες οι κλάσεις ισοδυναμίες έχουν άπειρο μέγεθος.
Το πλήθος των στοιχείων σε κάθε κλάση ισοδυναμίας είναι ο φυσικός αριθμός .

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
Σχέση ισοδυναμίας στο Cut The Knot
Σχέση ισοδυναμίας στο PlanetMath

Δείτε επίσης
 Διαμερισμός συνόλου
 Ανακλαστική σχέση
 Συμμετρική σχέση
 Μεταβατική σχέση

 Παραπομπές 

 Σημειώσεις 

Κατηγορία:Θεωρία συνόλων