Ars Conjectandi

Ars Conjectandi (λατινικά: Η τέχνη του εικάζειν) είναι ο τίτλος μαθηματικής διατριβής του Γιακόμπ Μπερνούλι η οποία δημοσιεύτηκε οκτώ χρόνια μετά τον θάνατό του από τον ανεψιό του, Νίκλαους Μπερνούλι, το 1713. Το έργο εμπέδωνε την γνωστή μέχρι τότε θεωρία πιθανοτήτων και επέκτεινε το θέμα. Ανακηρύχθηκε ορόσημο στον τομέα των πιθανοτήτων από τον μαθηματικό ιστορικό Ουίλιαμ Ντάναμ. Ακόμα επηρέασε σύγχρονους και μεταγενέστερους μαθηματικούς όπως ο Αβραάμ ντε Μουάβρ

Ο Μπερνούλι έγραψε το κείμενο μεταξύ 1684 και 1689, συμπεριλαμβάνοντας το έργο μαθηματικών όπως ο Κρίστιαν Χόυχενς, ο Τζερόλαμο Καρντάνο, ο Πιέρ ντε Φερμά και ο Μπλεζ Πασκάλ. Διαπραγματεύτηκε θέματα όπως η θεωρία των διατάξεων και των συνδυασμών, καθώς και αυτά που συνδέονται ελαφρώς με την θεωρία αριθμών, η προέλευση και οι ιδιότητες των αριθμών Μπερνούλι, για παράδειγμα. Περιλαμβάνονταν και άλλα θεμελιώδη θέματα πιθανοτήτων, όπως η αναμενόμενη τιμή.

 Υπόβαθρο 

Στην Ευρώπη, το θέμα των πιθανοτήτων αναπτύχθηκε επίσημα πρώτη φορά τον δέκατο έκτο αιώνα με το έργο του Καρντάνο, του οποίου το ενδιαφέρον για τις πιθανότητες πήγαζε από την αγάπη του για τον τζόγο. Έθεσε επίσημα αυτό που σήμερα ονομάζεται κλασικός ορισμός της πιθανότητας: αν ένα γεγονός έχει a πιθανά αποτελέσματα και επιλεγούν οποιαδήποτε b από αυτά έτσι ώστε b ≤ a, η πιθανότητα να συμβεί οποιοδήποτε από τα b είναι  Ωστόσο η πραγματική του επιρροή δεν ήταν μεγάλη. Έγραψε μόνο ένα βιβλίο πάνω στο θέμα το 1525 με τίτλο Liber de ludo aleae (Βιβλίο πάνω στα παιχνίδια τύχης), το οποίο όμως δημοσιεύτηκε μετά τον θάνατό του το 1663.

Η ημερομηνία την οποία η ιστορικοί θεωρούν ως την αρχή των πιθανοτήτων με την σύγχρονη έννοια είναι το 1654, χρονιά κατά την οποία ο Πασκάλ και ο Φερμά άρχισαν να αλληλογραφούν σχετικά με τις πιθανότητες. Αιτία για αυτό ήταν γράμμα που είχε στείλει την ίδια χρονιά ένας τζογαδόρος από το Παρίσι ονόματι Αντουάν Γκομπό (Antoine Gombaud) στον Πασκάλ και άλλους μαθηματικούς ρωτώντας διάφορα σχετικά με πιθανότητες. Πιο συγκεκριμένα έθεσε το πρόβλημα της διαίρεσης του στοιχήματος, σχετικά με ένα θεωρητικό παιχνίδι δύο παιχτών στο οποίο κερδίζει ένας από τους δύο μετά από συγκεκριμένο αριθμό γύρων. Το ερώτημα αφορούσε τον δίκαιο διαμοιρασμό της αξίας που είχε συγκεντρωθεί αν το παιχνίδι σταματούσε πρόωρα λόγω κάποιας εξωτερικής αιτίας. Η αλληλογραφία Πασκάλ και Φερμά προκάλεσε το ενδιαφέρον άλλων μαθηματικών, όπως ο Κρίστιαν Χόυχενς, ο οποίος το 1657 δημοσίευσε το De ratiociniis in aleae ludo (Υπολογισμοί στα παιχνίδια της τύχης). Κατά την διάρκεια αυτής της περιόδου ο Πασκάλ δημοσίευσε επίσης τα αποτελέσματά του σχετικά με το τρίγωνο του Πασκάλ. Αναφέρονταν στο τρίγωνο, στο έργο του Traité du triangle arithmétique (Χαρακτηριστικά του αριθμητικού τριγώνου), ως το «αριθμητικό τρίγωνο». Αργότερα ο Γιαν ντε Βιτ δημοσίευσε παρόμοιο υλικό στο έργο του Waerdye van Lyf-Renten, στο οποίο χρησιμοποίησε στατιστικές έννοιες ώστε να προσδιορίσει το προσδόκιμο ζωής.

Ο Μπερνούλι είχε μεγάλη παραγωγή μαθηματικού έργου μεταξύ 1684 και 1689 στην οποία περιλαμβάνεται και το Ars Conjectandi. Όταν ξεκίνησε το έργο του το 1684 σε ηλικία 30 ετών, δεν είχε ακόμα διαβάσει το έργο του Πασκάλ για το αριθμητικό τρίγωνο ούτε του ντε Βιτ για την στατιστική πιθανότητα. Είχε ζητήσει ένα αντίγραφο του τελευταίου από τον γνωστό του, Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, αλλά ο Λάιμπνιτς δεν κατάφερε να του το στείλει. Του έστειλε ωστόσο τα έργα του Πασκάλ και του Χόυχενς, στα οποία βασίζεται το Ars Conjectandi. Ο Μπερνούλι ονόμασε το έργο Ars Conjectandi επειδή επιθυμούσε να το συνδέσει με την έννοια ars inveniendi του σχολαστικισμού, το οποίο με την σειρά του υποδεικνύει ότι τα αποτελέσματά του θα μπορούσαν να εφαρμοστούν σε όλες τις πτυχές της ζωής και της κοινωνίας. Ο ανεψιός του, Νίκλαους Μπερνούλι, δημοσίευσε το χειρόγραφο το 1713, μετά τον θάνατο του Μπερνούλι το 1705.

 Περιεχόμενα 

Το έργο του Μπερνούλι, αρχικά δημοσιευμένο στα λατινικά,διαιρείται σε τέσσερα μέρη. Κάλυπτε κατά κύριο λόγο την θεωρία του για τις διατάξεις και τους συνδυασμούς, τα βασικά θεμέλια της σημερινής συνδυαστικής. Πραγματεύονταν επίσης τους αριθμούς Μπερνούλι, οι οποίοι είχαν σχέση περισσότερο με την θεωρία αριθμών παρά με τις πιθανότητες. Αυτοί φέρουν το όνομα του σήμερα, και είναι ένα από τα πλέον σημαντικά κατορθώματά του. 

Στο πρώτο μέρος, ο Μπερνούλι πραγματεύονταν σε βάθος το έργο του Χόυχενς, De ratiociniis in aleae ludo λύνοντας τα προβλήματα που είχε θέσει στο τέλος ο Χόυχενς. Ο Μπερνούλι συγκεκριμένα ανέπτυξε την έννοια του Χόυχενς για την αναμενόμενη τιμή, ή ο ζυγισμένος μέσος όλων των πιθανών ενδεχομένων ενός γεγονότος. Ο Χόυχενς είχε αναπτύξει την ακόλουθη εξίσωση: 

Ο συμβολισμός 

αναπαριστά τον αριθμό τον τρόπων που μπορεί να επιλεχθούν r αντικείμενα από ένα σύνολο n διακριτών αντικειμένων χωρίς αντικατάσταση. 
Σε αυτή την εξίσωση, το E είναι η αναμενόμενη τιμή, το pi είναι οι πιθανότητες να πραγματωθεί κάθε τιμή, και το ai είναι οι τιμές. Ο Μπερνούλι κανονικοποίησε την αναμενόμενη τιμή υποθέτοντας ότι pi είναι οι πιθανότητες όλων των ξένων ενδεχομένων, οδηγούμενος έτσι στο συμπέρασμα ότι p0 + p1 + ... + pn = 1. Μία ακόμα θεωρία που αναπτύχθηκε σε αυτό το τμήμα είναι η πιθανότητα να επιτευχθεί τουλάχιστον ένας αριθμός επιτυχιών σε ένα αριθμό πειραμάτων, που σήμερα ονομάζονται δοκιμές Μπερνούλι, με διάφορα αποτελέσματα δεδομένου όμως ότι η πιθανότητα της επιτυχίας σε κάθε πείραμα είναι η ίδια. Ο Μπερνούλι έδειξε με μαθηματική επαγωγή ότι δεδομένου ότι a είναι ο αριθμός των επιθυμητών αποτελεσμάτων σε κάθε πείραμα και b ο αριθμός των συνολικών πιθανών αποτελεσμάτων, d ο επιθυμητός αριθμός επιτυχών αποτελεσμάτων, και e ο αριθμός πειραμάτων, η πιθανότητα μπορεί να εκφραστεί ως

ΤΟ πρώτο μέρος πραγματεύεται επίσης αυτό που είναι γνωστό σήμερα ως κατανομή Μπερνούλι.

Το δεύτερο μέρος πραγματεύεται την συνδυαστική, ή την συστηματική αρίθμηση αντικειμένων—σε αυτό το μέρος εισήχθησαν οι έννοιες των διατάξεων και των συνδυασμών που θα αποτελέσουν την βάση του θέματος. Πραγματεύτηκε επίσης την γενική εξίσωση για αθροίσματα ακεραίων δυνάμεων, οι ελεύθεροι συντελεστές της οποίας προς τιμήν του ονομάζονται αριθμοί Μπερνούλι, η οποία αποδείχθηκε ευρύτατα χρήσιμη στην θεωρία αριθμών. Επιπλέον, αυτό το μέρος περιείχε την εξίσωση για το άθροισμα δυνάμεων ακεραίων, το οποίο επηρέασε αργότερα το έργο του Αβραάμ ντε Μουάβρ.

Στο τρίτο μέρος, ο Μπερνούλι εφάρμοσε τις τεχνικές πιθανότητας, που μελέτησε στα προηγούμενα μέρη, σε κοινά τυχερά παιχνίδια της εποχής με τράπουλα ή ζάρια. Παρουσίασε προβλήματα πιθανοτήτων σχετικά με αυτά αλλά και γενικεύσεις αυτών χωρίς συγκεκριμένες σταθερές. Για παράδειγμα, ένα πρόβλημα το οποίο είχε να κάνει με την αναμενόμενη τιμή φιγούρων που θα τραβούσε κάποιος από μια τράπουλα 20 φύλλων με 10 φιγούρες μπορούσε να γενικευθεί σε πρόβλημα με a φύλλα που είχαν b φιγούρες έτσι ώστε b<a.

Το τέταρτο μέρος πραγματεύεται την εφαρμογή των πιθανοτήτων σε προσωπικές, δικαστικές και οικονομικές αποφάσεις. Σε αυτή την ενότητα ο Μπερνούλι διαφέρει τον τρόπο σκέψης που σχετίζεται με την συχνότητα πιθανότητας, κατά τον οποίο η πιθανότητα ορίζεται με εμπειρικό τρόπο. Διαφέρει με ένα αποτέλεσμα που σχετίζεται με τον νόμο των μεγάλων αριθμών, στο οποίο ο Μπερνούλι περιέγραψε ότι προβλέποντας τα αποτελέσματα της παρατήρησης θα προσεγγίζουν την θεωρητική πιθανότητα καθώς γίνονται περισσότερες δοκιμές, ενώ κατά με βάση την σχολή της συχνότητας πιθανότητας, η πιθανότητα ορίζεται αντίστροφα. Ο Μπερνούλι ήταν πολύ περίφανος για αυτό το αποτέλεσμα, αναφερόμενος σε αυτό ως το «χρυσό θεώρημα» του,  και σχολίασε ότι ήταν «ένα πρόβλημα με το οποίο είχε ασχοληθεί για είκοσι χρόνια».
 Η πρώιμη εκδοχή αυτού του θεωρήματος είναι σήμερα γνωστή είτε ως θεώρημα Μπερνούλι είτε ως αδύναμος νόμος των μεγάλων αριθμών, καθώς ήταν λιγότερο αυστηρός από την σύγχρονη εκδοχή.Weisstein, Eric W., "Weak Law of Large Numbers" από το MathWorld.

Ο Μπερνούλι προσέθεσε στο Ars Conjectandi ένα παράρτημα πάνω στον λογισμό, το οποίο είχε να κάνει με τις άπειρες σειρές. Ήταν ανατύπωση πέντε πραγματειών του που είχε δημοσιεύσει μεταξύ 1686 και 1704.

 Κληρονομιά 
Ο Ντάναμ αποκάλεσε το Ars Conjectandi «το επόμενο ορόσημο στην θεωρία πιθανοτήτων [μετά το έργο του Καρντάνο]» καθώς και το «αριστούργημα του Μπερνούλι». Βοήθησε δε τα μέγιστα σε αυτό που Ντάναμ αποκαλεί «την από μακρού καθιερωμένη φήμη του Μπερνούλι».

Το έργο του Μπερνούλι επηρέασε πολλούς σύγχρονούς του και μεταγενέστερους μαθηματικούς. Το παράρτημα απειροστικού λογισμού αναφέρονταν πιο συχνά, με πιο σημαντικό παράδειγμα τον σκοτσέζο Κόλιν Μακλόριν. Ο Αβραάμ ντε Μουάβρ επηρεάστηκε εν μέρει από το έργο του Μπερνούλι. Έγραψε για την έννοια της πιθανότητας στο έργο του The Doctrine of Chances. Το πιο σημαντικό κατόρθωμα του ντε Μουάβρ στις πιθανότητες ήταν το θεώρημα του κεντρικού ορίου, με το οποίο μπόρεσε να προσεγγίσει την διωνυμική κατανομή. Το έκανε αυτό χρησιμοποιώντας μια ασυμπτωτική ακολουθία της παραγοντικής συνάρτησης—η οποία είχε αναπτυχθεί από τον Τζέιμς Στέρλινγκ—και την εξίσωση του Μπερνούλι για το άθροισμα δυνάμεων.

Ο Τομας Σίμπσον κατέληξε σε ένα αποτέλεσμα παρόμοιο με του ντε Μουάβρ. Σύμφωνα με τον πρόλογο του έργου του Σίμπσον, το έργο του βασίζονταν κατά πολύ σε αυτό του ντε Μουάβρ. Ο ίδιος ο ντε Μουάβρ χαρακτήρισε το έργο του Σίμπσον ως συντομευμένη έκδοση του δικού του. Το Τόμας Μπέις (Thomas Bayes) σε ένα δοκίμιο του πραγματεύτηκε θεολογικές προεκτάσεις των αποτελεσμάτων του ντε Μουάβρ. Η λύση του ντε Μουάβρ σε ένα πρόβλημα, συγκεκριμένα του καθορισμού της πιθανότητας ενός γεγονότος από την σχετική του συχνότητα, θεωρήθηκε ως απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού από τον Μπέις.

 Παραπομπές 

 Πηγές 

Κατηγορία:Θεωρία πιθανοτήτων
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Βιβλία μαθηματικών