Αξίωμα

To αξίωμα ή αρχή στη λογική, είναι μια πρόταση η οποία δεν αποδεικνύεται, αλλά θεωρείται είτε προφανής, ή αποτέλεσμα κάποιας απόφασης. Έτσι, αξίωμα είναι μια λογική πρόταση, της οποίας η αλήθεια θεωρείται δεδομένη και χρησιμεύει ως αρχικό σημείο για την αναγωγή και το συμπέρασμα άλλων αληθών προτάσεων, ανάλογα με τη θεωρία που εφαρμόζεται. Η λέξη προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη "ἀξίωμα" , που σημαίνει "αυτό που θεωρείται άξιο ή κατάλληλο".Cf. axiom, n., etymology. Oxford English Dictionary, accessed 2012-04-28.

Στα μαθηματικά, ο όρος αξίωμα χρησιμοποιείται με δυο σχετικές αλλά διαφορετικές έννοιες: τα «λογικά» και «μη λογικά» αξιώματα. Και στις δύο περιπτώσεις, αξίωμα είναι μια μαθηματική πρόταση που χρησιμεύει ως αρχή για το συμπέρασμα άλλων προτάσεων με λογικό τρόπο. Αντίθετα με τα θεωρήματα, τα αξιώματα δεν μπορούν γενικά να παραχθούν με αρχές επαγωγής (εκτός αν πλεονάζουν), ούτε γίνεται να αποδειχθούν, αφού αποτελούν αρχικά σημεία: δεν υπάρχει κάτι από το οποίο να απορρέουν (τότε θα ήταν θεωρήματα).

Τα λογικά αξιώματα είναι συνήθως προτάσεις που γίνονται αποδεκτές ως καθολικά αληθείς (π.χ. το Α και Β συνεπάγεται το Α). Τα μη-λογικά αξιώματα (π.χ. ) ορίζουν ιδιότητες για την περιοχή κάποιας συγκεκριμένης μαθηματικής θεωρίας (όπως η Αριθμητική). Όταν χρησιμοποιείται με αυτή την έννοια, η λέξεις «αξίωμα», «αρχή» και «υπόθεση» σημαίνουν το ίδιο. Γενικά, ένα μη-λογικό αξίωμα δεν είναι μια προφανής αλήθεια, αλλά μάλλον μια τυπική λογική έκφραση που χρησιμοποιείται σε επαγωγικούς συλλογισμούς για την ανάπτυξη μιας μαθηματικής θεωρίας. Η διαδικασία του να δειχθεί ότι όλες οι προτάσεις μιας θεωρίας ή ενός συστήματος μπορούν να παραχθούν από ένα μικρό αριθμό από προτάσεις (τα αξιώματα) λέγεται αξιωματικοποίηση της θεωρίας. Συνήθως υπάρχουν πολλοί τρόποι να αξιωματικοποιηθεί μια μαθηματική περιοχή. 

Το σύνολο αυτό υπόκειται σε δύο περιορισμούς: α) τα αξιώματα να είναι συμβιβαστά, και β) ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Ακόμη θα πρέπει το πλήθος των αξιωμάτων να είναι όσο το δυνατό λιγότερο.

Εκτός της λογικής και των μαθηματικών, ο όρος «αξίωμα» μπορεί να αναφέρεται αόριστα σε οποιαδήποτε τεκμηριωμένη αρχή.

Ιστορική εξέλιξη
Πρώτοι οι Έλληνες

λογική-απαγωγική μέθοδος, σύμφωνα με την οποία τα συμπεράσματα (νέες γνώσεις) προκύπτουν από τις προκείμενες ((παλαιότερες γνώσεις)) μέσω της εφαρμογής ορθών επιχειρημάτων (συλλογισμοί, κανόνες συμπερασμού), αναπτύχθηκε από τους αρχαίους Έλληνες και έχει καταστεί η βασική αρχή των σύγχρονων μαθηματικών. Με εξαίρεση τις ταυτολογίες, τίποτα δεν μπορεί να συναχθεί αν δεν υποτεθεί κάτι. Τα αξιώματα και τα υποδείγματα είναι επομένως οι βασικές υποθέσεις που υποκρύπτουν ένα δεδομένο σύνολο αφαιρετικών γνώσεων. Γίνονται αποδεκτά χωρίς απόδειξη. Όλες οι άλλες ισχυρισμοί (θεωρήματα, στην περίπτωση των μαθηματικών) πρέπει να αποδειχθούν με τη βοήθεια αυτών των βασικών υποθέσεων. Ωστόσο, η ερμηνεία της μαθηματικής γνώσης έχει αλλάξει από την αρχαιότητα έως τη σύγχρονη εποχή και, κατά συνέπεια, οι όροι αξίωμα και αξίωμα έχουν μια ελαφρώς διαφορετική σημασία για τους σημερινούς μαθηματικούς από ό,τι είχαν για τον Αριστοτέλη και τον Ευκλείδη. 

Οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν τη γεωμετρία ως μία από τις πολλές επιστήμες και θεωρούσαν τα θεωρήματα της γεωμετρίας ισάξια με τα επιστημονικά δεδομένα. Ως εκ τούτου, ανέπτυξαν και χρησιμοποίησαν τη λογικο-απαγωγική μέθοδο ως μέσο αποφυγής λαθών, καθώς και για τη δομή και τη μετάδοση της γνώσης. Η μεταγενέστερη ανάλυση του Αριστοτέλη αποτελεί μια καθοριστική έκθεση της κλασικής άποψης. 

Ένα «αξίωμα», στην κλασική ορολογία, αναφερόταν σε μια αυτονόητη υπόθεση κοινή σε πολλούς κλάδους της επιστήμης. Ένα καλό παράδειγμα είναι ο ισχυρισμός ότι:

Όταν λαμβάνεται ίση ποσότητα από ίσα, προκύπτει ίση ποσότητα.

Στα θεμέλια των διαφόρων επιστημών βρίσκονταν ορισμένες πρόσθετες υποθέσεις που γίνονταν αποδεκτές χωρίς απόδειξη. Μια τέτοια υπόθεση ονομάστηκε αξίωμα. Ενώ τα αξιώματα ήταν κοινά σε πολλές επιστήμες, τα αξιώματα κάθε συγκεκριμένης επιστήμης ήταν διαφορετικά. Η εγκυρότητά τους έπρεπε να τεκμηριωθεί μέσω της εμπειρίας του πραγματικού κόσμου. Ο Αριστοτέλης προειδοποιεί ότι το περιεχόμενο μιας επιστήμης δεν μπορεί να μεταδοθεί με επιτυχία αν ο μαθητής έχει αμφιβολίες για την αλήθεια των αξιωμάτωνAristotle, Metaphysics Bk IV, Chapter 3, 1005b "Physics also is a kind of Wisdom, but it is not the first kind. – And the attempts of some of those who discuss the terms on which truth should be accepted, are due to want of training in logic; for they should know these things already when they come to a special study, and not be inquiring into them while they are listening to lectures on it." W.D. Ross translation, in The Basic Works of Aristotle, ed. Richard McKeon, (Random House, New York, 1941).

 Δείτε επίσης 
 Θεωρία αποδείξεων
 Θεωρία μοντέλων

Βιβλιογραφία

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
 Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεμελιώδεις Έννοιες των Μαθηματικών -kallipos - Ακαδημαϊκές εκδόσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Μαθηματική ορολογία
Κατηγορία:Μαθηματική λογική