Αρχή αποκλειόμενου μέσου

Η αρχή του αποκλειόμενου μέσου ή νόμος της του τρίτου αποκλείσεως στην τυπική λογική γράφεται:

 .

Συχνά επίσης σημειώνεται ως:

 , 

για κάθε πρόταση P, P είναι αληθής ή "όχι-P" είναι αληθής.

 Παράδειγμα 1 

Για την πρόταση "Ο Σωκράτης είναι θνητός" ας πούμε ότι δεν γνωρίζουμε την τιμή αλήθειας. Με βάση την αρχή αποκλειόμενου μέσου προκύπτει ότι η διάζευξη "Είτε ο Σωκράτης είναι θνητός είτε είναι "μη-θνητός" είναι αληθής.

 Παράδειγμα 2 

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν δύο άρρητοι αριθμοί  και  ώστε ο  να είναι ρητός. 

Απόδειξη: 

Ο  είναι άρρητος.

Ας πάρουμε τον αριθμό .

Αυτός θα είναι είτε ρητός είτε άρρητος (αρχή αποκλειόμενου μέσου).

Αν είναι ρητός η απόδειξη τελειώνει εδώ.

Αν είναι άρρητος τότε ας πάρουμε 

 και .

Τότε είναι 

. 

Ο αριθμός 2 είναι ρητός, και τούτο ολοκληρώνει την απόδειξη.-

 Σχέση με προτασιακή λογική και αρχή μη-αντίφασης 

Η προτασιακή λογική προϋποθέτει ότι κάθε λογική πρόταση λαμβάνει ακριβώς μία από τις δύο τιμές αλήθειας (αληθές ή ψευδές). Η λεγόμενη κλασική λογική καθώς και οι περισσότερες (αλλά όχι όλες) θεωρίες μαθηματικής λογικής είναι προτασιακές λογικές. Χρησιμοποιείται και ο όρος δίτιμη ή δισθενής (bivalent) λογική.

Το "ή" στην αρχή αποκλειόμενου μέσου είναι απλή διάζευξη και όχι αποκλειστική διάζευξη. Από την αρχή αποκλειόμενου μέσου, μόνη της, δεν αποκλείεται η περίπτωση P είναι αληθής και "όχι-P" είναι αληθής. Επομένως η αρχή μη-αντίφασης συμπληρώνει την αρχή αποκλειόμενου μέσου. 

Συνοψίζοντας:

 Προτασιακή λογική: Για κάθε πρόταση P, P είναι ή αληθής ή ψευδής. Η αρχή αυτή μπορεί να εκφραστεί μόνο στη μεταγλώσσα και δεν περιλαμβάνεται στους ορισμούς ή αξιώματα της μαθηματικής λογικής θεωρίας.

 Αρχή αποκλειόμενου μέσου: Για κάθε πρόταση P, P είναι αληθής ή "όχι-P" είναι αληθής. P ∨ ¬P

 Αρχή μη-αντίφασης: Για κάθε πρόταση P, αποκλείεται να ισχύει ότι και P είναι αληθής και "όχι-P" είναι αληθής. ¬(P ∧ ¬P)

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 Λογική των προτάσεων

Κατηγορία:Λογική