Πολλαπλασιασμός των χωρικών

Ο πολλαπλασιασμός των χωρικών (επίσης γνωστός ως Αρχαίος Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός, Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός, Αιθιοπικός πολλαπλασιασμός, πολλαπλασιασμός αλά ρωσικά, κ.ά.) είναι μια μέθοδος για να υπολογιστεί το γινόμενο δύο αριθμών. Το πλεονέκτημα της συγκεκριμένης μεθόδου (σε σχέση με τον κλασικό αλγόριθμο πολλαπλασιασμού) είναι ότι δεν είναι αναγκαία η χρήση πολλαπλασιαστικών πινάκων (όπως η προπαίδεια), αφού η μέθοδος περιλαμβάνει μόνο βήματα πρόσθεσης, διπλασιασμού και υποδιπλασιασμού.

Μέθοδος
Για να υπολογίσουμε το γινόμενο δύο φυσικών αριθμών (Α, Β) με τη μέθοδο του πολλαπλασιασμού των χωρικών ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: 

Αρχικά, παραθέτουμε τους αριθμούς Α και Β τον ένα δίπλα στον άλλο και στη συνέχεια κατ’ επανάληψη διπλασιάζουμε τον πρώτο (τον Α) και υποδιπλασιάζουμε τον δεύτερο (Β), αγνοώντας ενδεχόμενο δεκαδικό μέρος, μέχρι ότου ο Β (ο αριθμός που υποδιπλασιάζεται) να γίνει ίσος με 1. Οι αριθμοί που προκύπτουν σε κάθε διπλασιασμό/υποδιπλασιασμό τοποθετούνται σε δύο στήλες, ο ένας κάτω από τον άλλο. Η πρώτη στήλη (αυτή που βρίσκεται κάτω από τον Α) περιλαμβάνει τους αριθμούς που προκύπτουν από τους διαδοχικούς διπλασιασμούς του αριθμού Α, ενώ η δεύτερη στήλη (αυτή που βρίσκεται κάτω από τον Β) περιλαμβάνει τους αριθμούς που προκύπτουν από τους διαδοχικούς υποδιπλασιασμούς του αριθμού Β. Στη συνέχεια, σημειώνουμε τους περιττούς αριθμούς της στήλης του Β (δηλαδή της στήλης των υποδιπλασιασμών). Για να ολοκληρώσουμε τον υπολογισμό, δημιουργούμε και μια τρίτη στήλη, στην οποία τοποθετούμε μόνο τους αριθμούς της πρώτης στήλης (των διπλασιασμών) που βρίσκονται σε ίδιες θέσεις με τους περιττούς αριθμούς της στήλης των υποδιπλασιασμών. Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των αριθμών της τρίτης στήλης είναι ίσο με το γινόμενο των δύο αρχικών αριθμών. Εννοείται ότι αν αλλάξουμε τον ρόλο των δύο αριθμών, δηλαδή αν επιλέξουμε να διπλασιάζουμε διαδοχικά τον Β και να υποδιπλασιάζουμε τον Α, θα προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα.

Στο ακόλουθο παράδειγμα πολλαπλασιάζονται με αυτήν την μέθοδο οι αριθμοί 49 και 52:

 Αριθμός Α  Αριθμός Β  αριθμοί για πρόσθεση 49  52   98  26  196  13  196 392  6  784  3  784 1568  1  1568

196 + 784 + 1568 = 2548 και άρα 49 × 52 = 2548.

Όπως βλέπουμε εδώ, σε κάθε βήμα ο αριθμός Α διπλασιάστηκε ενώ ο αριθμός Β υποδιπλασιάστηκε μέχρι να γίνει ίσος με 1. Έπειτα προστέθηκαν οι αριθμοί της πρώτης στήλης, που βρίσκονται στις ίδιες θέσεις με τους περιττούς αριθμούς της δεύτερης στήλης. Ο αριθμός που προέκυψε είναι ίσος με το γινόμενο των αριθμών Α και Β. Αν επιλέξουμε να υποδιπλασιάζουμε τον Α και να διπλασιάζουμε τον Β, τότε θα προκύψει ο παρακάτω πίνακας:

 Αριθμός Α  Αριθμός Β  αριθμοί για πρόσθεση 49  52 52241041220864163832832116641664

Και πάλι το άθροισμα της τρίτης στήλης (όπου τώρα τοποθετήθηκαν οι αριθμοί της δεύτερης στήλης που βρίσκονται στις ίδιες θέσεις με τους περιττούς αριθμούς της πρώτης στήλης) είναι ίσο με 2548. Η μέθοδος αυτή παρουσιάζεται στο σχολικό βιβλίο του μαθήματος "Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον" της Γ΄ Λυκείου, ως παράδειγμα αλγορίθμου που χρησιμοποιεί δομή επανάληψης.

Ο πολλαπλασιασμός του χωρικού έχει τις ρίζες του σε μια αρχαία αιγυπτιακή μέθοδο πολλαπλασιασμού, στην οποία ένας εκ των αριθμών που πολλαπλασιάζονται αναλύεται σε άθροισμα δυνάμεων του 2. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν ότι η ανάλυση ενός αριθμού σε δυνάμεις του δύο γίνεται κατά μοναδικό τρόπο και είχαν μεγάλους πίνακες με τις δυνάμεις του δύο και τις αναλύσεις των αριθμών στις αντίστοιχες δυνάμεις.

Εφαρμογές σε Ψηφιακά Κυκλώματα
Αν γράψουμε τους αριθμούς χρησιμοποιώντας δυαδική αναπαράσταση, τότε η διαδικασία γίνεται ακόμη απλούστερη. Και αυτό γιατί στο δυαδικό σύστημα, ο πολλαπλασιασμός με το 2 ισοδυναμεί με την προσθήκη ενός ψηφίου 0 στο τέλος του αριθμού (ολίσθηση προς τα αριστερά). Ομοίως, η διαίρεση με τον αριθμό 2 ισοδυναμεί με την αφαίρεση του τελευταίου ψηφίου του αριθμού (ολίσθηση προς τα δεξιά). Επομένως, ο πίνακας του παραδείγματος μπορεί να γραφεί ως εξής: 

 Αριθμός Α  Αριθμός Β  αριθμοί για πρόσθεση110001110100 110001011010110001001101 11000100 110001000  110  1100010000  11  1100010000 11000100000  1  11000100000
Το αποτέλεσμα του αθροίσματος είναι ίσο με τον αριθμό 100111110100, ο οποίος σε δεκαδική αναπαράσταση είναι ο 2548. 

Από το παράδειγμα αυτό φαίνεται πως η μέθοδος του πολλαπλασιασμού του χωρικού μπορεί να υλοποιηθεί εύκολα και αποτελεσματικά σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές και ψηφιακά κυκλώματα τα οποία διεκπεραιώνουν πολύ εύκολα και γρήγορα της πράξεις της αριθμητικής ολίσθησης.  

 Παραπομπές 

 Εξωτερικοί Σύνδεσμοι 
 MathStudies Blog - Αλγόριθμοι Πολλαπλασιασμού

Κατηγορία:Αλγόριθμοι