Νιοστή ρίζα

Στα μαθηματικά η -οστή ρίζα ενός πραγματικού αριθμού , όταν το  είναι φυσικός αριθμός , είναι ο πραγματικός αριθμός , αν . Η -οστή ρίζα του αριθμού  συμβολίζεται με , το σύμβολο  λέγεται ριζικό, το  δείκτης του ριζικού, ο αριθμός  υπόρριζο και γράφεται  εάν . Αν ο δείκτης  είναι άρτιος, ή ρίζα λέγεται άρτια ή άρτιας τάξεως και εάν είναι περιττός, η ρίζα λέγεται περιττή ή περιττής τάξεως. Ένας πραγματικός αριθμός έχει 0, 1 ή 2 -οστές ρίζες, το οποίο εξαρτάται από το  και το πρόσημο του .Τόγκας Πέτρος, σελ. 170

Όταν , η  -οστή ρίζα του  συμβολίζεται  και διαβάζεται τετραγωνική ή δευτέρα ρίζα του . Όταν  συμβολίζεται  και διαβάζεται κυβική ή τρίτη ρίζα του . Όταν  συμβολίζεται , , ,  και διαβάζεται τέταρτη, πέμπτη, έκτη, ... ρίζα του .

 Όροι των ριζών 
Σε μία -οστή ρίζα που γράφεται  έχουμε:

 Τον πραγματικό αριθμό  πού λέγεται υπόρριζο.

 Το σύμβολο , που λέγεται ριζικό και η οριζόντια γραμμή του πρέπει να καλύπτει πλήρως το υπόρριζο. Παράδειγμα: 
 Τον φυσικό αριθμό , που λέγεται δείκτης του ριζικού ή βαθμός της ρίζας.
 Αν ο δείκτης  είναι άρτιος, ή ρίζα λέγεται άρτια ή άρτιας τάξεως και εάν είναι περιττός, η ρίζα λέγεται περιττή ή περιττής τάξεως.Τόγκας Πέτρος, σελ. 59
 Αν  συμβολίζεται  και διαβάζεται τετραγωνική ή δευτέρα ρίζα του .Τόγκας Πέτρος, σελ. 58 Συνηθίζεται να μην γράφεται ο δείκτης 2 του ριζικού (δηλ. ).
 Αν  συμβολίζεται  και διαβάζεται κυβική ή τρίτη ρίζα του .
 Δύο ρίζες λέγονται ισοδύναμες ή ισοβάθμιοι, όταν οι δείκτες του ριζικού τους ή αλλιώς οι βαθμοί τους είναι ίσοι. Για παράδειγμα οι ρίζες  λέγονται ισοδύναμες όταν .Τόγκας Πέτρος, σελ. 173-174
Συντελεστής μιάς ρίζας είναι οι παράγοντες που βρίσκονται εκτός του ριζικού.Τόγκας Πέτρος, σελ. 179 Παράδειγμα: στην ισότητα , το , είναι ο συντελεστής της ρίζας.
Όμοιες λέγονται δύο ρίζες που έχουν τον ίδιο δείκτη (ή βαθμό) και το ίδιο υπόρριζο.

 Ιδιότητες και ταυτότητες 
Λόγω του ότι ο ορισμός της  -οστής ρίζας βασίζεται στην εξίσωση  , οι ιδιότητες των ριζών απορρέουν από τις ιδιότητες των δυνάμεων.

 Γενικά 

 Πάντα ισχύει , λόγω τού ορισμού της -οστής ρίζας.

, διότι ισχύει , τότε  Τόγκας Πέτρος, σελ. 59
, διότι  για κάθε φυσικό αριθμό .Τόγκας Πέτρος, σελ. 61
, αν  πραγματικός και θετικός αριθμός (δηλ. και ) και οι  φυσικοί αριθμοί (δηλ.  ).Τόγκας Πέτρος, σελ. 173 Οι εφαρμογές της ιδιότητας αυτής είναι οι εξής:
Απλοποίηση ριζών, παραδείγματα:  και  
Μετατροπή ριζών σε ισοδύναμους (ισόβαθμους), απαραίτητο όταν θέλουμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ τους. Παράδειγμα: η ρίζα 3ου βαθμού  μετατρέπεται σε 6ου βαθμού.
   ή αλλιώς  Τόγκας Πέτρος, σελ. 175. Υπάρχει απόδειξη.. Σε τέτοιες πράξεις χρειάζεται οι ρίζες να μετατρέπονται σε ισόβαθμους ή και να απλοποιούνται οπότε χρησιμοποιούμε την ιδιότητα .
 μοιάζει και χρησιμοποιείται όπως η .Τόγκας Πέτρος, σελ. 176-177. Υπάρχει απόδειξη.
 , δεν ισχύει πάντα (ή ισότητα δεν είναι πάντα πλήρης) όταν  και  και  άρτιοι. Παράδειγμα: δεν ισχύει πάντα η ισότητα , διότι αν πάρουμε το πρώτο μέλος της έχουμε: , ενώ από το δεύτερο έχουμε:. Σε αυτή την περίπτωση λαμβάνουμε υπόψη μόνο τη θετική ρίζα.Τόγκας Πέτρος, σελ. 177-178
Τόγκας Πέτρος, σελ. 178-179. Υπάρχει απόδειξη.
Τόγκας Πέτρος, σελ. 188-189. Την ισότητα την λαμβάνει «εξ ορισμού», δηλαδή χωρίς απόδειξη.

 Ρίζες άρτιας τάξης 

 Έχουμε 2 ρίζες 
Εάν  άρτιος και , τότε , δηλαδή έχει δύο ρίζες τον πραγματικό αριθμό  και τον αντίθετό του  επειδή  και . Γιαυτό το λόγο, η ισότητα , δεν είναι πάντα πλήρης.Τόγκας Πέτρος, σελ. 177-178

 Παράδειγμα: η  έχει ρίζες τον αριθμό  και τον αντίθετό του , διότι  και 
Σε πρακτικές εφαρμογές δεν έχουν έννοια και οι δύο ρίζες, οπότε λαμβάνουμε υπόψη μας μία από τις δύο. Συνήθως την θετική που ονομάζεται κύρια  -οστή ρίζα (principal root).Τόγκας Πέτρος, σελ. 60-61

 Έχουμε 0 ρίζες 

Εάν  άρτιος και , τότε η  δεν έχει ρίζα (δεν έχει έννοια), διότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός , τέτοιος ώστε να έχει αποτέλεσμα το . Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα και , σε καμιά περίπτωση δεν έχουμε αποτέλεσμα  , ώστε η  να έχει ρίζα.Τόγκας Πέτρος, σελ. 60 Η ρίζα αυτή δεν έχει έννοια στο σύνολο τον πραγματικών αριθμών και γιαυτό λέγεται φανταστική παράσταση και αντιμετωπίζεται με την χρήση των φανταστικών αριθμών. Είναι σημαντικό όταν χρησιμοποιούμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών να εξασφαλίζεται το θετικό υπόρριζο.Τόγκας Πέτρος, σελ. 171

 Ρίζες περιττής τάξης 

 Έχουμε 1 ρίζα 
Κάθε πραγματικός αριθμός έχει μόνο μία ρίζα περιττής τάξης. Συγκεκριμένα:

Εάν  περιττός και , τότε η  έχει ρίζα ένα πραγματικό αριθμό. Παράδειγμα: η  έχει ρίζα τον αριθμό  διότι .
Εάν  περιττός και , τότε η  έχει ρίζα ένα πραγματικό αριθμό. Παράδειγμα: η  έχει ρίζα τον αριθμό  διότι .
Παραδόξως στα βιβλία των μαθηματικών της Β Βάθμιας εκπαίδευσης ο περιορισμός το α ΝΑ ΜΗΝ ΕΙΝΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΥΠΑΡΧΕΙ και απαγορεύεται η χρήση αρνητικών υπορρίζων ακόμα κι αν ν περιττός

 Δείτε επίσης 
 Ρίζα (μαθηματικά)
 Τετραγωνική ρίζα του 2
 Τετραγωνική ρίζα του 5

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Ελληνικά άρθρα 







 Ξενόγλωσσα άρθρα 






 Παραπομπές 

 Βιβλιογραφία 

 Τόγκας Πέτρος Γ. (Αθήνα 1959). «Άλγεβρα και Συμπλήρωμα άλγεβρας», έκδοση 26η, τόμος Α'.

Κατηγορία:Αριθμητική
Κατηγορία:Στοιχειώδης άλγεβρα
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση