Πεντάγωνο

Στη γεωμετρία, το πεντάγωνο είναι ένα πολύγωνο με πέντε κορυφές και πέντε πλευρές.

Ένα πεντάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

 Ιδιότητες 
 Σε κάθε απλό πεντάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα  (ή  ακτίνια).
 Κάθε πεντάγωνο έχει 5 διαγωνίους.

 Κυρτό κανονικό πεντάγωνο 

 Ιδιότητες 
Για το κανονικό πεντάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
 Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με  (ή  ακτίνια).
 Έχει πέντε άξονες συμμετρίας.
 Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
 Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
 Έχει περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξεως.
 Το σύμβολο Schläfli του πενταγώνου είναι .

 Κεντρική γωνία 
Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με  (ή  ακτίνια). 

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της  είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους
,
,
.

 Μετρικές σχέσεις 

 Η ακτίνα  του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού πενταγώνου είναι ίση με
.
Η ακτίνα  του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού πενταγώνου είναι ίση με
.
 Το κανονικό πεντάγωνο έχει πεντε διαγωνίους με μήκος

όπου  είναι η χρυσή τομή.

Το πλάτος του είναι ίσο με την διαγώνιο 
.
Το ύψος του είναι 
.

 Έστω  το σημείο τομής των διαγωνίων του  και . Τότε 
.

 (Θεώρημα Βιβιάνι) Για κάθε εσωτερικό σημείο  ενός κανονικού πενταγώνου ισχύει ότι το άθροισμα των αποστάσεων του  από τις πλευρές του πενταγώνου είναι σταθερό, δηλαδή
, 
όπου  η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.
 Έστω  το μέσο του ελάσσονος τόξου  του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού πενταγώνου, τότε
 ,
 .

 Εμβαδόν 
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού πενταγώνου πλευράς  και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου  είναι 
.

Το εμβαδό  ενός κανονικού πενταγώνου πλευράς  δίνεται από τη σχέση:

Αν  είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του πενταγώνου είναι

Aν  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότεTο διάστημα που ορίζουν οι δύο τελευταίοι συντελεστές (2,277... και 3,63...) περιλαμβάνει την τιμή του , που είναι το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου.
.

 Περίμετρος 
Η περίμετρος  του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
.

 Κατασκευή κανονικού πενταγώνου 
μικρογραφία|δεξιά|Μια μέθοδος κατασκευής κανονικού πενταγώνου
Το κανονικό πεντάγωνο είναι πολύγωνο που μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη ως εγγεγραμμένο σε κύκλο, είτε κατασκευάζοντας το από μια δοσμένη γωνία.How to construct a regular pentagon  using only compass and straightedge. Μία τέτοια κατασκευή περιγράφεται στην 11η Πρόταση στο 4ο Βιβλίο στα Στοιχεία του Ευκλείδη, περίπου το 300 π.Χ.

Αφού κατασκευάσεις ένα κυρτό πεντάγωνο, όταν φέρεις τις διαγώνιές του κατασκευάζεις ένα Πεντάγραμμα, με ένα μικρότερο κανονικό πεντάγωνο στο κέντρο του. Εφόσον επεκτείνεις τις πλευρές ώστε να ενωθούν, κατασκευάζεις ένα μεγαλύτερο κανονικό πεντάγωνο.

 Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη 
Μια μέθοδος κατασκευής με κανόνα και διαβήτη, είναι η ακόλουθη:
400px|Κατασκευή ενός κανονικού πενταγώνου
 Σχεδίασε ένα κύκλο μέσα στον οποίο θα εγγράψουμε το πεντάγωνο και σημείωσε το κέντρο του O. (Ο πράσινος κύκλος στο διάγραμμα).
 Διάλεξε ένα σημείο A του κύκλου που θα γίνει κορυφή του πενταγώνου. Φέρε μια ευθεία από το O και το A.
 Φέρε μια κάθετη ευθεία στην OA που να περνά από το O. Σημείωσε ένα σημείο τομής της με τον κύκλο B.
 Σημείωσε το σημείο C σαν το μέσο της O και B.
 Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το C που να περνά από το A. Σημείωσε το σημείο τομής του με την OB (εμπεριεχόμενο στον κύκλο) σαν D.
 Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το A που να περνά από το D. Σημείωσε τα σημεία τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο E και F.
 Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το E που να περνά από το A. Σημείωσε το σημείο τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο G.
 Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το F που να περνά από το A. Σημείωσε το σημείο τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο H.
 Σχεδίασε το κανονικό πεντάγωνο AEGHF.

Υπάρχουν αρκετοί άλλοι τρόποι για να κατασκευαστεί ένα κανονικό πεντάγωνο.

 Κατασκευή πενταγώνου με δίπλωμα χαρτιού 
μικρογραφία|δεξιά|Κατασκευή πενταγώνου με δίπλωμα χαρτιού
Μια απλή μέθοδος κατασκευής κανονικού πενταγώνου είναι από μια λωρίδα χαρτί την οποία πρέπει να δέσουμε κόμπο με τέτοιο τρόπο, ώστε το τελικό σχήμα να είναι συμμετρικό ως προς άξονα.How to fold a regular pentagon  using only a strip of paper.

 Θεωρήματα 
(Θεώρημα Μικέλ) Σε ένα κυρτό πεντάγωνο  έστω  τα σημεία τομής των επεκτάσεων των πλευρών του. Θεωρούμε τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων , , ,  και  οι οποίοι ανά δύο τέμνονται στα σημεία  καθώς και σε πέντε ακόμα σημεία. Τα πέντε αυτά σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο, δηλαδή το πεντάγωνο είναι εγγράψιμο.

 Κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο 

Υπάρχει και ένα κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο το οποίο προκύπτει από τις κορυφές ενός κυρτού κανονικού πενταγώνου και πλευρές μεταξύ κορυφών που απέχουν δύο κορυφές στο αρχικό. 

Πιο συγκεκριμένα, το αστεροειδές πεντάγωνο που προκύπτει από το κυρτό κανονικό πεντάγωνο  είναι το  και συμβολίζεται ως 

 Σχετικά σχήματα 

 Επιπεδομετρία 

 Στερεομετρία 

 Πεντάγωνα στην φύση 

 Δείτε επίσης 
 Πεντάγραμμα
 Δεκάγωνο
 Δωδεκάεδρο

 Περαιτέρω ανάγνωση 
 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Ορισμός και ιδιότητες πενταγώνου, με διαδραστικές εφαρμογές
 Εννιά κατασκευές κανονικών πενταγώνων από τον Robin Hu

 Ξενόγλωσσα άρθρα 











 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Πολύγωνα