Παράλληλες ευθείες

Στην γεωμετρία, παράλληλες ευθείες είναι δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν έχουν κοινά σημεία.

Δύο ευθείες  και  που είναι παράλληλες συμβολίζονται ως . 

 Ιδιότητες 
 Έστω  μία ευθεία και  ένα σημείο εξωτερικό αυτής. Υπάρχει μοναδική ευθεία που διέρχεται από το  και είναι παράλληλη στην . (Αξίωμα παραλληλίας)
 Αν , τότε και  (συμμετρική ιδιότητα). 
 Για καμία ευθεία  δεν ισχύει ότι  (μη-ανακλαστική ιδιότητα).
 Αν  και  και επιπλέον  τότε .Δείτε εδώ για την απόδειξη.
 Αν  και η  τέμνει την , τότε τέμνει και την .

Αν  και , και επιπλέον , τότε .Δείτε εδώ για την απόδειξη.
 Αν  και , τότε .Δείτε εδώ για την απόδειξη.
 Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές.Δείτε εδώ για την απόδειξη.
 Αν δύο παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα έχουν τα άκρα τους σε δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι ίσα.

 Δύο παράλληλες ευθείες και μία τέμνουσα 
Έστω δύο παράλληλες ευθείες  και  που τέμνονται από την ευθεία  στα σημεία  και . Τότε,
 οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες ( και ).
 οι εντός εκτός και επί τα αυτά είναι ίσες (, ,  και )
 οι εντός και επί τα αυτά είναι παραπληρωματικές ( και ). 

 Αναλυτική γεωμετρία 
 Συνθήκη παραλληλίας 
 Δύο ευθείες με εξισώσεις 
,
,
είναι παράλληλες αν και μόνο αν
 και .

 Δύο ευθείες με εξισώσεις 
,
,
είναι παράλληλες αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω
,  και ,
ή
 και .

 Απόσταση δύο παράλληλων ευθειών 

Δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις 
,
,
έχουν απόσταση 
.

 Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη 
Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη της ευθείας που διέρχεται από το σημείο  και είναι παράλληλη στην  είναι η ακόλουθη:
 Έστω  τυχόν σημείο της .
 Χαράζουμε τον κύκλο με κέντρο το  και ακτίνα  και έστω  ένα κοινό του σημείο του κύκλου με την .
 Με την ίδια ακτίνα, χαράζουμε τους κύκλους με κέντρα  και , οι οποίοι τέμνονται στο  και σε ένα άλλο σημείο, έστω .
 Η ευθεία που διέρχεται από τα  είναι η παράλληλη στην  (καθώς το  είναι ρόμβος).

 Θεωρήματα και σχετικές έννοιες 

 (Θεωρημα Θαλή) Έστω  και  δύο παράλληλες ευθείες, και  ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Τότε, για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το  και τέμνουν την  στα σημεία  και , και την  στα  και , ισχύει ότι
.
Αντίστροφα, ισχύει ότι αν 
,
τότε οι ευθείες  και  είναι παράλληλες.

 (Παραλληλόγραμμο) Ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο.

 (Μεσοπαράλληλη ευθεία) Η μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών είναι η ευθεία που είναι παράλληλη και ισαπέχει από αυτές.

 Δείτε επίσης 
 Κάθετες ευθείες
 Ασύμβατες ευθείες
 Αξίωμα παραλληλίας
 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Ευθείες