Διαφορική γεωμετρία

Η διαφορική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών χρησιμοποιεί τις τεχνικές του διαφορικού λογισμού, ολοκληρωτικού λογισμού, γραμμικής άλγεβρας και πολυγραμμικής άλγεβρας για να μελετήσει τα προβλήματα στη γεωμετρία. Η θεωρία των επίπεδων και καμπυλών του χώρου και επιφανειών στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της διαφορικής γεωμετρίας κατά τη διάρκεια του 18ου και του 19ου αιώνα.

 Από τα τέλη του 19ου αιώνα, η διαφορική γεωμετρία έχει εξελιχθεί σε ένα πεδίο που αφορά γενικότερα τις γεωμετρικές δομές στις διαφορίσιμες πολλαπλότητες. Η διαφορική γεωμετρία είναι στενά συνδεδεμένη με τη διαφορική τοπολογία και τις γεωμετρικές πτυχές της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. Η διαφορική γεωμετρία των επιφανειών συλλαμβάνει πολλές από τις βασικές ιδέες και τεχνικές, χαρακτηριστικές αυτού του τομέα. 

 Ιστορία της Ανάπτυξης 
 Η διαφορική γεωμετρία προέκυψε και αναπτύχθηκε ως αποτέλεσμα και σε σχέση με τη μαθηματική ανάλυση των καμπυλών και επιφανειών. Η μαθηματική ανάλυση των καμπυλών και των επιφανειών είχε αναπτυχθεί για να απαντήσει σε μερικά από τα ενοχλητικά και αναπάντητα ερωτήματα που εμφανίστηκαν στο λογισμό, όπως οι λόγοι για τις σχέσεις μεταξύ πολύπλοκων σχημάτων και καμπυλών, σειρών και αναλυτικών συναρτήσεων. Αυτά τα αναπάντητα ερωτήματα υποδείκνυαν μεγαλύτερες, κρυφές σχέσεις και συμμετρίες στη φύση, που οι τυποποιημένες μέθοδοι για την ανάλυση δεν θα μπορούσαν να εφαρμοστούν. 

 Όταν καμπύλες, επιφάνειες που περικλείονται από καμπύλες, και σημεία σε καμπύλες βρέθηκαν να είναι ποσοτικά, και γενικά συσχετιζόμενα με μαθηματικές μορφές, η επίσημη μελέτη της φύσης των καμπυλών και των επιφανειών έγινε ένα πεδίο μόνο του, με την εργασία του Γκασπάρ Μονζ το 1795, και ειδικότερα, με την δημοσίευση της μελέτης του Γκάους με τίτλο "Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas" το 1827. 

Αρχικά εφαρμόστηκε στον ευκλείδειο χώρο, περαιτέρω εξερευνήσεις οδήγησαν σε μη ευκλείδειο χώρο, και μετρικούς και τοπολογικούς χώρους.

 Κλάδοι της διαφορικής γεωμετρίας 

 Ριμάνεια γεωμετρία 
Η Ριμάνεια γεωμετρία μελετά Πολλαπλότητες Ρίμαν , ομαλές πολλαπλότητες με μετρική του Ρίμαν. Αυτή είναι μια έννοια της απόστασης που εκφράζεται μέσω μιας ομαλής, θετικής, καθορισμένης συμμετρικής διγραμμικής μορφής που ορίζεται στον εφαπτόμενο χώρο σε κάθε σημείο. Η Ριμάνεια γεωμετρία γενικεύει την Ευκλείδεια γεωμετρία σε χώρους που δεν είναι κατ ' ανάγκη επίπεδο, αν και εξακολουθούν να μοιάζουν με τον Ευκλείδειο χώρο σε κάθε σημείο απειροελάχιστα, δηλαδή στην πρώτη τάξη προσέγγισης. Διάφορες έννοιες με βάση το μήκος, όπως το μήκος του τόξου της καμπύλης, η περιοχή των επίπεδων περιοχών, και του όγκου των στερεών όλα διαθέτουν φυσικές αναλογίες στη Ριμάνεια γεωμετρία. Η έννοια της κατευθυντήριας παραγώγου μίας συνάρτησης από τον λογισμό πολλών μεταβλητών επεκτείνεται στη Ριμάνεια γεωμετρία με την έννοια της συναλλοίωτης παραγώγου του τανυστή. Πολλές έννοιες και τεχνικές της ανάλυσης και των διαφορικών εξισώσεων έχουν γενικευτεί στη σύνθεση των πολλαπλοτήτων Ρίμαν.

Η αμφιδιαφορίσιμη σχέση μεταξύ πολλαπλοτήτων Ριμαν η οποία διατηρεί την απόσταση ονομάζεται ισομετρία. Αυτή η έννοια μπορεί επίσης να οριστεί σε τοπικό επίπεδο, δηλαδή για μικρές γειτονιές των σημείων. Κάθε δύο κανονικές καμπύλες είναι τοπικά ισομετρικές. Ωστόσο, το Theorema Egregium του Καρλ Φρίντριχ Γκάους, έδειξε ότι για επιφάνειες, η ύπαρξη μιας τοπικής ισομετρίας επιβάλλει ισχυρή συμβατότητα συνθηκών των μετρικών: η Gaussian καμπυλότητα στα αντίστοιχα σημεία πρέπει να είναι η ίδια. Σε υψηλότερες διαστάσεις, η καμπυλότητα του τανυστή Ρίμαν είναι ένα σημαντικό, κατά σημείο αμετάβλητο, μέτρο που σχετίζεται με τις πολλαπλότητες του Ρίμαν, που μετρά πόσο κοντά είναι στο να είναι επίπεδη. Μια σημαντική κατηγορία των πολλαπλοτήτων Ρίμαν είναι οι συμμετρικοί χώροι Ρίμαν, των οποίων η καμπυλότητα δεν είναι απαραίτητα σταθερή. Αυτές είναι οι πιο κοντινές αναλογίες στο «συνηθισμένο» επίπεδο και χώρο και εξετάζονται στην Ευκλείδεια και μη Ευκλείδεια γεωμετρία.

 Ψευδο-Ριμάνεια γεωμετρία 
 Η Ψευδο-Ριμάνεια γεωμετρία γενικεύει την Ριμάνεια γεωμετρία στην περίπτωση κατά την οποία ο μετρικός τανυστής δεν χρειάζεται να είναι θετικά ορισμένος. Μια ειδική περίπτωση αυτού είναι η Λορεντζιανή πολλαπλότητα, η οποία είναι η μαθηματική βάση του Αϊνστάιν για τη γενική θεωρία της σχετικότητας της βαρύτητας.

 Finsler γεωμετρία 
Η Finsler γεωμετρία έχει την πολλαπλότητα του Finsler ως το κύριο αντικείμενο της μελέτης της. Αυτή είναι μια διαφορική πολλαπλότητα με μία μετρική του Finsler, δηλαδή μία Μπάναχ νόρμα ορίζεται σε κάθε εφαπτόμενο χώρο. Οι πολλαπλότητες του Ρίμαν είναι ειδικές περιπτώσεις των πιο γενικών Finsler πολλαπλοτήτων. Μία Finsler δομή πάνω σε μία πολλαπλότητα M είναι μια συνάρτηση F : TM → [0,∞) τέτοια ώστε:
 F(x, my) = |m|F(x,y) για όλα τα x, y , στο TM,
 F είναι απείρως διαφορίσιμη στο TM − {0},
 Η κάθετη Hessian της F2 είναι θετικά οριστιμένη.

 Συμπλεκτική γεωμετρία 
Η συμπλεκτική γεωμετρία είναι η μελέτη των συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων. Μια σχεδόν συμπλεκτική πολλαπλότητα είναι διαφορίσιμες πολλαπλή εξοπλισμένη με μία ομαλή, μεταβαλλόμενη, μη εκφυλισμένη, με λοξή συμμετρία, διγραμμική μορφή σε κάθε χώρο εφαπτομένης, δηλαδή μία μη εκφυλισμένη δίμορφη ω, ονομάζεται συμπλεκτική μορφή. Μία συμπλεκτική πολλαπλότητα είναι σχεδόν συμπλεκτική πολλαπλότητα, όταν ισχύει η συμπλεκτική μορφή ω είναι κλειστή: dω = 0.

Μία αμφιδιαφόριση μεταξύ δύο συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων η οποία διατηρεί τη συμπλεκτική μορφή, ονομάζεται συμπλεκτομορφισμός. Μη-εκφυλισμένες, με λοξή συμμετρία διγραμμικές μορφές μπορεί να υπάρχουν σε ίσων διαστάσεων διανυσματικούς χώρους, οπότε οι συμπλεκτικές πολλαπλότητες πρέπει απαραίτητα να έχουν ίδια διάσταση. Σε διάσταση 2, μία συμπλεκτική πολλαπλότητα είναι απλά μια επιφάνεια προικισμένη με μια εμβαδική μορφή και ο συμπλεκτομορφισμός είναι ένας αμφιδιαφορισμός που διατηρεί το εμβαδό. Ο χώρος φάσεων ενός μηχανικού συστήματος είναι μία συμπλεκτική πολλαπλότητα και έκανε μια σιωπηρή εμφάνιση ήδη στο έργο του Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ στην αναλυτική μηχανική και αργότερα ο [Carl Gustav Jacobi Καρλ Γκούσταβ] Jacobi's και William Rowan Hamilton's συνθέσεις της κλασικής μηχανικής.

Αντίθετα με τη Ριμάνεια γεωμετρία, όπου η καμπυλότητα εφοδιάζει μία τοπικά αμετάβλητη από τις πολλαπλότητες Ρίμαν, το θεώρημα του Νταρμπού αναφέρει ότι όλες οι συμπλεκτικές πολλαπλότητες είναι τοπικά ισόμορφες. Οι μόνες αμετάβλητες συμπλεκτικές πολλαπλότητες είναι παγκόσμιες στη φύση και οι τοπολογικές πτυχές διαδραματίζουν εξέχοντα ρόλο στη συμπλεκτική γεωμετρία. Το πρώτο αποτέλεσμα στη συμπλεκτική τοπολογία είναι ίσως το θεώρημα του Poincaré-Birkhoff , εικαζόμενο από τον Ανρί Πουανκαρέ, και στη συνέχεια αποδείχθηκε από τον G. D. Birkhoff το 1912. Ισχυρίζεται ότι αν μια περιοχή διατηρεί την απεικόνιση ενός δακτυλίου που στρεβλώνει κάθε οριακή συνιστώσα σε αντίθετες κατευθύνσεις, τότε η απεικόνιση έχει τουλάχιστον δύο σταθερά σημεία.

  Γεωμετρία επαφής 
Η γεωμετρία επαφής ασχολείται με ορισμένες πολλαπλότητες σε περιττές διαστάσεις. Είναι κοντά στη συμπλεκτική γεωμετρία και όπως και η δεύτερη, προέρχεται από τις ερωτήσεις της κλασικής μηχανικής. Μια επαφή δομή σε μία (2n + 1) - διαστάσεων πολλαπλότητα Μ δίνεται από ένα ομαλό υπερεπίπεδο χώρο Η στην εφαπτομένη δέσμη που είναι όσο το δυνατόν πιο μακριά από το να συνδέεται με τα σύνολα του επιπέδου μίας διαφορίσιμης συνάρτησης πάνω στην M (ο τεχνικός όρος είναι "απόλυτα μη-ολοκληρώσιμη εφαπτομένη υπερεπίπεδης κατανομής"). Κοντά σε κάθε σημείο p, η υπερεπίπεδη κατανομή καθορίζεται από μία μη μηδενιζόμενη 1-μορφή , η οποία είναι μοναδική εκτός από πολλαπλασιασμό με μία μη μηδενιζόμενη συνάρτηση:

Μία τοπικά 1-δομή στο M είναι μία δομή επαφής εάν ο περιορισμός της εξωτερικής παραγώγου στο Η είναι μια μη-εκφυλισμένη διπλή-δομή και έτσι επηρεάζει μια συμπλεκτική δομή Hp σε κάθε σημείο. Αν η κατανομή Η μπορεί να οριστεί από μια παγκόσμια δομή , τότε αυτή η δομή είναι δομή επαφής, αν και μόνο αν η μεγαλύτερης διαστάσεως δομή 

είναι μία δομή όγκου στο M, δηλαδή δεν μηδενίζεται οπουδήποτε. Για μια δομή ανάλογα με το θεώρημα του Darboux ισχύει: όλες οι δομές επαφής σε περιττών διαστάσεων πολλαπλότητα είναι τοπικά ισόμορφες και μπορούν να μετασχηματιστούν σε συγκεκριμένη κανονική μορφή με την κατάλληλη επιλογή του συστήματος συντεταγμένων.

 Μιγαδική και Kähler γεωμετρία 
Η μιγαδική διαφορική γεωμετρία είναι η μελέτη των μιγαδικών πολλαπλοτήτων. Μία σχεδόν μιγαδική πολλαπλότητα είναι μία πραγματική πολλαπλότητα , προικισμένη με ένα τανυστή του τύπου (1, 1), δηλαδή ένα διάνυσμα δέσμης ενδομορφισμών (που ονομάζεται μια σχεδόν μιγαδική δομή)
 , τέτοια ώστε 
Προκύπτει από τον ορισμό αυτό ότι μία μιγαδική πολλαπλότητα είναι άρτιων διαστάσεων.

Μία σχεδόν μιγαδική πολλαπλότητα ονομάζεται μιγαδική αν , όπου είναι ένας τανυστής τύπου (2, 1) σχετιζόμενος με το , που ονομάζεται Nijenhuis τανυστής (ή μερικές φορές στρέψη). Μία σχεδόν μιγαδική πολλαπλότητα ονομάζεται μιγαδική αν και μόνο αν επιτρέπει έναν ολομορφισμό συντεταγμένων του άτλαντα. Μία σχεδόν ερμιτιανή δομή δίνεται από μια σχεδόν μιγαδική δομή J, μαζί με μία Riemann μετρική g, ικανοποιώντας την υπόθεση συμβατότητας
 .
Μία σχεδόν Ερμιτιανή δομή καθορίζει φυσικά μια διαφορική διπλή-μορφή
 .
Οι δύο ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες:


Όπου είναι ο [Tullio Levi-Civita Levi-Civita] σύνδεσμος της . Στην περίπτωση αυτή, ονομάζεται Kähler δομή, και μία Kähler πολλαπλότητα είναι μία πολλαπλότητα προικισμένη με μια Kähler δομή. Ειδικότερα, μία Kähler πολλαπλότητα είναι ταυτόχρονα μιγαδική και συμπλεκτική πολλαπλότητα. Μια μεγάλη κατηγορία των Kähler πολλαπλοτήτων (της τάξης των []Χοτζ πολλαπλοτήτων) δίνεται από όλες τις ομαλές μιγαδικές προβολικές πολλαπλότητες.

 CR γεωμετρία 
Η CR γεωμετρία είναι η μελέτη των εσωτερικών γεωμετριών των ορίων των πεδίων ορισμών των μιγαδικών πολλαπλοτήτων.

 Διαφορική τοπολογία 
Η Διαφορική τοπολογία είναι η μελέτη των (παγκόσμιων) γεωμετρικών αναλλοίωτων χωρίς μετρική ή συμπλεκτική μορφή. Ξεκινά από τις φυσικές πράξεις όπως η Λι παράγωγος των φυσικών διανυσματικών δεσμών η διαφορική [Georges de Rham de Rham] των δομών. Εκτός από την άλγεβρα Λι, επίσης και η άλγεβρα του Courant άρχισαν να παίζουν έναν πιο σημαντικό ρόλο.

  Ομάδες Λι 
Μια ομάδα Λι είναι μια ομάδα στην κατηγορία ομαλές πολλαπλότητες. Εκτός από τις αλγεβρικές ιδιότητες αυτή εφαρμόζει επίσης και διαφορικές γεωμετρικές ιδιότητες. Η πιο προφανής δομή είναι αυτή της άλγεβρας Λι η οποία είναι ο εφαπτόμενος χώρος στη μονάδα προικισμένη με την αγκύλη Λι μεταξύ των αριστερά-αμετάβλητων διανυσματικών πεδίων. Εκτός από τη θεωρία των δομών, υπάρχει επίσης το ευρύ πεδίο της θεωρίας αναπαράστασης.

 Δέσμες και συνδέσεις 
Το σύστημα των διανυσματικών δεσμών, κύριων δεσμών και σχέσεων επί των δεσμών παίζει έναν εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στη σύγχρονη διαφορική γεωμετρία. Μια ομαλή πολλαπλότητα φέρει πάντα μία φυσική διανυσματική δέσμη, την εφαπτόμενη δέσμη. Χαλαρά μιλώντας, αυτή η δομή από μόνη της είναι αρκετή μόνο για την ανάπτυξη της ανάλυσης σχετικά με την πολλαπλότητα, ενώ η γεωμετρία απαιτεί, επιπλέον, με κάποιο τρόπο να σχετίζονται οι εφαπτόμενοι χώροι σε διαφορετικά σημεία, δηλαδή μια έννοια της παράλληλης μεταφοράς. Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι ο συσχετισμένος σύνδεσμος. Για μια επιφάνεια στο R3, τα εφαπτόμενα επίπεδα σε διαφορετικά σημεία μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας ένα φυσικό μονοπάτι παραλληλισμού που προκαλείται από τον περικλείων Ευκλείδειο χώρο, ο οποίος έχει ένα καλά ορισμένο πρότυπο ορισμό της μετρικής και του παραλληλισμού. Στη Ρίμαν γεωμετρία, η Levi-Civita σύνδεση εξυπηρετεί έναν παρόμοιο σκοπό. (Η Levi-Civita σύνδεση ορίζει ένα μονοπάτι παραλληλισμού, υπό τον όρο μίας αυθαίρετης Ρίμαν μετρικής σε μια πολλαπλότητα.) Γενικότερα, οι διαφορικοί γεωμέτρες μελετούν τους χώρους με μία διανυσματική δέσμη και έναν αυθαίρετο συσχετισμένο σύνδεσμο ο οποίος δεν υπακούει στους όρους της μετρικής. Στη φυσική, η πολλαπλότητα μπορεί να είναι το χωροχρονικό συνεχές και οι δέσμες και οι συνδέσεις σχετίζονται με διάφορα πεδία της φυσικής.

 Εσωτερικός έναντι εξωτερικού 
Από την αρχή και μέσα από τα μέσα του 18ου αιώνα, η διαφορική γεωμετρία μελετήθηκε από την εξωτερική άποψη: καμπύλες και επιφάνειες θεωρούνται ότι κείτονται σε έναν Ευκλείδειο χώρο υψηλότερης διάστασης (για παράδειγμα, μια επιφάνεια σε έναν περικλείων χώρο των τριών διαστάσεων). Τα απλούστερα αποτελέσματα είναι αυτά στην διαφορική γεωμετρία των καμπυλών και τη διαφορική γεωμετρία των επιφανειών. Ξεκινώντας με το έργο του Riemann, η εσωτερική άποψη αναπτύχθηκε, στην οποία δεν μπορεί κανείς να μιλήσει για μετακίνηση "εκτός" του γεωμετρικό αντικειμένου, επειδή θεωρείται δεδομένη κατά έναν αυθαίρετο τρόπο. Το θεμελιώδες αποτέλεσμα είναι το [Theorema Egregium Gauss theorema egregium], με αποτέλεσμα ότι η Gaussian καμπυλότητα είναι μια εσωτερική αμετάβλητος.

Η εσωτερική άποψη είναι πιο ευέλικτη. Για παράδειγμα, είναι χρήσιμο στη σχετικότητα, όπου ο χώρος-χρόνος, δεν μπορεί φυσικά να ληφθεί ως εξωτερικός (τι θα είναι "έξω" από τι;). Ωστόσο, υπάρχει ένα τίμημα στην τεχνική πολυπλοκότητα: οι εσωτερικοί ορισμοί της καμπυλότητας και των συνδέσεων έχουν γίνει πολύ λιγότερο οπτικά διαισθητικοί.

Αυτές οι δύο απόψεις μπορούν να συμβιβαστούν, δηλαδή η εξωτερική γεωμετρία μπορεί να θεωρηθεί ως μια δομή επιπρόσθετη με τις εσωτερικές. (Δείτε το Νας ενσωμάτωση θεώρημα.) Στο φορμαλισμό του γεωμετρικού λογισμού τόσο η εξωτερική και εσωτερική γεωμετρία μιας πολλαπλότητας μπορεί να χαρακτηριστεί από ένα μόνο διάνυσμα μονότιμης μορφής που ονομάζεται σχηματικός τελεστής.

 Εφαρμογές 
Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα για το πώς η διαφορική γεωμετρία εφαρμόζεται και σε άλλους τομείς της επιστήμης και των μαθηματικών.
 Στην φυσική, τέσσερις εφαρμογές θα αναφερθούν. 
 Η διαφορική γεωμετρία είναι η γλώσσα η οποία εκφράζει την θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν . Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, το σύμπαν είναι μία ομαλή πολλαπλότητα εφοδιασμένη με μία ψευδο-Riemann μετρική, η οποία περιγράφει την καμπυλότητα του χωροχρόνου. Η κατανόηση της καμπυλότητας είναι ουσιώδης για την τοποθέτηση των δορυφόρων σε τροχιά γύρω από τη γη. Η διαφορική γεωμετρία είναι επίσης απαραίτητη για την μελέτη του βαρυτικού εστιασμού και των μαύρων τρυπών.
 Οι διαφορικές μορφές χρησιμοποιούνται στην μελέτη του ηλεκρομαγνητισμού.
 Η διαφορική γεωμετρία έχει εφαρμογές στην μηχανική του Lagrange και του Hamilton. Οι συμπλεκτικές πολλαπλότητες ειδικότερα χρησιμοποιούνται στην μελέτη των συστημάτων Hamilton.
 Η γεωμετρία του Ρίμαν και η γεωμετρία επαφής έχουν χρησιμοποιηθεί για να κατασκευαστεί ο φορμαλισμός της γεωμετροθερμοδυναμικής ο οποίος έχει εφαρμογές στην κλασική θερμοδυναμική ισορροπίας.
 Στα οικονομικά, η διαφορική γεωμετρία έχει εφαρμογές στον τομέα της οικονομετρίας.Marriott, Paul; Salmon, Mark, eds. (2000). Applications of Differential Geometry to Econometrics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65116-5.
 Η γεωμετρική μοντελοποίηση( συμπεριλαμβάνοντας τα γραφικά υπολογιστών) και η κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων με τη βοήθεια υπολογιστή παίρνουν ιδέες από τη διαφορική γεωμετρία.
 Στην μηχανική, η διαφορική γεωμετρία μπορεί να εφαρμοστεί στην επίλυση προβλημάτων που αφορούν την επεξεργασία ψηφιακού σήματος.
 Στην θεωρία ελέγχου, η διαφορική γεωμετρία μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην ανάλυση μή γραμμικών ελεγκτών, ειδικότερα γεωμετρικού ελέγχου.
 Στις πιθανότητες, στην στατιστική και θεωρία πληροφορίας, μπορεί κανείς να ερμηνεύσει ποικίλες δομές ως πολλαπλότητες Riemann, το οποίο απέφερε το πεδίο της γεωμετρίας της πληροφορίας, ειδικότερα μέσω της Fisher μετρική της πληροφορίας.
 Στην κατασκευαστική γεωλογία, η διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιείται στην ανάλυση και επεξήγηση γεωλογικών δομών.
 Στην όραση μέσω υπολογιστή, η διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιείται στην ανάλυση σχημάτων.
 Στην επεξεργασία εικόνας, η διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιείται για ανάλυση και επεξεργασία δεδομένων των μή-επίπεδων επιφανειών.
 Η απόδειξη της εικασίας του Poincare από τον Grigori Perelman που χρησιμοποιεί τις τεχνικές της Ricci ροής απέδειξε την δύναμη της διαφορικής γεωμετρικής προσέγγισης σε ερωτήματα τοπολογίας και τόνισε την σημαντικότητά της στις αναλυτικές μεθόδους.
 Στις ασύρματες επικοινωνίες, οι πολλαπλότητες του Grassmann χρησιμοποιούνται στην διαμόρφωση τεχνικών σε συστήματα με πολλαπλές κεραίες.

 Παραπομπές