Πλήρες διατεταγμένο σώμα

Στα μαθηματικά, ένα διατεταγμένο σώμα ονομάζεται πλήρες αν και μόνο αν ικανοποιεί την ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος.

Η ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος
Θεωρούμε ένα σύνολο  διάφορο του κενού και άνω φραγμένο.
Τότε αυτό διαθέτει κάποιο ελάχιστο άνω φράγμα , ήτοι, 
Υπάρχει  (μοναδικό) ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες:
 για κάθε 
Αν  για κάθε  τότε 

Η ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος είναι ισοδύναμη με δυο άλλες ιδιότητες,οι οποίες μερικές φορές αναφέρονται ως ο ορισμός της πληρότητας του .

Η ιδιότητα των ακολουθιών Cauchy
Αν  είναι μια πραγματική ακολουθία Κωσύ τότε συγκλίνει.

Η ιδιότητα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων
Αν  είναι μια ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων (ήτοι, ) τα μήκη των οποίων τείνουν στο μηδέν,τότε υπάρχει μοναδικό στοιχείο  τέτοιο ώστε  για κάθε φυσικό αριθμό .

Παρατηρούμε ότι το σύνολο  δεν είναι πλήρες.
Επί παραδείγματι,ας θεωρήσουμε το σύνολο .
Το  είναι εκ των άνω φραγμένο από το 3 που είναι ρητός,αλλά δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα,γιατί αν είχε,θα έπρεπε να ισούται με το ελάχιστο άνω φράγμα του  δηλαδή τον άρρητο αριθμό .

 Βιβλιογραφία (στα Αγγλικά) 
Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The Fundamental Theorem Of Algebra (1997)

Κατηγορία:Άλγεβρα