Μπέρναρντ Ρίμαν

Ο Γκεόργκ Φρίντριχ Μπέρναρντ Ρίμαν ή Ρήμαν (, 17 Σεπτεμβρίου 1826 – 20 Ιουλίου 1866) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε στη μαθηματική ανάλυση, την τοπολογία, την αναλυτική θεωρία αριθμών και τη διαφορική γεωμετρία, προωθώντας τη μη ευκλείδεια γεωμετρία και ανοίγοντας έτσι τον δρόμο μεταξύ άλλων και για τη θεμελίωση αργότερα της γενικής θεωρίας της σχετικότητας. Κατά τον D. Struik «με τον Ρίμαν φτάνουμε στον άνθρωπο που επηρέασε περισσότερο από κάθε άλλον την πορεία των σύγχρονων μαθηματικών».

 Βιογραφικά στοιχεία 
 Τα πρώτα χρόνια 
Ο Ρίμαν γεννήθηκε στο Μπρέζελεντς (), ένα χωριό κοντά στο Ντάνενμπεργκ, στο κρατίδιο Ανόβερο της Γερμανίας. Ο πατέρας του, ο , ήταν ένας φτωχός Λουθηρανός πάστορας στο χωριό και είχε πολεμήσει στους Ναπολεόντειους Πολέμους. Η μητέρα του πέθανε πριν μεγαλώσουν τα παιδιά της. Ο Ρίμαν ήταν το δεύτερο από 6 παιδιά, ντροπαλός και με νευρικές καταρρεύσεις. Ωστόσο, έδειξε ασυνήθιστες μαθηματικές ικανότητες, όπως αφάνταστη ταχύτητα στους υπολογισμούς, από μικρή ηλικία, αλλά υπέφερε από δειλία και φόβο να μιλά δημόσια.

Στο σχολείο ο Ρίμαν μελέτησε πολύ τη Βίβλο αλλά το μυαλό του συχνά γυρνούσε στα μαθηματικά. Προσπάθησε ακόμα και να αποδείξει μαθηματικά την ορθότητα της Γενέσεως. Οι δάσκαλοί του έμεναν κατάπληκτοι από την ευφυΐα του και την ικανότητά του να εκτελεί εξαιρετικά πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις. Συχνά ξεπερνούσε τις γνώσεις των δασκάλων του. Το 1840 ο Ρίμαν πήγε στο Ανόβερο να ζήσει με τη γιαγιά του, ώστε να σπουδάσει περαιτέρω. Μετά τον θάνατό της το 1842, γράφτηκε στο Johanneum («Ιωάννειο Λύκειο») στο Λύνεμπουργκ. Το 1846, σε ηλικία 19 ετών, άρχισε να μελετά φιλολογία και Χριστιανική θεολογία ώστε να γίνει ιερέας και να βοηθήσει έτσι οικονομικά την οικογένειά του. Αλλά τον επόμενο χρόνο, ο πατέρας του, αφού κατόρθωσε να συγκεντρώσει με μεγάλες δυσκολίες αρκετά χρήματα για να τον στείλει στο πανεπιστήμιο, του επέτρεψε να αφήσει τη θεολογία και να αρχίσει σπουδές στα μαθηματικά. Τον έστειλε στο γνωστό Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, όπου συνάντησε τον μεγάλο μαθηματικό Καρλ Φρίντριχ Γκάους και παρακολούθησε διαλέξεις του πάνω στη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων.

 Τα ώριμα χρόνια 
Σύντομα ωστόσο ο Ρίμαν μετακόμισε στο Βερολίνο, όπου δίδασκαν οι Γιακόμπι, Ντίριχλετ και Στάινερ. Παρέμεινε στο Βερολίνο για μία διετία και έπειτα επέστρεψε στο Γκέτινγκεν το 1849.

Ο Ρίμαν άρχισε να δίνει διαλέξεις το 1854, διαλέξεις που θεμελίωσαν τη γεωμετρία που σήμερα αποκαλείται «Ριμάνεια». Μετά από μια αποτυχημένη προσπάθεια να γίνει καθηγητής κατ' εξαίρεση στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν σε ηλικία μόλις 31 ετών (το 1857), ο Ρίμαν απέκτησε ένα κανονικό μισθό. Το 1859 τελικά, μετά τον θάνατο των Γκάους και Ντίριχλετ, εκλέχθηκε καθηγητής και επικεφαλής του τμήματος μαθηματικών εκεί. Υπήρξε ο πρώτος που πρότενε να χρησιμοποιηθούν πάνω από τρεις ή τέσσερις διαστάσεις για τη μοντελοποίηση της φυσικής πραγματικότητας.Werke, p. 268, στην έκδοση του 1876, όπως αναφέρεται στο Pierpont, Non-Euclidean Geometry, A Retrospect

Το 1862 ο Ρίμαν νυμφεύθηκε την , με την οποία απέκτησαν μία κόρη.

μικρογραφία|O τάφος του Ρίμαν στο Biganzolo, Πεδεμόντιο, Ιταλία
Ο Ρίμαν έφυγε από το Γκέτινγκεν το 1866, όταν ο στρατός του Ανόβερου και της Πρωσίας πολεμούσαν εκεί. Πέθανε από φυματίωση στο τρίτο του ταξίδι στην Ιταλία, στη Σελάσκα, στις ακτές της Λίμνης Ματζόρε, όπου παραθέριζε εξαιτίας του καλού κλίματος για την πάθησή του. Τάφηκε στο Μπιγκαντσόλο (Biganzolo) της Βερμπανία (Verbania).

Ο Ρίμαν ήταν αφοσιωμένος Χριστιανός, γιος ενός Προτεστάντη ιερέα, και έβλεπε τη ζωή του ως μαθηματικό ως έναν άλλο τρόπο για να υπηρετεί τον Θεό. Κατά τη διάρκεια της ζωής του, ήταν δεμένος με τη Χριστιανική του πίστη και το θεωρούσε την πιο σημαντική πτυχή της ζωής του. Στη στιγμή του θανάτου του έλεγε την προσευχή με τη σύζυγό του και πέθανε πριν ολοκληρώσει την προσευχή.

Εν τω μεταξύ, στο Γκέτινγκεν η οικονόμος του πέταξε μερικά από τα χαρτιά στο γραφείο του, συμπεριλαμβανομένων πολλών αδημοσίευτων έργων του. Ο Ρίμαν αρνήθηκε να δημοσιεύσει ημιτελή έργα και μερικές βαθιές γνώσεις μπορεί να έχουν χαθεί.

Ο τάφος του Ρίμαν στο Biganzolo της Ιταλίας, αναφέρετε στο Ρωμ. 8:28:

 Η επίδρασή του στα μαθηματικά 
Το έργο του Ρίμαν άνοιξε νέες ερευνητικές περιοχές συνδυάζοντας την ανάλυση με τη γεωμετρία. Εκτός από τη Ριμάνεια γεωμετρία, η θεωρία των επιφανειών Ρίμαν αναπτύχθηκε περεταίρω από τους Φέλιξ Κλάιν και Άντολφ Χούρεβιτς και σήμερα συνιστά ένα από τα θεμέλια της τοπολογίας, ενώ εφαρμόζεται ακόμα με νέους τρόπους στη μαθηματική φυσική.

Ο Ρίμαν προσέφερε πολλά στην πραγματική ανάλυση: όρισε το ολοκλήρωμα Ρίμαν με τη βοήθεια των αθροισμάτων Ρίμαν, ανέπτυξε μια θεωρία για τις τριγωνομετρικές σειρές που δεν είναι σειρές Φουριέ — ένα πρώτο βήμα για μια θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων — και μελέτησε το διαφορικό ολοκλήρωμα Ρίμαν-Λιουβίλ.

Πολύ γνωστές είναι και κάποιες συνεισφορές του Ρίμαν στη σύγχρονη αναλυτική Θεωρία αριθμών. Σε μία και μόνη σύντομη δημοσίευση (τη μοναδική του επί της θεωρίας αριθμών), εισήγαγε την αποκαλούμενη συνάρτηση ζ του Ρίμαν και έδειξε τη σημασία της για την κατανόηση της κατανομής των πρώτων αριθμών. Διατύπωσε μια σειρά από εικασίες σχετικές με ιδιότητες της συναρτήσεως ζ, μία από τις οποίες είναι η περιβόητη υπόθεση του Ρίμαν.

Ο Ρίμαν εφάρμοσε την αρχή του Ντίριχλετ από τον λογισμό των μεταβολών με σπουδαία αποτελέσματα. Η εργασία του στη μονοδρομία και στην υπεργεωμετρική συνάρτηση στους μιγαδικούς έκανε μεγάλη εντύπωση και καθιέρωσε μια βασική μέθοδο εργασίας με συναρτήσεις «λαβαίνοντας υπόψη μόνο τις ανωμαλίες τους».

 Ευκλείδεια και Ριμάνεια Γεωμετρία 
δεξιά|μικρογραφία|150px|Προβολή ενός υπερκύβου σε διδιάστατη επιφάνεια.
Το 1853, ο Γκάους ζήτησε από τον φοιτητή του Ρίμαν να ετοιμάσει και να παρουσιάσει μια διατριβή επί υφηγεσία πάνω στα θεμέλια της γεωμετρίας. Μετά από πολλούς μήνες ο Ρίμαν ανέπτυξε τη θεωρία του για τις ανώτερες διαστάσεις. Όταν τελικά έδωσε τη διάλεξή του στο Γκέτινγκεν το 1854, το μαθηματικό κοινό την υποδέχθηκε με ενθουσιασμό. Θεωρείται ακόμα μία από τις σημαντικότερες εργασίες για τη γεωμετρία. Ο τίτλος της ήταν  («Επί των υποθέσεων που βρίσκονται στα θεμέλια της Γεωμετρίας»).

Αυτό που θεμελίωσε η παραπάνω εργασία ήταν η Ριμάνεια γεωμετρία. Ο Ρίμαν βρήκε τον σωστό τρόπο να επεκτείνει σε  διαστάσεις τη διαφορική γεωμετρία των επιφανειών, την οποία ο ίδιος ο Γκάους είχε αποδείξει με το theorema egregium. Το θεμελιώδες εδώ είναι ο Τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν. Για την περίπτωση μιας επιφάνειας, αυτός μπορεί να αναχθεί σε ένα αριθμό (βαθμωτό), θετικό, αρνητικό ή μηδέν: οι μη μηδενικές και σταθερές περιπτώσεις είναι τα μοντέλα των γνωστών μη ευκλείδειων γεωμετριών.

 Ανώτερες διαστάσεις 
Η ιδέα του Ρίμαν ήταν να εισαγάγει ένα σύνολο αριθμών για κάθε σημείο του χώρου που θα περιέγραφαν το πόσο καμπυλωμένος ήταν. Βρήκε ότι στους χώρους τεσσάρων διαστάσεων χρειάζονται 10 αριθμοί σε κάθε σημείο για την πλήρη περιγραφή των ιδιοτήτων μιας πολλαπλότητας, όσο και όπως παραμορφωμένη και να είναι αυτή. Αυτός είναι ο περίφημος μετρικός τανυστής.

 Πήραν το όνομά του 
 Υπόθεση Ρίμαν
 Συνάρτηση ζ του Ρίμαν
 Ολοκλήρωμα Ρίμαν
 Άθροισμα Ρίμαν
 Λήμμα του Ρίμαν
 Πολλαπλότητα Ρίμαν
 Πρόβλημα Ρίμαν-Χίλμπερτ
 Τύπος Ρίμαν-Χούρεβιτς
 Τύπος Ρίμαν-Φον Μάνγκολντ
 Επιφάνεια Ρίμαν
 Θεώρημα Ρίμαν-Ροχ
 Συνάρτηση Θ του Ρίμαν
 Συνάρτηση Θ των Ρίμαν-Ζίγκελ
 Διαφορική εξίσωση του Ρίμαν
 Πίνακας του Ρίμαν
 Σφαίρα Ρίμαν
 Ριμάνειος μετρικός τανυστής
 Τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν
 Εξισώσεις Κωσύ-Ρίμαν
 Θεώρημα Χίρτσεμπρουχ-Ρίμαν-Ροχ
 Λήμμα Ρίμαν-Λεμπέγκ
 Ολοκλήρωμα Ρίμαν-Στίλτσες
 Θεώρημα των σειρών του Ρίμαν

 Βιβλιογραφία 





 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 Η βιογραφία του Ρίμαν 
 Οι μαθηματικές δημοσιεύσεις του Ρίμαν
 Το σύνολο των δημοσιεύσεων του Ρίμαν μπορεί να βρεθεί στο: http://www.emis.de/classics/Riemann/ 
 Μπέρναρντ Ρίμαν - ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς
 Η ιστορική διάλεξη του Μπέρναρντ Ρίμαν σε αγγλική μετάφραση

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Γερμανοί μαθηματικοί
Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα