Κύβος (άλγεβρα)

Στα μαθηματικά κύβος ενός αριθμού π.χ. , ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθμού αυτού, δηλαδή . Η ονομασία "κύβος" ή "κύβος αριθμού" λήφθηκε από το γεγονός ότι η τρίτη δύναμη ενός αριθμού παριστά και τον όγκο του κύβου που έχει ακμή (πλευρά) τον αριθμό αυτό.

Οι θετικοί κύβοι ή τέλειοι κύβοι μέχρι το 603 είναι (OEIS:A000578):

 13 = 1  113 = 1331  213 = 9261  313 = 29,791  413 = 68,921  513 = 132,651 23 = 8  123 = 1728  223 = 10,648  323 = 32,768 423 = 74,088  523 = 140,608 33 = 27  133 = 2197  233 = 12,167  333 = 35,937 433 = 79,507  533 = 148,877 43 = 64  143 = 2744  243 = 13,824  343 = 39,304 443 = 85,184  543 = 157,464 53 = 125  153 = 3375  253 = 15,625  353 = 42,875 453 = 91,125  553 = 166,375 63 = 216  163 = 4096  263 = 17,576  363 = 46,656 463 = 97,336  563 = 175,616 73 = 343  173 = 4913  273 = 19,683  373 = 50,653 473 = 103,823  573 = 185,193 83 = 512  183 = 5832  283 = 21,952  383 = 54,872 483 = 110,592  583 = 195,112 93 = 729  193 = 6859  293 = 24,389  393 = 59,319 493 = 117,649  593 = 205,379 103 = 1000  203 = 8000  303 = 27,000  403 = 64,000 503 = 125,000  603 = 216,000

Σε γεωμετρικούς όρους, ένας θετικός αριθμός  είναι τέλειος κύβος αν και μόνο αν είναι δυνατόν να διαταχθούν  κύβοι (ενν. στερεά)  με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο κύβο. Για παράδειγμα 27 μικροί κύβοι μπορούν να διαταχθούν έτσι ώστε να σχηματίζουν έναν μεγαλύτερο (συγκεκριμένα με την μορφή ενός κύβου του Ρούμπικ), διότι 3 x 3 x 3 = 33 = 27.

Η διαφορά κύβων ανάμεσα σε διαδοχικούς ακεραίους μπορεί να εκφραστεί ως:

.

ή

.

Δεν υπάρχει ελάχιστος τέλειος κύβος διότι ο αρνητικός ακέραιος υψωμένος στην τρίτη είναι αρνητικός. Για παράδειγμα, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

 Στους ακεραίους 

 Το πρόβλημα του Waring για κύβους 

Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί ως άθροισμα το πολύ εννέα θετικών κύβων. Το άνω φράγμα των εννέα κύβων δεν μπορεί να ελαττωθεί διότι, παραδείγματος χάριν, το 23 δεν είναι δυνατό να γραφεί ως άθροισμα λιγότερων από εννέα κύβων:

23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13.

 Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για κύβους 

Η εξίσωση  δεν έχει λύσεις πέραν της τετριμένης (δηλ για ) στο σύνολο των ακεραίων. Για την ακρίβεια δεν έχει λύσεις στους ακεραίους Euler.Hardy & Wright, Thm. 227

Τα παραπάνω ισχύουν επίσης για την εξίσωση:Hardy & Wright, Thm. 232 .

 Άθροισμα των πρώτων n κύβων 

Το άθροισμα των πρώτων  κύβων είναι ο στος τριγωνικός αριθμός στο τετράγωνο:

Για παράδειγμα, το άθροισμα των πρώτων πέντε κύβων είναι το τετράγωνο του 5ου τριγωνικού αριθμό:

Παρόμοιο αποτέλεσμα δίδει και το άθροισμα των πρώτων  περιττών κύβων,

όμως τα  και  πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης .

Παραδείγματα:

Για  έχουμε:

και για ,

Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός, εκτός από τον πρώτο, επίσης είναι άθροισμα των πρώτων  περιττών κύβων:

 Άθροισμα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο 
Υπάρχουν παραδείγματα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο, το άθροισμα των οποίων είναι κύβος:

 Οι κύβοι ως αθροίσματα διαδοχικών περιττών ακεραίων 
Στην ακολουθία περιττών ακεραίων 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., το 1 είναι κύβος (1 = 13), το άθροισμα των επόμενων δύο αριθμών είναι ο επόμενος κύβος (3+5 = 23), το άθροισμα των επόμενων τριών είναι αμέσως επόμενος κύβος (7+9+11 = 33) και ούτω καθεξής.

 Στους ρητούς 
Κάθε θετικός ρητός αριθμός είναι άθροισμα τριών θετικών ρητών κύβων,Hardy & Wright, Thm. 234 ενώ υπάρχουν ρητοί που δεν είναι άθροισμα δύο ρητών κύβων.Hardy & Wright, Thm. 233

 Στους πραγματικούς αριθμούς 
Η συνάρτηση f(x) = x3 είναι γνησίως αύξουσα και έχει πεδίο ορισμού καθώς και σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η πρώτη παράγωγός της είναι .

 Άθροισμα και διαφορά δύο κύβων 

Το άθροισμα δύο κύβων μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως 
,
και η διαφορά τους ως
.

 Ιστορικό 
Πολλοί αρχαίοι πολιτισμοί ασχολήθηκαν με την εύρεση των κύβων μεγάλων αριθμών. Μαθηματικοί της αρχαίας Μεσοποταμίας είχαν πίνακες για των υπολογισμό κύβων και κυβικών ριζών ήδη από την Πρώτη Βαβυλωνιακή Δυναστεία (20ος - 16ος αιώνας π.Χ) ενώ ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος ασχολήθηκε με την επίλυση κυβικών εξισώσεων.Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich  1983 ISBN 0-387-12159-5 Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς ανέπτυξε μέθοδο εύρεσης των κυβικών ριζών.

Μέθοδοι επιλύσεως κυβικών εξισώσεων αναφέρονται στο έργο Τα Εννέα Κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης, ένα κινεζικό εγχειρίδιο μαθηματικών του 2ου αιώνα π.Χ., το οποίο σώζεται με τον σχολιασμό του  Liu Hui από τον 3ο αιώνα μ.Χ. Ο Ινδός μαθηματικός Aryabhata έγραψε ερμηνεία των κύβων στο έργο του Aryabhatiya. Το 2010 ο Alberto Zanoni ανέπτυξε νέο ταχύτερο αλγόριθμο για τον υπολογισμό του κύβου ενός μεγάλου ακεραίου σε καθορισμένο εύρος.new algorithmhttp://www.springerlink.com/content/q1k57pr4853g1513/

Πηγές









 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Στοιχειώδης αριθμητική
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών