Προσεταιριστική ιδιότητα

Στα μαθηματικά, η προσεταιριστική ιδιότητα είναι μία ιδιότητα που ικανοποιεί μία δυαδική πράξη, που λέει ότι η σειρά με την οποία εφαρμόζεται η πράξη δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Η πιο γνωστή τέτοια πράξη είναι η πρόσθεση στους φυσικούς αριθμούς, όπου για κάθε , ισχύει ότι
.

Για παράδειγμα, οι παρενθέσεις στις παρακάτω πράξεις δεν επηρεάζουν το τελικό αποτέλεσμα:
 (5+2)+1 = 7 + 1 = 8
 5+(2+1) = 5 + 3 = 8

Η ισότητα αυτή δεν εξαρτάται από τις συγκεκριμένες τιμές 5, 2 και 1 του παραδείγματος, αλλά ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς (και πιο γενικά για όλους τους πραγματικούς αριθμούς). Επομένως, λέμε ότι "η πρόσθεση πραγματικών αριθμών έχει την προσεταιριστική ιδιότητα". Αντίστοιχα, και ο πολλαπλασιασμός ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, αλλά όχι η διαίρεση και η ύψωση σε δύναμη.

Πιο γενικά, για ένα σύνολο  μία δυαδική πράξη  ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα αν για κάθε στοιχεία  ισχύει ότι 
.

 Παραδείγματα 
 Στους φυσικούς, τους ρητούς και τους πραγματικούς αριθμούς, οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ικανοποιούν την ιδιότητα αυτή. 
 Στην θεωρία αριθμών, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης καθώς και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών ικανοποιούν την προσεταιρτική ιδιότητα.
 Στην γραμμική άλγεβρα, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός πινάκων ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.
 Σε κάθε ομάδα , η δυαδική της πράξη  ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα.
 H συνέλιξη  δύο συναρτήσεων  και  ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα.
 Σε κάθε διατεταγμένο σύνολο , η πράξη του μέγιστου  και του ελάχιστου  ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.
 Στην λογική, η σύζευξη και η διάζευξη ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.
 Στην θεωρία συνόλων, η 

 Αντιπαραδείγματα 
 Η διαίρεση δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,
, ενώ .
 Η ύψωση σε δύναμη δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,
, ενώ .

 Αποδοτικότητα 
Πρακτικά αυτό εξυπηρετεί μερικές φορές π.χ. για να προσθέσουμε νοητά τους αριθμούς 5 + 4 + 5 + 10 + 2 με μεγαλύτερη ευκολία. Μπορούμε να σκεφτούμε «5 συν 5 συν 10 ίσον είκοσι» και «4 συν 2 ίσον έξι» επομένως το σύνολο είναι είκοσι έξι, αντί να μπλεχτούμε με πράξεις όπως 5 συν 4 ίσον 9 συν 5 ίσον 14 κλπ. 

Στην πληροφορική, κάποιοι αλγόριθμοι εκμεταλλεύονται την προσεταιριστική ιδιότητα και αλλάζουν την σειρά των πράξεων ώστε να γίνει πιο αποτελεσματικά η εκτέλεσή τους. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι ο αλγόριθμος για τον πολλαπλασιασμό αλληλουχίας πινάκων. 

Πιο συγκεκριμένα, αν έχουμε τρεις πίνακες με μεγέθη , τότε με τον απλό αλγόριθμο πολλαπλασιασμού πινάκων 
 Πολλαπλασιάζοντας  χρειάζεται  πολλαπλασιασμούς, ενώ
 Πολλαπλασιάζοντας  χρειάζεται  πράξεις.
Επομένως, ο δεύτερος τρόπος είναι πιο αποδοτικός.

 Δείτε επίσης 
 Αντιμεταθετική ιδιότητα
 Επιμεριστική ιδιότητα

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Στοιχειώδης άλγεβρα