Ισοσκελές τρίγωνο

Στην γεωμετρία, ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο του οποίου δύο πλευρές (και δύο γωνίες) είναι ίσες μεταξύ τους.

Για παράδειγμα, στο σχήμα το τρίγωνο  έχει τις πλευρές , τις γωνίες  και επομένως είναι ισοσκελές. Χαρακτηριστική ιδιότητα των ισοσκελών τριγώνων είναι ότι η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος της κορυφής  ταυτίζονται. 

Ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου είναι το ισόπλευρο τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ίσες.

 Ιδιότητες 
Στα ισοσκελή τρίγωνα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
 Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες.

 Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο  με  η διάμεσος, η διχοτόμος και το ύψος που αντιστοιχούν στην κορυφή  ταυτίζονται.

 Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι οξείες.

 Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διχοτόμος του είναι και ύψος.

 Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν  μία διχοτόμος του είναι και διάμεσος.

 Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διάμεσός του είναι και ύψος.

 Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο ύψη του είναι ίσα.

 Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο διάμεσοι είναι ίσες.

 Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία εξωτερική διχοτόμος μίας γωνίας του είναι παράλληλη προς την απέναντι πλευρά.

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο  η ευθεία Όιλερ του τριγώνου, ταυτίζεται με την ευθεία του ύψους  προς την βάση  και εκτός του περίκεντρου, ορθόκεντρου και βαρυκέντρου περιλαμβάνει και το έγκεντρο του τριγώνου.

 (Θεώρημα Steiner–Lehmus) Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο διχοτόμοι είναι ίσες.Δείτε εδώ για αποδείξεις αυτής της πρότασης.

 Μετρικές σχέσεις 
Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο  με   και , ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:
 Το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή  δίνεται από 
,

 Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο
 και ,
όπου  η γωνία προσκείμενη στη βάση .
 Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο
.

 Η πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου με μία πλευρά πάνω στην βάση του τριγώνου είναι 
.

 (Θεώρημα Βιβιάνι για ισοσκελή τρίγωνα) Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο  με  και ένα σημείο  της . Αν  και  είναι οι αποστάσεις του  από τις  και , και  το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή , τότε
.

 Ειδικά ισοσκελή τρίγωνα 

 Ορθογώνιο και ισοσκελές 
Το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:
 Οι προσκείμενες στην υποτείνουσα γωνίες είναι 45°.
 Αν  το μήκος των δύο κάθετων πλευρών τότε η  υποτείνουσα έχει μήκος  .
 Το εμβαδόν του είναι .
 Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το  στο σχήμα).

 Ισόπλευρο τρίγωνο 
Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:
 Όλες οι πλευρές του είναι ίσες.
 Όλες οι γωνίες είναι . 
 Το εμβαδόν του τριγώνου είναι , όπου  το μήκος των πλευρών.

 Τρίγωνο με γωνίες 30-30-120 
To ισοσκελές τρίγωνο  με γωνίες  και  έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες αρκετές από τις οποίες προκύπτουν από το γεγονός ότι μπορεί να χωριστεί σε τρία τρίγωνα εκ των οποίων το ένα είναι ισόπλευρο και τα άλλα δύο είναι ισοσκελή και όμοια με το αρχικό. 

 Χρυσό τρίγωνο 

Το χρυσό τρίγωνο είναι το ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές  και , όπου  η χρυσή τομή. Το τρίγωνο αυτό είναι το ένα δέκατο ενός δεκαγώνου. Έχει διάφορες ιδιότητες, όπως το ότι μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ισοσκελή τρίγωνα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.

 Τρίγωνο με γωνίες 80-80-20 

Το ισοσκελές τρίγωνο  με γωνίες  και  έχει αρκετές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Μία από αυτές είναι η ιδιότητα ότι υποδιαιρείται σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα με πλευρά ίση με την βάση του. 

Ισοσκελή τρίγωνα τα οποία μπορούν να διαιρεθούν σε περαιτέρω ισοσκελή τρίγωνα έχουν μελετηθεί γενικότερα στην βιβλιογραφία.

 Περαιτέρω θέματα 

 Χορδή κύκλου 
Οι μετρικές σχέσεις μίας χορδής  (για παράδειγμα η απόστασή της από το κέντρο του κύκλου) προκύπτουν θεωρώντας το ισοσκελές τρίγωνο , όπου  ως ακτίνες του κύκλου.

 Διαίρεση τριγώνου σε ισοσκελή τρίγωνα 
Ένα οξυγώνιο τρίγωνο  μπορεί να χωριστεί σε τρία ισοσκελή τρίγωνα, χρησιμοποιώντας το κέντρο  του περιγεγραμμένου του κύκλου.

 Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και ρόμβος 

Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσες και διχοτομούνται, επομένως δημιουργούν τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, τα  και .

Αντίστοιχα, σε έναν ρόμβο κάθε μία από τις διαγώνιους του τον χωρίζει σε δύο ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

 Πλακοστρώσεις 

Ορισμένα ισοσκελή τρίγωνα χρησιμοποιούνται για να πλακοστρώσουν το επίπεδο, όπως η πλακόστρωση tetrakis που χρησιμοποιεί ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ή η πλακόστρωση triakis που χρησιμοποιεί τα ισοσκελή τρίγωνα με γωνίες 30-30-120. 

 Εφαρμογές 

 Γραφιστική 
Οι σημαίες κάποιων χωρών, καθώς και τα σήματα διαφόρων εταιρειών και οργανισμών έχουν ισοσκελή τρίγωνα για αισθητικούς λόγους.

 Αρχιτεκτονική/Μηχανική 

Στην αρχιτεκτονική και την μηχανική το ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιείται σε αρκετές κατασκευές. Για παράδειγμα, το σχήμα των στεγών, στις διατάξεις των δοκών στις γέφυρες και σε τμήματα εκκλησιών.

 Δείτε επίσης 
 Θεώρημα της γέφυρας των γαϊδουριών
 Ισόπλευρο τρίγωνο
 Ισοσκελές τραπέζιο

 Περαιτέρω ανάγνωση 
 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Διαδραστική εφαρμογή για την κατασκευή ενός ισοσκελούς τριγώνου με δοσμένες πλευρές στο Φωτόδεντρο.
 Διαδραστική εφαρμογή για το ύψος, την διάμεσο και την διχοτόμο ενός ισοσκελούς τριγώνου στο Φωτόδεντρο.
 Διαδραστική εφαρμογή για το ισοσκελές τρίγωνο στο Geogebra.

 Ελληνικά άρθρα 


 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Ισοσκελες