Ισόπλευρο τρίγωνο

Στη γεωμετρία, ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Στην ευκλείδεια γεωμετρία, ένα ισόπλευρο τρίγωνο εκτός από όλες τις πλευρές του, έχει και όλες τις γωνίες του ίσες, με μέτρο 60° η καθεμιά. Είναι  ένα από τα κανονικά πολύγωνα και για αυτό αναφέρεται και ως κανονικό τρίγωνο.

 Ιδιότητες 

 Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους με μέτρο 60°.
 Κάθε διάμεσος είναι και ύψος και διχοτόμος και μεσοκάθετος.
 Το έγκεντρο, το ορθόκεντρο, το περίκεντρο και το βαρύκεντρο ταυτίζονται.
 Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις άξονες συμμετρίας.

 Μετρικές σχέσεις 
Έστω  το μήκος της πλευράς του ισόπλευρου:
 Το ύψος του έχει μήκος:
.

 Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με:
.

 Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με:
.

 Οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων είναι ίσες με:
.

 Εμβαδόν 
Το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου δίνεται από τον τύπο:
.

 Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη 
 Χαράζουμε μία ευθεία  στο επίπεδο.
 Χαράζουμε έναν κύκλο  με κέντρο πάνω στην ευθεία .
 Από ένα από τα δύο σημεία τομής του  και της , χαράζουμε έναν δεύτερο κύκλο  με την ίδια ακτίνα.
 Έστω  και  τα σημεία τομής των κύκλων  και . 
 Έστω  το άλλο σημείο τομής του κύκλου  και της ευθείας 
 Το τρίγωνο  είναι ισόπλευρο.

 Σχετικά θεωρήματα 

 (Θεώρημα τριχοτόμων του Μόρλεϊ) Σε κάθε τρίγωνο  τα σημεία τομής των τριχοτόμων των γωνιών του τριγώνου δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

 (Θεώρημα φαν Σχόοτεν) Έστω  σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου .Τότε ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων από τις άλλες δύο.

 (Θεώρημα Βιβιάνι)Έστω  ένα εσωτερικό σημείο ενός ισοπλεύρου τριγώνου  τότε
,
όπου  οι αποστάσεις του  από τις πλευρές του τριγώνου και  το ύψος του τριγώνου.
 (Θεώρημα Μέμπιους-Πομπέγιου) Για κάθε ισόπλευρο τρίγωνο  και σημείο  υπάρχει τρίγωνο (πιθανώς εκφυλισμένο) με μήκη πλευρών ίσα με . 

 (Σημείο Φερμά) Σε ένα τρίγωνο  (όπου όλες οι γωνίες είναι μικρότερες από ) το σημείο  που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των αποστάσεων του από τις κορυφές του τριγώνου, δηλαδή το  είναι το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τα  με τις αντίστοιχες κορυφές των εξωτερικών ισοπλεύρων τριγώνων του .

 (Θεώρημα Ναπολέοντα) Σε κάθε τρίγωνο  τα κέντρα των (εξωτερικών ή εσωτερικών) ισοπλεύρων τριγώνων στις πλευρές του δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

 Σχετικά προβλήματα 

 Τρίγωνο με μέγιστο εμβαδό 

Από όλα τα τρίγωνα με την ίδια  περίμετρο, το ισόπλευρο τρίγωνο έχει το μέγιστο εμβαδό. Αυτό είναι μία μορφή της ισοπεριμετρικής ανισότητας.

 Ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε τετράγωνο 

 Υπάρχουν άπειρα ισόπλευρα τρίγωνα εγγεγραμμένα σε τετράγωνα. Δύο αξιοσημείωτα δίνονται στο παρακάτω σχήμα. Το ισόπλευρο σε γωνία  είναι αυτό που μεγιστοποιεί το εμβαδόν του τριγώνου για δοσμένο τετράγωνο.

 Ισόπλευρα στις πλευρές τετραγώνου 
 (Δεύτερο πρόβλημα Thébault) Έστω ένα τετράγωνο  και δύο εσωτερικά (ή εξωτερικά) ισόπλευρα τρίγωνα  και  σε δύο διαδοχικές του πλευρές. Τότε, το τρίγωνο  είναι επίσης ισόπλευρο.

 Πακετάρισμα κύκλων 
Ένα πρόβλημα που έχει μελετηθεί στη βιβλιογραφία είναι η εύρεση του μικρότερου ισόπλευρου τριγώνου που να χωράει έναν δοσμένο αριθμό από μοναδιαίους κύκλους.

 Πλακόστρωση 
Τα ισόπλευρα τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο.

 Σχετικά σχήματα 

 Τρίγωνο με γωνίες 90°-60°-30° 

Το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:
 Η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
 Το τρίγωνο  είναι ισόπλευρο.
 Τα μήκη των πλευρών έχουν αναλογία .

 Κανονικό εξάγωνο 
Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε έξι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

 Στερεομετρία 
Κάθε έδρα σε ένα κανονικό τετράεδρο και σε ένα κανονικό οκτάεδρο είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

 Δείτε επίσης 
 Ισοσκελές τρίγωνο
 Κανονικό πολύγωνο

 Παραπομπές 

Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη