Παραλληλόγραμμο

Στην γεωμετρία, το παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Το σημείο τομής των διαγωνίων του λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου.

Η απόσταση δύο απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου λέγεται ύψος του ενώ οι απέναντι πλευρές λέγονται βάσεις ως προς το ύψος αυτό (κάθε παραλληλόγραμμο έχει δύο ύψη). 

Κάποιες φορές ύψη λέγονται και τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα από τις κορυφές του παραλληλογράμμου προς τις πλευρές του. Με αυτόν τον ορισμό ένα παραλληλόγραμμο έχει οκτώ ύψη που είναι ανά τέσσερα ίσα. 

Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμου είναι το ορθογώνιο, ο ρόμβος και το τετράγωνο.

 Ιδιότητες 
 Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές.

 Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες και οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.

 Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι διχοτομούνται.

 Οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών είναι παράλληλες.

 Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών γωνιών είναι κάθετες.

 Το κέντρο ενός παραλληλογράμμου είναι και κέντρο συμμετρίας του.

 Κριτήρια παραλληλογράμμου 
 Ένα κυρτό τετράπλευροΧρειαζόμαστε την προϋπόθεση του κυρτού τετραπλεύρου, καθώς υπάρχει το αντιπαραλληλόγραμμο, που έχει απέναντι πλευρές του ανά δύο ίσες, αλλά όχι και τα δύο ζεύγη παράλληλα. είναι παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:
 Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες ανά δύο.

 Δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες.

 Οι απέναντι γωνίες είναι ανά δύο ίσες.

 Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.

 Κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων 
Ισχύουν τα εξής κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων:
 Δύο παραλληλόγραμμα  και  με ,  και  είναι ίσα.
 Δύο παραλληλόγραμμα  και  με ,  και  είναι ίσα.

 Μετρικές σχέσεις 
 (Νόμος του παραλληλογράμμου) Σε κάθε παραλληλόγραμμο  το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων του,
.

 Ανισοτικές σχέσεις 

 Εμβαδόν 

Υπάρχουν αρκετοί τύποι για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου :
 Το εμβαδόν ισούται με το γινόμενο της βάσης και του αντίστοιχου ύψους:

 Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου 
.
 Από τον τύπο του Ήρωνα στο τρίγωνο , ισχύει ότι
,
όπου  και ,  και .
 Από τον τύπο του εμβαδού τριγώνου με χρήση ημιτόνου, 
.
 Αν το σημείο , το  και το , τότε 
.
 Το εμβαδόν ισούται με το μέτρο του εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων των δύο γειτονικών πλευρών
.

 Σχετικά σχήματα 

 Ειδικές περιπτώσεις 
 Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. 
 Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες λέγεται ρόμβος. 
 Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις γωνίες ορθές και όλες του τις πλευρές ίσες, λέγεται τετράγωνο.

 Συναφή σχήματα 

 Το τραπέζιο έχει τις δύο απέναντι πλευρές του ίσες. 
 Το ισοσκελές τραπέζιο έχει τις δύο απέναντι πλευρές του ίσες 
 Το αντιπαραλληλόγραμμο είναι ένα μη-κυρτό τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο ίσες αλλά όχι παράλληλες.

 Ο γνώμονας είναι το σχήμα που προκύπτει από ένα παραλληλόγραμμο του οποίου έχει αφαιρεθεί ένα άλλο παραλληλόγραμμο που έχει μία κοινή κορυφή με το αρχικό και την απέναντί της στην διαγώνιό του.

 Στερεομετρία 
Ένα παραλληλεπίπεδο είναι το στερεό σχήμα που αποτελείται από τρία ζεύγη παράλληλων εδρών. Ειδική περίπτωσή του είναι ο κύβος.

 Εφαρμογές 

 Κανόνας παραλληλογράμμου 

Στο επίπεδο, το άθροισμα δύο διανυσμάτων  και  είναι το διάνυσμα  για το οποίο τα σημεία , ,  και  σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο. Το σημείο  έχει  και . 

Με όρους φυσικής, η συνισταμένη δύο δυνάμεων  και  που δρουν στο ίδιο σώμα δίνεται από την τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου που δημιουργούν την θέση του σώματος, όπως το παρακάτω σχήμα.

 Θεώρημα Βαρινιόν 

Το θεώρημα Βαρινιόν λέει ότι τα μέσα  των πλευρών ενός τετραπλεύρου , δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν.


 Θεώρημα του Πάππου 
Το θεώρημα Πάππου για το εμβαδόν είναι ένα θεώρημα που συσχετίζεται τα εμβαδά τριών παραλληλογράμμων στις πλευρές ενός τριγώνου.


 Θεώρημα του γνώμονα 

Το θεώρημα του γνώμονα λέει το εξής:

Έστω ένα παραλληλόγραμμο  και  ένα σημείο της διαγωνίου . H παράλληλη από το  προς την πλευρά  τέμνει την  στο  και την  στο . Ομοίως, η παράλληλη από το  προς το  τέμνει την  στο  και την  στο . Τότε, τα παραλληλόγραμμα  και  έχουν ίσα εμβαδά.


 Σε αποδείξεις θεωρημάτων 

Σε αρκετές αποδείξεις θεωρημάτων βοηθάει η δημιουργία παραλληλογράμμων. Για παράδειγμα, στις αποδείξεις
 της ύπαρξης του βαρυκέντρου
 του θεωρήματος van Schooten 
 του θεωρήματος Vecten.

 Πλακοστρώσεις 
Τα παραλληλόγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο. 

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Εφαρμογή για τα μήκη των πλευρών ενός παραλληλογράμμου
 Εφαρμογή με τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου

 Ελληνικά άρθρα 




 Ξενόγλωσσα άρθρα 





 <

 Δείτε επίσης 

 Ορθογώνιο
 Ρόμβος
 Τετράγωνο
 Τραπέζιο
 Παραλληλεπίπεδο

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

Παραλληλογραμμο
Παραλληλογραμμο