Υπερβατικός αριθμός

Στα μαθηματικά, ένας υπερβατικός αριθμός είναι ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός, ο οποίος δεν είναι αλγεβρικός, δηλ. δεν είναι ρίζα κάποιας μη-μηδενικής πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Οι πιο γνωστοί υπερβατικοί αριθμοί είναι ο  και ο . Αν και γνωρίζουμε μόνο μερικές κλάσεις υπερβατικών αριθμών, εν μέρει διότι είναι πολύ δύσκολο να δείξεις ότι κάποιος αριθμός είναι υπερβατικός, οι υπερβατικοί αριθμοί δεν είναι σπάνιοι. Πράγματι, σχεδόν όλοι οι πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί είναι υπερβατικοί, καθώς το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο ενώ τα σύνολα των πραγματικών και μιγαδικών αριθμών είναι και τα δύο μη αριθμήσιμα. Όλοι οι πραγματικοί υπερβατικοί αριθμοί είναι άρρητοι, αφού όλοι οι ρητοί είναι αλγεβρικοί. Το αντίστροφο δεν ισχύει: δεν είναι όλοι οι άρρητοι και υπερβατικοί, π.χ. η ρίζα του 2 είναι άρρητος αλλά όχι υπερβατικός, αφού είναι λύση της εξίσωσης .

Το 1873 ο Γάλλος μαθηματικός Σαρλ Ερμίτ απέδειξε ότι ο  είναι υπερβατικός αριθμός. Αυτός ήταν και ο πρώτος υπερβατικός αριθμός που εντοπίσθηκε.

Παραπομπές


Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων