Εμβαδόν

Εμβαδόν ή έκταση είναι το μέγεθος μέτρησης των επιφανειών. Συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα  ή το γράμμα  (το τελευταίο χρησιμοποιείται συνήθως στην επιφάνεια διατομής). Η μονάδα μέτρησης στο διεθνές σύστημα είναι το 1m². Το εμβαδόν θεωρείται ένα βασικό μέγεθος των δισδιάστατων σχημάτων, όπως τα τετράγωνα και οι κύκλοι, τα οποία δεν έχουν όγκο. Όταν αναφέρεται σε τρισδιάστατα σχήματα συνήθως εννοείται το εμβαδόν της εξωτερικής επιφάνειας του σώματος.

Λίστα τύπων υπολογισμού εμβαδού διαφόρων σχημάτων

Παρακάτω δίνονται οι τύποι για τον υπολογισμό των πιο κοινών γεωμετρικών σχημάτων.

 Τρίγωνο 
Σε ένα τρίγωνο  ισχύουν οι εξής τύποι για το εμβαδόν τουΓια αποδείξεις και περαιτέρω τύπους δείτε το λήμμα για το εμβαδόν τριγώνου.
 Αν  είναι τα ύψη του τριγώνου, τότε
.
 (Τύπος του Ήρωνα) Σε ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών , έχουμε ότι
,
όπου  είναι η ημιπερίμετρος.
 Σε ένα τρίγωνο , ισχύει ότι
,
όπου  τα ημίτονα των τριών γωνιών του.
 Αν  είναι η ημιπερίμετρος και  η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε
.
 Αν  είναι η ημιπερίμετρος και  οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου, τότε
.
 Αν  είναι η ημιπερίμετρος,  η ακτίνα του εγγεγραμμένος κύκλος και  οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου, τότε
.
 Αν  η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε
.
 Αν οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι ,  και , τότε 

 Ειδικά τρίγωνα 

 (Ισόπλευρο τρίγωνο) Το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου με  μήκος πλευράς  είναιΔείτε την απόδειξη εδώ.
.
 (Ορθογώνιο τρίγωνο) Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με  είναι
.

 Τετράπλευρο 
 (Τύπος Μπρετσνάιντερ) Το εμβαδόν ενός τετραπλεύρου  με μήκη πλευρών  και ημιπερίμετρο  είναι
.
 Αν οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι , ,  και , τότε 

 Ειδικά τετράπλευρα 


 (Τετράγωνο) Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς  είναιΔείτε περισσότερες λεπτομέρειες εδώ. 
.
 (Ρόμβος) Το εμβαδόν ενός ρόμβου είναιΔείτε την απόδειξη εδώ.

όπου  και  είναι τα μήκη των διαγωνίων του.
 (Παραλληλόγραμμο) Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναιΔείτε την απόδειξη εδώ.

όπου  είναι το μήκος της μίας πλευράς (αποκαλούμενης βάσης) και  το μήκος της απόστασης μεταξή των δύο παράλληλων βάσεων (αποκαλούμενου ύψους).
 (Τραπέζιο) Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναιΔείτε την απόδειξη εδώ.
,
όπου  και  είναι τα μήκη των δύο παράλληλων πλευρών του (αποκαλούμενες ως βάση και μικρή βάση αντίστοιχα) και  το ύψος του, δηλαδή η απόσταση ανάμεσα στις δύο παράλληλες.
 Το εμβαδόν ενός τραπεζίου με πλευρές  και ημιπερίμετρο  είναιΔείτε την απόδειξη εδώ.
.
 (Τύπος Βραχμαγκούπτα) Το εμβαδόν ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου δίνεται από

όπου , ,  και  είναι τα μήκη των πλευρών του και  η ημιπερίμετρός του.

 Περιγεγραμμένο πολύγωνο 
Το εμβαδόν ενός περιγεγραμμένου -γώνου είναι
,
όπου  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, και  η ημιπερίμετρος του.

 Κανονικό πολύγωνο 
Το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου με  πλευρές και πλευρά μήκους  είναιΔείτε την απόδειξη εδώ.
.
Το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου με  πλευρές με ημιπερίμετρο  είναιΔείτε την απόδειξη εδώ.

Το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου με  πλευρές είναιΔείτε την απόδειξη εδώ.

όπου  είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, και  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.
Το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου με  πλευρές είναιΔείτε την απόδειξη εδώ.
,
όπου  είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, και  η ημιπερίμετρος του.

 Ειδικές περιπτώσεις 
 (Κανονικό εξάγωνο) Το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς  δίνεται απόΔείτε την απόδειξη και άλλους τύπους για το εμβαδόν εδώ.
.
 (Κανονικό οκτάγωνο) Το εμβαδόν ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς  δίνεται απόΔείτε την απόδειξη και άλλους τύπους για το εμβαδόν εδώ.

 Κύκλος και κυκλικός τομέας 
 Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με
,
όπου  είναι η ακτίνα του,  είναι η διάμετρος του και  είναι η μαθηματική σταθερά.
 Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα είναιΔείτε την απόδειξη εδώ.

όπου  είναι η ακτίνα του κύκλου,  είναι η γωνία του (σε ακτίνια), και  η περίμετρός του.

 Επιφάνεια γεωμετρικών στερεών 

 Κύλινδρος 

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κυλίνδρου δίνεται από
,
και το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας του από
,
όπου  είναι η ακτίνα και  το ύψος του.

 Σφαίρα 
Το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας μίας σφαίρας δίνεται από
,
όπου  είναι η ακτίνα της και  η διάμετρός της.

 Πυραμίδα 
Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας μίας πυραμίδας δίνεται από

και το εμβαδόν της συνολικής της επιφάνειας από 
,
όπου  είναι το εμβαδόν της επιφάνειας της βάσης,  είναι η περίμετρος της βάσης και  το παράπλευρο ύψος. 

 Κώνος 
Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου είναι

και της συνολικής του επιφάνειας είναι
,
όπου  είναι η ακτίνα της βάσης,  το ύψος του κώνου, και  η ακμή του.

 Μεταξύ όμοιων σχημάτων 

 Δείτε επίσης 
 Περίμετρος
 Όγκος

 Περαιτέρω ανάγνωση 

 Ελληνικά άρθρα 











 Ξενόγλωσσα άρθρα 




 Σημειώσεις 

Παραπομπές


Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία