Γραμμική απεικόνιση

Στην γραμμική άλγεβρα, μία γραμμική απεικόνιση (ή γραμμικός μετασχηματισμός) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων  και  επί του σώματος  είναι μία συνάρτηση  η οποία ικανοποιεί
, για κάθε , και 
, για κάθε  και .

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση
, για κάθε  και .
Αν οι διανυσματικοί χώροι  και  ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός.

 Ιδιότητες 
Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση :
 .

 Για οποιαδήποτε  διανύσματα  και σταθερές , ισχύει ότι
.

 Παραδείγματα 

 Η συνάρτηση  για  είναι γραμμική. 
 Η μηδενική συνάρτηση  είναι γραμμική. 
 Για κάθε πίνακα  η συνάρτηση  είναι γραμμική (για ).
 Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση 

είναι γραμμική.

 Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων  η συνάρτηση 

είναι γραμμική.

 Πίνακας μετασχηματισμού 

Σε κάθε διανυσματικό χώρο  πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα. 

Έστω  μία βάση του διανυσματικού χώρου . Τότε κάθε διάνυσμα  μπορεί να γραφτεί ως 
, 
για κάποια . Επομένως για έναν μετασχηματισμό  έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι 
.
Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων

Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα  δεν εξαρτώνται από το , επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό . Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του . 

 Παράδειγμα 1ο: Περιστροφή 

Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία  από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης

Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι 

Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από 

Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Μετασχηματισμός (μαθηματικά)