Τέλειος αριθμός

Τέλειος λέγεται ένας φυσικός αριθμός τού οποίου το άθροισμα τών πηλίκων, είναι ίσο με τον αριθμό δηλ. ο n είναι τέλειoς αν και μόνο αν σ(n) = 2n.

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι ο 6. Τα πηλίκα τού 6 είναι: 6:6=1, 6:3=2, 6:2=3, δηλ. 1, 2, 3 και το άθροισμα αυτών είναι ίσο με 6 (1+2+3=6).
Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι οι 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 και ο 8128. Αυτοί είναι και οι μόνοι γνωστοί τέλειοι κατά την αρχαιότητα.

Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι ο 33.550.336 και ακολουθούν οι 8.589.869.056, 137.438.691.328,
2.305.843.008.139.952.128, 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176, 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216. 

 Άρτιοι τέλειοι αριθμοί 

Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο 2n−1(2n − 1):

Για n = 2:   21(22 − 1) = 2 × 3 = 6
Για n = 3:   22(23 − 1) = 4 × 7 = 28
Για n = 5:   24(25 − 1) = 16 × 31 = 496
Για n = 7:   26(27 − 1) = 64 × 127 = 8128

Παρατηρώντας ότι τα n στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο Ευκλείδης απέδειξε ότι ο τύπος 2n−1(2n − 1) δίνει έναν άρτιο τέλειο αριθμό όταν το 2n − 1 είναι πρώτος.

Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί έκαναν και άλλες εικασίες για τους τέλειους αριθμούς από τις οποίες όμως οι περισσότερες αποδείχθηκαν λανθασμένες.

Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αν ο  είναι πρώτος, τότε ο  είναι πρώτος, χωρίς όμως να ισχύει και το αντίστροφο. Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 2n − 1 είναι γνωστοί ως πρώτοι του Μερσέν (Mersenne), από το όνομα του Μαρίν Μερσέν που έζησε τον 17ο αιώνα και τους μελέτησε πρώτος.

Δύο χιλιάδες χρόνια μετά τον Ευκλείδη, ο Όιλερ (Euler) απέδειξε ότι ο τύπος 2n−1(2n − 1) μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό σαν Θεώρημα Ευκλείδη-Όιλερ.

Μέχρι σήμερα, με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών, είναι γνωστοί 50 πρώτοι του Μερσέν και άρα και 50 άρτιοι τέλειοι αριθμοί. Ο μεγαλύτερος από αυτούς - ο 50ος - αποτελείται από 23,249,425 ψηφία. Δεν είναι γνωστό αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι του Μερσέν. Το σύστημα GIMPS ασχολείται με την εύρεση πρώτων του Μερσέν.

 Περιττοί τέλειοι αριθμοί 

Είναι άγνωστο αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Υπάρχουν ωστόσο μια σειρά αποτελέσματα χωρίς όμως οι μαθηματικοί να έχουν φτάσει στην απάντηση της ερώτησης αν υπάρχουν ή όχι.

Τα μέχρι σήμερα γνωστά αποτελέσματα μας λένε ότι κάθε περιττός τέλειος αριθμός N πρέπει να είναι της μορφής 12m + 1 ή 36m + 9 και να ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:
 N είναι της μορφής

όπου q, p1, …, pk είναι διαφορετικοί πρώτοι και q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Όιλερ).
 Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ο k είναι τουλάχιστον 8, και ο k είναι τουλάχιστον 11 αν το 3 δεν διαιρεί το N (Nielsen 2006).
 Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ένας τουλάχιστον από τους  είναι μεγαλύτερος από 1. (Steuerwald 1937)
 Ο μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι μεγαλύτερος από 108 (Takeshi Goto and Yasuo Ohno, 2006).
 Ο δεύτερος μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι μεγαλύτερος από 104 , και ο τρίτος μεγαλύτερος πρώτος είναι μεγαλύτερος από 100 (Iannucci 1999, 2000).
 Ο N έχει τουλάχιστον 75 πρώτους στην παραγοντοποίησή του, υπολογίζοντας κάθε μια από τις 2ek επαναλήψεις του pk χωριστά (Kevin Hare 2005).
 Ο N είναι μικρότερος από  όπου n είναι ο αριθμός των διακεκριμένων πρώτων που τον διαιρούν (οπότε n = k + 1 όπου k όπως πριν) (Nielsen 2003).

Αν ο N υπάρχει, τότε είναι μεγαλύτερος από 10500 σύμφωνα με τους υπoλογισμούς του .

Κατάλογος
Έως το 2016 υπήρχαν συνολικά 49 γνωστοί τέλειοι αριθμοί. Ο εκθέτης p του πρώτου αριθμού Μερσέν χρησιμοποιείται για την επαλήθευση τους με τον τύπο 2p−1× (2p − 1) όπου 2p − 1 αποτελεί πρώτο αριθμό Μερσέν. Όλοι οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί ακολουθούν αυτή την μορφή, και είναι άγνωστο εάν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί.Chris Caldwell. "Mersenne Primes: History. Theorems and Lists" at The Prime Pages. Retrieved 2016-01-19. Η αναλογία p / σύνολο ψηφίων  προσεγγίζει το log(10) / log(4) = 1.6609640474...

 # p Τέλειος αριθμός Σύνολο ψηφίων Έτος Ανακαλύφθηκε από12614ος αιώνας π.Χ.The Penguin's Dictionary of curious and interesting numbersΕυκλείδης232824ος αιώνας π.Χ.Ευκλείδης3549634ος αιώνας π.Χ.Ευκλείδης47812844ος αιώνας π.Χ.Ευκλείδης5133355033681456Σε μεσαιωνικό χειρόγραφο.Munich. Bayerische Staatsbibliothek. CLM 14908. fol. 336178589869056101588Πιέτρο Κατάλντι719137438691328121588Πιέτρο Κατάλντι8312305843008139952128191772Λέοναρντ Όιλερ961265845599156...615953842176371883Ιβάν Περβούσιν1089191561942608...321548169216541911Ραλφ Πάουερς11107131640364585...117783728128651914Ραλφ Πάουερς12127144740111546...131199152128771876Εντουάρ Λυκά13521235627234572...1605556469763141952Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον14607141053783706...7595373281283661952Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον151.279541625262843...7649842913287701952Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον162.203108925835505...8344537825281.3271952Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον172.281994970543370...6751399157761.3731952Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον183.217335708321319...3326285250561.9371957Χανς Ρίζελ194.253182017490401...4371333775362.5611961Hurwitz204.423407672717110...6429125345282.6631961Hurwitz219.689114347317530...5584295772165.8341963Ντόναλντ Μπρους Γκίλις229.941598885496387...3240734965765.9851963Ντόναλντ Μπρους Γκίλις2311.213395961321281...7026910863366.7511963Ντόναλντ Μπρους Γκίλις2419.937931144559095...79027194265612.0031971Μπράιαντ Τάκερμαν2521.701100656497054...25514160537613.0661978Noll & Nickel2623.209811537765823...60394166681613.9731979Noll2744.497365093519915...35303182745626.7901979Nelson & Slowinski2886.243144145836177...95736040652851.9241982Slowinski29110.503136204582133...23360386252866.5301988Colquitt & Welsh30132.049131451295454...49177455001679.5021983Slowinski31216.091278327459220...416840880128130.1001985Slowinski32756.839151616570220...600565731328455.6631992Slowinski & Gage33859.433838488226750...540416167936517.4301994Slowinski & Gage341.257.787849732889343...028118704128757.2631996Slowinski & Gage351.398.269331882354881...017723375616841.8421996Armengaud. Woltman. et al.362.976.221194276425328...7241744629761.791.8641997Spence. Woltman. et al.373.021.377811686848628...5730224578561.819.0501998Clarkson. Woltman. Kurowski. et al.386.972.593955176030521...4751235727364.197.9191999Hajratwala. Woltman. Kurowski. et al.3913.466.917427764159021...4608630210568.107.8922001Cameron. Woltman. Kurowski. et al.4020.996.011793508909365...57820689612812.640.8582003Shafer. Woltman. Kurowski. et al.4124.036.583448233026179...46057295052814.471.4652004Findley. Woltman. Kurowski. et al.4225.964.951746209841900...87479108812815.632.4582005Nowak. Woltman. Kurowski. et al.4330.402.457497437765459...53616470425618.304.1032005Cooper. Boone. Woltman. Kurowski. et al.4432.582.657775946855336...47657712025619.616.7142006Cooper. Boone. Woltman. Kurowski. et al.4537.156.667204534225534...97507448012822.370.5432008Elvenich. Woltman. Kurowski. et al.4642.643.801144285057960...83737725337625.674.1272009Strindmo. Woltman. Kurowski. et al.4743.112.609500767156849...22114537881625.956.3772008Smith. Woltman. Kurowski. et al.4857.885.161169296395301...62627013017634.850.3402013Cooper. Woltman. Kurowski. et al.4974.207.281451129962706...55793031577644.677.2352016Cooper. Woltman. Kurowski. Blosser. et al.

Παραπομπές

 Πηγές 
 Takeshi Goto and Yasuo Ohno, Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108. Preprint, 2006. Διαθέσιμο εδώ: "Largest prime factor of an odd perfect number ".
 Kevin Hare, New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number. Preprint, 2005. Διαθέσιμο εδώ:  .
 Douglas E. Iannucci, "The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand," Mathematics of Computation, volume 68, issue 228, pages 1749–1760, 1999.
 Douglas E. Iannucci, "The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred," Mathematics of Computation, volume 69, issue 230, pages 867–879, 2000.
 Pace P. Nielsen, "An upper bound for odd perfect numbers," Integers, vol. 3, A14, 9 pp. (electronic), 2003.
 Pace P. Nielsen, Odd perfect numbers have at least nine different prime factors, , 2006.
 R. Steuerwald, Verscharfung einen notwendigen Bedingung fur die Existenz einen ungeraden vollkommenen Zahl, S.-B. Bayer. Akad. Wiss. 1937, 69–72.

 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
 Perfect numbers - History and Theory
 Perfect Number - from MathWorld
 List of Perfect Numbers at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
 List of known Perfect Numbers All known perfect numbers are here.
 OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.

Κατηγορία:Σύνθετοι αριθμοί
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά