Διαιρέτης

Ένας  ακέραιος αριθμός  ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού , αν και μόνο αν υπάρχει ακέραιος αριθμός , ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον  δίνει αποτέλεσμα , δηλαδή . Συμβολίζεται  και διαβάζεται: ο  διαιρεί τον . Άλλες εκφράσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν είναι: ο  διαιρείται ακριβώς με τον , ή ότι το  είναι πολλαπλάσιο του . 

Για παράδειγμα λέγεται: ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3) ή ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 2 ή ο 6 είναι πολλαπλάσιο του 2, διότι υπάρχει ο ακέραιος 3 έτσι ώστε: 6 = 3 Χ 2. Ακόμη και ο -2 διαιρεί τον 6, διότι υπάρχει ο ακέραιος -3 έτσι ώστε 6 = (-3) Χ (-2).

Η διαιρετότητα είναι μια από της βασικές έννοιες της θεωρίας αριθμών και αναφέρεται στην διαίρεση ακεραίων.

 Ορισμός 
Για τον ορισμό του διαιρέτη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την πράξη του πολλαπλασιασμού ή την πράξη της διαίρεσης. Ο δεύτερος ορισμός πρέπει να αποφεύγεται γιατί δημιουργεί ασάφειες σε θέματα που αφορούν το 0 και αυτό γιατί δεν μπορεί να υπάρξει διαίρεση με 0. Η διαιρετότητα είναι μια σχέση μεταξύ των ακεραίων και όχι μια πράξη. Είναι μια σχέση όπως η ανισότητα, όπου λέμε   (διότι από τον ορισμό της ανισότητας ), αλλά δεν «ταυτίζεται» με το αποτέλεσμα της πράξης της αφαίρεσης, που είναι ο αριθμός .«Such an error would be similar to the mistake of confusing the relation 5 < 9 with the number 9 - 5.». Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 1 George C. «What are the divisors of 0?» από socratic.org.  Δημοσιεύθηκε 11/03/2018. Αρχειοθετήθηκε 28/01/2019. Ανακτήθηκε 28/01/2019.Κάποιες γνώμες επί του θέματος. «Why would some elementary number theory notes exclude 0|0?» από math.stackexchange.com. Αρχειοθετήθηκε 14/09/2015. Ανακτήθηκε 28/01/2019.

 Ορισμός με την πράξη του πολλαπλασιασμού 
Ένας ακέραιος αριθμός  ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού , αν και μόνο αν υπάρχει ακέραιος αριθμός , ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον  δίνει αποτέλεσμα , δηλαδή , όπου () το σύμβολο της πράξης του πολλαπλασιασμού.Αντί του συμβόλου () για την πράξη του πολλαπλασιασμού μπορεί να χρησιμοποιηθεί το (), δηλαδή . Αν δεν χρησιμοποιηθεί κανένα από τα δύο εννοείται πολλαπλασιασμός. Δηλαδή το   μπορεί να γραφτεί  και . Συμβολίζεται , δηλαδή με μια κάθετο ανάμεσα στο  και το , Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, βλ. πηγές, σελ. 3Definition 2.1. Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 1

Το σύμβολο της διαιρετότητας  δεν πρέπει να συγχέεται με το σύμβολο της διαίρεσης ( ή ).«Yes, students frequently confuse  with , but it's the teacher's job avoiding this confusion: using also  can help.». χρήστης: egreg. Why would some elementary number theory notes exclude 0|0? από math.stackexchange.com. Αρχειοθετήθηκε 14/09/2015. Ανακτήθηκε 28/01/2019.

Στην περίπτωση που ο  δεν είναι διαιρέτης του  συμβολίζεται  και διαβάζεται: ο  δεν διαιρεί τον .

Διατύπωση του ορισμού με μαθηματική σημειογραφία: ,   Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, βλ. πηγές, σελ. 6 και  ,   Υπενθύμιση συμβόλων. "": είναι στοιχείο του ... , "": σύνολο των ακεραίων, "": αν και μόνο αν, "": υπάρχει (τουλάχιστον ένα),  "":δεν υπάρχει, " : ": τέτοιο ώστε.

Ο , γενικά στην πράξη της διαίρεσης λέγεται πηλίκο. Στην περίπτωση που , το  λέγεται και παράγοντας του .

 Ορισμός με την πράξη της διαίρεσης 
Ένας άλλος ορισμός είναι με την χρήση της διαίρεσης: «Ένας ακέραιος αριθμός  ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού , αν και μόνο αν η διαίρεση  είναι τέλεια. Δηλαδή το αποτέλεσμα είναι ακέραιος ()», θέτοντας έτσι τον σημαντικό περιορισμό του .Ψωμόπουλος Ευάγγελος (ΑΠΘ) «Διαιρετότητα» από Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Διαιρετότητα Ακεραίων. Αρχειοθετήθηκε 28/01/2019. Ανακτήθηκε 27/01/2019.

Ο ορισμός αυτός μας οδηγεί στα ίδια αποτελέσματα με τον προηγούμενο απορρίπτοντας όμως την ιδιότητα: «αν , τότε  », που λέει ότι το 0 είναι διαιρέτης του εαυτού του και αυτό διότι η διαίρεση  δεν ορίζεται.

Στην βιβλιογραφία συναντάμε ορισμό της διαιρετότητας με την πράξη της διαίρεσης και επιπλέον μπορεί να δέχεται ότι κάθε ακέραιος είναι διαιρέτης του μηδενός (« για κάθε  »), θέση που είναι λάθος. «A divisor of an integer n, also called a factor of n, is an integer which evenly divides n without leaving a remainder.» και λίγο παρακάτω αναφέρει: « ... every integer is a divisor of 0.». Yucheng Ji, GCD LCM Number Theory σελ. 1 από UofC.  Αρχειοθετήθηκε 28/01/2019. Ανακτήθηκε 28/01/2019.

 Γενικά 

 Συνήθως αναφερόμαστε μόνο στους θετικούς διαιρέτες ενός ακεραίου αριθμού, ενώ στην πραγματικότητα διαιρέτες είναι και οι αντίστοιχοι αρνητικοί.«Επομένως οι διαιρέτες ενός ακεραίου εμφανίζονται κατά ζεύγη αντίθετων ακεραίων.». Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, βλ. πηγές, σελ. 6 Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 4 δεν είναι μόνο οι 1, 2, και 4, αλλά και οι  -1, -2 και -4. Δηλαδή το 4 έχει 6 διαιρέτες. Weisstein, Eric W. "Divisor." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Divisor.html. Αρχειοθετήθηκε 21/11/2018. Ανακτήθηκε 26/01/2019. Επειδή ότι ισχύει για τους θετικούς διαιρέτες ισχύει και για τους αρνητικούς, συνήθως για λόγους απλοποίησης αναφερόμαστε μόνο στους θετικούς.«Αν ο ακέραιος d διαιρεί τον a, τότε και ο ακέραιος -d θα διαιρεί τον a. Έτσι, στο εξής θα μιλάμε για θετικούς διαιρέτες ενός ακεραίου, εφόσον ό,τι αναφέρουμε για τους θετικούς θα ισχύει και για τους αρνητικούς διαιρέτες.». Ψωμόπουλος Ευάγγελος (ΑΠΘ) «ΜΚΔ και ΕΚΠ» από Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Διαιρετότητα Ακεραίων. Αρχειοθετήθηκε 15/09/2015. Ανακτήθηκε 27/01/2019.« ... είναι αρκετό να περιοριστούμε στο σύνολο των θετικών ακεραίων.». Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, βλ. πηγές, σελ. 6
 Ένας ακέραιος και ο αντίθετος του έχουν τους ίδιους διαιρέτες. Για παράδειγμα αντίθετος του 4, δηλαδή ο -4 έχει τους ίδιους διαιρέτες με τον 4.
 Οι ακέραιοι που διαιρούνται με το 2 ονομάζονται άρτιοι ή ζυγοί, ενώ αυτοί που δεν διαιρούνται με το 2 ονομάζονται περιττοί ή μονοί. Επειδή κάθε ακέραιος είναι διαιρέτης του 0 (μηδέν),«Κάθε ακέραιος διαιρεί το 0.». Κάτος, Β., Στεφανίδης, Γ., (2003), βλ. πηγές, σελ. 1 το 0 διαιρείται με το 2, οπότε το 0 συγκαταλέγεται στους άρτιους αριθμούς.
 Κάθε ακέραιος  διαιρείται με τον εαυτό του, με τον αντίθετό του () , το 1 και το -1. Αυτοί οι διαιρέτες ενός ακεραίου ονομάζονται τετριμμένοι διαιρέτες. Δηλαδή, οι τετριμμένοι διαιρέτες του ακεραίου  είναι οι και .Δρ. Κίτσος Παρασκευάς, βλ. πηγές, σελ. 2 
Οι μή τεριμμένοι διαιρέτες ενός ακεραίου ονομάζονται παράγοντες του ακεραίου.Κάτος, Β., Στεφανίδης, Γ., (2003), βλ. πηγές, σελ. 1
Το σύνολο των διαιρετών ενός αριθμού μπορεί να βρεθεί με την ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (βλ. και θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής).

Ιδιότητες
Λόγω του ορισμού για  ισχύουν τα ακόλουθα: 

  για κάθε  (διότι: ). Από αυτή την ιδιότητα προκύπτει ότι το 0 είναι άρτιος, διότι  και άρα .
 Αν , τότε  . Είναι μια «ξεχωριστή» ιδιότητα που μας λέει ότι (το μηδέν είναι διαιρέτης του μηδέν). Δεν ισχύει αν στον ορισμό του διαιρέτη κάνουμε χρήση της έννοιας της διαίρεσης (βλ. ορισμός με την πράξη της διαίρεσης, παραπάνω). «It turns out that zero can’t be divided evenly by zero.». What is 0 divided by 0? – zero divided by zero από simplyphilosophy.org. Αρχειοθετήθηκε 28/01/2019. Ανακτήθηκε 28/01/2019. Άλλο  και άλλο το μη οριζόμενο Weisstein, Eric W. "Division by Zero." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html. Αρχειοθετήθηκε 23/10/2018. Ανακτήθηκε 28/01/2019. .Remark  2.3. Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 1

, ,  και  για κάθε α (τετριμμένοι διαιρέτες).
Αν , τότε  για κάθε c.

Για  εύκολα αποδεικνύονται τα ακόλουθα:

 Αν  και , τότε  ή (δηλαδή .Δρ. Κίτσος Παρασκευάς, βλ. πηγές, σελ. 4 

 Αν  και , τότε 
Αν  τότε  (βλ. θεώρημα 1 παρακάτω)
 Αν  και , τότε . Γενικότερα  για κάθε  (βλ. θεώρημα 3 παρακάτω). Ο  λέγεται κοινός διαιρέτης των  και .Κάτος, Β., Στεφανίδης, Γ., (2003), βλ. πηγές, σελ. 6 Ο ακέραιος , λέγεται -γραμμικός συνδυασμός (linear combination) των  και .Therorem 2.6. Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 2Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, βλ. πηγές, σελ. 7
Ειδική περίπτωση της προηγούμενης ιδιότητας είναι ότι: αν  και , τότε .Ξενάκης Χρήστος (Πανεπ. Πειραιά 2012). «Κρυπτογραφία  > Μαθηματικά  > Θεωρία αριθμών–Αλγεβρικές δομές », σελ. 9, από evdoxos.ds.unipi.gr. Δημοσιεύθηκε 22/12/2012.  28/01/2019. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
 Αν  και , τότε  (μεταβατικότητα) (βλ. θεώρημα 2 παρακάτω)
 Αν  και , τότε 
Αν και  τότε 

 Παραδείγματα 
Στο παράδειγμα θα χρησιμοποιήσουμε τον θετικό ακέραιο 42 επειδή είναι εύκολος στους υπολογισμούς.

 7 είναι διαιρέτης του 42 γιατί υπάρχει ο ακέραιος 6 έτσι ώστε και γράφεται συμβολικά: . Μπορεί να λεχθεί ότι ο 42 διαιρείται ακριβώς ή απλά διαιρείται με τον 7, ή ότι ο 42 είναι πολλαπλάσιος του 7, ή ότι ο 7 διαιρεί τον 42.
Οι διαιρέτες του 42 είναι οι 1, 2, 3, 6, 7, 21, 42, -1, -2, -3, -6, -7, -21 και -42. Οι ίδιοι ακέραιοι είναι και διαιρέτες του -42.
Οι τετριμμένοι διαιρέτες του 42 είναι οι 42, -42, 1 και -1.
Οι μη τετριμμένοι διαιρέτες του 42 είναι οι 2, 3, 6, 7, 21, 42, -1, -2, -3, -6, -7 και -21.
 Επειδή ο 7 δεν είναι τετριμμένος διαιρέτης του 42, ο 7 είναι παράγοντας του 42.

 Θεωρήματα 
Εύκολα αποδεικνύονται τα θεωρήματα:

 Θεώρημα 1: «Ο διαιρέτης ενός ακεραίου είναι και διαιρέτης κάθε πολλαπλασίου του». Δηλαδή, αν  και    ,  .
 Απόδειξη:        .Therorem 2.4. Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 1
Θεώρημα 2: «Μεταβατικότητα». Δηλαδή, αν  όταν  και   .
Απόδειξη:   και         .Therorem 2.5. Conrad Keith, βλ. πηγές, σελ. 1
Θεώρημα 3: «Ο κοινός διαιρέτης δύο ακεραίων είναι και διαιρέτης κάθε -γραμμικού συνδυασμού τους». Δηλαδή, αν  και   ,  .
Απόδειξη: ,    , .

 Δείτε επίσης 

 Αριθμητική
Διαίρεση
Μέγιστος κοινός διαιρέτης
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

 Σημειώσεις 

 Παραπομπές 

 Πηγές 

 Κάτος, Β., Στεφανίδης, Γ., (2003). «Τεχνικές Κρυπτογραφίας και Κρυπτανάλυσης. 3.Θεωρία αριθμών - αλγεβρικές δομές», σελ. 1, Εκδόσεις: ΖΥΓΟΣ, . Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.

 Δρ. Κίτσος Παρασκευάς, Επίκουρος Καθηγητής, (Αντίρριο 2017). «Κρυπτογραφία και ασφάλεια υπολογιστών» από openeclass.teimes.gr. Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.
Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, (Νοέμβριος 2012) «Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών για το Λύκειο» από emekorinthias.files.wordpress.com. Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.
 Conrad Keith. Divisibility and greatest common divisor από kconrad.math.uconn.edu. Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Αριθμητική