Τοπολογία

Τοπολογία είναι η μελέτη των συνόλων στα οποία μπορεί να οριστεί μια έννοια κλειστότητας έτσι ώστε να διακρίνεται η συνέχεια για οποιαδήποτε συνάρτηση που ορίζεται σε αυτά. Είναι, συνεπώς ένα είδος γενικευμένης γεωμετρίας αφού θεωρούμε κι εδώ σχήματα. Δεν μας ενδιαφέρει όμως η διάσταση ή μια γενικευμένη ανάλυση αφού εστιάζουμε στην συνέχεια ή μη κάποιων συναρτήσεων. Αντικείμενο μελέτης της τοπολογίας είναι ο Τοπολογικός Χώρος. Τοπολογικούς χώρους συναντούμε στην μαθηματική ανάλυση, την άλγεβρα και την γεωμετρία.

Θεμελιώδεις έννοιες όπως σύγκλιση, όριο, συνέχεια, συνεκτικότητα ή συμπάγεια συναντούν στην τοπολογία την καλύτερη τους μορφοποίηση. Η τοπολογία βασίζεται ουσιαστικά στις έννοιες του τοπολογικού χώρου και του ομοιομορφισμού. Με τον όρο τοπολογία δηλώνεται επίσης η συλλογή ανοιχτών συνόλων που ορίζουν έναν τοπολογικό χώρο. 

Για παράδειγμα, ένας στερεός κύβος και μια στερεή σφαίρα είναι ομοιόμορφα, μπορούμε δηλαδή να παραμορφώσουμε το ένα μέχρι να εξασφαλίσουμε το άλλο χωρίς να κολλήσουμε ή να σχίσουμε οτιδήποτε: δεν είναι όμως δυνατόν για παράδειγμα να παραμορφώσουμε μια σφαίρα σε έναν κύκλο με τον ίδιο τρόπο, επειδή η διάσταση ενός αντικειμένου είναι μια τοπολογική ιδιότητα, που δεν αλλάζει με τις μεταμορφώσεις. Υπό αυτήν την έννοια, η τοπολογία ερευνά τις βαθύτερες ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων. 

 Ιστορικά στοιχεία 

Προάγγελος της τοπολογίας ήταν η αρχαία γεωμετρία. Το άρθρο του Ελβετού μαθηματικού Λέοναρντ Όιλερ το 1736 για τις Επτά Γέφυρες του Königsberg θεωρείται ως ένα από τα πρώτα αποτελέσματα που δεν εξαρτώνται από κανέναν τύπο μέτρησης, δηλαδή ως ένα από τα πρώτα τοπολογικά αποτελέσματα. 

Ο Γκέοργκ Κάντορ, που επινόησε τη θεωρία των συνόλων, ξεκίνησε να μελετά τη θεωρία των συνόλων των σημείων στον ευκλείδειο χώρο προς τα τέλη του 19ου αιώνα. Ο Μορίς Φρεσέ  εισήγαγε το 1906 την έννοια του μετρικού χώρου, ενοποιώντας την εργασία των Κάντορ, Βίτο Βολτέρα, Αρζελά, Χανταμάρ, Ασκόλι κι άλλων για τους χώρους των συναρτήσεων. Το 1914 ο Φέλιξ Χάουσντορφ, γενικεύοντας την έννοια του μετρικού χώρου, έπλασε τον όρο τοπολογικός χώρος κι όρισε αυτό που σήμερα ονομάζεται χώρος του Χάουσντορφ. Τέλος, το 1922, ο Kuratowsky, με μια επιπρόσθετη μικρή γενίκευση, έδωσε τον ορισμό που έχει σήμερα ο τοπολογικός χώρος.

Έννοιες
Τοπολογίες σε σύνολα
Κύριο άρθρο: Τοπολογικός χώρος

Ο όρος τοπολογία αναφέρεται επίσης σε μια συγκεκριμένη μαθηματική αντίληψη που είναι βασική για τον κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται τοπολογία. Ανεπίσημα, η τοπολογία περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο τα στοιχεία ενός συνόλου σχετίζονται χωρικά μεταξύ τους. Το ίδιο σύνολο μπορεί να έχει διαφορετικές τοπολογίες. Παραδείγματος χάριν, η πραγματική ευθεία, το μιγαδικό επίπεδο και το σύνολο Κάντορ μπορούν να θεωρηθούν ως το ίδιο σύνολο με διαφορετικές τοπολογίες. 

Τυπικά, έστω  ένα σύνολο και  μια οικογένεια υποσυνόλων του . Τότε το  ονομάζεται τοπολογία στο  αν:

 Τόσο το κενό σύνολο όσο και το  είναι στοιχεία του .
 Οποιαδήποτε ένωση στοιχείων του  είναι στοιχείο του .
 Κάθε τομή πεπερασμένου αριθμού στοιχείων του  είναι στοιχείο του .

Εάν  είναι μια τοπολογία στο , τότε το ζεύγος  ονομάζεται τοπολογικός χώρος. Η σημειογραφία  μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δηλώσει ένα σύνολο  που διαθέτει τη συγκεκριμένη τοπολογία . Κατ' ορισμό, κάθε τοπολογία είναι ένα {pi}}-σύστημα.

Τα μέλη του  ονομάζονται «ανοιχτά σύνολα» στο . Ένα υποσύνολο του  λέγεται κλειστό αν το συμπλήρωμα του βρίσκεται στο  (δηλαδή, το συμπλήρωμα του είναι ανοιχτό). Ένα υποσύνολο του  μπορεί να είναι ανοιχτό, κλειστό, και τα δύο (ένα κλειστό-ανοιχτό σύνολο) ή κανένα από τα δύο. Το κενό σύνολο και το ίδιο το  είναι πάντα κλειστά και ανοιχτά. Ένα ανοιχτό υποσύνολο του  που περιέχει ένα σημείο  ονομάζεται ανοιχτή γειτονιά του .

Πηγές
 Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3-88538-006-4.
 Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).

  (Provides a well-motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
 Wacław Sierpińsk, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
  (Provides a popular introduction to topology and geometry)


 Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Τοπολογία - Σπύρου Καπελλίδη mathematica.gr
Το αξίωμα της επιλογής στην τοπολογία Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατρίβων

Παραπομπές

Κατηγορία:Μαθηματικές δομές