Υποσύνολο

Στα μαθηματικά, ένα σύνολο  ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου  και συμβολίζουμε με , εάν κάθε στοιχείο του  είναι και στοιχείο (ανήκει) του  δηλαδή ισχύει:

Για παράδειγμα, το  είναι υποσύνολο του . Το σύνολο  λέγεται και υπερσύνολο του  και συμβολίζεται ως .

Ακόμα χρησιμοποιούμε την ορολογία: το σύνολο  περιέχεται στο σύνολο  ή ακόμα ότι το σύνολο  είναι υπερσύνολο του συνόλου  και γράφουμε . Μπορούμε να θεωρήσουμε το  ως τη σχέση που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη  για τα οποία ισχύει .

Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του  είναι το δυναμοσύνολο .

 Παραδείγματα 

Παρακάτω δίνονται μερικά παραδείγματα υποσυνόλων:
Το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων.
.
.
Το σύνολο των περιττών αριθμών είναι υποσύνολο των ακεραίων αριθμών.
Όλα τα δυνατά υποσύνολα του  είναι τα εξής:
.

 Ιδιότητες 

Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή  για κάθε σύνολο .
 (Ανακλαστική ιδιότητα) Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του, δηλαδή  για κάθε σύνολο .
 (Μεταβατική ιδιότητα) Αν  και , τότε  .

 Αν  και , τότε .

 Γνήσιο υποσύνολο 

Αν το σύνολο  είναι υποσύνολο του  και επίσης ισχύει ότι , δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του  το οποίο να μην ανήκει στο , τότε λέμε ότι το σύνολο  είναι γνήσιο υποσύνολο του  και το συμβολίζουμε με  ή με . Αντίστοιχα, ορίζεται το γνήσιο υπερσύνολο  ή .

Παραδείγματα
 .
 Το σύνολο των φυσικών αριθμών  είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων , δηλαδή .
 Το σύνολο τον ακεραίων είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού των ρητών, δηλαδή .
 Το σύνολο των ρητών γνήσιο υποσύνολο των πραγματικών, δηλαδή .

Δείτε επίσης
 Σύνολο
 Δυναμοσύνολο

Παραπομπές

Κατηγορία:Θεμελιώδεις έννοιες θεωρίας συνόλων