Rhif Bell

Mewn cyfuniadeg, mae'r rhifau Bell yn cyfri holl ymraniadau posibl set. Mae'r rhifau hyn wedi cael eu hastudio gan fathemategwyr ers y 19eg ganrif, ac mae eu gwreiddiau'n mynd yn ôl i Japan ganoloesol. Fe'u henwir ar ôl Eric Temple Bell, a ysgrifennodd amdanynt yn y 1930au.

Dynodir y rhifau Bell gan Bn, lle n yw cyfanrif mwy na neu'n hafal i sero. Gan ddechrau gyda B0 = B1 = 1, y rhifau Bell cyntaf yw

 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, ... .

Mae'r rhif Bell Bn yn cyfri'r nifer o wahanol ffyrdd o ymrannu set sydd ag union n elfen, neu'n gywerth, y nifer o berthnasau cywerthedd arno. Mae Bn hefyd yn cyfrif nifer y gwahanol gynlluniau odl ar gyfer cerddi sydd ag n llinell.

Yn ogystal ag ymddangos mewn problemau cyfrif, mae gan y niferoedd hyn ddehongliad gwahanol yn nhermau momentau dosraniadau tebygolrwydd. Yn benodol, Bn yw n-fed moment dosraniad Poisson gyda chymedr 1.

 Cyfrif 
bawd|Y 52 ymraniad o set gyda 5 elfen.
Yn gyffredinol, B n yw nifer ymraniadau set o faint n. Diffinnir ymraniad set S fel set o is-setiau anwag, digyswllt yn ôl y parau, S, y mae eu hundeb yw S. Er enghraifft, B3 = 5 oherwydd gellir ymrannu set 3-elfen {a, b, c} mewn 5 ffordd wahanol:

 { {a}, {b}, {c} }
 { {a}, {b, c} }
 { {b}, {a, c} }
 { {c}, {a, b} }
 { {a, b, c} }.

B0 yw 1 oherwydd un ymraniad yn union sydd o'r set wag. Mae pob aelod o'r set wag yn set ddiamwys a'u hundeb yw'r set wag. Felly, y set wag yw'r unig raniad ohono'i hun. Fel yr awgrymwyd gan y nodiant a osodwyd uchod, nid ydym yn ystyried trefn y rhaniadau na threfn yr elfennau ym mhob rhaniad, oherwydd nid oes gan setiau trefn.

 Ffactorau 
Os yw rhif N yn gyfanrif positif heb ffactorau sgwâr (hynny yw ei fod yn lluoswm rhyw rif n o rifau cysefin unigryw), yna mae Bn yn rhoi nifer y gwahanol ymraniadau lluosol N. Mae'r rhain yn ffactoriadau o N i mewn i rifau mwy nag un. Er enghraifft, 30 yw luoswm y tri rhif cysefin 2, 3 a 5, ac mae ganddo B3 = 5 o ffactoriadau:



 Cynlluniau odli 
Mae'r rhifau Bell hefyd yn cyfri'r cynlluniau odl cerdd neu bennill n-llinell. Mae cynllun odli yn disgrifio pa linellau sy'n odli gyda'i gilydd, ac felly gellir eu dehongli fel ymraniad o'r set o linellau yn is-setiau odledig. Mae cynlluniau odli fel arfer yn cael eu hysgrifennu fel dilyniant o lythrennau Rhufeinig, un fesul llinell, gyda llinellau sy'n odli yn cael yr un llythyren â'i gilydd. Felly ar gyfer pennill pedwar llinell, mae B4 = 15 cynllun odli posib: AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, ac ABCD.

 Priodweddau 

 Fformiwlâu symio 
Mae rhifau'r Bell yn bodloni perthynas dychweliadol sy'n cynnwys cyfernodau binomial:



Gallwn esbonio'r perthynas hwn trwy arsylwi, o ymraniad mympwyol o n + 1 eitem, mae cael gwared ar y set sy'n cynnwys yr eitem gyntaf yn gadael ymraniad o set lai o eitemau. Gall y nifer o eitemau hyn fod k ar gyfer rhyw rif k a all amrywio o 0 i n. Mae yna  dewis ar gyfer y k eitem sydd ar ôl ar ôl i un set gael ei dileu, ac mae Bk dewis o sut i'w ymrannu.

Mae fformiwla symio gwahanol yn cynrychioli pob rhif Bell fel swm o rifau Stirling o'r ail fath



Rhif Stirling  yw nifer o ffyrdd i ymrannu set maint n i mewn yn union k is-set anwag. Felly, yn yr hafaliad uchod sy'n cysylltu'r rhifau Bell â'r rhifau Stirling, mae pob ymraniad a gyfrifir ar ochr chwith yr hafaliad yn cael ei gyfri mewn union un o dermau'r swm ar yr ochr dde, yr un lle mae k nifer o setiau yn yr ymraniad.

Mae Spivey (2008) wedi rhoi fformiwla sy'n cyfuno'r ddau swm hyn:



 Rhifyddeg fodiwlaidd 
Mae'r rhifau Bell yn ufuddhau cyfathiant Touchard: Os p yw unrhyw rif cysefin yna



neu, yn cyffredinoli



 Fel integryn 
Mae cymhwyso fformiwla integryn Cauchy i'r ffwythiant generadu esbonyddol yn rhoi'r gynrychiolaeth integryn cymhlyg



 Hanes 
Enwir rhifau Bell ar ôl Eric Temple Bell, a ysgrifennodd amdanynt ym 1938, yn dilyn papur yn 1934 lle bu'n astudio polynomialau Bell. Nid oedd Bell yn honni ei fod wedi darganfod y niferoedd hyn; yn ei bapur yn 1938, ysgrifennodd fod y rhifau Bell wedi cael eu hymchwilio'n aml, a'u bod wedi cael eu hailddarganfod nifer o weithiau. Mae Bell yn dyfynnu sawl cyhoeddiad cynharach ar y rhifau hyn, gan ddechrau gyda Dobiński (o 1877) sy'n rhoi fformiwla Dobiński ar gyfer y rhifau Bell. Galwodd Bell y rhifau hyn yn "rhifau esbonyddol"; rhoddwyd yr enw "rhifau Bell" a'r nodiant Bn ac iddynt gan Becker & Riordan (o 1948).

Ymddangosodd cyfrifiad cynhwysfawr cyntaf o ymraniadau set yn oesoedd canol Japan, lle (wedi ei ysbrydoli gan boblogrwydd y llyfr Chwedl Genji) ymddangosodd gêm barlwr o'r enw genji-ko, lle rhoddir pum pecyn o arogldarth i'r chwaraewyr i'w arogli, a gofynnir iddynt ddyfalu pa rai oedd yr un fath â'i gilydd a pha rai oedd yn wahanol. Cofnodwyd y 52 datrysiad posibl, a gyfrifwyd gan y rhif Bell B5, gan 52 o wahanol ddiagram, a chafodd eu hargraffu uwchben penawdau'r penodau mewn rhai rhifynnau o Chwedl Genji.

Yn ail lyfr nodiadau Srinivasa Ramanujan, ymchwiliodd i mewn i bolynomialau Bell a rhifau Bell.

 Cyfeiriadau