Theorem gwaddod

Mewn dadansoddi cymhleth, disgyblaeth o fewn mathemateg, mae'r theorem gwaddod, a elwir weithiau'n theorem gwaddod Cauchy, yn offeryn pwerus i werthuso integrynnau amlin o ffwythiannau analytig dros gromliniau caeedig; yn aml gellir ei ddefnyddio i gyfrifo integrynnau real, a hefyd i gyfrifo cyfresi anfeidraidd. Mae'n cyffredinoli theorem integryn Cauchy a fformiwla integryn Cauchy. O safbwynt geometregol, gellir ei ystyried yn achos arbennig o theorem gyffredinol Stokes.

 Datganiad 
Mae'r datganiad fel a ganlyn:
chwith|bawd|250x250px| Darlun o'r lleoliad.
Gadewch i  fod yn is-set agored gysylltiedig syml o'r plân cymhlyg sy'n gynnwys set meidraidd o bwyntiau , , a ffwythiant  sydd wedi'i diffinio ac yn holomorffig ar . Gadewch  fod yn gromlin gaeedig yn , ac yn dynodi rhif dirwyniad (winding number)  o gwmpas  gan . Mae'r integryn amlin o  o amgylch  yn hafal i  lluosi swm gwaddodion  yn y pwyntiau, pob un yn cael ei gyfrif cymaint o weithiau y mae  yn troelli o amgylch y pwynt:



Os yw  yn gromlin gaeedig syml sydd wedi'i gogwyddo'n bositif, mae  os yw  tu mewn i , a 0 os na, felly



gyda'r swm dros yr  sydd tu mewn ..

Er mwyn gyfrifo integrynnau real, defnyddir y theorem gwaddod yn y ffordd ganlynol: rydym yn ymestyn yr integrand i'r plân cymhlyg a chyfrifo'i gwaddodion (sydd fel arfer yn hawdd), ac rydym yn ymestyn rhan o'r echel real i gromlin gaeedig trwy atodi hanner cylch yn yr hanner plân uchaf neu isaf, gan ffurfio hanner cylch. Yna gallwn gyfrifo'r integryn dros y gromlin hon gan ddefnyddio'r theorem gwaddod. Yn aml, bydd rhan hanner cylch yr integryn yn tueddu tuag at sero wrth i radiws yr hanner cylch dyfu, gan adael dim ond rhan echel real yr integryn, yr un yr oedd gennym ddiddordeb ynddo yn wreiddiol.

 Enghreifft 

 Integryn ar hyd yr echel go iawn 
Mae'r integryn



de|bawd|300x300px| Yr amlin .
yn codi mewn theori tebygolrwydd wrth gyfrifo ffwythiant nodweddiadol y dosraniad Cauchy. Nid yw'n hawdd ei gyfrifo gan ddefnyddio technegau calcwlws elfennol, ond gellir ei gyfrifo trwy ei fynegi fel terfan integrynnau amlin.

Tybiwch fod , a diffiniwch yr amlin  sy'n mynd ar hyd y llinell real o  i , ac yna'n wrthglocwedd ar hyd hanner cylch wedi'i ganoli ar 0 o  i  . Cymerwch  i fod yn fwy nag 1, fel bod yr uned ddychmygol wedi'i hamgáu o fewn y gromlin. Nawr, ystyriwch yr integryn amlin



Gan fod  yn ffwythiant cyfan (heb unrhyw hynodion ar unrhyw bwynt yn y plân cymhlyg), mae gan y ffwythiant hwn hynodion ond lle mae'r enwadur  yn sero. Gan fod , mae hwn yn sero yn  ac . Dim ond un o'r pwyntiau hynny sydd yn y rhanbarth sydd wedi'i ffinio gan yr amlin hon. Gan fod  yn



gwaddod  yn  yw



Yn ôl y theorem gwaddod felly, mae gennym



Gellir ymrannu'r amlin  i mewn i'r rhan syth a'r arc grom, fel bod



ac felly



Gan ddefnyddio'r Lema Amcangyfrif, mae gennym



ac



Felly, mae



Os yw  yna mae dadl debyg gydag arc  sy’n troelli o gwmpas  yn hytrach nag  yn dangos fod
de|bawd|300x300px| Yr amlin .



ac felly, yn olaf mae gennym



(Os yw  yna mae'r integryn yn lleihau i rywbeth gallwn ddefnyddio ddulliau calcwlws elfennol arno, a'i werth yw . )

 Cyfeiriadau