Matrics

Mewn mathemateg, mae matrics yn arae hirsgwar neu dabl o rifau, symbolau, neu fynegiannau, wedi'u trefnu mewn rhesi a cholofnau. Er enghraifft, dimensiwn y matrics isod yw 2 × 3, oherwydd mae dwy res a thair colofn:



Fe elwir yr eitemau unigol mewn matrics m × n matrics yn elfennau neu gofnodion. Ar gyfer matrics A, yn aml ddynodir yr elfen mewn rhes i a cholofn j gan ai,j.

Os oes ganddynt yr un maint (mae gan y matricsau yr un nifer o resi a'r un nifer o golofnau â'r llall), gellir adio neu dynnu dau fatrics fesul elfen. Y rheol ar gyfer lluosi matrics, fodd bynnag, yw y gellir lluosi dau fatrics ond pan mae nifer y colofnau yn y cyntaf yn hafal i nifer y rhesi'r ail. Hynny yw, mae eu dimensiynau mewnol yr un peth, n ar gyfer lluosi matrics (m × n) gan fatrics (n × p), sy'n cynhyrchu matrics (m × p). Ni ellir lluosi'r matricsau y ffordd arall o gwmpas, felly nid yw lluosi matricsau yn gymudol. Gellir lluosi unrhyw fatrics â sgalar fesul elfen. Fel arfer dynodir matricsau gan ddefnyddio priflythrennau Lladin fel ,  a .

 Sylfeini 

 Diffiniad 
Mae matrics yn arae hirsgwar o rifau (neu wrthrychau mathemategol eraill) y diffinnir gweithrediadau fel adio a lluosi ar eu cyfer. Yn fwyaf cyffredin, mae matrics dros faes F yn arae hirsgwar o sgalarau, y mae pob un ohonynt yn aelod o F. Er enghraifft, mae hwn yn fatrics real:

Gelwir y rhifau, symbolau, neu ymadroddion yn y matrics yn gofnodion neu'n elfennau. Gelwir llinellau llorweddol a fertigol y cofnodion mewn matrics yn rhesi a cholofnau, yn y drefn honno.

 Maint 
Diffinnir maint matrics yn ôl nifer y rhesi a'r colofnau sydd ganddo. Gelwir matrics sydd ag m rhes ac n colofn yn fatrics m×n. Gelwir m ac n yn ddimensiynau'r matrics. Er enghraifft, mae'r matrics A uchod yn fatrics 3×2. Gelwir matricsau â rhes sengl yn fectorau rhes, a gelwir y rhai ag un golofn yn fectorau colofn. Gelwir matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau yn fatrics sgwâr. Gelwir matrics â nifer anfeidrol o resi neu golofnau (neu'r ddau) yn fatrics anfeidrol. Mewn rhai cyd-destunau mae'n ddefnyddiol ystyried matrics heb resi na cholofnau, hwn yw'r matrics gwag.
+Trosolwg o faint matrics Enw Maint Enghraifft Disgrifiad Fector rhes 1×n Matrics gydag un rhes, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli fector. Fector colofnn×1 Matrics gydag un golofn, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli fector. Matrics sgwârn×n Matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli trawsffurfiad llinol o ofod fector iddo'i hun, megis adlewyrchiad neu gylchdroi.

 Nodiant 
Yn aml ysgrifennir matricsau mewn cromfachau sgwâr neu gromfachau crwn:

Mae nodiant matrics yn amrywio'n fawr, ond mae rhai confensiynau cyffredinol. Fel arfer, defnyddir priflythrennau (fel A yn yr enghreifftiau uchod) i ddynodi matrics tra defnyddir y llythrennau bach cyfatebol gyda dau indecs isysgrif (ee, a11 neu a1,1) i gynrychioli'r cofnodion. Yn ogystal â defnyddio priflythrennau i ddynodi matricsau, mae llawer o awduron yn defnyddio arddull argraffyddol arbennig, yn aml ffont trwm unionsyth (nid yn italig), i wahaniaethu ymhellach rhwng matricsau a gwrthrychau mathemategol eraill.

Weithiau cyfeirir at yr elfen yn y i-fed rhes a'r j-fed golofn o fatrics A fel yr i,j, (i, j), neu (i, j)fed cofnod y matrics. Dynodir yn gyffredin gan ai,j, neu aij. Rhai nodiannau amgen ar gyfer y cofnod hwnnw yw A[i, j] neu Ai,j . Er enghraifft, mae'r (1,3) mynediad y matrics canlynol A yw 5 (ddynodir hefyd yn a13, a1,3, A[1,3] neu A1,3.

Dynodir set yr holl matricsau m x n gan 𝕄(m, n).

 Gweithrediadau sylfaenol 
Mae yna nifer o weithrediadau sylfaenol y gellir eu defnyddio i addasu matricsau, er enghraifft adio matrics, lluosi sgalar, trawsddodiad, a lluosi matrics.

 Ychwanegiad, lluosi sgalar, a thrawsosod 
+Gweithrediadau yn cael eu perfformio ar fatricsau Gweithrediad Diffiniad Enghraifft Adio Cyfrifir swm A + B dau fatrics m x n A a B fesul elfen:

 (A + B) = A + B, lle 1 ≤ i ≤ m ac 1 ≤ j ≤ n . Lluosi sgalar Cyfrifir lluoswm cA o rif c (a elwir hefyd yn sgalar ym myd algebra haniaethol) a matrics A trwy luosi pob cofnod mewn A ag c:

 (cA)i,j = c · Ai,j.

Gelwir y gweithrediad hwn yn lluosi sgalar, ond nid yw ei ganlyniad yn cael ei enwi'n "gynnyrch graddfa" oherwydd defnyddir y term hwnnw ar gyfer rhywbeth arall. Trawsddodiad Trawsosod matrics m x n A yw'r matrics n x m A (weithiau wedi dynodi A neu A) a ffurfiwyd gan droi i mewn i resi golofnau ac i'r gwrthwyneb:

 (AT)i, j = Aj, i.
Mae priodweddau cyfarwydd rhifau yn ymestyn i'r gweithrediadau matricsau hyn: er enghraifft, mae adio yn gymudol, hynny yw, nid yw'r swm matrics yn dibynnu ar drefn y symiau: A+B=B+A. Mae'r trawsddodiad yn ymddwyn fel y disgwyl gydag adio a lluosi sgalar, e.e. (cA) = c(A) ac (A + B) = A + B, ac (A) = A.

 Lluosi matrics 
bawd|300x300px|Darlun o luosi matrics AB dau fatrics A a B.Gallwn ddiffinio lluosi dau fatrics os ac yn unig os yw nifer colofnau'r matrics chwith yr un peth â nifer y rhesi o'r matrics de. Os yw A yn fatrics m x n ac mae B yn fatrics n x p, yna eu luoswm AB yw'r matrics m x p y rhoddir ei gofnodion gan lluoswm dot y rhes gyfatebol o A a'r golofn gyfatebol B:

lle 1 ≤ i ≤ m ac 1 ≤ j ≤ p. Er enghraifft, caiff y cofnod wedi'i danlinellu 2340 ei gyfrifo o (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

Pryd bynnag mae'r lluosi hyn wedi'u diffinio, mae lluosi matrics yn bodloni'r rheolau (AB)C = A(BC), hynny yw cysylltiadedd; (A + B)C = AC + BC ac C(A + B) = CA + CB, hynny yw mae'n ddosbarthol o'r chwith ac o'r dde). Efallai bod AB wedi'i ddiffinio ond nid yw BA, oherwydd meintiau'r matricsau A a B. Hyd yn oed os yw'r ddau luoswm wedi'u diffinio, yn gyffredinol ni fyddant yn gyfartal, hynny yw: AB ≠ BA.

Mewn geiriau eraill, nid yw lluosi matrics yn gymudol , mewn cyferbyniad amlwg â rhifau cymarebol, real a chymhlyg, lle mae eu lluosymiau yn annibynnol ar drefn y ffactorau. Enghraifft o ddau fatrics nad ydynt yn cymudo â'i gilydd yw:

tra bod

 Matricsau sgwâr 
Matrics sgwâr yw matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau. Gellir ychwanegu a lluosi unrhyw ddau fatrics sgwâr o'r un maint. Mae'r cofnodion a yn ffurfio prif groeslin y matrics sgwâr. Maent yn gorwedd ar y llinell ddychmygol sy'n rhedeg o'r gornel chwith uchaf i gornel dde isaf y matrics.

 Prif fathau 
EnwEnghraifft n = 3Matrics croeslinMatrics trionglog isafMatrics trionglog uchaf

 Matrics croeslin a thrionglog 
Os yw holl gofnodion A o dan y brif groeslin yn sero, gelwir A yn fatrics trionglog uchaf. Yn yr un modd, os yw pob cofnod A uwchben y brif groeslin yn sero, gelwir A yn fatrics trionglog isaf. Os yw'r holl gofnodion y tu allan i'r brif groeslin yn sero, gelwir A yn fatrics croeslin.

 Matrics unfathol 
Y matrics unfathol I o faint n yw matrics n x n lle mae'r holl elfennau ar y prif groeslin yn hafal i 1 a phob elfen arall yn gyfartal i 0, er enghraifft,



Mae'n fatrics sgwâr o drefn n, a hefyd yn fath arbennig o fatrics croeslin. Fe'i gelwir yn fatrics unfathol oherwydd nad yw lluosi ag ef yn newid matrics:

 AIn = ImA = A ar gyfer unrhyw fatrics m x n A.

 Matrics gwrthdroadwy a'i wrthdro 
Gelwir matrics sgwâr A yn gwrthdroadwy neu'n anhynod os bodoler matrics B fel bod

 AB = BA = I,

lle I yw'r matrics unfathol n × n. Os yw B yn bodoli, mae'n unigryw ac fe'i gelwir yn fatrics gwrthdro A, a'i dynodir gan A.

 Prif weithrediadau 

 Olin 
Olin matrics sgwâr A yw swm ei gofnodion croeslin, a ddynodir gan tr(A). Er nad yw lluosi matrics yn gymudol fel y soniwyd uchod, mae olinau luoswm dau fatrics yn annibynnol o drefn y ffactorau: tr(AB) = tr(BA). Hefyd, mae olin matrics yn hafal i olin ei drawsddodiad, hynny yw, tr(A) = tr(AT).

 Determinant 
Determinant matrics sgwâr A (a ddynodir gan det(A) neu |A|) yw rhif sy'n disgrifio rhai priodweddau penodol y matrics. Mae matrics yn wrthdroadwy os ac yn unig os yw ei determinant yn di-sero. Rhoddir determinant matricsau 2 x 2 gan

Mae fformiwla Leibniz yn cyffredinoli'r fformiwla hon i bob dimensiwn.

 Gwerthoedd eigen a fectorau eigen 
Gelwir rhif λ a fector di-sero v sy'n bodloni

 Av = λv

yn werth eigen a fector eigen o A, yn y drefn honno.  Mae'r rhif λ yn werth eigen matrics n × n A os ac yn unig os nad yw A −λI yn wrthdroadwy, sy'n cyfateb i



 Cyfeiriadau