Corn Gabriel

Ffigwr geometreg yw Corn Gabriel (a elwir hefyd yn trymped Torricelli) sydd ag arwynebedd anfeidraidd ond cyfaint meidraidd. Mae'r enw'n cyfeirio at y traddodiad Abrahamaidd lle mae'r archangel Gabriel yn chwythu'r corn i gyhoeddi Dydd y Farn, sy'n gysylltu'r dwyfol, neu'r anfeidrol, â'r meidraidd. Astudiwyd priodweddau'r ffigur hwn gyntaf gan y ffisegydd a mathemategydd Eidalaidd Evangelista Torricelli yn yr 17g.

 Diffiniad mathemategol 
bawd|Graff .
Ffurfir corn Gabriel trwy gymryd y graff



gyda'r parth , a'i gylchdroi mewn tri dimensiwn o amgylch yr echelyn-. Darganfuwyd yn wreiddiol gan ddefnyddio egwyddor Cavalieri cyn cafodd calcwlws ei ddyfeisio. Heddiw gallwn defnyddio calcwlws i gyfrifo cyfaint ac arwynebedd y corn rhwng  ac , lle . Trwy ddefnyddio integreiddio mae'n bosib dod o hyd i'r cyfaint  ac arwynebedd yr arwyneb :





Gall gwerth  fod mor fawr a sydd angen: gallwn gweld o'r hafaliad na fydd cyfaint y corn rhwng  ac  byth fwy na ; fodd bynnag wrth i  cynyddu mae'r cyfaint yn raddol yn agosáu at . Yn fathemategol, yn defnyddio nodiant terfan calcwlws:



Mae'r fformiwla arwynebedd uchod yn rhoi arffin is ar gyfer yr arwynebedd i fod fel 2 lluosi'r logarithm naturiol o . Nid yw'r logarithm naturiol yn ffinedig uwchben. Mae hynny'n golygu, yn yr achos hwn, bod gan y corn arwynebedd anfeidraidd. Hynny yw,



 Paradocs ymddangosiadol 
Pan ddarganfuwyd priodweddau corn Gabriel yn gyntaf, ystyriwyd bod y ffaith bod cylchdroi rhanbarth anfeidrol o'r plân- o amgylch yr echelyn- yn gallu cynhyrchu gwrthrych gyda cyfaint meidraidd, i fod yn baradocs. Ond, wrth feddwl, gallwn deall y ffenomenon:

Gellir trin y corn fel pentwr o ddisgiau gyda radiws sy'n lleihau. Mae swm y radiws yn cynhyrchu cyfres harmonig anfeidredd. Fodd bynnag, y cyfrifiad cywir yw swm eu sgwariau. Mae gan bob disg radiws  ac arwynebedd  neu . Mae'r gyfres  yn dargyfeirio ond mae  yn cydgyfeirio. Yn gyffredinol, ar gyfer unrhyw go iawn , mae  yn cydgyfeirio.

Roedd y paradocs ymddangosiadol hyn yn rhan o ddadl ynglŷn â natur anfeidredd, a oedd yn cynnwys nifer o feddylwyr allweddol yr oes gan gynnwys Thomas Hobbes, John Wallis a Galileo Galilei.

 Paradocs y paentiwr 
Oherwydd fod gan y corn gyfaint meidraidd ond arwynebedd anfeidraidd, mae yna'r paradocs canlynol: gallai'r corn gael ei lenwi â swm meidraidd o baent ac eto ni fyddai'r paent hwnnw'n ddigonol i orchuddio ei arwyneb mewnol. Datrysir y paradocs trwy sylweddoli y gall swm meidraidd o baent orchuddio arwynebedd anfeidrol - yn syml mae angen iddo deneuo ar gyfradd ddigon cyflym. Yn yr achos lle mae'r corn wedi'i lenwi â phaent, cyflawnir y teneuo hwn gan y gostyngiad cynyddol mewn diamedr gwddf y corn.

 Gwrthdro 
Mae gwrthwyneb i gorn Gabriel yn amhosib - ni ellir creu arwyneb chwyldro sydd ag arwynebedd meidraidd ond cyfaint anfeidraidd.

 Cyfeiriadau 

Categori:Arwynebau
Categori:Calcwlws