Prawf drwy wrthddywediad

Mae prawf trwy wrthddywediadgeiriadur.bangor.ac.uk; adalwyd 19 Awst 2018. yn un o'r profion mathemategol a ddefnyddir i brofi (neu wrthbrofi) datganiad mathemategol. Mae'n fath o brawf anuniongyrchol sy'n sefydlu gwirionedd neu ddilysrwydd cynnig. Mae'n dechrau trwy dybio bod y cynnig cyferbyniol (neu groes) yn wir, ac yna'n dangos bod rhagdybiaeth o'r fath yn arwain at wrthddywediad.G. H. Hardy,  A Mathematician's Apology; Cambridge University Press, 1992. .  PDF p.19 .

Yn y prawf hwn, yna os yw rhan o ddatganiad yn wir, mae gwrthddywediad rhesymegol yn digwydd, felly mae'n rhaid i'r datganiad fod yn ffug. Mae enghraifft enwog o brawf trwy wrth-ddweud yn dangos bod  yn rhif anghyfrifol:

Tybwch fod  yn rhif rhesymegol, felly yn ôl diffiniad  lle mae a a b yn gyfanrifau di-sero heb ffactor cyffredin. (Os oes ffactor cyffredin, rhannwch y ddau rifydd a'r enwadur gan y ffactor hwnnw i'w ddileu, a'i ailadrodd nes nad oes ffactor cyffredin yn parhau. Drwy ddull ddisgyniad anfeidraidd (infinite descent), mae'n rhaid i'r broses hon ddod i ben.) Felly, . Mae ail-isradd y ddwy ochr yn cynhyrchu 2b2 = a2. Felly mae  a2 yn eilrif, sy'n awgrymu fod yn rhid i a hefyd fod yn eilrif. Felly mae a = 2c, ble mae c hefyd yn gyfanrif. Mae amnewid i'r hafaliad gwreiddiol yn rhoi 2b2 = (2c)2 = 4c2 ac mae rhannu'r ddwy ochr gyda 2 yn rhoi b2 = 2c2. Ond, yna, drwy ddefnyddio'r un ddadl a chynt, gellir rhannu 2 gyda b2, felly mae'n rhaid fod b yn eilrif. Fodd bynnag, os yw a a b yn eilrifau, yna mae ganddyn nhw ffactor cyffredin, sef 2. Mae hyn yn croes-ddweud ein tybiaeth gwreiddiol, felly mae'n rhaid i ni ddod i'r canlyniad fod  yn rhif anrhesymegol.

Termau
Mae'r gair 'gwrthddywediad' yn deillio o'r gair bob-dydd 'gwrth-ddweud', a gelwir 'prawf drwy wrthddywediad' yn derm reductio ad absurdum, sef y Lladin am "trwy leihau i'r abswrd".S. M. Cohen, "Introduction to Logic", Chapter 5 "proof by contradiction ... Also called indirect proof or reductio ad absurdum ..."

Cyfeiriadau

Categori:Profion mathemategol
Categori:Rhesymeg