Sffêr

Mae sffêr (enw gwrywaidd; o'r Groeg σφαῖρα - sphaira, "pelen") yn wrthrych geometrig perffaith mewn gofod tri dimensiwn; dyma wyneb pêl cwbwl gron sy'n cyfateb yn nhermau dau ddimensiwn i gylch.σφαῖρα, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus

Fel cylch mewn gofod dau ddimensiwn, diffinnir sffêr yn fathemategol fel y set o bwyntiau sydd i gyd ar yr un pellter  o bwynt penodol, ond mewn man tri dimensiwn. Y pellter  yw radiws y bêl, sydd wedi'i ffurfio o bob pwynt gyda pellter llai na  o'r pwynt a roddir, sef canolbwynt / canol y bêl fathemategol. Cyfeirir at y rhain hefyd fel "y radiws" a "chanol y cylch". Mae'r linell syth hiraf drwy'r bêl, sy'n cysylltu dwy bwynt y sffêr, yn mynd trwy'r canol gyda'i hyd, felly, ddwywaith y radiws; dyma "ddiamedr" y sffêr a'i bêl.

Ar y cae pêl-droed a mannau eraill y tu allan i fyd mathemateg, caiff y ddau air 'sffêr' a 'phêl eu cyfnewid a'u camddefnyddio'n aml. O fewn mathemateg, perchir y gwahaniaeth, lle mae sffêr yn arwyneb caeedig dau ddimensiwn, wedi'i fewnosod mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn, ac ar y llaw arall, mae'r bêl yn siâp tri dimensiwn sy'n cynnwys y sffêr a phopeth y tu mewn i'r sffêr (pêl caeedig), neu, yn amlach, dim ond y pwyntiau y tu mewn, ond nid ar y sffêr (pêl agored). Nid yw'r gwahaniaeth hwn bob amser wedi'i gynnal, yn enwedig mae hen gyfeiriadau mathemategol lle ddisgrifir sffêr yn wrthrych solat. Mae hyn yn debyg i'r sefyllfa yn y plân, lle mae'r termau "cylch" a "disg" hefyd cael eu camddefnyddio.

Hafaliadau yn y gofod tri dimensiwn 
dde|bawd|Dau radiws sffêr

Mewn geometreg dadansoddol, mae sffêr sydd a'i ganol  a'i radiws   yn locws i holl bwyntiau  ,  fel bod

Gadewch i  fod yn rhifau real, gyda , a rhowch

yna, nid oes gan yr hafaliad

unrhyw bwyntiau real fel datrysiadau os , ac fe'i gelwir yn "sffêr dychmygol".

Os  yna'r unig ddatrysiad o  yw'r pwynt  a dywedir bod yr hafaliad yn "hafaliad y sffêr pwynt". Yn olaf, yn achos , yna  yw hafaliad y sffêr sydd a'i ganol yn  a'i radiws yn .

Os yw  yn yr hafaliad uchod yn sero, yna  yw hafaliad y plân. Felly, gellir ystyried plân yn fath o sffêr gyda radiws anfeidraidd, sydd a'i ganolbwynt yn "bwynt anfeidraidd" (point at infinity).

Gellir rhoi pwyntiau sffêr gyda radiws  a'i ganol  ar baramedr, drwy:

Mae sffêr gyda'i radiws wedi'i ganoli ar sero yn arwyneb integrol o'r ffurf wahaniaethol ganlynol:

Mae'r hafaliad hwn yn adlewyrchu safle a fectorau cyflymder pwynt,  a , sy'n teithio ar y sffêr, ac sydd bob amser yn orthogonol i'w gilydd.

Cyfaint mewnol
bawd|Sffêr (mewn coch), gyda'i silindr amgylchol (mewn glas golau).

Mewn gofod tri dimensiwn, mae cyfaint oddi mewn i sffêr (sef cyfaint pêl) yn:

lle mae  yn radiws y sffêr. Archimedes a luniodd y fformiwla hon yn gyntaf, gan fynegi fod y cyfaint y tu mewn i sffêr ddwywaith y gwahaniaeth cyfaint y sffêr a chyfaint y silindr sy'n ei amgylchynu.

Yn fyr, gellir canfod fformiwla ei gyfaint drwy ddefnyddio cyfesurynnau sfferig, gydag elfennau'r cyfaint yn

fel bod


Yn ymarferol, ac fel brasamcan, mae cyfaint mewnol sffêr yn 52.4% o gyfaint y ciwb, gan fod  , ble  yw diamedr y sffêr a hyd ochr y ciwb a  ≈ 0.5236. Er enghraifft, mae gan sffêr gyda diamedr o 1 fetr 52.4% o gyfaint y ciwb sydd a hyd ei ymylon yn 1 fetr, neu tua 0.524 m3.

Arwynebedd
Arwynebedd sffêr gyda'i radiws yn  yw:

Cyfeiriadau

Categori:Arwynebau
Categori:Geometreg Euclidaidd
Categori:Siapau elfennol
Categori:Strwythur
Categori:Topoleg