Pŵer perffaith

Mewn mathemateg, cyfanrif positif yw pŵer perffaith a ellir ei fynegi fel pŵer cyfanrif o gyfanrif positif arall. Yn fwy ffurfiol fyth: n yw'r pŵer perffaith os oes rhifau naturiol m > 1, a k > 1 yn bodoli, fel bod mk = n. Yn yr achos yma, gellir galw n y kfed pŵer perffaith. Os yw k = 2 neu k = 3, yna gelwir n y "sgwâr perffaith" neu'r "ciwb perffaith", yn y drefn honno. Weithiau, caiff 1 ei ystyried yn bŵer perffaith (1k = 1 am bob k).

 Enghreifftiau 
Gellir cynhyrchu cyfres o bwerau perffaith drwy adrifo (neu ailadrodd) y gwerthoedd ar gyfer m a k. Y pwerau perffaith cyntaf, gan ddangos pwerau dyblyg, yw : 


Cyfanswm cilyddion (reciprocals) y pwerau perffaith, gan gynnwys dyblygiadau megis 34 a 92, yw 1:

a gellir profi hyn fel a ganlyn:

Y pwerau perffaith cyntaf heb ddyblygiadau yw:
(weithiau 0 a 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... 

Cyfanswm cilyddion y pwerau perffaith p, heb ddyblygiadau yw:

lle dynodir μ(k) fel ffwythiant Möbius a ζ(k) fel ffwythiant Riemann zeta.

Yn ôl Euler, dangosodd Goldbach mewn llythyr sydd bellach ar goll fod cyfanswm   dros y set o bwerau perffaith p, heb gynnwys 1 na'r dyblygiadau, yw 1:

Gelwir hyn, fel arfer, yn "theorem Goldbach–Euler".

Cyfeiriadau



Categori:Damcaniaethau rhif
Categori:Dilyniannau o gyfanrifau