Theorem Bayes-Price

O fewn damcaniaeth tebygolrwydd ac o fewn ystadegau, mae theorem Bayes-Price (a elwir hefyd yn gyfraith Bayes-Price; ond tan yn ddiweddar, fel Theorem Bayes) yn disgrifio tebygolrwydd rhyw ddigwyddiad, yn seiliedig ar wybodaeth flaenorol o amodau a allai fod yn gysylltiedig â'r digwyddiad. Er enghraifft, os yw canser yn gysylltiedig ag oedran, yna, gan ddefnyddio theorem Bayes, gellir defnyddio oed unigolyn i asesu'n fwy cywir y tebygolrwydd bod ganddynt ganser, o'i gymharu ag asesu tebygolrwydd canser heb wybodaeth am oedran yr unigolyn.

Un o nifer o gymwysiadau theorem Bayes yw anwythiad Bayesaidd, sy'n fath o anwythiad ystadegol. Pan gaiff ei gymhwyso, gall y tebygolrwydd sy'n gysylltiedig â theori Bayes gael dehongliadau tebygolrwydd gwahanol. Gyda'r gwahanol ddehongliad hyn, mae'r theorem yn mynegi sut y dylai meddylfryd goddrychol newid i adlewyrchu'r dystiolaeth gysylltiedig. Mae anwythiad Bayesaidd yn hanfodol i'r ystadegydd Bayesaidd.

Galwyd y theorem ar ôl y Parchedig Thomas Bayes (1701-1761), y gŵr cyntaf i ddarparu hafaliad sy'n caniatáu tystiolaeth newydd i ddiweddaru credoau. Ar ei farwolaeth gadawyd ei bapurau heb eu cyhoeddi. Ei gyfaill Price a wahoddwyd i roi trefn arnynt a chymerodd ddwy flynedd i wneud hynny. Gwnaeth hynny mewn traethawd o'r enw An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances ychydig wedi iddo draddodi darlith ar yr hyn roedd wedi'i ddarganfod o flaen y Gymdeithas Frenhinol ar 23 Rhagfyr 1763. Richard Price o Langeinwyr felly a gyflwynodd Bayes i'r Byd, wrth iddo fynd drwy bapurau Bayes, wedi'i angladd.McGrayne, Sharon Bertsch. (2011).  

Datblygwyd y cysyniadau hyn ymhellach gan Pierre-Simon Laplace, a gyhoeddodd y fformiwlâu am y tro cyntaf yn ei waith "Théorie analytique des probabilités" (1812). Rhoddodd Syr Harold Jeffreys algorithm Bayes a gwaith Laplace ar ffurf wirebol (acsiomatig). Ysgrifennodd Jeffreys "fod theorem Bayes i theori tebygolrwydd yr hyn yw theorem Pythagoras i geometreg"."Bayes' theorem "is to the theory of probability what the Pythagorean theorem is to geometry".

Datganiad o'r theorem
Gellir datgan y theorem Bayesaidd, mewn hafaliad, fel:

ble mae  a  yn ddigwyddiadau (mathemategol) a .

  yw'r tebygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad  ddigwydd, gan fod  yn gywir.
 mae  hefyd yn debygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad  ddigwydd, gan fod  yn gywir.
  a  yw'r tebygolrwydd o arsylwi  a  yn annibynnol o'i gilydd; gelwir hyn yn "debygolrwydd amodol".

Enghraifft
Tybiwch fod prawf ar gyfer defnyddio cyffur penodol yn 99% sensitif a 99% yn benodol. Hynny yw, bydd y prawf yn cynhyrchu 99% o ganlyniadau cadarnhaol gwirioneddol i ddefnyddwyr cyffuriau a 99% gwirioneddol negyddol ar gyfer defnyddwyr nad ydynt ar gyffuriau. Tybiwch eto fod 0.5% o bobl yn defnyddio'r cyffuriau dan sylw. Beth yw'r tebygolrwydd bod unigolyn a ddewiswyd ar hap gyda phrawf positif yn ddefnyddiwr cyffuriau?

Hyd yn oed os yw unigolyn yn profi'n bositif, mae'n fwy tebygol nad ydynt yn defnyddio'r cyffur. Mae hyn oherwydd bod nifer y rhai nad ydynt yn ddefnyddwyr yn fawr o'i gymharu â nifer y defnyddwyr. Mae nifer y cadarnhaol anghywir (false positives) yn gorbwyso'r nifer positif gwirioneddol. Er enghraifft, pe profir 1,000 o unigolion yna disgwylir 995 o bobl nad ydynt ar y cyffuriau a 5 defnyddiwr. O'r 995 nad ydynt yn ddefnyddwyr, disgwylir 0.01 × 995 ≃ 10 cadarnhaol anghywir. O'r 5 defnyddiwr, disgwylir 0.99 × 5 ≈ 5 cadarnhaol anghywir. O blith 15 o ganlyniadau positif, dim ond 5 sy'n ddilys.
bawd|Diagram canghennog i egluro'n weledol yr enghraifft a roddir parthed defnyddwyr cyffuriau. Mae U, Ū, "+" and "−" ddigwyddiadau sy'n cynrychioli'r defnyddwyr, y rhai nad ydynt yn ddefnyddwyr, canlyniadau positif a negatif.  events representing user, non-user, positive result and negative result. Cyfrifwyd y canrannau (mewn cromfachau).

Cyfeiriadau

Dolennau allanol

 Tiwtorial i fyfyrwyr ar ystadegaeth a theorem Bayesaidd.

Categori:Ystadegaeth Bayes
Categori:Tebygolrwydd
Categori:Theoremau