Geometreg ddadansoddol

Mewn mathemateg clasurol, mae geometreg ddadansoddol, a elwir hefyd yn geometreg cyfesurynnau neu'n geometreg Cartesaidd, yn astudiaeth o geometreg gan ddefnyddio system o gyfesurynnau. Mae hyn yn gwrthgyferbynnu â geometreg synthetig (neu acsiomatig).

Defnyddir geometreg ddadansoddol yn helaeth mewn ffiseg a pheirianneg, a hefyd ym maes awyrennau ac awyrennu, creigiau, gwyddoniaeth y gofod a meysydd yn ymwneud â golau. Dyma sylfaen y rhan fwyaf o feysydd geometreg modern, gan gynnwys geometreg algebraidd, gwahaniaethol, arwahanol a chyfrifiannol.

Fel arfer mae'r system cyfesurynnau Cartesaidd yn cael ei ddefnyddio i drin hafaliadau ar gyfer planau, llinellau syth a sgwariau, yn aml mewn dau ac weithiau mewn tri dimensiwn. Felly, mewn geometreg, astudir y planau Ewclidaidd (dau ddimensiwn) a gofod Ewclidaidd (tri dimensiwn). Fel y'i dysgir mewn gwerslyfrau, gellir esbonio geometreg ddadansoddol fel maes sy'n diffinio a chynrychioli gwybodaeth sy'n ymwneud â rhifau. Mae'r weithred o ddefnyddio algebra rhifau real i ganfod canlyniadau am gontinwwm llinol geometreg yn dibynnu ar y wireb (acsiom) Cantor-Dedekind.

Cyfesurynnau Cartesaidd

Y system gyfesurynnau fwyaf cyffredin a ddefnyddir yw'r system cyfesurynnau Cartesaidd, lle mae gan bob pwynt gyfesuryn-x sy'n cynrychioli ei leoliad llorweddol, a chyfesuryn-y sy'n cynrychioli ei leoliad fertigol. Fel arfer, ysgrifennir y rhain fel pâr trefnedig (x, y). Gellir defnyddio'r system hon hefyd ar gyfer geometreg tri dimensiwn, lle mae pob pwynt yn y gofod Ewclidaidd yn cael ei gynrychioli gan gyfesurynnau triphlyg (x, y, z).

Cyfesurynnau pegynlinol (yn y plân)
Yma, mae pob pwynt y plân yn cael ei gynrychioli gan ei bellter r o'r tarddiad a'i ongl θ o'r echelin polar.

Yn y cyfesurynnau pegynlinol (polar coordinates) ar y plân Ewclidaidd gellir mynegi hafaliad y linell fel:

ble mae m yn oledd y linell, a b yw'r y-intercept.  Pan fo θ = 0 yna bydd y graff yn anniffiniedig. Gellir ailysgrifennu'r hafaliad i ddileu'r diffygion yn y modd hwn:

Cyfesurynnau silindrog (mewn gofod)
Yn y sytem cyfesurynnau silindrog, mae pob pwynt o fewn y gofod yn cael ei gynrychioli gan ei uchder z, ei radiws r o'r echelin-z a'r ongl θ mae ei dafluniad ar y plân xy yn ei wneud, o ran yr echelin lorweddol.

Cyfesurynnau sfferig (mewn gofod)
Yn y system cyfesurynnau sfferig, mae pob pwynt o fewn y gofod yn cael ei gynrychioli gan ei bellter ρ o'r tarddiad, yr ongl θ mae ei dafluniad ar y plân xy yn ei wneud, o ran yr echelin lorweddol, a'r ongl φ y mae'n ei wneud o ran echelin z. Mae enwau'r onglau yn aml yn cael eu gwrthdroi mewn ffiseg.Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6ed rhifyn, Brooks Cole Cengage Learning. 

Hafaliadau a chromliniau
Mewn geometreg ddadansoddol, mae unrhyw hafaliad sy'n ymwneud â'r cyfesurynnau yn pennu is-set o'r plân, sef yr ateb a osodwyd ar gyfer yr hafaliad, neu'r 'locws'. Er enghraifft, mae'r hafaliad y = x yn cyfateb i'r set o'r holl bwyntiau ar y plân lle mae ei cyfesurynnau-x a chyfesurynnau-y yn hafal. Mae'r pwyntiau hyn yn ffurfio llinell, a dywedir mai y = x yw'r hafaliad ar gyfer y linell hon.

Fel arfer mae hafaliad unigol yn cyfateb i gromlin ar y plân, ond nid o hyd! Mae'r hafaliad distadl (trivial equation) x = x yn nodi'r plân cyfan, ac mae'r hafaliad x2 + y2 = 0 yn pennu'r pwynt (0, 0) yn unig. Mewn tri dimensiwn, mae un hafaliad (yn unig), fel arfer, yn rhoi arwyneb, a dylid pennu'r cromlin fel croestoriad rhwng dau arwyneb,  neu fel system o hafaliadau parametrig.William H. McCrea, Analytic Geometry of Three Dimensions (Courier Dover Publications, 2012) Yr hafaliad x2 + y2 = r2 yw'r hafaliad ar gyfer unrhyw gylch a ganolir ar y tarddiad (0, 0) gyda radiws r.

Cyfeiriadau

Categori:Geometreg ddadansoddol