Homeomorffedd

O fewn un o feysydd mathemateg, sef topoleg, mae homeomorffedd neu isomorffedd topolegol yn ffwythiant di-dor rhwng gofod topolegol sydd a ffwythiant gwrthdro di-dor. Mae homeomorffedd yn isomorffiadau sy'n ymwneud â gofod, h.y. maent yn fap mathemategol (math o ffwythiant) o ofod.

Mae unrhyw ddau ofod gyda homeomorffedd rhyngddynt yn cael eu galw'r homeomorffig, ac o berspectif topoleg, maen nhw yr un fath. Gair cyfansawdd, groegaidd yw homeomorffedd: ὅμοιος (homoios) = "tebyg neu'r un fath" a μορφή (morphē) = "siâp neu ffurf" ac fe'i bathwyd gan Henri Poincaré yn 1895.

Yn gyffredinol, mae gofod topolegol yn wrthrych geometrig, ac mae'r homeomorffedd yn ymestyn neu'n blygiad di-dor y gwrthrych nes ei fod yn siâp newydd. Felly, mae sgwâr a chylch yn homeomorffig i'w gilydd, ond nid yw sffêr a torsws (sef gwrthrych tebyg i doesen). Fodd bynnag, gall y disgrifiad hwn fod yn gamarweiniol; nid yw rhai anffurfiadau di-dor yn homeomorffig, megis anffurfiad llinell i mewn i bwynt. Nid yw rhai homeomorffeddau yn anffurfiadau di-dor ychwaith, e.e. yr homeomorffedd rhwng cwlwm treffoil a chylch.
bawd|Mae'r cwlwm treffoil yn homeomorffig i'r torws, ond nid isotopig yn R3.

Diffiniad
Gelwir y ffwythiant  rhwng dau ofod topolegol  a  yn homeomorffedd os oes ganddo'r nodweddion hyn:

 mae  yn bijection (yn ffwythiant mewnsaethol ac yn ffwythiant arsaethol),
 mae  yn barhaus,
 mae'r ffwythiant gwrthdro (inverse function)  yn barhaus (lle mae  yn fap agored).

Gelwir y ffwythiant lle ceir y tair nodwedd yma yn bicontinuous. Os yw'r ffwythiant yn bodoli dywedir bod  a  yn "homeomorffig".

Enghreifftiau
Mae'r cyfwng  yn homeomorffig i'r rhifau real  am unrhyw . Yn yr achos hwn, mae'r mapio di-dor yn cael ei roi gan , a rhoddir mapiau gwahanol drwy newid graddfa a thrawsfudo fersiynau o'r ffwythiannau  neu .
Mae'r uned 2-ddisg  a'r uned sgwâr yn R2 yn homeomorffig; gan y gellir i anffurfio yn uned sgwâr. Enghraifft o fapio di-dor o'r sgwâr i'r ddisg yw (mewn cyfesutynnau polar) .

Cyfeiriadau

Categori:Gwrthrychau mathemategol
Categori:Cysyniadau mathemategol
Categori:Topoleg