System gyfesurynnau

System sy'n defnyddio un neu fwy o rifau (neu gyfesurynnau) i ddynodi lleoliad pwynt neu elfen geometreg arall yw system gyfesurynnau. Caiff ei defnyddio o fewn mathemateg a daearyddiaeth.
de|bawd|300x300px| Defnyddir y system gyfesurynnau sfferig yn gyffredin mewn ffiseg. Mae'n aseinio tri rhif (a elwir yn gyfesurynnau) i bob pwynt mewn gofod Ewclidaidd: pellter rheiddiol r, ongl begynol θ (theta), ac ongl asimwthol φ (phi). Defnyddir y symbol ρ (rho) yn aml yn lle r .

Mae sawl math o systemau gyfesurynnol yn bodoli. Yn ymarferol, mae dewis un system dros system gyfatebol arall yn dibynnu ar ba ddefnydd a wneir ohono. Mae'r erthygl hon yn ymdrin â'r systemau mwyaf cyffredin ac ymarferol.


 Cyfesurynnau Cartesaidd 

Mae system cyfesurynnau Cartesaidd yn enghraifft sylfaenol o system gyfesurynnol. Sail y system yw casglaid, wedi'i drefnu, o linellau sy'n berpendicwlar i'w gilydd. Gelwir y fath system yn system iawnonglog (orthogonal) am bod pob pâr o echelinau yn ffurfio ongl 90° i'w gilydd. Cyfesurynnau pwynt yw rhestr o rifau real yn nhrefn yr echelinau..

 Un dimensiwn 
Mewn un dimensiwn, y linell rifau (real) yw'r unig echelin. Dewisir y tarddiad yn fympwyol. Cyfesuryn pwynt yw'r pellter (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r tardd.

chwith|bawd|400px|Y linell rifau real

 Sawl dimensiwn 
Enghraifft dda o gyfesurynnau sawl dimensiwn yw system gyfesurynnol Cartesaidd. Diffinnir hon gan y dewis o echelinau. Mae'r dewis hwn yn fympwyol (ond gweler isod). Gellir creu sawl system fyddai'n disgrifio'r un gofod, ac yn ogystal gellir olrhain perthynnas rhwng y systemau hyn.
 Mewn dau ddimensiwn (plân 2D), diffinnir system Cartesaidd gan ddau echelin, o'r enw'r echelin X ac echelin Y yn gonfensiynnol.
 Mewn tri ddimensiwn (gofod 3D) mae tri plân perpendicwlar yn diffinio tri echelin: X, Y a Z.
 Yn gyffredinol, mewn gofod Ewclidaidd N dimensiwn mae N echelin sy'n iawnonglog.

Cyfesurynnau pwynt  yw'r pellteroedd mewn unrhyw uned (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r echelinau, yn yr un drefn â'r echelinau. Mae cyfesurynnau felly yn rifau real, ac fe ddynodir y rhifau real gan .

Tardd y system yw'r pwynt ble bo'r echelinau'n croesi. Felly cyfesurynnau'r tardd yw (0, 0), neu'r cyfystyr mewn N dimensiwn.

chwith|bawd|250px|Cyfesurynnau Cartesaidd 2D
dde|bawd|250px|Cyfesurynnau Cartesaidd 3D

 Systemau llaw dde 
Mae dewis un echelin yn effeithio dewis yr echelin nesaf. Mewn dau ddimensiwn mae'r echelin X yn rhedeg o'r chwith i'r dde (h.y. o'r negyddol at y positif) Felly gellir gosod echelin Y iawnonglog i bwyntio naill ai tuag i fyny neu i lawr. Mae'r dewis i bwyntio i fyny yn diffinio system llaw dde, a dyma'r modd safonol o ddifinio gofod Cartesaidd 2D. Am yr un rheswm, mae'r gofod tri dimensiwn a ddengys uchod yn system llaw dde gonfensiynnol.

(Am resymau hanesyddol yn ymwneud â thechnoleg gwreiddiol sgriniau, mae'r system gyfesurynnau a ddefnyddir mewn graffeg cyfrifiaduron yn defnyddio echelin X letraws o'r chwith i'r dde, ond echelin Y sy'n pwyntio tuag i lawr.)

 Cyfesurynnau pegynol 
Mae'r system cyfesurynnau pegynol yn system gyffredin arall a ddefnyddir yn y plân dau ddimensiwn.

Enwir un pwynt yn begwn. Estynnir llinell o'r pegwn i ffurfio'r echelin begynol. Lleolir pwynt  drwy fesur y pellter (gydag arwydd +/-) rhyngddo a'r pegwn, ac ongl wedi mesur yn wrthglocwedd o'r echelin pegynol.

Yn gonfensiynol, mae'r echelin begynol yn llorweddol ac yn ymestyn i'r dde, yn debyg i'r echelin X yn y system Gartesaidd. Dynodir y pellter gan  (am radiws), a'r ongl gan naill ai ,  neu : cyfesurynnau pegynol  felly yw . Mesurir yr ongl mewn graddau neu radianau (neu "rheiddbwyntiau"). Defnyddir onlgau ym myd mordwyo a thirfesur; mae radianau yn fwy cyffredin ym mathemateg a ffiseg er defnyddir onglau yma hefyd.

 chwith|bawd|250px|Dau bwynt pegynnol

Yn y deiagram, O yw'r tardd, a 'r linell ddu drwy OL yw'r echelin begynol.

Yn ôl y disgrifiad, mae modd cynrychioli pwynt mewn amryw o ffyrdd:

am bob rhif cyfan . Os oes angen cynrychioliad diamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i  a'r ongl i'r ystod  gradd neu  radian.

 Cyfesurynnau silindraidd 
Mae cyfesurynnau silindraidd yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu echelin Z, sy'n debyg i echelin Z system Gartesiadd. Mewn system llaw dde, mae'r echelin yn pwyntio tuag i fyny tra bo'r echelin begynol yn lletraws.

Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn , sef 
 y pellter  neu  ar hyd y radiws o'r echelin Z at y pwynt
 yr ongl asimwth  neu  (h.y. yr ongl yn y plân sy'n normal i'r echelin Z ac sy'n cynnwys yr echelin begynol)
 yr uchder  o blân yr echelin begynol

chwith|bawd|250px|Cyfesurynnau Silindraidd

Yn y deiagram, O yw'r tardd, a'r linell drwy OA yw'r echelin begynol. Mae'r echelin Z yn pasio drwy OL

Er mwyn cyfeirio at bwynt yn ddiamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i  a'r ongl i'r ystod  gradd neu  radian. Ni chyfyngir yr uchder (h.y. mae  yn yr ystod .

 Cyfesurynnau sfferigol 
Mae cyfesurynnau sfferigol yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu ail echelin yn iawnochrog i'r un wreiddiol. Felly, enwir un echelin yn echelin asimwth a'r llall yn echelin begynol.

Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn , sef:
 y pellter  neu  o'r pegwn (sy'n diffinio arwyneb sffêr o'r un radiws)
 yr ongl asimwth , debyg i gyfesurynnau silindraidd, a fesurir o'r echelin asimwth
 yr ongl begynol , a fesurir o'r echelin begynol.
(Confensiwn mathemategol yw'r dynodiad yma: ym myd ffiseg dynodir yr asimwth gan  a'r ongl begynol gan . Cedwir at gonfensiwn mathemateg yma.)

chwith|bawd|250px|Pwynt mewn cyfesurynnau sfferigol

Dengys y diagram sut caiff yr onglau eu mesur, sef yr asimwth yn gwrthglocwedd o'r echelin asimwth OX, a'r ongl begynol i lawr o'r echelin begynol OZ.

Mae'r system yma yn gyfarwydd ym myd daearyddiaeth a mapiau. Yn fras, lleolir pwynt ar wyneb y ddaear gan onlgau lledred a hydred, sy'n cyfateb i'r onglau asimwth a phegynol yn y system sfferigol. Mae'r hafaliadau  yn diffinio cylch nawnlin (meridian); mae  yn diffinio cylch cyhydedd. Wrth gwrs, nid sffêr berffaith mo'r ddaear, ac fe ddefnyddir amcangyfrifiadau i gynrychioli pwyntiau "go iawn". Ceir mwy ar y testun isod.

 Trawsnewidiadau ymysg systemau 
Soniwyd uchod nad oes cynrychioliad unigryw o ofod geometrig, h.y. gellir cynrychioli'r un gofod drwy ddwy system wahanol o gyfesurynnau. Mae dulliau trawsnewid ymysg systemau yn galluogi rhywun i fynegi pwynt (neu elfen geometrig)
 mewn dwy system debyg, e.e. dwy system Gartesaidd dau ddimensiwn,
 mewn systemau gwahanol, e.e. system Gartesaidd a phegynol,
drwy ddefnyddio fformwlâu cyfnewid. Gellir olrhain y fformwlâu yn unionsyth o'r diffiniadau uchod.

 Ymysg systemau petryalog 
Defnyddir nodiant fector a matrics yn y canlynol.

Pan ysgrifennwyd cyfesurynnau pwynt  yn flaenorol, rhagdybiwyd bod tair echelin iawnochrog yn bodoli. Gellir ail-ysgrifennu'r cyfesurynnau felly yn nhermau fectorau uned sy'n dynodi cyfeiriad yr echelinau. Yn gonfensiynnol, dynodir y fectorau ar hyd echelinau X, Y a Z gan .

Yna mae'r fector

yn y sytem yma.

Gelwir y triawd  yn sylfaen (basis) i'r system gyfesurynnau. Felly, pe bai dwy system betryalog o'r un dimensiwn yn rhannu tardd, gellir dangos bod y broses o drawsnewid systemau yn gyfystyr â thrawsnewid sylfeini .

Ond pe bai'r ddwy dardd yn wahanol, mae angen ychwanegu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Felly gellir newid system gyfesurynnau petryalog drwy'r trawsnewidiadau elfennol canlynol, sydd yn enghraifft o drawsnewidiad affiniol (affine transform)
. Y trawsnewidiadau yw:
 trawsfudiad, sy'n symud pwynt drwy rhyw faint benodedig yng ngyfeiriad X ac Y
mewn dau ddimensiwn, 
 cylchdroad, sy'n troi pwynt drwy rhyw ongl benodedig o amgylch y tardd. Mae cylchdroad wrthglocwedd drwy  yn dilyn

 newid graddfa yng ngyfeiriadau X ac Y

Gellir cynrychioli pob trawsnewidiad o'r math yma gan fatrics. Drwy ategu cyfesurun atodiadol at bwynt dau ddimensiwn, gellir creu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Dyma enghraifft o symud o system  i system . Drwy wneud y diffiniadau canlynnol, gellir cyfrifo matrics trawsneewid drwy luosi cadwyn o fatricsau elfennol.
symud o dardd  i dardd cyffredin: 

newid graddfa  fel y ddangoswyd uchod, gyda 
 ar y ddau echelin
cylchdroad  drwy'r ongl rhwng echelin X system  ac echelin X system , fel y ddangoswyd uchod
symud o'r tardd cyffredin i dardd :

Ceir y matrics terfynol drwy lluosi y rhain:

 Rhwng systemau gwahanol 

Dengys y tabl y berthynas rhwng systemau petryalog a systemau pegynol.

 System  Petryalog  Pegynol Pegynol  
   Silindraidd 
    Sfferigol 


Gweler hefyd
 Cyfesurynnau map
 Geometreg gyfesurynnol
 Cyfesurynnau Cartesaidd petrualog (Rectangular Cartesian Co-ordinates)
 Rhif cyd-drefnol (Co-ordination number)

 Cyfeiriadau 

Categori:Geometreg