Anhafaledd Cauchy-Schwarz

Mewn mathemateg, anhafaledd sy'n ddefnyddiol mewn sawl sefyllfa wahanol yw anhafaledd Cauchy–Schwarz, (hefyd anhafaledd Schwarz, Anhafaledd Cauchy, neu Anhafaledd Cauchy–Bunyakovski–Schwarz).

Cynrychiolir yr anhafaledd yn gryno fel a ganlyn: 

Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os, y mae

Ffordd arall o fynegi hyn yw dweud bod

ar gyfer unrhyw elfennau x ac y o ofod lluoswm mewnol real neu gymhlyg. Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os mae x ac y yn llinol-dibynnol (neu, o feddwl yn geometraidd, yn gyfochrog).

Mae'r anhafaledd felly'n darparu cysyniad o'r "ongl rhwng dau fector" i ofod lluoswm mewnol, lle nad yw geometreg Ewclidaidd yn gwneud synnwyr o reidrwydd. Mae felly'n cyfiawnhau meddwl am ofodau lluoswm mewnol fel cyffredinoliad o ofod Ewclidaidd.

Canlyniad pwysig anhafaledd Cauchy–Schwarz yw'r ffaith fod lluoswm mewnol yn ffwythiant di-dor.

Rhoddir ffurf arall o'r anhafaledd gan ddefnyddio nodiant norm: 


Profwyd fersiwn meidraidd-ddimensiynol yr anhafaledd hwn ar gyfer fectorau real gan Cauchy yn 1821, ac yn 1859 profodd V.Ya.Bunyakovsky ei fod yn bosib canfod ffurf integraidd o anhafaledd Cauchy. Profwyd y canlyniad cyffredinol ar gyfer gofod lluoswm mewnol gan K.H.A.Schwarz ym 1885.

Prawf

Gan fod yn amlwg fod yr anhafaledd yn wir pan mae y = 0, fe gawn gymryd fod <y, y> yn an-sero. Gadewch i  fod yn rhif cymhlyg. Yna mae

Gan ddewis

gwelwn fod

sy'n wir os, a dim ond os y mae

hynny yw:

Sef anhafaledd Cauchy-Schwarz.

Achosion arbennig nodedig

 Rn 

Mewn gofod Ewclidaidd Rn, gyda'r lluoswm mewnol arferol, dyma anhafaledd Cauchy-Schwarz:

 L2 

Yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau sqwâr-integraidd â gwerthoedd cymhlyg, mae gennym fod:

Mae anhafaledd Hölder yn gyffredinoliad o hyn.

 Defnydd 
Fe'i defnyddir yn aml i brofi'r anhafeledd triongl ar gyfer y lluoswm mewnol: cymerwch fectorau x ac y,
{|
| || 
|-
| || 
|-
| || 
|-
| || 
|-
| || 
|}

Mae cymryd ail-israddau'n rhoi'r anhafaledd triongl.

Gellir defnyddion anhafaledd Cauchy–Schwarz wrth brofi anhafaledd Bessel.

Deillir ffurf cyffredinol egwyddor ansicrwydd Heisenberg trwy ddefnyddioanhafaledd Cauchy-Schwarz inequality yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau ton ffisegol.

 Cyffredinoliadau 

Mae yna sawl cyffredinoliad posib o anhafaledd Cauchy-Schwarz yng nghyd-destyn haniaeth gweithredyddion.

Categori:Algebra llinol
Cauchy-Schwarz