Di-dorredd unffurf

Mewn dadansoddi mathemategol, priodwedd o ffwythiannau yw di-dorredd unffurf. Yn fras, dywedwn fod ffwythiant yn ddi-dor unffurf os mae newid bach yn y mewnbwn x yn creu newid bach yn unig yn yr allbwn f(x)(di-dorredd), ac fod maint y newid yn unffurf, h.y. ei fod yn dibynnu ar y newid mewn x yn unig, ac nid ar werth x ei hun.

Mae di-dorredd unffurf yn briodwedd eang, yn wahanol i'r cysyniad arferol o ddi-doredd sy'n briodwedd lleol. Os yw ffwythiant yn ddi-dor at bob pwynt mewn cyfyng, yna mae'n ddi-dor ar y cyfwng; ond nid yw o reidrwydd yn ddi-dor unffurf arno.

Diffiniad
Os yw  ac  yn ofodau metrig, , ac , yna mae ffwythiant  yn ddi-dor unffurf os:
I bob rhif real , mae yna  sy'n bodloni  ar gyfer pob  gyda .

Os yw  ac  yn is-setiau o'r rhifau real, gallwn gymryd mai'r norm Ewclidaidd arferol yw  a , gan roi'r diffiniad canlynol o ddi-dorredd unffurf:
 Ar gyfer pob , mae yna  fel fod  yn ymhlygu .

Priodweddau
Mae pob ffwythiant di-dor unffurf yn ddi-dor, ond nid yw pob ffwythiant di-dor yn unffurf. Ystyriwch, er enghraifft, y ffwythiant f(x) = 1/x gyda'r rhifau real positif yn barth iddo (h.y., mae x > 0). Mae'r ffwythiant hwn yn ddi-dor, ond nid yn ddi-dor unffurf, gan fod y newid mewn f(x) yn ddi-derfyn wrth i x agosau at 0.

Os yw  M yn ofod metrig cryno, yna mae pob ffwythiant o M i N yn ddi-dor unffurf. Yn benodol, os yw ffwythiant yn ddi-dor at bob pwynt mewn cyfyng caëdig, yna mae'n ddi-dor unffurf ar y cyfwng.

Mae pob ffwythiant di-dor Lipschitz yn ddi-dor unffurf.

Os yw (xn) yn ddilyniant Cauchy, ac f yn ddi-dor unffurf, yna mae f(xn) hefyd yn ddilyniant Cauchy.

Categori:Dadansoddi