Differu

dde|210px|bawd|Mae'r cord (glas) yn fras amcan o'r tangiad ar y pwynt (x, f(x)).
Mesuriad o sut mae ffwythiant mathemategol yn newid wrth i'r mewnbynnau newid yw differu. Mae'n rhan o gangen calcwlws o fathemateg.

 Diffiniad 
Cyn i Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz ddarganfod calcwlws yn y 1670au, fe wyddid eisoes fod graddiant y llinell syth, y = mx + c, yn hafal i newid mewn y wedi ei rannu gan newid mewn x; Δy/Δx = m. Fe wyddid hefyd fod graddiant cromlin ar ryw bwynt yn hafal i raddiant y tangiad ar y pwynt hwnnw. Ond nid oedd ffordd gydlynol o ganfod graddiant cromliniau ac felly ni allai gwyddonwyr astudio cyfraddau anghyson yn hawdd. Ysgogodd y broblem hon ddatblygiad calcwlws.

Nid dim ond y sy'n ffwythiant o x, mae graddiant y gromlin y = f(x) yn ffwythiant o x hefyd gan nad ydyw'n gyson. Y differiad yw'r ffwythiant hwn. Ystyriwch ddau bwynt sy'n agos iawn at ei gilydd ar y gromlin: (x,y) ac (x + Δx, y + Δy). Po leiaf yw Δx (ac felly Δy), yr agosaf y mae Δy/Δx at y graddiant ar y pwynt (x,y), a phan fo Δx yn agosáu at 0, mae Δy/Δx yn agosáu at derfyn sy'n hafal i raddiant y gromlin ar y pwynt (x,y). Y differiad yw'r terfyn (lim) hwn ac fel arfer fe ddefnyddir y nodiant dy/dx i'w symboleiddio:

Gan fod y = f(x), gellir canfod ffwythiant y graddiant f '(x), y differiad, drwy ddefnyddio algebra:

Enghraifft
Wrth ddiferu'r ffwythiant, , ceir:

Hynny yw, wrth i Δx agosáu at 0, mae (2x + Δx) yn agosáu at derfyn o 2x. Felly fe gasglwn fod y graddiant ar unrhyw bwynt ar y gromlin f(x) = x2 yn hafal i 2 wedi'i luosi â chyfeirnod x y pwynt hwnnw. Er enghraifft y graddiant ar y pwynt (4,16) yw f '(4) = 2 × 4 = 8.

 Differiadau cyffredin 
Ffwythiannau cyffredin
Isod gweler rhestr o ddifferiadau'r ffwythiannau a ddefnyddir fynychaf mewn calcwlws:

Rheolau cyffredinol
Mae hefyd ar gael reolau cyffredinol er mwyn hwyluso'r broses o gyfrifo differiadau cymhleth:
Rheol adio:

Rheol lluosi:

Rheol cadwyn:

 Nodiant 

 Dolenni allanol 
 Cyfrifiannell Ffwythiant WIMS sy'n cyfrifo'r difer ar-lein; mae'r meddalwedd yn galluogi ymarferion rhyngweithiol.
 Cyfrifiannell gwahaniaethu.
 Cyfrifiannell Differu ar-lein.
 "Mathematical Assistant on Web" Cyfrifiannell Differu ar-lein, gan gynnwys eglurhad o'r ateb.
 Proving Derivatives from First Principles.
 Practice finding derivatives of randomly generated functions

Categori:Calcwlws