Ffwythiant cyfri rhifau cysefin

Mewn mathemateg, y ffwythiant cyfri rhifau cysefin yw'r ffwythiant sy'n rhoi nifer y rhifau cysefin sy'n llai na neu'n hafal â rhyw rif real x. Fe'i dynodir gan  (noder nad yw hyn yn cyfeirio i'r rhif π).

bawd|dde|60 gwerth cyntaf π(n)

Hanes

Mae cyfradd tyfiant y ffwythiant yn ddiddorol iawn yng nghyd-destyn haniaeth rhifau. Cynosododd Gauss a Legendre yn yr 18g fod y cyfradd oddeutu

neu, a bod yn fanwl gywir, fod

Dyma yw'r theorem rhifau cysefin.

Algorithmau i ganfod π(x)

Ffordd syml o ganfod , os nad yw  yn rhy fawr, yw defnyddio gogr Eratosthenes i gynhyrchu'r rhifau cysefin sy'n llai na neu'n hafal ag , ac yna'u cyfri.

Ddaw ddull coethach o ganfod  o du Legendre: cymerwn , os yw , , …,  yn rhifau cysefin an-hafal, yna

yw nifer y cyfanrifau sy'n llai nag  a heb fod yn rhanadwy ag unrhyw  (dynoda  y ffwythiant llawr). Mae'r rhif hwn felly'n hafal â

lle mai  yw'r rhifau cysefin sy'n llai nau neu'n hafal ag ail isradd .

Mewn cyfres o erthyglau a gyhoeddwyd rhwng 1870 a 1885, disgrifiodd Ernst Meissel dull cyfuniadol ymarferol o ganfod . Cymerwn mai , , …,  yw'r  rhif cysefin cyntaf, a dynodwn gyda  nifer y rhifau naturiol sy'n llai na neu'n hafal ag  nad ydynt yn rhanadwy ag unrhyw . Yna mae

Cymerwn rif naturiol : os mae  a , yna mae

Estynnwyd a symleiddwyd y dull hwn gan Derrick Henry Lehmer ym 1959. Diffiniwn, am  real ac  a  naturiol,   yn nifer y rhifau msy'n llai na neu'n hafal ag n gyda'n union k o ffactorau cysefin, pob un yn fwy na . Ymhellach, gosodwn . Yna mae

lle dim ond nifer meidraidd o dermau an-sero sydd gan y swm. Gadewn i  ddynodi cyfanrif sy'n bodlonni , and gosod . Yna mae  a  pan mae  ≥ 3. Felly mae

Gellir cyfrifo  fel a ganlyn:

Yn ogystal, gellir cyfrifo  gyda'r rheolau canlynol:

Anhafaleddau
Mae'r canlynol yn anhafaleddau defnyddiol ar gyfer π(x).

 ar gyfer x ≥ 17.

 ar gyfer x > 1.

 ar gyfer x ≥ 55.

Mae'r canlynol yn anhafaleddau ar gyfer yr nfed rhif cysefin, pn.
 ar gyfer n ≥ 6.
Mae'n anhafaledd ar y chwith yn ddilys ar gyfer n ≥ 1 a'r un ar y dde ar gyfer n ≥ 6.

Mae

yn frasamcan ar gyfer yr nfed rhif cysefin.

Categori:Haniaeth rhifau
Categori:Rhifau cysefin