Dadansoddiad cymhlyg

.
Mae arlliw yn cynrychioli'r ymresymiad a disgleirdeb yn cynrychioli maint.
Cangen o fathemateg yw dadansoddiad cymhlyg, a gaiff ei hadnabod fel "damcaniaeth ffwythiannau y newidyn cymhlyg". Mae'n ymwneud â'r astudiaeth o ffwythiannau rhifau cymhlyg. Mae'n ddefnyddiol o fewn sawl maes, gan gynnwys: geometreg algebraidd, damcaniaeth rhifau, combinatorics dadansoddol, a mathemateg gymhwysol ac oddi fewn i ffiseg: hydrodynameg, thermodynameg a mecaneg cwantwm. Caiff hefyd ei hymestyn i feysydd peirianneg e.e. ffiseg niwclear, peiranneg awyrennau a gofod ac electroneg.

Mae ffwythiant differadwy newidyn cymhlyg yn hafal i gyfanswm ei gyfres Taylor (h.y. mae'n ddadansoddol); gan hynny, mae'n ymwneud â ffwythiannau holomorffig.

 Ffwythiannau cymhlyg 
Ffwythiant cymhlyg ydy'r ffwythiant hwnnw lle mae ei barth a'i amrediad yn is-setiau o'r plân cymhlyg. Gellir mynegi hyn hefyd, drwy ddweud bod y newidyn annibynnol a'r newidyn dibynnol ill dau yn rhifau cymhlyg.

I fod yn fanwl gywir, mae'n ffwythiant o is-set o'r plân cymhlyg i'r rhifau cynhlyg.

Mewn unrhyw ffwythiant cymhlyg, gellir gwahanu'r newidynnau dibynnol ac annibynnol yn rhannau real a dychmygol:

  ac
 ,
 lle mae 

Mae'n dilyn y gallem ddehongli cydrannau'r ffwythiant,

  ac
 ,

fel ffwythiannau real o dau newidyn real,  ac .

Defnyddir estyniad o ffwythiannau real (esbonyddol, logarithmig, trigonometrig) i'r parth cymhlyg yn aml fel cyflwyniad i ddadansoddi cymhlyg.

Felly
Ar gyfer unrhyw ffwythiant cymhlyg, gellir gwahanu gwerthoedd  y parth a'u delweddau  yn yr amrediad i: rannau real a rhannau dychmygol:

  a ,

ble mae  i gyd yn werthoedd real.

Mewn geiriau eraill, mae'r ffwythiant cymhlyg  yn dadelfennu i

  a 

h.y., mae'n dadelfennu i ddau ffwythiant sydd â gwerthoedd-real (, ) o'r ddau newidyn real (, ).

 Ffwythiannau holomorffig  
Dywedir bod ffwythiannau cymhlyg differadwy, ar bob pwynt o is-set agored  o'r plân cymhlyg, yn "holomorffig" ar . Yng nghyd-destun dadansoddi cymhlyg, diffinnir deilliadau  ar  fel:

.

Cyfeiriadau

Llyfryddiaeth
  Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3ydd rhifyn. (McGraw-Hill, 1979).
  Stephen D. Fisher, Complex Variables, ail rifyn. (Dover, 1999).
  Constantin Carathéodory, Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, Efrog Newydd). [2 gyfrol.]
  Peter Henrici , Applied and Computational Complex Analysis (Wiley).  [Tair cyfrol: 1974, 1977, 1986.]
  Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10fed rhifyn., Ch.13-18 (Wiley, 2011).
  Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Tair cyfrol.]
  Jerrold E. Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. 3ydd rhifyn. (Freeman, 1999).
  Tristan Needham, Visual Complex Analysis (Rhydychen, 1997).
  Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3ydd rhifyn. (McGraw-Hill, 1986).
  Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
  Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Caergrawnt, 2006).
  Murray R. Spiegel Theory and Problems of Complex Variables - with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964).
  Stein & Shakarchi, Complex Analysis (Princeton, 2003).
  Ablowitz & Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Caergrawnt, 2003).


Cymhlyg
Categori:Rhifau cymhlyg