Mathemateg

Astudiaeth o niferoedd a rhifau ydy Mathemateg, ynghyd â strwythur, gofod a lle, newid (Calcwlws), a nifer o israniadau eraill. Nid oes iddo ddiffiniad perffaith, safonol, fodd bynnag.

Gellir gweld mathemateg fel estyniad o iaith, ar lafar neu'n ysgrifenedig, gyda geirfa a chystrawen trachywir tu hwnt, ar gyfer disgrifio ac archwilio perthnasedd materol a chysyniadol. Mae hefyd yn ymchwil i batrymau ac mae'n cyrraedd canlyniad ac yn dod i gasgliad drwy brofion mathemategol.

Daw'r gair mathemateg o'r Groeg μάθημα (máthema) sy'n golygu "gwyddoniaeth, gwybodaeth, neu ddysg" a μαθηματικός (mathematicós) sy'n golygu "yn hoff o ddysgu". Yn Lladin a Saesneg hyd at oddeutu 1700, roedd y term yn cyfeirio at "seryddiaeth" a "sêr-ddewiniaeth", ond newid ystyr y gair rhwng 1500 a 1800. Mae hyn wedi achosi peth camgyfieithu e. e. pan rybuddiodd Awstin o Hippo (sef Sant Awgwstin) y dylai Cristnogion fod yn ddrwgdymus o mathematici (seryddwyr) gan nad oedd yn cyfeirio at ystyr fodern o'r gair o gwbwl.

Gellir rhannu mathemateg, yn fras, yn ddwy ran: mathemateg bur a mathemateg gymhwysol (yn cynnwys mecaneg, ystadegaeth a thebygolrwydd).

Rhaid cofio fod mathemateg yn rhan hanfodol o sawl astudiaeth arall e. e. ffiseg, bioleg, cemeg a chaiff ei ystyried yn "flociau adeiladu" hanfodol o fewn y pynciau hyn.

Mae'r rhan fwyaf o weithgaredd mathemategol yn cynnwys darganfod a phrofi priodweddau gwrthrychau haniaethol. Mae'r gwrthrychau hyn naill ai'n haniaethau o natur (fel rhifau naturiol a llinellau), neu, mewn mathemateg fodern, yn endidau haniaethol sy'n cael eu diffinio gan eu priodweddau sylfaenol, o'r enw axiomau. Mae prawf yn cynnwys olyniaeth o gymhwysiadau rhai rheolau i ganlyniadau y gwyddys amdanynt eisoes, gan gynnwys axiomau a rhai priodweddau sylfaenol sy'n cael eu hystyried yn wir fannau cychwynnol. Gelwir canlyniad prawf yn theorem. Yn groes i gyfreithiau ffiseg, fodd bynnag, nid yw dilysrwydd theorem yn dibynnu ar unrhyw arbrofi: dim ond ar gywirdeb yr ymresymu.

Defnyddir mathemateg yn helaeth mewn gwyddoniaeth, ar gyfer modelu ffenomenau. Mae hyn yn caniatáu tynnu rhagfynegiadau meintiol o ddeddfau'r arbrawf. Er enghraifft, gellir rhagweld symudiad y planedau gyda chywirdeb eitha uchel gan ddefnyddio deddf disgyrchiant Newton ynghyd â chyfrifiant mathemategol. Mae annibyniaeth gwirionedd mathemategol o unrhyw arbrawf yn awgrymu bod cywirdeb rhagfynegiadau o'r fath yn dibynnu ar ddigonolrwydd (adequacy) y model ar gyfer disgrifio'r realiti yn unig. Felly, pan fydd rhai rhagfynegiadau anghywir yn codi, mae hyn yn golygu bod yn rhaid gwella neu newid y model, nid bod mathemateg yn anghywir.

Felly mae mathemateg yn hanfodol mewn sawl maes, gan gynnwys gwyddoniaeth naturiol, peirianneg, meddygaeth, cyllid, gwyddoniaeth gyfrifiadurol a gwyddorau cymdeithasol. Mae rhai meysydd mathemateg, megis ystadegau a theori gêm, yn cael eu datblygu mewn perthynas uniongyrchol â'u cymwysiadau, ac yn aml maent wedi'u grwpio o dan yr enw "mathemateg gymhwysol". Datblygwyd meysydd mathemategol eraill yn annibynnol ar unrhyw gymhwysiad (ee mathemateg bur), ond yn aml darganfyddir cymwysiadau ymarferol yn nes ymlaen. Enghraifft ryfeddol yw'r broblem o ffactorio cyfanrif (integer factorization) sy'n mynd yn ôl i Euclid, nad oedd ganddo unrhyw gymwysiad ymarferol nes iddo gael ei ddefnyddio trwy'r cryptosystem RSA ar gyfer diogelwch cyfathrebu cyfrifiadurol.

Mae mathemateg wedi bod yn weithgaredd dynol mor bell yn ôl ag y mae cofnodion ysgrifenedig yn bodoli. Fodd bynnag, ymddangosodd y cysyniad o brawf, a'r trylwyredd mathemategol cysylltiedig gyntaf mewn mathemateg yng Ngwlad Groeg, yn fwyaf arbennig yn Elfennau Euclid. Datblygodd mathemateg ar gyflymder cymharol araf tan y Dadeni Dysg, pan ychwanegwyd algebra a chalcwlws anfeidrol at rifyddeg a geometreg fel prif feysydd mathemateg. Ers hynny mae'r rhyngweithio rhwng arloesi mathemategol a darganfyddiadau gwyddonol wedi arwain at gynnydd cyflym yn y gyfradd darganfyddiadau mathemategol. Ar ddiwedd y 19g, arweiniodd argyfwng sylfaenol mathemateg at systemateiddio'r dull axiomatig. Arweiniodd hyn, yn ei dro, at gynnydd dramatig yn nifer y meysydd mathemateg a'r meysydd lle gellir eu cymhwyso; tyst o hyn yw'r Dosbarthiad Pwnc Mathemateg (Mathematics Subject Classification), sy'n rhestru mwy na chwe deg maes mathemateg lefel gyntaf.

Mathemategwyr o Gymru

Y ddau fathemategydd enwocaf, mae'n debyg, yw Robert Recorde (tua 1510–1558), mathemategydd a ddyfeisiodd y symbol am yr hafaliad (=) a William Jones (1675 – 3 Gorffennaf 1749), Machell, Ynys Môn – a fathodd y symbol π (y llythyren Groeg pi) i gynrychioli cymhareb cylchedd cylch i'w ddiametr (3.1415). Recorde oedd mathemategydd amlwg cyntaf Cymru ac ef a sgwennodd y llyfr algebra cyntaf yn Saesneg. Roedd William Jones hefyd yn awdur ar lyfrau mathemateg ac yn gyfaill i Syr Isaac Newton. Golygodd Jones rai o lyfrau Newton.

Awdur y llyfr cyntaf ar galcalws oedd John Harries (mathemategydd, o Lundain a ddefnyddiodd nodiant William Jones (dotyn uwchben llythyren i gynrychioli d/dt). Tri Chymro osododd sylfaeni ystadegol y byd yswiriant yn y 18g a'r 19g, gyda Richard Price (1723–1791 o Langeinwyr, Cwm Garw yn eu harwain. Ef hefyd a sylweddolodd bwysigrwydd waith ei gyfaill y Parch Thomas Bayes ac a'u cyhoeddodd wedi marwolaeth Bayes: dyma'r hyn a elwir heddiw yn theorem Bayes, sef sylfaen ystadegaeth fodern. Ystadegydd iechyd mwyaf gwledydd Prydain yw Brian T. Williams a aned yn Nhreorci, y Rhondda yn 1938.

Rhestr:

Henry Charles, (1778 –1840), Sir Benfro.
Donald Watts Davies (1924–2000), cyfrifiadureg "packet switching".
John Dee (1527–1608), alcemydd, mathemategydd, seryddwr.
Clive Granger (1934–2009), Abertawe a San Diego.
John Harries (mathemategydd, o Lundain.
Thomas Jones (1756–1807) Caergrawnt; athro'r daearegwr Adam Sedgwick.
John Viriamu Jones (1856–1901), mathemategydd a ffisegydd, a phrifathro cyntaf Coleg y Brifysgol Caerdydd.
William Jones (1675–1749) o Ynys Môn a fathodd y symbol π.
Lewis o Gaerleon (15g), mathemategydd craff a meddyg i Harri Tudur ac Elizabeth Woodville.
Gwilym Jenkins (1912–1982), ystadegydd a pheiriannydd systemau

William H. Miller (1801–1880, Llanymddyfri), crisialegydd. Cymhwysodd fathemateg at yr astudiaeth o risialau a dyfeisio "Mynegeion Miller".
William Morgan (1750–1833); arloeswr ym maes gwyddor actiwaraidd.
Richard Price (1723–1791), ystadegydd a ffrind i Thomas Bayes. Golygodd "Essay towards solving a problem in the doctrine of chances" sy'n cynnwys Theori Bayes.
David Rees (1918–2013); aelod o'r tîm ymchwil ar y peiriant Enigma ym Mharc Bletchley.
Elmer Rees (ganwyd 1941), mathemategydd, Sir y Fflint a Gwynedd.
Gareth Ffowc Roberts (ganwyd 1945).
Bertrand Russell (1872–1970), g. Tryleg; athronydd, mathemategydd a thraethodwr.
John William Thomas (Arfonwyson) (1805–1840), Pentir, Gwynedd; seryddwr.
Mary Wynne Warner (1932–1998), Caerfyrddin; arloewraig topoleg niwlog.
Brian T. Williams (g. 1938) Treorci; ystadegydd iechyd.
Gareth Williams (1978–2010); GCHQ; lladdwyd ef yn anghyfrithlon.

Meysydd o fewn mathemateg
Yn gyffredinol, gellir rhannu mathemateg i sawl maes gan gynnwys: astudiaeth o faint, strwythur, gofod a newid (ee rhifyddeg, algebra, geometreg a dadansoddi). Yn ychwanegol at hyn, ceir is-adrannau hefyd sy'n ymroddedig i archwilio cysylltiadau rhwng mathemateg craidd a meysydd eraill: rhesymeg, theori setiau, mathemateg empirig y gwahanol wyddoniaethau (mathemateg gymhwysol), ac yn fwy diweddar i'r astudiaeth o ansicrwydd. Er y gallai rhai ardaloedd ymddangos heb gysylltiad, mae rhaglen Langlands wedi canfod cysylltiadau rhwng ardaloedd a ystyriwyd yn flaenorol, megis grwpiau Galois, arwynebau Riemann a damcaniaeth rhif.

Cyn y Dadeni, rhannwyd mathemateg yn ddau brif faes, rhifyddeg, wedi'u neilltuo i drin rhifau, a geometreg, wedi'u neilltuo i astudio siapiau. Roedd yna hefyd ryw ffug-wyddoniaeth, fel rhifyddiaeth (numerology) a sêr-ddewiniaeth nad oedden nhw, ar y  pryd, yn amlwg yn wahanol i fathemateg.

O amgylch cyfnod y Dadeni, ymddangosodd dau brif faes newydd. Arweiniodd y nodiant mathemategol newydd at algebra, sydd, yn fras, yn cynnwys astudio a thrin fformwlâu. Calcwlws, llaw-fer o 'galcwlws anfeidrol a chalcwlws annatod', yw'r astudiaeth o swyddogaethau parhaus (continuous functions), sy'n modelu newid, a'r berthynas rhwng meintiau amrywiol (y newidynnau). Arhosodd y rhaniad hwn yn bedwar prif faes tan ddiwedd y 19g, er bod rhai meysydd, fel mecaneg nefol a mecaneg solet, yn aml yn cael eu hystyried yn fathemateg,ond erbyn hyn maent yn cael eu hystyried yn perthyn i ffiseg. Hefyd, mae rhai canlyniadau a gafwyd yn ystod y cyfnod hwn yn rhagddyddio meysydd, fel theori tebygolrwydd a chyfuniadeg, a ddaeth yn faesydd cyflawn, yn ddiweddarach.

Ar ddiwedd y 19g, arweiniodd yr argyfwng sylfaenol mewn mathemateg a'r systemateiddio dull axiomatig o ganlyniad at ffrwydrad yn nifer y meysydd mathemateg. Mae'r Dosbarthiad Pwnc Mathemateg yn cynnwys mwy na 60 o feysydd lefel gyntaf. Mae rhai o'r meysydd hyn yn cyfateb i'r adran hŷn mewn pedwar prif faes. Dyma achos theori rhif 11: rhif (yr enw modern ar rifyddeg uwch ) a 51: Geometreg . Fodd bynnag, mae yna sawl maes lefel gyntaf arall sydd â "geometreg" yn eu henw neu sy'n cael eu hystyried yn gyffredin fel rhai sy'n perthyn i geometreg. Nid yw algebra a chalcwlws yn ymddangos fel ardaloedd lefel gyntaf, ond maent i gyd wedi'u rhannu'n sawl ardal lefel gyntaf. Nid oedd meysydd lefel gyntaf eraill yn bodoli o gwbl cyn yr 20fed ganrif (er enghraifft 18: Theori categori, algebra homolegol, a 68: gwyddoniaeth gyfrifiadurol ) neu ni chawsant eu hystyried o'r blaen fel mathemateg, megis 03: Rhesymeg a sylfeini mathemategol (gan gynnwys model theori, theori computability , theori set, theori prawf, a rhesymeg algebraidd).

Sylfaeni ac athroniaeth
Er mwyn egluro sylfeini mathemateg, datblygwyd meysydd rhesymeg mathemategol a theori set. Mae rhesymeg fathemategol yn cynnwys astudiaeth fathemategol o resymeg a chymhwyso rhesymeg ffurfiol i feysydd mathemateg eraill; set theori yw'r gangen o fathemateg sy'n astudio setiau neu gasgliadau o wrthrychau. Mae theori categori, sy'n delio mewn ffordd haniaethol gyda strwythurau mathemategol a'r berthynas rhyngddynt, yn dal i gael ei ddatblygu.

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
||| 128px || 96px || 96px
|-
|Rhesymeg mathemateg || Damcaniaeth setiau || Damcaniaeth categoriau || Damcaniaeth cyfrifiant
|}

Mathemateg bur
Mae mathemateg bur yn cynnwys yr isadrannau canlynol: maint (gweler rhifyddeg), strwythur (gweler algebra), gofod (gweler geometreg) a newid (gweler calcwlws).

Maint

Mae'r astudiaeth o faint yn dechrau gyda rhifau: rhifau naturiol a chyfanrifau a'r gweithrediadau rhifyddol arnyn nhw (rhifyddeg. O astudir nodweddion dyfnach cyfanrifau yn y Ddamcaniaeth rifau, deilliodd Theorem Olaf Fermat.

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
| ||  ||  ||  || 
|-
|Rhifau naturiol|| Cyfanrifau || Rhifau cymarebols || Rhifau real || Rhifau cymhleth
|}

Strwythur

Yr astudiaeth o setiau a ffwythiannau a sut mae mathemateg yn archwilio nodweddion setiau hyn e. e. mae'r ddamcaniaeth rif yn astudiaeth o nodweddion y set o gyfanrifau a mynegir hyn yn nhermau gweithrediadau rhifyddol. Gall setiau strwythurol, gwahanol ddangos nodweddion cyffredin. Yn hyn o beth, astudir y canlynol: grwpiau, maeysydd a systemau haniaethol.

Mae algebra'n defnyddio llythrennau a symbolau eraill i gynrychioli rhifau mewn fformiwlâu a hafaliadau. Rhoddir yr enw "algebra" hefyd ar system algebraidd sy'n seiliedig ar wirebau penodol. Gelwir mathemategydd sy'n arbenigo yn y maes hwn yn "algebrydd". Mae astudio algebra yn hanfodol nid yn unig i fathemategwyr ac ystadegwyr ond hefyd i wyddonwyr, peiriantwyr, ac economegwyr, ac mae ganddi ddefnyddiau mewn sawl maes arall gan gynnwys meddygaeth, busnes a chyfrifiadureg.

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
| || 96px || 96px || 96px || 96px || 96px
|-
|Cyfuniadeg(Combinatorics) || Damcaniaeth rhifau || Damcaniaeth grwpiau || Damcaniaeth graffiau || Damcaniaeth trefn || Algebra
|}

Gofod 

Mae'r astudiaeth o ofod yn deillio o geometreg – yn arbennig, Geometreg Ewclidaidd, sy'n cyfuno gofod a rhifau, ac yn cwmpasu'r Theorem Pythagoras adnabyddus. Trigonometreg yw'r gangen o fathemateg sy'n delio â pherthynas rhwng ochrau ac onglau trionglau a chyda ffwythiannau trigonometrig. Mae'r astudiaeth fodern o ofod yn cynnwys geometreg uwch-ddimensiwn, geometregau nad ydynt yn Ewlidaidd (sy'n chwarae rhan ganolog yn y ddamcaniaeth perthnasedd cyffredinol) a topoleg ei hun. Mae maint a gofod yn chwarae rhan mewn geometreg ddadansoddol, geometreg gwahaniaethol a geometreg algebraidd. Datblygwyd geometreg amgrwm a geometreg arwahanol (discrete geometry) i ddatrys problemau mewn damcaniaethau rhifau a dadansoddi swyddogaethol, ond erbyn hyn maent yn cael eu defnyddio wrth gymhwyso ar gyfer optimeiddio a chyfrifiadureg.

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|96px || 96px || 96px || 96px || 96px || 70px
|-
|Geometreg || Trigonometreg || Geometreg gwahaniaethol || Topoleg || Geometreg ffractalaidd || Theori mesuredd
|}

Newid

Dyma'r astudiaeth o newid o fewn y gwyddoniaethau naturiol; caiff "newid" ei ystyried, bellach, yn ddull pwerus iawn yn yr astudiaeth hon. Unwaith eto, mae ffwythiannau'n greiddiol i'r astudiaeth ac yn disgrifio newid mewn maint. gelwir yr astudiaeth o rifau real a ffwythiannau yn "ddadansoddi real", gyda dadansoddi cymhleth yn faes addas ar gyfer "dadansoddi cymhleth". Un o'r prif gymhwysiadau ar gyfer dadansoddi ffwythiannol yw Mecaneg cwantwm.

96px  96px  96px  96px  96px  96pxCalcwlws  Calcwlws fector Hafaliadau differol  Systemau dynamig  Damcaniaeth anhrefn  Dadansoddi cymhleth

 Mathemateg gymhwysol 
Mae Mathemateg gymhwysol yn ymwneud â'r dulliau mathemategol a ddefnyddir yn nodweddiadol o fewn gwyddoniaeth, peirianneg, busnes a diwydiant. Felly, mae "mathemateg gymhwysol" yn wyddoniaeth fathemategol sydd â gwybodaeth arbenigol. Felly, mae mathemateg gymhwysol yn gyfuniad o wyddoniaeth fathemategol (haniaethol) ar y naill law a gwybodaeth arbenigol o'r byd go iawn ar y llaw arall.

Mae'r term mathemateg gymhwysol hefyd yn disgrifio'r arbenigedd proffesiynol y mae mathemategwyr yn gweithio arno ar broblemau ymarferol. Fel proffesiwn sy'n canolbwyntio ar broblemau ymarferol, mae mathemateg gymhwysol yn canolbwyntio ar "lunio, astudio, a defnyddio modelau mathemategol" mewn gwyddoniaeth, peirianneg, a meysydd eraill o ymarfer mathemategol.

Yn y gorffennol, mae cymwysiadau ymarferol wedi ysgogi datblygiadau mewn damcaniaethau mathemategol, a ysgogodd, yn ei dro,  astudiaeth pellach o fewn mathemateg bur, gyda mathemateg bur yn cael ei ddatblygu er ei fwyn ei hun yn bennaf. Felly, mae cysylltiad hanfodol rhwng gweithgaredd mathemateg gymhwysol ac ymchwil mewn mathemateg bur.

 Ystadegau a gwyddorau eraill 
Mae mathemateg gymhwysol yn gorgyffwrdd  disgyblaeth ystadegau, disgyblaeth y mae ei theori wedi'i llunio'n fathemategol, yn enwedig theori tebygolrwydd. Mae ystadegwyr (sy'n gweithio fel rhan o brosiect ymchwil) yn "creu data sy'n gwneud synnwyr" gyda samplu ar hap a chydag arbrofion ar hap; mae dyluniad o sampl ystadegol neu arbrawf yn nodi dadansoddiad o'r data a hynny cyn i'r data ddod ar gael. Wrth ailystyried data o arbrofion a samplau neu wrth ddadansoddi data o astudiaethau arsylwadol, mae ystadegwyr yn "gwneud synnwyr o'r data" gan ddefnyddio'r grefft o fodelu a theori casglu - gyda dewis ac amcangyfrif modelau; dylid profi'r modelau amcangyfrifedig a'r rhagfynegiadau canlyniadol ar ddata newydd.

Mae theori ystadegol yn astudio problemau penderfynu, megis lleihau'r risg gweithred ystadegol, megis defnyddio gweithdrefn, er enghraifft, amcangyfrif paramedr, profi damcaniaeth, a dewis y gorau. Yn y meysydd traddodiadol hyn o ystadegau mathemategol, mae problem ystadegaeth-penderfyniad yn cael ei llunio trwy leihau ffwythiant nod (objective function), fel colled neu gost ddisgwyliedig, o dan gyfyngiadau penodol: er enghraifft, mae dylunio arolwg yn aml yn golygu lleihau cost amcangyfrif cymedr poblogaeth ag un a roddir. Oherwydd ei ddefnydd o optimeiddio, mae theori ystadegau mathemategol yn rhannu pryderon â gwyddorau penderfyniad eraill, megis ymchwil gweithrediadau, theori rheolaeth, ac economeg fathemategol.

 Mathemateg gyfrifiadol 
Mae mathemateg gyfrifiadol yn  cynnig ac yn astudiaeth o ddulliau ar gyfer datrys problemau mathemategol sydd fel rheol yn rhy fawr ar gyfer gallu dynol. Mae dadansoddiad rhifiadol yn astudio dulliau ar gyfer problemau wrth ddadansoddi gan ddefnyddio dadansoddiad swyddogaethol a theori brasamcanu; mae dadansoddiad rhifiadol yn cynnwys astudio brasamcanu a discretisation yn fras gyda gofal arbennig am wallau talgrynnu. Mae dadansoddiad rhifiadol ac, yn ehangach, cyfrifiaduro gwyddonol hefyd yn astudio pynciau an-ddadansoddol gwyddoniaeth fathemategol, yn enwedig matrics algorithmig a theori graff. Mae meysydd eraill mathemateg gyfrifiadol yn cynnwys algebra cyfrifiadurol a chyfrifiant symbolaidd.

 Hanes 
Gellir ystyried hanes mathemateg fel cyfres gynyddol o haniaethau (abstractions). Mae'n debyg mai'r haniaeth cyntaf oedd sylweddoli bod gan gasgliad o ddau afal a chasgliad o ddau oren (er enghraifft) rywbeth yn gyffredin, sef nifer eu haelodau.

Fel y gwelir yn y narciau syml ar esgyrn, yn ogystal â chydnabod sut i gyfrif gwrthrychau real, efallai bod pobl gynhanesyddol hefyd wedi deall sut i gyfrif niferoedd a meintiau haniaethol, fel amser - dyddiau, tymhorau neu flynyddoedd.See, for example, Raymond L. Wilder, Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study, passim
bawd|Y dabled fathemategol Babilonaidd Plimpton 322, wedi'i dyddio i 1800 CC.
Nid yw tystiolaeth ar gyfer mathemateg fwy cymhleth yn ymddangos tan oddeutu 3000 CC, pan ddechreuodd y Babiloniaid a'r Eifftiaid ddefnyddio rhifyddeg, algebra, a geometreg ar gyfer trethiant a chyfrifiadau ariannol eraill, ar gyfer adeiladu ac ar gyfer seryddiaeth. Mae'r testunau mathemategol hynaf o Mesopotamia a'r Aifft rhwng 2000 a 1800 CC. Ceir llawer o destunau cynnar yn sôn am Driawdau Pythagoraidd ac felly, trwy gasgliad, ymddengys mai Theorem Pythagoras yw'r datblygiad mathemategol mwyaf hynafol a mwyaf poblogaidd ar ôl rhifyddeg a geometreg sylfaenol. Mewn mathemateg Babilonaidd mae rhifyddeg elfennol (sef adio, tynnu, lluosi a rhannu) yn ymddangos gyntaf yn y cofnod archaeolegol. Roedd gan y Babiloniaid system gwerth lle hefyd ac fe wnaethant ddefnyddio system rifol yn seiliedig ar fôn-60 sy'n dal i gael ei defnyddio heddiw i fesur onglau ac amser.

Gan ddechrau yn y 6g CC gyda mathemateg Groegaidd, Pythagoraidd, dechreuodd yr Hen Roegiaid astudio mathemateg fel pwnc ynddo'i hun a hynny'n systemig. Tua 300 CC, cyflwynodd Euclid y system axiomatig, sy'n dal i gael ei ddefnyddio heddiw, ac sy'n cynnwys diffiniad, axiom, theorem, a phrawf. Mae ei lyfr, Yr Elfennau, yn cael ei ystyried yn eang fel y gwerslyfr mwyaf llwyddiannus a dylanwadol erioed. Yn aml, dywedir mai mathemategydd pennaf yr Henfyd yw Archimedes (tua 287–212 CC) o Syracuse. Datblygodd fformiwlâu ar gyfer cyfrifo arwynebedd a chyfaint solidau tro (solids of revolution) a defnyddiodd y dull diflino  (method of exhaustion) i gyfrifo'r arwynebedd o dan arc parabola â chrynhoi cyfres anfeidrol, mewn modd nad yw'n rhy annhebyg i galcwlws modern. Meincnodau nodedig eraill mathemateg Gwlad Groeg yw trychiad conig (Apollonius o Perga, 3g CC),  trigonometreg (Hipparchus o Nicaea, 2g CC),  a dechreuadauchamau cyntaf algebra (Diophantus, 3g OC)
de|bawd| Y rhifolion a ddefnyddiwyd yn llawysgrif Bakhshali, dyddiedig rhwng yr 2g CC a'r 2g OC.
Esblygodd y system rhifolion Hindŵ-Arabaidd a'r rheolau ar gyfer defnyddio ei weithrediadau, sy'n cael eu defnyddio ledled y byd heddiw, yn ystod y mileniwm cyntaf OC yn India ac fe'u trosglwyddwyd i'r byd Gorllewinol trwy fathemateg Islamaidd. Mae datblygiadau nodedig eraill mathemateg Indiaidd yn cynnwys diffiniad modern a brasamcan sine a cosine, a ffurf gynnar o gyfresi anfeidrol.
bawd| Dyfeisiodd Leonardo Fibonacci, y mathemategydd Eidalaidd a gyflwynodd y system rhifolion Hindŵ-Arabaidd rhwng y 1g a 4g gan fathemategwyr Indiaidd, i'r Byd Gorllewinol.
Yn ystod Oes Aur Islam, yn enwedig yn ystod y 9g a'r 10g, gwelodd mathemateg lawer o ddatblygiadau pwysig gan adeiladu ar fathemateg Gwlad Groeg. Cyflawniad mwyaf nodedig mathemateg Islamaidd oedd datblygu algebra. Ceir cyflawniadau eraill yn y cyfnod Islamaidd, gan gynnwys datblygiadau mewn trigonometreg sfferig ac ychwanegu'r pwynt degol at system rifolion Arabeg. Persia (Iran heddiw) oedd crud llawer o fathemategwyr nodedig o'r cyfnod hwn, pobl fel Al-Khwarismi, Omar Khayyam a Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī.

 Mathemateg fel gwyddoniaeth 
chwith|bawd| Carl Friedrich Gauss, a elwir yn dywysog mathemategwyr
Cyfeiriodd y mathemategydd Almaeneg Carl Friedrich Gauss at fathemateg fel "Brenhines y Gwyddorau". Yn fwy diweddar, mae Marcus du Sautoy wedi galw mathemateg yn "Frenhines Gwyddoniaeth ... y prif rym y tu ôl i ddarganfyddiadau gwyddonol ". Sylwodd yr athronydd Karl Popper fod "y mwyafrif o ddamcaniaethau mathemategol, fel rhai ffiseg a bioleg, yn hypothetico-ddidynnol: mae mathemateg bur felly yn ymddangos ei fod yn llawer agosach at y gwyddorau naturiol nag yr oedd yn ymddangos hyd yn oed yn ddiweddar." Nododd Popper hefyd "Byddaf yn sicr yn cyfaddef system fel system empeiraidd neu wyddonol dim ond os gellir ei phrofi yn ôl profiad."

Mae sawl awdur o'r farn nad yw mathemateg yn wyddoniaeth oherwydd nad yw'n dibynnu ar dystiolaeth empeiraidd.

Y tir cyffredin rhwng mathemateg a llawer o feysydd yn y gwyddorau ffisegol yw archwilio canlyniadau rhesymegol rhagdybiaethau. Mae greddf ac arbrofi hefyd yn chwarae rôl wrth lunio dyfaliadau mewn mathemateg a'r gwyddorau (eraill). Dal i dyfu mewn pwysigrwydd y mae  mathemateg arbrofol ac mae cyfrifiant ac efelychu (computation and simulation) yn chwarae rhan gynyddol yn y gwyddorau ac mewn mathemateg.

 Gwobrau mathemategol 
Gellir dadlau mai'r wobr fwyaf mawreddog mewn mathemateg yw Medal Fields,   sefydlwyd ym 1936 a chaiff ei dyfarnu bob pedair blynedd (ac eithrio'r Ail Ryfel Byd) i gynifer â phedwar unigolyn. Mae Medal Fields yn aml yn cael ei hystyried yn gyfwerth â'r Wobr Nobel.

Mae Gwobr Wolf mewn Mathemateg, a sefydlwyd ym 1978, yn cydnabod cyflawniad oes, a sefydlwyd gwobr ryngwladol fawr arall, Gwobr Abel, yn 2003. Cyflwynwyd Medal Chern yn 2010 i gydnabod cyflawniad oes. Dyfernir yr acolâdau hyn i gydnabod corff penodol o waith, a all fod yn arloesol, neu'n ateb i broblem ragorol mewn maes sefydledig.

Gweler hefyd
 Gwyddonwyr o Gymry

Cyfeiriadau