Cuncoide di Nicomede

A cuncoide di Nicomede hè una curva piana cuncipita da u matematicu grecu Nicomede, chì hà campatu à pocu pressu à tempu à Archimede in u seculu II a.C. U nome di cuncoide, chì pruvene da a parolla greca “κογχοειδής”, face riferimentu à u fattu chì a forma di a curva ramenta u prufilu d'una cunchiglia. Hè un tippu di cuncoide induve i raghji vettori tracciati da un puntu fissu taglianu una retta (chjamata “basa”) à una distanza custante.

Data una retta basa parallela à l'assu pulare situata à una distanza  da l'origine, è una distanza fissa  chì si trova annantu à ogni raghju vettore partendu da u puntu induve ellu incrocia a retta basa (sia da daretu sia da davanti), l'equazione in cuurdinate pulare di a cuncoide di Nicomede hè:

chì, in cuurdinate cartesiane, piglia a forma:

U raportu trà i parametri  è  ditermineghja l'aspettu di e duie branche di a curva.

 Custruzzione 
miniatura|Polu (origine ), assu pulare (rossu), retta basa  è distanza fissa  
Si fissa un puntu  (chjamatu polu) è una linea retta  distante  da . Si cunsidereghja avà una siconda linea retta generica chì passa per , chì incrocia a linea  in . Nantu à sta retta, da i dui lati rispettu à , s'aghjunghjenu dui sigmenti  ognunu di lunghezza .  U locu geumetricu di i punti  è  uttenuti fendu girà a linea retta  chì passa per  si chjama cuncoide di Nicomede. A parte di a curva più luntana da  (vale à dì ) si chjama branca esterna; è l'altra parte riceve u nome di branca interna.

Hè subitu da verificà chì per un sistema di cuurdinate pulare, l'equazione di a cuncoide piglia a forma:



Fendu cuincide u puntu  cù l'origine d'un sistema d'assi cartesiani ; è pigliendu una retta basa parallela à l'assu  à una distanza  da l'origine, è una distanza  da applicà nantu à i raghji vettori, l'equazione cartesiana di a curva hè:



D'altronde, l'equazioni parametriche piglianu a forma:



Custruzzione di tangenti è nurmale
miniatura|Nurmale d'una cuncoide di Nicomede
René Descartes hà inclusu in a so opera "La Géométrie" (A Geometria) a spiegazione d'un metudu chì permette di disegnà a nurmale è, dunque, a tangente di a cuncoide di Nicomede.

Quì si espone in breve:
 Si vole traccià a nurmale d'una cuncoide di Nicomede cù polu  è modulu  in un puntu .
 A retta direttrice di sta cuncoide si chjamerà , induve  hè tale chì  è  sò perpendiculare à .
 Disegnà u sigmentu  di manera chì  sia l'interrezzione trà e linee  è .
 Piazzà u puntu  di manera chì  appartenga à  è .
 Piazzà u puntu  nantu à a linea perpendiculare à  è chì passa per  di manera chì .
 A linea  hè tandu a nurmale à a curva in .

 Trisezzione d'un angulu 
300px|miniatura|Trisezzione di l'angulu 
A curva si pò aduprà per risolve u prublema di a trisezzione di l'angulu. Sia  un angulu arbitrariu. Da un puntu qualsiasi  di u latu  si traccia a perpendiculare  à u latu , è si cunsidereghja a cuncoide custruita annantu à a retta  rispettu à u polu  di custante .  A retta parallela à  tracciata da  scontra a branca esterna di a cuncoide in . Unendu  incù , si hà tandu chì:



L'inconveniente di sta prucedura hè ch'ella ubligheria à traccià una cuncoide à misura per ogni angulu ch'ellu si vole trisecà, ancu s'ellu basta à aduprà u metudu neusis per aghjustà una regula cù duie marche (situate à u doppiu di a distanza ), trà e rette  è ; a quale deve ancu passà per l'origine. Quessa ùn accade micca cù altre trisettrici (cum'è per esempiu, a trisettrice di Maclaurin), chì permettenu di trisecà qualsiasi angulu cù a listessa curva.

 Dimustrazione
miniatura|upright|Cuncoide di Nicomede
Sianu  u puntu d'interrezzione di  cù  è  u puntu mediu di . Per via di a definizione di cuncoide, si hà chì:



è dunque:



D'altronde,  hè un angulu rettu, dunque , in quant'è mediana relativa à l'iputenusa  di u triangulu rettangulu , hè a metà di l'iputenusa stessa, vale à dì:



Da quessa si deduce chì i trianguli ,  è  sò isusceli è dunque:



Ma  perchè sò anguli alterni interni è dunque , o ancu:



cum'ellu ferma dimustratu.

 Duplicazione di u cubu 
400px|miniatura|Duplicazione di u cubu per via d'una cuncoide di Nicomede
A custruzzione grafica chì permette di diterminà u valore di  necessariu per risolve u prublema di a duplicazione di u cubu, si pò generà cù a prucedura seguente:
 Si parte da a misura data di u spigulu di u cubu da duplicà, chjamata .
 Si custruisce u rettangulu , chì a basa  misura  è l'altezza  misura .
 Si ditermineghja , u puntu mediu di , chì per ellu si traccia una retta verticale.
 Si traccia a circunferenza  cù centru in  è raghju , chì interseca  in u puntu , è chì taglia a retta verticale chì passa per  sottu à  in u puntu .
 Si traccia a retta , parallela à  è chì passa per .
 Avà, si custruisce a branca esteriore di una cuncoide di Nicomede cù u puntu  cum'è polu, a retta  cum'è retta basa è a distanza .
 Si stabilisce u puntu  cum'è l'interrezzione di a cuncoide cù a retta . A retta  taglia a retta  in u puntu .
 Finalmente, si verifica chì a distanza  hè .

Vede ancu
 Chjoppula di Pascal

 Note 

Ligame

Categoria:Curve algebriche