Analisi funzionale (matematiche)

L'analisi funzionale hè u ramu di e matematiche è più particularmente l']]analisi chì studieghja i spazii di funzione.'Ss'articulu pruvene in parte da a wikipedia in francese. Piglia e so radiche storiche in u studiu di e trasfurmazione tale a trasfurmazione di Fourier è in u studiu di l'equazione differenziale o integrodifferenziale. 

U termine funzionale trova a so origine in u quatru di u calculu di e variazione, per designà e funzione frà e quale l'argumenti sò e funzione. U so impiegu hè statu generalizatu à nuvelli campi da u matematicu è fisicu [[Italia|talianu Vito Volterra. U matematicu polaccu Stefan Banach hè à spessu cunsideratu cum'è u fundatore di l'analisi funzionale muderna. 

I spazii di l'analisi funzionale
I spazii di basa di l'analisi funzionale sò i spazii vetturiali nurmati cumpletti annantu à u corpu di i numeri reali o di i numeri cumplessi. Tali spazii sò chjamati i spazii di Banach. I spazii di Hilbert custituiscenu un casu particulare umpurtante induve a norma hè esciuta da un produttu scalaru. Quist'ultimi ghjocanu per indettu un rollu impurtante in a formulazione matematica di a meccanica quantica. L'analisi funzionale pò ancu esse effittuata in un quatru più generale, quellu di i spazii vetturiali tupulogichi, tali i spazii di Fréchet. 

Ogetti di studiu impurtante in analisi funzionale sò l'operatori lineari cuntinui definiti annantu à i spazii di Banach è di Hilbert. Quessi portanu naturalmente à a definizione di i C-algebre. 

I spazii di Hilbert ponu esse classificati cumplittamente : esiste un spaziu di Hilbert singulu à un isumurfismu vicinu per ogni cardinale di a basa hilbertiana. I spazii di Hilbert di dimensione finita sò à l'intuttu cunnisciuti in algebra lineare, è i spazii di Hilbert siparevuli sò isumorfi à u spaziu di seguite ℓ2. A siparabilità essendu impurtante per l'appiicazione, l'analisi funzionale di i spazii di Hilbert tratta soprattuttu di stu spaziu è di i so murfismi. Unu di i prublemi aperti in analisi funzionale hè di pruvà ch'è ogni operatore limitatu annantu à un spaziu di Hilbert siparevule pussede un sottuspaziu stabile chjusu micca triviale. 'Ssu prublema di u sottuspaziu invariante hè ghjà statu risoltu in assai casi particulari. 

I spazii di Banach sò assai più cumplicati à studià ch'è i spazii di Hilbert. Ùn ci hè micca definizione unica di ciò chì puderia custituisce una basa, per indettu. 

Per ogni numeru reale p ≥ 1, un esempiu di spaziu di Banach hè datu da l'inseme di tutte e funzione misurevule in u sensu di Lebesgue chì a putenza p-esima di u valore assolutu hà un'integrale finita. 

In i spazii di Banach, parte assai di u studiu implicheghja u duale tupulogicu : u spaziu di tutte e forme lineare cuntinue. Cum'è in algebra lineare, u biduale (u duale di u duale) ùn hè micca sempre isumorfu à u spaziu originale, ma ci hè sempre un murfismu iniettivu naturale di un spaziu in u so biduale. 

A nuzione di derivata hè stesa à e funzione arbitrarie trà spazii di Banach per via di u cuncettu di differenziale ; a differenziale di Fréchet di una funzione in un certu puntu hè, quandu ella esiste, una certa appiicazione lineare cuntinua. 

Uni pochi di risultati impurtanti d'analisi funzionale
 U principu di u terminale uniformu hè un risultatu annantu à l'insemi d'operatori limitati. 
 U teurema spettrale dà una formula integrale per l'operatori nurmali annantu à un spaziu di Hilbert. Hè di un'impurtanza cintrale in a formulazione matematica di a meccanica quantica. 
 U teurema di Hahn-Banach permette di prulungà e forme lineare definite annantu à un sottuspaziu à u spaziu sanu sanu, cunsirvendu ne a norma. 
 Unu di i trionfi di l'analisi funzionale fubbe di mustrà ch'è l'atomu d'idrogenu era stabile. 

 Note 

Da vede dinù
 Spaziu di Hilbert 
 Spaziu di Banach 
 Algebra di Banach 
 Spaziu funzionale 
 Spaziu di Sobolev 
 Teurema di Radon-Nikodym 
 Analisi funzionale

Bibliugrafia
 Michele Willem, Analisi funzionale elementare, Cassini, 2003. 
 Haïm Brézis, Analisi funzionale - Teuria è appiicazione archiviu, Dunod, 2005. 
 Daniel Li, Corsu d'analisi funzionale incù 200 esercizii curretti, Ellisse, 2013.

Categoria:Matematica