Cusinu

In matematica, in particulari in trigunumitria, datu un triangulu rittangulu, u cusinu di unu di i dui anguli interni aghjacenti à l'iputenusa hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu aghjacenti à l'angulu è di l'iputenusa. 

Di manera generali, u cusinu d'un angulu , aspressu in gradi o radianti, hè una quantità chì dipendi solu da , custruita usendu a circumfarenza unitaria.

Difiniscendu com'è  u valori di u cusinu in l'angulu , s'otteni a funzioni cusinu, una funzioni trigunumetrica di fundamintali impurtanza in l'analisa matematica.

 Difinizioni 
In u triangulu rossu nantu à a figura, u cusinu di x hè datu da:

Più in generali, si difinisci u cusinu pigliendu una circumfarenza di raghju unitariu è una mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu  incù l'assu di l'ascissi com'è nantu à a figura. U cusinu di l'angulu  hè difinitu cusì com'è u valori di a 
cuurdinata  di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u sigmentu ). 

A tavuledda siguenti esponni i principali valori nutevuli assunti da a funzioni cusinu:
 in radianti0 in gradi0°30°45°60°90°180°270°360° 1     
 || 0 || -1 || 0 || 1

Esisti un'antra difinizioni di cusinu in rilazioni à i rutazioni: u cusinu d'un angulu  hè u cumpunenti longu l'assu di l'ascissi di u virsori , virsori di l'assu , ghjiratu di .

 Funzioni cusinu 
A funzioni cusinu hè difinita assucendu à  u cusinu di l'angulu  (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù . Apposta ch'è  è  difiniscini u stessu angulu par qualsiasi  intreiu, a funzioni cusinu hè una funzioni piriodica di periodu  (induva  hè l'angulu ghjiru). A curva di u graficu di sta funzioni hè dinuminata cusinusoidi. L'insemu di variabilità di a funzioni cusinu hè , veni à dì applichendu 'ssa funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà  è , estremi inclusi.

 Cusinu è sinu 
Trà sinu è cusinu esisti a rilazioni fundamintali, ditta equazioni fundamintali di a trigunumitria, o unità guniumetrica:

chì hè cunsiquenza di u tiurema di Pitagora.

 Prubità analitichi di u cusinu 
A dirivata di a funzioni cusinu hè l'oppostu di a funzioni sinu. T'avemu dunqua:

Quissa pò essa dimustrata applichendu una formula di prustaferesi par calculà a limita di u rapportu incrimintali di u cusinu:
L'ultimu passaghju faci usu di u limita nutevuli:

chì si pò dimustrà giumitricamenti..

A dirivata siconda di u cusinu hè a funzioni stessa cambiata di segnu:

par via di cunsiquenza, a funzioni cusinu com'è a funzioni sinu) risolvi l'equazioni diffarinziali

,

chì discrivi u motu d'un uscillatori armonicu ideali libaru.

A funzioni cusinu hè una funzioni à dirivati equilimitati (s'hà infatti  per ogni ), ed hè par via di cunsiquenza analitica; a so espansioni in seria di Taylor hè:


par ogni  riali.

In analisa matematica 'ss'ugualità hè à spessu usata par difiniscia u cusinu. Listessa seria difinisci u cusinu com'è funzioni olumorfa annantu à tuttu u pianu cumplessu.

 Equazioni fundamintali rilativi à u cusinu 

Vali a siguenti formula d'addizioni (è suttrazzioni) d'archi:

è in particulari a formula di duplicazioni

I siguenti sò i furmuli di prustaferesi rilativi à u cusinu:

Vali ancu a catena di disugualità:

Si cunsidareghja a circumfarenza unitaria, è sii , com'è nantu à a figura.

Si tracci a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu  (antiurariu) rispettu à u mezassu pusitivu di l'ascissi. Tandu i cuurdinati di u puntu d'intarsizioni  di a mezaretta incù a circumfarenza sò . Si traccia u sigmentu chì unisci  à u puntu . Sii inoltri  u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a retta d'ascissa  (assu di i tangenti).  hà cuurdinati .

Si nota ch'è u triangulu  hè strittamenti rinchjusu in u sittori circulari , u quali hè rinchjusu strittamenti in u triangulu . Vali tandu a disugualità di i rispittivi arii (si ricorda ch'è  hè l'angulu, aspressu in radianti):

veni à dì

Da a prima parti di a disugualità si ricava ch'è , mentri cunsidarendu a siconda, dividendu veni à dì par  (ciò chì hè pussibuli parchì ), s'utteni:

veni à dì

induva à a fini s'hè multiplicatu par  è par , ciò chì priserva u versu di a disugualità parchì sò tremindù pusitivi. Ricapitulendu i risultati, 

Q.E.D..

}}

Esisti ancu una'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni cusinu à a funzioni tangenti:

Infatti s'hà, in virtù di l'unità guniumetrica è dividendu par  (affinch'è ùn fussi micca nullu), l'idantità

..

st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'equazioni guniumetrichi in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un sinu sii d'un cusinu (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u sinu, ciò chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni incù a scunnisciuta . Di listessa manera, si pò sfruttà sta rilazioni par u calculu di i primitivi di funzioni guniumetrichi.

 Difinizioni currilati 
 U reciprocu di u cusinu (difinitu induva u cusinu hè diffarenti da zeru) hè a secanti:

 A funzioni cusinu hè iniettiva nantu à l'intarvallu  è hà dunqua una inversa, chjamata arcucusinu (indicatu incù  o incù  chì ripiglia a nutazioni di a funzioni inversa).

 Urighjina di u nomu 
U terminu cusinu stà par "cumplimintariu di u sinu". Infatti, par anguli trà  è , u cusinu d'un angulu hè u sinu di l'angulu cumplimintariu, veni à dì :
sta rilazioni, chì si ricava da i furmuli di somma d'archi, hè valida par ogni ; eppuri a nuzioni giumetrica d'angulu cumplimintariu s'applicheghja solu l'anguli pusitivi, è dunqua cumpresi trà  è .

 Noti 

 Da veda dinò 
 Sinu
 Leghji di u cusinu
 Cusinusoidi
 Funzioni trigunumetrica
 Tangenti (matematica)
 Arcucusinu
 Circumfarenza guniumetrica
 Formula di Eulero
 Formuli di duplicazioni
 Formuli di bisizzioni
 Formuli di prustaferesi
 Formuli di Werner
 Funzioni piriodica
 Funzioni altirnata
 Cusinu iperbolicu

Categoria:Trigunumitria

Fonti
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.