Sinu

In matematica, in particulari in trigunumitria, datu un triangulu rittangulu, u sinu di unu di i dui anguli interni aghjacenti à l'iputenusa hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu oppostu à l'angulu è di l'iputenusa. 

Più in generali, u sinu d'un angulu , espressu in gradi o radianti, hè una quantità chì dipendi solu da , custruita usendu a circumfarenza unitaria.

Difiniscendu com'è  u sinu in l'angulu , s'otteni a funzioni sinu, una funzioni trigunumetrica di fundamintali impurtanza in l'analisa matematica.

 Difinizioni 
In u triangulu rossu annantu à a figura, u sinu di  hè datu da

Più in generali, si difinisci u sinu d'un angulu  (aspressu in gradi o radianti) à parta da a circumfarenza guniumetrica, vali à dì da a circumfarenza di raghju unitariu in u pianu cartisianu. Presa a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu  incù l'assu di l'ascissi com'è annantu à a figura, u sinu di l'angulu hè dunqua difinitu com'è u valori di a cuurdinata  di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u sigmentu ). 

U duminiu di a funzioni sinu hè l'insemu di i numari riali, mentri u cuduminiu hè l'intarvallu riali , veni à dì applichendu tali funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà  è , estremi inclusi.

A tavuledda siguenti esponi i principali valori nutevuli assunti da a funzioni sinu:
 in radianti0 in gradi0°30°45°60°90°180°270°360°                

In i testi di matematica u sinu di  hè di solitu indicatu incù a nutazioni , induva  hè un'abbriviazioni di u latinu sinus usata ancu in i paesi di lingua inglesa.

Esisti un'altra difinizioni di sinu chì si cullega à i rutazioni: u sinu d'un angulu  hè u cumpunenti longu l'assu di l'urdinati di u virsori , virsori di l'assu di l'ascissi, ghjiratu di .

 Funzioni sinu 

A funzioni sinu hè difinita assucendu à  u sinu di l'angulu  (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù . postu ch'è  è  definiscini u stessu angulu, a funzioni sinu hè una funzioni piriodica di periodu  (induva  hè l'angulu ghjiru).

 Sinu è cusinu 
Trà sinu è cusinu esisti a rilazioni fundamintali: 

chì hè cunsiquenza di u tiurema di Pitagora. Infatti in u triangulu  in a figura in altu u cusinu di  hè difinitu com'è 

D'altra parti u tiurema di Pitagora applicatu à u triangulu  furnisci a rilazioni:è dunqua:
Vali ancu a rilazioni:

Com'è par u cusinu, a cusecanti d'un angulu hè  divisu u sinu di l'angulu.

 Prubità analitichi di a funzioni sinu 
upright=1.4|thumb|A funzioni sinu (in turchinu) è a so apprussimazioni data da u pulinomiu di Taylor di 7º gradu (rusulatu).
A dirivata di a funzioni sinu hè a funzioni cusinu. Avemu veni à dì:
A dirivata siconda hè inveci:
A funzioni sinu hè una funzioni analitica, è a so espansioni in seria di Taylor hè:
In analisa matematica st'ugualità hè spessu usata par difiniscia u sinu. A stessa seria difinisci u sinu com'è funzioni olumorfa annantu à tuttu u pianu cumplessu.

 Equazioni fundamintali rilativi à u sinu 
Si rapportani quì di seguitu parechji equazioni fundamintali riguardu à a funzioni sinu;

incù l`aghjunta di a cundizioni ch'è:

Esisti ancu un'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni sinu è a funzioni tangenti:

st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'equazioni guniumetrichi in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un sinu sii d'un cusinu (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u cusinu, u chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni in a scunnisciuta .

 Difinizioni currilati 
 U reciprocu di u sinu (difinitu induva u sinu hè diffarenti da zeru) hè a cusecanti

 A funzioni sinu, ristretta à l'intarvallu  hè iniettiva è dunqua hà una inversa, chjamata arcusinu (indicatu incù  o incù  chì ripiglia a nutazioni di a funzioni inversa). Par difinizioni s'hà dunqua: 

Storia è urighjina di u nomu	 
U cuncettu di sinu fù introduttu da u matematicu è astrunomu indiana Aryabhata I (in devanāgarī: आर्यभट) (476 - 550) in a so opara Aryabhatiya (499).

U sinu hè par difinizioni a mità d'una corda, veni à dì un sigmentu chì unisci dui punti (ditti estremi) d'una circumfarenza. A parola sanscrita par mità corda hè jya-ardha, calchì volta sustituitu incù ardha-jya è abbriviatu in jya (corda). Stu terminu fù impurtatu in a lingua araba com'è jiba, un terminu senza significatu prima di tandu ma chì riflittia a prununcia funetica di u nomu jya. Sicondu i reguli di a lingua araba, 'ssu nomu fù scrittu incù i dui cunsunanti jb, senza vucali. Più dopu, quandu i traduttori 
uccidintali ebbini cunniscenza di i fonti arabi, intarpritàni a parola jb com'è jaib, chì u so significatu era baia. Infini, u talianu Gherardo da Cremona (1114 - 1187) tradussi a parola in latinu com'è sinus, di a quali u significatu era par appuntu baia.

U sinu d'un angulu hè indicatu incù .

 Da veda dinò 
 Funzioni trigunumetrica
 Sinusoidi
 Cusinu
 Tangenti (matematica)
 Arcusinu
 Circumfarenza guniumetrica
 formula di Eulero
 Formuli di duplicazioni
 Formuli di bisizzioni
 Formuli di Werner
 Tiurema di i sini
 Funzioni piriodica
 Funzioni altirnata
 sinu iperbolicu

Categoria:Trigunumitria

 Noti 

Fonti
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.