Trigunumitria

graficamenti
A trigunumitria (o trigonomitria) (da u grecu trígonon (τρίγωνον, triangulu) è métron (μέτρον, misura): risuluzioni di u triangulu) hè a parti di a matematica chì studieghja i trianguli à parta da i so anguli. U scopu principali di a trigunumitria, com'edda a svela l'etimulugia di u nomu, cunsisti in u calculamentu di i misuri chì carattarizeghjani l'elementi d'un triangulu (lati, anguli, mediane, etc.) partendu da altri misuri ghjà cunnisciuti (almenu trè, frà i quali almenu una lunghezza), par mezu di funzioni spiciali. Si riferisci à tali scopu com'è risuluzioni di u triangulu. Hè ancu pussibuli di serva si di calculi trigunumetrichi in a risuluzioni di prublemi currilati à figuri giumetrichi più cumplessi, com'è puliguni o figuri giumetrichi solidi, è in molti altri rami di a matematica.

I funzioni trigunumetrichi (i più impurtanti di i quali sò u sinu è u cusinu), intrudutti in stu duminiu, sò ancu imprudati in modu indipindenti da a giumitria, è dinò in altri campi di a matematica è di i so applicazioni, par asempiu in cunnissioni incù a funzioni espuninziali o incù i uparazioni vitturiali.

 L'urighjini 
Duranti molti seculi, a trigunumitria duviti i so prugressi guasi esclusivamenti à l'opara di grandi astrunomi è giugrafi. Infatti, a fundazioni di sta scenza si devi à Ipparco di Nicea è à Claudiu Tolomeo, tremindù più astrunomi è giugrafi ch'è matematichi. Cuntributi nutevuli funi arricati à sta scenza da l'arabi, da u francesu Levi ben Gershon è, più dopu, da Niccolò Copernicu è Tycho Brahe, intenti à discriva è à priveda incù sempri una più grandi pricisioni i finomini cilesti, ancu par un più asattu è faciuli calculu di longitudini è latitudini.

 Funzioni trigunumetrichi 
Strumentu indispinsevuli di a trigunumitria sò i funzioni trigunumetrichi. Sò sti funzioni chì associani i lunghezzi à l'anguli, è viciversa. I tavuleddi in sta sizzioni mostrani i funzioni trigunumetrichi à tempu à i so principali prubità.

 Funzioni trigunumetrichi diretti 
Sò ditti funzioni trigunumetrichi diretti quiddi chì à un angulu, di solitu aspressu in radianti, associani una lunghezza o un rapportu frà lunghezzi. A causa di l'equivalenza circulari di l'anguli, tutti i funzioni trigunumetrichi diretti sò ancu funzioni periodichi incù periodu  o .

 Funzioni trigunumetrichi diretti Funzioni Nutazioni Duminiu Cuduminiu Radichi Periodu Funzioni inversa sinu sen, sin  arcusinu cusinu cos  arcucusinu tangenti tan, tg  arcutangenti cutangenti cot, cotg, ctg  arcucutangenti secanti secnisciuna arcusecanti cusecanti csc, cosecnisciuna arcucusecanti

 Funzioni trigunumetrichi inversi 
À ogni funzioni trigunumetrica diretta hè assuciata una funzioni inversa. U duminiu di ognuna funzioni trigunumetrica inversa currispondi, com'hè prividibuli, à u cuduminiu di a funzioni diretta rispittiva. Apposta ch'è i funzioni diretti sò, puri, periodichi, è parciò micca iniittivi, par pudè li invirsà hè nicissariu à ristringhja ni u duminiu rindendu li biiettivi. A scelta di a ristrizzioni hè tiuricamenti irrilevanti è i pussibilità sò infiniti. A cunvinzioni (rigida, in stu campu) voli parò ch'è i duminii fussini ristretti à l'intarvalli  oppuri , in i quali i funzioni — è dunqua ancu i so inversi — sò munotuni. Ancu i funzioni arcusecanti è arcucusecanti sò difiniti da l'invirsioni di i funzioni diretti ristretti à un di ss'intarvalli.

 Funzioni trigunumetrichi inversi Funzioni Nutazioni Duminiu Cuduminiu Radichi Andamentu Funzioni inversa arcusinu arcsen, arcsin, asin,
sen−1I nutazioni incù espunenti negativu usati par i funzioni sin−1, cos−1, etc. (usati à spessu in i calculatrici scentifichi) ùn facini micca rifirimentu à i putenzi, ma indicheghjani solu u fattu ch'eddi sò i funzioni inversi di i funzioni trigunumetrichi rispittivi. Par via di cunsiquenza, à menu ch'eddu ùn fussi esplicitamenti indicatu, s'utteni:0 sinu arcucusinu arccos, acos,
cos−11 cusinu arcutangenti arctan, arctg, atan,
tan−10 tangenti arcucutangenti arccot, arccotg, arcctg, acot,
cot−1 cutangenti arcusecanti arcsec, asec,
sec−11criscenti, incù una discuntinuità in  secanti arcucusecanti arccsc, arccosec, acsc,
csc−1dicriscenti, incù una discuntinuità in  cusecanti

 Rilazioni fundamintali di a guniumitria 
 Prima rilazioni fundamintali 

da quissa s'utteni

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di  par a scelta oppurtuna di i cenni

 Siconda rilazioni fundamintali 

chì vali solu par  incù 

 Terza rilazioni fundamintali 

chì vali solu par  incù 

da quissa s'utteni

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di  par a scelta oppurtuna di i cenni.

 Formuli di l'anguli assuciati 
In a circumfarenza guniumetrica si chjamani anguli assuciati l'anguli , ,  è . 'Ss'anguli ani in valori assulutu listessu sinu è listessu cusinu.

 Formuli di l'anguli assuciati di u sicondu quadranti 

 Formuli di l'anguli assuciati di u terzu quadranti 

 Formuli di l'anguli assuciati à u quartu quadranti 

 Formuli di l'anguli opposti 

Si dici ch'è  hè una funzioni para, mentri  è  sò dispari.

 Formuli di l'anguli cumplimintarii (a so somma hè un angulu rettu) 

 Formuli di l'anguli chì sò diffarenti d'un angulu rettu 

 Formuli guniumetrichi 
In trigunumitria, i formuli d'addizioni è suttrazzioni parmettini di trasfurmà i funzioni trigunumetrichi di l'addizioni o diffarenza di dui anguli in un'esprissioni cumposta da funzioni trigunumetrichi di i dui anguli.

 Formuli d'addizioni 





A formula di a tangenti vali par  incù 

A formula di a cutangenti vali par  incù 

 Formuli di suttrazzioni 





A formula di a tangenti vali par  incù 

A formula di a cutangenti vali par  incù 

 Formuli di duplicazioni 






L'ultima formula vali par  è  incù 

 Formuli di liniarità 






L'ultima formula vali par  incù 

 Formuli di bisizzioni 
Attinzioni: hè nicissariu à valutà in qualessu quadranti cadi  par pudè sceglia i cenni oppurtuni di i siguenti formuli







L'ultima formula vali par .

 Formuli parametrichi 







induva  incù .

 Formuli di prustaferesi 









I furmuli di prustaferesi trasformani i sommi di funzioni guniumetrichi in prudutti.

 Formuli di Werner (inversi di i formuli di prustaferesi) 









I furmuli di Werner trasformani i prudutti di funzioni guniumetrichi in sommi.

 Formuli di l'angulu aghjuntu 



A siguenti ugualità hè virificata sottu i siguenti cundizioni

Ci voli à tena menti ch'è a tangenti guniumetrica hè piriodica di 180° è dunqua bisogna à valutà priventivamenti a pusizioni di  è dunqua

 Risuluzioni di i trianguli rittanguli 
upright=1.4|thumb|Cunvinzioni par a numinclatura di l'elementi d'un triangulu rittangulu
In u ghjergu matematicu "risolva un triangulu rittangulu" significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par cunvinzioni esisti una numinclatura in i trianguli rittanguli chì si pò veda nantu à a figura. Ci voli à ricurdà si ch'è
  è 
 un angulu hè aghjacenti à un catetu s'è u catetu hè un di i lati di l'angulu in quistioni.
 un angulu hè oppostu à un catetu s'è u catetu ùn hè micca un di i lati di l'angulu in quistioni.

Par asempiu  hè oppostu à u catetu  è aghjacenti à u catetu 
.

Sottu sti cunvinzioni in un triangulu rittangulu privalini i siguenti tiuremi

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u sinu di l'angulu oppostu à u catetu

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u cusinu di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a tangenti di l'angulu oppostu à u catetu da calculà.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a cutangenti di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu da calculà.

'Ssi tiuremi si traducini in i siguenti formuli par a risuluzioni di i trianguli rittanguli











Dimustrazioni
Si cunsidareghja un triangulu rittangulu  incù angulu rettu di vertici . Dittu  l'assu , nantu à u vertici  si custruisci una circumfarenza di raghju . I cuurdinati di u puntu  rapprisentani u  è u , è apposta ch'è  hè acutu indicheghjani ancu rispittivamenti i lunghezzi di i cateti  è .
upright=1.8|thumb|Dimustrazioni di i formuli di u triangulu rittangulu. 
Da a figura si pò ussirvà ch'è i dui trianguli rittanguli  è  sò simili in quantu ani dui anguli cungruenti:  in cumunu è l'anguli retti di vertici  è . Hè pussibuli cusì à custruiscia a prupurzioni frà i lati omologhi di i dui trianguli simili (lati opposti à l'anguli cungruenti):

Sustituiscendu i misuri di i lati s'otteni

è cusì



da quissa dui s'utteni ancu



Stu raghjunamentu pò essa chjaramenti stesu ancu à u terzu angulu  in modu da ottena formuli analoghi





 Applicazioni nutevuli di i trianguli rittanguli 
 Calculu di l'altezza d'una torra 
Si cunsidareghja u siguenti prublemu: calculà l'altezza d'una torra , cunniscendu solu a so basa (pianu orizuntali). Si distinguini dui casi 

 U pedi A di a torra hè raghjunghjibuli 
In stu casu basta à misurà u catetu  (), è da u puntu  misurà l'angulu acutu  () sottu à qualessu si vedi a summità di a torra  (). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

 U pedi A di a torra ùn hè micca raghjunghjibuli 
In stu casu  () hè scunnisciuta (in quantu u pedi 
 ùn hè micca raghjunghjibuli). Si faci dunqua una misura orizuntali  
() (cusì u catetu  hè ). Da u puntu  si misura l'angulu acutu  () è da  si misura l'angulu acutu  () sottu à u quali si vedi a summità di a torra  (). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni



Confruntendu i dui altezzi s'otteni un'equazioni in a scunnisciuta 

st'equazioni hè faciulamenti solubili cunnisciuti i  è 

Truvatu  s'hà  è cusì si pò calculà 

 Calculu di l'aria d'un triangulu qualsiasi 


è cusì

Sta formula vali ancu s'è  hè ottusu.

 Formuli di cunvirsioni da cuurdinati pularii a cuurdinati cartisiani è viciversa 
Fissatu annantu à un pianu un puntu urighjina  è una mezaretta , datu un puntu  di u pianu chì hè univucamenti individuatu da un paghju di numari riali  incù a cundizioni  è . A coppia di numari riali rapprisentani i cuurdinati pularii di .
Giumitricamenti  ripprisenta a distanza , mentri  ripprisenta l'angulu  misuratu in sensu antiurariu incù prima latu 
.

Hè pussibuli à truvà i rilazioni esistenti trà i cuurdinati cartisiani  è i cuurdinati pularii  di u puntu . I siguenti cunsidarazioni fatti par un puntu  nantu à u prima quadranti valini ancu par l'altri quadranti.

Imprudendu i formuli di i trianguli rittanguli si trovani i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati cartisiani

Elevendu à u quatratu è summendu s'otteni  è cusì si poni ritruvà i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati pularii

Ci voli à fà attinzioni ch'è a tangenti guniumetrica ùn esisti micca par  ed hè piriodica di 180° è dunqua ci voli à valutà priventivamenti a pusizioni di  par calculà di manera curretta 

 Tiuremi trigunumetrichi 
I tiuremi trigunumetrichi parmettini a risuluzioni di prublemi di natura diffarenti liata à a figura d'un triangulu qualsiasi, sprimendu i rapporti trà i lati è l'anguli di quist'ultimu.

 Tiurema di a corda 

Data una circumfarenza è una corda , u rapportu trà 'ssa corda è u sinu d'un qualsiasi angulu à a circumfarenza ch'è/chì insiste annantu à d'edda hè uguali à u diamitru di a circumfarenza:

 Tiurema di i sini 
Cunsidaratu un triangulu qualsiasi di lati ,  è , u rapportu trà i lati è i sini di l'anguli opposti rispittivi hè custanti è hè uguali à u diamitru di a circumfarenza circuscritta:

 Tiurema di u cusinu o di Carnot 
dritta|150px
U tiurema di u cusinu (chjamatu ancu tiurema di Carnot) afferma ch'è in un qualsiasi triangulu, u quatratu d'un latu hè uguali à a diffarenza trà a somma di i quatrati di l'altri dui lati è u doppiu pruduttu di 'ssi lati par u cusinu di l'angulu cumpresu trà eddi.
.

Vali à dì, indichendu incù  a lunghezza di i lati è  l'anguli à eddi opposti, s'otteni

Pò essa cunsidaratu una generalisazioni di u Tiurema di Pitagora.

 Risuluzioni di i trianguli qualsiasi 


 sò cunnisciuti un latu è dui anguli
 sò cunnisciuti trè lati
 sò cunnisciuti dui lati è l'angulu cumpresu
 sò cunnisciuti dui lati è un di i dui anguli opposti à i lati dati

A numinclatura di i lati è di l'anguli segue a cunvinzioni nantu à a figura.

 Risolva un triangulu cunnisciuti un latu (a) è dui anguli  

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i siguenti cundizioni

in casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

 A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti 

 Calculà l'angulu mancanti 
 Calculà u latu scunnisciutu  imprudendu u tiurema di i sini: 
 Calculà u latu scunnisciutu  imprudendu u tiurema di i sini: 

 Risolva un triangulu cunnisciuti i trè lati (a, b, c) 

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i disugualità triangulari. In casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

 A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti 

 calculà l'angulu  par via di u tiurema di u cusinu: 
 calculà l'angulu  par via di u tiurema di u cusinu: 
 calculà l'angulu mancanti 

 Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu cumpresu  

U prublemu hà sempri una sola suluzioni

 A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti 

 calculà u latu  (oppostu à l'angulu ) par via di u tiurema di u cusinu: 
 calculà l'angulu  (oppostu à u latu a) par via di u tiurema di u cusinu: 
 calculà l'angulu mancanti 

 Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu  oppostu à u latu a 

U prublemu pò avè nisciuna suluzioni, una suluzioni o dui suluzioni.

 Si calculeghja l'angulu scunnisciutu  incù u tiurema di i sini 
 S'è  hè ottusu si uttinarà un solu angulu  acutu, altrimenti si trova ancu .
 Si calculeghja  è eventualmenti 
 Si calculeghja  è eventualmente  imprudendu u tiurema di i sini 

 Etimulugia di i noma 
Com'è par u restu di i lingui rumanichi, a lingua corsa teni i noma di i funzioni trigunumetrichi da i paroli currispundenti latini.
A parola tangenti hè da latinu tangens, littiralamenti "chì tocca", in rifirimentu à i prubità giumetrichi di u sigmentu imprudatu par a difinizioni grafica di sta funzioni. Analugamenti si spiega l'etimulugia di a secanti, in latinu secans, "chì taglia". I paroli cusinu, cutangenti è cusecanti diriveghjani da a cuntrazzioni di i rispittivi paroli latini cumplimenti sinus, cumplimenti tangens, cumplimenti secans, vali a dì "sinu di l'angulu cumplimintariu", "tangenti di l'angulu cumplimintaria", "secanti di l'angulu cumplimintariu".

 Noti 

 Da veda dinò 
 Formuli di prustaferesi
 Formuli di Werner
 Funzioni trigunumetrica
 Angulu
 Sinu
 Cusinu
 Tangenti (matematica)
 Secanti (trigunumitria)
 Cusecanti
 Cutangenti
 Equazioni trigunumetrica
 Idantità trigunumetrica
 Tiurema di a corda
 Tiurema di i sini
 Tiurema di u cusinu
Toru (giumitria)
Giumitria piana
Angulu rettu
Catetu
Mezaretta
Perimetru
Sigmentu
Triangulu isusceli
Triangulu equilateru
Tiurema di Pitagora
Iputenusa
Tangenti
Triangulu
Uttaedru



Fonti
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.
Categoria:Matematica