Parabola (matematika)

Parabola je vrsta konusnog presjeka, kriva drugog stepena. Parabola je skup takvih tačaka u ravni, koje su jednako udaljene od prave (tzv. direktrisa) od date tačke, koja leži na toj pravoj (tzv. fokus). 

 Osobine 
Parabola je osno simetrična. Osa simetrije prolazi fokusom parabole i okomita je na direktrisu. Rotacijom parabole oko njene ose simetrije nastaje paraboloid. 

Za parabolu kažemo da je u normalnom položaju, kada je njena osa paralelna s osom  ili . 

Parabola se može definisati kao konusni presjek s nagibom koji je jednak jedan. Iz tog proizilazi, da su sve parabole slične. Parabolu možemo shvatiti kao granicu niza elipse, u kojoj je jednan od fokusa stacionaran, a drugi se postepeno udaljava do beskonačnosti. 

 Matematički zapisi  
Implicitni zapis 

Skup svih tačaka X u ravni, koje imaju istu udaljenost od fokusa F i od direktrise d, koja ne prolazi fokusom F. 

 Descartesov koordinatni sistem  
Standardni opis parabole:  
desno|Parabola u descartesovom koordinatnom sistemu 

V[m, n] – vrh parabole sa koordinatama m, n  
F – fokus parabole  
d – direktrisa  
o – osa parabole  
|DF| = p – veličina parametra,  

X[x, y] – proizvoljna tačka koja pripada paraboli  

 Kanonski oblik jednačine  
Kanonski (normalni) oblik jednačine parabole u normalnom položaju (osa parabole je paralelna sa osom  te za vrh parabole ) vrijedi 

Za  parabola je otvorena desno a za  parabola je otvorena lijevo. Za  dobija se parabola s vrhom u koordinatnom početku. 

Fokus tako zadane parabole ima koordinate 

a direktrisa je opisana jednačinom 



Kanonski oblik jednačine parabole s osom u osi  i vrhom u koordinatnom početku se može zapisati kao

Za  parabola je otvorena prema gore a za  otvorena je prema dole. 

 Jednačina konusnog presjeka  
Ako u jednačini konusnog presjeka uvrstimo  i , dobijemo parabolu u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom ), koja ima disektrisu 

fokus ima koordinate

a koordinate vrha su 

Parametar ima vrijednost 



Slično u slučaju  i  dobijamo parabolu u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom ). Za direktrisu, fokus, vrh i parametar dobijamo






Parabolu iz općeg do normalnog položaja se može prevesti rotacijom koordinatnog sistema o ugao  datim izrazom 


 Karakteristike parabole u odnosu na njen položaj  
 Osa parabole  je paralelna s osom  imajući minimum (tačka V) na osi . 
desno|Parabola u Descartesovom koordinatnom sistemu usmjerena ka pozitivnom djelu ose x 
Tjemena jednačina: 

Parametarska jednačina: 


Opća jednačina: 

Jednačina direktrise:  

Jednačina tangente u tački : 


Osa parabole  je paralelna s osoom  imajući maximum(tačka V) na osi . 
desno|Parabola u Descartesovom koordinatnom sistemu usmjerena ka negativnom dijelu ose x Tjemena jednačina: 
  Parametarska jednačina: 

  Opća jednačina: 
  Jednačina direktrise: 
  Jednačina tangente u tački : 


 Osa parabole  je paralelna s osom  imajući minimum. Konveksna parabola. 
desno|Parabola u Descartesovom koordinatnom sistemu usmjerena ka pozitivnom djelu y Tjemena jednačina: 
  Parametarska jednačina: 

  Opća jednačina: 
  Jednačina direktrise: 
  Jednačina tangente u tački : 


 Osa parabole  je paralelna s osom  imajući maksimum. Konkavna parabola. 
desnoParabola u Descartesovom koordinatnom sistemu usmjerena ka pozitivnom djelu y Tjemena jednačina: 
  Parametarska jednačina: 

  Opća jednačina:  
   Jednačina direktrise: 
  Jednačina tangente u tački : 


Uzajamni odnos parabole i prave  
Riješimo sistem jednačina parabole i prave. 
Ukoliko dobijemo linearnu jednačinu, koja ima rješenja - prava siječe parabolu u jednoj tački. 
Ukoliko linearna jednačina nema rješenja - prava i parabola se mimoilaze. 
Ukoliko dobijemo kvadratnu jednačinu i diskriminanta  je: 
 D > 0 dva rješenja - prava siječe parabolu u dvije tačke
 D = 0 jedno rješenje - prava je paraboli tangenta
 D < 0 nema rješenja - prava i parabola se mimoilaze 

 Polarni koordinatni sistem  
Parabola s fokusom u početku koordinatnog sistema i s vrhom na negativnoj poluosi x zapisuje se pomoću jednačine:

gdje  je parameter parabole.

Iz tog je vidljivo, da parametar parabole ima također značenje polovine dužine tzv. latus rectum, tako da je i tetiva konusnog presjeka okomita na glavnu osu u fokusu . Kod parabole se ta vrijednost izjednačava sa četverostrukom dužinom fokusne udaljenosti.

Polarnom jednačinom je moguće dokazati, da parabola nastane kružnom inverzijom karadiode.

 Parabola u realnom svijetu 
Trajektorije tijela koja se kreću u homogenom gravitacijskom polju su parabole. 
Po paraboli se također kreću tijela u centralnim gravitacijskim poljima, ako je njihova brzina tačno jednaka drugoj kosmičkoj brzini a smjer im se poklapa sa smjerom tog polja. Npr. put, po kojem se kreću neke kometi, su veoma slične paraboli.

Ako se zraka koja prilazi paraboli (ili paraboloidu) paralelno sa osom simetrije odbije od parabole/paraboloida, prolazit će fokusom. To je razlog, zašto se proizvode parabolična ogledala i antene (npr. kod automobila, dvogleda, telekomunikacijskih satelita i slično).

 Također pogledajte 
 Kružnica
 Hiperbola
 Konusni presjek
 Elipsa

 Vanjski linkovi 

 Parabola u enciklopediji MathWorld (engleski)


Kategorija:Konusni presjeci
Kategorija:Algebarske krive