Integro-diferencijalna jednačina

Integro-diferencijalna jednačina je jednačina koja uključuje i integrale i derivacije funkcije. 

Opšta linearna integro-diferencijalna jednačina prvog reda ima oblik

Kao što je tipično kod diferencijalnih jednačina, dobijanje rješenja zatvorenog oblika može često biti teško. U relativno malo slučajeva gdje se rješenje može naći, često se koristi neka vrsta integralne transformacije, gdje se problem prvo transformiše u algebarski. U takvim situacijama, rješenje problema može se dobiti primjenom inverzne transformacije na tu algebarsku jednačinu.

 Primjer 

Razmotrimo sljedeći problem prvog reda,



Laplaceova transformacija je definisana preko,

Nakon Laplaceova transformacije član po član i korištenja pravila za derivaciju i integraciju, integro-diferencijalna jednačina se prebacuje u sljedeću algebarsku jednačinu,

Time je,

.

Inverznom Laplaceovom transformacijom korištenjem metoda konturne integracije dobijamo

.

 Primjene 

Integro-diferencijalne jednačine opisuju mnoge situacije iz nauke i inženjerstva. Posebna važna oblast primjene je kod analize električnih kola.

Aktivnost međudjelujućih inhibitorskih i ekscitacijskih neurona može se opisati sistemom integro-diferencijalnih jednačina (pogledajte kao primjer članak Wilson-Cowanov model).

 Također pogledajte 

 Diferencijalna jednačina
 Parcijalna diferencijalna jednačina
 Laplaceova transformacija
 Integrodiferentna jednačina

 Vanjski linkovi 

 Interactive Mathematics
 Numeričko rješenje primjera korištenjem Chebfuna

 Reference 

 Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, “Theory of Integro-Differential Equations”, CRC Press, 1995

Kategorija:Diferencijalne jednačine
Kategorija:Integralne jednačine