Kvadratni korijen

U matematici, kvadratni korijen od broja x je broj r, takav da je r2= x, ili, drugim riječima, broj r, čiji je kvadrat (rezultat množenja broja sa samim sobom) jednak x.

Svaki nenegativan realan broj x ima jedinstven nenegativni kvadratni korijen, koji se naziva osnovni (glavni) kvadratni korijen, koji se označava sa radikalnim simbolom kao , ili, koristeći eksponentno označavanje, kao x1/2. Na primjer, osnovni korijen od 9 je 3, u oznaci , jer je  i 3 je nenegativan broj. Osnovni kvadratni korijen pozitivnog broja, međutim, je samo jedan od njegova dva kvadratna korijena.

Svaki pozitivan broj x ima dva kvadratna korijena. Jedan od njih je , koji je pozitivan, a drugi je , koji je negativan. Zajedno, ova dva korijena se obilježavaju kao . O kvadratnim korjenima negativnih brojeva može se govoriti u okviru kompleksnih brojeva. Općenitije, kvadratni korijen može se promatrati u bilo kojem kontekstu u kojem je pojam "kvadriranja" nekih matematičkih objekata definisan (uključujući i algebre matrica, endomorfološke prstene, i td.).

 Osobine 
mini|400px|Grafik funkcije , kojeg čini pola parabole s vertikalnom direktisom.
Osnovni korijen funkcije  (obično se naziva samo "funkcija kvadratnog korijena") je funkcija koja preslikava skup nenegativnih realnih brojeva R+ ∪ (0) u samog sebe, i, kao i sve funkcije, uvijek vraća jedinstvenu vrijednost. Funkcija kvadratnog korijena, također, preslikava racionalne brojeve u algebarske brojeve (nadskup racionalnih brojeva);  je racionalan ako i samo ako je x racionalan broj koji se može prikazati kao omjer dva savršena kvadrata. U geometrijskom smislu, kvadratni korijen funkcije preslikava površinu kvadrata na njegovu dužinu stranice.

 Za sve realne brojeve x 
     (pogledajte apsolutnu vrijednost)

 Za sve nenegativne realne brojeve x i y,

i

 Funkcija kvadratnog korijena je neprekidna za sve nenegativne x i diferencijabilna za sve pozitivne x. Njena derivacija data je kao

Taylorov red od √1 + x oko x = 0 konvergira za | x | < 1, i dat je kao

 Izračunavanje 

Većina džepnih kalkulatora ima tipku za kvadratni korijen. Računarski softveri se, također, često koriste za izračunavanje kvadratnih korijena. Računarski programi obično sadrže dobre rutine za izračunavanje eksponencijalne funkcije i prirodnog logaritma ili logaritma, da bi kvadratni korijen od x izračunao koristeći identitet
 ili 
Isti identitet se koristi kada se kvadratni korijen računa pomoću logaritamskih tablica ili logaritmara.

Najčešći iterativni metod "ručnog" izračunavanja kvadratnog korijena je poznat kao "Babilonski metod" ili "Heronov metod" (po grčkom filozofu iz prvog vijeka, Heronu, koji ga je prvi opisao. Metod ima jednostavan algoritam, koji daje rezultat broj, koji je sve bliži tačnom rezultatu, pri svakom novom koraku izračunavanja. Kako bi odredili r, kvadratni korijen realnog broja x:
Počnemo sa proizvoljnom pozitivnom početnom vrijednosti r (što je bliža kvadratnom korijenu od x, to je bolje).
Zamijenimo r sa srednjom vrijednosti između r i x/r, to jest:  (Dovoljno je uzeti aproksimativnu vrijednost srednje vrijednosti kako bi se osigurala konvergencija).
Ponavljamo korak 2 sve dok r i x/r nisu blizu po našoj želji ili potrebi.

Vremenska složenost za izračunavanje kvadratnog korijena sa n decimala preciznosti je ekvivalentna onoj pri množenju dva broja sa n decimala.

 Također pogledajte 

 Kubni korijen
 Kvadratni korijen cijelog broja
 Metodi izračunavanja kvadratnog korijena
 Ugnjiježdeni radikal
 Nti korijen
 Kvadratni iracionalni broj
 Kvadratni ostatak
 Korijen od jedan
 Rješavanje kvadratnih jednačina sa neprekidnim razlomcima
 Kvadrat (algebra)
 Kvadratni korijen od 2
 Kvadratni korijen od 3
 Kvadratni korijen od 5
 Kvadratni korijen matrice
 Princip kvadratnog korijena

 Zabilješke 

 Reference 





 Vanjski linkovi 

 Japanske soroban tehnike - metod profesora Fukutaro Katoa
 Japanske soroban tehnike - metod Takashi Kojime
 Algoritmi, implementacije i više - web stranica Paula Hsieha za kvadratne korijene
 Kvadratni korijen pozitivni realni brojevi sa implementacijama u Rexx.
 Kako ručno izračunati kvadratni korijen

Kategorija:Elementarne posebne funkcije
Kategorija:Elementarna matematika