Leibnizova formula za determinante

U algebri, Leibnizova formula izražava determinantu kvadratne matrice  preko permutacija elemenata te matrice. Naziv je dobila prema njemačkom matematičaru Gottfriedu Leibnizu, a formula glasi:

za matricu dimenzije n×n, gdje je sgn sgn funkcija ili permutacije u permutacionoj grupi Sn, koja daje razultat +1 i −1 za parne i neparne permutacije, respektivno.

Druga uobičajna notacija, koja se koristi za ovu formulu, je preko Levi-Civitaovog simbola, te koristi Einsteinovu notaciju, kada postoje:

što je poznatije fizičarima.

 Formalni iskaz i dokaz 

Teorem

Postoji tačno jedna funkcija

koja je alternativno multilinearno prema kolonama, takvo da je .

Dokaz

Jedinstvenost: Neka  bude funkcija, i neka  bude matrica dimenzije . Reći ćemo da je  -ta kolona matrice , to jest , takvo da je 

Također, neka  označava -tu vektor kolonu matrice identiteta.

Tada se piše svaki  član kao , to jest

.

Pošto je  multilinearno, imamo da je

Iz alternacije, slijedi da ako je , tada imamo

Pošto gornja suma uzima u obzir sve moguće šanse poredanih -tostrukosti , i pošto  implicira da je F nula, suma se može redukovati iz mnogostrukosti do permutacija kao

Pošto je F alternativno, kolone  se mogu zamijenjivati dok ne postane identitet. Sgn funkcija  definisana je da broji broj zamijena neophodnih, te da uračuna rezultirajuću promjenu znaka. Na kraju se dobija:

gdje  treba da bude jednako .

Zbog toga, ni jedna funkcija pored funkcije definisane preko Leibnizove formule nije multilinearna alternativna funkcija sa .

Postojanje: Sada ćemo pokazati da F, gdje je F funkcija definisana preko Leibnizove formule, ima tri osobine.

Multilinearnost:

Alternativnost:

Sad neka  bude mnogostrukost jednaka  sa zamijenjenim indeksima  i . Slijedi iz definicije  funkcije da je .

Konačno, :

Zbog toga samo funkcije, koje su multilinearno alternativne s , su ograničene na funkcije koje su definisane Leibnizovom formulom, koja i sama ima tri osobine. Zbog toga determinanta može biti definisana kao jedina funkcija

sa ove tri osobine.

 Također pogledajte 
 Matrica (matematika)
 Kramerovo pravilo

 Reference 

 Lloyd N. Trefethen and David Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).

Kategorija:Determinante
Kategorija:Linearna algebra
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz