Elementarna algebra

Elementarna algebra je osnovna algebra koju izučavaju učenici sa malo ili nimalo formalnog znanja iz oblasti matematike, osim aritmetike. Dok se u aritmetici javljaju samo brojevi i njihove aritmetičke operacije (poput +, −, ×, ÷), u algebri se također koriste simboli (poput x i y, ili a i b) za označavanje brojeva. Ovi simboli se nazivaju promjenljive. One su korisne jer:
 omogućavaju da se generalizacije aritmetičkih jednačina (i nejednačina) izraze u obliku zakona (kao što je  za svako a i b), a ovo je prvi korak u sistematskom izučavanju osobina realnih brojeva.
 omogućavaju pozivanje na brojeve koji nisu poznati. U kontekstu problema, promjenljiva može da predstavlja neku vrijednost koja nije poznata, ali može biti riješena kroz formulaciju i manipulaciju jednačinama. 
 omogućavaju proučavanje matematičkih odnosa izmeću veličina (poput ako prodaš x karata, onda će tvoj profit iznositi  maraka).

U elementarnoj algebri, izraz može da sadrži brojeve, promjenljive i aritmetičke operacije. Slijedi nekoliko primjera:

U malo naprednijoj algebri, izraz može da sadrži i  elementarne funkcije.

Jednačina predstavlja tvrdnju da su dva izraza jednaka. Neke jednačine su tačne za sve vrijednosti promjenljivih koje se u njima pojavljuju (naprimjer ); takve izraze nazivamo identitetima. Uslovne jednačine su tačne samo za neke vrijednosti svojih promjenljivih:  Vrijednosti promjenljivih koje čine da jednačina bude tačna se nazivaju rješenjima jednačine.

= Zakoni elementarne algebre<ref name"law">Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra' Library of Congress. p.72-3. .</ref>==

 Sabiranje je komutativna operacija (zbir dva broja je isti nezavisno od redoslijeda u kojem ih zapisujemo).
 Oduzimanje je operacija suprotna sabiranju.
 Oduzimanje je isto što i sabiranje negativnim brojem:

 Primjer: ako je , onda je 
 Množenje je komutativna operacija.
 Dijeljenje je operacija suprotna množenju.
 Podeliti jedan broj drugim je isto što i pomnožiti ga recipročnom vrednoštu drugog broja:

 Stepenovanje nije komutativna operacija.
 Stoga stepenovanje ima dve suprotne operacije: logaritmovanje i stepenovanje recipročnim eksponentom (naprimjer kvadratni korijen).
 Primjeri: ako  onda  Ako  onda 
 Kvadratni korijen negativnih brojeva ne postoji u sistemu realnih brojeva (Pogledajte: Kompleksni brojni sistem)
 Asocijativno osobina sabiranja: 
 Asocijativno svojstvo množenja: 
 Distributivno osobina množenja u odnosu na sabiranje: 
 Distributivna osobina stepena u odnosu na množenje: 
 Kombinovanje eksponenata: 
 Stepen stepena: 

 Zakoni jednakosti 

 Ako  i , onda  (tranzitivnost jednakosti).
  (refleksivnost jednakosti).
 Ako  onda  (simetrija jednakosti).

 Drugi zakoni 

 Ako  i  onda 
 Ako  onda  za svako c (adiciono svojstvo jednakosti).
 Ako  i  onda  = 
 Ako  onda  za svako c (multiplikativna osobina jednakosti).
 Ako su dva simbola jednaka, onda se jedan može zamijeniti drugim po želji (princip smjene).
 Ako  i  onda  (tranzitivnost nejednakosti).
 Ako  onda  za svako c.
 Ako  i  onda 
 Ako  i  onda 

 Primjeri 

 Linearne jednačine jedne promjenljive 

Najjednostavnije jednačine su linearne jednačine koje imaju samo jednu promjenljivu. One sadrže samo konstantne brojeve i jednu promjenljivu bez eksponenta. Naprimjer:

Ključna tehnika je sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje obe strane jednačine istim brojem kako bi se izolovala promjenljiva sa jedne strane jednačine. Kada se promjenljiva izoluje, sa druge strane jednačine ostaje vrijednost promjenljive. Naprimjer, oduzimanjem 4 sa obe strane gornje jednačine se dobija:

što se pojednostavljuje na:

Dijeljenjem obe strane brojem 2:

se dobija rješenje:

Opći slučaj,

ima isti format rješenja:

 Kvadratne jednačine 

Kvadratne jednačine mogu da se izraze u obliku ax2 + bx + c = 0, gde je a različito od nule (jer kad bi bilo jednako nuli, jednačina ne bi bila kvadratna već linearna). Zbog ovoga, kvadratna jednačina mora da sadrži član ax2. Stoga je a ≠ 0, pa možemo da podijelimo jednačinu sa a i da preuradimo jednačinu da ima standardni oblik

gde je p = b/a, a q = −c/a. Rješavanje ovoga, procesom dopune do kvadrata, vodi do kvadratne formule.

 Sistem linearnih jednačina 

U slučaju kada imamo sistem linearnih jednačina, poput naprimjer, dvije jednačine sa dvije nepoznate, često je moguće naći rješenja za obe promjenljive koje zadovoljavaju obe jednačine.

 Prvi metod rješavanja sistema 

Primjer sistema linearnih jednačina bi mogao da bude slijedeće:

Množenjem izraza u drugoj jednačini sa 2:

Sabiranjem jednačina, dobije se:

što se može pojednostaviti

Kako nam je sada poznato da je x = 2, moguće je izračunati da je y = 3 iz bilo koje od dve početne jednačine (umetanjem 2 umjesto x). Kompletno rješenje ovog sistema je

Ovo nije jedini način da se reši ovaj sistem; mogli smo da nađemo y prije nego što smo našli x.

 Drugi metod rješavanja sistema 

Drugi način za rešavanje istog sistema linearnih jednačina je korištenje smene.

Ekvivalent y se može naći korištenjem jedne od ovih jednačina. Naprimjer, korištenjem druge:

Oduzimanjem 2x sa obe strane jednačine:

i množenjem sa -1:

Korištenjem ove vrijednosti y u prvoj jednačini početnog sistema:

Dodavanjem 2 sa obe strane jednačine:

što se može pojednostaviti

Korištenjem ove vrijednosti u obe jednačine dobija se isto rješenje kao i kod prethodnog metoda. 

Također, ni ovo nije jedini način da se riješi ovaj sistem; i ovde smo mogli prvo da izračunamo y pa onda x.

 Drugi tipovi sistema linearnih jednačina 

 Nerješivi sistemi 

U gornjem primjeru, moguće je naći rješenje sistema. Međutim, postoje i sistemi linearnih jednačina koje nemaju rješenje. Očigledan primjer je:

Druga jednačina u sistemu nema rješenje. Stoga, sistem ne može biti riješen. 
Međutim, nije sve nezadovoljive sisteme moguće isprva prepoznati. Uzmimo naprimjer sistem:

Ako pokušamo da rešimo ovaj sistem (naprimjer korištenjem metoda smene koji je gore objašnjen), druga jednačina nakon dodavanja − 2x na obe strane i množenjem sa −1, daje:

A kada se ovo iskoristi kao vrijednost y u prvoj jednačini:

Nema preostalih promjenljivih, a jednakost nije tačna. Ovo znači da prva jednačina ne može da da rješenje za vrijednost y dobijenu iz druge jednačine.

 Neodređeni sistemi 

Postoje i sistemi sa višestrukim rješenjima ili beskonačnim brojem rješenja, za razliku od sistema sa jedinstvenim rješenjem (gde naprimjer postoje jedinstvene vrijednosti za x i y) Naprimjer:

Ako izolujemo y u drugoj jednačini:

I iskoristimo ovu vrijednost u prvoj jednačini sistema:

Ova jednakost je tačna, ali nam ne daje vrijednost za x. Zaista, lahko se može provjeriti (upisivanjem nekih vrijednosti za x) da za svako x postoji rješenje, sve dok je y = −2x + 6. Postoji beskonačan broj rješenja ovog sistema.

 Također pogledajte 

 Binarna operacija
 Gaussova eliminacija
 Matematičko obrazovanje
 Brojna linija
 Polinom
 Trinom
 Racionalizacija (matematika)

 Literatura 

 Leonhard [Euler],  Elements of Algebra, Tarquin Press, 2007
 Charles Smith, A Treatise on Algebra'', in Cornell University Library Historical Math Monographs.

 Reference 

*