Laplaceova transformacija

U matematici, Laplaceova transformacija jedna je od najpoznatijih i najšire korištenih integralnih transformacija. Koristi se za dobijanje jednostavno rješive algebarske jednačine iz obične diferencijalne jednačine. Ima mnogo primjena u matematici, fizici, optici, elektrotehnici, kontrolnom inženjerstvu, obradi signala te teoriji vjerovatnoće.

U matematici se koristi za rješavanje diferencijalnih i integralnih jednačina, u fizici za analizu linearnih vremensko-invarijantnih sistema kao što su električne mreže, harmonijski oscilatori, optički instrumenti, te mehanički sistemi. U ovoj analizi Laplaceova transformacija često se interpretira kao transformacija iz vremenskog domena, gdje su unosi i rezultati funkcije koje zavise od vremena, u frekventni domen, gdje su isti unosi i rezultati funkcije koje zavise od kompleksne ugaone frekvencije, ili radijana po jedinici vremena. Za dati matematički ili funkcionalni opis unosa i rezultata u sistemu Laplaceova transformacija daje alternativni funkcionalni opis, koji često pojednostavljuje proces analiziranja ponašanja sistema ili pomaže da napišemo novi sistem baziran na određenim specifikacijama.

Oznake , Laplaceova tranformacija je linearni operator funkcije f(t) (original) s realnim argumentom t (t ≥ 0) koju transformiše u funkciju F(s) (slika) s kompleksnim argumentom s. Ova transformacija, u suštini, bijektivna je za većinu od praktičnih upotreba. Laplaceova transformacija ima korisnu osobinu da mnoge relacije i operacije nad originalnima f(t) odgovaraju jednostavinjim relacijama i operacijama nad slikama F(s)Korn and Korn, Section 8.1.

 Historija 
mini|desno|Potret Pierre-Simona Laplacea iz 1842.
Laplaceova transformacije dobila je naziv u čast matematičara i astronoma Pierre-Simona Laplacea, koji ju je koristio u svojim radovima iz teorije vjerovatnoće.

Od 1744. Leonhard Euler istraživao je integrale oblika:

kao rješenja diferencijalnih jednačina, ali materiju nije dovoljno istražio.Euler (1744), (1753) and (1769) Joseph Louis Lagrange bio je poštovalac Eulera i u svom radu o integrisanju funkcija gustine vjerovatnoće istraživao je izraze oblika:

koje neki moderni historičari interpretiraju kao modernu teoriju Laplaceove transformacije.Lagrange (1773)Grattan-Guinness (1997), str. 260.

 Formalna definicija 
Laplaceova transformacija funkcije f(t), definisana za sve realne brojeve t ≥ 0, jest funkcija F(s), definisana sa:

Donja granica 0− je kraća oznaka, koja znači
,

a koja osigurava uključenost cjelokupne Diracove delta funkcije δ(t) u 0, ako postoji takav impuls u f(t) u 0.

Parametar s je opći kompleksan broj:

Ova integralna transformacija ima mnogo osobina koje je čine korisnom za analiziranje linearnih dinamičkih sistema. Najvažnija prednost jest ta što diferenciranje i integrisanje postaju množenje i dijeljenje, respektivno, sa s. (Ovo je slično načinu na koji logaritmi mijenjaju operaciju množenja brojeva u sabiranje njihovih logaritama.) Laplaceova transformacija mijenja integralne i diferencijalne jednačine u polinomske jednačine, koje je mnogo lakše riješiti. Kada se riješe, koristi se inverzna Laplaceova transformacija za povratak na vremenski domen.

 Također pogledajte 
 Fourierova transformacija
 Laplaceova transformacija primijenjena na diferencijalne jednačine
 Obrada analognog signala
 Primijenjena vjerovatnoća

 Reference 

 Bibliografija 
 Moderna 
 G.A. Korn and T.M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill Companies; 2nd edition (June 1967).  
 A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. 
 William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1986. 
 Davies, Brian, Integral transforms and their applications, Third edition, Springer, New York, 2002. 
 Wolfgang Arendt, Charles J.K. Batty, Matthias Hieber, and Frank Neubrander. Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, 2002. 

 Historijska 


 Euler, L. (1744) "De constructione aequationum", Opera omnia 1st series, 22:150-161
 — (1753) "Methodus aequationes differentiales", Opera omnia 1st series, 22:181-213
 — (1769) Institutiones calculi integralis 2, Chs.3-5, in Opera omnia 1st series, 12
 Grattan-Guinness, I (1997) "Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Gillispie, C. C. Pierre Simon Laplace 1749-1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, 
 Lagrange, J. L. (1773) "Mémoire sur l'utilité de la méthode", Œuvres de Lagrange, 2:171-234

 Vanjski linkovi 
 Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
 Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 Laplace Transform Module by John H. Mathews
 Good explanations of the initial and final value theorems 
 Laplace Transforms at MathPages
 Laplace and Heaviside at Interactive maths.
 Laplace Transform Table and Examples at Vibrationdata.
 Laplace Transform Cookbook at Syscomp Electronic Design.
 Examples  of solving boundary value problems (PDEs) with Laplace Transforms
 ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems  — Gives brief overview of how the Laplace transform is used with ODE's in engineering.

Kategorija:Laplaceove transformacije
Kategorija:Diferencijalne jednačine
Kategorija:Fourierova analiza
Kategorija:Integralne transformacije
Kategorija:Matematička fizika