Dirichletov red

U matematici, Dirichletov red je svaki red oblika

gdje su s i an, (n = 1, 2, 3, ...) kompleksni brojevi.

Dirichletov red igra mnogo važnih uloga u analitIčkoj teoriji brojeva. Najčešća definicija Riemannove zeta-funkcije je Dirichletov red, kao što su Dirichletove L funkcije. Pretpostavlja se da se Selbergova klasa redovao pokorava generalizovanoj Riemannovoj hipotezi. Red je dobio ime u čast Johann Peter Gustav Lejeune Dirichleta.

 Primjeri 

Najpoznatiji Dirichletov red je

što predstavlja Riemannovu zeta-funkciju. Drugi je:

gdje je μ(n) Möbiusova funkcija. Ovaj i mnogi drugi redovi mogu se dobiti primjenom Möbiusove formule inverzije i Dirichletove konvolucije na poznate redove. Na primjer, za dati Dirichletov karakter  dobija se

gdje je  Dirichletova L funkcija.

Drugi identiteti su

gdje je φ(n) Eulerova fi funkcija, i

gdje je σa(n) sigma funkcija. Drugi identiteti sa funkcijom d=σ0 su

Logaritam zeta-funkcije dat je sa

za Re(s) > 1. Ovdje je  von Mangoldtova funkcija. Logaritamska derivacija je tada

Zadnje dvije formule su specijalni slučajevi općenitijeg odnosa derivacija Dirichletovog reda, datog ispod.

Za datu Liouvilleovu funkciju , imamo

Još jedan primjer uključuje Ramanujanovu sumu:

 Analitičke osobine Dirichletovog reda: apscisa konvergencije 

Za dati niz {an}n ∈ N kompleksnih brojeva pokušavamo odrediti vrijednost

kao funkcije kompleksne promjenljive s. Kako bi ovo imalo smisla, moramo odrediti osobine konvergencije za gornji bekonačani red:

Ako je {an}n ∈ N ograničen niz kompleksnih brojeva, tada odgovarajući Dirichletov red f konvergira apsolutno na otvorenoj poluravni s tako da je Re(s) > 1. Općenitije, ako je an = O(nk), red konvergira apsolutno na poluravni Re(s) > k + 1.

Ako je skup suma an + an + 1 + ... + an + k ograničen sa n i k ≥ 0, tada gornji beskonačni red konvergira na otvorenoj poluravni s tako da vrijedi Re(s) > 0.

U oba slučaja f je analitička funkcja odgovarajuće otvorene poluravni.

Općenito, apscisa konvergencije Dirichletovg reda je prekid realne ose vertikalne linije u kompleksnoj ravni, takav da postoji konvergencija sa lijeve, a divergencija sa desne strane. Ovo je analogno za Dirichletov red radijusa konvergencije za potencijalne redove. Slučaj kod Dirichletovog reda je komplikovan, jer se apsolutna konvergencija i uniformna konvergencija mogu javiti u različitim poluravnima.

 Derivacije 

Za dato

za potpuno multiplikativnu funkciju ƒ(n), te pretpostavljajući da red konvergira za Re(s) > σ0, dobijamo da

konvergira za Re(s) > σ0. Ovdje,  je von Mangoldtova funkcija.

 Proizvodi 

Pretpostavimo



i



Ako su oba F(s) i G(s) apsolutno konvergentni za s > a i s > b tada imamo



Ako je a = b i ƒ(n) = g(n) imamo



 Transformacije integrala 

Mellinova transformacija Dirichletovog reda data je Perronovom formulom.

 Također pogledajte 

 Regularizacija zeta-funkcije

 Reference 

 Vanjski linkovi 
 https://www.wolframalpha.com/input?i=dirichlet+series
 G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).
 The general theory of Dirichlet's series  by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections

Kategorija:Zeta i L-funkcije
Kategorija:Matematički redovi