Nejednakost

Ovaj članak govori o nejednakostima u matematici. Za druga značenja, pogledajte članak nejednakost (čvor).
Za članak o nejednakim iskazima, pogledajte članak Nejednačina.

desno|mini|250px|Grafika rješenja sistema lineranih nejednakosti.

U matematici, nejednakost je iskaz o relativnoj veličini ili redu dva predmeta, ili o tome da li oni isti lil nisu (Također pogledajte: jednakost)

 Oznaka a < b znači da je a manje od b.
 Oznaka a > b znači da je a veće od b. 
 Oznaka a ≠ b znači da je a nije jednako sa b, ali ne govori da je jedno veće od drugog, ili čak da se mogu porediti po veličini.
U svim ovim slučajevima, a nije jednakosa b, pa imamo, "nejednakost".

Ove relacije se poznate kao stroge nejednakosti

 Oznaka a ≤ b znači da je a manje ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne veće od b);
 Oznaka a ≥ b znači da je a veće ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne manje od b);

Postoje i oznake kojim se govori da je jedna veličina mnogo veća od druge, najčešće za nekoliko redova veličine.

 Oznaka a  b znači da je a mnogo manje od b.
 Oznaka a  b znači da je a mnogo veće od b.

Ako je smisao nejednosti isti za sve vrijednosti varijabli za koje su članovi nejednakosti definisani, tada se nejednakost naziva "apsolutnom" ili "bezuslovnom" nejednakosšću. Ako smisao nejednakosti važi samo sa određene vrijednosti varijabli, ali je suprotna ili se poništava za druge vrijednosti tih varijabli, tada se to naziva "uslovna nejednakost".

 Osobine 

Nejednakostima se manipuliše slijedeći osobine. Zapamtite da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, osobina, također, važi i kada se znak stroge nejednakosti (< i >) zamijeni sa njihovoim odgovarajućim nestogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).

 Trihotomija 

Osobina trihotomije kaže da je:

 Za sve realne brojeve, a i b, tačno jedno, od slijedećeg, je tačno:
 a < b
 a = b
 a > b

 Tranzitivnost 

Tranzitivnost nejednakosti kaže da je:

 Za sve realne brojeve, a, b, c:
 Ako je a > b i b > c; tada je a > c
 Ako je a < b i b < c; tada je a < c
 Ako je a > b i b = c; tada je a > c
 Ako je a < b i b = c; tada je a < c

 Sabiranje i oduzimanje 

Osobine vezane za sabiranje i oduzimanje kažu da je:

 Za sve realne brojeve, a, b, c:
 Ako je a < b, tada je a + c < b + c i a − c < b − c
 Ako je a > b, tada je  a + c > b + c i a − c > b − c

 Množenje i dijeljenje 

Osobine vezane za množenje i dijeljenje kažu da je:

 Za sve realne brojeve, a, b, c:
 Ako je c pozitivan i a < b, tada je ac < bc
 Ako je c negativan i a < b, tada je ac > bc

 Inverz sabiranja 

Osobine za inverz sabiranja kažu da je:

 Za sve realne brojeve a i b
 Ako je a < b, tada je −a > −b
 Ako je a > b, tada je −a < −b

 Inverz množenja 

Osobine za inverz množenja kažu da je:

 Za sve realne brojeve a i b, koji su ili oba pozitivni ili oba negativni
 Ako je a < b, tada je 1/a > 1/b
 Ako je a > b, tada je 1/a < 1/b

 Nejednakosti između srednjih vrijednosti 

Postoji mnogo nejednakosti između srednjih vrijednosti. Na primjer, za bilo koje pozitivne brojeve a1, a2, …, an, imamo da je H ≤ G ≤ A ≤ Q, gdje je

{| style="height:200px" 
|-
|   || (harmonijska sredina),
|-
|             || (geometrijska sredina),
|-
|              || (aritmetička sredina),
|-
| || (kvadratna sredina).
|}

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine
Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, ili kraće AG nejednakost, svakako je jedna od najpoznatijih algebarskih nejednakosti. Radi se o uporedbi aritmetičke sredine

i geometrijske sredine

za  i  uređene n-torke pozitivnih brojeva i .

Teorem (AG nejednakost)
Ako su a i w uređene n-torke pozitivnih brojeva, tada vrijedi . Jednakost se postiže ako i samo ako je .

Teorem  (AG nejednakost za tri pozitivna broja). 
Neka su a, b, c pozitivni realni brojevi. Tada vrijedi

Nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredine

Neka je a bilo koja n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

Dokaz

Primjenom aritmetičko geometrijske nejednakosti na brojeve , ... dobijamo

Jednakost vrijedi ako i samo ako je 

 Nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredine
Neka je a bilo koja n -torka pozitivnih realnih brojeva.  Tada je

Dokaz

znamo

  za 

Izrazi na obe strane  su pozitivni, dobijenu nejednakost možemo korjenovati čime dolazimo do

Jednakost  vrijedi ako i samo ako je 

 Nejednakosti stepena 

Ponekad sa oznakom "stepena nejednakost" podrazumjevamo jednakosti koje sadrže izraz tipa ab, gdje su a i b realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih varijabli.

 Primjeri 

 Ako je x > 0, tada je

 Ako je x > 0, tada je

 Ako je x, y, z > 0, tada je

 Za bilo koja dva različita broj a i b,

 Ako je x, y > 0 i 0 < p < 1, tada je

 Ako je x, y, z > 0, tada je

 Ako je a, b > 0, tada je

 Ako je a, b > 0, tada je

 Ovaj rezultat uopćio je R. Ozols 2002. godine, kada je dokazato da ako je a1, ..., an, tada je

 (rezultat je objevljen u latvijskom naučnom časopisu Zvjezdano nebo; pogledajte reference).

 Dobro poznate nejednakosti 

Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lahko. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive:
 Azumaova nejednakost
 Bernoulliova nejednakost
 Booleova nejednakost
 Cauchy–Schwarzova nejednakost
 Chebysheva nejednakost
 Chernoffova nejednakost
 Cramér-Raova nejednakost
 Hoeffdingova nejednakost
 Hölderova nejednakost
 Nejednakost aritmetičkih i geometrijskih sredina
 Jensenova nejednakost
 Kolgomorova nejednakost
 Markova nejednakost
 Minkowskijeva nejednakost
 Nesbittova nejednakost
 Pedoeova nejednakost
 Nejednakost trougla

 Također pogledajte 

Binarna relacija
Zagrada za upotrebu znakova < i > kao zagrada
Fourier-Motzkinova eliminacija
Nejednačina
Interval (matematika)
Djelimično uređen skup
Operator relacije, koristi se u programskim jezicima kako bi se označila nejednakost

 Reference 

 Vanjski linkovi 

 interaktivne linearne nejednakosti i grfikoni na www.mathwarehouse.com
 Solving Nejednakosti
 WebGraphing.com – kalkulator za crtanje grafika nejednakosti.
 Grafik nejednakosti od Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project.
http://e.math.hr/agnejednakost/index.html
NEJEDNAKOSTI IZMEĐU OSNOVNIH SREDINA


Kategorija:Elementarna algebra