1 + 1 + 1 + 1 + · · ·

mini|desno|200px| poslije izravnanja

1 + 1 + 1 + 1 + · · ·, može se pisati i kao , , ili , je divergentni red. To znači da niz parcijalnih suma ne konvergira do neke granice u skupu realnih brojeva.

Niz  može se posmatrati kao geometrijski niz sa zajedničkim odnosom . Za razliku od drugih geometrijskih nizova sa racionalnim odnosom (osim -1),
ne konvergira u realne brojeve.

Kada se pojavi u primjeni u fizici, red 1 + 1 + 1 + 1 + · · · se može interpretirati pomoću regularizacije zeta funkcije. To je vrijednost Riemannove zeta funkcije za 


Gore navedene formule ne važe za nulu, međutim, kako jedna mora da koristi analitički nastavak Rimanove zeta funkcije,
mini|desno|200px| Asimptotsko ponašanje izravnanja. U-presjek linije je 

Koristeći ovaj dobija se (s obzirom da je ),

The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation 10.april 2010

u kojoj je funkcija definisana, gdje red divergira po analitičkom produženju. U tom smislu vrijedi 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −1⁄2.

Može se reći da je

Lako se dokazuje  matematičkom indukcijom.


Tvrdnja ne važi  za  jer   nema smisla

U Dekartovom koordinantnom sistemu
desno|250px |Dekartov koordinantni sistem
U Dekartovom koordinantnom sistemu funkcija   sadrži iste tačke kao funkcija 

Za  

Funkcija   predstavlja linije u I kvadrantu  za 

Funkcija  predstavlja linije u IV kvadrantu  za  .

Za  :

Funkcija  predstavlja linije u II kvadrantu  .

Funkcija  predstavlja linije u III kvadrantu za   .

Demonstracija zbira
desno|250px |Carl Friedrich Gauss, otkrio trouglaste brojeve

  što je trouglasti broj koji je otkrio Gauss.

Formule
Razlika između zbirova

Za 

  koji odgovara

 što znači 

 koji odgovara

 što  znači 

Formule koje se odnose na razliku


možemo dobiti slične

za  :

  što znači   odnosno  .

 što znači  odnosno 

 što znači    odnosno 

  što znači   odnosno  .

 što znači     odnosno 

 što znači  odnosno a 

Opšta formula koja se odnosi na razliku

 na skupu .

Formule koje se odnose na proizvod


kad pomnožimo dobijemo 

 Također pogledajte 
 Grandijev red
 Reference 

Vanjski linkovi

Izvor
 The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation/ 10.april 2010
 Cosmology: Techniques and Observations /

Kategorija:Divergentni redovi
Kategorija:Matematički redovi
Kategorija:Jedan (broj)