Potencijalni red

U matematici, potencijalni red (ili stepeni red) (jedne promjenljive) je red oblika

gdje an predstavlja koeficijent n-tog sabirka, C je konstanta, a x je a blizu c. Ovi redovi se često javljaju u vidu Taylorovih redova neke date funkcije; u članku o Taylorovim redovima se mogu naći primjeri.
desno|mini|Eksponencijalna funkcija (plavo) i suma prvih n+1 članova njenog Maclaurinovog potencijalnog reda (crveno).
Jako često se uzima da je c jednako nuli, naprimjer, kada se razmatraju Maclaurinovi redovi.  
U ovim slučajevima, potencijalni red ima jednostavniji oblik

Ovakvi potencijalni redovi se javljaju uglavnom u analizi, ali također i u kombinatorici (kao generatorne funkcije) i u obradi signala.

 Primjeri 

Svaki polinom se lahko može izraziti kao potencijalni red kod tačke c, mada mu je većina koeficijenata jednaka nuli. Na primjer, polinom  se može zapisati kao potencijalni red oko  oblika

ili oko centra  kao

ili oko bilo kog drugog centra c. Stepeni redovi se mogu posmatrati kao polinomi beskonačnog reda, mada oni nisu polinomi.

Formula geometrijskog reda

koja važi za , je jedna od najvažnijih primjera potencijalnog reda, kao i formula eksponencijalne funkcije

i sinusna formula

koja važi za svako realno x.
Ovi potencijalni redovi su također i primjeri Taylorovih redova. Međutim, postoje potencijalni redovi koji nisu Taylorovi redovi ni jedne funkcije, naprimjer

Negativni potencijalni nisu dozvoljeni u potencijalnim redovima, naprimjer 
se ne smatra potencijalnim redom (mada jeste Laurentov red). Slično, razlomljeni potencijalnovi, kao što je  nisu dozvoljeni (vidi Piseov red). Koeficijenti  ne smiju da zavise od , stoga naprimjer:
 nije potencijalni red.

 Radijus konvergencije 

Stepeni red sigurno konvergira za neke vrijednosti promjenljive x (barem za x = c) a za ostale može da divergira. Uvek postoji broj r, 0 ≤ r ≤ ∞ takav da red konvergira kad god je |x − c| < r i divergira kad god |x − c| > r.  Broj r se naziva radijus konvergencije (ili stpen konvergencije) potencijalnog reda; u općem slučaju, radijus konvergencije je određen izrazom

ili, ekvivalentno,


(pogledajte limes superior i limes inferior). Brz način da se izračuna je

ako ovaj limes postoji.

Red konvergira apsolutno za  |x - c| < r i uniformno na svakom neprekidnom podskupu {x : |x − c| < r}.

Za  |x - c| = r, se ne može u općem slučaju reći da li red konvergira ili divergira. Međutim, Abelov teorem kaže da je suma reda neprekidna na x ako red konvergira na x.

 Operacije sa potencijalnim redovima 

 Sabiranje i oduzimanje 

Kada se dvije funkcije, f i g dekomponuju u potencijalni red oko istog centra c, potencijalni red zbira ili razlike funkcija se može naći sabiranjem ili oduzimanjem član po član. To jest, ako:

onda

 Množenje i dijeljenje 

Uz iste definicije kao i gore, potencijalni red proizvoda ili količnika funkcija se može dobiti na slijedeći način:

Niz  je poznat kao konvolucija nizova 
i .

Primijetimo, za dijeljenje:

a zatim se koriste gornji izrazi, upoređujući koeficijente.

 Diferenciranje i integracija 

Ako je funkcija data kao stepeeni red, ona je neprekidna gdje god konvergira, i diferencijabilna je na unutrašnjosti ovog skupa. Može se diferencirati ili integraliti vrlo jednostavno, član po član:

Oba ova reda imaju isti radijus konvergencije kao i početni.

 Analitičke funkcije 

Funkcija f definisana na nekom otvorenom podskupu U od R ili C se naziva analitičkom ako je lokalno zadata potencijalnim redom. Ovo znači da svako a ∈ U ima otvorenu okolinu V ⊆ U, takvu da postoji potencijalni red sa centrom a koji konvergira funkciji f(x) za svako x ∈ V.

Svaki potencijalni red sa pozitivnim radijusom konvergencije je analitički na unutrašnjosti svoje oblasti konvergencije. Sve holomorfne funkcije su kompleksno-analitičke. Sume i proizvodi analitičkih funkcija su analitičke, kao i količnici, sve dok nazivnik nije nula.

 Formalni potencijalni redovi 

U apstraktnoj algebri, pokušava se da se izvuče suština potencijalnih redova, bez ograničavanja na polja realnih i kompleksnih brojeva i bez potrebe da se govori o konvergenciji. Ovo dovodi do koncepta formalnog potencijalnog reda. Ovaj koncept je od velikog značaja u kombinatorici.

 Potencijalni redovi više Promjenljivih 

Stepeni redovi više Promjenljivih su definisani na slijedeći način

gdje je promjenljiva j = (j1, ..., jn) vektor prirodnih brojeva, koeficijenti  a(j1,...,jn) su obično realni ili kompleksni brojevi, a centar  c = (c1, ..., cn) i argument  x = (x1, ..., xn) su obično realni ili kompleksni vektori. Jednostavnija oznaka je

 Reference 

 Vanjski linkovi 

 Formalni potencijalni redovi na stranici MathWorld
 Stepeni redovi na stranici MathWorld

Kategorija:Matematička analiza
Kategorija:Matematički redovi