Dirichletovi uvjeti

U matematici, Dirichletovi uvjeti su dovoljan uvjet za realnu periodičnu funkciju f(x) da bude jednaka sumi njenog Fourierovog reda u svakoj tački gdje je f neprekidno. Štaviše, ponašanje Fourierovog reda u tačkama prekida također se određuje. Ovi uvjeti dobili su naziv po matematičaru Johannu Peteru Dirichletu.

Uvjeti su sljedeći:

f(x) mora imati konačan broj ekstrema u bilo kojem intervalu
f(x) mora imati konačan broj prekida u bilo kojem intervalu
f(x) mora biti apsolutno integrabilna unutar perioda.
f(x) mora biti ograničena

 Dirichletova teorema za jednodimenzionalne Fourierove redove 

Iskazali smo Dirichletovu teoremu pretpostavljajući da je f periodična funkcija s periodom 2π sa proširenjem Fourierovog reda

,

gdje je

Analogna tvrdnja stoji, bez obzira na to koji je period funkcije f ili koja je verzija proširenja Fourierovog reda izabrana (pogledajte članak: Fourierov red).

Dirichletova teorema: Ako f zadovoljava Dirichletove uvjete, tada za sve x imamo da je red, koji je dobijen uvrštavanjem x u Fourierov red, konvergentan te je dat sa

,

gdje oznake

predstavljaju desni/lijevi limes funkcije f. 

Funkcija koja zadovoljava Dirichletove uvjete mora imati desni i lijevi limes u svakoj tački prekida ili funkcija mora oscilirati u toj tački, što je u suprotnosti s uvjetom o ekstremima. Primijetimo da je u svakoj tački, gdje je f neprekidna, 

tako da je

.

Prema tome, Dirichletova teorema kaže da Fourierov red za funkciju f konvergira i da je jednak f ako je funkcija f neprekidna.

 Reference 

 Vanjski linkovi 

Kategorija:Fourierovi redovi