Kvadratna funkcija

U matematici, kvadratna funkcija  je polinomalna funkcija oblika , gdje je . Grafik kvadratne funkcije je parabola čija je glavna osa paralelna sa y-osom.

Izraz  u definiciji kvadratne funkcije je polinom stepena 2 ili polinom drugog stepena, zato što je najveći stepen od  broj 2.

Ako se za kvadratnu funkciju kaže da je jednaka nuli, tada je rezultat kvadratna jednačina. Rješenja ove jednačine nazivaju se korijeni jednačine ili nule funkcije.

 Korijeni 

Dva korijena kvadratne jednačine , gdje je , su:

Ova formula naziva se kvadratna formula. 

 Neka je 
 Ako je , tada postoje dva različita korijena, pošto je  pozitivan realna broj.
 Ako je , tada su dva korijena jednaka, pošto je  nula.
 Ako je , tada su dva korijena konjugovano kompleksni brojevi, pošto je  imaginarno.

Ako imamo da je  i  (ili obrnuto),  se može napisati kao .

 Grafik 

mini|
mini| 
mini| 
Bez obzira na oblik, grafik kvadratne funkcije je parabola (kao što je prethodno pokazano).

 Ako je , parabola je otvorena prema gore. 
 Ako je , parabola je otvorena prema dole.

Koeficijent a kontroliše brzinu rasta (ili opadanja) kvadratne funkcije iz tjemena, veći pozitivan broj a čini da funkcija raste brže, te se grafik čini više zatzvorenim.

Koeficijenti b i a zajedno kontrolišu osu simetrije parabole (također i x-koordinatu tjemena parabole).

Koeficijent b je strmost parabole kada ona presjeca y-osu.

Koeficijent c kontroliše visinu parabole, specifičnije, to je tačka gdje parabola presjeca y-osu.

 Presjek sa x–osom 

Presjeci grafika sa x-osom su isti kao i korijeni kvadratne funkcije (pogledajte iznad).

 Tjeme 

Tjeme (ili vrh) parabole je mjesto gdje se ona previja, pa se zbog toga naziva i tačka prevoja. Ako je kvadratna funkcija u svom standardnom obliku, tjeme je . Metodom potpunog kvadrata, može se opći oblik:  pretvoirti u



tako da će tjeme parabole u općem obliku biti



Ako je kvadratna funkcija u faktorskom obliku 

srednja vrijednost dva korijena



je x-koordinata tjemena, te je tjeme 



Tjeme je, također, tačka kasimuma, ako je  ili tačka minumuma, ako je .

Vertikalna linija



koja prolazi kroz tjeme se naziva osa simetrije parabole.

Tačke maksimuma i minimuma

Maksimu ili minimum funkcije se uvijek dobijaju u tjemenu. Izjednačavanjem prve derivacije funkcije sa nulom, dobit ćemo koordinate tjemena. Prednost ovog metoda je ta da se može koristiti i za ostale funkcije.  

Ako imamo funkciju  koja je jednostavna kvadratna jednačina. Da bi našli njene tačke maksimuma ili minimuma (koje zavise od , ako je , onda ima tačke minimuma, a ako je < 0\,\!</math>, ima tačke maksimuma) moramo prvo naći njenu derivaciju:

Tada, tražimo korijene od :



Dakle,  je  vrijednost od . Sada, da bi našli  vrijednost, zamijenimo  u :

Odavde, tačke maksimuma ili minimuma su:

 Također pogledajte 

 Kvadratni oblik
 Kvadratni polinom
 Matrično predstavljanje presjeka konusa
 Kvadratik
 Periodične tačke kompleksnog kvadratnog preslikavanja
 Spisak matematičkih funkcija

 Vanjski linkovi 



Kategorija:Polinomi