Egzaktna diferencijalna jednačina

U matematici, egzaktna diferencijalna jednačina ili jednačina totalnog diferencijala je jedna od vrsta obične diferencijalne jednačine, koja se široko koristi u fizici i inženjerstvu.

 Definicija 

Za dati jednostavno povezan prostor i otvoren podskup D od skupa R2 i dvije funkciju P i Q, koje su neprekidne na D, tada se implicitna diferencijalna jednačina oblika



naziva egzaktna diferencijalna jednačina ako postoji neprekidno diferencijabilna funkcija F, koja se naziva funkcija potencijala, tako a bude

and

Nomenklatura "egzaktne diferencijalne jednačine" odnosi se na totalni diferencijal funkcije. Za funkciju , egzaktni ili totalni diferencijal po  je dat kao

 Primjeri 

Funkcija

je funkcija potencijala za diferencijalnu jednačinu

 Postojanje funkcija potencijala 

U fizikalnim primjenama, funkcije P i Q obično nisu samo neprekidne, nego čak i neprekidno diferencijabilne. Schwarzov teorem (poznat i kao Clairautov teorem) nam tada pruža potreban uslov za postojanje funkcije potencijala. Za diferencijalne jednačine definisane na jednostavno povezanim skupovima, uslov je čak i dovoljan, te dobijamo slijedeći teorem:

Za datu diferencijalnu jednačinu oblika

gdje su P i Q neprekidno diferencijabilne funkcije na jednostavno povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R2, tada funkcija potencijala F postoji ako i samo ako je 

 Rješenja egzaktnih diferencijalnih jednačina 

Za datu diferencijalnu jednačinu definisanu na nekom povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R2 sa funkcijom potencijala F, tada diferencijabilna funkcija f sa (x, f(x)) u D je rješenje ako i samo ako postoji realan broj c, tako da vrijedi

Za problem početne vrijednosti 

možemo lokalno odrediti funkciju potencijala iz

Rješavajući

po y, gdje je c realan broj, možemo pronaći sva rješenja.

 Također pogledajte 

 Egzaktni diferencijal
 Totalni diferencijal

 Reference 

 Vanjski linkovi 

Kategorija:Obične diferencijalne jednačine