Cauchyjev korjeni test

U matematici, Cauchyjev korjeni test je test (kriterij) za određivanje konvergencije (test konvergencije) beskonačnih redova

Posebno je koristan kod potencijalnih redova.

 Test 

Korjeni test prvi je razvio Augustin Louis Cauchy, po kome je test i nazvan. Korjeni test koristi broj

gdje "lim sup" označava limes superiot, sa mogućnom vrijednost od ∞.

Korjeni test kaže da:

 ako je C < 1, tada red konvergira apsolutno, a
 ako je C > 1, tada red divergira.

(Ako je C = 1, test je neodlučan. Postoje neki redovi kod kojih za C = 1 red konvergira, npr. , ali postoje i redvi koji za C = 1 adivergiraju, npr. .)

 Primjena kod potencijalnih redova 

Ovaj test se može primijenjivati kod potencijalnih redova

gdje su koeficijenti cn i centar p kompleksni brojsevi, a argument z je kompleksna varijabla.

Članovi reda bi tada biti dati kao an = cn(z − p)n. Tada se primijeni korjeni test na an, kao što je pokazano na početku članka. Važno je primijetiti da se red kao što je ovaj ponekad naziva potencijalni red "oko p", jer je radijus konvergencije je radijus R najvećeg intervala ili diska centriranog u p tako da red konvergira za sve tačke z striktno unutar granica intervala (konvergencija na granicama intervalaili diska mora seprovjeriti odvojeno). Korolarija teoreme korjenog testa primijenjenog na ovakav potencijalni red je da je radijus konvergencije tačno .

 Dokaz 

Dokaz konvergentnosti reda Σan je primjena testa poređenja. Ako za sve n ≥ N (N neki fiskan prirodni broj) imamo  tada je  Pošto geometrijski red  konvergira, konvergira i red , prema testu poređenja. Apsolutna konvergencija u slučaju nepozitivnog an može se dokazati na potpuno isti način koristeći 

Ako vrijedi  za beskonačno mnogo n, tada an ne konvergira u 0, pa je red divergentan.

Dokaz korolarije:

Za potencijalni red Σan = Σcn(z − p)n, vidimo, iz prethodno izloženog, da red konvergira ako postoji N takav da za sve n ≥ N imamo

ekvivalentno sa

za sve n ≥ N, što implicira da, kako bi red konvergirao, moramo imati  za sve dovoljno velike brojeve n. Ovo je ekvivalentno iskazu

tako da brijedi . Sada jedino mjesto na kojem je konvergencija moguća je kada imamo

(pošto tačke > 1 divergiraju), a ovo neće promijeniti radijus konvergencije pošto su to samo tačke koje leže na granicama intervala ili diska, tako da vrijedi

 Također pogledajte 

 D'Alambertov test
 Konvergentni red

 Reference 




Kategorija:Infinitezimalni račun
Kategorija:Matematički redovi
Kategorija:Testovi konvergencije

pl:Kryteria zbieżności szeregów#Kryterium Cauchy'ego