Leibnizovo integracijsko pravilo

U matematici, Leibnizovo pravilo za diferencijaciju pod znakom integrala, koja je dobila naziv po Gottfriedu Leibnizu, nam govori da ako imamo integral oblika



tada se, za , derivacija ovog integrala može iskazati kao



uz uslov da su  i  neprekidne na oblastima oblika 

 Granice koje su varijable 

Općenitiji rezultat, primjenljiv kada su granice integracije a i b, kao i podintegralna funkcija ƒ( x, α ) funkcije parametra α, je:



gdje parcijalna derivacija od f govori da se unutar integrala samo varijacija od ƒ ( x, α ) sa α uzima u obzir pri računanju derivacije.

 Trodimenzionalni, vremenski zavisan slučaj 

desno|mini|250px|Slika 1: Vektorsko polje F ( r, t ) definisano kroz prostor, i površ Σ ograničena krivom ∂Σkoja se kreće brzinom v po kojoj se polje integriše.
Leibnizovog integraciono pravilo za tri dimenzije je:





gdje je:
F ( r, t ) vektorsko polje u prostornoj poziciji r u vremenu t
Σ je pokretna površ ograničena krivom ∂Σ
d A je vektorski element površi Σ
d s je vektorski element krive ∂Σ
v je brzina kretanja oblasti Σ
∇• je vetor divergencije
× je vektorski proizvod
Dvostruki integrali su površinski integrali po površi Σ, i linijski integral je po graničnoj krivoj ∂Σ.

 Dokazi 

 Osnovni oblik 

Prvo, pretspostavimo da vrijedi



Tada je



Zamjenom u prethodno imamo



Pošto je integracija linearna, možemo pisati dva integrala kao jedan:



Možemo konstantu staviti pod integral, zajedno sa podintegralnom funkcijom



Sada, pošto je podintegralna funkcija u obliku diferencijalnog količnika:



koji se pravda sa uniformna neprekidnost€uniformnom neprekidnošću, te je zbog toga 



 Reference 

 Također pogledajte 

 Pravilo derivacije proizvoda
 Leibnizovo pravilo (uopćeno pravilo derivacije proizvoda)
 Diferencijacija pod znakon integrala

Kategorija:Infinitezimalni račun
Kategorija:Integralni račun
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz
Kategorija:Gottfried Leibniz
Kategorija:Analiza više promjenjivih
Kategorija:Diferencijalni račun