Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija je funkcija u matematici. Primjena ove funkcije na vrijednost x se zapisuje kao ex, gdje je e matematička konstanta, baza prirodnog logaritma, koja približno iznosi 2,718281828,te je poznata pod nazivom Eulerov broj. Često, ovo se može napisati u obliku exp(x).
mini|200px|desno|The exponential function is nearly flat (climbing slowly) for negative values of x, climbs quickly for positive values of x, and equals 1 when x is equal to 0. Its y value always equals the slope at that point.

Ako funkcija od realne varijable x, grafik od y = ex je uvijek pozitivan (iznad x ose) i rastući (gledato s lijeva na desno). Funkcija nikada ne dodiruje x osu, iako se proizvoljno blizu približi istoj (tako da je x osa horizontalna asimptota grafika). Njena inverzna funkcija, prirodni logaritam, ln(x), je definisan za sve pozitivne x. Za eksponencijalnu funkciju se nekad kaže da je antilogaritam. Međutim, ova terminologija se, u zadnje vrijeme, manje koristi.

Ponekad, posebno u naukama, termin eksponencijalna funkcija se općenito koristi za funkcije oblika cbx, gdje je b, predstavljajući bazu, bilo koji pozitivan realan broj, a ne mora nužno biti e. Pogledajte članak eksponencijalni rast za više informacija o ovoj upotrebi.

Općenito, varijabla x može biti bilo koji realan ili kompleksan broj, ili čak potpuno druga vrsta matematičkog objekta; pogledajte formalnu definiciju ispod.

 Formalna definicija 

desno|mini|Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvihh n+1 članova potencijalnog reda lijevo (crveno). 

Eksponencijalna funkcija ex može se definisati, na razne ekvivalnetne načine, kao beskonačan red. Tačnije, može se definisati pomoću potencijalnog reda:

 .

Uočite da ova definicija ima oblik Taylorovog reda. Koristeći druge definicije za eksponencijalnu funkciju trebale bi dovesti do istog rezultata kada se proširi u Taylorov red.

Rjeđe, ex je definisano kao rješenje y jednačine



Također, to je slijedeća granična vrijednost:



 Neprekidni razlomci za ex 

Preko Eulerovog identiteta:

Naprednije tehnike su neophodne da se napiše sljedeće:

Ako stavimo da je m = x i n = 2, dobijamo

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravni

Eksponencijalna funkcija može se definisati i u kompleksnoj ravni na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku potencijalnog reda, gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:



Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost



vrijedi i u kompleksnoj ravni.

Razmatrana kao funkcija definisana u kompleksnoj ravni, eksponencijalna funkcija zadržava svoje osnovne osobine:






za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda , jer vrijedi



i



gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štaviše, može se definisati i funkcija oblika ab, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definisati općenitije da je



za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve



 Izračunavanje ez za kompleksan z 

Ovo slijedi direktno iz formule



Uočite da je argument y kod trigonometrijskih funkcija realan.

 Također pogledajte 

e (broj)
Karakterizacije eksponencijalne funkcije
Tetracija
Eksponencijalni rast
Eksponencijacija
Spisak integrala eksponencijalnih funkcija
Spisak tema o eksponencijalima

 Reference 

 Vanjski linkovi 


 Complex Exponential Function Module by John H. Mathews
 Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efunda.com 
 Complex exponential interactive graphic 

Kategorija:Elementarne posebne funkcije
Kategorija:Kompleksna analiza
Kategorija:Eksponencijali
Kategorija:Posebne hipergeometrijske funkcije