Vektorski proizvod

U matematici, vektorski proizvod je binarna operacija na dva vektora u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru koja rezultira drugim vektorom koji je okomit na ravan koji sadrži dva početna vektora. Algebra definisana vektorskim proizvodom niti je asocijativna niti komutativna. U suprotnosti je sa skalarnim proizvodom koji daje skalarni rezultat. U mnogim inženjerskim i fizikalnim problemima, zgodno je biti u mogućnosti konstruisati okomiti vektor sa dva postojeća vektora, što nam upravo omogućava vektorski proizvod. Vektorski proizvod poznat je i po nazivu  Gibbsov vektorski proizvod.

Vektorski proizvod nije definisan osim u tri ili sedam dimenzija. Kao i skalarni proizvod, zavisi od metrike Euklidovog prostora. Za razliku od skalarnog proizvoda, on također zavisi od odabira orijentacije. Određena obilježja vektorskog proizvoda mogu se uopćiti na ostale situacije. Za proizvoljan odabir orijentacije, vektorski proizvod se ne treba smatrati kao vektor, nego kao pseudovektor. Za proizvoljne odabire metrike, te u proizvoljnim dimenzijama, vektorski proizvod može se uopćiti preko vanjskog proizvoda vektora.
mini|desno|Ilustracija vektorskog proizvoda preko koordinatnom sistemu orjentisanom prema desnoj ruci.

 Definicija 

desno|mini|Određivanje pravca vektorskog proizvoda pomoću pravila desne šake.
Vektorski proizvod dva vektora a i b ima oznaku a × b. U fizici, ponekad se označava kao a ∧ b (matematičari ne koriste ovu oznaku, kako bi se izbjegla zabuna sa vanjskim proizvodom).

U trodimenzionalnom Euklidovom prostoru, sa koordinatim sistemom orjentisanim prema desnoj ruci, a × b je definisan kao vektor c koji je okomit na oba vektora a i b, sa pravcem određenim preko pravilom desne šake, a intenziteta jednakog površini paralelograma kojeg vektori a i b tvore.

Vektorski proizvod je definisan preko formule

gdje je θ mjera manjeg ugla između a i b (0° ≤ θ ≤ 180°), a i b su intenziteti vektora a i b, a  je jedinični vektor okomit na ravan koja sadrži a i b. Ako su vektori a i b kolinearni (ako je ugao θ između njih ili 0° ili 180°), preko gornje formule, vektorski proizvod vektora a ib je nulti vektor 0.

Pravac vektora  je dat preko pravila desne šake, gdje kažiprst pokazuje pravac prvog vektora a', a srednji prost pokazuje pravac vektora b. Tada, vektor  izlazi iz palca (pogledajte sliku desno). Iz ovog pravila vidimo da je vektorski proizvod antikomutativan, tj., b × a =  - (a × b). Ako prvo osmjerimo kažiprst u pravcu vektora b, a zatim usmjerimo srednji prst u pravcu vektora a, palac će biti okrenut u suprotnom pravcu, mijenjajući znak proizvoda vektora.

 Izračunavanje vektorskog proizvoda 

 Koordinatne oznake 

Jedinični vektori i, j i k iz datom ortogonalnog koordinatnog sistema zadovoljavaju slijedeće jednakosti:

i × j = k           j × k = i           k × i = j

Zajedno sa antisimetričnosti i bilinearnosti vektorskog proizvoda, ova tri identiteta su dovoljna kako bi se odredio vektorski proizvod bilo koja dva vektora. Također, slijedeći identiteti, također, važe

j × i = −k           k × j = −i           i × k = −j
i × i = j × j = k × k = 0.

Sa ovim pravilima, koordinate vektorskog proizvoda dva vektora mogu se lahko izračunati, bez određivanja ikakvih uglova: Neka je

a = a1i + a2j + a3k = (a1, a2, a3)

i

b = b1i + b2j + b3k = (b1, b2, b3).

Vektorski proizvod može se izračunati preko distributivnog vektorskog množenja:

a × b = (a1i + a2j + a3k) × (b1i + b2j + b3k)

a × b = a1i × (b1i + b2j + b3k) + a2j × (b1i +  b2j + b3k) + a3k × (b1i +  b2j + b3k)

a × b = (a1i × b1i) + (a1i × b2j) + (a1i × b3k) + (a2j × b1i) + (a2j × b2j) + (a2j × b3k) + (a3k × b1i) + (a3k × b2j) + (a3k × b3k).

Pošto je skalarno množenje komutativno sa vektorskim množenjem, desna strana može se regrupisati kao

a × b = a1b1(i × i) + a1b2(i × j) + a1b3(i × k) + a2b1(j × i) + a2b2(j × j) + a2b3(j × k) + a3b1(k × i) + a3b2(k × j) + a3b3(k × k).

Ova jednačina je suma devet jednostavnih vektorskih proizvoda. Nakon što se sve izmnoži korišteći osnovne relacije vektorskog proizvoda između jediničnih vektora i, j i k, definisanih iznad,

a × b = a1b1(0) + a1b2(k) + a1b3(−j) + a2b1(−k) + a2b2(0) + a2b3(i) + a3b1(j) + a3b2(−i) + a3b3(0).

Ova jednačina može se faktorisana u oblik

a × b = (a2b3 − a3b2) i + (a3b1 − a1b3) j + (a1b2 − a2b1) k = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1).

 Osobine 

 Geometrijsko značenje 

desno|mini|Slika 1: Površina paralelograma kao vektorski proizvod.
mini|250px|Slika 2: Zapremina paralelopipeda dobija se mješovitim proizvodom (kombinacija vektorskog i skalarnog proizvoda) tri vektora; isprekidane linije pokazuju projekciju c na a × b, te projekciju b × c na a, prvi korak u računanju skalarnog proizvoda.
Intenzitet vektorskog proizvoda može se interpretirati kao pozitivna površina paralelograma sa a ib kao njegovim stranicama (pogledajte Sliku 1):

Također, moguće je izračunati zapreminu V paralelepipeda, koji ima vektore a, b i c kao svoje stranice, korištenjem kombinacije vektorskog i skalarnog proizvoda, koji se naziva mješoviti proizvod (pogledajte Sliku 2):

Slika 2 pokazuje da se ova zapremina može izračunati na dva načina, pokazujući geometrijski da ovaj identitet važi i kada se redoslijed operacija promijeni. To jest, vrijedi da je:

 Algebarske osobine 

Vektorski proizvod je antikomutativan,
a × b = −b × a,

distributivan kod sabiranja,
a × (b + c) = (a × b) + (a × c),

i kompatibilan sa skalarnim množenjem, tako da je
(r a) × b = a × (r b) = r (a × b).

Nije asocijativan, ali zadovoljava Jacobijev identitet:
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

Vektorski proizvod ne podliježe osobini poništavanja:
Ako je a × b = a × c i a ≠ 0, tada je:
(a × b) − (a × c) = 0 i, po zakonu distribucije iznad:
a × (b − c) = 0
Sad, ako je a paralelan sa (b − c), tada, ćak i ako je a ≠ 0, moguće je da je (b − c) ≠ 0, te dobijamo da je b ≠ c.

Međutim, ako su i a · b = a · c i a × b = a × c, tada se može zaključiti da je b = c. Uistinu,
a . (b - c) = 0, i
a × (b - c) = 0
tako da je b - c i paralelno i okomito na nenulti vektor a. Ovo je jedino moguće ako je b - c = 0.

Distributivnost, linearnost i Jacobijev identitet pokazuju da R3 zajedno sa sabiranjem vektora i vektorskim proizvodom formira Lieovu algebru.

Dva vektora a and b, različita od nule, su paralelna ako i samo ako je a × b = 0.

 Također pogledajte 

 Mještoviti proizvodi – proizvodi sa tri vektora.
 Višestruki vektorski proizvod – proizvodi više od tri vektora.
 Skalarni proizvod
 Dekartov proizvod – proizvod dva skupa.
 × (simbol)

 Zabilješke 

 Reference  




 Vanjski linkovi 


  Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949  (it is only possible in 7-D space)
 Real and Complex Products of Complex Numbers
 An interactive tutorial created at Syracuse University - (requires java)
 W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).

Kategorija:Apstraktna algebra
Kategorija:Linearna algebra
Kategorija:Binarne operacije
Kategorija:Vektori
Kategorija:Vektorska analiza