Abelova teorema

Za Abelov teorem o algebarskim krivima, pogledajte članak Abel-Jacobijeva mapa
Za Abelob teorem o nerješivosti jednačine petog stepena sa radikalima, pogledajte članak Abel-Ruffinijev teorem

U matematici, Abelov teoremhttps://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/analysis/abelthm.pdfhttps://www.math.purdue.edu/~eremenko/dvi/abel.pdf za potencijalne redove dovodi u vezu graničnu vrijednost potencijalnog reda sa sumom njegovih koeficijenata. Teorem je dobio naziv po norveškom matematičaru Nielsu Henriku Abelu.

 Teorem 

Neka a = {ak: k ≥ 0} bude bilo koji red realnih ili kompleksnih brojeva i neka

bude potencijalni red sa koeficijentima a. Pretpostavimo da red
 konvergira. Tada je

U specijalnom slučaju gdje su svi koeficijenti ai realni, te gdje je ak ≥ 0 za sve k, tada gornja formula  vrijedi i ikada red  ne konvergira. Na primjer, u tom slučaju obje strane formule jednaku su +∞.

 Napomena 

U općenitijoj verziji ovog teorema, ako je r bilo koji realni broj različit od nule za koji red  konvergira, tada vrijedi da

s tim da graničnu vrijednost u ovoj formuli posmatramo kao jednostranu graničnu vrijednost, sa lijeve strane ako je r pozitivan, te sa desne, ako je r negativan.

 Primjene 

Korisnost Abelovog teorema je ta da nam dozvoljava da pronađeno graničnu vrijednost potencijalnog reda kako njegov argument (npr. z) teži ka 1 odozdo, čak i u slučajevima gdje je radijus konvergencije, R, potencijalnog reda jednak 1, kada ne možemo biti sigurni da li granična vrijednost treba biti određena ili ne. Pogledajte primjer: Binomni red.Ga(z) se naziva generativna funkcija niza a. Abelov teorem je često koristan za rad sa generativnim funkcijama realnih vrijednosti i nenegativnih nizova, kao što su generativne funkcije vjerovatnoće. Posebno je korisna u teroiji Galton-Watsonovih procesa.

 Slični koncepti 

Suprotni teoremi od Abelovog nazivaju se Tauberijski teoremi: ne postoji tačna suprotnost, nego samo rezultati koji zavise od nekih hipoteza. Polje divergentnih redova i metoda njihovih sabiranja, sadrži mnogo teorema abelijskog i tauberijskog tipa''.

Reference

Kategorija:Realni brojevi
Kategorija:Matematičke teoreme
Kategorija:Matematički redovi
Kategorija:Niels Henrik Abel