Gama funkcija

Za članak o gama funkciji ordinala, pogledajte Veblenova funkcija.
mini|desno|325px|Gama funkcija duž dijela realne ose

U matematici, gama funkcija (označena velikim grčkim slovom Γ) je proširenje faktorijelske funkcije u realne i kompleksne brojeve. Za kompleksan broj z sa pozitivnim realnim dijelom, gama funkcija je definisana sa

Ova definicija može se proširiti na ostatak kompleksne ravni, osim u negativne cijele brojeve.

Ako je n pozitivni cijeli broj, tada je

što pokazuje vezu sa faktorijelskom funkcijom. Gama funkcija uopćuje faktorijelsku funkciju za ne-cijele i kompleksne vrijednosti od n.

Gama funkcija je komponeneta u raznim funkcijama raspodjele vjerovatnoća, i tako takva je primjeljiva u oblastima vjerovatnoće i statistike, kao i kombinatorike.

 Definicija 

 Glavna definicija 

mini|desno|Proširena verzija gama funkcije u kompleksnoj ravni

Oznaku Γ(z) uveo je Adrien-Marie Legendre. Ako je realni dio kompleksnog broja z pozitivan (Re[z] > 0), tada cijeli broj

konvergira apsolutno. Koristeći integraciju po članovima, može se pokazati da je

Ova funkcionalna jednačina uopćuje relaciju n! = n×(n-1)! faktorijelske funkcije. Γ(1) izračunavamo analitički:

Kombinujući ove dvije relacije pokazuje nam kako je faktorijelska funkcija spacijalni slučaj gama funkcije:

za sve prirodne brojeve n.

 Partikularne vrijednosti 

 Također pogledajte 

 Beta funkcija
 Bohr-Mollerupov teorem
 Digama funkcija
 Eliptična gama funkcija
 Faktorijel
 Gama distribucija
 Gaussova konstanta
 Gaussova suma
 Nepotpuna gama funkcija
 Lanczosova aproksimacija
 Multivarijantna gama funkcija
 Pochhammerov k-simbol
 Poligama funkcija
 Recipročna gama funkcija
 Stirlingova aproksimacija
 Trigama funkcija

 Zabilješke 

 Reference 

 Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
 Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997
 Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant",  (c) 2003 Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).

 Vanjski linkovi 

 Internet stranice 

 Cephes - C and C++ language special functions math library
 Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
 Gamma function calculator
 Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision) 
 Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages
 Computing the Gamma function - various algorithms
 Online tool to graph functions which contain the Gamma function

 Dalje čitanje 

 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6) G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.) Harry Hochstadt. The Functions of Mathematical Physics. New York: Dover, 1986 (See Chapter 3.) W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)''

 *
Kategorija:Posebne hipergeometrijske funkcije