Aritmetička progresija

U matematici, aritmetička progresija ili aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika između bilo koja dva susjedna člana niza konstantna. Na primjer, niz 3, 5, 7, 9, 11, 13... je aritmetička progresija sa razlikom 2.

Ako je prvi član aritmetičke progresije , a razlika između članova iznosi d, tada je n-ti član niza dat sa:

a općenitija forma je:

Primjeri
Među aritmetičkim progresijama najpoznatiji  je niz prirodnih brojeva: 
Niz parnih brojeva 
Niz neparnih brojeva 

Aritmetička progresija jednoznačno  je određena svojim početnim članom i razlikom.

Ako je početni član 7, a razlika 3, onda je riječ o aritmetičkooj progresiji 

Niz kvadrata prirodnih brojeva  tj. niz  nije aritmetička progresija

Tu su razlike među susjednim članovima redom . Razlike čine aritmetičku progresiju.

Već smo spomenuli da niz prirodnih brojeva čine dva niza: 
 niz parnih brojeva i 
 niz  neparnih brojeva.

Često nulu uvrštavamo u prirodne brojeva, tako da je niz parnih brojeva , što se kraće može zapisati formulom , a niz parnih brojeva oznakom , a   sa  niz neparnih brojeva.

Parni brojevi su oni koji su djeljivi brojem 2, a neparni oni koji pri dijeljenju brojem 2 imaju ostatak 1.

Slično bismo mogli gledati podjelu s obzirom na djeljivost brojem 4, gdje ostaci mogu biti 0 (djeljivost brojem 4), 1, 2 ili 3.

(0) Djeljivi brojem 4:  Zapis 

(I) Ostatak 1 pri dijeljenju brojem 4:  Zapis 

(II) Ostatak 2 pri dijeljenju brojem:  Zapis 

(III) Ostatak 3 pri dijeljenju brojem:  Zapis 

Nizovi (0), (I), (II) i (III) su potpuno različiti, tj. nikoja dva nemaju zajedničkih članova, a ukupno čine skup svih prirodnih brojeva (uključujući i 0). Svaki od njih odgovara jednom od ostataka pri dijeljenju brojem 4, tj. brojevima 0, 1, 2 i 3.

Ti se nizovi mogu zapisati kao: , , ,  za 
 Kvadrati u aritmetičkoj progresiji
Razmotrimo nekoliko prvih članova niza  za :

1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91,
96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161,
166, 171, 176, 181, 186, 191, 196, 201...

Posebno smo istaknuli kvadrate: 

Razmaci među kvadratima povećavaju su, tj. kvadrati su sve rjeđi. Možemo postaviti pitanje ima li u ovom nizu konačno ili beskonačno mnogo kvadrata prirodnih brojeva.

Razmotrimo nekoliko članova niza  2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47

Izgleda da u tom nizu nema kvadrata prirodnih brojeva.

Slično je i s nizom   3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48...

Niz  sličan je nizu :

4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, 69, 74, 79, 84, 89, 94, 99,
104, 109, 114, 119, 124, 129, 134, 139, 144, 149, 154, 159, 164, 169,
174, 179, 184, 189, 194, 199, 204, 209...
dok je niz } vrlo jasan:
0, 5, 10, 15, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110...

Odnosno  je kvadrat cijelog broja ako i samo ako je n oblika  za 

To uočavamo iz . Time smo dokazali ne samo to da niz  ima beskonačno mnogo kvadrata, već i to da su ti kvadrati oblika .

Nizovi  } i } ne sadrže niti jedan kvadrat. Za to je dovoljno uočiti sljedeće jednakosti:



Izrečeno drugim riječima:
ako je broj djeljiv brojem 5, i njegov kvadrat je djeljiv brojem 5,
 ako broj ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5,
ako broj ima ostatak 2 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5,
ako broj ima ostatak 3 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5,
ako broj ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5.

U nizu  ima beskonačno mnogo kvadrata. Broj oblika  je kvadrat ako i samo ako je oblika   ili 

Prvi oblik imaju  itd., dok drugi imaju  itd. i oni se dobiju ako u gornje izraze uvrstimo redom  Lako se provjeri da ovi kvadrati zaista imaju ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5. Ako želimo neki veliki broj koji je kvadrat i ujedno pri dijeljenju brojem 5 ima ostatak 1, u neki od gornjih izraza uvrstimo velik k, primjerice k = 100. Iz prvog izraza dobijemo , a iz drugoga .

U nizu  ima beskonačno mnogo kvadrata. Broj oblika  je
kvadrat ako i samo ako je oblika   ili  

Vrijedi i uopšteno

Ako aritmetička progresija } ,  sadrži barem jedan kvadrat, onda on sadrži beskonačno mnogo kvadrata. Jedna progresija  kvadrata u tom nizu je oblika , gdje je   jedan kvadrat što ga taj niz sadrži i 

Ako u nju uvrstimo , dobit ćemo

Zato, ako je  za neki r (tj. ako progresija } sadrži neki kvadrat),
onda je  što je, opet, član
niza {dn + b}. To vrijedi za sve k = 0, 1, 2, 3... pa niz {dn + b} ima beskonačno
mnogo kvadrata.

Kubovi u aritmetičkoj progresiji

Posmatrajmo progresiju  i istaknimo  kubove prirodnih brojeva u njemu:
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106,
111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161, 166, 171, 176, 181, 186,
191, 196, 201...

U popisu ima samo jedan kub, broj 1, što ne znači da u tom nizu nema više kubova. Ako vrijedi tvrdnja analogna onoj za kvadrate, trebalo bi ih biti beskonačno mnogo. Pokušajmo odrediti analognu formulu, i to za svaku razliku, a ne samo za .

Formula za kub zbira je

Smjenon

 i 

dobijemo , što je, oblika  za svako k, pa niz  sadrži beskonačno mnogo kubova.

U našem slučaju je  pa je formula za kubove   za 
dobijamo , što već imamo, za  dobivamo , za  dobijamo  itd.

Brojevi  su kubovi u progresiji  

Uopšteno važi

Ako aritmetička progresija   za   sadrži barem jedan kub,  onda on sadrži beskonačno mnogo kubova. Jedan niz kubova u toj progresiji oblika , gdje je  jedan kub što ga ta progresija sadrži i 

Potencije u aritmetičkioj progresiji

Ako aritmetička progresija   za ,  sadrži barem jednu s-tu potenciju, onda on sadrži beskonačno mnogo s-tih potencija. Jedna progresija s-tih potencija u toj progresiji je oblika , gdje je  jedna s-ta potencija što ga ta progresija sadrži i 

Ova tvrdnja proizlazi iz formule za binomne formule.

Mi ćemo je izvesti iz formula za razliku potencija koje se mogu provjeriti direktnim računanjem.

uopšteno

Za   za neki , tj. ako progresija    sadrži s-tu potenciju, stavljajući to u jednakost (*) dobijemo
,
što je oblika , pa je s-ta potencija  član progresije    za svaki  Tako dobijemo beskonačno mnogo s-tih potencija u nizu
.
tome nizu.

 Suma (aritmetičkog reda) 

Suma komponenata aritmetičke progresije naziva se aritmetički red.

Posmatrajmo zbir    prvih 5 članova aritmetičkog niza.

Zbir može biti brzo pronađen množenjem broja n članova koji se dodaju () zbirom prvog i posljednjeg člana niza  (), i deljenjem sa

U našem slučaju, dobijamo jednačinu:

Formula važi za bilo koje realne brojeve   i  .

Na primer:

 Formula (za aritmetički red) 
thumb

Izrazimo artimetički red na dva različita načina:

Saberimo obje jednačina, lijevu stranu prve jednačine sa lijevom stranom druge jednačine, te desnu stranu prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. Svi članovi koji sadrže d se poništavaju, a ostaje nam:

Sređivajući i uzimajući u obzir da je , dobijamo:

ili

za niz

opšti član niza je

Neka su data dva različita člana niza

njihova razlika je

Primjeri

Zbir prvih n prirodnih brojeva

.

Zbir prvih n  kvadrata prirodnih brojeva

.

Izvođenje formule
Napišino formulu aritmetičke progresije  na  dva načina

i saberimo ih.

Smjenom :

 dobijamo

Dodatno, glavna vrednost niza može biti izračunata pomoću: {\displaystyle S_{n}/n} {\displaystyle S_{n}/n}:

499. godine AD Ariabata, istaknuti matematičar-astronom iz klasičnog doba indijske matematike i indijske astronomije, je dao ovaj metod u Ariabatiji (odeljak 2.18).

 Proizvod 

Proizvod komponenata aritmetičke progresije sa početnim elementom , razlikom između člaova ,te  elemenata u totalu, je određen izrazom

gdje  označava Pochhammerov simbol, a  označava gama funkciju. (Zapazite da formula ne vrijedi kada je  negativan cijeli broj ili kada je nula).

Ovo je generalizacija iz činjenice da je proizvod progresije  dat preko faktorijela , te da je proizvod

za prirodne brojeve  i  dat sa

Proizvod članova aritmetičke progresije dat kao   do 50-og člana je

 Presjek 

Presjek bilo koje dvije duple beskonačne aritmetiče progresije je  prazan ili druga aritmetička progresija. Ona se može pronaći korištenjem teoreme kineski podsjetnik. Ako svake dvije progresije u porodici ili duple aritmetičke progresije imaju ne-prazan presjek, onda postoji broj zajednički za sve njih; to je beskonačna aritmetička progresija iz Heli porodice. Međutim, presjek beskonačno mnogo beskonačnih aritmetičkih progresija može biti jedan broj, prije nego sama beskonačna progresija.

 Standardna devijacija 
Standardna devijacija bilo koje formule aritmetičke progresije  može ae izračunati formulom:

gde je   broj članova u progresiji, a   međusobna razlika između članova
Konvergencija aritmetičke progresije
Za aritmetičku progresiju  , važi



Formule
Ako je

 prvi član aritmetičke progresije.

 n-ti član aritmetičke progresije.

 razlika između članova aritmetičke progresije.

 broj članova aritmetičke progresije.

 zbir n članova aritmetičke progresije.

 srednja vrednost aritmetičkog niza.

onda je
1.  

2.  

3.  

4.  

5.   = 

6.  

 Također pogledajte 

 Sabiranje
 Geometrijska progresija
 Općenita geometrijska progresija
 Green–Taov teorem
 Beskonačan aritmetički red
 Thomas Malthus
 Prosti brojevi u aritmetičkoj progresiji
 Kahunov papirus, Rhindov matematički papirus

 Reference 

Izvor
Potencije u aritmetičkim nizovima/Anđelko Marić, Sinj i Ivica Gusić, Zagreb/Matka 23 (2014/2015)br 92
 Vanjski linkovi 
 Arithmetic Progression Calculator 

Kategorija:Matematički redovi
Kategorija:Nizovi i redovi
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz