Test općeg člana

U matematici, test divergencije n-tog članaKaczor p.336 je jednostavan test divergencije beskonačnih redova:

 Ako  ili ako limes ne postoji, tada red  divergira.

Mnogi autori ne imenuju ovaj test ili mu samo daju kraći naziv.Na primjer, Rudin (str. 60) iskazuje samo kontrapozitivnu formu i ne imenuje ga. Brabenec (str. 156) naziva ga samo test n-tog člana. Stewart (str. 709) naziva ga test divergencije.

 Upotreba 

Za razliku od jačih testova konvergencije, test općeg člana ne može sam dokazati da red konvergira. To znači da suprotno od razultata testa nije nužno tačno; umjesto toga može se reći:
 Ako je  tada red  može, ali i ne mora konvergirati. Drugim riječima, ako je , test je neodlučan.

Harmonijski red je klasičan primjer divergentnog reda čiji članovi teže u nula.Rudin p.60 Općenitija klasa harmonijskih redova, tzv. hiperharmonijski red

pojašnjava razultate testa:

 Ako je p ≤ 0, tada red divergira.
 Ako je 0 < p ≤ 1, tada je test neodlučan, ali je red divergentan po integralnom testu konvergencije.
 ako je 1 < p, tada je test neodlučan, ali je red konvergentan, ponovo po integralnom testu konvergencije.

 Dokazi 

Dokaz se dokazuje test kontrapozitivnom formom:

 Ako red  konvergira, tada je 

 Manipulacija limesima 

Ako su sn parcijalne sume reda, tada pretpostavka da red konvergira znači da je

za neki broj s. Tada vrijediBrabenec p.156; Stewart p.709

 Cauchyjev kriterij 

Pretpostavka da red konvergira znači da je prošao Cauchyjev test konvergencije: Za svaki  postoji broj N takav da

vrijedi za sve n > N i p ≥ 1. Slučaj p = 1 potvrđuje definiciju iskazaRudin (pp.59-60) uses this proof idea, starting with a different statement of Cauchy criterion.

 Domet 

Najjednostavnija verzija test općeg člana primjenjuj se na beskonačne redove realnih brojeva.

 Reference 

Kategorija:Infinitezimalni račun
Kategorija:Testovi konvergencije
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz