Bernoullijeva nejednakost

U realnoj analizi, Bernoullijeva nejednakost je nejednakost koja aproksimuje eksponencijacije od 1 + x.

Nejednakost iskazuje da je

za svaki cijeli broj r ≥ 0 i svaki realan broj x > −1. Ako je eksponent r paran, tada nejednakost važi za sve realne brojeve x. Striktna varijanta ove nejednakosti glasi

za svaki cijeli broj r ≥ 2 i za svaki realan broj x ≥ −1, uz x ≠ 0.

Bernoullijeva nejednakost se često koristi kao bitan korak u dokaz drugih nejednakosti. Sama se može dokazati korištenjem matematičke indukcije, kao što je prikazano ispod.

 Dokaz nejednakosti 

Za 

je ekvivalentna sa , što je tačno.

Sada pretpostavimo da je iskaz tačan za :

Tada slijedi da je

 (po hipotezi, pošto je )

Međutim, kada je  (pošto je), slijedi da je , što znači da je iskaz tačan za .

Indukcijom zaključujemo da je iskaz tačan za sve 

 Generalizacija 

Eksponent r može biti uopćen u proizvoljni realan broj na slijedeći način: ako je x > −1, tada je

za r ≤ 0 ili r ≥ 1, i 

za 0 ≤ r ≤ 1.

Ova generalizacija može se dokazati upoređivanjem derivacija.
Ponovo, striktne varijante ove nejednakosti zahtijevaju da je x ≠ 0 i r ≠ 0, 1.

 Vezane nejednakosti 

Slijedeća nejednačina procjenjuje r-ti stepen od 1 + x u odnosu na drugu stranu nejednakosti. Za sve realne brojeve x, r > 0, imamo da je

gdje je e = 2,718...

Ovo se može dokazati korištenjem jednakosti (1 + 1/k)k < e.

 Reference 





 Vanjski linkovi 


 Bernoulli Inequality by Chris Boucher, Wolfram Demonstrations Project.

Kategorija:Nejednakosti