Prirodni logaritam

Prirodni logaritam, od prije poznat kao hiperbolički logaritam, je logaritam za bazu e, gdje je e iracionalna konstanta, čija je približna vrijednost 2,718281828. Ponekad se koristi i naziv Napierov logaritam, iako se originalno značenje ovog termina malo drugačije.
Jednostavno rečeno, prirodni logaritam broja x je stepen na kojeg se diže broj e kako bi se dobio taj broj x — na primjer, prirodni logaritam broja e je 1 zato što je e1 = e, dok je prirodni logaritam broja 1 broj 0, pošto je e0 = 1. Prirodni logaritam može se definisati za sve pozitivne realne brojeve x kao površina ispod krive y = 1/t u granicama od 1 do x, a može se definisati i kao kompleksni brojevi različiti od nule, kao što je objašnjeno u tekstu ispod. 

Funkcija prirodnog logaritma može se definirati i kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što vodi do identiteta:

Drugim riješima, logaritamska funkcija je bijekcija iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup svih realnih brojeva. Preciznije, to je izomorfizam iz grupe pozitivnih realnih brojeva pod množenjem u grupu realnih brojeva pod sabiranjem. Predstavljeno kao funkcija:

Logaritmi su definisani za svaku pozitivnu bazu osim za 1, a ne samo za bazu e, te su korisni za rješavanje jednačina u kojima se nepoznata pojavljuje kao eksponent neke druge veličine.

 Konvencije o oznakama 

Matematičari, statističari i neki inženjeri općenito razumiju ili "log(x)" ili "ln(x)" u značenju loge(x), npr., prirodni logaritam od x, i pišu "log10(x)" ako se traži logaritam baze 10 od x.

Neki inženjeri, biolozi i neki drugi naučnici općenito pišu "ln(x)" (ili ponekad "loge(x)") kada koriste prirodni logaritam od x, a koriste "log(x)" kada koriste log10(x) ili, u slučaju nekih informatičara, log2(x) (iako se ovo piše kao lg(x)).

Kod najčešće koristenih programskih jezika, uključujući C, C++, MATLAB, Fortran i BASIC, "log" ili "LOG" označava prirodni logaritam.

U ručnim kalkulatorima, prirodni logaritam je označen sa ln, a log predstavlja logaritam baze 10.

U teoriji informacija i kriptografiji, "log(x)" označava "log2(x)".

 Osobine 





 Derivacija, Taylorov red 

Derivacija prirodnog logaritma je data sa

200px|mini|desno|Taylorovi polinomi za (1+x) pružaju tačnu aproksimaciju samo u intervalu -1 < x ≤ 1. Uočite da su, za x > 1, Taylorovi polinomi višeg stepena gore aproksimacije.

Ovo vodi do Taylorovog reda za  oko ; također je poznat pod nazivom Mercatorov red

Desno je slika funkcije  i nekih njenih Taylorovih polinoma oko . Ove aproksimacije konvergiraju u funkciju samo u oblasti -1 < x ≤ 1; van ove oblasti Taylorovi polinomi višeg stepena su gore aproksimacije za funkciju.

Uvrštavanjem x-1 umjesto x, dobijamo alternativni oblik za ln(x)

"Logarithmic Expansions" at Math2.org

Korištenjem Eulerove transformacije na Mercatorov red, dobija se sljedeće, koje vrijedi sva svako x čija je apsolutna vrijednost veća od 1:

Ovaj red sličan je Bailey–Borwein–Plouffeovoj formuli.

Također uočite da je  također svoja inverzna funkcija, tako da kada želimo dobiti prirodni logaritam nekog broja y, jednostavno uvrstimo u  za x.

 Prirodni logaritam u integraciji 

Prirodni logaritam dopušta jednostavnu integraciju funkcija oblika g(x) = f '(x)/f(x): antiderivacija od g(x) je data sa ln(|f(x)|). Ovo je slučaj zbog pravila derivacije proizvoda i sljedeće činjenice:

Drugim riječima,

i

Slijedi primjer u slučaju kada je g(x) = tan(x):

Neka je f(x) = cos(x), a f'''(x)= - sin(x):

gdje je C'' konstanta integracije.

Prirodni logaritam može se intergrisati pomoću parcijalnom integracijom:

 Također pogledajte 

 John Napier - izumitelj logaritma
 Logaritamska integralna funkcija
 Nicholas Mercator - pri čovjek koji je koristio termin "prirodni logaritam"
 Polilogaritam
 Von Mangoldtova funkcija
 Broj e

 Reference 

 Vanjski linkovi 

 Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained

Kategorija:Logaritmi
Kategorija:Elementarne posebne funkcije