D'Alambertov test

U matematici, D'Alambertov test je test (ili "kriterij") konvergencije redova

čiji su članovi realni ili kompleksni brojevi. Test je prvi objavio Jean le Rond d'Alembert. Test koristi broj

gdje "lim sup" označava limes superior kada n teži u beskonačnost. Evo je ekvivalentno

u slačuaju gdje limes postoji.

D'Alambertov test kaže:

 ako je L < 1 tada red konvergira apsolutno, te
 ako je L > 1 tada red divergira.

Ako je L = 1, tada je test neodlučan (postoje i konvergentni i divergentni redovi koji zadovoljavaju taj slučaj).

 Primjeri 

 Konvergira 

Neka je dat red:

Ako primjenimo D'Alambertov test:

Red konvergira jer je  manje od 1.

 Divergira 

Neka je dat red:

Ako primjenimo D'Alambertov test:

Red divergira jer je  veće od 1.

 Neodlučno 

ako je limes općeg člana reda

nemoguće je pomoću D'Alambertovog testa odrediti da li red konvergira ili divergira.

Na primjer, red

divergira, ali

Međutim, red

konvergira apsolutno, ali je

Konačno,

konvergira uslovno, ali

 L=1 i Raabeov test 

Kao što je pokazano na prethodnom primjeru, D'Alambertov test je neodlučan kada je
.

Proširenje D'Alambertovog testa, prema švicaracskom matematičaru Josephu Raabeu, omogućava rješavanje ovakvih slučajeva. Raabeov test kaže da ako je

i ako je

tada red konvergira apsolutno. D'Alembertov test i Raabeov test su prvi i drugi teoremi u hijerarhiji od sličnih teorema prema Augustusu De Morganu.

 Također pogledajte 

 Cauchyjev korjeni test
 Radijus konvergencije

 Reference 

 Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) 
 Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, third edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. (§ 3.34) 
 Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) 

Kategorija:Matematički redovi
Kategorija:Testovi konvergencije

it:Criteri di convergenza#Criterio del rapporto (o di d'Alembert)