Abelov test

U matematici, Abelov test (poznat i pod nazivom Abelov kriterij) je metoda testiranja konvergencije beskonačnih redova. Test je dobio naziv po matematičaru Nielsu Abelu. Postoje dvije verzije ovog testa, koje se mnogo ne razlikuju – jedna se koristi nad redovima realnih brojeva, a druga se koristi kod potencijalnih redova u kompleksnoj analizi.

 Abelov test u analizi u skupu realnih brojeva 

Za dva data niza realnih brojeva,  i , te ako niz zadovoljava uslove

  konvergira

  je monotona i 

tada red

konvergira.

 Abelov test u kompleksnoj analizi 

Abelov test se često koristi za određivanje konvergencije potencijalnih redova na granicama njegovog kruga konvergencije. Specifično, Abelov test kaže da ako

a red

konvergira kada je |z| < 1, a divergira kada je |z| > 1, i koeficijenti {an} su pozitivni realni brojevi koji opadaju monotono prema nultoj granici za n > m (za dovoljno velike n, drugim riječima), tada potencijalni red za f(z) konvergira svuda na jediničnom krugu, osim kada je z = 1. Abelov test ne može se primijeniti kada je z = 1, tako da se konvergencija u toj tački mora ispitati odvojeno. Primijetite da se Abelov test može primijeniti na potencijalne redove s radijusom konvergencije R ≠ 1 jednostavnim promjenama varijabli ζ = z/R.(Moretti, 1964, p. 91)

 Dokaz  

Pretpostavimo da je z tačka na jediničnom krugu, z ≠ 1. Tada je

tako da, za svaka dva pozitivna cijela broja p > q > m, možemo pisati

gdje su Sp i Sq parcijalne sume:

Ali sada, pošto su |z| = 1 i an monotono opadajući pozitivni realni brojevi kada n > m, možemo pisati

Sada možemo primijeniti Cauchyjev test te zaključiti da potencijalni red za f(z) konvergira u odabranoj tački z ≠ 1, zato što je sin(½θ) ≠ 0 fiksna veličina, a aq+1 može biti manje od bilo koje date ε > 0 tako što se izabere dovoljno veliko q.

 Reference 

Gino Moretti, Functions of a Complex Variable'', Prentice-Hall, Inc., 1964

 Vanjski linkovi 

 Dokaz (za realne redove) na PlanetMath.org 

Kategorija:Matematički redovi
Kategorija:Testovi konvergencije
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz