Granična vrijednost niza

nn sin(1/n)10,84147120,958851...100,998334...1000,999983
Kako pozitivni cijeli broj n postaje veći i veći, vrijednost n sin(1/n) postaje proizvoljno bliska broju 1. Možemo reći da je "granična vrijednost niza n sin(1/n) jednaka 1."
Granična vrijednost niza je jedan od najstarijih koncepta u matematičkoj analizi. On nam nudi strogu definiciju ideje da niz konvergira prema određenoj tački koju nazivamo granična vrijednost (limes). 

 Formalna definicija 

 Za niz realnih brojeva 

Realan broj L naziva se granična vrijednost niza xn, a piše se kao 

ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako  n > N imamo |xn−L| < ε.

 Za niz tačaka  u metričnom prostoru M sa funkcijom udaljenosti d (takav da je poput niza racionalnih brojeva, realnih brojeva, kompleksnih brojva, tačaka u normiranom prostoru, i td.):

Za element  se kaže da je granična vrijednost niza, a piše se kao 

ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N, imamo d(xn,L) < ε.

 Kao generalizacija, za niz tačaka  u topološkom prostoru T:

Za element  se kaže da je granična vrijednost ovog niza, a piše se kao

ako i samo ako, za svaku okolinu S od L, postoji prirodan broj N, takav da je  za sve 

Ako niz ima graničnu vrijednost, kažemo da je niz konvergentan, a da niz konvergira u tu graničnu vrijednost. U suprotnom, niz je divergentan (također pogledajte: oscilacija).

Nulti niz je niz koji konvergira u 0. 

 Primjeri

 Niz 1, -1, 1, -1, 1, ...  je divergentan.
 niz 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... konvergira sa graničnom vrijednosti 1. Ovo je primjer beskonačnog reda.
 Ako je a realan broj sa apsolutno vrijednošću |a| < 1, tada niz an ima graničnu vrijednost 0. Ako je 0 < a, tada niz a1/n ima graničnu vrijednost 1.

Također:

 Reference 

 Također pogledajte 

 Granična vrijednost funkcije
 Načini konvergencije

 Vanjski linkovi 

Examples of sequences
A history of the calculus, including limits

Kategorija:Granične vrijednosti
Kategorija:Nizovi i redovi
Kategorija:Matematička analiza