Konvergentan red

Za članak o istoimenoj zbirci kratkih priča, pogledajte članak Konvergentan red (zbirka kratkih priča).
U matematici, red je suma članova niza brojeva.

Za dati niz , n-ta parcijalna suma  je suma prvih n članova niza, to jest,

Red je konvergentan ako je niz njegovih parcijalnih suma  konvergentan. U formalnijem jeziku, red konvergira ako postoji granična vrijednost  takva da za svaki proizvoljan pozitivan broj , postoji veliki cijeli broj , takav da za sve  vrijedi

Za niz, koji nije konvergentan, kaže se da je divergentan.

 Primjeri konvergentnih i divergentnih redova 

 Recipročni brojevi stepena broja 2 () tvore konvergentan red (takav da je skup stepeni broja 2 "mali"):
 :
 Recipročni brojvi pozitivnih cijelih brojeva tvore divergentan red:
 :
 Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih brojeva pozitivnih cijelih brojeva tvore konvergentan red:
 :
 Recipročni prosti brojevi tvore divergentan red (takav da je skup prostih brojeva "veliki"):
 :
 Recipročni kvadratni brojevi tvore konvergentan broj (Baselov problem):
 :
 Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih neparnih brojeva tvori konvergentan red:
 :

 Testovi konvergencije 

Postoji nekoliko metoda, pomoću kojih možemo odrediti da li je red konvergentan ili divergentan.

Test poređenja. Članovi niza  se upoređuju sa onim od drugog niza . Ako je,

za sve n, , i ako red  konvergira, tada konvergira i red .

Međutim, ako,

za sve n, , i ako red  divergira, tada divergira i red .

D'Alambertov test. Pretpostavimo da je za sve n, . Pretpostavimo da postoji  takav da vrijedi

.

Ako je r < 1, tada red konvergira.  Ako je r > 1, tada red divergira. Ako je r = 1, D'Alambertov test je neodlučan, te red i konvergirati  divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

Cauchyjev korjeni test ili  Test n-tog korjena.  Pretpostavimo da su članovi niza nenegativni, te da postoji r takav da vrijedi

Ako je r < 1, tada red konvergira.  Ako je r > 1, tada red divergira. Ako je r = 1, Cauchyjev korjeni test test je neodlučan, te red može i konvergirati i divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

Integralni test. Red se može uporediti sa integrallom kako bi odredili konvergenciju ili divergenciju. Neka  bude pozitivna i monotono opadajuća funkcija. Ako vrijedi

tada dati red konvergira. Ali, ako integral divergira, tada i dati red divergira.

Test upoređivanje limesa. Ako je , a granična vrijednost  postoji i nije nula, tada  konvergira ako i samo ako  konvergira.

Leibnizov test. Za alternativni red oblika , ako je  monotono opadajuća funkcija, čija je granična vrijednost 0, tada red konvergira.

Cauchyjev test konvergencije. Ako je  monotono opadajući niz, tada
 konvergira ako i samo ako  konvergira.

Dirichletov test

Abelov test

Raabeov test

 Uslovna i apsolutna konvergencija 

Za svaki niz ,  za sve n. Odatle je

Ovo znači da ako  konvergira, tada , također, konvergira (međutim, obrnuto ne vrijedi!).

Ako red  konvergira, tada je red  apsolutno konvergentan. Apsolutno konvergentan niz je onaj kod kojeg dužina linije, koja je nastala spajanjem svih prirasta na parcijalnu sumu, je konačno duga. Potencijlani red eksponencijalne funkcije je svuda apsolutno konvergentan.

Ako red  konvergira, ali red  divergira, tada je red  uslovno konvergentan. Potencijalni red logaritma je uslovno konvergentan.

Riemannov teorem o redu kaže da ako je red uslovno konvergentan, moguće je njegove članove ispremiještati, tako da on bude konvergentan za svaku vrijednost, čak i da bude divergentan.

 Uniformna konvergencija 

Neka  bude niz funkcija. Za red  se kaže da konvergira uniformno u f
ako je niz  parcijalnih suma definisan sa



konvergira uniformno u f.

Postoji analog testu poređenja za beskonačne redove funkcija koji se zove Weierstrassov M-test.

 Cauchyjev test konvergencije 

Cauchyjev kriterij konvergencije kaže da red

konvergira ako i samo ako je niz parcijalnih suma Cauchyjev niz.
To znači da za svako  postoji pozitivan cijeli broj  takav da za svako  imamo

što je ekvivalentno 

 Reference 

 Rudin, Walter (1976).  Principles of Mathematical Analysis.  McGrawHill.
 Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc.  .

 Vanjski linkovi 

Interactive graphical simulation of series convergence
Chase, Robert (2007). More plots on convergence
Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Retrieved May 16, 2005.

Kategorija:Matematički redovi