Injektivna funkcija

mini|200px|Druga injektivna funkcija (ova je bijekcija)
mini|200px|Neinjektivna funkcija (ova je slučajem surjekcija)
Za funkciju  kažemo da je injektivna funkcija, ili samo injekcija, ako ne postoje dva različita elementa domena, a koji se preslikavaju u neki isti element iz kodomena.

To znači da se svi elementi iz domena preslikavaju u međusobno različite elemente iz kodomena (funkcija ne preslikava različite elemente u isti).

Zapisano simboličkom logikom,  je injektivna ako vrijedi:

što je ekvivalentno tvrdnji:

 Primjeri 

 Za bilo koji skup X, funkcija identiteta na X je injektivna.
 Funkcija f : R → R definisana sa f(x) = 2x + 1 je injektivna.
 Funkcija g : R → R definisana sa g(x) = x2 nije injektivna, zato što (naprimjer) g(1) = 1 = g(−1). Međutim, ako je g ponovo definisana tako da su njen domen nenegativni realni brojevi [0,+∞), tada je g injektivna.
 Eksponencijalna funkcija exp : R → R definisana sa exp(x) = ex je injektivna (ali ne i surjektivna pošto nema preslikavanja u negativne brojeve). 
 funkcija prirodnog logaritma ln : (0, ∞) → R definisana sa x ↦ ln x je injektivna.
 Funkcija g : R → R definisana sa g(x) = xn − x nije injektivna, pošto je, naprimjer, g(0) = g(1).

 Ostale osobine 

 ako su f i g injektivne, tada je f ∘ g injektivna.
mini|300px|Kompozicija dvije injektivne funkcije je injektivna funkcja.
 Ako je g ∘ f inejektivna, tada je f injektivna (ali g ne mora biti).
 f : X → Y je injektivna ako i samo ako, za bilo koje zadate funkcije g, h : W → X, kad god je f ∘ g = f ∘ h, tada je g = h. Drugim riječima, injektivne funkcije su tačno monomorfizmi u kategoriji skupa skupova.
 Ako je f : X → Y injektivna, a A je podskup od X, tada je f −1(f(A)) = A. Zbog toga, A može biti dobijen iz svoje slike f(A).
 Ako je f : X → Y injektivna, a A i B su podskupovi od X, tada je f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
 Svaka funkcija h : W → Y može se dekomponovati kao h = f ∘ g za pogodnu injekciju f i surjekciju g.
 Ako je f : X → Y injektivna funkcija, tada Y ima najmanje onoliko elemenata koliko ima skupa X, u smislu kardinalnih brojeva. Pojedinačno, ako, dodatno, postoji injekcija iz  u , tada  i  imaju isti kardinalni broj. (Ovaj iskaz poznat je i kao Cantor–Bernstein–Schroederov teorem.)
 Ako su i X i Y konačni sa istim brojem elemenata, tada je f : X → Y injektivna ako i samo ako je f surjektivna.

 Također pogledajte 

 Surjektivna funkcija
 Injektivni modul
 Test horizontalnom linijom
 Injektivni metrički prostor

 Zabilješke 

 Reference 
 , p. 17 ff.
 , p. 38 ff.

Kategorija:Funkcije i preslikavanja
Kategorija:Osnovni koncepti u teoriji skupova
Kategorija:Vrste funkcija