Eulerova formula

Ovaj članak govori o Eulerovoj formuli u kompleksnoj analizi. Za članak o Eulerovoj formuli u altebarskoj topologiji i poliedričnoj kombinatorici, pogledajte Eulerova karakteristika. Također pogledajte teme nazvane po Euleru.

Eulerova formula, koja je dobila naziv po Leonhardu Euleru, je matematička formula u kompleksnoj analizi koja pokazuju duboku povezanost između trigonometrijskih funkcija i kompleksne eksponencijalne funkcije. Eulerova formula iskazuje da je, za svaki realan broj x,



gdje je e baza prirodnog logaritma, i je imaginarna jedinica, a cos i sin su trigonometrijske funkcije kosinus i sinus, sa argumentom x dat u radijanima (rijetko u stepenima. Formula vrijedi i kada je x kompleksan broj.

Richard Feynman nazvao je Eulerovu formulu "našim draguljem" i "najizvanrednojom formulom u matematici".

Istorija
Bernoulli je oko 1702. godine zapisao

.
i

Navedene jednakosti daju nam uvid u pojam kompleksnih logaritmima. Bernoulli, međutim, nije ocijenio cjelinu. Njegovo dopisivanje s Eulerom (koji je također poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematičke pozadine. U međuvremenu je Roger Cotes 1714. godine otkrio da je

On nije uočio činjenicu da kompleksni logaritmi mogu imati beskonačno mnogo vrijednosti i to posljedično periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Oko 1740. Euler je obratio pažnju na eksponencijalne funkcije umjesto logaritamskih i izveo formulu koja je nazvana njemu u čast. Formula

je objavljena 1748. godine i Eulerov dokaz formule je zasnovan na jednakosti beskonačnih redova obje strane izvoda.U to doba niko nije uočio geometrijsku interpretaciju formule, kao pogled na kompleksne brojeve predstavljene u kompleksnoj ravni. Tu vezu je ustanovio Caspar Wessel pedesetak godina kasnije.
Primjene u teoriji kompleksnih brojeva
Eulerova formula može se predstaviti na način da funkcija  rotira oko koordinantnog početka kompleksne ravni pri čemu x prima vrijednosti iz domene realnih brojeva. U tom smislu  je ugao što između duži, koja spaja koordinantni početak kompleksne ravnii s odgovarajućom točkom na jediničnoj kružnici, i pozitivne realne ose. Pri tome duž( vektor u kompleksnoj ravnini), rotira smjerom suprotno od smjera kazaljki na satu, a veličina ugla ourađava se u radijanima. Izvorni dokaz se zasniva na razvoju Taylorovih redova za eksponencijalnu funkciju  i periodičnih funkcija  i , gdje je  kompleksni broj, a  realan broj. Isti dokaz pokazuje da formula vrijedi i za  bilo koji kompleksan broj.

Eulerova formula omogućava prelaz iz prikaza kompleksnog broja u kartezijevim koordinatama u prikaz u polarnim koordinatama. Iskaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama pojednostavljuje složenije operacije s kompleksnim brojevima kao što su, množenje i stepenovanje, a iz razloga što se bilo koji kompleksan broj  može zapisati kao

gdje je
 realni dio
 imaginarni dio
 apsolutna vrijednost ili veličina od 
 ) zadan u radijanima.



Veza sa trigonometrijom
Eulerova formula je veza između analize i trigonometrija, i daje tumačenje sinus i kosinus funkcija preko eksponencijalne funkcije

Izvode se sabiranjem ili Eulerove formule

rješavanjem po sin ili cos funkciji.

Ove formule mogu poslužiti kao definicije trigonometrijskih funkcija kompleksnog argumenta x.

Za  imamo

Kompleksne eksponencijalne funkcije znatno pojednostavljuju trigonometriju jer je daleko lakše računati s njima nego sa sinusnim, odn. kosinusnim ekvivalentima. Jedan od načina je da se prikaz periodične funkcije jednostavno prikaže pomoću eksponencijalne funkcije.
Primjer



Eksponencijalni oblik kompleksnog broja
Preko redova

Preko limesa

Dokazi





 Također pogledajte 

 Animacija o Eulerovoj formuli
 Eulerov identitet
 Kompleksan broj
 de Moivreova formula
 Eksponencijacija
 Eksponencijalna funkcija

 Reference 

 Vanjski linkovi 

 Proof of Euler's Formula by Julius O. Smith III
 Euler's Formula and Fermat's Last Theorem
 Complex Exponential Function Module by John H. Mathews
 Elements of Algebra
 Visual Representation of Euler's Formula

Kategorija:Kompleksna analiza
Kategorija:Matematičke teoreme
Kategorija:Trigonometrija
Kategorija:Matematička analiza