Vektorska analiza

Vektorska analiza je grana matematike koja se bavi diferencijacijom i integracijom vektorskih polja. Termin "vektorski kalkulus" se ponekad koristi kao sinonim za širu oblast kalkususa više promjenljivih, koji uključuje cektorski kalkulus, kao i parcijalnu diferencijaciju i višestruku integraciju. Vektorski kalkulus igra značajnu ulogu u diferencijalnoj geometriji i proučavanju parcijalnih diferencijalnih jednačina. Jako mnogo se koristi u fizici i inženjerstvu, posebno u opisivanju elektromagnetnih polja, gravitacionih polja i strujanja fluida.

Vektorski kalkulus razvio se iz kvaternionske analize Josiaha Willard Gibbsa i Olivera Heavisidea krajem 19. vojeka, dok su većinu oznaka i terminologije uveli Gibbs i Wilson u njihovoj knjizi iz 1901. godine pod nazivom Vector Analysis.  

 Vektorske operacije 

Vektorska analiza proučava razne diferencijalne operatore definisane u skalarnim i vektorskim poljima, koji su obično predstavljeni pomoću nabla znaka (). Četiri najvažnije operacije u vektorskoj analizi su:
Operacija  Oznaka  Opis  DomenaGradijent   Mjeri veličinu i pravac promjene skalarnog polja.  Preslikava skalarna u vektorska polja. Rotor   Mjeri tendenciju rotacije oko jedne tačke u vektorskom polje.  Preslikava vektorska u vektorska polja. Divergencija   Mjeri intenzitet izvora ili ponora u datoj tački vektorskog polja.  Preslikava vektorska u skalarna polja. Laplasijan   Kompozicija operacija divergencije i gradijenta.  Preslikava skalarna u skalarna polja.

Rotor i divergencija se razlikuju, gdje prvi upotrebljava vektorski proizvod, a drugi skalarni proizvod, te gdje je f skalarno polje, a F vektorsko polje. Veličina, nazvana Jakobijan je korisna za proučavanje funkcija kada su i domen i radijus funkcije viševarijabilni, kao što je korisna promjena varijabli tokom integracije.

 Teoremi 

Također, postoji nekoliko važnih teorema vezanih za ove operacije, koje uopćuju fundamentalni teorem kalkulusa u više dimenzije:

 Teorem  Iskaz Opis Teorem gradijenta   Linijski integral kroz gradijent (vektorskog) polja jednak je razlici u njegovom skalarnom polju u krajnjim tačkama krive. Greenov teorem   Integral skalarnog rotora vektorskog polja, preko neke oblasti u ravni, jednake je linijskom integralu vektorskog polja preko krive koja ogranilava tu oblast. Stokesov teorem   Integral rotora vektorskog polja, preko površi, jednak je linijskom integralu vektorskog polja preko krive koja ograničava tu površ. Teorem divergencije   Integral divergencije vektorskoh polja, preko nekog čvrstog tijela, jednak je integralu fluksa kroz površinu koja ograničava to čvrsto tijelo.

 Također pogledajte 

 Identiteti vektorskog kalkulusa
 Nevrtložno vektorsko polje
 Solenoidalno vektorsko polje
 Laplasijansko vektorsko polje

 Reference 





 Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

 Vanjski linkovi 

 Expanding vector analysis to a non-orthogonal space
 Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis 

Kategorija:Vektorska analiza