Alternativni red

U matematici, alternativni red je beskonačni red članova

gdje je an ≥ 0 (ili an ≤ 0) za sve n. Konačna suma ove vrste reda naziva se alternativna suma. Alternativni red konvergira ako članovi an konvergiraju u 0 monotono. Greška E, dobijena aproksimacijom alternativnog reda sa njegovom parcijalnom sumom za n članova, data je sa |E|<|an+1|.

Dovoljan uslov da red konvergira je da on konvergira apsolutno. Međutim, imamo i potreban uslov za konvergenciju. Na primjer, harmonijski red

divergira, dok alternativni red

konvergira u prirodni logaritam od 2.

Širi test konvergencije alternativnih redova je Leibnizov test: ako niz  ponotono opadajući teži nuli, tada red 

konvergira. 

Parcijalna suma 



može se koristiti zaaproksimiranje sume konvergentnog alternativnog reda. 
Ako  monotono opadajući teži nuli, tada je greška u aproksimaciji manja od . Posljednja opaska i osnova Leibnizovog testa. Uistinu, ako niz  monotono opadajući teži ka nuli (barem od neke tačka pa nadalje), može se jednostavno pokazati da niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. Pretpostavljajući da je , imamo

(niz koji monotono opada osigurava da je ; primijetite da se mora voditi računa da li je parno ili neparno, ali ovo ne mijenja zamisao ovog dokaza)

Pošto je  kada je , niz parcijalnih suma je Cauchyjev niz, tako da je red konvergentan. Pošto gornja procjena ne zavisi od , to također pokazuje da je 

Konvergentni alternativni redovi, koji ne konvergiraju apsolutno, su promjeri uslovno konvergentnih redova. Riemannov teorem o redu primijenjuje se kod preraspodjele njihovih članova.

 Također pogledajte 

 Nörlund-Riceov integral

 Reference 

 Vanjski linkovi 

Kategorija:Infinitezimalni račun
Kategorija:Matematički redovi