Vièteova formula

U matematici, Vièteova formula, koja nosi svoje ime po francuskom matematičaru François Vièteu (1540-1603), je reprezentacija matematičke konstante π u obliku beskonačnog proizvoda:

Izraz sa desne strane jednakosti treba tumačiti kao graničnu vrijednost 

gdje je  sa početnim uslovom .

Poslije sređivanja moguće je dobiti formulu za π u obliku
. 

 Dokaz 

Korištenjem formule za sinus dvostrukog ugla 

najprije treba dokazati jednakost


koja važi za sve pozitivne cijele brojeve n. Ako se uzme da je x=y/2n i ako se obe strane jednakosti podijele sa cos(y/2), biće

Ponovnom upotrebom formule za sinus dvostrukog ugla sin y=2sin(y/2)cos(y/2) dobija se

Ako zamijenimo y sa π, dobijamo jednakost

Ostaje da se faktori sa desne strane ove jednakosti povežu sa odgovarajućim an. Ako se sada upotrijebi formula za kosinus polovine ugla,

dobija se da  zadovoljava rekurzivnu vezu  sa početnim uslovom . Zato je an=bn za sve pozitivne cijele brojeve n.

Vièteova formula se zatim dobija kad se uzme da . Ovde treba primijetiti da je 

kao posljedica činjenice da je  (ovo slijedi prema l'Hôpitalovom pravilu).

 Vanjski linkovi 
Formule za broj pi (engl.)

Kategorija:Infinitezimalni račun
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz