Hiperbolička funkcija

Hiperboličke funkcije su hiperbolički sinus (sh x), hiperbolički kosinus (ch x), hiperbolički tangens (th x), hiperbolički kotangens (cth x), hiperbolički sekans (sech x) i hiperbolički kosekans (cosech x). Grana matematike koja koristi ove funkcije naziva se hiperbolička trigonometrija. Njima inverzne funkcije imaju prefiks area, što treba razlikovati od prefiksa arkus koji stoji ispred inverznih funkcija obične trigonometrije. Anglosaksonske oznake za hiperboličke funkcije su redom  odnosno  i ovde ih češće koristimo zbog praktičnih, softverskih razloga.

 Definicije 
256px|mini|sinh, cosh i tanh
256px|mini|csch, sech i coth
Za razliku od običnih trigonometrijskih istoimenih funkcija, hiperbolički sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans su određeni slijedećim analitičkim definicijama, formulama:





 Porijeklo imena 

Funkcije su dobile naziv zbog mogućnosti korištenja parametarskih jednačina (jedne grane) hiperbole:



 Trigonometrijska hiperbola 

Poput funkcija trigonometrijske kružnice  definišu se i funkcije jedinične jednakostranične hiperbole 

 Predstavljanje redovima 

Razvojem hiperboličke funkcije u Taylorov red dobijamo:



 Trigonometrijska veza 

Hiperboličke funkcije se mogu definisati i pomoću običnih trigonometrijskih:




 Osobine 

Mnoge formule hiperboličkih funkcija su slične odgovarajućim formulama obične trigonometrije:







Kako je  to je prva funkcija parna, a druga neparna. Grafik prve je osno simetričan (ordinata, u-osa je osa simetrije), grafik druge je centralno simetričan (ishodište, tačka O je centar simetrije), kao što se vidi na slikama dole.

Lahko je izračunati slijedeće izvode: 


 Porijeklo 

Hiperboličke funkcije su nastale zbog potreba neeuklidske geometrije. Tražeći Euklidovu ravan u svojoj neeuklidovoj geometriji, Lobačevski je pronašao orisferu. Obratno, Euklidovi prostor ima pseudosferu, površ na kojoj važi geometrija Lobačevskog. Ovakva otkrića jednih geometrija u drugima poslužila su za dokaze neprtivrečnosti novih neeuklidovih geometrija, tačnije za dokaze njihove međusobne jednake neprotivriječnosti. Sa druge strane, omogućile su prijenos trigonometrija. Obična trigonometrija orisfere u prostoru Lobačevskog postaje hiperbolička trigonometrija, i obratno.

 Također pogledajte 

 Matematika
 Geometrija
 Trigonometrija
 Hiperbolička trigonometrija
 Sinus hiperbolički
 Kosinus hiperbolički
 Tangens hiperbolički
 Kotangens hiperbolički
 Sekans hiperbolički
 Kosekans hiperbolički
 Inverzne hiperboličke funkcije

Kategorija:Hiperbolička geometrija
Kategorija:Elementarne posebne funkcije
Kategorija:Eksponencijali