Binomna teorema

U elementarnoj algebri, binomni teorem opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je

za bilo koje realne ili kompleksne brojeve x i y, te bilo koji nenegativan cijeli broj n. Binomni koeficijent, koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela n!:

Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ n ≤ 5:

 "Binomni tip" 

Binomni teorem može se iskazati tako što ćemo reći da je polinomni niz

iz binomnog tipa.

 Dokaz 

Jedan način da dokažemo binomni teorem (1) je pomoću matematičke indukcije. Kada je n = 0, imamo da je

Sada pretostavimo da teorem važi i kada je eksponent m. Tada, za n = m + 1



po hipotezi indukcije

množeći sa a i b dobijamo

izvlačimo član k = 0

i kažemo da je j = k − 1

izvlačimo član k = m + 1 sa desne strane

te kombinujemo dobijene sume

iz Pascalovog pravila imamo da je

dodajemo u m + 1 članova.

 Binomni broj 

Binomni broj je broj u obliku  (kada je n najmanje 2). Kada je znak ili ako je n neparan broj, tada se binomni brojevi kogu rastaviti na faktore algebarski:

Primjeri:

Da bi razložili  na faktore, koristite izraz



 Također pogledajte 

 Binomna distribucija
 Binommna vjerovatnoća
 Inverzni binomni teorem
 Binomni red
 Kombinacija
 Stirlingova aproksimacija
 Multinomni teorem
 Negativna binomnna distribucija
 Pascalov trougao

 Zabilješke 

 Reference 

 Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966.

 Vanjski linkovi 

 Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Kategorija:Teme o faktorijelima i binomima
Kategorija:Algebra
Kategorija:Matematičke teoreme
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz