Fibonaccijev broj

U matematici, Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definisan sljedećom rekurzivnom relacijom:

To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi , također označeni kao Fn, za n = 0, 1, ... , su:
 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514299, 832040...

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985

Ako znamo Fibonaccijeve brojeve  i  onda možemo naći broj  po formuli

Također imamo

Uopšteno

Binetova formula
Binetova formula je eksplicitno izražavanje vrijednosti   kao funkcije  od 



gdje je   zlatni presjek. U tom slučaju  и  su rješenja jednačine .

Iz Binetove formule za sve , slijedi da je  za  najbliže cijelom broju tj. 

Za  je .

Formula se može analitiči prikazati na sljedeći način



pri tome  vrijedi za svaki kompleksni broj

 Odnos prema zlatnom odnosu 
U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj  koji je korjen jednačine  i

Iz Binetove formule

Gdje je

Dalje imamo

i

Za sve vrijednosti a , b definišimo niz

Zadovoljena je i relaciija

Neka su  i  izabrani tako da je  i onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.

Brojevi  i  zafovoljavaju relaciju

Odnosno imamo

Uzimajući  i  kao početne varijable imamo

Odnosno

.

Posmatrajmo sada

Za , broj  najbliži cio broj je , koji se može dobiti iz funkcije

ili

Slično ako je F>0 Fiboniccijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.

gdje se  može izračunati korištenjem logaritma druge baze

Primjer

 Osobine 
Najveći zajednički djelitelj dva Fibonaccijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa

Posljedice

 je djeljiv sa  ako i samo ako je  djeljivo sa ( bez )
 je djeljivo sa  samo ako je 
 je djeljivo sa  samo ako je 
 je djeljivo sa  samo ako je 
 je prost ako je  prost broj sa isključenjem 

Obratno ne važi tj ako je  prost broj  ne mora biti prost

Njegov polinom  ima korjene  i 

1964 godine Cochn je dokazao da su u nizu Fibonaccijevih brojeva jedini kvadrati brojevi sa indeksom 0,,1,2,12
, , , 

Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je  

 Fibonnaccijev niz brojeva 
Prvih 21 Fibonaccijevih brojeva  za The Fibonacci series : 03. april 2011.

 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765
Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.

Niz brojeva  za Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane 

 F−8 F−7 F−6 F−5 F−4 F−3 F−2 F−1 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21

 Identiteti 





  (см. рис.)





Opšte formule





 , kao i ,

gdje matrice imaju oblik , i  je imaginarna jedinica.

 Fibonaccijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma



Za bilo koji 

Posljedica

Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je



 Fibonnacijev niz u prirodi 

Fibonaccijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki sljedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:

 U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
 Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema sljedećem dobili bi broj fi.
 Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
 Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

 Također pogledajte 
  Fibonaccijevi polinomi
 Reference