Elipsa

Elipsa je zatvorena kriva koja je određena sa dvije poluose: velikom (oznaka: a) i malom (oznaka: b). Oblik elipse definiše se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: e). Elipsa se može također predstaviti kao kosi presjek ravni i valjka. Tačke F1 i F2 nazivaju se fokus. Osobine tački F1 i F2 i  promjenljive tačke X  je da je suma dužina duži  F1X i F2X uvijek jednaka.

Površina elipse se računa formulom:

Dijelovi elipse

 Tačke  i  zovu se žarišta ili fokusi elipse.
 Glavna osa elipse je prava kroz žarišta (prava određena tačkama   i )
 Sredina duži  je središte elipse.
 Sporedna osa je normala na glavnu osu kroz središte elipse.
 Tačke u kojima ose sijeku elipsu zovu se tjemena.
 Velika osa je duž  .
 Mala osa je duž .
 Velike poluose su duži  i .
 Male poluose su duži  i .
 Linearni ekscentricitet udaljenost žarišta od središta elipse.
 Radijus vektori tačke na elipsi su dužine  i .
Formule
 Tekst zaglavlja  Tekst zaglavlja osna jednačina   segmentni oblik   poluparametar   numerički ekscentricitet   linearni ekscentricitet   radijus vektor  Ellipse jednačina tangente   uslov da prava  bude tangenta   koordinate tjemena  , ,
Osobine
 algebarska  zatvorena kriva jedna je od konika
 skup tačaka ravni kojima je zbir udaljenosti od dvije čvrste tačke, žarišta, konstantan. 
 Elipsa je simetrična s obzirom na dvije ose (glavne osi) i njihovo sjecište, središte simetrije. 
 Žarišta elipse smještena su na velikoj osi simetrično s obzirom na središte, a apscisa im je   
 Svaka tetiva koja prolazi kroz središte elipse njezin je prečnik. 
 Tangenta na elipsu u tački T elipse zatvara jednake uglove sa spojnicama ,  tačke T sa žarištima elipse
 Planete se kreću po elipsama kojima se u jednom žarištu nalazi Sunce.

Ekscentricitet

Ekscentricitet je konstanta karakteristična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Označava se sa . i izračunava se kao:

Eccentricity

 i  su dužine poluprečnika elipse. Ako  sa  označimo rastojanje između fokusnih tačaka elipse dobićemo

Jednačina 
Neka se ose elipse poklapaju sa koordinantnim osama. Jednačina elipse je.

Dokaz
Neka nezavisni parametar  raste od 0 do 

An ellipse is a central second-order curve with canonical equation 07. februar 2011. by 127.0.0.1

 Površina i obim 

Površina zatvorena elipsom je :,  gdje su  i  polovine velike i male ose, a  matematička konstanta. Do formule za površinu se dolazi izračunavanjem pomoću integrala.

Dokaz. 
Površina  elipse je





Obim  elipse je ,
gdje je funkcija  totalni eliptični integral druge vrste.

Tačan beskonačan red glasi:

ili

Dobra aproksimacija Ramanujanova, a koja glasi:

ili bolja aproksimacija:

Za posebni slučaj, gdje je mala osa polovine velike ose, možemo koristiti:

ili

 (better approximation).

Općenitije, dužina luka dijela obima, kao funkcija obuhvatnog ugla, data je nepotpunim eliptičkim integralom. Inverzna funkcija, obuhvatni ugao kao funkcija dužine luka, je data preko eliptičkih funkcija.
Zbir rastojanja tačke elipse od žiža

Zbir rastojanja ma koje tačke elipse od njenih žiža, fokusa  i  je konstantan i iznosi 
desno|mini

Dokaz

Ako je  proizvoljna tačka elipse,  podnožje normale iz te tačke na direktrisu , a  podnožje normale na direktrisu    , onda je

 je ekscentricitet elipse

 .

Zbir u zagradi desno je rastojanje između direktrisa, koje iznosi , pa je


 Također pogledajte 

 Ekscentricitet

Izvori
Ellipses

Ellipse

Ellipse, 7 February 2011 by 127.0.0.1

Analitička geometrija ravnine – osnovne formule

Reference

Kategorija:Konusni presjeci
Kategorija:Ravanske krive
Kategorija:Elementarni oblici
Kategorija:Algebarske krive