Skalarni proizvod

Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.
 Definicija

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

 Definicija i primjer 

Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a1, a2, … , an] i vektora b = [b1, b2, … , bn] :

 gdje Σ označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao

gdje je

konjugovano kompleksan broj od ; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je

Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.

 Geometrijska interpretacija 

S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.



 Dokaz geometrijske intepretacije 

Razmotrimo vektor

Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v

Dobijeno je isto kao i

tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.

 Lema 1

Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao

tvoreći trougao sa stranicama a, b i c. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je

Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo
                   (1)
Ali pošto je c ≡ a − b, također imamo da je 
,
što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na
                     (2)
Izjednačavanjem dvije c • c jednačine, (1) i (2), dobijamo

Oduzimanjem a • a + b • b sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam

Q.E.D.
Dokaz kosinusne teoreme
100px|desno
Kako je  imamo:



Trostruki proizvod


Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici
Projekcija vektora na vektor
Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora  na vektorprojekcija vektora na vektor tj.

    skalarna projekcija vektora  na vektor 
     skalarna projekcija vektora  na vektor 
 vektorska projekcija vektora  na vektor 
 vektorska projekcija vektora  na vektor 
Posljedice skalarnog množenja
 skalami proizvod a  b= 0


   ili je bar jedan od vektora  
 ()
Osobine skalarnog proizvoda


Izvori
 Dot Product
 Dot Product 
 Einführung in das Skalarprodukt
Reference

 Također pogledajte 

 Vektorski proizvod
 Vektorski zbir

Reference

Kategorija:Linearna algebra
Kategorija:Binarne operacije
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz
Kategorija:Vektori