Riemannova zeta-funkcija

mini|250px|Riemannova zeta-funkcija za realni s > 1
U matematici, Riemannova zeta-funkcija, nazvana po Bernhardu Riemannu, je važna funkcija u teoriji brojeva zbog veze s teoremom o raspodjeli prostih brojeva. Također se primjenjuje u fizici, teoriji vjerovanoće, i primjenjenoj statistici.

 Definicija 

Funkcija ζ(s) je funkcija kompleksne varijable s i najprije se definirala slijedećom beskonačnom sumom:

Leonhard Euler je otkrio vezu zeta-funkcije i raspodjele prostih brojeva

gdje, po definiciji, lijeva strana je ζ(s) a beskonačni produkt na desnoj strani je po svim prostim brojevima p.

Zeta-funkcija daje sljedeće vrijednosti za neke odabrane brojeve:

; (harmonički niz)

; koristi se za računanje kritične temperature Bose–Einsteinovog kondenzata u fizici.

; dokaz ove jednakosti je tzv. Bazelski problem.

; tzv. Apéryjeva konstanta

Poznato je da zeta-funkcija ima nule -2, -4, -6... One se nazivaju trivijalnima. Hipoteza da sve ostale (kompleksne) nule imaju realni dio jednak 1/2 je poznata kao Riemannova hipoteza i do sada nije riješena.

 Također pogledajte 

 Prosti brojevi
 Leonhard Euler
 Bernhard Riemann

 Literatura 

 Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859). In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) pp 199–220. 
 Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458–464. (Globally convergent series expression.) 
 E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).

 Vanjski linkovi 

 Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld - objašnjenje koje koristi matematički pristup (eng.)
 Tablica odabranih nula 
  (!! kliknite na tipku on Download Now...!!) Spis sadrži 1.000.000 nula
 Prime Numbers Get Hitched općenito o važnosti prostih brojeva, za nestručnu publiku (eng.)

Kategorija:Zeta i L-funkcije