Prsten (matematika)

U matematici, prsten je bilo koji neprazan skup R zajedno s dvije binarne operacije + (sabiranje elemenata prstena) i · (množenje elemenata prstena), tako da vrijedi:

 (R, +) je abelova grupa, tj. ∀ a, b, c ∈ R vrijedi:
 asocijativnost sabiranja:
 (a + b) + c = a + (b + c)
 neutralni element za sabiranje 
 (∃ 0)(0 ∈ R) takav da je a + 0 = 0 + a = a
 ∀ a∈R ∃ suprotni element -a∈R takav da je 
 a + (-a) = (-a) + a = 0
 komutativnost sabiranja
 a + b = b + a

 (R, ·) je polugrupa, tj. množenje na R je asocijativno 
 (ab)c = a(bc)

 operacije sabiranja i množenja su međusobno usklađene zakonima distribucije:
 ∀ a, b, c ∈ R vrijedi :
 a(b + c)= ab + ac i (a + b)c = ac + bc

 Primjeri 

 Trivijalni prsten {0} ima samo jedan element koji je neutralni element i za sabiranje i za množenje
 Prsten cijelih brojeva s operacijama sabiranja i množenja. To je komutativan prsten
 Racionalni, realni i kompleksni brojevi tvore prstene (štoviše, oni su i polja).
 Gaussovi cijeli brojevi tvore prsten.
 Prsten polinoma R[X] s koeficijentima iz prstena R je također prsten.
 Primjer nekomutativnog prstena: Za bilo koji prsten R i proizvoljan prirodan broj n, skup svih kvadratnih n×n matrica s koeficijentima iz R, tvori prsten s operacijama sabiranja i množenja matrica kao pripadnim operacijama. Za n = 1, ovaj prsten matrica je (izomorfan s) R. Za n≥2, ovaj prsten matrica je primjer nekomutativnog prstena (osim ako je R trivijalan prsten).
 Primjer konačnog prstena: Ako je n pozitivan cijeli broj, onda skup  cijelih brojeva modulo n (koji je kao aditivna grupa ciklička grupa reda n) tvori prsten s n elemenata.

 Osnovni teoremi 

Iz aksioma se izravno može zaključiti da ako je  prsten,  imamo:



 , pod uvjetom da su i a i b invertibilni.

Ostali osnovni teoremi:

 Neutralni element 1 je jedinstven
 Ako element prstena ima inverz za množenje, onda je taj inverz jedinstven.
 Ako prsten ima barem dva elementa, onda je 0 ≠ 1

 Također pogledajte 
 Polje (matematika)

Kategorija:Algebarske strukture
Kategorija:Teorija prstena