Faktorijel

0  1 1  1 2  2 3  6 4  24 5  120 6  720 7  5.040 8  40.320 9  362.880 10  3.628.800 11  39.916.800 12  479.001.600 13  6.227.020.800 14  87.178.291.200 15  1.307.674.368.000 20  2.432.902.176.640.000 25  15.511.210.043.330.985.984.000.000 50  3,04140932... × 1064 70  1,19785717... × 10100 450  1,73336873... × 101.000 3.249  6,41233768... × 1010.000 25.206  1,205703438... × 10100.000 47.176  8,4485731495... × 10200.001 100.000  2,8242294079... × 10456.573 1.000.000  8,2639316883... × 105.565.708 9,99... × 10304  1 × 103.045657055180967... × 10307
Faktorijel je matematička funkcija kojom se izračunava proizvod prirodnih brojeva od 1 do nekog određenog prirodnog broja n, označeno kao n!. Ova funkcija se koristi u statistici, kao i u zakonima vjerovatnoće, te u kombinatorici.

 Definicija 
Faktorijelska funkcija se najčešće definiše kao

ili rekurzivno kao

U obje definicije, uključuje se slučaj

zbog konvencije da je proizvod ni jednog broja 1. Ova konvencija je korisna zato što

 rekurzivna relacija  važi za ;
 dozvoljava jednostavno pisanje izraza za beskonačne polinome, npr. ;
 ova definicija mnoge identitete u kombinatorici čini važećim za nulte veličine.
 Specifično, broj kombinacija ili permutacija praznog skupa je, jednostavno, broj 1.

 Primjena 
Najjednostavnija primjena faktorijela je u kombinatorici gdje se pomoću jednostavne formule binomnog koeficijenta može izračunati broj kombinacija brojeva sa 
količinom k u jednoj osnovnoj grupi n. Npr. broj kombinacija u lotu.

 .

Primjenu nalazi i u tzv. Gama funkciji, Taylorovom redu itd.

 Primjer 


odnosno


po definiciji je:



dok negativni brojevi nemaju faktorijel.

 Približno računanje faktorijela 

Najveći faktorijel koji se može izračunati na običnim džepnim računarima je faktorijel broja 69.
Faktorijel broja 70 ima više od 100 brojki, te se za svaki veći broj n može primijeniti Stirlingova formula za približno izračunavanje.



gdje je:

  broj pi (približno 3,14)
  broj e (približno 2,71)

 Dvostruki faktorijel n!! 
n!! označava u matematici dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel parnih ili neparnih brojeva

na primjer:


odnosno


Primorijel
Ako imamo prirodni broj  tada je  umnožak prostih brojeva koji ne premašuju .

Preciznije,

 Također pogledajte 

 Alternativni faktorijel
 Digama funkcija
 Eksponencijalni faktorijel
 Faktorijelski prorodan broj
 Faktorijom
 Stirlingova aproksimacija
 Trailingove nule faktorijela
 Trougaoni broj, sumarni analog faktorijelu

 Reference 

 Vanjski linkovi 

 Approximation formulas
 All about factorial notation n!
 The Dictionary of Large Numbers
 "Factorial Factoids" od Paula Niquettea
Faktorijelski kalkulatori i algoritmi
 Factorial Calculator : iračunanje faktorijela do 200.000!
 "Factorial" od Ed Pegg, Jr. i Rob Morris, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 Fast Factorial Functions (with source code in Java and C#)

Kategorija:Kombinatorika
Kategorija:Teorija brojeva
Kategorija:Gama i slične funkcije
Kategorija:Teme o faktorijelima i binomima