Matrica (matematika)

U matematici, matrica je pravougaona tabela brojeva, ili općenito, tabela koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu sabirati i množiti.

Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednačina, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu sabirati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.
mini|350p|desno|Organizacija matrice

 Definicije i notacije 
Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom (kaže se i zapisuje da je formata m×n) a m i n su dimenzije matrice.

Član matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu se naziva (i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao Ai,j ili A[i,j]. Uvijek se prvo naznačuje redak, pa stupac.

Često se piše  kako bi se definirala m × n matrica A čiji se svaki član A[i,j] naziva ai,j za sve 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ i ≤ m − 1 i 0 ≤ j ≤ n − 1.

Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak, a m × 1 matrica (jedan stupac i m redaka) se naziva vektor stupac.

Matrice imaju oblik matrica

Za matricu koja ima m redova i n kolona, kaže se da je tipa .

Za matricu  koja je  tipa  kažemo da je pravougaona matrica.

Za matricu kod koje je broj redova jednak broju kolona tj  ,  kažemo da je kvadratna matrica reda .

Elementi kvadratne matrice  (reda n)      čine glavnu dijagonalu matrice.

Matrica  se označava sa  
Primjer
Matrica



je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a2,3 je 7.

Matrica


je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.

Kvadratna matrica kod  koje su svi elementi ispod ili iznad glavne dijagonale jednaki nuli  je trouglasta matrica Može biti gornja trouglasta ako je   za  i   donja trouglasta ako je   za 

Kvadratna matrica, čiji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli zove se dijagonalna matrica.  za 

 Vrsta matrice  matrica reda  Dijagonalna matrica   donja trouglasta matrica   gornja trouglasta matrica  

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki, naziva se skalarna matrica. 

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki jedinici, naziva se jedinična matrica (ili identična matrica) i obiljeležava se sa I tj 
Primjer

je jedinična matrica tipa 

Matrica  je podmatrica ili submatrica matrice , ako izostavljanjem nekih vrsta i kolona  matrice  možemo dobiti matricu .

Neka je  matrica tipa   komatrica matrice A je njena podmatrica koja nastaje uklanjanjem i-tog reda i j-te kolone matrice A i obilježavamo je sa .

 Sabiranje i množenje matrica 

 Sabiranje 
Ako su date matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbir A + B je m-sa-n matrica, izračunata sabiranjem odgovarajućih elemenata (t.j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Naprimjer:


Primjer
Neka je

Osobine
  komutativnost
 asocijativnost

Matrix

 Množenje skalarom 
Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni produkt cA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t.j. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Naprimjer:



Operacije sabiranja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u realni vektorski prostor dimenzije mn.
Osobine

 Množenje matrica 
Množenje dvije matrice je dobro definisano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne matrice. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov proizvod AB matrica dimenzija m-sa-p (m redaka, p stupaca) dat formulom:


za svaki par i i j.

Na primjer:





Množenje matrica ima sljedeće osobine:
 (AB)C = A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C (asocijativnost).
 (A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).
 C(A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k-sa-m matrice C (lijeva distributivnost).

(
Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su date matrice A i B, čak i ako su oba umnoška definirana, u općem slučaju je AB ≠ BA.

Množenje matrica nije komutativno

Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za n ≥ 2.

Stepenovanje matrica

Po definiciji je

Transponovana matrica 
Transponovana matrica matrice

je matrica  oblika
  tj

Primjer
Ako je

  onda je

Kvadratna matrica  je:
simetrična tj  
, tj.  za sve 
antisimetrična

 tj  za sve . Tada je i  za sve 
Osobine transponiranja

(


Inverzna matrica
Ako za matricu  postoji matrica  takva da je
  onda je    inverzna matrica

Inverzna matrica definiraana je samo za (neke) kvadratne matrice i pri tome vrijedi
ako je  ranga n onda je i  ranga n
Ako kvadratna matrica ima inverznu, nazivamo je regularna. U protivnom je singularna.

Ako postoji inverzna matrica, ona je jedinstvena. Odnosno
Ako su  i  inverzne matrice od  onda je

Osobine




Jednakost matrica
Matrice A i B su jednake ako i samo ako su istog reda i svi odgovarajući elementi su im
međusobno jednaki.

 Linearne transformacije, rang, transponirana matrica 

Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.

Ovdje i u nastavku, promatramo Rn kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica.
Za svako linearno preslikavanje f : Rn → Rm postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rn.
Kažemo da matrica A predstavlja linearno preslikavanje f.
Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : Rm → Rk, tada je njihova kompozicija g o f također linearno preslikavanje Rm → Rn, i predstavljeno je upravo matricom BA. Ovo slijedi iz gore pomenute asocijativnosti množenja matrica.

Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.

Transponirana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica Atr (nekad se zapisuje i kao AT ili tA), koja nastaje pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest Atr[i, j] = A[j, i] za svaki i i j. Ako A predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica Atr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (Vidi: Dualni prostor).

Vrijedi (A + B)tr = Atr + Btr i (AB)tr = Btr Atr.

 Također pogledajte 
 Rang matrice
 Adjungovana matrica
 Sarrusovo pravilo

 Reference 

 Vanjski linkovi 

6. LINEARNA ALGEBRA( 6.1 Matrice)
Matrice
 Matrice
Matrix
Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages / June 2010. 
Matrix and vector online calculator
  Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) 

Kategorija:Linearna algebra