Alef broj

U matematičkoj teoriji skupova, alef brojevi predstavljaju brojeve koji se koriste za označavanje kardinalnosti (broja članova) beskonačnih skupova. Njihova oznaka je hebrejsko slovo alef ().

Kardinalnost skupa prirodnih brojeva je  (alef-nula); sljedeća veća kardinalnost je alef-jedan , pa  i tako dalje. Na ovaj je način moguće definirati kardinalni broj  za svaki ordinalni broj α.

Ovaj je koncept uveo Georg Cantor, koji je i uveo pojam kardinalnosti, te došao do zaključka da beskonačni skupovi mogu imati različite kardinalnosti.

Alef brojevi se razlikuju od beskonačnosti (∞) koja se često susreće u algebri ili matematičkoj analizi. Alef brojevi označuju veličinu skupova; beskonačnost, s druge strane, se obično definira kao krajnja granica pravca realnih brojeva. Iako neki alef brojevi mogu biti veći od drugih, ∞ je jednostavno ∞.

 Alef-nula 

Alef-nula () je po definiciji kardinalnost skupa svih prirodnih brojeva (pretpostavljajući, kao i obično, aksiom izbora). Alef-nula je najmanji od svih beskonačnih kardinalnosti. Skup ima kardinalnost  ako i samo ako je prebrojivo beskonačan, što je slučaj ako i samo ako se može napraviti izravna bijekcija, ili jedan-jedan preslikavanje sa skupom prirodnih brojeva. Među takvim skupovima su skupovi svih prostih brojeva, svih cijelih brojeva ili skup svih racionalnih brojeva.

 Alef-jedan 

 je kardinalnost skupa svih prebrojivih ordinalnih brojeva, zvanog ω1 ili Ω. Treba imati na umu da je ω1 neprebrojiv skup. Ova teorija implicira (i u samoj Zermelo-Fraenkel teoriji skupova (ZF), bez aksioma izbora) da ne postoji kardinalan broj između  i . Ako se koristi aksiom izbora, može se dalje dokazati da je klasa kardinalnih brojeva potpuno (totalno) uređena, te da je stoga  drugi najmanji beskonačan kardinalan broj. Korištenjem aksioma izbora se može pokazati jedno od najkorisnijih svojstava skupa Ω (standardan primjer skupa veličine ): svaki prebrojivi podskup skupa Ω ima gornju granicu (u odnosu na standardnu dobru uređenost ordinala) u Ω (dokaz je lak: prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiva - ovo je jedna od najčešćih primjena aksioma izbora). Ova činjenica je analogna situaciji u : svaki konačan skup prirodnih brojeva (podskup od ω) ima maksimum, koji je također prirodan broj (ima gornju granicu u ω) — konačne unije konačnih skupova su konačne.

Ω je u stvari koristan koncept, iako zvuči pomalo egzotičan. Primjer primjene je zatvaranje u odnosu na prebrojive operacije; naprimjer, pokušaj eksplicitnog opisivanja σ-algebra generirane proizvoljnom kolekcijom podskupova. Ovo je teže od većine eksplicitnih opisa "generiranja" u algebri (naprimjer vektorskih prostora, grupa, itd.) jer u tim slučajevima moramo zatvoriti samo u odnosu na konačne operacije - sabiranje, množenje i slično. Proces uključuje definisanje, za svaki prebrojivi ordinal, putem transfinitne indukcije, skupa ubacivanjem svih mogućih prebrojivih unija i komplemenata, i uzimanjem unije svega toga nad cijelim Ω.

 Hipoteza kontinuuma 

Kardinalnost skupa realnih brojeva je . Nije jasno gdje ovaj broj potpada u hijerarhiji alef-brojeva. Iz Zermelo-Fraenkel teorije skupova, s aksiomom izbora, slijedi čuvena hipoteza kontinuuma, ekvivalentna identitetu

Hipoteza kontinuuma je neovisna od Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora: ne može se ni dokazati niti opovrgnuti unutar konteksta tog aksiomatskog sistema. Kurt Gödel je 1940. dokazao njenu konzistentnost sa ZF teorijom skupova s aksiomom izbora; Paul Cohen je 1963. godine demonstrirao neovisnost od ZF teorije skupova s aksiomom izbora.

 Alef-ω 

Konvencionalno se najmanji beskonačan ordinal označuje sa ω, i kardinalan broj  je najmanja gornja granica

Alef-ω je prvi neprebrojivi kardinalan broj za koji se unutar ZF teorije skupova može pokazati da nije jednak kardinalnosti skupa realnih brojeva; za bilo koji pozitivan cijeli broj n se može konzistentno pretpostaviti da je , i štoviše, moguće je pretpostaviti da je  proizvoljno velik.

 Alef-α za opći α 

Kako bi se definisao alef-α za proizvoljan ordinalan broj α, mora se definisati operacija kardinala sljedbenika, koja proizvoljnom kardinalnom broju ρ dodjeljuje sljedeći veći dobro uređen kardinal . (Ako vrijedi aksiom izbora, tada je ovo sljedeći veći kardinal.)

Tada se mogu definirati alef brojevi na sljedeći način

i za λ, beskonačan granični ordinal,

α-ti beskonačni početni ordinal se označuje sa . Njegova kardinalnost je .

 Fiksne tačke za alef 

Za bilo koji ordinal α slijedi:

U mnogim slučajevima  je strogo veći od α. Naprimjer, za bilo koji ordinal sljedbenik α, ovo vrijedi. Međutim, postoje neki granični ordinali, koji su fiksne tačke alef funkcije. Prvi takav je granica niza

Svaki nedostupni kardinal je, također, fiksna tačka alef funkcije.

 Također pogledajte 

 Georg Cantor
 Kardinalan broj
 Neprebrojiv skup
 Hipoteza kontinuuma
 Bet broj

Kategorija:Teorija skupova