Polje (matematika)

U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.

Sva polja su prsteni, ali ne obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se historijski prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.

Osnovni primjer polja je , polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva , polje kompleksnih brojeva  i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka . Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

 Ekvivalentne definicije 

Definicija 1

Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.

Definicija 2

Polje je komutativni prsten (, +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od  osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primijetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3

Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

 Zatvorenost od  za + i *  ,  i  (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
 + i * su asocijativne operacije  ,  i .
 + i * su komutativne operacije  ,  i .
 Vrijedi distributivnost operacije * prema +  , .
 Postojanje neutralnog elementa za sabiranje   takav da je , .
 Postojanje neutralnog elementa za množenje   takav da je , .
 Postojanje inverza za sabiranje  , takav da je .
 Postojanje inverza za množenje  , , takav da je .

Uslov da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su (, +) i(, *) komutativne grupe (abelove grupe, i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a−1 jedinstveno određeni s a. Ostala korisna pravila uključuju:
−a = (−1) * a
i općenitije
−(a * b) = (−a) * b = a * (−b),
kao i
a * 0 = 0.

 Primjeri 

Kompleksni brojevi , s uobičajenim operacijama sabiranja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća podpolja:
Racionalni brojevi  | , gdje je  skup cijelih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih podpolja.

 Također pogledajte 
 Prsten (matematika)
 Vektorski prostor


Kategorija:Algebarske strukture
Kategorija:Apstraktna algebra