Divergencija

U vektorskom kalkulusu,  divergencija je operator koji mjeri intenzitet izvora ili ponora vektorskog polja u datoj tački; divergencija vektorskog polja je skalar. Za vektorsko polje koje pokazuje brzinu širenja zraka kada se on zagrijava, divergencija polja brzine imala bi pozitivnu vrijednost, jer se zrak širi. Da se zrak hladi i skuplja, divergencija bi bila negativna. Divergencija bi se mogla opisati i kao mjera promjene u gustoći.

Vektorsko polje koje ima divergenciju jednaku nuli naziva se solenoidalno vektorsko polje.

 Definicija 

Neka  x, y, z bude sistem pravouglih koordinata u 3-dimenzionalnom  Euklidovom prostoru, te neka su i, j, k odgovarajuće baze jediničnih vektora.

Divergencija glatke funkcije vektorskog polja F = Fx i + Fy j + Fz k je definisana kao skalarna funkcija:

Iako je izražena preko koordinata, rezultat je invarijanta pri ortogonalnim transformacijama.

Uobičajna oznaka za divergenciju ∇·F, gdje tačka govori da se radi o skalarnom proizvodu: uzmete komponente od ∇ (pogledajte nabla), pomnožite ih sa komponentama od F, te saberete rezultat.

 Osobine 

Sljedeće osobine more se izvesti iz običnih pravila matematičke analize. Najvažnije, divergencija je linearni operator, na primjer

za sva vektorska polja F i G i za sve realne brojeves a i b.

Postoji pravilo izvoda proizvoda sljedeće vrste: ako je φ skalarna funkcija, a F vektorsko polje, tada je

ili ljepše napisano

Drugo pravilo proizvoda za vektorski proizvod dva vektorska polja F i G u tri dimenzije uključuje i rotor i čita se na sljedeći način:

ili

Laplacijan skalarnog polja je divergencija gradijenta polja.

Divergencija rotora bilo kojeg vektorskog polja (u tri dimenzije) je konstanta i jednaka je nuli. Ako je vektorsko polje F, sa divergencijom koja je jednaka nuli, definisano na lopti u R3, tada postoji neko vektorsko polje G na lopti sa F = rot(G). Za regione u R3 komplikovanije od lopti, ova tvrdnja bi mogla biti netačna (pogledajte članak Poincaréova lema). Stepen netačnosti istine ove tvrdnje, mjerena putem homologije lančanog kompleksa

 Također pogledajte 

 Teorem divergencije
 Rotor
 Gradijent
 Nabla u cilindričnim i sfernim koordinatama

 Reference 




 Vanjski linkovi 

 Ideja divergencije i rotora

Kategorija:Vektorska analiza
Kategorija:Numerička analiza