Gram–Schmidtov postupak

Gram–Schmidtov postupak metoda je u linearnoj algebri koja služi za ortogonalizaciju skupa vektora u zadanom euklidskom prostoru.

Postupak je sljedeći: uzmimo vektorski prostor proizvoljne dimenzije Rn baze {v1, v2, ... ,vn}, Gram–Schmidtovim postupkom ortogonalizacije možemo transformirati bazu {vi} u ortonormiranu bazu, {ui}. Prvo normaliziramo v1: u1=v1/||v1||.

Nakon toga izračunavamo:w2=v2-<v2,u1>u1, pa normaliziramo w2: u2=w2/||w2||

Ovaj postupak primijenimo za sve vektore iz baze {vi}: wi+1=vi+1-<vi+1,uiui>- ... - <vi+1,u1>u1 i ui+1=wi+1/||wi+1||. Vektori {u1, ... ,vn} linearno su nezavisni i stoga čine bazu vektorskog prostora Rn.

 Primjer 
Uzmimo sljedeći skup vektora u Rn (s uobičajenim skalarnim proizvodom)

Sada primijenimo Gram–Schmidtov postupak kako bismo dobili ortogonalni skup vektora:

Provjerimo vektore u1 i u2 kako bismo utvrdili da su zaista ortogonalni:

Sada ih možemo normalizirati tako što ćemo ih podijeliti njihovim dužinama:

desno|mini|Prvi koraci Gram–Schmidtovog postupka

 Reference 

 Vanjski linkovi 

Kategorija:Linearna algebra