Neprekidna funkcija

Neprekidne funkcije predstavljaju jednu od najvažnijih klasa funkcija koje se proučavaju u različitim matematičkim disciplinama. Za neku funkciju  kažemo da je neprekidna u nekoj tački  ako funkcija uopšte posjeduje vrijednost u toj tački, te ako se njena vrijednost kada se sa lijeva ili desna približavamo posmatranoj tački također približava njenoj vrijednosti u posmatranoj tački. Za funkciju koja nije neprekidna u nekoj tački kažemo da je prekidna u toj tački, odnosno da ima prekid u posmatranoj tački.

Radi lakšeg opisivanja ponašanja (svojstava) neke funkcije, u praksi je od velikom značaja tzv. grafik funkcije, tj. grafički prikaz skupa vrijednosti posmatrane funkcije nad nekim podskupom njenog domena. Pojednostavljeno gledajući, za funkciju možemo reći da je neprekidna ako njen grafik možemo nacrtati bez da vrh olovke odvojimo od papira. No, ovo je veoma daleko od formalne definicije neprekidne funkcije, iz čistog razloga što se pojam "crtanja bez odvajanja od papira" ne može matematički predstaviti.

Današnju formalnu definiciju neprekidne funkcije dao je Karl Weierstraß krajem 19. vijeka.

 Neprekidnost funkcije u tački 
U upotrebi je nekolicina različitih, ali ekvivalentnih definicija neprekidnosti funkcije u tački

 Za funkciju  definisanu u nekoj okolini tačke  kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački  ako je

Pomakni u desno:

 Za funkciju  definisanu u nekoj okolini tačke  kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački  ako za dato  postoji broj  takav da za sve  za koje je  vrijedi:

 Za funkciju  definisanu u nekoj okolini tačke  kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački  ako je

Razliku  nazivamo priraštaj nezavisne promjenljive i označavamo sa , dok razliku  nazivamo priraštaj zavisno promjenljive i označavamo sa .

 Za funkciju  definisanu u nekoj okolini  tačke  kažemo da je neprekidna s desna tački  ako je

 Za funkciju  definisanu u nekoj okolini  tačke  kažemo da je neprekidna s lijeva tački  ako je

 Za funkciju  definisanu u nekoj okolini tačke  kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački  ako je neprekidna s desna i neprekidna s lijeva u tački 
 Tačka gomilanja  u kojoj funkcija  nije neprekidna naziva se tačka prekida (diskontinuiteta) funkcije . Tačka  postaje tačka prekida funkcije , ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:
 Funkcija  nije definisana u tački 
 Barem jedna od graničnih vrijednosti ,  ne postoji. Tačku prekida  funkcije  za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamo tačkom prekida druge vrste.
 Postoje granične vrijednosti , , ali je barem jedna od njih različita od vrijednosti funkcije  u tački , tj. . Tačku prekida  funkcije  za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamo tačkom prekida prve vrste.
 Ako postoje granične vrijednosti ,  i , ali funkcija  nije definisana u tački , onda funkciju  možemo proširiti stavljajući  tako da nova funkcija postane neprekidna u tački . Ovakvu tačku  nazivamo tačkom otklonjivog prekida.

 Ako su funkcije  i  neprekidne u tački , onda su i funkcije ,  neprekidne u tački . Ako je , onda je i funkcija  neprekidna u tački .
 Ako je  neprekidna funkcija u tački , a  neprekidna funkcija u tački , onda je složena funkcija  neprekidna u tački .

 Primjeri funkcija sa različitim vrstama tačaka prekida 
 Funkcija zadana sa , ima prekid u tački . Tačka  predstavlja prekid druge vrste za ovu funkciju.

Obratite pažnju da je neprekidnost lokalno svojstvo i ispituje se samo na tačkama domena funkcije. Da je gornja funkcija bila definisina samo sa   onda ne bi bilo moguće ispitivati neprekidnost funkcije u tački 0 jer tu funkcija nije definisana (deljenje sa 0) što znači da je funkcija  neprekidna. To jest ona je neprekidna na svom domenu

 Funkcija zadana sa  ima prekid druge vrste u tački . Ovo je primjer funkcije koja je neprekidna s lijeva ali nije neprekidna s desna.
 Funkcija zadana sa  posjeduje istovremeno prekid prve vrste (u tački ) i prekid druge vrste (u tački ).

 Funkcija zadana sa  posjeduje otklonjiv prekid u tački .

 Neprekidnost funkcija na zatvorenom intervalu 

Za funkciju  definisanu na nekom intervalu ili uniji intervala  kažemo da je neprekidna na  ako je neprekidna u svakoj tački .

Ako je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu , ona je na tom intervalu i ograničena, te na tom intervalu poprima svoju najmanju i najveću vrijednost.

 Uniformna neprekidnost funkcija 

Za funkciju  definisanu na nekom intervalu  kažemo da je uniformno neprekidna na tom intervalu, ako za svako  postoji  takvo da za sve parove tačaka  za koje je  vrijedi .

Ako je funkcija  uniformno neprekidna na nekom intervalu, ona je očigledno i neprekidna na tom intervalu. Dakle, klasa uniformno neprekidnih funkcija je potskup klase neprekidnih funkcija. U slučaju zatvorenog intervala  ove dvije klase se poklapaju, tj. svaka neprekidna funkcija nad zatvorenim intervalom  je ujedno i uniformno neprekidna nad ovim intervalom. U slučaju otvorenih intervala, ovo ne vrijedi. Npr. funkcija  je neprekidna na otvorenom intervalu , ali nije uniformno neprekidna na ovom intervalu.

 Također pogledajte 
 Niz
 Simetrično neprekidna funkcija

Kategorija:Infinitezimalni račun
Kategorija:Vrste funkcija
Kategorija:Neprekidna preslikavanja