Bernoullijeva jednačina

Bernoullijeva jednačina prikazuje odnos između brzine, pritiska i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja nestišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih presjeka; porastom brzine tekućine pada njen statički pritisak i obratno. Zbir statičkog i dinamičkog pritiska u horizontalnom strujanju daje ukupan pritisak, koji je konstantan u svim presjecima. Drugim riječima, Bernoullijeva jednačina predstavlja zakon očuvanja energije, koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.

 Odnosno Bernouiiljeva jednačina govori o konstantnosti:
 potencijalne energije ...  i 
 kinetičke energije ... .

 Objašnjenje Bernoullijeve jednačine 
600px|centar

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su piezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog pritiska mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj pritiska usljed kretanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Piezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću piezometarske i Pitotove cijevi. Zbir tih visina je konstantna i jednaka H, bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički pritisak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća, iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički pritisak veći, a na mjestima veće brzine manji.

 Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koriste u Bernoullijevoj jednačini 

ρ – Gustoća - 
S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka - .
p - statički pritisak - (Pa)
v - brzina - (m/s)
m – masa tekućine - (kg)
R - mehanički rad - (W)
V - volumen mase tekućine - 

 Bernoullijeva jednačina koristi SI sistem jedinica.
  geodetska visina, odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravan u 
  piezometarska ili visina pritiska, odnosno visina piezometarskog pritiska koju pokazuje visina stupca tekućine u piezometarskoj cijevi u 
  je brzinska visina u , a brzina  predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
 Ukupan zbir energija daje Bernoullijevu jednačinu

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka  i statičkog pritiska , tekućina dobije veću brzinu .
Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju: 



 a kad uđe u uži dio:



Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao zbog razlike pritisaka ()  pri kretanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = ()  ΔS

R= () V , gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

() V =  - 

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ = , dobijamo Bernoullijevu jednačinu:

 +  =  +  =  +  = konst.

Izrazi  ,  +  i  +  prikazuju pritisak koji je nastao usljed strujanja tekućine i zove se dinamički pritisak.

 Oblik Bernoullijeve jednačine za idealnu tekućinu 

 Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ova jednačina jesu:

 tekućina je idealna - nestišljiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
 Stacionarno strujanje

  predstavlja hidrodinamički pritisak ili ukupnu specifičnu energiju u .

 Izvod Bernoullijeve jednačine preko zakona održanja količine kretanja 

 Bernoullijeva jednačina je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine kretanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod jesu:
 fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
 Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

 Izvod Bernoullijeve jednačine preko Eulerovog integrala 

 Eulerove diferencijalne jednačine kretanja tekućine - implicitni oblik

 ... ... ...(1E) 
 ... ... ...(2E) 
 ... ... ...(3E)
 - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

 Osnovna pretpostavka:
 imamo stacionarno strujanje

 matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i saberemo dobivene jednačine.

, 
pa dobijemo jednačinu:


možemo derivirati



Dakle, sada imamo ovaj oblik jednačine


 ako imamo strujnu cijev u kojoj djeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sistemu. Možemo pojednostavniti ovako:


I konačno Eulerov integral koji predstavlja izvod Bernoullijeve jednačine: 

 Oblik Bernoullijeve jednačine za realnu tekućinu 

  je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u .

 Coriolisov koeficijent 
Naziva se i koeficijent kinetičke energije . On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim tačkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

 Koeficijent kinetičke energije najčešće ima sljedeće vrijednosti:

 kod strujanja u cijevima 
 kod strujanja u otvorenim vodotocima 
 vrijednost  možemo računati ovom formulom:
  - postavlja se uslov da je 

 Praktična primjena Bernoullieve jednačine 

 Primjer cijevi pod pritiskom 
mini|350px|desno|Cijev pod pritiskom

Znamo: .
 gubitak pritiska predstavlja razliku piezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi: 




 Zaključak 

gdje je  statički pritisak,  dinamički pritisak, a  ukupni pritisak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.

 Bernoullijev zakon ili Bernoullijeva jednačina služi za proračun brzine, pritiska ili gubitaka kod protoka tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama, tj. fluidima, ova jednačina služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.

 Također pogledajte 
 Navier–Stokesove jednačine
 Hidraulika

 Reference 

 Vanjski linkovi 

 https://books.google.ba/books?id=TQfYCwAAQBAJ&pg=PA2-1&q=Anderson&redir_esc=y
 https://web.archive.org/web/20180318183632/http://d1vdx9ifs4n5d7.cloudfront.net/s3fs-public/davidson_images/eastwell-bernoulli.pdf
 https://books.google.com/books?id=G6RRAAAAMAAJ
 http://www.df.uba.ar/users/sgil/physics_paper_doc/papers_phys/fluids/Bernoulli_Newton_lift.pdf

Kategorija:Dinamika fluida
Kategorija:Aerodinamika