Kosinusna teorema

Kosinusna teorema  se koristi za rješavanje trougla  u  trigonometrijskoj ravni:


gdje je  α ugao nasuprot  stranice   a.

U sfernoj trigonometriji to je formula za rješavanje sfernog trougla:

gdje je a strana nasuprot ugla A, strana b nasuprot ugla B, a strana C je nasuprot ugla C.
 U ravni
mini
U svakom trouglu  je
 gdje je  ugao   nasuprot  stranice a

 gdje je  ugao   nasuprot  stranice b

 gdje je  ugao   nasuprot  stranice c

Dokaz

Neka je dat je oštrougli trougao ABC sa visinom CD.

Iz pravouglih trouglova BCD i ACD prema Pitagorinoj teoremi je

 zamjenom

  i

 pravouglog trougla ACD dobijamo

 i zamenom u prethodnu jednakost

Za tupougli trougao ABC, sa uglom  u tjemenu A, većim od pravog ugla (90°). Visina CD = h pada na produžetak stranice AB u tačku D tako da je D-A-B, te je spoljašnji ugao CAD = 180°-α. U trouglu CAD je

DA = 

trouglovi BCD i ACD su pravougli i, prema Pitagorinoj teoremi imamo

Kosinusna teorema se može dokazati jednostavno i bez razmatranja različitih rasporeda koristeći vektorski račun.

 (    skalarni proizvod.)

Na sličan način dobijamo oatale formule

Za  ugao  , imamo  poseban slučaj 
kosinusne teoreme  Pitagorina teorema.

Posljedice 
Kvadrat bilo koje stranice trougla manji je, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice, zavisno da li je suprotni ugao oštar, prav ili tup.

Dokaz:

Ako je   onda je   i 

Ako  je  onda  је  i 

Аkо је  ondа је  i 

Važi i obrnuta teorema

Теоrеmа:

Ugao  trougla је оštar, рrаv, ili tup  zavisno od toga  da li je  kvadrat suprotne stranice trougla redom je manji, jednak ili veći od zbira kvadrata  ostale dvije stranice.

Dokaz:

Ako  је   onda je    prema tome je 

Аko  је  onda je   tј. 

Ako  је  onda  је  tј. 

U bilo kojem paralelogramu zbir kvadrata dijagonala jednak je zbiru kvadrata sve četiri njegove strane.

 јер је 

Sabiranjem dobijamo

Korištenje  teoreme
Teoremu koristimo za rješavanje trougla
 ako znamo dvije stranice i ugao naspram tražene stranice

Uglove trougla ako znamo sve tri stranice

Treča stranica ako znamo dvije stranice i ugao naspram jedne od njih

Ako se radi pravouglom trouglu koristi se Pitagorina teorema
Koristeći Pitagorin teorem
Tupi ugao

Teoremu dokazuje Euklid pomoću Pitagorinu teoremu

Java applet version by Prof. D E Joyce of Clark University.

Oštri ugao


Koristeći Ptolomejevu  teoremu


 Također pogledajte 
 Sinusni teorem
 Tangensni teorem
 Triangulacija
Izvori
Cosine theorem /19 March 2014. 
The Law of Cosines (Cosine Rule)
The Law of Cosines- Formula and examples of law of cosines

Reference

Kategorija:Trigonometrija