Kompozicija funkcija

U matematici, kompozicija funkcija formirana kompozicijom jedne funkcije drugom, predstavlja primjenu prve funkcije na rezultat primjene druge na argument. Funkcije f: X → Y i g: Y → Z se mogu komponovati tako što se prvo primjeni funkcija f na argument x i potom primjeni funkcija g na rezultat prethodne primjene.
Na taj se način dobija funkcija g o f: X → Z definisana sa (g o f)(x) = g(f(x)) za svaki x u X. Notacija g o f se čita kao "g kružić f" ili "g komponovano sa f".

250px|desno|mini|g o f, kompozicija f i g

Kompozicija funkcija je uvijek asocijativna. To jest, ako su f, g i h tri funkcije sa odgovarajuće odabranim domenama i kodomenama, tada je f o (g o h) = (f o g) o h. Budući da je svejedno gdje se stavljaju zagrade, mogu se slobodno izostaviti, bez uticaja na konačni izračun.

Kao posljedica toga skup bijektivnih funkcija 
f: X → X formmira grupu u odnosu na operator kompozicije.

Funkcije g i f komutiraju jedna sa drugom ako g o f = f o g. Općenito kompozicija funkcija nije komutativna. Komutativnost je specifična osobina koje imaju samo pojedine funkcije u posebnim okolnostima. Naprimjer,  samo kad ; za svaki negativni  je prvi izraz nedefiniran. (Ali inverzne funkcije uvijek komutiraju i pritom stvaraju identitetu.

 Primjer 

Neka je visina aviona u vremenu t dana funkcijom h(t) i neka je koncentracija kisika na visini x dana funkcijom c(x).
Tada izraz (c o h)(t) opisuje koncentraciju kisika uokolo zrakoplova u vremenu t.

 Funkcijske potencije 

Ako Y⊆X tada se funkcija f: X → Y može komponovati sama sa sobom. Ovo se ponekad označava sa f 2. Shodno tome:

(f o f)(x) = f(f(x)) = f 2(x)
(f o f o f)(x) = f(f(f(x))) = f 3(x)

Ponavljana kompozicija funkcije samom sobom se zove iteracija funkcije.

Korištenjem definirane notacije lako dobijamo funkcijske potencije 
f o f n
= f n o f
= f n+1
za prirodne n
 Dogovorno je f 0 = idD(f) (identiteta nad domenom funkcije f).
 Ako funkcija f:X→X ima inverznu funkciju, negativne funkcijske potencije f -k (k > 0) su definisane kao suprotne potencije inverzne funkcije, (f −1)k.

Iterirane funkcije se prirodno pojavljuju prilikom proučavanja fraktala i dinamičkih sistema.

 Operator kompozicije 

Za danu funkciju g, operator kompozicije  je definisan kao operator koji preslikava funkcije na funkcije

Operatori kompozicije su predmet proučavanja matematičke discipline zvane teorija operatora.

 Također pogledajte 

 Kombinatorička logika
 Kompozicija relacija, generalizacija relacija
 Kompozicija funkcija (računarstvo)
 Funkcionalna dekompozicija
 Funkcije višeg reda
 Lambda račun
 Kompozicija relacija

 Vanjski linkovi 
 "Composition of Functions" od Brucea Atwooda, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Kategorija:Funkcije i preslikavanja
Kategorija:Osnovni koncepti u teoriji skupova
Kategorija:Binarne operacije
Kategorija:Vrste funkcija