Peanovi aksiomi

U Peanovom aksimatskom sistemu direktni sljedbenik uzima se kao osnovni pojam.
n+

 1 je prirodan broj
svaki prirodni broj n ima tačno jednog sljedbenika n+ = n + 1
 Uvijek je  n+ ≠ 1, tj 1 nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja.
 Iz m+  = n+ onda je i m = n , tj ako su sljedbenici dva prirodna broja jednaki onda su i oni jednaki.
 (Aksioma indukcije) Svaki podskup M skupa N, koji sadrži  broj 1 i sljedbenika   svakog svog elementa  sadrži sve prirodne brojeve tj M = N.

 Metoda matematičke indukcije 

Na Peanovim aksimama temelji se matematička indukcija.

Primjer
Dokažimo da vrijedi teorema:  razlika n2  - n djeljiva je sa 2.

n = 1  ....................................(12 – 1 ) ≡ 2
neka teorema važi za n........( n2 – n) ≡ 2

dokažimo za n + 1............(n + 1 )2 – (n + 1) =  n2 + 2n + 1 –n -1 =  (n2– n) +2n

Vidimo da je n2 – n djeljiv sa 2, za (n + 1 )  ako je djeljiv za n, jer je 2n djeljivo sa 2 pa ako je  (n2 – n ) djeljivo sa 2 onda je i  i zbir (n2 – n) +2n djeljiv sa 2.

 Sabiranje u skupu  

Koristeći se Peanovim aksiomama možemo definisati sabiranje u skupu N.

Preslikavanje + : N x N → N definišimo na sljedeći način:

a + 1 = a+;  a + b+ =  (a + b)+ nazivamo sabiranje u skupu N.
Osnovne osobine sabiranja u skupu N

Zakon zatvorenost:

Ako su a ,b  prirodni brojevi onda je i  a + b  prirodni broj

Dokaz

a+ 1 = a+ 

Neka je a + b prirodan broj

( a + b)+ ) =  a + b+ 


Zakon asocijacije

a + (b + c) = (a + b) + c

Dokazati da vrijedi za  c = 1

(a + b ) + 1 = ( a + b ) +  = a + b+  =  a + ( b + 1 )
a + ( b + c )= a + ( b + c+ ) = a + (b + c ) +  = { a + ( b + c )} +  = { ( a + b ) +c }+  = (a + b ) + c+ 

Zakon komutacije

a + b = b + a

Zakon kancelacije

Ako je   a + c = b + c onda je a =b

'Zakon trihotomije'

za svaka dva prirodna broja a,b važi jedna i samo jedna od jednakosti

a = b
 postoji prirodni broj c takav da je.....a + c = b 
 postoji prirodni broj d takav da je....a =c + d

Primjer

5 / 3 nije iz N

Lema 1

Za sve prirodne brojeve vrijedi  a ≠ a + b

Lema 2

Ako je i samo ako je a ≠ 1 onda  postoji jedan i samo jedan prirodni broj n takav da je       a = n+

 Množenje u skupu  

Ovdje nemamo preslikavanje cijelog NxN u N već samo pravog podskupa za koji je a > b.

Zakon zatvorenosti: 
ako su a ,b iz N onda je i ab iz N

ab=a.1=a

Neka je ab iz  N , onda ab+= ab + a

Zakon komutacije
ab=ba
ab×1 =  ab
(ab)c = ab(c++1) = abc + ab = a(bc +b ) = a (bc+)

Zakon asocijacije (ab)c=a(bc)

Zakon distribucije  a(b + c)= ab +ac
a (b + c)=ab + ac
a (b + 1)=ab + a
a (b + c+)= a (b + c)+ =a(b + c) +a = ab + ac + a =ab +(ac +a ) = ab + ac+)

Zakon kancelacije  ac = bc  => a =b

Teorema 1

Postoji samo jedan prirodni broj koji nije  sljedbenik ni jednog prirodnog broja.

U skupu N 0   važe svi zakoni kao i u skupu N osim zakona skračivanja za množenje.

Dedekind je 1888. God. Uveo tri aksiome koje su ekvivalentne sa Peanovim aksiomama.

s je injekcija
Područje definicije od s nije čitav N
 Ako je k iz N koji ne pripada području vrijednosti od s , 
a M podskup od N sa osobinama ;
k je iz M
s(n) je iz M ako je n iz M

onda je M = N.
Na osnovu ovih aksioma možemo izgraditi teoriju.

Teorema 2

Postoji samo jedan prirosni broj koji nije sljedbenik prirodnog broja.

Definicija 1

Prirodni broj koji nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja zovemo jedinicom i označavamo ga sa 1.

Teorema 3

Ako je A neprazni dkup i g:A→A za a iz A onda postoji jedna i samo jedna funkcija      
               f: N → A
takva da vrijedi:
f(1)=a, f(s(n)) =g (f (n)) > a za n iz N

Teorema 4

Postoji jedna i samo jedna funkcija f:N x N  takva da vrijedi
f(m,1) =s(m)
f(m, s(n)) = s(f(m,n))

Teorema 5

Sabiranje u skupu N je asocijativno

Teorema 6

Sabiranje u skupu N je komutativno.

Teorema 7

Postoji jedna i samo jedna  funkcija sa N x N u N takva da je

f(m,1) = m i 
f(m, s(n)) = f(m,n) + m

Definicija  2

funkcija sa N x N u N takva da je

f(m,1) = m i

f(m, s(n)) = f(m,n) + m

je  operacija množenja i pišemo a x b ili ab
m x 1 = m
ms(n) = m x n + m

Teorema 8

Množenje  u skupu N je distributivmo u odnosu na sabiranje.
Množenje  u skupu N je komutativno.

U skupu N1 = N x {1}  definišimo  operacije

(m,1) +1  (n,1) = (m + n ,1) i
(m,1) x1 (n,1) = (mn, 1)
Sistem (N,+, x)   i  (N1, +1  , x1) su izomorfni i izomorfizam glasi 
(x) → (x,1)
Sumi (m + n) iz N odgovara suma (m + n, 1) iz  
N1. U skupu N definisane su dvije algebarske operacije + i x

Sabiranje je asocijativno 
Množenje je asocijativno 
Množenje je distributivno  prema sabiranju
Postoji element 1 iz Ntakav da je 1m = m
Ako je mx = nx => m = n
Za svaki par m, n vrijedi jedna i samo jedna tvrdnja
m = n; 
m + x = n ili 
m = n + y

za M podskup od N koji sadrži 1 i (n + 1)  i ako sadrži n onda je M = N.
Navedene karakteristike određuju (N, +,x)potpuno .svaki sistem (N1, +1  , x1) sa navedenim osobinama  izomorfizam je sa (N, + ,x)

Definicija 3

Prirodni broj koji nije sljedbenik ni jednog drugog prirodnog broja je jedinica. označavamo ga sa 1.

Skup N0 je skup prirodnih brojeva i broja 0. 
Peanovi aksiomi u ovom skupu glase:
0 je nenegativan broji
svaki nenegativan broj ima tačno jednog sljedbenika.
uvijek je n+ ≠ 0 tj 0 nije sljedbenik ni jednog broja.
ako je m+ =  n+ => m = n
Neka je M podskup od N0   koji sadrži sljedbenika svakog svog elementa sadrži i sve nenegativne brojeve, tj M = N.

Definicija 4

Preslikavanje  f :  N0  x N0  =   N0  sa osobinom f(a) = a  i a f( b0) = a f(b) 0 zove se sabiranje.

Preslikavanje  f :  N0  x N0  =   N0  sa osobinom f(0) = 0  i  a f( b0) =a + ab zove se množenje.

U skupu N0 važe svi zakoni kao i u skupu N osim zakona skraćivanja za množenje.

Kategorija:Matematički aksiomi
Kategorija:Formalne teorije u aritmetici
Kategorija:Logika u računarstvu
Kategorija:Matematička logika