Osna simetrija

Aksioma simetrije
Za svaku pravu u ravni postoji jedna i samo jedna izometrija  koja sve tačke  prave ostavlja nepokretnim, a poluravan s jedne strane te ravni preslikava  na poluravan s druge strane  te prave.

Definicija 1

Izometriju u kojoj su sve tačke prave   nepokretne i poluravan sjedne strane prave a preslikava  se u poluravan  s druge strane prave a  naziva se osnom (axijalnom , lat ax-os) simetrijom prema pravoj a . ovu simetriju nazivamo još ogledanje (zrcanje) na pravoj a .

Simetrija čija je os simetrije prava  a označavamo sa s0

sa(X) = X1 ili sa:X = X1

Konstruktivni zadatak

Za datu tačku X konstruisati tačku sa:X = X1
Ako je tačka X na pravoj a  znamo da je X = X1.

Neka tačka X  nije na pravoj a . Na osi a uzmimo dvije proizvoljne tačke  A, B. Imamo A =  A1 i B = B1. Pošto je  sa izometrija rastojanja između tačaka i njihovih slika moraju biti jednaka, tj AX = AX1  i BX = BX1 tačke X  i X1 jednako su udaljene  od tačaka A i B , tj one leže  na kružnicama k1 ( A, AX) i  k2(B, BX) . znaći tačke X i  X1 su presječne tačke kružnica k1 i k2. One se  zaista sijeku jer imaju zajedničku tačku X van zajedničke prave a. Tačke X i X1 leže sa raznih strana prave a pa je druga presječna tačka X1 kružnica i k1 i k2 slika tačke X.

Teorema 1

Izometrija u kojoj su sve tačke  jedne prave nepokretne i poluravan s jedne strane te prave se  preslikava na istu poluravnu  je identična izometrija.

Neka je sa(X) = X1  Tda je tačka X slika X1   u istoj izometriji, tj to znaći da su izometrija  sa i njoj obrnuta izometrija   (sa) −1 jedna ista permutacija.

Definicija 2
Ako za figuru F postoji prava  a tako da je sa(F) = F  figura se preslikava sasvojom simetričnom slikom, kažemo da je  F simetrična  prema pravoj a  za koju kažemo da je os simetrije. Ili simetrala figure F.

Odnosno: prava a je os simetrije figure F , ako je figura F nepokretna u preslikavanju sa.

Definicija 3
Za pravu prazličitu od prave a kažemo da  je normalna (upravna, okomita, ortogonalna)n na pravu a ako se simetrijom prava p preslikava na samu sebe.

Definicija 4
Za duž ili polupravu  koja leži na pravoj  p koja  je okomita na pravu a kazačemo da je normalna  na pravu a, također na duž ili polupravu koja se sadrži u  pravoj a.

Teorema 3
Duž XX 1 koja spaja par tačaka X  i X1 simetrićnih prema pravoj a  preslikava se simetrijom na samu sebe., tj a je  simetrala te duži. Duž  je X X1 je okomita na pravu a  i prava a  prolazi sredinom  duži X X1.

Teorema 4

Poluprava l  kojoj je početak  O nalazi se na osi, a i njena slika l1. = s a( l).

Teorema 5 
Ako je prava p paralelna osi a onda je njena  slika paralelna osi a.

 Simetrija kružnica 

 Simetrična slika kružnica 

Na osnovu činjenice da je osna simetrija izometrija imamo;

Teorema 6
Osnom simetrijom kružnica k se preslikava na kružnicu k1(</sub>(O 1.,r)  čiji je centar .O1 simetričan centru O  prve kružnice  i radius jednak radiusu prve kružnice

Ako kružnica k i os simetrije a imaju zajedničkih tačaka onda te tačke pripadaju  toj kružnici.

 Simetrala kružnica 

Teorema  7
Svaka prava koja prolazi kroz centar kružnice  je njena os simetrije.
To znači  da kružnica  ima beskonačno mnogo  oso simetrije. Dijametralno raspoređene tačke A i B u kojima os simetrije  siječe kružnicu  so nepokretne , a svaka druga tačka kružnice  preslikava se u sebi simetričnu  tačku kružnice, koja leži s drugre strane  osi a.
 Simetrija para kružnica 

Teorema 8
Presječne tačke  dviju kružnica su simetrične prema zajedničkoj  centralnoj pravoj  c. Prava koja prolazi kroz te dvije tačke normalna  je na pravu c. Prava c je zajednička simetrala  zajedničke tetive tih  kružnica.
 Normalna 

Kategorija:Rotacijska simetrija
Kategorija:Elementarna geometrija