Duž

Duž (osječak) prave je skup koji sačinjavaju tačke A,B prave a i sve tačke koje se nalaze između tih tačaka. Tačke A, B su krajevi duži, a ostale tačke unutrašnje tačke duži. Skup tih tačaka je otvorena duž.
Duž ćiji su krajevi A i B nazivamo rastojanje (odstojanje) tačaka Ai B. Za duž ćiji su krajevi A i B kažemo da je duž AB i 
označavamo sa AB ili BA
Duž čiji se krajevi A i B poklapaju naziva se nulta duž.

 Orjentisana duž 
Orjentisana duž je duž čiji su krajevi tačke, a nazivamo je i vektorom. Prvi kraj orjentisane duži AB je početak te duži.
Uzmimo uređenost prave u smjeru u kome je A<B i C<D kažemo da vektori i  imaju isti smjer; a ako je D<C onda vektori  i  imaju suprotne smjerove.

Nula duž određuje nula vektor 

 Sadržavanje duži 

Teoreme

 Ako je M unutrašnja tačka duži AB onda
duž AM i MB sadrže se strogo u duži AB tj AM je podskup od AB i BM podskup AB
 duž AB= AM U MB i pri tom je AM ∩ MB = (M)
 ako su M i N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u AB 
2.
Ako su M,N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u duži AB
Posljedica
 duž (prava) sadrže beskonačno mnogo tačaka
 ravan sadrži beskonačno mnogo tačaka
Skup svih pravi koje prolaze kroz tačku ravni i leže u toj ravni ćine pramen pravih s vrhom u tački A.
Aksioma prenošenja duži
Na datoj polupravoj postoji jedna i samo jedna tačka B takva da je duž jednaka datoj duži.

Posljedica

Ako su B, B1 dvije tačke poluprave sa početkom A takve da je AB=AB1 onda je B=B1. Odnosno dvije različite tačke poluprave ne mogu imati jednako rastojanje od početka poluprave.

 Sredina duži 
Tačka M duži AB koja ima jednako rastojanje od krajeva A i B duži ( AM=MB) naziva se sredina duži
Teorema 
Duž može da ima samo jednu sredinu.
Dokaz
Neka duž AB ima dvije sredineM i N.
AM=MB
AN=NB

Za A<B je A<M<N<B ili A<N<M<B.
Posmatrajmo 
A<M<N<B odnosno imamo niz relacija
AM<AN ; AN=BN ; BN<BM odnosno AM<BM, nemoguće jer je AM=BM
Ako je m sredina duži onda je AB=AM+MB=2 AM

 Sabiranje duži 
Neka su A,B,C bilo koje tačke prave takve da je A<B<C, tj AB=a i BC=b , duž AC zvaćemo zbirom duži a i b.

Aksiom zbira duži

Ako su tačke A,B,C kolinearne i M,N,P isto kolinearne tačke takve da je AB=MN i BC=NP onda je i AC=MP.

Teorema (pravilo zamjene)

Ako su odgovarajući sabirci dvaju zbirova duži jednaki onda su i zbirovi jednaki.

(a= a1 & b=b1) => a+b=a1 + b1
Na osnovu ove teoreme proizlazi
a=b=>a+c=b+c
Komutativnost zbira duži
a+b=b+a
Asocijativnost
(a+b)+c=a+(b+c)

Zbir od n jednakih duži a označavamo sa na.
Za proizvod na važ:
m(na)=(mn)a
(m+n)a=ma + na
m(a+b)= ma+mb

Za b=na važi a=b/n

 Razlika duži 

Za a>b na duži AB postoji tačka C takva da je AC=b, duž a jednaka je zbiru duži b i c. Duž c nazivamo razlika duži a i b.

Odnosno razlika duži a i b (a>b) koja se označava sa a-b je svaka duž c takva da je b+c= c+b=a.

b+c=a => c=a-b

Razlika jednakih duži jednaka je nuli.

 Upoređivanje duži 
Neka su a i b proizvoljne duži na poluprave sa početkom u A.

Nađimo tačke B i C takve da je AB=a i AC=b . 
Za A<B<C kažemo da je duž a manja od duži b( a<b) ili 
duž b je veća od duži a (b>a)

Ako su tačke B i C na jednoj polupravoj sa početkom u A, a B1, C1 na drugoj sa početkom u A1 takve da je
AB=A1B1 & AC=A1C1, ako je A<B<C onda je i A1,B1<C1

Teorema

Ako je a=a1; b=b1 i a<a1 onda je i a<b1
Teorema
Za proizvoljne duži a,b isključivo je a<b , a=b ili a>b

Dokaz

Ako prenesemo duži a,b na polupravu sa početkom u O tako da je OA=a i OB=b. 
Tada je moguć samo jedan od ova tri slučaja

 A=B onda je a=b
 O<A<B onda je a<b
 O<B<A onda je b<a
Teorema( Zakon tranzitivnosti)

Za duži a,b,c važi ( a<b & b<c) => a<c

Teorema(Zakon monotonije)

Za duži a,b,c važi ako je a<b onda je a+c<b+c

odnosno ako nejednakosti duži dodamo s jedne i s druge strane istu duž dobićemo tačnu nejednakost.

Duž u kompleksnoj ravni
Udaljenost između tačaka
Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni određene kompleksnim brojevima a i b respektivno. Tada je rastojanje AB između ovih tačaka dato formulom

Ovako određeno rastojanje između dviju tačaka ima sve osobine funkcije udaljenosti..

Za tačku M(z) kompleksne ravni kažemo da je između tačaka A i B ako je
 i

pri čemu koristimo oznaku .

Skup 
nazivamo otvoreni segment ili interval određen tačkama A i B. Skup  je zatvoreni interval ili segment određen tačkama A i B.

Teorema

Neka su A(a) i B(b) dvije različite tačke kompleksne ravni. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

M(z) \in(AB)
postoji pozitivan realan broj k tako da je 
postoji realan broj  tako da je .

Dijeljenje duži u zadanom odnosu

Neka su  i  dvije različite tačke. Tačka  na pravoj AB deli duž
AB u odnosu  ako važi sledeća vektorska jednakost:

\overrightarrow{MA}= k \overrightarrow{MB}.

U terminima kompleksnih brojeva ovu jednakost možemo napisati u sledećem obliku
 ili .

Pa je

kompleksan broj koji određuje tačku M. 
Za  tačka M pripada segmentu koji spaja tačke A i B.

Ako je , onda je 

ko je , onda je 

Za  ta·cka M je sredina džzi AB, a određena je kompleksnim brojem .

 Također pogledajte 
 Interval (matematika)
 Prava (geometrija)

Izvori
Primene kompleksnih brojevau geometriji /Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.

Kategorija:Elementarna geometrija
Kategorija:Linearna algebra