Pravilo derivacije proizvoda

U matematici, pravilo derivacije proizvoda u kalkulusu (također se naziva i Leibnizov zakon; pogledajte članak derivacija), je pravilo diferenciranja proizvoda diferencijabilnih funkcija.

Zakon glasi:

ili direktno po Leibnizu:

 Otkriće od strane Leibniza 

Otkriće ovog pravila pripisano je Leibnizu, koji ga je dokazao koristeći diferencijale. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći:

Neka su u(x) i v(x) dvije diferencijabilne funkcije od x. Tada je diferencijal od uv

{|
|-
|
|
|-
|
|
|}

Pošto je (du) i (dv) zanemarljivo, Leibniz je zaključio da je

što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom dx, dobit ćemo

koje se može napisati i kao

 Dokaz 

Rigorozni dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama limesa i definicijom derivacije, kao limes Newtonovog diferencijalnog priraštaja.

Pretpostavimo

i da su i f i g diferencijabilne u fiksnom broju x. Tada je

Sada razlika

predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.
centar|750p
Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika

Zbog toga, izraz (1) jednak je

Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak

Sada

jer f(x) ostaje konstanta kao w → x;

jer je g diferencijabilna u x;

jer je f diferencijabilna u x;

Na kraju je

jer je g neprekidna u x. Kako znamo da je g neprekidna u x? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.

Zaključujemo da je izraz (5) jednak

 Također pogledajte 

 Pravilo izvoda količnika
 Pravilo izvoda složene funkcije
 Parcijalna integracija
 Diferencijal (matematička analiza)
 Derivacija (apstraktna algebra)

Kategorija:Pravila diferenciranja
Kategorija:Teoreme u matematičkoj analizi
Kategorija:Teoreme u infinitezimalnom računu