Pravilo derivacije složene funkcije

U kalkulusu, pravilo derivacije složene funkcije je formula za derivaciju kompozicije dvije funkcije. 

U intuitivnim uvjetima, ako varijabla y zavisi od druge varijable u, koja, na kraju, zavisi od treće varijable x, tada se način promjene y o odnosu na x može izračunati kao promjena y o odnosu na u pomnoženo sa načinom promjene u u odnosu na x. Jednostavnije rečeno, derivacija složene funikcije računa se tako da se pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte primjer I).

 Definicija 

Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je

koje se kraće piše u formi .

Alternativno, u Leibnizovoj notaciji, pravilo derivacije složene funkcije je

U integraciji, nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji pravilo substitucije.

 Dokaz pravila derivacije složene funkcije 

Neka f i g budu funkcije i neka x bude broj takav da je f idiferencijabilna kod g(x) i da je g diferencijabilno kod x. Tada je definicija diferencijabilnosti,



gdje ε(δ) → 0 kada δ → 0. Slično,



gdje η(α) → 0 kada α → 0. Također definišimoDa bismo uočili da je ovo potrebno, pretpostavite, na pruimjer, da je g konstantna funkcija. da je

Sada je

{|
|-
|
|
|-
|
|
|}

gdje je

Uočite da kada δ → 0, αδ/δ → g′(x) i αδ → 0, te zbog toga η(αδ) → 0. Slijedi da je

 Primjeri 

 Primjer I 

Razmotrimo . Imamo  gdje je  i  Zbog toga,

{|
|-
|
|
|-
|
|
|}

Kako bi diferencirali trigonometrijsku funkciju

možemo pisati  sa  i . Tada dobijamo

pošto je  i .

 Primjer II 

Difercencirajmo , itd.

 Reference 

 Također pogledajte 

 Pravilo inverzne derivacije složene funkcije
 Pravilo derivacije trostrukog proizvoda
 Derivacija
 Leibnizovo integraciono pravilo
 Leibnizovo pravilo (uopćeno pravilo derivacije proizvoda)

Kategorija:Pravila diferenciranja
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz