Polinom

Polinom je matematički izraz koje možemo obilježavati sa P(x), oblika:

 (sačuvanje funkcije daje uvjet da je barem jedan  za neki 

u nekom definiranom području ili skupu D.

gdje su  elementi iz skupa D, te ih zovemo polinom nad D.

Ako je

an <> 0 

tada polinom definišemo kao polinom n-tog stepena

Polinom oblika

f(x) = 0 + 0x +...+ 0xn  čiji su koeficijenti jednaki 0 zove se nulti polinom.

Pregled

Polinomi su sačinjeni od monoma, a oni se sastoje od konstante (koeficijenta), pomnožene jednom ili više promjenljivih. Promjenljive se predstavljanu slovima.
Svaka promjenljiva može imati konstantan pozitivan cio broj kao eksponent. Eksponent nad promenljivom u monomu je jednak stepenu te promenljive u monomu. Kako je  , stepen promjenljive bez zapisanog eksponenta je jedan. Monom bez promenljivih se naziva konstantnim monomom, ili prosto konstantom. Stepen konstante je 0. Koeficijent monoma može biti bilo koji broj, uključujući razlomke, iracionalne i negativne brojeve.

Primjer

 je monom.

Koeficijent je -5, a promenljive su x i y.

Stepen promenljive x je dva, a stepen promenljive y je jedan.
Stepen cijelog monoma je zbir stepena svake promenljive u njemu. U našem primjeru je stepen jednak 2 + 1 = 3.

Polinom predstavlja zbir jednog ili više monoma.

Primjer

Sastoji se od tri monoma: prvi je stepena dva, drugi  stepena jedan, a treći nula.

Polinom se običano zapisuje tako da monomi višeg stepena dolaze ispred  monoma nižeg stepena.

U prvom monomu, koeficijent je 3, promenljiva je x, a eksponent je dva. U drugom monomu, koeficijent je -5. Treći je konstanta. Stepen polinoma je najveći stepen nekog njegovog monoma.

Navedeni polinom ima stepen dva.

Polinom stepena jedan se naziva linearni, polinom stepena dva kvadratni, a stepena tri  kubni.

Polinom sačinjen od jednog monoma se i sam naziva monom. Polinom sačinjen od dva monoma je binom, dok je onaj sačinjen od tri monoma naziva trinom.

Izraz koji se može transformisati u polinom kroz niz primjena komutativnih, asocijativnih, i distributivnih zakona  obično se  i sam smatra polinomom.

Primjer

  smatra se polinomom, jer je ekvivalentno sa . Koeficijent je  

nije polinom, jer uključuje deljenje promjenljivom, kao što nije ni 
jer ima promjenljivu za eksponent.

Kako se oduzimanje može posmatrati kao sabiranje sabiraka suprotnog znaka, a stepenovanje konstantnim pozitivnim brojem se može posmatrati kao ponovljeno množenje, polinomi se mogu konstruisati od konstanti i promjenljivih primjenom samo operacija sabiranja i množenja.

Polinomijalna funkcija je funkcija definisana vrijednošću polinoma.

Primjer

Funkcija f definisana kao

je polinomijalna funkcija. Polinomijalne funkcije su važna klasa glatkih funkcija. Izraz glatko dolazi iz matematičke analize. Znači da je uvijek moguće naći izvod polinomijalne funkcije, koliko god puta, i koliko god često. Glatka funkcija opisuje izgled grafika polinomijalne funkcije.

Osobine polinoma
 Zbir dva polinoma je polinom
 Proizvod dva polinoma je polinom
 Izvod polinoma je polinom
 Primitivna funkcija polinoma je polinom

Polinomi se koriste da aproksimiraju druge funkcije, kao što su sinus, kosinus, i eksponencijalna funkcija.

Svi polinomi imaju prošireni oblik, u kome se koristi distributivni zakon da se uklone sve zagrade. Neki polinomi imaju rastavljen oblik u kome je polinom zapisan kao proizvod polinoma sa realnim koeficijentima.

Polinom   je jednak, i predstavlja prošireni oblik polinoma
 koji je zapisan u rastavljenom obliku.

Svaki polinom jedne promenljive je ekvivalentan polinomu oblika

Ovo se nekad uzima za definiciju polinoma jedne promjenljive.

Računanje vrijednosti polinoma se sastoji od dodjeljivanja neke brojne vrijednosti svakoj promjenljivoj, i izvršavanja odgovarajućih množenja i sabiranja. Ovo računanje se ponekad efikasnije sprovodi korištenjem Hornerove šeme

U elementarnoj algebri, se izučavaju metodi za rješavanje svih polinomijalnih jednačina jedne promjenljive prvog i drugog stepena. Kada su u pitanju polinomijalne jednačine, promenljiva se često naziva nepoznatom. Broj rješenja polinomijalne jednačine ne može da premaši stepen polinoma, i tačno je jednak ovom stepenu ako se ubroji multiplicitet rješenja, kao i kompleksna rješenja. Ova činjenica je osnovna teorema algebre.

 Jednakost polinoma 

Za polinome

f(x) = a0+ a1x+........+ am xm

g(x) = b0+ b1x+........+ bn xn

kažemo da su jednaki ako i samo ako su im jednaki koeficijenti a i b te jednake potencije m i n.

Ako je

m < n 

mora biti

b(m+1) = ..... bn = 0

 Sabiranje polinoma 

Pod sumom dva polinoma f(x) i g(x) podrazumjevamo polinom oblika:

f(x) + g(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + ...+ (an + bn ) xn 

 Primjer 

f(x) = 3 + 5x - 8x2

g(x) = x - 2x2 + 5x3

f(x) + g(x) = 3 + 5x - 10x2 + 5x3
Primjer

 Oduzimanje polinoma 

Pod razlikom dva polinoma f(x) i g(x) podrazumjevamo polinom oblika:

f(x) - g(x) = (a0 - b0 ) + (a1 - b1 )x + ...+ (an - bn )xn 

 Primjer 

f(x) = 3 + 5x - 8x2

g(x) = x - 2x2 + 5x3

f(x) - g(x) = 3 + 4x - 6x2 - 5x3
Množenje polinoma

 Također pogledajte 
 Potencijalni red
Izvori
 Polynomial
 Euler's Investigations on the Roots of Equations/September 24, 2012.
 Polynomial


Kategorija:Algebra