Trigonometrijska funkcija

Trigonometrija (grč. trigonon [trougao] + metron [mjera] - "mjerenje trougla") jest dio matematike koji proučava odnose među segmentima pravi (dužinama) i uglovima trougla u ravni ili na površini sfere. Pomoću trigonometrijskih funklcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugao nagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.

Definicija

Trigonometrijske funkcije su: sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), sekans (sec) i kosekans (csc).  

Odnosno:

Sinus ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne katete i hipotenuze pravouglog trougla.

Kosekans ugla je recipročna vrijednost od sinus ugla.

Kosinus ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže katete i hipotenuze pravouglog trougla.

Sekans ugla je recipročna vrijednost od kosinus ugla.

Tangens ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne i bliže katete pravouglog trougla.

Kotangens ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže i suprotne katete pravouglog trougla. Kotangens ugla je recipročna vrijednost od tangens ugla.

Inverzne trigonometrijske funkcije su: arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arcuskotangens (arcctg), arcussekans (arcsec) i arkuskosekans (arccsc).

Trigonometrijska kružnica
Trigonometrijska kružnica je kružnica sa centrom u centrom u koordinantnom početku  , tj. 

Definicija 1
Trigonometrijske realne funkcije ugla   definišu se jednakostima
   sinus  i kosinus su realni brojevi.
 tangens i kotangens
  sekans i kosenkans
  kosinus versus i sinus versus

Funkcije sekans, kosenkans, kosinus versus i sinus versus rijetko se susreću

Neka je trigonimetrijska kružnica predstavljena u Dekartovom pravouglom koordinantnom sistenu i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Krečući se po kružnici tačka D  prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao 
može rasti do  i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvijek računaju kao kosinus i sinus ugla  . To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu. 
To se vidi iz tabele znak 

+Trigonometrijske funkcije po kvadrantima Kvadrant  1. (0°-90°)  2. (90°-180°)  3. (180°-270°)  4. (270°-360°) sinus +  +  -  - kosinus +  -  -  + tangens +  -  +  -

Svođenje na prvi kvadrant
Lahko je preko trigonometrijske kružnice ili adicionih formula provjeriti tačnost formula za svođenje vrijednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta: Adicione formule 



Funkcije kosinus i sinus imaju period  , a  tangens  :

Period sinusne i kosinusne funkcije nalazimo iz formule  Periodičnost 

Period funkcije   je  
, odnosno .
Funkcije uglova većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant,
na način vidljiv u sljedećoj tabeli

         T                                                         

U opšte slučaju  to se može zapisati na sljedeći način 





f — proizvoljna trigonometrijska funkcija,
g — odgovarajuća joj funkcija (kosinus za sinusa, sinus za kosinus i analogno za ostale funkcije), a n — cio broj.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija
Za neke od uglova iz prvog kvadranta funkcije selakše izračunavaju: vrijednosti 

+Najčešće vrijednosti trigonometrijskih funkcija   0°  30°  45°  60°  90°  0        1  1        0  0    1    
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova koje se nešto dužim putem izračunavaju dati su u sljedećoj tabeli:

Redovi
Trigonometrijske funkcije se mogu predstavljati (beskonačnim) redovima.



Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija.
majući u vidu jednakosti


,



u Tejlorov red se mogu razložiti sledeće funkcije:





Parnost
Kosinus i sekans su parne funkcije, dok su preostale četiri neparne funkcije:







Granična vrijednost

 З

Izvod
Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrijednost






Dokaz
 pa je
  kada  
 Zbog   биће  
 Izvod količnika 

 Izvod količnika  


Integrali trigonometrijskih funkcija
Integrali nekih trigonometrijskih funkcija prikazani su ovdje:
{| class="wikitable"
|-
| 
| 
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
| 
| 
|}

Trigonometrijske funkcije kao rješenja diferencijalnih jednačina

Trigonometrijske funkcije kosinus i sinus mogu se predstaviti kao rešenja diferencijalne jednačine: 

uslov .



Inverzne trigonometrijske funkcije
Inverzne trigonometrijske funkcije su 
   arkus sinus 

   arkus kosinus

    arkus tangens

   arkus kotangens

One su inverzne trigonometrijskim funkcijama  sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. Prefiks arkus potiče od latinske riječi arcus - luk, ugao. Nazivaju se još i ciklometrijskim funkcijama.



inus versus je trigonometrijska funkcija

Funkcija se naziva i versinus. Ovi nazivi se rijetko upotrebljavaju. Graf versinusa je kosinusoida translirana za jedan gore.

Svugdje je definisana.

Nule su u tackama , a  na ostalim mjestima je pozitivna, osnovni period je , minimumi su u nulama, a maksimumi 
Versine funkcije
Funkcija sinus versus ugla alfa je
.

Pojam sinusa versusa uveden je u XVII vijeku i danas se skoro uopšte ne upotrebljava. Ruski matematičar P. L. Cebisev je smatrao da će sinus versus igrati važnu ulogu u matematici.

(Latinski: sinus - ispupčenost, nadutost, versus - (prije) okrenut, sinvers - (prije) okrenuti sinus.)




Primjena u fizici
Primjena trigonometrije i trigonometrijskih funkcija u fizici je  velika. Koristi se u analizi prostiranja talasa, opisivanju harmonijskih oscilacija kao periodičnog kretanja, predstavljanja naizmjenične struje itd.

 Također pogledajte 
 Eulerova formula
 Hiperbolička funkcija
Spisak integrala trigonometrijskih funkcija

 Reference 

 Vanjski linkovi 
 Trigonometrija - osnovne formule
 Petar Stipanovid: Brojevna kružnica i trigonometrijske funkcije
 trigonometrijske funkcije
 Trigonometric functions
 Tablica izvoda 
 Versine
 Coversine

Kategorija:Trigonometrija
Kategorija:Elementarne posebne funkcije
Kategorija:Transcendentalni brojevi