Relacija (matematika)

Neka je zadan skup , onda je

Posmatrajmo parove gdje je prva koordinata manja od druge.

Skup {(1,2), (1,3),(2,3) } je relacija između elementa skupa A (relacija predstavlja vezu među veličinama).

Neka je zadana relacija na sljedeći način element x iz A manji je od (veći je od) elementa y iz B. 
Ovo je relacija biti manji od (biti veći od). Relaciju biti veći od predstavlja skup { (2,1), (3,1),(3,2) }. Neka su dati skupovi A i B , a neka je relacija R podskup skupa AxB. Skup R zovemo relacija između elemenata skupa A i skupa B ili relacija sa A u B i pišemo: xRy.
Definicija
Binarna relacija  između dva skupa  i  je podskup kartezijevog proizvoda

 Važnije binarne relacije 

 Refleksivna relacija 

Za relaciju  kažemo da je refleksivna (povratna) onda i samo onda ako je  za  tj ako R sadrži dijagonalu 

Antirefleksivnost

 Simetrična relacija 
Za relaciju  kažemo da je simetrična ako ima osobinu
Ako je  onda je i  tj ako se skup R sastoji od parova simetričnih prema dijagonali 

 Tranzitivne relacije 

Za relaciju  kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ona ima osobinu
Ako je  onda je  tj

 Antisimetrična relacija 

Za relaciju  kažemo da je antisimetrična ako i samo ako ima osobinu 
ako je  onda je  tj

 Zakon trihitomije 
Za binarnu relaciju  zadanu na skupu  kažemo da zadovoljava zakon trihotomije ako i samo ako vrijedi

 Relacija ekvivalencije 

Relacija ekvivalencije je relacija koja je:
 Refleksivna
 Simetrična 
 Tranzitivna
Primjer biti paralelan

 po definiciji za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su.

Ako je  relacija ekvivalencije na skupu  i  iz  onda skup svih elemenata  iz  za koje vrijedi  zovemo klasom elemenata ekvivalentnih sa  u odnosu na relaciju  i označavamo sa  tj 
Teorema

Svaka relacija ekvivalencije definisana u skupu  određuje rastavljanje skupa  na disjunktne podskupove koji su klase ekvivalencije elemenata s obzirom na datu relaciju ekvivalencije.
Svako disjunkno rastavljanje skupa  određuje u  relaciju ekvivalencije.

Ako je  relacija ekvivalencije u skupu  onda skup svih klasa ekvivalencije ekvivalentnih elemenata sobzirom na relaciju  označavamo sa  i nazivamo kvocijentni skup skupa  modulo .

Neka je data ravan , prava  i tačke  u toj ravni. Tačke  ne leže na pravoj . Prava  siječe duž  ako imaju jednu zajedničku tačku koja je unutrašnja tačka duži .

 Uređajna relacija 

Relacija  zove se relacija parcijalnog uređenja skupa , a skup  parcijalno uređenim skupom s obzirom na relaciju  ako je ona 
 refleksivna
 tranzitivna 
 antisimetrična

Relacija je relacija strogog poretka (striktnog uređenja) ako je:
 antirefleksivna 
 antisimetrična 
 tranzitivna

Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva zove se linearno (potpuno) uređen skup.

Relacija  je linearno uređena relacija

 &  onda je 

ako je  &  onda je i 

U elementarnoj matematici postoje tri osnovne relacije uređenje(poretka):

  (Primjer:  "2 je manje od 3")
  (Primjer:  "3 ije jednako 3")
  (Primjer:  "3 ije veće od 2")
za .

Dva realna broja su određena tačno jednom relacijom uređenja

, ako je  ili  (Primjer: )
, ako je  ili  (Primjer: )
, ako je  ili  (Primjer: )
za .

Za binarnu relaciju  definisanu na skupu S podskup od AxA kažemo da je strogo linearno urđena ako za nju vrijedi zakon tranzitivnosti.

Neka je uređajna relacija u skupu S (ne nužno) uređajna je ako su a, b, c elementi iz S ili ako je  & 

Neka je  uređajna relacija u skupu  ako su  elementi iz  i vrijedi  kažemo da je  predhodnik elementa , a ako vrijedi  onda je  sljedbenik elementa  s obzirom na relaciju .

Neka je  uređajna relacija u  i neka je  podskup od  onda ako u  postoji takav element  da za svako  iz  vrijedi  onda  nazivamo minoranta donja granica skupa .

Analogno ako postoji  iz  da za svako  iz  vrijedi a . onda  nazivamo majoranta gornja granica skupa .

Nekaj je  uređajna relacija skupa  i ako je  podskup od  skup svih mjoranata skupa  označimo ga sa , a skup svih majoranata skupa  označimo sa . Ako postoji  zovemo ga infinum od A (oznaka ), a ako postoji  zovemo supremum oznaka .
Inverzna relacija
Inverzna relacija definisana na relaciji   je

Primjer 1
Inverzni odnos odnos "suprug od" o odnosu "njegova supruga."
Primjer 
Inverzni odnos odnosa "manje od" je "veće od".

Primjeri relacija

Izvor
Skupovi, relacije, funkcije

Linkovi
 Relation – Mathe für Nicht-Freaks
 Binäre Relation – Mathe für Nicht-Freaks