Normala

Normala je prava ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. normala na krivu, normala na površ)

U datoj ravni u kojoj je data prava a  i tačka P postoji jedna i samo jedna prava koja prolazi kroz datu tačku i normalna je na datu pravu.
Pravu  koja prolazi kroz datu tačku  i normalna je na pravu   nazivamo normalom (okomicom) prave   u tački .
 Pravi ugao 
Ako imamo dvije normalne prave  i  i uglove koje one čine α1; α2; α3 i  α4,. U simetriji sb preslikava ugao  α1 na α4, ugao α2;  na α3. Iz ovog zaključujemo da je α1  = α4  i  α2 = α3.
Definicija 1

Svaki od uglova koje čine normalne prave je pravi ugao.

Teorema 1

Dvije različite prave u jednoj ravni normalne  na treću pravu u toj ravni su paralelne prave.

Definicija 2

Tačka X0, u kojoj normala u tački X na datu pravu a sijeće pravu a zove se ortogonalna projekcija tačke X na pravu a.
Ortogonalnu projekciju krače zovemo samo projekcija.
Normalne 2 prave
Za dvije prave u ravni kažemo da su normalne ako zatvaraju pravi ugao.

Definiciju proširimo i na prave koji ne leže u istoj ravni, tj na mimoilazne pravce.

Neka su  i  dvije  mimoilazne prave. Odaberimo jednu tačku  na pravoj . Kroz tu tačku prolazi tačno jedna prava paralelna s pravom  (prema Petom Euklidovom aksiomu). Označimo tu pravu sa .

Kažemo da su prave  i  su  norrmalne ako su  prave  i  normalne.Pišemo 
.
Normalnost prave i ravni
Kažemo da je prava  normalna na ravan  ako je normalna na svaku pravu te ravni.

Teorema

Prava je normalna na ravan ako je normalna na neke dvije neparalelne prave te ravni.

Ravan je određena jednom svojom tačkom i nekom pravom koja je normalna na nju
Normalnost dvije  ravni

Definicija

Kažemo da je ravan normalna na drugu ravan ako sadrži pravu koja je normalna na tu ravan.

Za datu tačku  i datu ravan  postoji jedinstvena prava kroz  koja je normalna na ravan 

Definicija

Ortogonalna  projekcija tačke  na ravan  je probodište ravni  i prave  koja prolazi kroz  i normalna je na .
Teorema o tri normale

Ako je ortogonalna projekcija  prave  na ravan  normalna na neku pravu
 te ravni, onda je i prava  normalna na .

Vrijedi i obratno

Ako je  prava  normalna  na , onda je  normalna na .

 Normala na površ 
desno|mini|250px|Vektorsko polje normala na površinu

Vektor normale na površ u tački  je vektor normalan na tangentnu ravan površi u tački . U slučaju ravne površi, očito je to vektor normalan na samu tu ravan, i dat je vektorskim proizvodom bilo kojih dvaju vektora koji leže u ravni. Ravan može imati normalu u dva smjera.

Normala na opštu površ, parametriziranu sistemom krivolinijskih koordinata , gdje su  i  realne promjenljive, data je vektorskim proizvodom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

Normala na opštu površ, zadatu implicitno jednačinom

u toački  data je gradijentom:

Izuzeče
Ako određena površ u nekoj tački nema definisanu tangentnu ravan, onda tu nema definisanu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definisanu normalu na spoju omotača i baze, kupa nema normale u vrhu, u dvije dimenzije, funkcija  nema definisanu normalu u koordinantnom početku.
 Jedinstvenost 
Već smo kod normale na krivu mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer. Vektor normale na pravu već ima dva moguća smjera. Za orjentisanu površ, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, „gleda prema van”.
 Izvori 
Tangenta i normala

Stereometrija

Kategorija:Ortogonalnost