Niz

Funkciju  kojoj je domen skup prirodnih brojeva , a kodomena  ma koji dati skup  nazivamo brojni niz (slog) i označavamo
sa , odnosno sa .

U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake  odnosno .

Element  (tj. ) nazivamo n-ti ili opći član niza, a element  prvi član niza.

Ako je domen funkcije  konačan podskup skupa , onda za niz  kažemo da je konačan, i označavamo ga sa .

Broj elemenata datog niza ne mora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.

Primjer

 Funkcija  data sa  za  određuje niz

 Niz  zadan formulom  za , tj.  glasi 

Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov rang  konačan skup .
 Važniji nizovi brojeva 

 Fibonaccijev niz 

Fibonaccijev (Fibonacijev) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki
član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.

a(n + 2) =an + a(n +1)

Primjer

2, 3,5, 8,...
1, 1, 2, 3, ....

 Aritmetički niz 

Aritmetički niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

a(n +1)  - an  = a(n +2) -a(n +1)

Primjer

7, 9, 11, 13 ,.....

1,2 ,3, 4, 5, ...

 Geometrijski niz 

Geometrijski niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

[a(n +1)]2 =ana(n +2)

 Tačka gomilanja niza 

Neka je  neki pozitivan broj i . Pod  - okolinom tačke , u oznaci  ili  podrazumijevamo skup

- okolina tačke  je otvoreni interval  dužine .

Broj  nazivamo tačkom gomilanja niza  ako svakoj - okolini tačke  pripada beskonačno mnogo članova niza .

Dati niz  može imati više tačaka gomilanja

 Ograničeni nizovi 

Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.

Za niz  kažemo da je ograničen odozgo ako postoji konstanta r takva da je  za sve n. On je ograničen odozdo ako postoji konstanta s takva da je  za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante r i s takve da je  za sve n, naziva se ograničenim nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.

Primjer
Niz  je ograničen. Za svako n je 

 Monotoni nizovi 
Niz brojeva kod kojeg nijedan član nije manji od člana koji mu direktno predhodi, odnosno niz za čija svaka dva susjedna člana vrijedi:

nazivamo monotono uzlazni (rastući). Naprimjer, niz 1, 2, 3, ... je monotono uzlazni, ali, također, i niz 2, 2, 2, ...

Za niz sa osobinom:

kažemo da je monotono silazni (opadajući) (npr. niz 5, 4, 4, 3, ...).

Specijalno, za nizove sa karakteristikama:

kažemo da su strogo monotoni, odnosno strogo uzlazni (rastući) ili strogo silazni (opadajući).

 Nizovi funkcija 

Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.

Niz funkcija  označavamo kraće sa  odnosno 

 Konvergencija nizova 

Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize.

Ako je  dati niz i  realan broj, onda za broj  kažemo da je granična vrijednost niza  ako za svaki  postoji prirodan broj  (koji može da ovisi od ) takav da za sve prirodne brojeve  vrijedi nejednakost:

U tom slučaju pišemo  odnosno  kada  i čitamo:  je granična vrijednost niza  kada n teži u beskonačnost odnosno  konvergira broju .

Ako je , onda niz  nazivamo nula niz.

Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je konvergentan niz. Niz koji nije konvergentan nazivamo divergentan niz.

Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj  naziva se granična vrijednost niza  ako se u svakoj njegovoj - okolini nalaze gotovo svi članovi niza , sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.

Primjer
Niz  konvergira broju 2

Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:

 Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
 Konvergentan niz je ograničen

Za niz  kažemo da divergira u  ako za svaki realan broj  postoji prirodan broj  takav da za sve  vrijedi: , i u tom slučaju pišemo  odnosno da .

Za niz  kažemo da divergira u  ako za svaki realan broj  postoji prirodan broj  takav da za sve  vrijedi: , i u tom slučaju pišemo  odnosno da .

 Konvergencija funkcionalnih nizova 

U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.

 Konvergencija po tačkama 

Neka je  neki niz funkcija definisanih na nekom skupu . Ako odaberemo neko proizvoljno , onda stavljajući  dobijamo brojni niz .

Ako ovaj niz (kao brojni niz) konvergira, onda kažemo da niz  konvergira u tački .

Ako niz  konvergira u svakoj tački , onda kažemo da niz konvergira na .

Ovaj vid konvergencije niza  često nazivamo konvergencija po tačkama, konvergencija tačka-po-tačka ili obična konvergencija.

 Ravnomjerna (uniformna) konvergencija 

Neka su na nekom skupu  definisane funkcije .

Kažemo da niz  ravnomjerno (uniformno) na  konvergira ka funkciji  ako za svako  postoji prirodan broj  koji zavisi samo od  i takav je da za svako  vrijedi

 čim je 

 Konvergencija gotovo svuda 
Ako niz  konvergira za gotovo svako , osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira gotovo svuda na .

 Konvergencija u mjeri 
Za niz  - izmjerivih funkcija na prostoru mjere  kažemo da konvergira u mjeri  ka funkciji , ako za svako  vrijedi

 kada 

 Konvergencija u normi 
Za niz  - izmjerivih funkcija na prostoru mjere  kažemo da konvergira u normi   ako vrijedi:

 kada 

 Također pogledajte 
 Skup (matematika)


Kategorija:Elementarna matematika