Kružnica

Opći pojmovi 
Neka je u ravni data tačka O i duž r. Tada , prema aksiomi prenošenja duži, na svakoj polupravoj čiji je početak tačka O i leži u ravni postoji jedinstvena tačka X takva da je OX=r.

Definicija 1

Skup svih tačaka ravni čija je udaljenost od date tačke O te ravni jednaka datoj duži nazivamo kružnica s centrom u O i poluprečnikom (radijusom) r.

Poluprečnik kružnice je duž koja spaja centar kružnice sa bilo kojom tačkom kružnice.

Prava koja prolazi kroz centar kružnice naziva se centralna prava kružnice. Centar O dijeli centralnu pravu na dvije poluprave koje imaju tačno jednu tačku sa kružnicom, odnosno centralna prava i kružnica imaju dvije zajedničke tačke.

Duž PQ koja spaja centralno simetrične tačke kružnice nazivamo 'prečnik (dijametar ili promjer)' kružnice. Ako je PQ prečnik kružnice onda je PO=OQ odnosno O je sredina prečnika.

Duž koja spaja dvije tačke kružnice nazivamo tetiva. Prečnik je tetiva na kojoj leži centar kružnice.

Centralna prava dijeli ravan kružnice na dvije poluravni odnosno tačke kružnice dijeli na dva skupa.-
 skup koji leži u jednoj poluravni 
 skup koji leži u drugoj poluravni. Ovi skupovi su polukružnice. 
Kružnice koje imaju isti centar kažemo da su koncentrične.

Ugao čiji je vrh u centru kružnice nazivamo centralni ugao.

Dio kružnice koji pripada centralnom uglu nazivamo luk. Centralnom uglu odgovara određen luk. Luk koji odgovara ravnom uglu je polukružnica. 
Luk koji odgovara nultom uglu svodi se na tačku. 
Punom uglu odgovara kao luk cijela kružnica.
Jednačina kružnice
U pravouglim koordinatama jednačina kružnice glasi
.
Ova je jednačina drugog reda.
Jednačina kružnice može se napisati  i na sljedeći način
. Ovo je  segmentna jednačina.
Kružnica sa središtem u tački   i poluprečnikom   određena je jednačinom:

ili 
 segmentna jednačina
Opšti pojmovi
Obim kružnice је , a kružnica predstavlja periferiju kruga.

Površina omeđena kružnicom је .Koncentričnne kružnice su kružnice koje imaju zajednički centar i leže u jednoj ravni.
Centralni ugao je dvostruko veći od perifernog ugla nad istom tetivom.

Periferni ugao nad prečnikom je prav

Ugao između tetive i tangente povučene iz jedne tačke kružnice jednak je perifernom uglu nad tom tetivom

Periferni uglovi nad istom tetivom su isti ili suplementni .

 Rastojanje tačke od kružnice 
Spojimo tačku C sa tačkama kružnice K(O,r). Ovako dobijamo beskonačan skup duži za C ≠ O. U slučaju C = O to je nulta duž.

Postavlja se pitanje , postoji li u ovom skupu duž od koje ni jedna duž skupa nije manja i takva duž koja nije manja ni od jedne duži skupa?

To su duži CA i CB ,gdje su A, B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj koja prolazi kroz C. Tačka A je s one strane tačke O s koje je C, a B sa suprotne strane.

Definicija 2

Element m skupa E ( u kome između elemenata postoji relacija < ili > ) koji nije veći ni od jednog elementa skupa naziva se minimum (najmanji element skupa E). Element koji nije manji ni od jednog elementa skupa je maximum (najveći) element skupa E.

U navedenom slučaju duži AB i AC su minimum i maximumu u skupu duži.

Definicija 3

Minimum skupa rastojanja date tačke od skupa naziva se rastojanje te tačke od skupa.Teorema 1Neka je data tačka C i kružnica K(O,r) i pri tom C ≠ O i neka su tačke A ,B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj, koja prolazi tačkom C. Tačka A neka je s one strane s koje je tačka O, a B sa suprotne strane od O. Tada od svih tačaka križnice tačka A ima najmanje ,a tačka B najveće rastojanje od C i pri tome je

CA = │CO - r│ i CB = CO + r

Beskonačni skupovi ne moraju imati minimumu i maximumu.

Primjer

Skup brojeva 1,1/2, ¼, 1/8,...ima maximumu a nema minimum

 Zajedničke tačke kružnica 

Neka su zadane dvije kružnice K(C, R) i k(O,r). Odredimo međusobni položaj ovih kružnica. Povučemo li centralnu pravu CO ovih kružnica, sa A, B označimo tačke druge kružnice i to sa A onu koja leži sa one strane od tačke O sa koje je tačka C, a sa B tačku drugr kružnice.

Posmatrajmo duži R – r, CO i R + r za R > r
Između ovih duži postoji jedan i samo jedan od ovih odnosa



 Presjek kružnica prazan skup 
 Za 

Sve tačke jedne kružnice su izvan druge kružnice. 

Sve tačke jedne kružnice su unutar druge kružnice.
 Tangenta kružnice 					

Tangenta kružnice sa središtem 

Tangenta kružnice koja ima središte u koorinantnom početku koordinatnog sistema i koja prolazi točkom  

na kružnici, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:

odakle slijedi da je

jednačina tangente na kružnicu

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice

.					

Tangenta kružnice sa središtem u 

Tangenta kružnice koja ima središte u tački  i koja prolazi tačkom   na kružnici određena je koordinatama tačke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:

odakle slijedi da je



te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente kružnice

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice

.

 Tangiranje kružnica 

Tačka A druge kružnice pripada tačkama prve kružnice. Sve ostale tačke su izvan prve kružnice. Za kružnice koje imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku i ona leži na pravoj CO kažemo da se one dodiruju izvana u tački A.


Tačka B pripada prvoj kružnici sve ostale tačke druge kružnice su unutar prve kružnice. Ako dvije kružnice imaju dijametralno raspoređene dvije zajedmočke tačke M na pravoj CO onda su one dijametralno suprotne za svaku od te dvije tačke koje leže na pravoj . za svaku od te dvije kružnice pa se one poklapaju.

 Presjek kružnica 
R – r < CO < R + r ( R < r)
 A je u, B izvan K(C,R)
 R – r < CO => CB > R
B je van K (C,R)
CO < R + r => CA < RA je u kružnici.
Od dvije dijametralno raspoređeme tačke jedna je u ,a druga van kružnice. Tačke A , B diele kružnicu na dva dijelaAksioma 2Ako se jedan kraj luka nalazi u kružnici a drugi izvan je onda taj luk sa kružnicom ima jednu i samo jednu zajednićku tačku.Teorema 2Zajednička tačka dviju kružnica koje se dodiruju leži na njihovoj zajedničkoj centralnoj pravoj i obratno dvije različite kružnice koje imaju zajedničku tačku na centrlnoj pravoj dodiruju se.
Ako dvije kružnice imaju zajedničku tačku koja ne leži na centralnoj pravoj imaju još jednu zajedničku tačku.Teorema 3Dvije kružnice K(C,R) i k(O,r)
 Nemaju zajedničkih tačaka ako i samo ako je 
 CO > R + r ( svaka od križnica je izvan druge kružnice)
 CO < R -r( kružnica manjeg prečnika je unutar kružnic većeg prečnika)
 Imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku koja leži na zajedničkoj centralnoj pravoj
 CO = R + r sve tačke kružnice osim zajedničke su izvan druge kružnice 
 R – r < CO<R + r imaju dvije i samo dvije zajedničke tačke koje leže sa raznih strana centralne prave.Teorema 4Da bi dvije kružnice imale zajedničkih tačaka u sličaju da se centar prve kružnice nalazi
 na drugoj kružnici
 u drugoj kružnici 
potrebno je i dovoljno da bude 
 R ≤ 2r
 CA < R < CB
gdje su CA i CB odsječci na koje centar O dijeli dijametar AB kružnice k(O, r).

 Polara kružnice 
Konjugovane tačke u odnosu na kružnicu

Tačke P i P 1 su konjugovane u odnosu na kružni cu ako zadovoljavaju formulu

  = 

Ovo je jednačina polare kružnice''' . Skup konjugovanih tačaka kružnice je prava. 
 Polara siječe kružnicu ako je tačka M van križnice.
 tangenta je kružnice ako je M na kružnici
 Nema ztajedničkoh tačaka ako je M u kružnici
 Prolazi kroz centar kružnice ako je M u beskonačnosti
« Ako je  onda je polara u beskonačnosti.

  = 

= -

=

(-)=0

(+ )(+ )=0

 =0

 Apolonijeva kružnica 

Geometrijsko mjesto tačaka ravni koje imaju osobinu da je odnos udaljenosti tih tačaka stalan broj je kružnica – Apolonijeva kružnica

=  = =

=0


=0

Za mjenom

 sa  i

 sa 

Imamo  =0 kružnica sa prečnikom CD.

Kružnice u p-normama i brojevi 

Dosad smo udaljenost računali pomoću metrike . Za definisanje pojma kružnice možemo, umjesto metrike , uzeti neku drugu metriku d.

Skup

predstavlja kružnicu radijusa r sa sredisstem u () s obzirom na metriku d.

Kružnica radijusa r sa sredistem u koordinantnom početku s obzirom na  je skup

 za 

Na ovoj slici prikazane su kružnice 

Kada bismo nacrtali i ostale kružnice , sve bi one bile smještene između  i
, i što bi p bio veći, to bi kružnica  bila bliže kružnici .
To nam je jasno iz teorema za max- normu.

Uzmimo . Neka je

Tada tačka

 leži na kružnici  ,jer je

Sa slike se vidi da kružnica  leži unutar kružnice  pa je tačka

 unutar kružnice  tj

vrijedi

Kada bismo nacrtali kružnicu radiusa  u odnosu na metriku  odnosno  kružnica  bila smještena unutar nje.

Propozicija

Za sve 

Geometrijski oblik kružnice zavisi o odabranoj metrici.

Izračunajmo obim  kružnica .

Obim kružnice  je 

U obima  i  ne pojavljuje se .

Neka je  četvrtina kružnice  koja pripada prvom kvadrantu. Tada je

 je element dužine

Za  imamo

Za parametrizaciju krive  uzmimo

 za 

Za 

Pošto su nam iznosi za  i  poznati, gornju formulu možemo provjeriti uvrštavanjem  i .

Za 

Za 

Za svaki  razmjera  obima  i prečnika  kružnice je konstantan. 
Tu razmjeru označavamo sa  i iznosi

Očito je

, , 

 Također pogledajte 
 Sfera
Izvor
p-norme na  , kružnice   i brojevi  // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)


Kategorija:Elementarni oblici
Kategorija:Konusni presjeci