Nepravi integral

Preporučuje se čitaocu da, prije čitanja članaka, bude upoznat sa antiderivacijama, integralima i graničnim vriejdnostima.

U kalkulusu, nepravi integral je granična vrijednost određenog integrala, kao se posjednja tačka intervala integracije približava bilo određenom realnom broju ili ∞ ili −∞, ili, u nekim slučajevima, kada sa dvije strane teži ka graničnoj vrijednosti.

mini|275px|lijevo|Slika 1

U nekim slučajevima, integral

se definiše bez obzira na granicu

ali se drugačije ne može izračunati. Ovo se najčešće dešava kada se funkcija f, koja se integriše od a do c, ima vertikalnu asimptotu u c, ili ako c = ∞ (pogledajte: Slika 1 i Slika 2).

U nekim slučajvima, integral od a do c nije ni definisan, jer su integrali i pozitivnih i negativnih dijelova f(x) dx od a do c beskonačni, ali granična vrijednost, ipak, može postojati. Takvi slučajevi su "pravi nepravi" integrali, npr. njihove vrijednosti se ne mogu definisati, osim kao te granične vrijednosti.

mini|200px|desno|Slika 2
Integral

može se interpretirati kao

ali, prema matematičkoj analizi, nije neophodno interpretirati ga na taj način, jer se može interpretirati kao Lebesgueov integral u intervalu (0, ∞). Na drugu stranu, korištenje granične vrijednosti određenih integrala  u zatvorenom intervalu, je jako korisno samo ako se računaju tačne vrijednosti.

U suprotnosti,

ne može biti interpretiran kao Lebesgueov integral, pošto je

Zbog toga je to "pravi" nepravi integral, čije vrijednosti su date preko

Možemo govoriti o singularitetima nepravog integrala, misleći na one tačke produžene brojne linije realnih brojeva u kojim je korištena granična vrijednost.

Takvi integrali se često zapisuju simbolično kao i standardni pravi integrali, možda sa beskonačnosti kao granicom integracije. Ali to prikriva proces traženja granične vrijednosti. Korištenjem "naprednije" Lebesgueovog integrala, umjesto Riemannovog integrala, može se, u nekim slučajevima, zaobići ovaj problem, ali ako se jednostavno želi dobiti određeni rezultat, ta metoda nam možda neće pomoći.

 Beskonačne granice integracije 

Najosnovniji od nepravih integrala su integrali tipa:

Kako je gore rečeno, ovo ne mora biti definisano kao nepravi integral, jer se, umjesto toga, može računati kao Lebesgueov integral. Međutima, u svrhu tačnog izračunavanja ovog integrala, bolje ga je tretirati kao nepravog integrala, npr. izračunati ga kada je gornja granica integracije konačna, a zatim računati graničnu vrijednost, ako ta granica teži ka ∞.
Antiderivacija funkcije koja se integriše je arctan x. Integral je

Nepravi integral konvergira samo ako i granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala, koji ne oknvergira:

Nekada će obje granice biti beskonačne. U tom slučaju, integral se može razbiti na sumu dva neprava integrala:

gdje je a arbitražni konačni broje.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

 Vertikalne asimptote u granicama integracije 

Razmotrimo

Ova je integral funkcije sa vertikalnom asimptotom u x = 0.

Ovaj integral se može izračunati ako računamo u granicama od b (broj veći od nule) do 1, a zatim izračunati graničnu vrijednosti kada b teži 0 sa desne strane (pošto je interval naše integracije sa desne strane od 0). Treba primijetiti da je antiderivacija funkcije iznad upravo , tako da se integral može računati kao

Nepravi integral konvergira samo ako granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala koji ne konvergira:

Ponekad se vrši integracija iznad intevala koji siječe vertikalna asimptota. U tom slučaju, može se integral rastaviti na sumu dva neprava integala sa obe strane:

gdje je b lokacija vertikalne asimptote.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

 Cauchyjeva principijalna vrijednost 

Razmotrimo razliku u vrijednostima ova dva limesa:

Prethodni je Cauchyjeva principijalna vrijednost predhodno nedefinisanog izraza

Slično tome, imamo

ali

Prethodni je principijalna vrijednost prethodno nedefinisanog izraza

Sve prethodne granične vrijednosti su u nedefinisanoj formi ∞ − ∞.

Kategorija:Integralni račun