Uređenost skupa racionalnih brojeva

Skup  +Q  je skup pozitivnih racionalnih brojeva 
Zatvorenost u odnosu na sabiranje i množenje == 

(a,b) + (c,d)   i (a,b)(c,d) su iz +Q

trihotonomija

(a, b) = (0,1) ili (a,b) iz   +Q ili je  -(a,b) iz  +Q
Definicija 1

Uređeno polje (F,+ ,x) zove se Arhimedovo polje ako i samo ako za svako a,b iz +F  pšostoji prirodni broj n takav da je               na > b

(Q, + x) je Arhimedovo polje.


Teorma 1

Relacija biti kongruentan modulo n je relacija ekvivalencije 
refleksivna    a ≡ a ( mod n)
simetrija      a ≡ b ( mod n) =>b ≡ a ( mod n)
tranzitivnost ( a ≡ b ( mod n) &   b≡c( mod n) ) => a≡ c ( mod n)

Definicija 1

Skup koji dobijamo ako svaki član skupa Z pomnožimo sa n različ. od 0 označavamo sa nZ tj. 
nZ = (....,-3n, -2n, -n, 0, n, 2n. ....) 
Skup koji dobijamo ako svakom članu skups nZ dodamo r (0   < ili =r < apsolut.n) označavamo nZ +r

Teorema 2

Ako je a≡ b ( mod n)   tada za svaki cio broj x važi kongruencija a +x ≡ b +x ( mod n) 

Teorema 3

Ako je ac ≡  bc ( mod n)   i c relativno prim prema n onda je a≡ b ( mod n) 

Teorema 4

Ako je M(a,n) = 1 tada kongruencija ax ≡ b ( mod n) ima rjeđenje u skupu Z 

Teorema 5 

Ako su a i p relativno prim brojevi i   ppozitivan prim broj onda nikoja dva ostatka , što ih dobijamo dijelećibrojeve ( proizvode)                ax1, ax2......,ax (p-1)
broem p nisu jednaka i ni jedan od njih nije nula. Ti ostaci čine skup P = ( 1,2,......( p -1) ) 
Korolar
Za svaki a ib iz P = ( 1,2,......( p -1) ) postoji jedan i samo jedan x iz P   tako da je ax≡b ( mod p)

Teorma 6   (Fermatov teorem)

Ako je p>0 prim broj   tada za svaki pozitivan cio broj a vrijedi
a  na p≡ a

Korolar 
a  na p≡a (mod p) za svako a iz Z

Teorema 7 (Eulerov teorem);


Ako je n pozitivan cio broj i a cio broj za koji važi M (a,n)== 1 tada je 
a na q(n) ≡1 (mod n)   gdje je q (n) broj svih pozitivnih cijelih brojeva manjh od n i relativno prim  sa n.

Kategorija:Teorija skupova