Parcijalna integracija

U kalkulusu, i generalno, u matematičkoj analizi, parcijalna integracija je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.

 Pravilo 

Pretpostavimo da su f(x) i g(x) dvije više puta diferencijabilne funkcije. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama a i b, dobijamo

gdje koristimo standardne oznake

Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa. Zbog toga je
{|
|-
|
|
|-
|
| 
|}

U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi

ili u kraćoj formi, ako napišemo u = f(x), v = g(x) i diferencijali du = f′(x) dx i dv = g′(x) dx. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:

 Primjeri 

Kako bi izračunali

napišemo:

u = x, tako da je du = dx,
dv = cos(x) dx, tako da je v = sin(x).

Zatim:

gdje je C arbitražna konstanta integracije.

Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su

mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju x za jedan.

Interesantan primjer je sljedeći:

gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.

Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:

u = cos(x); tako da je du = -sin(x)dx
dv = exdx; tako da je v = ex

Zatim:

Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integraciju, sa:

u = sin(x); du = cos(x)dx
v = ex; dv = exdx

Zatim:

{|
|-
|
|
|-
|}
Sklopivši sve to zajedno, dobijamo

Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:

Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.

Prvi primjer je ∫ ln(x) dx. Ovo pišemo kao:

Napišimo:

u = ln(x); du = 1/x dx
v = x; dv = 1·dx

Zatim:

{|
|-
|
|
|-
|
|
|}

gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije

Drugi primjer je ∫ arctan(x) dx, gdje je arctan(x) inverzna tangensna funkcija. Ovo ponovo napišemo kao:

Napišimo:

u = arctan(x); du = 1/(1+x2) dx
v = x; dv = 1·dx

Zatim:

{|
|-
|
|
|-
|
|
|}

koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma.

 Više dimenzije 

 Kulturološke reference 

 Metoda tabularne parcijalne integracije pojavila se u filmu Stand and Deliver iz 1988. godine.

 Vanjski linkovi 

 Parcijalna integracija - sa MathWorld
 Tabularna parcijalna integracija 
 Demonstrirana tabularna parcijalna integracija

Kategorija:Integralni račun
Kategorija:Matematički identiteti
Kategorija:Teoreme u matematičkoj analizi
Kategorija:Teoreme u infinitezimalnom računu