Sinusna teorema

Sinusna teorema

 gdje su  stranice naspram uglova  u trouglu  a  poluprečnik opisanog kruga.

U sfernoj geometriji koristi se 

Dokaz

Oko trougla ABC opisana je kružnica poluprečnika R, na slici desno. je prečnik. Periferni uglovi nad istom tetivom   jednaki, tj.  i periferni ugao    nad prečnikom CA' je prav. U pravouglom trouglu A'BC imamo 
 odnosno   

Slično dobijamo za uglove   

Teorema

Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu proporcionalne dijelove naleglim stranicama .

Simetrala dijeli ugao S na dva jednaka dijela

Sinusi suplementnih uglova (koji se dopunjavaju do 180°) su jednaki i prema sinusnoj teoremi za trouglove ACD i DBC dobijamo: 

 Otuda je 
Površina trougla

Primjeri
Sinusna teorema  se primjenjuje:

Kada su data dva ugla i jedna stranica 
Kada se date dvije stranice i ugao naspram jedne od tih stranica 

Primjer 1  

Neka su date stranice trougla , i  , i ugao  . 

Primjer 2

U  Naći dužinu stranice AC.

Rešenje: 

Prema tome

.

Primjer  3 

U trouglu ABC  zadano je   naći AB.

Rešenje: 

Iz   proizlazi   

Zatim, iz sinusne teoreme

 tj. 

 dobijamo 

 Prema tome, stranica AB = 18,57.
Odnos prema kružnici
Iz identiteta 

Također pogledajte
 Tangensni teorem

Vanjski linkovi

 Sine theorem
 Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem
 Degree of Curvature
 Finding the Sine of 1 Degree 
 Generalized Law of Sines
 Law of Sines

Kategorija:Trigonometrija