Funkcija (matematika)

Za članak, koji govori o funkcijama i procedurama (podrutine) u programiranju, pogledajte članak funkcija (programiranje)
mini|250px|Grafik primjera funkcije, 

Matematički koncept funkcije izražava zavisnost između dvije veličine, jedne, koja je zadata (nezavisna varijabla ili argument funkcije), i druge, koja se dobija (zavisna varijabla ili vrijednost funkcije). Funkcija prodružuje samo jedno rješenje za svaki argument funkcije koji se uzima iz fiksnog skupa, kao što su realni brojevi.

 Historija 

Funkcija kao matematički termin je prvi put objavio Gottfried Wilhelm Leibniz 1694. godine kako bi opisao količinu u relaciji prema krivoj. Te funkcije danas zovemo diferencijali.

Uobičajena notacija za funkciju je f(x), koju je prvi upotrebio švicarski matematičar Leonhard Euler.

 Inverzna funkcija 

Ako je ƒ funkcija od X do Y, tada je inverzna funkcija za ƒ, označenasa ƒ−1, funkcija u suprotnom smijeru, od Y do X'', sa osobinom da kompozicija) vraća svaki element u samog sebe. Svaka funkcija ne posjeduje svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se inverzabilne.

Kao primjer, ako je ƒ konvertuje temperaturu iz Celzijusa u Fahrenheite, funkcija koja konvertuje stepene Fahrenheita u stepene Celzijusa bi bila odgovarajuća funkcija ƒ−1.

Ispitivanje toka  funkcije

Ispitati  tok funkcije  znači oidrediti sljedeće
 Područje definicije 
Za određivanje područja definicije funkcije  potrebno je poznavati elementarne funkcije
Parnost 
Parnost funkcije  provjerava se pomoću definicije:

Funkcija  je parna ako je  za svaki , a neparna ako je ) za svaki .

Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinantni početak .
Primjer

je parna za  paran, a neparna za  neparan pa je:

.

Funkcija  je parna: ako je , tada je  pa vrijedi

Za  je  pa vrijedi

 Periodičnost
Periodičnost funkcije provjerava se pomoću definicije

Funkcija  je periodična ako postoji broj  takav da za svaki  vrijedi

Tada mora vrijediti . Najmanji takav pozitivni broj  osnovni period ili period funkcije .

Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Elementarna funkcija ne može biti periodićna ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.
 Nula funkcije 
Nula funkcije određuju se rješavanjem jednačine 
 Asimptote funkcije
Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i L'Hospitalovim pravilo, ako je potrebno.

Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli ) kada tačka na grafiku odmiće u beskonačnost.

Prava  je vertikalna asimptota funkcije u tački 
 s lijeve strane ako je  ili
.

Prava  je vertikalna asimptota funkcije  u tacki  s desne strane ako je

 ili

.

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Primjer

Prava  je vertikalna asimptota funkcije  s obje strane.

Prava  je vertikalna asimptota funkcija ,  i  s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Prava  je horizontalna asimptota funkcije  na lijevoj strani ako je . 
Prava  je horizontalna asimptota funkcije  na desnoj strani ako je .

Primjer
Prava  je horizontalna asimptota funkcije  na obje strane, kao i  horizontalna asimptota funkcija  i  na lijevoj strani.

Ako je

pri čemu je

 tada je prava  kosa asimptota funkcije  sa lijeve strane.

Kosu asimptotu funkcije  sa desne strane definišemo analogno.

Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je . Prema definiciji asimptote  kada . Kako je  konstanta, zaključujemo da
.

Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa

 je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.

Gornja jednakost je ekvivalentna sa

.

pa je

.

Pri tome treba voditi računa o sljedećem:
kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada  i kada
asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosljedu,  uvijek treba računati posebno
treba biti oprezan u slučaju parnih korjena kada ,
Primjer

.

Ekstremi funkcije
Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je provjeriti nžzne i dovoljne uslove ekstrema.

Provjera nužnih uslova vrši se po teoremi

Neka je funkcija  neprekidna u tački . Ako funkcija  ima lokalni ekstrem u tački , tada je  kritična tačka funkcije .

Potrebno je nači stacionarne i kritične tačke po definiciji

Neka je funkcija  neprekidna u tački . Tačka  je stacionarna tačka funkcije  ako je . Tačka   je kritična tačka funkcije  ako je  stacionarna tačka ili ako  nije diferencijabilna u tački .

Tj. potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda  i riješiti jednačinu  . 
Provjera dovoljnih uslova može se vršiti na tri nacina:

pomoću promjene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme
Ako prvi izvod  mijenja predznak u kritičnoj tački , tada funkcija  ima lokalni ekstrem u tački . Pri tome vrijedi sljedeće
ako  mijenja predznak sa  na , tada je  lokalni minimum, a ako  mijenja predznak sa  na , tada je  lokalni maksimum.

pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme

Neka je u stacionarnoj tački  funkcija  dva puta diferencijabilna. Ako je , tada funkcija  ima lokalni ekstrem u tacki . Pri tome vrijedi sljedeće
ako je , tada je  lokalni minimum, a ako je , tada je  lokalni maksimum.

pomoću viših izvoda na osnovu teoreme
Neka funkcija  ima u nekoj  -okolini tačke c neprekidnog izvoda do uključivo reda , pri čemu je .
Neka je 
Ako je  neparan, tada funkcija  ima infleksiju u tački . Ako je  paran i ako je uz to još i , tada funkcija  ima lokalni ekstrem u tački  i to minimum za  i maksimum za .
Intervali monotonosti
Posto smo načli prvi izvod  funkcije  intervale monotonosti određujemo određujuci predznak od  na osnovu teoreme

Neka je funkcija  diferencijabilna na intervalu . Tada vrijedi
funkcija  je rastuća na intervalu  ako i samo ako je  za svaki 
Funkcija  je opadajuća na intervalu  ako i samo ako je  za svaki 
Ako je  za svaki , tada je funkcija  strogo rastuća na intervalu 
Ako je  za svaki , tada je funkcija  strogo opadajuća na intervalu .
Konkavnost i konveksnost funkcije
Potrebno je odrediti drugi izvod ,a onda intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme
Neka je funkcija  dva puta deiferencijabilna na intervalu . Ako je  za svaki , tada je funkcija  strogo konveksna na intervalu . Ako je  za svaki , tada je funkcija  strogo konkavna na intervalu .
Tačke infleksije
Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod  mijenja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi
Neka je funkcija dva puta deferencijabilna na nekoj  -okolini tačke , osim možda u tački . Ako  mijenja predznak u tački , tada funkcija  ima infleksiju u tački .

Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme
Neka funkcija  ima u nekoj  - okolini tačke  neprekidne izvode do uključivo reda , pri čemu je . Neka je

Ako je  neparan, tada funkcija  ima infleksiju u tački .
Ako je  paran i ako je uz to još i , tada funkcija  ima lokalni ekstrem u tacki  i to minimum za  i maksimum za .

U tom slučaju potrebno je prvo naci tačke u kojima je drugi izvod  jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi
Ako funkcija  ima infleksiju u tački  i ako  postoji, tada je .
Graf funkcije
Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.

 Ostale osobine 

Postoji mnogo posebnih klasa funkcija koje su važne za pojedinačne grane matematike, ili za pojedinačne primjene.

Ovo je djelimičan spisak takvih funkcija:
 bijekcija, injekcija i surjekcija, ili pojedinačno:
 injektivna, surjektivna i bijektivna funkcija
 neprekidna
 diferencijabilna funkcija, integrabilna
 linearna, polinomi, racionalna
 algebarska, transcendentalna
 trigonometrijska
 fraktal
 parna ili neparna
 konveksna, monotona, jednomodalna
 holomorfska, meromorfska, cijela
 vektorska
 izračunljive
 funkcija cijelog dijela
 funkcija realne varijable

 Također pogledajte 

 Spisak matematičkih funkcija
 Funkcionalni predikat
 Kompozicija funkcija
 Funkcional
 Funkcionalna dekompozicija
 Implicitna funkcija
 Parametarska jednačina
 Plateau
 Proporcionalnost
 Steinerov problem

 Reference 

 Zabilješke 

 Reference 






 .
 .
 .
 .
 .
 .
Ispitivanje toka funkcije

 Vanjski linkovi 

 The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
 Shodor: Function Flyer, interactive Java applet for graphing and exploring functions.
 xFunctions, a Java applet for exploring functions graphically.
 Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions.
 Functions from cut-the-knot.
 Function at ProvenMath.
 Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool

Funkcija
Funkcija
Funkcija
Kategorija:Matematičke relacije