Dijeljenje (matematika)

U matematici, posebno u elementarnoj aritmetici, dijeljenje je artimetička operacija koja je obrnuta množenju.

Posebno, ako je c puta b jednako a, a piše se:

gdje b nije nula, tada je a podijeljeno sa b jednako c, a piše se:

Na primjer, 

jer je
.

Dijeljenje se često prikazuje pomoću razlomka. Djeljenik i djelitelj se tada nazivaju brojnikom i nazivnikom. Npr. a podjeljeno s b se piše:

Dijeljenje se može prikazati i sa kosom crtom između djeljenika i djelitelja:

Najčešći način prikazivanja dijeljenja jedvotačkom između djeljenika i djelitelja:

Osobine

Djeljenje sa  daje  suprotni broj

Nula podijeljena s prirodnim brojem je 0.

Broj podijeljen samim sobom daje broj 1.

Proširivanje količnika

Skračivanje količnika

 za 

Količnik negativnog i pozitivnog cijelog broja je negativni broj čija je apsolutna vrijednost jednaka količniku apsolutnih vrijednosti zadanih brojeva.

Količnik dva negativna cijela broja je pozitivan broj čija je apsolutna vrijednost jednaka količniku apsolutnih vrijednosti djeljenika i djelitelja.

(

Dijeljenje možemo prikazati preko sabiranja i oduzimanja brojeva

Kao i kod množenja važi zakon distribucije dijeljenja u odnosu na sabiranje


Ali zakon distributivnosti ne važi u slučaju

Dvojni razlomak
Dvojni razlomak je razlomak oblika

On se rješava na sljedeći način

 Dijeljenje s nulom 

Dijeljenje bilo kojeg broja sa nulom (gdje je nula djelioc) nije definisano.
 Dijeljenje cijelih brojeva 
Dijeljenje cijelih brojeva nije zatvorena računska operacija. Količnik brojeva neće biti cijeli broj ako djeljenik nije višekratnik djelitelja.
Primjer

26 se ne može podijeliti sa 10 i dati cijeli broj kao količnik. U tom slučaju postoji četiri pristupa:
 Recimo da se 26 ne može podijeliti sa 10; dijeljenje postaje djelomična funkcija.
 Zapisivanje količnika kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, dakle  ili  Ovo je najčešći pristup u matematici.
 Zapisati rješenje kao razliku i ostatak, dakle 
 Zapisati razliku kao cijeli broj (približni broj), dakle 

Dijeljenje kompleksnih brojeva
Količnik dva kompleksna broja  od kojih drugi nije jednak nuli definisano je na sljedeći način.

za p, q, r, s realne brojeve  r , s razičiti od 0

Jednostavnije j dijeljenje kompleksnih brojeva izraženo na sljedeći način

za p, q, r, s realne brojeve  r različito od 0.

Dijeljenje decimalnih brojeva

Decimalni broj dijeli se s prirodnim brojem kao da nema decimalnog zareza , ali se u količniku naznačava decimalni zarez kad se završi s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika.

Decimalni broj djeli se s decimalnim brojem tako da djeljenik i djelitelj pomnožimo s dekadskom jedinicom koja ima toliko nula koliko djelitelj decimala.

Decimalni broj dijeli se s dekadskom jedinicom tako da mu decimalni zarez pomićemo ulijevo za onoliko decimalnih mjesta koliko nula ima ta dekadska jedinica.

Tablica dijeljenja

 Dijeljenje sa 1  Dijeljenje sa 2  Dijeljenje sa 3  Dijeljenje sa 4  Dijeljenje sa 5 Dijeljenje sa 6 Dijeljenje sa 7 1:1=1  2:2=1  3:3=1  4:4=1  5:5=16:6=17 : 7 = 1 2:1=2  4:2=2  6:3=2  8:4=2  10:5=2 12:6=214 : 7 = 2 3 : 1 = 3  6:2=3  9:3=3  12:4=3  15:5=3 18:6=321 : 7 = 3 4 : 1 = 4  8:2=4  12:3=4  16:4=4  20:5=4 24:6=428 : 7 = 4 5 : 1 = 5  10:2=5  15:3=5  20:4=5  25:5=5 30:6=535 : 7 = 5 6 : 1 = 6  12:2=6  18:3=6   24:4=6  30:5=6 36:6=642 : 7 = 6 7 : 1 = 7  14:2=7  21:3=7   28:4=7  35:5=7 42:6=749 : 7 = 7 8 : 1 = 8  16:2=8  24:3=8   32:4=8  40:5=8 48:6=856 : 7 = 8 9: 1 = 9  18:2=9  27:3=9  36:4=9  45:5=9 54:6=963 : 7 = 9 10:1=10  20:2=10  30:3=10  40:4=10  50:5=10 60:6=1070 : 7 = 10

 Dijeljenje sa 8  Dijeljenje sa 9  Dijeljenje sa 10  8:8=1  9:9=1  10 : 10 = 1  16:8=2  18:9=2  20 : 10 = 2  24:8=3  27:9=3  30 : 10 = 3 32:8=4  36:9=4  40 : 10 = 4  40:8=5  45:9=5  50 : 10 = 5  48:8=6  54:9=6  60 : 10 = 6  56:8=7  63:9=7  70 : 10 = 7  64:8=8  72:9=8  80 : 10 = 8  72:8=9  81:9=9  90 : 10 = 9 80:8=10  90:9=10  100 : 10 = 10 tablica

Pravila dijeljenja
Pravila dijeljenja mogu pomoći pri brzom određivanju da li se jedan cijeli broj može podijeliti u drugi cijeli broj.Djeljivost brojem 2, brojem 3, brojem 4, brojem 5, brojem 6, brojem 8, brojem 9, brojem 10

Djeljivost sa brojem 2

Broj je djeljiv brojem 2 ako je paran odnosno ako je njegova posljednja cifra paran broj: 0, 2, 4, 6, 8

Djeljivost sa brojem 3
Broj je djeljiv brojem 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3.

 ..........  
Djeljivost sa brojem 4

Broj je  djeljiv sa 4 ako je dvocifreni broj koji čine 2 posljednje cifre tog broja djeljiv sa 4

  jer je 

Djeljivost sa brojem 5

Broj je djeljiv sa 5 ako je njegova posljednja cifra 0 ili 5

Djeljivost sa brojem 6

Broj je djeljiv sa 6 ako je sa 2 i sa 3

 jer je  i 
Djeljivost sa brojem 8

Broj je djeljiv sa 8 ako je trocifreni broj koji cine 3 posljednje cifre tog broja djeljiv sa 8

  jer je 
Djeljivost sa brojem 9  	

Broj je djeljiv sa 9 ako je zbir cifara djeljiv sa 9. 

 jer je 
Djeljivost sa brojem 10
Broj je djeljiv sa 10 ako je djeljiv brojevima 2 i 5  odnosno završava cifrom 0

 jer je   

 Dijeljenje i kalkulus 

Derivacija količnika dvije funkcije data je pravilom derivacije količnika:

Ne postoji općenita metoda integracije količnika dvije funkcije.

 Također pogledajte 

 Alikvota
 Dijeljenje (digitalno)
 Dijeljenje sa dva
 Razlomak (matematika)
 Polje Grupa
 Inverzni element
 Dugo dijeljenje
 Modulo
 Modularna aritmetika Modulo operacije
 Multiplikativni inverz
 Redoslijed operacija
 Kvazigrupa (lijevo dijeljenje)
 Ostatak Periodična decimala

 Reference 
 Djeljivost prirodnih brojeva
 Tablica deljenja

Kategorija:Elementarna aritmetika
Kategorija:Binarne operacije
Kategorija:Dijeljenje