Inverzna funkcija

U matematici, ako je ƒ funkcija od A do B, tada je inverzna funkcija od ƒ funkcija u suprotnom smijeru, od B do A, sa osobinom da je kompozicija od A do B do A (ili od B do A do B) vraća svaki element početnog skupa u njega samoga. Zbog toga, ako za argument x u funkciji ƒ dobijemo vrijednost funkcije y, tada za vrijednost argumenta y u inverznoj funkciji ƒ−1 (čitajte: f inverzno; ne miješati sa stepenovanje) dobijamo vijednost inverzne funkcije x, dakle, dobijamo početni argument funkcije ƒ. Nema svaka funkcija svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se inverzne funkcije.

Na primjer, neka ƒ bude funkcija koja konvertuje temperaturu u stepenima Celzijusa u temperaturu u stepenima Fahrenheita:

tada njena inverzna funkcija konvertuje stepen Fahrenheita u stepena Celzijusa:

 Definicije 

mini|desno|240px|Ako ƒ preslikava X u Y, tada ƒ–1 preslikava Y nazad u X.
Neka ƒ bude funkcija čiji je domen u skupu X, te čija je oblast skup Y. Tada, ako postoji, 'inverzna funkcija od ƒ je funkcija ƒ–1 sa domenom Y i oblasti X, definisana slijedećim pravilom:

 Osobine 

 Jedinstvenost 

Ako inverzna funkcija postoji za datu funkciju ƒ, ona je jedinstvena za tu datu funkciju, tj. postoji samo jedna inverzna funkcija zadate funkcije ƒ: mora postojati inverzna relacija.

 Simetrija 

Postoji simetričnost između funkcije i njene inverzije. Specifično, ako je ƒ–1 inverzna funkcija od funkcije ƒ, tada je inverzna funkcija od ƒ–1 originalna funkcija ƒ. U simbolima:

Ovo slijedi jer je inverzija relacija involucija: ako se ponavlja, vraćate se gdje ste počeli.

Ovaj iskaz je očita posljedica gore objašnjene dedukcije da funkcija, za slučaj da ƒ bude inverzabilna, mora biti injetivna (prva definicija inverzne funkcije) ili bijektivna (druga definicija). Osobina simetrije može se sažeto izraziti slijedećom formulom:

 Inverzija kompozicije funkcija 

mini|desno|240px|Inverzna funkcija od g o ƒ je funkcija ƒ–1 o g–1.
Inverzna funkcija kompozicije funkcija je data formulom

Primijetimo da je redoslijed ƒ i g zamijenjen; da bi riješili g, koju prati ƒ, prvo moramo riješiti ƒ, pa onda g.

Na primjer, neka je ƒ(x) = x + 5, i neka je g(x) = 3x. Tada je kompozicija ƒ o g funkcija koja argument prvo množi sa tri, a zatim dodaje pet:

Kako bi obrnuli proces, najprije moramo prebaciti pet na lijevu stranu, a zatim sve podijeliti sa tri:

Ovo je kompozicija g–1 o ƒ–1) (y).

 Samoinverzija 

Ako je X skup, tada je funkcija identiteta na skupu X svoja vlastita inverzna funkcija:

Općenitije, funkcija ƒ: X → X je jednaka vlastitoj inverznoj funkciji ako i samo ako je kompozicija ƒ o ƒ jednaka idx. Takva funkcija se naziva involucija.

 Inverzi u kalkulusu 

Kalkulus jedne varijable primarno se koncentriše na funkcije koje preslikavaju realne brojeve u realne brojeve. Takve funkcije su često definisane preko formula, kao što su:

Funkcija ƒ iz realnih brojeva u realne brojeve posjeduje inverznu funkciju sve dok grafik funkcije prolazi test horizontalne linije.

Ova tabela prikazuje nekoliko standardnih funkcija i njihovi inverza:
{| class="wikitable" align="center"
|-
!align="center"| Funkcija ƒ(x)
!align="center"| Inverzna ƒ–1(y)
!align="center"| Napomena
|-
|align="center"| x + a
|align="center"| y – a
|
|-
|align="center"| a – x
|align="center"| a – y
|
|-
|align="center"| mx
|align="center"| y / m
| m ≠ 0
|-
|align="center"| 1 / x
|align="center"| 1 / y
| x, y ≠ 0
|-
|align="center"| x2
|align="center"| 
| samo x, y ≥ 0
|-
|align="center"| x3
|align="center"| 
| bez restrikcija na x and y
|-
|align="center"| xp
|align="center"| y1/p (npr. )
| x, y ≥ 0 općenito, p ≠ 0
|-
|align="center"| ex
|align="center"| ln y
| y > 0
|-
|align="center"| ax
|align="center"| loga y
| y > 0 i a > 0
|-
|align="center"| trigonometrijske funkcije
|align="center"| inverzne trigonometrijske funkcije
| razne restrikcije (pogledajte tabelu ispod)
|}

 Formula za inverznu funkciju 

Jedan od pristupa za pronalaženje formule za ƒ–1, ako ona postoji, je da se riješi jednačina y = ƒ(x) za x. Naprimjer, ako je ƒ funkcija

tada moramo riješiti jednačinu y = (2x + 8)3}} za x:

Tako je inverzna funkcija ƒ–1 data formulom

Ponekad se inverzna funkcija ne može izraziti preko formule. Naprimjer, ako je ƒ funkcija

tada je ƒ injetivna, i zbog toga posjeduje inverznu funkciju ƒ–1. Ne postoji jednostavna formula za ovu inverznu funkcju, pošto se jednačina y = x + sin x ne može riješiti algebarski za x.

 Također pogledajte 

 Inverzna trigonometrijska funkcija
 Logaritam
 Teorem inverzne funkcije
 Inverzne funkcije i diferencijacije
 Inverzna relacija
 Inverzni element

 Reference 



Kategorija:Osnovni koncepti u teoriji skupova
Kategorija:Inverzne funkcije
Kategorija:Funkcije i preslikavanja