Lopta (matematika)

U matematici, lopta jeste prostor unutar sfere. Može biti zatvorena lopta (uključujući granične tačke sfere) ili otvorena lopta (ako se tačke ne uzmu u obzir).

Ovi koncepti su definirani ne samo 3D Euklidskim prostorom, nego i također nižim i višim dimenzijama, kao i metričkim prostorima općenito. Lopta sa n dimenzija se zove n-lopta i ograničena je sa n-sferom. Tako, naprimjer, lopta u Euklidskoj ravni je ista stvar kao i krug, područje okruženo kružnicom. U Euklidskom 3D prostoru, lopta se uzima kao zapremina ograničena 2D sfernom ljuskom. 

U drugim kontekstima, kao u Euklidskoj geometriji i svakodnevnoj upotrebi, sfera se nekad izjednačava sa pojmom lopta.

 Lopte u Euklidskom prostoru 
U euklidskom -prostoru, (otvorena) -lopta poluprečnika  i centra  jeste skup svih tačaka udaljenosti <  od . Zatvorena -lopta poluprečnika  jeste skup svih tačaka udaljenosti ≤  od . 

U Euklidskom -prostoru, svaka lopta je unutrašnjost hipersfere (hiperlopta), koja je ograničena intervalom kada je  = 1, interijer kružnice (krug) kada je  = 2, i interijer sfere kada je  = 3.

 Zapremina 


-dimenzionalna zapremina Euklidske lopte radijusa  u -dinmenzionalnom prostoru je:Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

gdje je Γ Eulerova gama funkcija (koja se može smatrati kao daljnja razrada faktorijelske funkcije za frakcijske argumente). Koristeći eksplicitne formule za partikularne vrijednosti gama funkcije za cijele brojeve i polubrojeve daje se formula zapremine Euklidske lopte koja ne zahtijeva evaluaciju gama funkcije. One su:

U formuli za neparno dimenzionalne vrijednosti, dupli faktorijel  je definiran za neparne cijele brojeve  kao .

 Također pogledajte 
Lopta, općenito značenje
Krug
Formalna lopta
Susjednost (matematika)

 Reference 

 D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
"Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker  
"Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber 

Kategorija:Lopte
Kategorija:Metrička geometrija
Kategorija:Sfere
Kategorija:Topologija