Paradoks ljestava

Paradoks ljestava je misaoni pokus u posebnoj teoriji relativnosti u kojem dugačke ljestve krečući se vodoravno brzinom bliskom brzini svjetlosti bivaju podložne kontrakciji dužine tako da mogu biti smještene u manju garažu.

 Paradoks 

mini|256p|Crtež 1a: Problem, 1. dio – dugačke ljestve kontrahirane dužine bivaju smještene u manju garažu.

Dugačke ljestve krečući se vodoravno brzinom bliskom brzini svjetlosti bivaju podložne kontrakciji dužine tako da mogu biti smještene u manju garažu.

mini|256p|Crtež 1b: Problem, 2. dio – kontrahirana duljina garaže premala je da se u nju smjeste ljestve iste duljine.

Zbog simetrije, može se argumentirati da je iz perspektive ljestava dužina garaže kontrahirana i zbog toga se ljestve uopće ne mogu smjestiti u nju. 

mini|256p|Crtež 1c: Rješenje sa stajališta garaže: ljestve kontrahirane dužine ulaze i izlaze iz garaže s dvoje vrata.

 Relativna simultanost 
Rješenje ove dileme leži u činjenici da ono što jedan promatrač (tj. garaža) smatra simultanim ne korespondira s onim što drugi promatrač (tj. ljestve) smatra simultanim (relativna simultanost). Najjednostavniji način promatranja je zamišljanje garaže s dvoje vrata koja se otvaraju da bi uskladištila ljestve i propustila ljestve van na drugu stranu.

mini|256p|Crtež 1d: Rješenje sa stajališta ljestava: kontrahirana dužina garaže s dvoje vrata prolazi oko ljestava.

Iz perspektive ljestava događa se da se najprije jedna vrata zatvaraju i otvaraju i zatim, nakon što garaža prođe oko ljestava, druga vrata se zatvaraju i otvaraju.

Situacija je ilustrirana u donjem Minkowskijevom dijagramu. Dijagram je u referentnom okviru mirovanja garaže. Okomita plava traka pokazuje garažu u prostorvremenu, crvena vodoravna traka pokazuje ljestve u prostorvremenu. x i t ose su ose prostora i vremena garaže, a  i  osi prostora i vremena ljestava. Ljestve se kreću brzinom   u pozitivnom smjeru ose x, stoga je . Kako svjetlost putuje brzinom vrlo bliskoj jednoj stopi (=12 inča) u nanosekundi koristit ćemo te jedinice tako da je ft/ns. Garaža je mala, dugačka G=10 stopa, a ljestve su dugačke L=12 stopa. U referentnom okviru garaže, početak ljestava će dodirnuti stražnju stranu garaže u vremenu  ns. To je prikazano kao događaj A na dijagramu. Svi pravci paralelni x osi garaže bit će simultani promatraču iz garaže, tako da će plava linija AB biti ono što će promatrač iz garaže vidjeti kao ljestve u vrijeme događaja A. Ljestve su smještene unutar garaže. Iz perspektive promatrača na ljestvama, crvena linija AC je ono što promatrač vidi kao ljestve – stražnji kraj ljestava je izvan garaže.

lijevo|mini|325p|Crtež 1e: Minkowskijev dijagram paradoksa ljestava br. 1. Garaža je prikazana plavom bojom, ljestve crvenom. Dijagram je u referentnom okviru mirovanja garaže. Referentni okvir ljestava vrijedi za promatrača koji sjedi na prednjem kraju ljestava. Ose x i x' su dugačke po 5 stopa, a ose t i t' su po 5 ns .

Koristeći jednodimenzionalne Lorentzove transformacije (vidjeti posebna relativnost) dobijamo:

DogađajOkvir garažeOkvir ljestava ns
 ft ns
 ft ns
 ft ns
 ft ns
 ft  ns
 ft ns
 ft  ns
 ft

 Rješenje paradoksa 

mini|143p|Ljestve kontrahirane uslijed ubrzanja tako da stanu u prostor kontrahirane dužine garaže.

Kada statična garaža obuhvati ljestve u kretanju, ono što se zatim događa je da 1) ljestve nastavljaju kretanje na drugu stranu izvan garaže (gornji primjer garaže s dvoje vrata) ili 2) ljestve u cijelosti stanu u garažu.

Promatrajući samo slijed, možemo reći da je svaka tačka ljestava simultano u mirovanju sa stajališta garaže. Iz perspektive ljestava to ne može biti istina. Ljestve doživljavaju usporavanje tačku po tačku, dok konačno cijele ljestve ne usporavaju. Drugim riječima, ljestve se 'skraćuju' zbog vlastitog usporavanja ulazeći u inercijski referentni okvir garaže. Tako se iz obje perspektive ljestve mogu smjestiti u garažu. (Nakon toga, kako se više ne kreću relativno u odnosu na garažu, ljestve se mogu vratiti na originalnu dužinu, uzrokujući pri tome moguću štetu po sebe i garažu.)


 Također pogledajte 
 Paradoks blizanaca

Kategorija:Relativnost