Euklidski vektor

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...
Definicija

Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih  duži.Vektor je

Vektor se može definisati uređenim parom tačaka  i  iz . Tada je:

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:

Ako  zamjenimo sa  koje može biti bilo koji broj iz  definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku  a za vektor pravca ima vektor . Ako je  samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački .

Ako je  rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor  ovo znači da važi:

Označavanje
Vektori se  označavaju malim  podebljanim slovima kao  a i malim kosim i  podebljanim a, Druge konvencije uključuju . Alternativno, neki koriste  (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr . Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao  ili AB.
Vektori se predstavljaju i grafički.

Primjer
mini|desno|300px

vektor od koordinantnog početka  do tačke  je

U trodimenzionalnom prostoru  vektor se označava sa

ili
.

U n-dimensionalnom   prostoru


Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone

. 
Drugi način  predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih  baznih vektora
mini|desno|300px
.

odnosno

ili

.
Dekartove koordinate

U Dekartovom  koordinatnom sistemu, vektor le određen  koordinatama početne i završne tačke.
Primjer
Tačke  i  u prostoru određuju vektor 

 Nula-vektor 

Nula-vektor  je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.Nula vektor


Jedinični vektor

Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor  može se odrediti odgovarajući jedinični vektor  istog pravca i smjera.

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

U Dekartovim koordinatama vektor  je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku .

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.

Jednakost vektora
Dva vektora

i

su jednaka ako važi

Kolinearni i komplanarni vektori

Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su kolinearni , a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.,

Projekcija vektora
Projekcija  vektora 
Ortogonalna projekcija u ravni na pravu  je funkcija koja svakoj tački
 ravni pridružuje tačku u kojoj normala na , koja prolazi
tačkom , siječe  prava . 
Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu  je funkcija koja svakoj tački
 prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom ,a okomita je na , siječe pravu .

 Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektori 

Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora

i

su suprotna ako važi

Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov

 Operacije nad vektorima 
Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:

, , 

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva , a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primjer  je prva koordinata vektora,  je druga koordinata vektora itd.

Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

 Intenzitet vektora 
Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.Intenzitet vektora

 Množenje vektora skalarom 
Množenje vektora  nekim skalarom  je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

 =  = 

 Sabiranje vektora 
mini|200p|desno|Sabiranje vektora
mini|200p|desno|Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora :

Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

, 
, gde je 

Pri čemu će vektor c biti iz prostora . Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:

Pri čemu .

 Skalarno množenje vektora 
Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz  u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz  bi proizvod k izgledao ovako:

, 
, gde je 

Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak

,

pri čemu je  ugao između a i b.

Ovo zapravo znači i:

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

 Vektorski proizvod 
Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore () je vektorski proizvod. Definiše se na sljedeći način:



Jer su ,  i  vektori kanonske baze .

Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:

, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
, gde je  ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
, tj. vektorski proizvod nije komutativan.
, gde je . Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.

 Mješoviti proizvod 
Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz  preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa . A po definiciji je:



Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda:






 Također pogledajte 
 Kompleksan broj
 Koordinatni sistem
 Površinska normala
 Vektorska analiza

Reference

 Vanjski linkovi 

 Vector
 Introducing vectors
 Vektorrechnung fürs Abitur
 Vektoren 1
 POJAM VEKTORA

Kategorija:Kinematika
Kategorija:Apstraktna algebra
Kategorija:Vektorska analiza
Kategorija:Linearna algebra
Kategorija:Koncepti u fizici
Kategorija:Vektori
Kategorija:Analitička geometrija
Kategorija:Euklidska geometrija