Kompleksan broj

Kompleksni brojevi su oni brojevi koji proširuju skup realnih brojeva na način da jednačina  ima rješenje. Ono je moguće uvođenjem novog imaginarnog broja  koji ima osobinu . Ovaj broj  označava se kao imaginarna jedinica. U elektrotehnici za njegovo označavanje koristi se slovo , kako bi se izbjegla zabuna sa oznakom za jačinu struje zavisne od vremena (koja se označava sa  ili ).

Pojam "kompleksnih brojeva" uveo je Carl Friedrich Gauß 1831. u djelu Theoria residuorum biquadraticorum. Međutim, temelje teorije kompleksnih brojeva postavio je italijanski matematičar Gerolamo Cardano u djelu Ars magna objavljenom u Nürnbergu 1545. te Rafael Bombelli u djelu L'Algebra objavljenom u Bologni 1572. a napisanom između 1557. i 1560. Uvođenje imaginarne jedinice  kao novog broja pripisuje se Leonhardu Euleru.

 Definicije 
U skupu realnih brojeva  jednačina  ima dva rješenja

Slična jednačina  u skupu  nema ni jedno rješenje. Zato se uvodi imaginarna jedinica  definisana na sljedeći način  tj

.
Iz ove definicije slijedi

.

Na ovaj način dobili smo skup kompleksnih brojeva.
Kompleksan broj je broj oblika

gdje su x i y realni brojevi, a i se naziva imaginarna jedinica i ima osobinu i2 = -1.

Realni broj  se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se sa , a  se naziva imaginarni dio i označava se sa .

Skup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj x možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je y = 0, tj. .

Povremeno se moze naići na definiciju . U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat.
. U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja imamo:  što je i korektan rezultat.

Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalni vektori ili uređeni parovi  realnih brojeva.

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja  .

S druge strane, zapis oblika  pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

 i

 potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva  je skup svih brojeva oblika , gdje su .

Posebno je .

 je realni dio kompleksnog broja ,

 je imaginarni dio kompleksnog broja .

Algebarski oblik kompleksnog broja je

 za 

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

pri čemu je

 modul

 argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

 za 

pri čemu je

 modul

 argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

Konjugirano kompleksni broj broja  je broj .

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja  je nenegativni realni broj .

Operacije s kompleksnim brojevima
malo|desno| 250px

U skupu kompleksnih brojeva definisano je sabiranje.

Neka su  i  dva kompleksna broja.

Kompleksni brojevi , na stranici Fakulteta elektrotehnike, mašinstva i brodogradnje Univerziteta u Splitu, pristupljeno 10. jula 2017. 

i oduzimanje

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva
 za  komutativnost sabiranja

 za  asocijativnost sabiranja

 za  neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj 

 postojanje inverznog elementa.

Kompleksni broj  Skup kompleksnih brojeva , pristupljeno 10. jula 2017. 

Množenje kompleksnih brojeva
Neka su  i  dva kompleksna broja.

U skupu kompleksnih brojeva definisano je množenje

Osobine množenja kompleksnih brojeva
 za  komutativnost množenja

 za  asocijativnost množenja

 za  neutralni element   za množenje

 postojanje reciproćnog elemanta

 za  distributivnost množenja u odnosu na sabiranje 

Realan proizvod dva kompleksna broja
U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe.
Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva  i , u oznaci ,je realan broj određen kao

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima  i Lako je provjeriti da je

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

 (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima  i )

Realan proizvod kompleksnih brojeva  i  jednak je potenciji koordinantnog početka  kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik , gdje su  i  tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima  i .

Tačka  je sredina duži AB određena kompleksnim brojem , potencija tačke  u odnosu na krug sa središtem u tački  i poluprečnikom

 jednaka je

Neka su tačke ,,, taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima , , , . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

Središte kružnice opisane oko trougla  nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena , ,  trougla  određena kompleksnim brojevima , ,  respektivno, tada je ortocentar  tog trougla određen kompleksnim brojem .

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja
Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva  i .

Neka su  i  tačke određene kompleksnim brojevima 
 i

Lako je provjeriti da je

Neka su , ,  kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

 gdje je 

 (  )

Ako su  i  dvije različite tačke različite od , tada je
 onda i samo onda ako su , , kolinearne tačke.

Neka su ) i ) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni 
različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva  i  ima sljedeći geometrijski smisao

Neka su ,  i  tri različite tačke u kompleksnoj ravni.
Tada je

Neka su ,  i  tri različite tačke u kompleksnoj ravni.
Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna
Tačke ,, su kolinearne

Neka su , ,  i  četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je  onda i samo onda ako je 

Dijeljenje kompleksnih brojeva

U svakom skupu brojeva dijeljenje se  definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

Neka je
 bilo koji. Onda je  pa je dobro definisan broj

imamo

 Konjugovano kompleksni brojevi
malo|desno

Kompleksan broj  nazivamo konjugovanim broju .Konjugovano kompleksni broj kompleksnog broja, na stranici Elektronskog fakulteta Univerziteta u Nišu, 

Brojevi  i  čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

Lako se provjerava da vrijedi



Neka je
 trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

Na ovaj način dobijamo opći oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

 ili

Stepenovanje kompleksnog broja

 za .

Potencije imaginarne jedinice

Tin Perkov, Mandi Orlić: Formule iz Matematike I, Tehničko veleučilište u Zagrebu, 

Korjenovanje kompleksnog broja
 za 

gdje je

 za 

 za 

Kvadratni korjen imaginarnog broja

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

Dobijamo dvije jednačine

čija su rješenja

Izbor glavnog korjena daje

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

Apsolutna vrijednost argumenta
Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja  je

Kvadrat apsolutne vrijednosti je


Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Iz trigonometrijskih identiteta

imamo

Primjer

Dijeljenje

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Ponekad je kompleksne brojeve potrebno pisati u trigonometrijskom obliku

, za  i  za ; kada je  onda je , ako je  i , ako je 

Broj  se naziva modul kompleksnog broja , a  је argument kompleksnog broja
Množenje 
Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

 i 

onda je 

Sada, kada smo odredili brojeve, mogu se pomnožiti:

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

 i 

  Množenje i deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, 19. februar 2014, 

u općem slučaju važi

De Moavrova formula 
Neka je
 trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

  De Moavrova formula, 21. februar 2014. 

 Također pogledajte 
 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

 Reference 

 Literatura 
 Kompleksni brojevi 
 Kompleksni brojevi
 KOMPLEKSNI - BROJEVI
 Skup kompleksnih brojeva 
Moavrova formula i n-ti koren kompleksnog broja, 21. februar 2014
Množenje i deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, 19. februar 2014.
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja, 17. februar 2014.

 Vanjski linkovi 

 A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers


Kategorija:Kompozicijske algebre