Skup (matematika)

Skup (množina) u matematici je osnovni pojam moderne matematike.

Neformalno, pod skupom se podrazumijeva "svaka vrste kolekcije različitih predmeta" (Georg Cantor). Na pojmu skupa stoji današnja matematika, jer upravo taj pojam se uzima, zajedno s logikom prvog reda, za gradnju matematike na aksiomima.

Skup možemo zadati njegovim elementima (članovima) konačnim ili beskonačnim:

,

.

Često skup zadajemo i pomoću nekog pravila:

.

Neke skupove označavamo uvijek istim slovima 
 N prirodni brojevi
 R realni brojevi
 Q racionalni brojevi...

Skup koji nema ni jedan element naziva se prazni skup.
Jednačina x2+1=0 u R nema rješenja.
 Operacije sa skupovima 
 Presjek skupova 
Presjek ili zajednički dio dva skupa je skup koji čine elementi koji su u skupu A i u skupu B. Označavamo ga sa

Za relaciju presjek važi zakon komutacije

A∩B = B∩A

A∩B = 

Za B={ d } bilo bi A ∩B= ø

Dvije paralelne prave su disjunktne 
Za skupove A i B kažemo da su disjunkti ako i samo ako je njihov presjek prazan skup.

 Unija skupova 
Unija skupova A i B je skup koji čine svi elementi koji pripadaju barem jednom od skupova A i B. Označavamo ga sa .

Za relaciju unija vrijedi zakon komutacije

Za relacije unije i presjeka važe relacije

 (zakoni asocijacije)

 (zakoni distribucije)

  asocijativnost

  neutralni elemenat

Kardinalni broj unije skupova A i B je

 Podskup 
Za skup A kažemo da je podskup skupa B onda i samo onda ako je svaki element iz A ujedno i element iz B ili A ∩B= A

Skup kome je A podskup zove se nadskup skupa A. Ako je A podskup od B i ako B ima bar jedan element koji nije u A kažemo da je A pravi podskup od B. 
Svaki podskup možemo shvatiti kao njegov nepravi podskup . za svaki skup vrijedi 
A ∩ ø = A tj ø je podskup svakog skupa. Skupovi A i B su neuporedivi u odnosu na relaciju podskup ako nije 
 , a niti 
Unija dva skupa je podskup

 Prazan skup 

Prazan skup ∅ (ili {})je, skup koji nema nijednog elementa, on je podskup svakog skupa.

 Jednaki skupovi 
Za skupove A i B kažemo da su jednaki i pišemo A=B onda i samo onda ako je  i  tj ako su elementi skupa A eklementi skupa B i obrnuto ako su elementi skupa B elementi skupa A.

 Razlika (diferencija) skupova 
Ako su A i B skupovi tada skup svih elemenata skupa A koji nisu u B nazivamo razlika skupova A i B i pišemo

 Simetrična razlika skupova 

Simetrična razlika skupova A i B je skup A∆B koji sadrži sve elemente skupova A\B i B\A. Pišemo: A∆B=(A\B)∪(B\A)

 Komplement skupova 
Neka je A⊆B. Komplement (dopuna) skupa A u odnosu na skup B je skup svih elemenata iz B koji ne pripadaju skupu A. Pišemo:
CB(A)={𝑥∈B:𝑥∉𝐴}

 Partitivni skup 
Neka je A proizvoljni skup. Skup svih podskupova skupa A nazivamo partitivni skup skupa A. Pišemo: P(A)={X:X⊆A}
Ako je skup A konačan i ima n elemenata tada njegov partitivni skup P(A) ima 2n elemenata.
Npr. za A={1,*,a} je P(A)={∅,{1},{*},{a},{1,*},{1,a},{*,a},{1,*,a}}.

 Kartezijev (direktni) proizvod skupova 
Ako su A i B skupovi skup svih parova (a,b) kod kojih je a iz A i b iz B označavamo sa AXB nazivamo kartezijev ili direktni proizvod skupova A i B

 Konačni i beskonačni skupovi 

Za skup A kažemo da je ekvivalentan skupu S ako i samo ako postoji bijekcija sa A na S.

Za relaciju ekvivalencije skupova vrijede sljedeće osobone:
 Refleksivnost
A ≈A za svaki neprazni skup
 Simetričnost 
A ≈B <=> B ≈ A
 Tranzitivnost 
A ≈B & B≈C => A ≈C

Definišimo prirodne brojeve ..
na sljedeći način
0={ø}
1={0}
2={1,2}...
Označavamo ga sa N(naturalis- prirodan)

Ovo su bili prvi brojevi kojima se koristio čovjek i imaju glavno mjesto u izgradnji matematičke nauke.
Za skup S kažemo da je konačan ako postoji prirodni broj n takav da je skup S={1,2,3,...} ekvivalentan sa skupom S.

Neke osobine skupova
 Svaki skup može se preslikati na svoj pravi podskup.
 Svaki skup koji se može preslikati na svoj pravi podskup je beskonačan.
 Skup je konačan ako i samo ako se može preslikati na svoj pravi podskup.
Ako su A,B,C skupovi sa osobinom ;  i A je ekvivalentan sa C onda je A ekvivalentan sa B.

 Kardinalni broj skupa 
Ekvivalentni skupovi se još zovu i istobrojni. Umjesto A≈B pišemo k(A)=k(B) – kardinalni broj skupa A jednak je kardinalnom broju skupa B.

Cantorova teorema

Za svaki skup S vrijedi k(S)<kP(S) gdje je P(S) partitivni skup skupa S.
Kardinalni brojevi koji nisu konačni su transfinitni.

Korolar

Ne posatoji najveći transfinitni kardinalni broj

G Cantor je postavio hipotezu da između brojeva k(N) i kP(N) nama nijednog kardinalnog broja. To je hipoteza kontinuuma.
Ovu hipotezu su nastojali dokazati ili opovrgnuti mnogi matematičari pa i sam Cantor (osnivač teorije skupova). Ovaj problem je ostao neriješen sve do 1963.god. kada je Amerikanac P Cohen(Koen) dokazao da ova hipoteza ne zavisi od ostalih aksioma teorije skupova. Isto kao što i V postulat Euklidove geometrije ne zavisi od ostalih aksioma.

Teorema

Ako su skupovi A i B prebrojivi onda je prebrojiv i skup A U B

Teorema

Ako su skupovi A i B prebrojivi onda je prebrojiv i skup AxB
Teorema o ekvivalenciji

Ako je skup A ekvivalentan sa podskupom skupa B i B ekvivalentan sa podskupom skupa A onda su skupovi A iB ekvivalentni tj. k(A)=K(B)

Ako je skup A konačan ,a S beskonačan onda je k(AUS)=k(S)

 Ordinalni broj skupa 
Neka je A dobro uređen skup. Klasu dobro uređenih skupova koji su slični sa A nazivamo ordinalni broj , oznaka ord(A) .

Ordinalni brojevi dobro uređenih skupova {1},{1,2},{1,2,3,}... zovemo konačni ordinalni broj i označavamo ih sa 1,2,3,...
Ordinalni brojevi koji nisu konačni su transfinitni.

Aksioma izbora (Zemerlov aksiom)

Ako je S dati skup tada iz svakog nepraznog podskupa skupa S možemo izabrati jedan element , tj postoji barem jedna funkcija koja svakom nepraznom skupu X podskup S pridružuje jedan element x iz X.

Za svaki beskonačan kardinalni broj a vrijedi a2=a
Za svaka dva skupa A i B važi k(A)=k(B) ili k(A)<k(B) ;k(A)=k(B) ili k(A)>k(B)

Zornova(Cornova) lema

Ako je A parcijalno uređen skup u kome svaki potpuno urešen podskup ima gornju granicu sadrži bar jedan maksimalni element.

 Paradoksi u teoriji skupova 
 Cantorov paradoks 

Uznimo da je S skup svih skupova. Tada je svaki podskup od S ujedno i član od S. Dakle, i partitivni skup od S je podskup od S.

P(S) podskup od S
kP(S)<k(S) i kP(S)=k(S) 
Međutim prema Cantorovom teoremu je 
kP(S)>k(S)

 Russellov paradoks 

Neka je S skup svih skupova koji ne sadrže sebe kao element. Postavlja se pitanje pripada li skup S sam sebi.

Primjer:

U nekom selu postoji brijač koji brije one i samo one ljude koji se sami ne briju.
Pitanje: Ko brije brijača?
Naime, ukoliko neko drugi brije brijača, onda on ne brije one i samo one ljude koji se sami ne briju (jer ne brije sebe). Ako, pak, brijač brije samog sebe, onda on ne brije one i samo one koji sami sebe ne briju (jer, opet, ne brije sebe).

 Veza između skupovne jednakosti i iskazne formule 

Postoji interesantna veza između algebre skupova i algebre iskaza. naime, ako želimo provjeriti tačnost neke skupovne jednakosti tada skupovima A,B,C,... pridružimo iskaze p,q,r,...,jednakosti skupova pridružimo ekvivalenciju iskaza,a podskupu pridružujemo implikaciju iskaza, presjeku skupova pridružimo konjukciju iskaza, uniji skupova pridružimo disjunkciju iskaza, komplemenu skupa pridružimo negaciju iskaza. Tako skupovnu jednakost prevedemo u njoj ekvivalentnu iskaznu formulu, a zatim pomoću tabele istinitosti provjerimo dali je dobijena iskazna formula tautologija ili ne.

 Također pogledajte 
 Niz
 Taksonomija

Kategorija:Koncepti u logici
Kategorija:Teorija skupova
Kategorija:Matematički objekti