Ugao

Ugao je dio ravni ograničen sa dvije poluprave koje imaju zajednički početak.

Ugao zatvaraju dvije poluprave a i b (zrake) koje ishode iz jedne tačke T. Poluprave koje zatvaraju ugao nazivaju se kracima ugla, a tačka iz koje ishode je njegovo tjeme. Kada kraci ugla čine jednu pravu ugao se naziva ispruženim ili ravnim.

 Vrste uglova 
mini|Suplementni uglovi
 Ispružen ugao ima 180° (stepeni), tj.  (radijana).
 Prav ugao je jednak (kongruentan) svom suplementnom (susjednom). Prav ugao iznosi 90° (stepeni), tj.  (radijana).
 Komplementni uglovi su oni koji se dopunjavaju do pravog ugla.
 Suplementna su dva susjedna ugla koja se dopunjavaju do ispruženog. U Euklidskoj geometriji, komplementni su oštri uglovi pravouglog trougla.

Uglovi koji nastaju presjekom dvije prave u istoj ravni trećom nazivaju se:

 Saglasni: a i e, d i h, c i g, b i f; 
 Suprotni: a i f, d i g, c i h, b i e; 
 Unakrsni: a i g, d i f, c i e, b i h. 
 Susjedni: a i d, d i c, c i b, b i a.
Datoteka:Corresponding angles 3.svg

 Osobine uglova 

Uglovi sa paralelnim kracima jednaki su ili su suplementni, α + β = 180o.

Datoteka:Corresponding angles.svg

Posljedica 1: zbir uglova u trouglu je 180°.

 Mjerenje ugla 

Mjera ugla je veličina razmaka između krakova ugla. Radi mjerenja ugla se koristi krug čiji je centar u tjemenu ugla. Obzirom da je obim kruga srazmjeran poluprečniku to je i mjera ugla nezavisna od veličine poluprečnika. Posljedica činjenice da je veličina ugla odnos dvije dužine je da je jedinica veličine ugla bezdimenzionalna.

 Broj koji se dobije kao količnik dužine luka kružnice i poluprečnika se naziva radijan. U međunarodnom sistemu mjera radijan je izvedena jedinica. Iako je bezdimenzionalna, oznaka postoji i piše se rad.
 Stepen je mjera ugla kod koga je pun krug 360 stepeni, a sljedstveno tome opruženi ugao je 180 stepeni, a prav ugao je 90 stepeni. Oznaka za stepen je mali kružić napisan kod veličine, recimo za pun krug 360°. Za preciznija mjerenja se koristi dio stepena, naziva se minuta i iznosi 1/60 od stepena. Oznaka za minutu je apostrof znak, recimo za 1 stepen je 60'. Postoji još manja mjera, sekunda. Sekunda je 1/60 od minute, odnosno 1/3600 od stepena. Oznaka za sekundu je dvostruki apostrof, odnosno 1 minuta je 60".

Neka je dat ugao u kompleksnoj ravni.

Mjera pozitivno orijentisanog ugla   jednaka je .

Ako su ,  i  tri različite tačke, onda je mjera
pozitivno orijentisanog ugla   jednaka .Primene kompleksnih brojeva u geometriji /Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.

 Odnos između osnovnih jedinica mjere ugla 

, pun krug je dva pi radijana ili 360 stepeni 
, pi radijana je 180 stepeni (često se rad izostavlja kada je pi u izrazu)
, pi pola radijana je 90 stepeni
, jedan radijan je 180 kroz pi stepeni, ili približno 57 stepeni, 17 minuta i 45 sekundi

 Veza uglova sa trigonometrijom 

U trigonometriji uglovi imaju poseban značaj. Tako se pomoću trigonometrijskih funkcija nekog ugla, mogu dobiti odnosi stranica trougla.

Ako se naspramna kateta označi kao , kao nalegla , a kao hipotenuza , onda se može dobiti primjer dobijanja odnosa stranica u trouglu na osnovu trigonometrijske funkcije datog ugla.

Sinus ugla:

Kosinus ugla:

Tangens ugla (nekad se obilježava i sa ):

Kotangens ugla (nekad se obilježava i sa ):

Sekans ugla:

Kosekans ugla:

Kao što se vidi uglovi su jedna od osnovnih tema proučavanja u trigonometriji i kao takvi imaju veliki značaj u toj oblasti.

 Euklidove definicije 
U Euklidovim Elementima knjiga I je dato nekoliko definicija:

Definicija 8 
Ugao u ravni je otklon jedne linije ka drugoj u ravni koje se sijeku i ne leže u liniji.

Definicija 9 
Kada su linije koje čine ugao prave i ugao je pravolinijski.

Definicija 10 
Kada prava linija siječe pravu liniju čineći jednake susjedne uglove, svaki od uglova je prav ugao, a linija koja siječe drugu se zove normalna na onu koju siječe.

Definicija 11 
Tupi ugao je ugao veći od pravog ugla.

Definicija 12 
Oštar ugao je ugao manji od pravog ugla.

 Također pogledajte 
 Osnovne trigonometrijske formule
Reference