Trougao

Trougao ili trokut je poligon koji ima tri stranice i tri ugla. Jedan je od osnovnih oblika u geometriji. Trougao sa uglovima u tačkama A, B i C se označava kao . Zbir svih unutrašnjih uglova u trouglu iznosi 180°.

 Vrste trouglova 
Trouglovi se mogu razlikovati na osnovu dužina stranica, odnosno njihovom međusobnom odnosu kao i veličini unutrašnjih uglova.

 Prema unutrašnjim uglovima 
 Pravougli trougao 

Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.
Obim  je

Površina je

Prečnik opisanog kruga: 

 Tupougli trougao 

Tupougli trougao je trougao kod kojeg je jedan unutrašnji ugao veći od 90 stepeni i taj ugao se naziva (tupi ugao).

 Oštrougli trougao 

Oštrougli trougao ima sva tri unutrašnja ugla manja od 90 stepeni (kosi uglovi).

Osim uglova, trouglovi se mogu razlikovati po dužini i međusobnom odnosu njihovih stranica:

 Prema stranici i njihovom međusobnom odnosu 
 Jednakostranični trougao 

Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.

Obim  
Površina 
Visina  
Poluprečnik opisanog kruga 
Poluprečnik upisanog kruga   

 Jednakokraki trougao 

Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Iste stranice jednakokrakog trougla nazivaju se kraci a preostala stranica je osnovica. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla.

Obim 
Površina je 
Visina  

 Raznostranični trougao 

Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također različiti.

Poluprečnik opisamog kruga   

 Obim trougla 
Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.

Obim jednakokrakog trougla je 

Obim istostraničnog trougla je

 Površina 

 Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.

P = (b·h)/2,

mini|centar|300p|Grafički prikaz površine trougla

Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac):  gdje je  poluobim trougla; 

Neka su date koordinate vrhova trougla , , površina trougla je


 Osobine trouglova (teoreme) 

 Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).
.
Treba istaći da ova jednakost važi samo u Euklidskoj  geometriji, a ne u drugim tipovima geometrije, kao što je sferna geometrija i hiperbolična geometrija, gdje je ova suma  veća ili manja od 180 °;
Zbir spoljašnjih uglova iznosi .
.
Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao

Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusjedna unutrašnja ugla.

Zbir dužina dvije stranice trougla veći je od dužine  treće  stranice, a razlika manja.
 Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi: 

 U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:

Značajne tačke trougla
Centar opisane kružnice trougla   nalazi se u presjeku simetrala stranica trougla a poluprečnik je 

Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.

Centar upisane kružnice trougla   nalazi se u presjeku simetrala uglova trougla a poluprečnik je 

Težište trougla T nalazi se u presjeku težišnih duži trougla

Ortocentar trougla H nalazi se u presjeku pravih kojima pripadaju visine trougla 

Sličnost trougla
Dva trougla su slična ako imaju dva ugla jednaka.
Dva trougla su slična  ako  su dvije stranice trougla proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla i uglovi koje zaklapaju parovi odgovarajućih proporcionalnih stranica su jednaki.
;  :
Dva trougla su slična ako su sve odgovarajuće stranice dva trougla proporcionalne tada su ta dva trougla slična 
; <
Ako se stranice dva slična trougla odnose kao : tada se i njihovi obimi nalaze u istom odnosu :, a površine se odnose kao :.
Ako je dužina hipotenuze   onda primjena sličnosti na pravougli trougao  imamo

Trougao u kompleksnoj ravni
Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke  umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve.

Trouglovi  i  su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je

Dokaz

 onda i samo onda ako je 

 i  

Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa

Ovaj uslov je ekvivalentan sa  uslovom

Lako je provjeriti da za trouglove , ,  i  ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi slijedeći stav.

Ako su tjemena  trougla  određena su kompleksnim brojevima  respektivno, tada su slijedeća tvrđenja ekvivalentna:
 je jednakostraničan trougao

 gdje je 
(z_1+ \epsilon z_2+ \epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+ \epsilon z_3)=0 za  

Ako su tjemena  pozitivno orjentisanog trougla  sljedeća tvrđenja su ekvivalentna
 je jednakostraničan trougao
 za 
 za 
Primene kompleksnih brojeva u geometriji/Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.
 Također pogledajte 
 Kosinusni teorem
 Sinusni teorem
 Tangensni teorem
 Pedoeova nejednakost
 Pitagorina teorema
 Pravougli trougao

Reference