Pi

Matematička konstanta  se često koristi u matematici i fizici. π je malo slovo grčkog alfabeta i mjenja se sa pi kada je nedostupno. U euklidskoj planimetriji, π se može definisati kao odnos obima i prečnika kruga, ili kao površina kruga poluprečnika 1 (jediničnog kruga). Većina novijih udžbenika definiše π analitički, koristeći trigonometrijske funkcije, naprimjer kao najmanje pozitivno x za koje je sin(x) = 0, ili kao dva puta najmanje pozitivno x za koje je cos(x) = 0. Sve ove definicije su ekvivalentne.

π je također poznato i kao Arhimedova konstantahttps://repozitorij.pfst.unist.hr/islandora/object/pfst:1244/datastream/PDF/download (ne treba mješati sa Arhimedovim brojem) i Ludolphov broj.

Numerička vrijednost π zaokružena na 64 decimalna mjesta je:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

 Osobine 
π je iracionalan broj; to jest, ne može se napisati kao odnos dva cijela broja. Ovo je dokazao Johann Heinrich Lambert 1761. godine. Zapravo, ovaj broj je transcendentan, što je dokazao Ferdinand von Lindemann 1882. godine. To znači da ne postoji netrivijalan polinom sa racionalnim koeficijentima, čiji je π korijen.

Važna posljedica transcedentnosti ovog broja je činjenica da nije konstruktibilan. Ovo znači da je nemoguće izraziti π koristeći samo konačan broj cijelih brojeva, razlomaka, i nad njima četiri osnovne i operaciju kvadratnog korjenovanja. Ovo dokazuje da nije moguće izvršiti kvadraturu kruga: nemoguće je konstruisati (koristeći samo lenjir i šestar) kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga. Razlog je taj da su, polazeći od jediničnog kruga i tačke (1,0) na njemu, koordinate svih tačaka koje se mogu konstruisati korištenjem lenjira i šestara konstruktibilni brojevi.

 Formule sa π 
 Geometrija 
π; se pojavljuje u dosta formula u geometriji koje se tiču krugova, elipsi, valjaka, kupa i lopti.
Geometrijski oblikFormulaobim kruga poluprečnika r i prečnikaa dPovršina kruga poluprečnika rPovršina elipse sa poluosama a i bZapremina kugle poluprečnika rPovršina vanjskog dijela  kugle poluprečnika rZapremina valjka visine H i poluprečnika rPovršina vanjskog dijela valjka visine H i poluprečnika rZapremina kupe visine H i poluprečnika rPovršina kupe visine H i poluprečnika r

Također, ugao od 180° (u stepenima) iznosi π; radijana.

 Analiza 
Dosta formula u analizi sadrži π, uključujući predstavljanja u obliku beskonačnog reda (i beskonačnog proizvoda), integrale i takozvane specijalne funkcije.

 François Viète, 1593:

 Leibnizova formula:

Ovaj često navođeni beskonačni red najčešće se piše u gornjem obliku, dok je tehnički ispravan zapis:

 John Wallis - Valisov proizvod:

 Integral vjerovatnoće, poznat iz kalkulusa (Također pogledajte i Funkcija greške i Normalna raspodjela):

 Bazelski problem, koji je prvi riješio Leonhard Euler (Također pogledajte i Rimanova zeta-funkcija):

i, uopšte,  je racionalni umnožak broja  za svako prirodno n.

 Vrijednost Gama-funkcije u tački 1/2:

 Stirlingova aproksimaciona formula:

 Eulerov identitet (kojeg je Richard Feynman nazvao "najizvanrednijom formulom u matematici"):

 Osobina Eulerove φ-funkcije:

 Površina jedne četvrtine jediničnog kruga:

 Kompleksan analiza 
 Spcijalan slučaj Eulerove formule za :

 Osnovni slučaj teoreme o ostacima:

 Verižni razlomak 
π; ima puno predstavljanja u obliku verižnih razlomaka, kao što je naprimjer:

 Teorija brojeva 
Neki rezultati iz "Teorije Brojeva":

Vjerovatnoća da su dva slučajno izabrana cijela broja uzajamno prosta je 6/π;2.
Vjerovatnoća da je slučajno izabran cijeli broj beskvadratan je 6/π;2.
U prosjeku, broj načina da se dati prirodan broj napiše kao zbir dva savršena kvadrata (redosljed sabiraka je bitan) je π;/4.

Ovde, "vjerovatnoća", "prosjek" i "nasumičan" su uzeti u smislu granične vrijednosti; tj. posmatra se vjerovatnoća odgovarajućeg događaja u skupu brojeva {1,2, ... N}, a zatim uzima granična vrijednost te vjerovatnoće kada {N→∞} ({N} je "jako veliko").

 Dinamički sistemi/Ergodička teorija 
U teoriji dinamičkih sistema (Također pogledajte ergodička teorija), za skoro svako realno x0 u intervalu [0,1],

gdje su xi iterirane vrijednosti logističkog preslikavanja za r = 4.

 Fizika 
U fizici, pojava broja π; u formulama je najčešće stvar dogovora i normalizacije.
Na primjer, korištenjem uproščene Plankove konstante  može se izbjeći pisanje broja π; eksplicitno u velikom broju formula u Kvantnoj mehanici. Zapravo, uprošćena varijanta je i bezičnija, a prisustvo faktora 1/2π; u formulama koje koriste h može se smatrati naprosto uslovljenom uobičajenom definicijom Plankove konstante.

 Heisenbergov princip neodređenosti:

 Einsteinova jednačina polja opšte teorije relativnosti:

 Kulonov zakon za električnu silu:

 Magnetna permeabilnost slobodnog prostora:

 Vjerovatnoća i statistika 
U vjerovatnoći i statistici postoji puno raspodjela, čiji analitički izrazi sadrže π;, uključujući:
 Gustina raspodjele vjerovatnoće za normalnu raspodjelu sa matematičkim očekivanjem μ i standardnom devijacijom σ:

 Gustina raspodjele vjerovatnoće za (standardnu) Košijevu raspodjelu:

Treba primijetiti da se, kako je,  za svaku Funkciju gustine raspodjele vjerovatnoće f(x), pomoću gornjih formula može dobiti još integralnih formula za π;.

Zanimljiva empirijska aproksimacija broja π zasnovana je na problemu Bufonove igle. Posmatrajmo opit u kojem se igla dužine L baca na ravan na kojoj su označene dvije paralelne prave na međusobnom rastojanju S (gdje je S>L). Ako se igla na slučajan način baci veliki broj (n) puta, od kojih se x puta zaustavi tako da siječe jednu od pravih, onda približnu vrijednost broja π možemo dobiti korištenjem formule

Računanje broja pi pomoću Heronovog trougla
Trougao kome su stranice i površina cijeli brojevi zove se Heronov trougao.
Pomoću ovog  trougla može se prbližno izračunati broj .
Za tu svrhu koristićemo funkciju tangens i njezinu osobinu da za jako male vrijednosti argumenta  vrijedi

Trougao pomoću kojeg ga računamo ima stranice  ,  i 
Heron ga spominje u svom djelu "Metrika". Pomoću Heronove formule
   za   

Koristeći kosinusnu teoremu

i formulu

Koristeći formule

dobijamo

Zbog

imamo

Ove relacije pomnožimo sa 2, zatim redom sa 37, 27 i 24, a onda saberemo.

  je    tačna vrijednost

 Historija 
Simbol "π;" za Arhimedovu konstantu je prvi put uveo 1706. godine matematičar William Jones kada je objavio Novi uvod u matematiku (A New Introduction to Mathematics), mada je isti simbol još ranije korišten da naznači obim kruga. Ova oznaka postala je standardna nakon što ju je usvojio Leonhard Euler. U oba slučaja, 'π;' je prvo slovo riječi π;εριμετρος (perimetros), što znači 'mijeriti okolo' na grčkom jeziku.
Na listi detaljnih opisa velikog hrama Solomona, izgrađenog oko 950 godine pne pojavljuje se . To nije sasvim tačna vrijednost i nije čak ni tačna za vrijeme u kom je zapisana, jer su u to vrijeme Egipćani i Mesopotamci već znali da  ima vrijednost od . Doduše u odbranu Solomonovim zanatlijama treba primijetiti da su pojedini predmeti, koji su opisani, bili takvog oblika da veliki stepen geometrijske preciznosti nije bio moguć, niti neophodan.
U Egiptu postojala je potreba navodnjavanja i organizovane poljoprivredne proizvodnje. Ova potreba bila je veliki podsticaj za razvoj matematike. Iz sačuvanih papirusa saznajemo da su imali razvijene sisteme za računanja i odgovarajuću simboliku. Vješto su baratali sa razlomcima.
Najpoznatiji sačuvani papirus je Rindov papirus iz otprilike 1650. godine pne, pokazuje da su Egipćani prilikom računanja površina i zapremina oblih figura koristili za broj .
Pisao ga je pisar Ahmes ali on nije bio i autor ovog matematičkog spisa. Ahmes je napisao: Oduzmite  prečnika a nad ostatkom konstruišite kvadrat. On će imati istu površinu kao krug.
U Ahmesovom papirusu za  izračunata je približna vrijednost . Greška je na drugoj decimali.
U staroindijskom djelu "Salvasutra" data su matematička pravila za koja se znalo u to vrijeme. Tu se nalaze neke interesantne aproksimacije pomoću osnovnih razlomaka, kao što je( u našoj simbolici)
.
Baudhajan je uzeo  kao vrijednost za ,
Ariabhata ,  što je jednako .
Euclid govorio je za krug da je to linija, t.j. dužina bez širine. On u svom XII dokazu ukazuje na postojanje broja  “Odnos kružnog obima i kružnog prečnika isti je kod svih krugova.”
Mi pretpostavljamo da je on znao da je  veće od 3 i manje od 4 ali to nije naveo.
Arhimed sa Sirakuze dobio je približno da je  . Ako uzmemo aritmetičku sredinu njegovih dviju granica dobićemo , greška je .
Arhimed je zasluzan za prve dvije decimale broja ,
Pisac sačuvanih komentara “9 knjiga” Liu Hui nasao je pomoću upisanih i opisanih mnogouglova da je 
Tsu Ch’ung Chi dao je racionalnu aproksimaciju  za  koja je tačna do 6 decimalnih mjesta. On je dokazao . Ovo je fantastičan rezultat ali nemamo više podataka. Njegova knjiga, koju je napisao njegov sin, je izgubljena.
Claudius Ptolemy dobio je približnu vrijednost za 
Ovu vrijednost objavio je u svom “Velikom zborniku”, jednom od najvećih djela rimskog aleksandrijskog perioda, koji je još poznatiji pod arapiziranim nazivom “Almagest"
AbuJa'far Muhammadibn MusaAl-Khwarizmi ostat će zapamćen po tome što je slučajno dao svoje ime algoritmu, dok je riječ ‘aljabar’ koja se javlja kao naslov jedne njegove knjige preteča današnje riječi algebra. U algebri ovog starog arapskog matematičara o izračunavanju obima kruga čitamo: “Najbolji način jest da se prečnik pomnoži sa . To je najbrži i najlakši način. Allah zna za bolje.”
Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi u julu 1424 godine on je objavio “Raspravu o obimu kruga”, rad u kome je izračunao  do devet decimala u sistemu brojeva čija je osnova 60 (sistemu koji su za zapis brojeva koristili stari Vavilonci, a koji je i do danas opstao u upotrebi pri izražavanju vremena i mjerenju uglova). Ako njegov račun prevedemo na dekadni sistem zapisa brojeva vidimo da je vrijednost  bila izražena sa 16 decimalnih mjesta.
François Viète nikad nije bio profesionalni matematičar. Tokom 1592 godine on se bavio problemima tadašnjih tvrdnji da se može izvršiti kvadratura kruga, podjela ugla na tri dijela i konstrukcija kocke duplo veće zapremine u odnosu na datu, korištenjem samo lenjira i šestara. Objavio je knjigu “Supplementum geometriae” (1593), u kojoj se bavi opisom ova tri klasična matematička problema, ali i pokazuje konstrukciju tangente u svakoj tački Arhimedove spirale. U ovoj knjizi, on je izračunao  do 10 decimale koristeći poligon sa 6*216 = 393216 stranica. On je predstavio  u vidu beskonačnog proizvoda,to je, kako je danas poznato, najranije predstavljanje broja kao beskonačnog. Izražen u našoj simbolici ovaj proizvod izgleda ovako:

Adriaan van Roomen jedan od njegovih najinpresivnijih rezultata bio je izračunavanje broja  sa 16 decimalnih mjsta. On je to uradio 1593 godine koristeći 230 -stranicni poligon. Roomen-ovo interesovanje za   bilo je direktna posljedica njegovog prijateljstva sa Ludolph van Ceulen-om.
Ludolph van Ceulen postao je slavan zbog njegovog izračunavanja broja  sa 35 decimalnih mjesta, do koga je došao koristeći poligon sa 262 stranica. Proveo je veći dio svog života računajući  i zato ne čudi istorijski podatak da je 35 decimala broja  ugravirano na njegovoj nadgrobnoj ploči u crkvi St. Peter’s Church u Lajdenu. Poznato je da je u Njemačkoj broj  dugo zvan Ludolfov broj, upravo njemu u čast.
Wallis-ova formula, kojom je on utvrdio da se broj  može približno predstaviti pomoću beskrajnog proizvoda

Gottfried Wilhelm von Leibniz njegovi engleski prijatelji, pričali su mu o Merkatorovoj kvadraturi hiperbole jedan od ključeva koji je poslužio Njutnu pri pronalasku diferencijalnog računa. Na temelju toga Leibniz je pronašao metodu beskonačnih redova, koju je razvio. Jedan od njegovih pronalazaka je formula

Ova formula nije praktičan način izračunavanja vrijednosti  , ali je upadljiva jednostavna veza između  i svih neparnih brojeva.

Evo kratke hronologije broja π;:

Vrijeme</th>Osoba</th>Vrijednost π;(svjetski rekordi su označeni podebljano)20. vijek p. n. e.Babilonci25/8 = 3.12520. vijek p. n. e.Egipatski matematički papirus (Rhindov papirus)(16/9)2 = 3.160493...12. vijek p. n. e.Kinezi3sredinom 6. vijeka p. n. e.1 Kraljevi 7:233434. p. n. e.Anaksagora je pokušao da kvadrira krug lenjirom i šestarom 3. vijek p. n. e.Arhimed223/71 < π; < 22/7(3.140845... < π; < 3.142857...)20. p. n. e.Vitruvije25/8 = 3.125130Čang Hong√10 = 3.162277...150Ptolomej377/120 = 3.141666...250Vang Fau142/45 = 3.155555...263Liu Hui3.14159480Zu Čongži3.1415926 < π; < 3.1415927499Arjabhata62832/20000 = 3.1416598Bramagupta√10 = 3.162277...800Muhamed Al Horezmi3.141612. vijekBaskara3.141561220Fibonači3.1418181400Madava3.14159265359Svi podaci od 1424. su dati u brojevima tačnih decimalnih mijesta (dm)..1424Džamšid Masud Al Kaši16 dm1573Valentus Oto6 dm1593Fransoa Vijet9 dm1593Adrijen van Romen15 dm1596Ludolph van Ceulen20 dm1615Ludolph van Ceulen32 dm1621Vilebrord Snel (Snelije), Ludolphov učenik35 dm1665Isaac Newton16 dm1699Abraham Šarp71 dm1700Seki Kova10 dm1706John Machin100 dm1706William Jones uveo grčko slovo 'π;' 1730Kamata25 dm1719De Lanji izračunao 127 decimalnih mijesta, ali nisu sva bila tačna112 dm1723Takebe41 dm1734Leonhard Euler usvojio grčko slovo 'π;' i obezbjedio njegovu popularnost;1739Macunaga50 dm1761Johann Heinrich Lambert dokazao da je π; iracionalni broj 1775Euler ukazao na mogućnost da bi π; mogao biti transcendentan 1789Jurij Vega izračunao 140 decimalnih mjesta, ali nisu sva bila tačna137 dm1794Adrijan-Mari Ležandr pokazao da je i π;2 (pa samim tim i π;) iracionalan, i spominje mogućnost da je π moguće transecedentan. 1841Raderford izračunao 208 decimalnih mjesta, ali nisu sva bila tačna152 dm1844Zaharija Daze i Štrasnicki200 dm1847Tomas Klauzen248 dm1853Leman261 dm1853Raderford440 dm1853Vilijam Šenks527 dm1855Rihter500 dm1874William Shanks je posvetio 15 godina izračunavanju 707 decimalnih mjesta, ali nisu sva bila tačna (grešku je otkrio D. F. Ferguson 1946. godine)527 dm1882Ferdinand Lindenmann dokazao da je π; transcedentan (Lindeman-Vajerštrasova teorema, koju neki zovu i "najljepšom teoremom cijele matematike") 1946D. F. Ferguson koristeći stoni kalkulator620 dm1947710 dm1947808 dmSvi rekordi od 1949. nadalje izračunati su pomoću elektronskih računara.1949Dž. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit bili su prvi koji su koristili elektronski računar (ENIAC) da izračunaju π;2,037 dm1953Maler pokazao da π; nije Liuvilov broj 1955Dž. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit3,089 dm1961100,000 dm1966250,000 dm1967500,000 dm19741,000,000 dm19922,180,000,000 dm1995Jasumasa Kanada> 6,000,000,000 dm1997Kanada i Takahaši> 51,500,000,000 dm1999Kanada i Takahaši> 206,000,000,000 dm2002Kanada i tim> 1,240,000,000,000 dm2003Kanada i tim> 1,241,100,000,000 dmApril 2004Kanada i tim 1.3511 bilion cifara ukupno

 Numeričke aproksimacije broja π; 
Zbog transcedentne prirode broja π;, ne postoje prikladni zatvoreni izrazi za π;. Stoga, numerička izračunavanja moraju koristiti približne vrijednosti (aproksimacije) Broja. Za puno potreba, 3.14 ili 22/7 je dovoljno blizu, iako inženjeri često koriste 3.1416 ili 3.14159 (5, odnosno 6 značajnih cifara) radi veće preciznosti. Aproksimacije 22/7 i 355/113, sa 3 i 7 značajnih brojki, se dobijaju iz jednostavnog razvoja π; u verižni razlomak.

Pored toga, sljedeća numerička formula daje aproksimaciju π; sa 9 ispravnih cifara:

Egipatski pisar po imenu Ahmes je izvor najstarijeg poznatog teksta koji daje približnu vrednost broja π;. Rajndov papirus datira iz egipatskog drugog srednjeg perioda — mada Ahmes tvrdi da je prepisivao papirus iz Srednjeg kraljevstva — i opisuje vrijednost tako da je dobijeni rezultat zapravo 256 podjeljeno sa 81, tj. 3.160.

Kineski matematičar Liu Hui je izračunao π; do 3.141014 (tačno do 3 decimalna mesta) 263. godine i predložio da je 3.14 dobra aproksimacija.

Indijski matematičar i astronom Arjabhata dao je preciznu aproksimaciju za π;. On je napisao: "Dodaj četiri na sto, pomnoži sa osam, a onda dodaj šezdesetdvijehiljade. Rezultat je približno jednak obimu kruga prečnika dvadesethiljada. Ovim pravilom dat je odnos između obima i prečnika." Drugim riječima, (4+100)×8 + 62000 je obim kruga prečnika 20000. Ovo daje vrijednost π; = 62832/20000 = 3.1416, tačnu kada se zaokruži na 4 decimalna mesta.

Kineski matematičar i astronom Zu Čongži je izračunao π; do 3.1415926–3.1415927, i dao dvije aproksimacije: 355/113 i 22/7 (u 5. vijeku).

Iranski matematičar i astronom Gijat ad-din Džamšid Kaš (1350–1439) je izračunao π; do 9 cifara u brojnom sistemu sa osnovom 60, što je ekvivalentno sa 16 decimalnih mesta kao:

2 π; = 6.2831853071795865

Njemački matematičar Ludolph van Ceulen (oko 1600) je izračunao prvih 35 decimala. Bio je tako ponosan na svoje dostignuće da ih je dao urezati u svoj nadgrobni spomenik.

Slovenački matematičar Jurij Vega je 1789. izračunao prvih 140 decimala, od kojih je prvih 137 bilo tačno i držao je svjetski rekord 52 —sve do 1841—kada je Vilijam Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, od kojih su prva 152 bila tačna. Vega je poboljšao formulu John Machina iz 1706; njegov metod se spominje i danas.

Nijedna od gore datih formula ne može da posluži kao efikasni način nalaženja približnih vrijednosti broja π;. Za brza izračunavanja, mogu se koristiti formule poput Machinove:



zajedno sa Taylorovim razvojem funkcije arctan(x). Ova formula se najlakše provjerava korištenjem polarnih koordinata kompleksnih brojeva, krenuvši od:

Formule ove vrste su poznate kao formule slične Machinove.

Ekstremno dugački decimalni razvoji broja π; se po pravilu računaju Gauß-Legendreovim algoritmom i Borweinovim algoritmom; Salamin-Brentov algoritam koji potiče iz 1976. godine je također korišten u prošlosti.

Prvih milion cifara brojeva π; i 1/π; su dostupni na Projektu Gutenberg. Trenutni rekord (decembar 2002) ima 1 241 100 000 000 cifara, koje su izračunate u septembru iste godine na 64-čvornom Hitachi superračunaru sa jednim terabajtom radne memorije, koji vrši 2 biliona operacija u sekundi, skoro duplo više od računara korištenog za prethodni rekord (206 milijardi cifara). Korištene su sljedeće formule slične Machinaovoj:

 –K. Takano (1982).

  –F. C. W. Störmer (1896).

Ove približne vrijednosti imaju toliko puno cifara da više nemaju nikakvog praktičnog značaja, izuzev za testiranje novih superračunara i (očigledno) za ustanovljavanje novih rekorda u izračunavanju broja π;.

1996. godine David H. Bailey je, zajedno sa Peter Borwein i Simon Plouffe, otkrio novu formulu za π u obliku zbira beskonačnog reda:



Ova formula omogućava da se lako izračuna kta binarna ili heksadecimalna cifra broja π; bez potrebe za raöunanjem prethodnih k − 1 cifara. Baileyeva Internetska stranica sadrži izvođenje ove formule, kao i njenu implementaciju u raznim programskim jezicima. PiHeks projekat je izračunao 64-bite oko milijarditog bita broja π; (koji je, uzgred, 0).

Ostale formule koje su do sada korištene za izračunavanje približnih vrijednosti π uključuju:

 —Newton.

 —Srinivasa Ramanujan.

 —David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky.

  —Leonhard Euler.

Na računarima sa Microsoft Windows operativnim sistemom, program PiFast može se koristiti za brzo izračunavanje velikog broja cifara. Najveći broj cifara broja π izračunat na kućnom računaru je 25 000 000 000, za koje je PiFast-u trebalo 17 dana.

 Otvorena pitanja 
Otvoreno pitanje o ovom broju je da li je π normalan broj — da li se ma koji blok cifara javlja u njegovom decimalnom razvoju upravo onoliko često koliko bi se statistički moglo očekivati ako bi se cifre proizvodile potpuno "nasumično". Ovo mora da bude tačno u bilo kojoj osnovi, a ne samo u dekadnom sistemu (osnovi 10). Sadašnje znanje u ovom smjeru je veoma oskudno; na primjer, ne zna se čak ni koje se od cifara (0,...,9) pojavljuju beskonačno često u decimalnom razvoju ovog broja.

Bailey i Crandall su pokazali 2000. godine da postojanje gore pomenute Bailey-Borwein-Plouffe formule i sličnih formula povlači da se tvrđenje o normalnosti broja π i raznih drugih konstanti u osnovi 2 može svesti na izvjesnu razumnu pretpostavku u Teoriji haosa.

Također nije poznato da li su π i e algebarski nezavisni, tj. da li postoji netrivijalna polinomska relacija između ova dva broja sa racionalnim koeficijentima.

John Harrison (1693–1776) je stvorio muzički sistem izveden iz π.A description concerning such mechanism as will afford a nice ... (no date) CSM. Available at: http://www.hsn161.com/HSN/CSM.pdf (Accessed: 06 September 2025). Ovaj Lucy tjuning sistem, (zbog jedinstvenih matematičkih osobina broja π) može da oslika sve muzičke intervale, harmonije i harmonike. Ovo sugeriše da bi se korištenjem π mogao dobiti precizniji model za analizu kako muzičkih, tako i drugih harmonika u vibrirajućim sistemima.

 Priroda broja π 
U ne-euklidskoj geometriji, zbir uglova trougla može da bude manji ili veći od π radijana, a odnos obima kruga i njegovog prečnika može se također razlikovati od π. Ovo ne menja njegovu definiciju, ali utiče na mnoge formule gde se π pojavljuje. Pa tako, posebno, oblik univerzuma ne utiče na π; π nije fizička nego matematička konstanta, definisana nezavisno od ma kakvih fizičkih mjerenja. Razlog zašto se π pojavljuje tako često u fizici je jednostavno zato što je podesan u mnogim fizičkim modelima.

Posmatrajmo, kao primjer, Kulonov zakon:

.

Ovdje,  je naprosto površina lopte poluprečnika r. U ovoj formi, ovo je pogodan način opisivanja inverzne kvadratne veze između sile i rastojanja r od tačkastog izvora. Naravno, bilo bi moguće da se ovaj zakon opiše na druge, ali manje zgodne — ili u nekim slučajevima zgodnije načine. Ako koristimo Plankovo naelektrisanje, Kulonov se zakon može opisati kao  čime se uklanja potreba za π.

 Spominjanja u fikciji 
 Contact (Kontakt) - naučno-fantastično djelo Carl Sagana, a kasnije filmska adaptacija sa Jodie Foster. Sagan razmatra mogućnost potpisa, koji su u decimalni razvoj broja π ugradili stvaraoci univerzuma.
 π (film) - O vezi između brojeva i prirode: otkrivanje takve veze a da niste numerolog.
 Time's Eye (Oko vremena) - Naučna fantastika Arthur C. Clarkea i Stephen Baxtera. U svijetu koji su prestrojile vanzemaljske sile, primjećuje se sferična naprava čiji je odnos obima i prečnika po svim ravnima - tačan cijeli broj 3.

 π kultura 
Postoji cijelo polje humorističkog, ali i ozbiljnog izučavanja koje uključuje korištenje mnemonika za lakše pamćenje cifara π i zove se pifilologija. Pogledajte Pi mnemonike za primjere na engleskom jeziku.

14. mart (3/14 u SAD) je Pi dan kojeg prosavlja veliki broj ljubitelja ovog broja. 22. jula, proslavlja se Dan aproksimacije broja pi (22/7 je popularna aproksimacija).

Štaviše, mnogi ljudi govore i o "pi satu" (3:14:15 je malo manje od pi sata; 3:08:30 bi bilo najbliže broju π sati poslije podneva ili ponoći u cijelim sekundama).

Još jedan primjer matematičkog humora je sljedeća aproksimacija π: Uzmite broj "1234", zamjenite mjesta prvim dvjema i posljednjim dvjema ciframa, tako da broj postaje "2143". Podjelite taj broj sa "dva-dva" (22, pa je 2143/22 = 97.40909...). Uzmite dvo-kvadratni korijen (četvrti korijen) od ovog broja. Konačan rezultat je izuzetno blizu π: 3.14159265.

 Također pogledajte 
 Grčko pismo
 Geometrija
 Matematika
 Spisak formula koje sadrže π

 Reference 

 Vanjski linkovi 
 Cifre 
 Tekst na "Project Gutenberg" koji sadrži milion cifara Pi 
 Arhiv broja Pi 

 Proračuni 
 Izračunavanje Pi: projekat otvorenog koda za izračunavanje Pi
 PiFast: brz program za računanje Pi sa velikim brojem cifara
 PiHeks projekat

 Opći 
 Historija broja Pi (engl.)
 Dokaz da je Pi iracionalan
 Pifakts - probijeni rekordi
 Formule za Pi
 PlanetMath: Pi 

 Mnemonici 
(Svi mnemonici su na engleskom jeziku.)
 Jedan od popularnijih mnemonika za pamćenje Pi
 ANTREAS P. HATZIPOLAKIS: Pifilologija. Mjesto sa stotinama primjera mnemonika za Pi
 Pamćenje Pi kroz poeziju

Kategorija:Pi
Kategorija:Matematičke konstante
Kategorija:Transcendentalni brojevi
Kategorija:Bezdimenzionalni brojevi