Pitagorina teorema

U matematici, Pitagorina teorema je fundamentalna relacija u euklidskoj geometriji između triju stranica pravouglog trougla. On tvrdi da je površina kvadrata čija je stranica hipotenuza (stranica nasuprot pravom uglu) jednaka zbiru površina kvadrata na druge dvije stranice. Teorema se može napisati kao jednačina koja povezuje dužine stranica a, b i hipotenuze c, ponekad nazvana Pitagorina jednačina:

a2 + b2 = c2.

Teorema je nazvan po grčkom filozofu Pitagori, rođenom oko 570. p. n. e. Teorema je dokazana mnogo puta različitim metodama - vjerovatno najviše od bilo koje matematičke teoreme. Dokazi su raznoliki, uključujući i geometrijske dokaze i algebarske dokaze, a neki datiraju hiljadama godina unazad. Kada se euklidski prostor predstavi kartezijanskim koordinatnim sistemom u analitičkoj geometriji, euklidska udaljenost zadovoljava pitagorinu relaciju: kvadrat udaljenosti između dvije tačke jednak je zbiru kvadrata razlike u svakoj koordinati između tačaka. Teorema se može generalizovati na različite načine: na prostore više dimenzija, na prostore koji nisu euklidski, na objekte koji nisu pravougli trouglovi i na objekte koji uopšte nisu trouglovi već n-dimenzionalna čvrsta tijela.

Pitagorina teorema glasi:

Ako je trougao pravougli, onda je zbir kvadrata nad katetama jednak kvadratu nad hipotenuzom.

Pravougli trougao je trougao s jednim pravim uglom (od 90 stepeni). Katete su dvije strane koje čine prav ugao, a hipotenuza je treća strana suprotna desnom uglu. Na slici ispod, a i b su katete pravouglog trougla, a c je hipotenuza:

 Historija 

Teorema je nazvana po Pitagori, starogrčkom filozofu i matematičaru iz 6. vijeka p. n. e, iako je bila poznata indijskim, grčkim, kineskim i babilonskim matematičarima puno prije nego što je on živio. Prvi poznati dokaz Pitagorine teoreme može se naći u Euklidovim Elementima.

Ako se, na primjer, prilikom gradnje hramova ili piramida trebao konstruisati pravi ugao, onda je to učinjeno pomoću "egipatskog trougla" - trougla čije su stranice dužine 3, 4 i 5. Također, stari narodi su znali konstruisati pravougli trougao sa stranicama dužina 6, 8 i 10;  9, 12 i 15; 12, 16 i 20, odnosno 15, 36 i 39. Na ovaj način je uvedena veza između figure i broja, tj. između geometrije i algebre.

 Dokazi 
Ovo je teorema koja može imati više poznatih dokaza nego bilo koja druga (pravilo kvadratne recipročnosti također je poznato po mnogim dokazima); knjiga Pythagorean Proposition, koju je napisala Elisha Scott Loomis, sadrži 367 dokaza.

Neki argumenti zasnovani na trigonometrijskim identitetima (kao što je Taylorov red za sinus i kosinus) predloženi su kao dokaz za teoremu. Međutim, pošto su svi temeljni trigonometrijski identiteti dokazani preko Pitagorine teoreme, u obzir se ne mogu uzimati trigonometrijski dokazi.

 Dokaz uz korištenje sličnih trouglova 
mini|desno|Dokaz uz korištenje sličnih trouglova

Kao i većina dokaza Pitagorine teoreme, ovaj je zasnovan na proporcionalnosti stranica dvaju sličnih trouglova.

Neka je ABC pravougli trougao, s pravim uglom u tački C, kao što je prikazano na slici. Visinu povlačimo iz tačke C, a tačku H nazivamo presjekom te visine sa stranicom AB. Novi trougao ACH sličan je našem početnom trouglu ABC jer oba imaju pravi ugao (po definiciji visine), te dijele ugao u tački A, što znači da će i treći ugao biti isti. Sličnim rezonovanjem, trougao CBH je, također, sličan s trouglom ABC. Sličnosti vode do dviju relacija:
Kako je

tako je

Ovo se može pisati kao

Sumiranjem ovih dviju jednakosti dobijamo

Drugim riječima, Pitagorina teorema:

Primjena teoreme na kvadrat
Znamo da je kvadrat četverougao sa svim jednakim stranicama, uglovima i dijagonalama.

Primjena teoreme na pravougaonik
Pravougaonik je paralelogram sa jednakim dijagonalama i pravim unutrašnjim uglovima. Kada se povuče jedna dijagonala, dobiju se dva pravougla trougla. Pitagorina teorema za trougao ABC:

Primjena teoreme na jednakostranični trougao
Jednakostranični trougao je trougao sa jednakim stranicama i uglovima. Iz Pitagorine teoreme za trougao dobija se visina trougla

Primjena teoreme na jednakokraki trougao
Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuče visina iz tjemena C, dobiju se dva pravougla trougla.

Primjena teoreme na romb
Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Dijagonale se sijeku pod uglom od :  i međusobno se polove.

 Također pogledajte 
 Pitagora
 Kvadratni korijen iz 2

 Reference 

 Izvori 


  On-line text at archive.org
 Reprinted, Dover Publications, 1981, .

 This high-school geometry text covers many of the topics in this WP article.
  Reprinted, 1968, National Council of Teachers of Mathematics, .






  Also .

 Vanjski linkovi 

 Nekoliko dokaza Pitagorine teoreme
 Dijkstra's generalization
 Babilonska ploča kao dokaz poznavanja teoreme


Kategorija:Ugao
Kategorija:Jednačine
Kategorija:Matematičke teoreme
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz
Kategorija:Geometrija euklidske ravni