ལུས། (རྩིས་རིག)

རྩིས་རིག་ ནང་། ལུས་ ནི་ བསྡོམས་རྩིས་ དང་། ཕབ་རྩིས ། བསྒྱུར་རྩིས ། བགོད་ རྩིས་བཅས་ ཀྱི་ ཆ་ཚན་ ཞིག་ཡིན། དེར་བརྟེན་ལུས་ནི་ཚབ་ རྩིས་རིག་པའི་གཞི་རྩའི་སྒྲིག་བཀོད་ ཅིག་ཡིན་ཞིང་། དེ་ནི་ ཚབ་རྩིས་རིག་པ་ དང་ ། ཨང་གྲངས་གྲུབ་མཐའ ། དེ་བཞིན་ཨང་རྩིས་རིག་པའི་ཁྱབ་ཁོངས་གཞན་མང་པོའི་ནང་ཁྱབ་ཆེར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

ཡོངས་གྲགས་ཆེ་ཤོས་ཀྱི་ལུས་ནི་ ཁུངས་ལྡན་ཨང་གྲངས་ ཀྱི་ལུས་དང་། ངོ་མའི་ཨང་གྲངས་ ཀྱི་ལུས་དང་། མགུ་རྙོག་ཨང་གྲངས་ ཀྱི་ལུས་བཅས་ཡིན། གཞན་པའི་ལུས་མང་པོ་ཞིག དཔེར་ན། རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ལས་འགན་གྱི་ལུས་ དང་། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ལས་འགན་གྱི་ལུས་ དང་ ། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཨང་གྲངས་ལུས་ དང་ <i id="mwKA">། p</i> -adic ལུས་ བཅས་རྩིས་རིག་ནང་སྤྱིར་བཏང་བེད་སྤྱོད་དང་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། གསང་ཡིག་ཡིག་ཆའི་སྒྲིག་གཞི་ མང་ཆེ་བ་ ཚད་ལྡན་གྱི་ལུས་ ལ་རག་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། དེ་ཡང་ཚད་ལྡན་གྱི་ ཆ་ཤས་ མང་པོ་ཡོད་པའི་ལུས་ལ་རག་སླེབས་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་ཀྱི་གྲུབ་མཐའ་དེས་ ཟུར་གསུམ་བགོས་ དང་ སྒོར་ཐིག་གྲུ་བཞི་ བཟོ་རྒྱུ་དེ་ ཕྱོགས་སྟོན་འཁོར་ལོ་དང་ཐད་ཀར་གྱི་མཐའ་མཚམས་ ལ་བརྟེན་ནས་བྱེད་མི་ཐུབ་པ་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། གྷ་ལོ་ཡི་གྲུབ་མཐའ་དེས་ ལུས་རྒྱ་བསྐྱེད་ ཀྱི་འདྲ་མཉམ་ཤེས་རྟོགས་བྱེད་པར་དམིགས་ནས་ ཨེ་བྷེལ་རུ་ཕི་ནི་གྲུབ་རྩིས་ ལ་སྤྱིར་བཏང་གི་ ཀིན་ཊིག་སྙོམ་རྩིས་ དེ་ རྡུལ་ཕྲན་ནང་ལ་ཐག་གཅོད་བྱེད་ མི་ཐུབ་པའི་བདེན་དཔང་མཛེས་པོ་ཞིག་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད།

ལུས་རྣམས་རྩིས་རིག་གི་ཁྱབ་ཁོངས་ཁ་ཤས་ནང་གཞི་རྩའི་ལྟ་བ་ལྟ་བུར་གྱུར་ཡོད། དེའི་ནང་ལ་ རྩིས་རིག་དབྱེ་ཞིབ་ཀྱི་ ཡན་ལག་མི་འདྲ་བ་ཚུད་ཡོད། དེ་དག་སྒྲིག་བཀོད་ཁ་སྣོན་ཡོད་པའི་ལུས་ལ་གཞི་བཅོལ་ཡོད། དབྱེ་ཞིབ་ཀྱི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་རྩིས་དེ་ཨང་གྲངས་ངོ་མའི་ལུས་ཀྱི་བཟོ་བཀོད་ཁྱད་ཆོས་ལ་རག་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་དགོས་དོན་ལ་གལ་ཆེ་ཤོས་ནི་ས་སྒོ་གང་རུང་ཞིག་ ཝེག་ཊོར་བར་སྟོང་ གི་ ཚད་གཞི་ ལྟར་བེད་སྤྱོད་གཏོང་ཐུབ། དེ་ནི་ རིམ་འགྲོས་ཚབ་རྩིས་རིག་ པའི་ཚད་གཞིའི་སྤྱིར་བཏང་གི་སྐབས་དོན་ཡིན། ཨང་གྲངས་ཀྱི་ལུས་དང་ ། རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ལུས་ཀྱི་སྤུན་མཆེད་ཡིན། དེ་ དག་ཨང་གྲངས་གྲུབ་མཐའ་ ནང་གཏིང་ཟབ་པོར་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ལས་འགན་ལུས་འདིས་ དབྱིབས་རྩིས་དངོས་པོའི་རྒྱུ་ཆ་འགྲེལ་བརྗོད་བྱེད་པར་ཕན་ཐོགས།

 མཚན་ཉིད 
ལུགས་མཐུན་མིན་པའི་ཐོག་ནས་ལུས་ཤིག་ནི་ཆ་ཚན་ཞིག་ཡིན། དེ་དང་མཉམ་དུ་ཆ་ཚན་དེའི་སྟེང་དུ་ བཀོལ་སྤྱོད་ གཉིས་ཡོད་དེ། བསྡོམས་རྩིས་བཀོལ་སྤྱོད་ a + b དང་བསྒྱུར་རྩིས་བཀོལ་སྤྱོད་ a ⋅ b གཉིས་ཀས་ རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཨང་གྲངས་ དང་ ཨང་གྲངས་ངོ་མའི་ སྤྱོད་ཚུལ་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། དེའི་ནང་དུ་ཆ་ཤས་ a རེ་རེའི་ཆེད་དུ་ བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས་ −a དང་ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་ཆ་ཤས་ b རེ་རེའི་ཆེད་དུ་ བསྒྱུར་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས་ b −1 ཡོད་པ་ཚུད་ཡོད། འདིས་ ལྡོག་ཕྱོགས་ཀྱི་བཀོལ་སྤྱོད་ ཟེར་བའི་ངེས་ཚིག་དང་། ཕབ་རྩིས་ a − b དང་བགོ་བཤའ་ a / b, a − b = a + (− b ) དང་ a / b = a ⋅ b −1 ལྟར་འགྲེལ་བརྗོད་བྱེད་ཐུབ། མང་ཆེ་བ་ཐོན་འབྲས་ a ⋅ b དེ་ ab ལྟར་མཉམ་གནས་ཀྱིས་མཚོན་པ་རེད།

 གནའ་བོའི་ངེས་ཚིག། 
ལུགས་མཐུན་གྱི་སྒོ་ནས་ལུས་ཤིག་ནི་ F ཡི་ཆ་ཚན་ ཞིག་ཡིན་ཞིང་། དེ་ལ་ F ཐོག་ལ་ བསྡོམས་རྩིས་ དང་ བསྒྱུར་རྩིས་ ཞེས་པའི་གཉིས་ ལྡན་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་ གཉིས་ཡོད། དེ་ཡང་ F F F → F ཡི་ས་ཁྲ་བཟོ་རྒྱུ་དེ་ F ཡི་ཆ་ཤས་ཆ་གཅིག་རེ་རེ་དང་འབྲེལ་བ་ཡོད་པའི་འབྲེལ་མཐུད་ཅིག་    a དང་ b བསྡོམས་པའི་གྲུབ་འབྲས་ལ་ a དང་ b a བསྡོམས་ རྩིས་ཟེར། དེ་དང་འདྲ་བར་ a དང་ b བསྒྱུར་བའི་གྲུབ་འབྲས་ལ་ a དང་ b ཡི་ཐོན་འབྲས་ཞེས་འབོད་ཅིང་ a ⋅ b ཞེས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། བཀོལ་སྤྱོད་འདི་དག་ གཤམ་གྱི་ཁྱད་ཆོས་ ལ་འདོད་བློ་ཁེངས་པར་དགོས།

འདིའི་གཏན་ཚིགས་རྣམས་ལུས་ F : ཡི་ ཆ་ཤས་ a, b, c ཚང་མར་འཛིན་དགོས།

 བསྡོམས་རྩིས་དང་བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ འབྲེལ་བ a + ( b + c ) = ( a + b ) + c, དང་ a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c .
 བསྡོམས་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ བརྗེ་སྒྱུར་ནུས་པ a + b = b + a, དང་ a ⋅ b = b ⋅ a .
 བསྡོམས་རྩིས་ དང་ བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ངོས་འཛིན ། F ནང་དུ་ཆ་ཤས་མི་འདྲ་བ་གཉིས་ཡོད་དེ 0 དང་ 1 དེ་དག་ a + 0 = a དང་ a ⋅ 1 = a ཡིན།
 བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་ ཕྱོགས། F ནང་དུ་ a རེ་རེའི་ཆེད་དུ་ F ནང་དུ་ −a ཞེས་པའི་ཆ་ཤས་ཤིག་ཡོད། དེ་ལ་ a ཡི་ བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས་ ཟེར། དེ་ལྟར་ a + (− a ) = 0 ཡིན །
 བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ཕྱིར་ལོག : F ནང་དུ་ a ≠ 0 རེ་རེའི་ཆེད་དུ་ F ནང་དུ་ a −1 ཡང་ན་ 1/a གིས་མཚོན་པའི་ཆ་ཤས་ཤིག་ཡོད a དེ་ ལ་ a ཡི་ བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ཕྱིར་ལོག་ ཟེར།
 བསྡོམས་རྩིས་ཐོག་བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ བགོ་འགྲེམས ། a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) .

འདྲ་མཉམ་དང་མདོར་བསྡུས་ཆེ་བའི་ངེས་ཚིག་ནི། ལུས་ལ་བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་གཉིས་ཡོད། དེ་ནི་བསྡོམས་རྩིས་འོག་ཏུ་ཡོད་པའི་ སྡེ་ཚན་ ཞིག་ཡིན་ཞིང་། བསྡོམས་རྩིས་ངོ་བོ་ནི་ 0 ཡིན། ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་ཆ་ཤས་དེ་ཚོས་སྒྱུར་རྩིས་འོག་ཏུ་སྡེ་ཚན་ཞིག་བསྐྲུན་པ་དང་ 1 བསྒྱུར་རྩིས་དེ་བསྡོམས་རྩིས་ཐོག་བགོ་འགྲེམས་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

དེ་ལས་ཀྱང་མདོར་བསྡུས་ན། ལུས་ནི་ བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་སྒོར་ཕྱེད་ ཅིག་ཡིན་ཞིང་། དེའི་ནང་ལ་ 0 ≠ 1 དང་ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་ཆ་ཤས་ཚང་མ་བསྒྱུར་རྩིས་འོག་ཏུ་ ཕྱིར་ལོག་ཐུབ །

 ངེས་ཚིག་གཞན་པ། 
ལུས་རྣམས་ཐབས་ལམ་མི་འདྲ་བ་དང་འདྲ་མཉམ་གྱི་ཐོག་ནས་ངེས་ཚིག་བརྗོད་ཐུབ། མི་ཞིག་གིས་གཉིས་ལྡན་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་བཞི་(སྡོམ་རྩིས་དང་། ཕབ་རྩིས། སྒྱུར་རྩིས། བགོད་རྩིས་)དང་དེ་དག་གི་དགོས་མཁོའི་རྒྱུ་ཆ་བརྒྱུད་ནས་ལུས་ཤིག་གསལ་བཤད་བྱེད་ཐུབ། ཀླད་ཀོར་གྱིས་བགོད་པ་དེ་ ངེས་ཚིག་ལྟར་ན་ཕྱིར་འཐེན་བྱས་ཡོད།  གནས་ལུགས་ཀྱི་ཚད་གཞི་གཏན་འབེབས་བྱེད་ 0 ལས་གཡོལ་ཆེད་དུ་ལུས་གཉིས་ལྡན་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་གཉིས་(བསྡོམས་རྩིས་དང་ སྒྱུར་ རྩིས་)དང་ 1 དེ་ནས་བཀོལ་སྤྱོད་འདི་དག་གོང་དུ་བཤད་པའི་ཆ་རྐྱེན་ལ་གཞི་བཅོལ་ཡོད། བཟོ་སྐྲུན་གྱི་རྩིས་རིག་ དང་ རྩིས་རྒྱག་ ནང་ལ་གནས་ལུགས་ཀྱི་ཚད་གཞི་སྤོང་རྒྱུ་དེ་གལ་ཆེན་པོ་རེད།  མི་གཅིག་གིས་ལུས་ཤིག་ལ་འདྲ་མཉམ་གྱི་སྒོ་ནས་གཉིས་ལྡན་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་གཉིས་དང་། གཉིས་ལྡན་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་གཅིག (བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ལྡོག་ཕྱོགས) དེ་བཞིན་(ངེས་པར་དུ་མི་འདྲ་བ་) རྟག་གྲངས་ 1 དང་ −1 གཉིས་ཀྱིས་ལུས་ཤིག་ལ་འདྲ་མཉམ་གྱིས་ངེས་ཚིག་བརྗོད་ཐུབ། རྒྱུ་མཚན་ནི་ 0 = 1 + (−1) དང་ −a = (−༡) a ཡིན ། [ ཅིག ]

 དཔེ། 

 ཁུངས་ལྡན་གྲངས། 

ཁུངས་ལྡན་གྱི་ཨང་གྲངས་དེ་ཚོ་ལུས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་འཕེལ་རྒྱས་མ་བྱུང་བའི་སྔོན་ནས་ཁྱབ་ཆེར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དེ་དག་ནི་ ཆ་ཤས་ a / b ལྟར་འབྲི་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ཡིན། དེའི་ནང་ a དང་ b ནི་ ཧྲིལ་གྲངས་ ཡིན། b ≠ 0 ཡིན ། དེ་ལྟ་བུའི་ཆ་ཤས་ཤིག་གི་བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་གྲངས་ནི་ −a / b ཡིན་ལ། བསྒྱུར་རྩིས་ལྡོག་གྲངས་( a ≠ 0 ཡིན་ན་)ནི་ b / a ཡིན་པས་གཤམ་གསལ་ལྟར་མཐོང་ཐུབ།



བཅུད་དོན་དགོས་མཁོའི་ལུས་ཀྱི་གཏན་ཚིགས་དེ་ཚོ་ཁུངས་ལྡན་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཚད་གཞིའི་ཁྱད་ཆོས་ལ་མར་ཕབ་བྱེད། དཔེར་ན་བགོ་འགྲེམས་ཀྱི་ཁྲིམས་དེ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཁུངས་སྐྱེལ་ཐུབ་པ་ 



 དངོས་གྲངས་དང་རྙོག་འཛིན། 

ཨང་གྲངས་ངོ་མ་ R, སྤྱིར་བཏང་གི་སྡོམ་རྩིས་དང་བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་བཀོལ་སྤྱོད་དང་མཉམ་དུ་ལུས་ཤིག་གྲུབ་ཡོད། རྙོག་འཛིང་གི་གྲངས་ཀ་ C ནི་བརྗོད་ཚུལ་ལས་གྲུབ་ཡོད།

 a + bi, with a, b real,

གང་དུ་ i ནི་ འཆར་ཡན་གྱི་ཚད་གཞི་ ཡིན། དེ་ཡང་ i 2 = −1 ལ་འདོད་བློ་ཁེངས་པའི་(དངོས་ཡོད་མིན་པའི་)ཨང་གྲངས་ཤིག་རེད། གྲངས་ཀ་ངོ་མའི་བསྡོམས་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་དེ་རིགས་འདིའི་བརྡ་སྟོན་གྱིས་ལུས་ཀྱི་གཏན་ཚིགས་ཚང་མ་འདོད་བློ་ཁེངས་པར་བྱས་ནས་ C ལ་འཛིན་ཐུབ་པའི་རྣམ་པ་ཅན་དུ་ངེས་ཚིག་བཀོད་ཡོད། དཔེར་ན་བགོ་འགྲེམས་ཁྲིམས་ལུགས་ལག་བསྟར་བྱེད་པ།

 (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i.

འདི་ནི་གོང་འཁོད་ཀྱི་རིགས་ཀྱི་གསལ་བརྗོད་ཅིག་ཡིན་པ་དེ་འཕྲལ་མར་ཡིན་པས་མགོ་རྙོག་ཅན་གྱི་ཨང་གྲངས་དེ་ཚོས་ལུས་ཤིག་གྲུབ་ཡོད། མགུ་རྙོག་ཅན་གྱི་ཨང་གྲངས་རྣམས་དབྱིབས་རྩིས་ཐོག་ནས་ ཁོད་སྙོམས་ ནང་དུ་ས་ཚིགས་ལྟར་མཚོན་ཐུབ། དེའི་འགྲེལ་བརྗོད་བྱེད་པའི་བརྡ་སྟོན་གྱི་ཨང་གྲངས་ངོ་མའི་ཐོག་ནས་ ཀར་ཊི་སི་ ཡན་གྱི་སྦྲེལ་མཐུད་སྤྲོད་ཐུབ། དེ་ནས་བསྡོམས་རྩིས་བྱེད་པ་དེ་མདའ་དེ་ཚོ་མངོན་སུམ་གྱི་མཉམ་འགྲོ་རི་མོ་ལ་བསྡོམས་པ་(ཀར་ཊི་སི་ཡན་གྱི་མཐུད་མཚམས་བསྣན་པ་)དང་། དངོས་ཡོད་དང་རྙོག་འཛིང་གི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁྱབ་ཁོངས་དེ་ཨང་རྩིས་རིག་པ་དང་དངོས་ཁམས་རིག་པ་དང་བཟོ་སྐྲུན་རིག་པ་དང་རྩིས་དཔྱད་རིག་པ་སོགས་ཚན་རིག་གི་རིག་ཚན་མང་པོའི་ནང་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།

 བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས། 

སྔོན་ཆད་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་དཀའ་ངལ་འགའ་ཤས་ ཕྱོགས་སྟོན་འཁོར་ལོ་དང་ཐད་ཀར་གྱི་མཐའ་མཚམས་ བཀོལ་ནས་ཨང་གྲངས་འགའ་ཤས་བཟོ་ཐུབ་མིན་ལ་འབྲེལ་བ་ཡོད། དཔེར་ན། གྷི་རིག་གི་མི་ཚོས་སྤྱིར་བཏང་དུ་ཟུར་གཅིག་ལ་འདི་ལྟར་གསུམ་བགོས་བྱེད་ཐུབ་ཀྱི་མེད་པ་ཤེས་ཀྱི་མེད། དཀའ་ངལ་འདི་དག་ བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ ཀྱི་ལུས་བཀོལ་ནས་ཐག་གཅོད་བྱེད་ཐུབ། བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ངོ་མ་དེ་ཚོ་ནི་ངེས་ཚིག་ ལྟར་ ན་ཐིག་ཆ་ཤས་ཀྱི་ རིང་ཚད་  བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ལ་ཚད་བཀག་བྱས་པའི་ཨང་གྲངས་ངོ་མའི་ལུས་བཀོལ་སྤྱོད་དང་ལྡན་པའི་ཨང་གྲངས་འདི་དག་གིས་ལུས་ཤིག་གྲུབ་ཡོད། དེའི་ནང་དུ་ཁུངས་ལྡན་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ལུས་ Q ཡང་ཚུད་ཡོད། དཔེ་རིས་འདིས་བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ གྲུ་བཞིའ ི་རྩ་བའི་བཟོ་བཀོད་སྟོན་གྱི་ཡོད Q དཔེ་རིས་ནང་དུ་ཡོད་པའི་མཚོན་རྟགས་བཀོལ་ནས་ཆ་ཤས་ AB དང་ BD དེ་བཞིན་ AD སྟེང་དུ་ སྒོར་ཐིག་ཕྱེད་ཀ་ བཟོས། ( དཀྱིལ་གྱི་ ས་ཚིགས་ C ) དེས་ས་ཚིགས་ F ནང་ B བརྒྱུད་ནས་ ཀེར་ཐིག་ ཐིག་བརྒལ་བ་དང་།  BD རིང་ཚད་གཅིག་ཡོད་པའི་སྐབས་ B ནས

དངོས་ཡོད་ཨང་གྲངས་ཚང་མ་བཟོ་ཐུབ་པ་མ་རེད། སྟོན་ཐུབ་པ་ནི།  དེ་ནི་བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ཤིག་མ་རེད། དེས་ཕྱོགས་སྟོན་ འཁོར་ལོའི་ཕྱོགས་ཀྱི་རིང་ཚད་དེ་ཚད་གཞི་2ཡོད་ པའི་ཕྱོགས་སྟོན་དང་ཐད་ཀར་བཟོ་ཐུབ་ཀྱི་མེད་པ་བསྟན་ཡོད། དེ་ནི་སྔོན་གྱི་གྷི་རི་སིའི་དཀའ་ངལ་གཞན་ཞིག་ཡིན།

 འབྱུང་བ་བཞི་ཡོད་པའི་ཐང་ཞིག 
+ མཐོལ་པ བསྒྱུར་ཐབས། + O I A B O   A B I   B A A A B O I B B A I O  ⋅ . O I A B O   O O I   A B A O A B I B O B I A
རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཨང་གྲངས་མ་ལག་ལྟ་བུའི་གོམས་གཤིས་ཅན་གྱི་ཨང་གྲངས་མ་ལག་གཞན་དག་ལ་ལུས་ཀྱི་དཔེ་མཚོན་གཞན་ཡང་ཡོད། གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་འདི་ O, I, A, དང་ B ཞེས་པའི་འབྱུང་བ་བཞི་ལས་གྲུབ་པའི་ལུས་ཤིག་རེད། མཚོན་རྟགས་དེ་འདེམས་སྒྲུག་བྱས་པ་ལྟར་ན་ O བསྡོམས་རྩིས་ངོ་བོའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་འགན་འཁུར་དགོས། (གོང་དུ་བསྟན་པའི་གཏན་ཚིགས་ནང་ 0 བསྟན་ཡོད།) I ནི་བསྒྱུར་རྩིས་ངོ་བོ་ཡིན། (གོང་དུ་བསྟན་པའི་གཏན་ཚིགས་ནང་ 1 བསྟན་ཡོད།) ལུས་ཀྱི་གཏན་ཚིགས་དེ་ལུས་ཀྱི་གྲུབ་མཐའ་ཁ་ཤས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པའམ་ཡང་ན་ཐད་ཀར་རྩིས་རྒྱག་ཐོག་ནས་བདེན་དཔང་བྱེད་ཐུབ། དཔེར་ན,

 A ⋅ (B + A) = A ⋅ I = A, which equals , as required by the distributivity.

ས་སྒོ་འདི་ལ་ཆ་ཤས་བཞི་ཡོད་པའི་ ཚད་ལྡན་ས་སྒོ་ ཡང་ན་ གྷ་ལོ་ས་ས་སྒོ་ ཞེས་འབོད་པ་དང་། དེ་ལ་ F 4 ཡང་ན་ GF(4) ཞེས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། གཡས་ཕྱོགས་ཀྱི་ཐིག་ཁྲམ་ནང་དམར་པོའི་ཐོག་ནས་མངོན་པའི་ O དང་ I ལས་གྲུབ་པའི་ ཆ་ཚན་ཆུང་བ་ དེ་ཡང་ལུས་ཤིག་ཡིན་  དེ་ ལ་གཉིས་ལྡན་གྱི་ལུས་ F 2 ཡང་ན་ GF(2) ཞེས་འབོད་ཀྱི་ཡོད།

 གཞི་རྩའི་བསམ་ཚུལ། 
ལེའུ་འདིའི་ནང་ F ཡིས་གང་འདོད་ཀྱི་ལུས་མཚོན་པ་དང་། a དང་ b ནི་ F ཡི་གང་འདོད་ཀྱི་ ཆ་ཤས་ ཡིན།

 ངེས་ཚིག་གི་མཇུག་འབྲས། 
གཅིག་ a ⋅ ༠ = ༠ དང་ −a = (−༡) ⋅ a ཡོད། ལྷག་པར་དུ་མི་ཞིག་གིས་ −1 ཤེས་མ་ཐག་ཆ་ཤས་རེ་རེའི་བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས་དེ་བསམ་གཞིག་བྱེད་ཐུབ། 

གལ་ཏེ་ ab = 0 ཡིན་ན་ a ཡང་ན་ b ནི་ 0 ཡིན་དགོས། གལ་ཏེ་ a ≠ 0 ཡིན་ན། དེ་ནས་ b = ( a −1 a ) b = a −1 ( ab ) = a −1 ⋅ 0 = 0 ཡིན ། འདིས་ལུས་ཚང་མ་ ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་ ཞིག་ཡིན་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད།

དེ་མིན་གཤམ་གྱི་ཁྱད་ཆོས་འདི་དག་ཆ་ཤས་གང་རུང་ a དང་ b ལ་བདེན་པ་ཡིན།

 −0 = 0
 1−1 = 1
 −(−a) = a
 (a−1)−1 = a if a ≠ 0
 (−a) ⋅ b = a ⋅ (−b) = −(a ⋅ b)

 ལུས་ཤིག་གི་བསྡོམས་རྩིས་དང་བསྒྱུར་གྲངས་ཀྱི་སྡེ་ཚན། 
ལུས་ F ཡི་གཏན་ཚིགས་དེས་དེ་བསྡོམས་རྩིས་འོག་ཏུ་ཡོད་པའི་ ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་སྡེ་ཚན་ ཞིག་ཡིན་པ་བསྟན་ཡོད། སྡེ་ཚན་འདི་ལ་ས་སྒོའི་ བསྡོམས་རྩིས་སྡེ་ཚན་ ཟེར། སྐབས་རེ་ (F, +) གིས་མཚོན་པའི་སྐབས་ལ་ F མགོ་རྙོག་པོ་ཆགས་སྲིད་པ་རེད།

དེ་དང་འདྲ་བར་ F ཡི་ ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་ ཆ་ཤས་དེ་དག་གིས་སྒྱུར་རྩིས་འོག་ཏུ་ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་སྡེ་ཚན་ཞིག་གྲུབ་པ་དེ་ལ་ སྒྱུར་རྩིས་སྡེ་ཚན་ ཟེར།  ཡང་ན་ད་ལྟ། , ཡང་ན་ F × .

དེ་ལྟར་ལུས་ཤིག་ནི་བསྡོམས་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་ལྟར་བཀོལ་སྤྱོད་གཉིས་ཡོད་པའི་ཆ་ཚན་ F ཡིན་པར་ངེས་ཚིག་འགྲེལ་ཆོག དཔེར་ན་ F ནི་བསྡོམས་རྩིས་འོག་ཏུ་ཡོད་པའི་ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་སྡེ་ཚན་ཞིག་ཡིན།  སྒྱུར་རྩིས་འོག་ཏུ་ ཡོད་ པའི་ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་སྡེ་ཚན་ཞིག་ཡིན། དེར་བརྟེན་ སྡེ་ཚན་ གྱི་སྤྱིར་བཏང་གི་གནས་ཚུལ་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་པ་བརྒྱུད་ནས་ལུས་སྐོར་གྱི་གཞི་རྩའི་བརྗོད་གཞི་འགའ་ཤས་ཐོབ་ [ ། དཔེར་ན། བསྡོམས་རྩིས་དང་བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ཕྱིར་ལོག་ −a དང་ a −1 ནི་ a གིས་ཐུན་མོང་མ་ཡིན་པར་གཏན་འབེབས་བྱེད།

དགོས་མཁོ་ 1 ≠ 0 དེ་ཆ་ཤས་གཅིག་ལས་གྲུབ་པའི་ ཆུང་ཆུང་གི་སྒོར་ཕྱེད་ དེ་ཕྱིར་འཐེན་བྱེད་པའི་ཆེད་དུ་སྒྲིག་གཞིའི་ཐོག་ནས་བཀོད་ཡོད། དོན་དངོས་ཐོག་ཆུང་ཆུང་གི་སྒོར་ཐིག་གི་ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་ཆ་ཤས་(དེ་དག་མེད་པ་)དེ་ཚོས་སྡེ་ཚན་བཟོ་མི་ཐུབ། རྒྱུ་མཚན་ནི་སྡེ་ཚན་གཅིག་ལ་ཉུང་མཐར་ཡང་ཆ་ཤས་གཅིག་དགོས་པ་རེད། [ ག ] .

ལུས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་སྡེ་ཚན་གྱི་ཚད་ལྡན་ སྡེ་ཚན་ ཆུང་བ་རེ་རེ་ འཁོར་རིམ་ཅན་ ཡིན Root of unity § འཁོར་རིམ་སྡེ་ཚན ། ).

 ཁྱད་ཆོས། 
F ཡི་ཆ་ཤས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་རྩིས་ལ་མ་ཟད། F ཡི་གང་འདོད་ཆ་ཤས་ a ཐོན་འབྲས་ n ⋅ a དེ་ n - n ཀྱི་ བསྡོམས་ རྩིས་ཡིན་པར་ངེས་ཚིག་བཀོད་ཐུབ།

 a + a + ... + a (which is an element of F.)

གལ་ཏེ་ངེས་གཏན་གྱི་ཧྲིལ་གྲངས་མེད་ན།

 n ⋅ 1 = 0,

དེ་ནས་ F ལ་ ཁྱད་ཆོས་ 0 ཡོད་ཅེས་བཤད།  དཔེར་ན་ ཁུངས་ལྡན་ཨང་གྲངས་ Q n ལུས་ལ་ཁྱད་ཆོས་ 0 ཡོད། གལ་ཏེ་སྙོམ་རྩིས་འདི་ལ་འདོད་བློ་ཁེངས་པའི་ཧྲིལ་གྲངས་ n ཡོད་ན ། དེ་ལྟ་བུའི་ཧྲིལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་དེ་ ཨང་གྲངས་གཙོ་བོ་ཞིག་ ཡིན་པ་སྟོན་ཐུབ། དེ་ནི་སྤྱིར་བཏང་ p གིས་མཚོན་པ་དང་། དེ་ནས་ལུས་དེ་ལ་ཁྱད་ཆོས་ p ཡོད་ཅེས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། ལུས་ F 4 ལ་ཁྱད་ཆོས་ 2 ཡོད། རྒྱུ་མཚན་ནི་ (གོང་དུ་བསྡོམས་རྩིས་ཐིག་ཁྲམ་གྱི་མཚོན་རྟགས་ནང་) I + I = O .

གལ་ཏེ་ F ཁྱད་ཆོས་ p ཡོད་ན། F ནང་ཡོད་པའི་ a ཚང་མའི་ཆེད་དུ་ p ⋅ a = 0 ཡིན ། འདིས་མཚོན་དོན་ནི།

 (a + b)p = ap + bp,

གང་ཡིན་ཟེར་ན། གཉིས་ལྡན་གྱི་ཐབས་གཞིའི་ ནང་དུ་མངོན་པའི་ གཉིས་ལྡན་གྱི་ཚད་གཞི་ གཞན་ཚང་མ་ p གིས་བགོད་ཐུབ། འདིར། a p := a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ( p ཆ་རྐྱེན་) ནི་ p th ཤུགས་ཡིན། དེ་ཡང་ ཆ་ཤས་ a ཡི་ p -fold ཐོན་འབྲས་ཡིན། དེར་བརྟེན། Frobenius ས་ཁྲ།

 F → F : x ↦ xp

ནི་ F ནང་དུ་བསྡོམས་རྩིས་དང་མཐུན་པོ་ཡོད། (དེ་བཞིན་སྒྱུར་རྩིས་དང་ཡང་།) དེར་བརྟེན་ལུས་ཀྱི་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། དེ་ཡང་ ཁྱད་ཆོས་ p ནང་དུ་ཡོད་པའི་ལུས་དེ་ཁྱད་ཆོས་ 0 ཡི་ལུས་ལས་ཧ་ཅང་མི་འདྲ་བ་བཟོ་གི་ 

 ཡན་ལག་ཡིག་དུམ་དང་གཞི་གྲངས་ཡིག་དུམ། 
ལུས་ F ཡི་ ལུས་ཆུང་བ་ E ནི་ F ཡི་ལུས་བཀོལ་སྤྱོད་ལ་གཞིགས་པའི་ལུས་ཆུང་བ་ཞིག་ཡིན F འདྲ་མཉམ་གྱི་ E ནི་ F ཡི་ཆ་ཚན་ཆུང་བ་ཞིག་ཡིན་ཞིང་། དེའི་ནང་ 1 ཡོད། དེ་ཡང་ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་བསྡོམས་རྩིས་དང་། སྒྱུར་རྩིས། བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས། དེའི་དོན་ནི་ 1 ∊ E, དེ་ཡང་ a, b ∊ E ཚང་མའི་ཆེད་དུ་ a + b དང་ a ⋅ b གཉིས་ཀ་ E ནང་དུ་ཡོད། དེ་བཞིན་ E ནང་ a ≠ 0 ཚང་མའི་ཆེད་དུ་ −a དང་ 1/a གཉིས་ཀ་ E ནང་དུ་ཡོད།

ལུས་ཀྱི་འདྲ་མཚུངས་ནི་ ལུས་གཉིས་ཀྱི་བར་གྱི་ས་ཁྲ་ φ : E → F ཡིན། དཔེར་ན་ φ ( e 1 + e 2 ) = φ ( e 1 ) φ φ ( e 2 ) དང་ ། φ ( e 2 ) དང་ φ (1 E ) = 1 F, དེའི་ནང་ e 1 དང་ e 2 ནི་ E ཡི་གང་འདོད་ཀྱི་ཆ་ཤས་ཡིན། ལུས་ཀྱི་འདྲ་མཚུངས་རྣམ་པ་ཚང་མ་ བཙུགས་ཐབས་ ཡིན།  གལ་ཏེ་ φ ཡང་ surjective ཡིན་ན་དེ་ལ་ isomorphism ཟེར། (ཡང་ན་ལུས་ E དང་ F ལ་ isomorphism ཟེར།)

གལ་ཏེ་ས་སྒོ་ཞིག་ལ་འོས་འཚམ་གྱི་(དཔེར་ན་དམ་པོར་ཆུང་བ་)ས་སྒོ་ཆུང་བ་མེད་ན་དེ་ལ་ གཙོ་བོའི་ས་སྒོ་ ཟེར། ཡིག་དུམ་ F གང་རུང་ཞིག་ལ་གཞི་གྲངས་ཡིག་དུམ་ཡོད། གལ་ཏེ་ F ཡི་ ཁྱད་ཆོས་ ནི་ p (ཨང་གྲངས་གཙོ་བོ་ཞིག) ཡིན་ན་གཞི་རིམ་གྱི་ལུས་དེ་གཤམ་དུ་ངོ་སྤྲོད་བྱས་པའི་ཚད་ལྡན་གྱི་ལུས་ F p དང་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། དེ་མིན་ན་གཞི་རྩའི་ལུས་དེ་ Q དང་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། 

 ཚད་ལྡན་གྱི་ལུས། 

ཚད་ལྡན་གྱི་ལུས་ ( Galois fields ཡང་ཟེར) ནི་ཚད་ལྡན་གྱི་ཆ་ཤས་མང་པོ་ཡོད་པའི་ལུས་ཡིན། གོང་གི་ངོ་སྤྲོད་དཔེ་མཚོན་ F 4 ནི་འབྱུང་བ་བཞི་ཡོད་པའི་ལུས་ཤིག་ཡིན། དེའི་ཡན་ལག་ལུས་ F 2 ནི་ལུས་ཆུང་ཤོས་ཡིན། རྒྱུ་མཚན་ནི་ངེས་ཚིག་ལྟར་ན་ལུས་ལ་ཉུང་མཐར་ཡང་ཆ་ཤས་མི་འདྲ་བ་གཉིས་ཡོད་དེ། 0 དང་ 1 །
གཞི་རྩའི་གོ་རིམ་ཡོད་པའི་ཚད་ལྡན་གྱི་ལུས་འཇམ་ཤོས་དེ་ཚོ་ ཚད་གཞིའི་ཨང་རྩིས་ བཀོལ་སྤྱོད་ཀྱིས་ཐད་ཀར་འཛུལ་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། གཏན་འཁེལ་གྱི་ངེས་གཏན་གྱི་ཧྲིལ་གྲངས་ n ལ་ཨང་རྩིས་ "modulo n " ནི་ཨང་གྲངས་དང་མཉམ་དུ་ལས་ཀ་བྱེད་པ་དེ་རེད།

 Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.

ཆ་ཚན་འདིའི་སྟེང་གི་བསྡོམས་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་ནི་ཧྲིལ་གྲངས་ཆ་ཚན་ Z ནང་དུ་དོགས་པ་ཡོད་པའི་བཀོལ་སྤྱོད་དེ་སྒྲུབ་ནས་ n ལ་བགོད་ནས་ལྷག་མ་དེ་གྲུབ་འབྲས་ལྟར་ལེན་དགོས། གལ་ཏེ་ n ནི་ ཨང་གྲངས་གཙོ་བོ་ ཞིག་ཡིན་ན། བཟོ་བཀོད་འདིས་ལུས་ཤིག་ཐོན་གྱི་ཡོད། དཔེར་ན། གོང་དུ་བརྗོད་པའི་ལུས་ F 2 ནང་དུ་ཨང་གྲངས་གཙོ་བོ་ n = 2 བླངས་ན། n = 4 དང་སྤྱིར་བཏང་དུ་ བསྡོམས་རྩིས་ཨང་གྲངས་ གང་རུང་ཞིག་ལ། (དཔེར་ན། ཨང་གྲངས་ n དེ་རང་བྱུང་ཨང་གྲངས་ཆུང་བ་གཉིས་ཀྱི་ཐོན་འབྲས་ n r r n s ལྟར་ བརྗོད་ཐུབ ། Z Z / Z Z ནི་ Z མིན ། ཞིང་ཁ། དེ་ལྟར་བཟོས་པའི་ p ཆ་ཤས་ཡོད་པའི་ལུས་ Z / p Z དེ་( p ནི་གཙོ་བོ་ཡིན།) སྤྱིར་བཏང་དུ་ F p གིས་མཚོན་གྱི་ཡོད།

ཚད་ལྡན་གྱི་ལུས་ F རེ་རེ་ལ་ q = p n ཆ་ཤས་ཡོད། དེའི་ནང་ p ནི་གཙོ་བོ་དང་ n ≥ 1 ཡིན། བརྗོད་ཚིག་འདི་ F དེའི་གཙོ་བོའི་ལུས་སྟེང་དུ་ བེག་ཊོར་གྱི་བར་སྟོང་ ཞིག་ཏུ་བལྟ་སྲིད་པས་དེ་ལྟར་ཡིན། བརྡ་རྟགས་བར་སྟོང་འདིའི་ རྒྱ་ཁྱོན་ དེ་ངེས་པར་དུ་ཚད་གཞི་ཅན་ཡིན། དཔེར་ན n, དེས་གཏན་འཁེལ་བྱས་པའི་བརྗོད་ཚིག་དེ་བསྟན་ཡོད། 

q = p n ཆ་ཤས་ཡོད་པའི་ལུས་ཤིག་ ཚད་མང་གྲངས་ ཀྱི་ ཁ་ཕྱེ་ལུས་ ལྟར་བཟོ་ཐུབ།

 f(x) = xq − x.

དེ་ལྟ་བུའི་ཁ་ཕྱེ་སའི་ལུས་ནི་ F p ཡི་རྒྱ་བསྐྱེད་ཅིག་ཡིན་ཞིང་། དེའི་ནང་དུ་མང་གྲངས་ f q ཀླད་ཀོར་ཡོད། འདིའི་དོན་ནི་ f ཚད་གཞི་ དེ་ f ཡིན་པས་གང་མགྱོགས་ཀླད་ཀོར་མང་པོ་ཡོད q q = 2 2 = 4 ལ་གོང་འཁོད་ཀྱི་བསྒྱུར་རྩིས་ཐིག་ཁྲམ་བཀོལ་ནས་གནས་ཚུལ་རེ་རེ་བཞིན་བརྟག་དཔྱད་བྱེད་ཐུབ། F 4 ཡི་ཆ་ཤས་བཞི་པོ་དེ་དག་གིས་སྙོམ་རྩིས་ x 4 = x ལ་ཚང་ཡོད f དེ་དང་ཕྱོགས་མཚུངས་ F 2 ནང་ f ཀླད་ཀོར་གཉིས་ལས་མེད་ (དེ་ཡང་ 0 དང་ 1 ) དེར་བརྟེན་ f ལུས་ཆུང་བ་འདིའི་ནང་རིམ་པ་ཅན་གྱི་ཆ་རྐྱེན་ལ་ཁ་ཕྱེ་མི་ཐུབ། གཞི་རྩའི་ལུས་གྲུབ་མཐའི་བསམ་ཚུལ་ལ་ཞིབ་ཕྲ་བཤད་ན། གོ་རིམ་གཅིག་པའི་ཚད་ལྡན་གྱི་ལུས་གཉིས་དེ་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པ་སྟོན་ཐུབ། དེ་ལྟར་ན་ q ཆ་ཤས་ཡོད་པའི་ཚད་ལྡན་གྱི་ ལུས་ སྐོར་ལ་སྐད་ཆ་བཤད་རྒྱུའི་ལུགས་སྲོལ་ཡོད  ཡང་ F q ཡང་ན་ GF(q ) གིས་མཚོན་པ་རེད།

ལོ་རྒྱུས་ལྟར་ན་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་རིག་ཚན་གསུམ་གྱིས་ལུས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་ལ་སྣེ་ཁྲིད་བྱས། དེ་དག་ནི་ཚད་མང་སྙོམ་རྩིས་ཐག་གཅོད་བྱེད་པའི་དྲི་བ་དང་ ། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཨང་གྲངས་གྲུབ་མཐའ། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་དབྱིབས་རྩིས་ བཅས་ཡིན། ༡༧༧༠ ལོར་ ཇོ་སེབ་ལུའུ་ཡི་ལག་རེནཇ་ ཡིས་ལུས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་ལ་གོམ་པ་ཐོག་མ་སྤོས་པ་  ཁོང་གིས་བརྡ་སྟོན་ནང་དུ་ ཁུ་བིཀ་མང་གྲངས་ ཀྱི་ཀླད་ཀོར་ x ༡, x ༢, x ༣ བརྗེ་སྒྱུར་བྱེད་པ་དེ་བརྟག་དཔྱད་བྱས།

 (x1 + ωx2 + ω2x3)3

( ω ནི་ མཐུན་སྒྲིལ་གྱི་རྩ་བ་ གསུམ་པ་ཡིན་པས་) གིས་རིན་ཐང་གཉིས་ལས་མེད། དེ་ལྟར་བྱས་ན་ལག་རེང་གིས་ སི་ཀི་པི་ཡོན་ཌེལ་ཕེ་རོ་ དང་ ཕྲན་ཀོ་སི་ཝི་ཊི་ x ཀྱི་ x སྲོལ་གྱི་ཐབས་ཤེས་ཐབས་ལམ་དེ་བསམ་གཞིག་གི་ཐོག་ནས་འགྲེལ་བཤད་བརྒྱབ་ཡོད། མཐའ་མར་ས་ཁུལ་གྱི་བསམ་གཞིག་དང་སྡེ་ཚན་གྱི་བསམ་གཞིག་ལ་གྱུར་བའི་ལག་རེན་ཇི་ཡིས་ རིམ་པ་༤པའི་སྙོམ་རྩིས་ ལ་དོ་སྣང་འདྲ་མཚུངས་བྱས་པ་དང་མཉམ་དུ་འབྲེལ་བ་   ཝན་ཌར་མོན་ཌི་ཡིས་ ཀྱང་༡༧༧༠ལོར་དང་། དེ་བཞིན་ ཁཱར་ལི་ཕི་རི་ཌི་རིཆ་གྷོ་སི་ (Carl Friedrich Gauss)ཡིས་ཁོང་གི་ རྩིས་རིག་གི་གྲོས་བསྡུར་ ནང་(༡༨༠༡)སྙོམ་རྩིས་དེ་ཞིབ་འཇུག་བྱས།

 x p = 1

p གཙོ་བོ་ཞིག་དང་། དེང་རབས་ཀྱི་སྐད་ཡིག་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་ནས་ཐོན་པའི་འཁོར་རིམ་གྱི་ གྷ་ལོ་ཝ་སྡེ་ཚན་ དེ་ཡིན། གལ་ཏེ་ p = 2 2 k + 1 ཡིན་ p ། ལག་རེནཇ་ཡི་ལས་ཀའི་ཐོག་ལ་གཞི་བཅོལ་ནས་ པའོ་ལོ་རུ་ཕི་ནི་ཡིས་ (༡༧༩༩) ཀིན་ཊིག་སྙོམ་རྩིས་ (ཚད་གཞི་ 5 པའི་ཚད་མང་སྙོམ་རྩིས་)དེ་ཚབ་རྩིས་ཐོག་ནས་ཐག་གཅོད་བྱེད་མི་ཐུབ་ཅེས་བརྗོད་ཡོད། ཡིན་ནའང་ཁོང་གི་རྩོད་པ་དེ་ནོར་འཁྲུལ་ཅན་རེད། ༡༨༢༤ ལོར་ ནིལ་ཧེན་རི་ཀ་ཨེ་བྷེལ་ གྱིས་སྟོང་ཆ་དེ་དག་བཀང་ཡོད  ལོར་ ཨེ་ཝ་རི་སི་ཊི་གྷ་ལོ་ཡིས་ ཚད་མང་སྙོམ་རྩིས་དེ་ཚབ་རྩིས་ཐོག་ནས་ཐག་གཅོད་བྱེད་ཐུབ་པའི་ཆེད་དུ་དགོས་ངེས་དང་ལྡང་བའི་ཚད་གཞི་བཏོན་ནས་དེང་ སང་གྷ་ལོ་ཡི་གྲུབ་མཐའ་ ཞེས་འབོད་པ་དེ་དངོས་སུ་བཙུགས་ཡོད། ཨེ་བྷེལ་དང་གྷ་ལོ་ཝ་གཉིས་ཀས་དེང་སང་ ཨལ་ཇེབ་བྲའི་ཨང་གྲངས་ལུས་ ཞེས་པ་དེ་དང་མཉམ་དུ་ལས་ཀ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། འོན་ཀྱང་ཁོང་ཚོས་ལུས་དང་སྡེ་ཚན་གྱི་བསམ་ཚུལ་གསལ་པོ་ཞིག་བསམ་གཞིག་མ་བྱས།

༡༨༧༡ལོར་ རི་ཅར་ཌི་ཌི་ཌི་ཀིན་ཌི་ཡིས་ ཨང་རྩིས་བཀོལ་སྤྱོད་བཞིའི་འོག་ཁ་བརྒྱབ་པའི་ཨང་གྲངས་དངོས་པོའམ་ཡང་ན་མགོ་རྙོག་ཅན་གྱི་ཆ་ཚན་ཞིག་གི་ཆེད་དུ་འཇར་ མན་གྱི་ ཚིག་ Körper ཞེས་པ་དེ་ངོ་སྤྲོད་བྱས། དབྱིན་ཡིག་གི་ཐ་སྙད་"field"ཞེས་པ་དེ་ Moore (1893) ཡིས་ངོ་སྤྲོད་བྱས། 

༡༨༨༡ལོར་ ལིའོ་པོལཌ་ཀྲོ་ནེ་ཁར་ གྱིས་ཁོང་གིས་ རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཁྱབ་ཁོངས་ ཞེས་འགྲེལ་བརྗོད་བྱས། དེ་ནི་དེང་རབས་ཀྱི་ཐ་སྙད་ནང་ རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཆ་ཤས་ ཀྱི་ཁྱབ་ཁོངས་ཤིག་རེད། ཀྲོ་ནེ་ཀར་གྱི་བསམ་ཚུལ་དེས་ཚབ་རྩིས་ཨང་གྲངས་ཚང་མའི་ཁྱབ་ཁོངས་ཁྱབ་མི་ཐུབ། (དེ་ནི་ཌི་ཌི་ཀིན་ཌི་ཡི་བསམ་ཚུལ་ལྟར་ན་ལུས་ཤིག་ཡིན།) འོན་ཀྱང་ཕྱོགས་གཞན་ཞིག་ནས་ཌི་ཌི་ཀིན་ཌི་ལས་བཅུད་དོན་ཆེ་བ་ཡིན། ཀྲོ་ནེ་ཀར་གྱིས་ Q (π) ལྟ་བུའི་ལུས་ཤིག་ལ་ཁུངས་ལྡན་གྱི་ལས་འགན་ལུས་ Q ( X ) ཞེས་བརྗོད་ཡོད། དེའི་སྔོན་ལ་ ༡༨༤༤ ལོར་ ཇོ་སེབ་ལིའུ་ཝིལ་ གྱི་ལས་ཀ་ནས་བཟུང་བརྒལ་བའི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་མཚོན་ཤེས་རྟོགས་བྱུང་བ་དང་། ཅཱར་ལིས་ཧར་མའི་ཊི་ (༡༨༧༣) དང་ ཕར་ཌི་ནན་ཌི་ཝོན་ལིན་ཌི་མན་ (༡༨༨༢) གཉིས་ཀྱིས་གོ་རིམ་བཞིན་ e དང་ π གཉིས་ཀྱི་བརྒལ་བའི་བདེན་དཔང་མ་བྱས། 

བཅུད་དོན་གྱི་ལུས་ཀྱི་ངེས་ཚིག་གསལ་པོ་ཐོག་མ་དེ་ Weber (1893) ལ་རག་ལུས་ཡོད། ལྷག་པར་དུ་ ཧེན་རིཆ་མར་ཊིན་ཝེ་བྷར་ གྱི་བསམ་ཚུལ་ནང་ལ་ F p ཞེས་པའི་ལུས་ཚུད་  ཇིའུ་སེ་པི་ཝེ་རོ་ནེ་སི་ (Giuseppe Veronese)ཡིས་གཞུང་འབྲེལ་གྱི་ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱས་པ་དེས་ Hensel (1904) p -adicཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁྱབ་ཁོངས་ངོ་སྤྲོད་བྱེད་པར་སྐུལ་མ་བཏང་ཡོད། Steinitz (1910) ཡིས་ད་བར་བསྡུ་རུབ་བྱས་པའི་བཅུད་དོན་ལུས་གྲུབ་མཐའི་ཤེས་བྱ་བསྡུ་རུབ་བྱས། ཁོང་གིས་ལུས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་ལ་གཏན་ཚིགས་ལྟར་ཞིབ་འཇུག་བྱས་པ་དང་ལུས་གྲུབ་མཐའི་བསམ་གཞིག་གལ་ཆེན་མང་པོ་གསལ་བཤད་བྱས། གྷ་ལོ་ཡི་གྲུབ་ མཐའ་དང་། ལུས་བཟོ་སྐྲུན། གཞི་རྩའི་ བསམ་ཚུལ་བཅས་ཀྱི་སྡེ་ཚན་ནང་བཀོད་པའི་གྲུབ་རྩིས་མང་ཆེ་བ་སི་ཊི་ནིཊ་ཀྱི་ལས་ཀའི་ནང་དུ་རྙེད་ཐུབ། Artin & ཤི་རི་ཡར་(༡༩༢༧)གཉིས་ ཀྱིས་ ལུས་ཤིག་གི་ནང་དུ་གོ་རིམ་ སྒྲིག་པའི་ལྟ་བ་དང་དེ་ལྟར་དབྱེ་ཞིབ་ཀྱི་ལུས་དེ་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཁྱད་ཆོས་གཙང་མ་དང་འབྲེལ་བ་བྱས། ༡༩༢༨ ནས་ ༡༩༤༢ བར་ ཨེ་མིལ་ཨར་ཊིན་གྱིས་ གྷ་ ལོ་ ཡི་གྲུབ་མཐའ་དེ་བསྐྱར་དུ་གསར་གཏོད་བྱས་ 
Category:Pages with unreviewed translations