ཁོངས། ༼རྩིས་རིག༽

རྩིས་རིག་ནང་། ཁོངས་ནི་བསྡོམས་རྩིས་དང་། ཕབ་རྩིས། བསྒྱུར་རྩིས། བགོད་རྩིས་བཅས་ཀྱི་ཆ་ཚན་ཞིག་ཡིན། དེར་བརྟེན་ཁོངས་ནི་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་གཞི་རྩའི་སྒྲིག་བཀོད་ཅིག་ཡིན་ཞིང་། དེ་ནི་ཚབ་རྩིས་རིག་པ་དང་། ཨང་གྲངས་གྲུབ་མཐའ། དེ་བཞིན་ཨང་རྩིས་རིག་པའི་ཁོངས་གཞན་མང་པོའི་ནང་ཁྱབ་ཆེར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། 

ཡོངས་གྲགས་ཆེ་ཤོས་ཀྱི་ཁོངས་ནི་ཁུངས་ལྡན་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས་དང་། ངོ་མའི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས་དང་། མགུ་རྙོག་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས་བཅས་ཡིན། གཞན་པའི་ཁོངས་མང་པོ་ཞིགདཔེར་ན། རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ལས་འགན་གྱི་ཁོངས་དང་། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ལས་འགན་གྱི་ཁོངས་དང་། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཨང་གྲངས་ཁོངས་དང་<i id="mwKA">། p</i>-adicཁོངས་བཅས་རྩིས་རིག་ནང་སྤྱིར་བཏང་བེད་སྤྱོད་དང་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། གསང་ཡིག་ཡིག་ཆའི་སྒྲིག་གཞི་མང་ཆེ་བ་ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས་ལ་རག་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། དེ་ཡང་ཚད་ལྡན་གྱི་ཆ་ཤས་མང་པོ་ཡོད་པའི་ཁོངས་ལ་རག་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། 

ཁོངས་ཀྱི་གྲུབ་མཐའ་དེས་ཟུར་གསུམ་བགོས་དང་སྒོར་ཐིག་གྲུ་བཞི་བཟོ་རྒྱུ་དེ་ཕྱོགས་སྟོན་འཁོར་ལོ་དང་ཐད་ཀར་གྱི་མཐའ་མཚམས་ལ་བརྟེན་ནས་བྱེད་མི་ཐུབ་པ་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། གྷ་ལོའི་གྲུབ་མཐའ་དེས་ཁོངས་རྒྱ་བསྐྱེད་ཀྱི་འདྲ་མཉམ་ཤེས་རྟོགས་བྱེད་པར་དམིགས་ནས་ཨེ་བྷེལ་རུ་ཕི་ནི་གྲུབ་རྩིས་ལ་སྤྱིར་བཏང་གི་ཀིན་ཊིག་སྙོམ་རྩིས་དེ་རྡུལ་ཕྲན་ནང་ལ་ཐག་གཅོད་བྱེད་མི་ཐུབ་པའི་བདེན་དཔང་མཛེས་པོ་ཞིག་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། 

ཁོངས་རྣམས་རྩིས་རིག་གི་ཁོངས་ཁ་ཤས་ནང་གཞི་རྩའི་ལྟ་བ་ལྟ་བུར་གྱུར་ཡོད། དེའི་ནང་ལ་རྩིས་རིག་དབྱེ་ཞིབ་ཀྱི་ཡན་ལག་མི་འདྲ་བ་ཚུད་ཡོད། དེ་དག་སྒྲིག་བཀོད་ཁ་སྣོན་ཡོད་པའི་ཁོངས་ལ་གཞི་བཅོལ་ཡོད། དབྱེ་ཞིབ་ཀྱི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་རྩིས་དེ་ཨང་གྲངས་ངོ་མའི་ཁོངས་ཀྱི་བཟོ་བཀོད་ཁྱད་ཆོས་ལ་རག་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་དགོས་དོན་ལ་གལ་ཆེ་ཤོས་ནི་ཁོངས་གང་རུང་ཞིག་ཝེག་ཊོར་བར་སྟོང་གི་ཚད་གཞི་ལྟར་བེད་སྤྱོད་གཏོང་ཐུབ། དེ་ནི་རིམ་འགྲོས་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཚད་གཞིའི་སྤྱིར་བཏང་གི་སྐབས་དོན་ཡིན། ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས་དང་། རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས་ཀྱི་སྤུན་མཆེད་ཡིན། དེ་དག་ཨང་གྲངས་གྲུབ་མཐའ་ནང་གཏིང་ཟབ་པོར་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ལས་འགན་ཁོངས་འདིས་དབྱིབས་རྩིས་དངོས་པོའི་རྒྱུ་ཆ་འགྲེལ་བརྗོད་བྱེད་པར་ཕན་ཐོགས། 

 མཚན་ཉིད 
ལུགས་མཐུན་མིན་པའི་ཐོག་ནས་ཁོངས་ཤིག་ནི་ཆ་ཚན་ཞིག་ཡིན། དེ་དང་མཉམ་དུ་ཆ་ཚན་དེའི་སྟེང་དུ་བཀོལ་སྤྱོད་གཉིས་ཡོད་དེ། བསྡོམས་རྩིས་བཀོལ་སྤྱོད་a+bདང་བསྒྱུར་རྩིས་བཀོལ་སྤྱོད་a⋅bགཉིས་ཀས་རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཨང་གྲངས་དང་ཨང་གྲངས་ངོ་མའི་སྤྱོད་ཚུལ་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། དེའི་ནང་དུ་ཆ་ཤས་aརེ་རེའི་ཆེད་དུ་བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས་−aདང་ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་ཆ་ཤས་bརེ་རེའི་ཆེད་དུ་བསྒྱུར་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས་b−1ཡོད་པ་ཚུད་ཡོད། འདིས་ལྡོག་ཕྱོགས་ཀྱི་བཀོལ་སྤྱོད་ཟེར་བའི་ངེས་ཚིག་དང་། ཕབ་རྩིས་a−bདང་བགོ་བཤའ་a/b,a−b=a+༼−b༽དང་a/b=a⋅b−1ལྟར་འགྲེལ་བརྗོད་བྱེད་ཐུབ། མང་ཆེ་བ་ཐོན་འབྲས་a⋅bདེ་abལྟར་མཉམ་གནས་ཀྱིས་མཚོན་པ་རེད། 

 གནའ་བོའི་ངེས་ཚིག། 
ལུགས་མཐུན་གྱི་སྒོ་ནས་ཁོངས་ཤིག་ནི་Fཡི་ཆ་ཚན་ཞིག་ཡིན་ཞིང་། དེ་ལ་Fཐོག་ལ་བསྡོམས་རྩིས་དང་བསྒྱུར་རྩིས་ཞེས་པའི་གཉིས་ལྡན་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་གཉིས་ཡོད། དེ་ཡང་FFF→Fཡི་ས་ཁྲ་བཟོ་རྒྱུ་དེ་Fཡི་ཆ་ཤས་ཆ་གཅིག་རེ་རེ་དང་འབྲེལ་བ་ཡོད་པའི་འབྲེལ་མཐུད་ཅིག་aདང་bབསྡོམས་པའི་གྲུབ་འབྲས་ལ་aདང་baབསྡོམས་རྩིས་ཟེར། དེ་དང་འདྲ་བར་aདང་bབསྒྱུར་བའི་གྲུབ་འབྲས་ལ་aདང་bཡི་ཐོན་འབྲས་ཞེས་འབོད་ཅིང་a⋅bཞེས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། བཀོལ་སྤྱོད་འདི་དག་གཤམ་གྱི་ཁྱད་ཆོས་ལ་འདོད་བློ་ཁེངས་པར་དགོས། 

འདིའི་གཏན་ཚིགས་རྣམས་ཁོངས་F:ཡི་ཆ་ཤས་a,b,cཚང་མར་འཛིན་དགོས། 

 བསྡོམས་རྩིས་དང་བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་འབྲེལ་བa+༼b+c༽=༼a+b༽+c,དང་a⋅༼b⋅c༽=༼a⋅b༽⋅c.
 བསྡོམས་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་བརྗེ་སྒྱུར་ནུས་པa+b=b+a,དང་a⋅b=b⋅a.
 བསྡོམས་རྩིས་དང་བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ངོས་འཛིན། Fནང་དུ་ཆ་ཤས་མི་འདྲ་བ་གཉིས་ཡོད་དེ0དང་1དེ་དག་a+0=aདང་a⋅1=aཡིན། 
 བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས། Fནང་དུ་aརེ་རེའི་ཆེད་དུ་Fནང་དུ་−aཞེས་པའི་ཆ་ཤས་ཤིག་ཡོད། དེ་ལ་aཡི་བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས་ཟེར། དེ་ལྟར་a+༼−a༽=0ཡིན། 
 བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ཕྱིར་ལོག:Fནང་དུ་a≠0རེ་རེའི་ཆེད་དུ་Fནང་དུ་a−1ཡང་ན་1/aགིས་མཚོན་པའི་ཆ་ཤས་ཤིག་ཡོདaདེ་ལ་aཡི་བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ཕྱིར་ལོག་ཟེར། 
 བསྡོམས་རྩིས་ཐོག་བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་བགོ་འགྲེམས། a⋅༼b+c༽=༼a⋅b༽+༼a⋅c༽.

འདྲ་མཉམ་དང་མདོར་བསྡུས་ཆེ་བའི་ངེས་ཚིག་ནི། ཁོངས་ལ་བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་གཉིས་ཡོད། དེ་ནི་བསྡོམས་རྩིས་འོག་ཏུ་ཡོད་པའི་སྡེ་ཚན་ཞིག་ཡིན་ཞིང་། བསྡོམས་རྩིས་ངོ་བོ་ནི་0ཡིན། ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་ཆ་ཤས་དེ་ཚོས་སྒྱུར་རྩིས་འོག་ཏུ་སྡེ་ཚན་ཞིག་བསྐྲུན་པ་དང་1བསྒྱུར་རྩིས་དེ་བསྡོམས་རྩིས་ཐོག་བགོ་འགྲེམས་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། 

དེ་ལས་ཀྱང་མདོར་བསྡུས་ན། ཁོངས་ནི་བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་སྒོར་ཕྱེད་ཅིག་ཡིན་ཞིང་། དེའི་ནང་ལ་0≠1དང་ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་ཆ་ཤས་ཚང་མ་བསྒྱུར་རྩིས་འོག་ཏུ་ཕྱིར་ལོག་ཐུབ། 

 ངེས་ཚིག་གཞན་པ། 
ཁོངས་རྣམས་ཐབས་ལམ་མི་འདྲ་བ་དང་འདྲ་མཉམ་གྱི་ཐོག་ནས་ངེས་ཚིག་བརྗོད་ཐུབ། མི་ཞིག་གིས་གཉིས་ལྡན་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་བཞི་༼སྡོམ་རྩིས་དང་། ཕབ་རྩིས། སྒྱུར་རྩིས། བགོད་རྩིས་༽དང་དེ་དག་གི་དགོས་མཁོའི་རྒྱུ་ཆ་བརྒྱུད་ནས་ཁོངས་ཤིག་གསལ་བཤད་བྱེད་ཐུབ། ཀླད་ཀོར་གྱིས་བགོད་པ་དེ་ངེས་ཚིག་ལྟར་ན་ཕྱིར་འཐེན་བྱས་ཡོད། གནས་ལུགས་ཀྱི་ཚད་གཞི་གཏན་འབེབས་བྱེད་0ལས་གཡོལ་ཆེད་དུ་ཁོངས་གཉིས་ལྡན་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་གཉིས་༼བསྡོམས་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་༽དང་1དེ་ནས་བཀོལ་སྤྱོད་འདི་དག་གོང་དུ་བཤད་པའི་ཆ་རྐྱེན་ལ་གཞི་བཅོལ་ཡོད། བཟོ་སྐྲུན་གྱི་རྩིས་རིག་དང་རྩིས་རྒྱག་ནང་ལ་གནས་ལུགས་ཀྱི་ཚད་གཞི་སྤོང་རྒྱུ་དེ་གལ་ཆེན་པོ་རེད། མི་གཅིག་གིས་ཁོངས་ཤིག་ལ་འདྲ་མཉམ་གྱི་སྒོ་ནས་གཉིས་ལྡན་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་གཉིས་དང་། གཉིས་ལྡན་གྱི་བཀོལ་སྤྱོད་གཅིག༼བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ལྡོག་ཕྱོགས༽དེ་བཞིན་༼ངེས་པར་དུ་མི་འདྲ་བ་༽རྟག་གྲངས་1དང་−1གཉིས་ཀྱིས་ཁོངས་ཤིག་ལ་འདྲ་མཉམ་གྱིས་ངེས་ཚིག་བརྗོད་ཐུབ། རྒྱུ་མཚན་ནི་0=1+༼−1༽དང་−a=༼−༡༽aཡིན། [ཅིག]

 དཔེ། 

 ཁུངས་ལྡན་གྲངས། 
.mw-parser-output.reflist{margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}@mediascreen{.mw-parser-output.reflist{font-size:90%}}.mw-parser-output.reflist.references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output.reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output.reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output.reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output.reflist-columnsol{margin-top:0}.mw-parser-output.reflist-columnsli{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output.reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output.reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output.reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output.reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output.reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}
ཁུངས་ལྡན་གྱི་ཨང་གྲངས་དེ་ཚོ་ཁོངས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་འཕེལ་རྒྱས་མ་བྱུང་བའི་སྔོན་ནས་ཁྱབ་ཆེར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དེ་དག་ནི་ཆ་ཤས་a/bལྟར་འབྲི་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ཡིན། དེའི་ནང་aདང་bནི་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན། b≠0ཡིན། དེ་ལྟ་བུའི་ཆ་ཤས་ཤིག་གི་བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་གྲངས་ནི་−a/bཡིན་ལ། བསྒྱུར་རྩིས་ལྡོག་གྲངས་༼a≠0ཡིན་ན་༽ནི་b/aཡིན་པས་གཤམ་གསལ་ལྟར་མཐོང་ཐུབ། 



བཅུད་དོན་དགོས་མཁོའི་ཁོངས་ཀྱི་གཏན་ཚིགས་དེ་ཚོ་ཁུངས་ལྡན་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཚད་གཞིའི་ཁྱད་ཆོས་ལ་མར་ཕབ་བྱེད། དཔེར་ན་བགོ་འགྲེམས་ཀྱི་ཁྲིམས་དེ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཁུངས་སྐྱེལ་ཐུབ་པ་



 དངོས་གྲངས་དང་རྙོག་འཛིན། 

ཨང་གྲངས་ངོ་མ་R,སྤྱིར་བཏང་གི་སྡོམ་རྩིས་དང་བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་བཀོལ་སྤྱོད་དང་མཉམ་དུ་ཁོངས་ཤིག་གྲུབ་ཡོད། རྙོག་འཛིང་གི་གྲངས་ཀ་Cནི་བརྗོད་ཚུལ་ལས་གྲུབ་ཡོད། 

 a+bi,witha,breal,

གང་དུ་iནི་འཆར་ཡན་གྱི་ཚད་གཞི་ཡིན། དེ་ཡང་i2=−1ལ་འདོད་བློ་ཁེངས་པའི་༼དངོས་ཡོད་མིན་པའི་༽ཨང་གྲངས་ཤིག་རེད། གྲངས་ཀ་ངོ་མའི་བསྡོམས་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་དེ་རིགས་འདིའི་བརྡ་སྟོན་གྱིས་ཁོངས་ཀྱི་གཏན་ཚིགས་ཚང་མ་འདོད་བློ་ཁེངས་པར་བྱས་ནས་Cལ་འཛིན་ཐུབ་པའི་རྣམ་པ་ཅན་དུ་ངེས་ཚིག་བཀོད་ཡོད། དཔེར་ན་བགོ་འགྲེམས་ཁྲིམས་ལུགས་ལག་བསྟར་བྱེད་པ། 

 ༼a+bi༽༼c+di༽=ac+bci+adi+bdi2=༼ac−bd༽+༼bc+ad༽i.

འདི་ནི་གོང་འཁོད་ཀྱི་རིགས་ཀྱི་གསལ་བརྗོད་ཅིག་ཡིན་པ་དེ་འཕྲལ་མར་ཡིན་པས་མགོ་རྙོག་ཅན་གྱི་ཨང་གྲངས་དེ་ཚོས་ཁོངས་ཤིག་གྲུབ་ཡོད། མགུ་རྙོག་ཅན་གྱི་ཨང་གྲངས་རྣམས་དབྱིབས་རྩིས་ཐོག་ནས་ཁོད་སྙོམས་ནང་དུ་ས་ཚིགས་ལྟར་མཚོན་ཐུབ། དེའི་འགྲེལ་བརྗོད་བྱེད་པའི་བརྡ་སྟོན་གྱི་ཨང་གྲངས་ངོ་མའི་ཐོག་ནས་ཀར་ཊི་སི་ཡན་གྱི་སྦྲེལ་མཐུད་སྤྲོད་ཐུབ། དེ་ནས་བསྡོམས་རྩིས་བྱེད་པ་དེ་མདའ་དེ་ཚོ་མངོན་སུམ་གྱི་མཉམ་འགྲོ་རི་མོ་ལ་བསྡོམས་པ་༼ཀར་ཊི་སི་ཡན་གྱི་མཐུད་མཚམས་བསྣན་པ་༽དང་། དངོས་ཡོད་དང་རྙོག་འཛིང་གི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས་དེ་ཨང་རྩིས་རིག་པ་དང་དངོས་ཁམས་རིག་པ་དང་བཟོ་སྐྲུན་རིག་པ་དང་རྩིས་དཔྱད་རིག་པ་སོགས་ཚན་རིག་གི་རིག་ཚན་མང་པོའི་ནང་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། 

 བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས། 

སྔོན་ཆད་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་དཀའ་ངལ་འགའ་ཤས་ཕྱོགས་སྟོན་འཁོར་ལོ་དང་ཐད་ཀར་གྱི་མཐའ་མཚམས་བཀོལ་ནས་ཨང་གྲངས་འགའ་ཤས་བཟོ་ཐུབ་མིན་ལ་འབྲེལ་བ་ཡོད། དཔེར་ན། གྷི་རིག་གི་མི་ཚོས་སྤྱིར་བཏང་དུ་ཟུར་གཅིག་ལ་འདི་ལྟར་གསུམ་བགོས་བྱེད་ཐུབ་ཀྱི་མེད་པ་ཤེས་ཀྱི་མེད། དཀའ་ངལ་འདི་དག་བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས་བཀོལ་ནས་ཐག་གཅོད་བྱེད་ཐུབ། བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ངོ་མ་དེ་ཚོ་ནི་ངེས་ཚིག་ལྟར་ན་ཐིག་ཆ་ཤས་ཀྱི་རིང་ཚད་བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ལ་ཚད་བཀག་བྱས་པའི་ཨང་གྲངས་ངོ་མའི་ཁོངས་བཀོལ་སྤྱོད་དང་ལྡན་པའི་ཨང་གྲངས་འདི་དག་གིས་ཁོངས་ཤིག་གྲུབ་ཡོད། དེའི་ནང་དུ་ཁུངས་ལྡན་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས་Qཡང་ཚུད་ཡོད། དཔེ་རིས་འདིས་བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་གྲུ་བཞིའི་རྩ་བའི་བཟོ་བཀོད་སྟོན་གྱི་ཡོདQདཔེ་རིས་ནང་དུ་ཡོད་པའི་མཚོན་རྟགས་བཀོལ་ནས་ཆ་ཤས་ABདང་BDདེ་བཞིན་ADསྟེང་དུ་སྒོར་ཐིག་ཕྱེད་ཀ་བཟོས། ༼དཀྱིལ་གྱི་ས་ཚིགས་C༽དེས་ས་ཚིགས་Fནང་Bབརྒྱུད་ནས་ཀེར་ཐིག་ཐིག་བརྒལ་བ་དང་། BDརིང་ཚད་གཅིག་ཡོད་པའི་སྐབས་Bནས

དངོས་ཡོད་ཨང་གྲངས་ཚང་མ་བཟོ་ཐུབ་པ་མ་རེད། སྟོན་ཐུབ་པ་ནི། དེ་ནི་བཟོ་ཐུབ་པའི་ཨང་གྲངས་ཤིག་མ་རེད། དེས་ཕྱོགས་སྟོན་འཁོར་ལོའི་ཕྱོགས་ཀྱི་རིང་ཚད་དེ་ཚད་གཞི་2ཡོད་པའི་ཕྱོགས་སྟོན་དང་ཐད་ཀར་བཟོ་ཐུབ་ཀྱི་མེད་པ་བསྟན་ཡོད། དེ་ནི་སྔོན་གྱི་གྷི་རི་སིའི་དཀའ་ངལ་གཞན་ཞིག་ཡིན། 

 འབྱུང་བ་བཞི་ཡོད་པའི་ཁོངས་ཞིག 

+ མཐོལ་པ བསྒྱུར་ཐབས།  + O I A B O   A B I   B A A A B O I B B A I O  ⋅. O I A B O   O O I   A B A O A B I B O B I A
རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཨང་གྲངས་མ་ལག་ལྟ་བུའི་གོམས་གཤིས་ཅན་གྱི་ཨང་གྲངས་མ་ལག་གཞན་དག་ལ་ཁོངས་ཀྱི་དཔེ་མཚོན་གཞན་ཡང་ཡོད། གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་འདི་O,I,A,དང་Bཞེས་པའི་འབྱུང་བ་བཞི་ལས་གྲུབ་པའི་ཁོངས་ཤིག་རེད། མཚོན་རྟགས་དེ་འདེམས་སྒྲུག་བྱས་པ་ལྟར་ན་Oབསྡོམས་རྩིས་ངོ་བོའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་འགན་འཁུར་དགོས། ༼གོང་དུ་བསྟན་པའི་གཏན་ཚིགས་ནང་0བསྟན་ཡོད། ༽Iནི་བསྒྱུར་རྩིས་ངོ་བོ་ཡིན། ༼གོང་དུ་བསྟན་པའི་གཏན་ཚིགས་ནང་1བསྟན་ཡོད། ༽ཁོངས་ཀྱི་གཏན་ཚིགས་དེ་ཁོངས་ཀྱི་གྲུབ་མཐའ་ཁ་ཤས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པའམ་ཡང་ན་ཐད་ཀར་རྩིས་རྒྱག་ཐོག་ནས་བདེན་དཔང་བྱེད་ཐུབ། དཔེར་ན,

 A⋅༼B+A༽=A⋅I=A,whichequals,asrequiredbythedistributivity.

ཁོངས་འདི་ལ་ཆ་ཤས་བཞི་ཡོད་པའི་ཚད་ལྡན་ཁོངས་ཡང་ན་གྷ་ལོ་ཁོངས་ཞེས་འབོད་པ་དང་། དེ་ལ་F4ཡང་ན་GF༼4༽ཞེས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། གཡས་ཕྱོགས་ཀྱི་ཐིག་ཁྲམ་ནང་དམར་པོའི་ཐོག་ནས་མངོན་པའི་Oདང་Iལས་གྲུབ་པའི་ཆ་ཚན་ཆུང་བ་དེ་ཡང་ཁོངས་ཤིག་ཡིན་དེ་ལ་གཉིས་ལྡན་གྱི་ཁོངས་F2ཡང་ན་GF༼2༽ཞེས་འབོད་ཀྱི་ཡོད། 

 གཞི་རྩའི་བསམ་ཚུལ། 
ལེའུ་འདིའི་ནང་Fཡིས་གང་འདོད་ཀྱི་ཁོངས་མཚོན་པ་དང་། aདང་bནི་Fཡི་གང་འདོད་ཀྱི་ཆ་ཤས་ཡིན། 

 ངེས་ཚིག་གི་མཇུག་འབྲས། 
གཅིག་a⋅༠=༠དང་−a=༼−༡༽⋅aཡོད། ལྷག་པར་དུ་མི་ཞིག་གིས་−1ཤེས་མ་ཐག་ཆ་ཤས་རེ་རེའི་བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས་དེ་བསམ་གཞིག་བྱེད་ཐུབ། 

གལ་ཏེ་ab=0ཡིན་ན་aཡང་ན་bནི་0ཡིན་དགོས། གལ་ཏེ་a≠0ཡིན་ན། དེ་ནས་b=༼a−1a༽b=a−1༼ab༽=a−1⋅0=0ཡིན། འདིས་ཁོངས་ཚང་མ་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་ཞིག་ཡིན་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། 

དེ་མིན་གཤམ་གྱི་ཁྱད་ཆོས་འདི་དག་ཆ་ཤས་གང་རུང་aདང་bལ་བདེན་པ་ཡིན། 

 −0=0
 1−1=1
 −༼−a༽=a
 ༼a−1༽−1=aifa≠0
 ༼−a༽⋅b=a⋅༼−b༽=−༼a⋅b༽

 ཁོངས་ཤིག་གི་བསྡོམས་རྩིས་དང་བསྒྱུར་གྲངས་ཀྱི་སྡེ་ཚན། 
ཁོངས་Fཡི་གཏན་ཚིགས་དེས་དེ་བསྡོམས་རྩིས་འོག་ཏུ་ཡོད་པའི་ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་སྡེ་ཚན་ཞིག་ཡིན་པ་བསྟན་ཡོད། སྡེ་ཚན་འདི་ལ་ཁོངསའི་བསྡོམས་རྩིས་སྡེ་ཚན་ཟེར། སྐབས་རེ་༼F,+༽གིས་མཚོན་པའི་སྐབས་ལ་Fམགོ་རྙོག་པོ་ཆགས་སྲིད་པ་རེད། 

དེ་དང་འདྲ་བར་Fཡི་ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་ཆ་ཤས་དེ་དག་གིས་སྒྱུར་རྩིས་འོག་ཏུ་ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་སྡེ་ཚན་ཞིག་གྲུབ་པ་དེ་ལ་སྒྱུར་རྩིས་སྡེ་ཚན་ཟེར། ཡང་ན་ད་ལྟ། ,ཡང་ན་F×.

དེ་ལྟར་ཁོངས་ཤིག་ནི་བསྡོམས་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་ལྟར་བཀོལ་སྤྱོད་གཉིས་ཡོད་པའི་ཆ་ཚན་Fཡིན་པར་ངེས་ཚིག་འགྲེལ་ཆོགདཔེར་ན་Fནི་བསྡོམས་རྩིས་འོག་ཏུ་ཡོད་པའི་ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་སྡེ་ཚན་ཞིག་ཡིན། སྒྱུར་རྩིས་འོག་ཏུ་ཡོད་པའི་ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་སྡེ་ཚན་ཞིག་ཡིན། དེར་བརྟེན་སྡེ་ཚན་གྱི་སྤྱིར་བཏང་གི་གནས་ཚུལ་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་པ་བརྒྱུད་ནས་ཁོངས་སྐོར་གྱི་གཞི་རྩའི་བརྗོད་གཞི་འགའ་ཤས་ཐོབ་[། དཔེར་ན། བསྡོམས་རྩིས་དང་བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ཕྱིར་ལོག་−aདང་a−1ནི་aགིས་ཐུན་མོང་མ་ཡིན་པར་གཏན་འབེབས་བྱེད། 

དགོས་མཁོ་1≠0དེ་ཆ་ཤས་གཅིག་ལས་གྲུབ་པའི་ཆུང་ཆུང་གི་སྒོར་ཕྱེད་དེ་ཕྱིར་འཐེན་བྱེད་པའི་ཆེད་དུ་སྒྲིག་གཞིའི་ཐོག་ནས་བཀོད་ཡོད། དོན་དངོས་ཐོག་ཆུང་ཆུང་གི་སྒོར་ཐིག་གི་ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་ཆ་ཤས་༼དེ་དག་མེད་པ་༽དེ་ཚོས་སྡེ་ཚན་བཟོ་མི་ཐུབ། རྒྱུ་མཚན་ནི་སྡེ་ཚན་གཅིག་ལ་ཉུང་མཐར་ཡང་ཆ་ཤས་གཅིག་དགོས་པ་རེད། [ག].

ཁོངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་སྡེ་ཚན་གྱི་ཚད་ལྡན་སྡེ་ཚན་ཆུང་བ་རེ་རེ་འཁོར་རིམ་ཅན་ཡིནRootofunity§འཁོར་རིམ་སྡེ་ཚན། ༽.

 ཁྱད་ཆོས། 
Fཡི་ཆ་ཤས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་རྩིས་ལ་མ་ཟད། Fཡི་གང་འདོད་ཆ་ཤས་aཐོན་འབྲས་n⋅aདེ་n-nཀྱི་བསྡོམས་རྩིས་ཡིན་པར་ངེས་ཚིག་བཀོད་ཐུབ། 

 a+a+...+a༼whichisanelementofF.༽

གལ་ཏེ་ངེས་གཏན་གྱི་ཧྲིལ་གྲངས་མེད་ན། 

 n⋅1=0,

དེ་ནས་Fལ་ཁྱད་ཆོས་0ཡོད་ཅེས་བཤད། དཔེར་ན་ཁུངས་ལྡན་ཨང་གྲངས་Qnཁོངས་ལ་ཁྱད་ཆོས་0ཡོད། གལ་ཏེ་སྙོམ་རྩིས་འདི་ལ་འདོད་བློ་ཁེངས་པའི་ཧྲིལ་གྲངས་nཡོད་ན། དེ་ལྟ་བུའི་ཧྲིལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་དེ་ཨང་གྲངས་གཙོ་བོ་ཞིག་ཡིན་པ་སྟོན་ཐུབ། དེ་ནི་སྤྱིར་བཏང་pགིས་མཚོན་པ་དང་། དེ་ནས་ཁོངས་དེ་ལ་ཁྱད་ཆོས་pཡོད་ཅེས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། ཁོངས་F4ལ་ཁྱད་ཆོས་2ཡོད། རྒྱུ་མཚན་ནི་༼གོང་དུ་བསྡོམས་རྩིས་ཐིག་ཁྲམ་གྱི་མཚོན་རྟགས་ནང་༽I+I=O.

གལ་ཏེ་Fཁྱད་ཆོས་pཡོད་ན། Fནང་ཡོད་པའི་aཚང་མའི་ཆེད་དུ་p⋅a=0ཡིན། འདིས་མཚོན་དོན་ནི། 

 ༼a+b༽p=ap+bp,

གང་ཡིན་ཟེར་ན། གཉིས་ལྡན་གྱི་ཐབས་གཞིའི་ནང་དུ་མངོན་པའི་གཉིས་ལྡན་གྱི་ཚད་གཞི་གཞན་ཚང་མ་pགིས་བགོད་ཐུབ། འདིར། ap:=a⋅a⋅⋯⋅a༼pཆ་རྐྱེན་༽ནི་pthཤུགས་ཡིན། དེ་ཡང་ཆ་ཤས་aཡི་p-foldཐོན་འབྲས་ཡིན། དེར་བརྟེན། Frobeniusས་ཁྲ། 

 F→F:x↦xp

ནི་Fནང་དུ་བསྡོམས་རྩིས་དང་མཐུན་པོ་ཡོད། ༼དེ་བཞིན་སྒྱུར་རྩིས་དང་ཡང་། ༽དེར་བརྟེན་ཁོངས་ཀྱི་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། དེ་ཡང་ཁྱད་ཆོས་pནང་དུ་ཡོད་པའི་ཁོངས་དེ་ཁྱད་ཆོས་0ཡི་ཁོངས་ལས་ཧ་ཅང་མི་འདྲ་བ་བཟོ་གི་

 ཡན་ལག་ཁོངས་དང་གཞི་གྲངས་ཁོངས། 
ཁོངས་Fཡི་ཁོངས་ཆུང་བ་Eནི་Fཡི་ཁོངས་བཀོལ་སྤྱོད་ལ་གཞིགས་པའི་ཁོངས་ཆུང་བ་ཞིག་ཡིནFའདྲ་མཉམ་གྱི་Eནི་Fཡི་ཆ་ཚན་ཆུང་བ་ཞིག་ཡིན་ཞིང་། དེའི་ནང་1ཡོད། དེ་ཡང་ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་བསྡོམས་རྩིས་དང་། སྒྱུར་རྩིས། བསྡོམས་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས། དེའི་དོན་ནི་1∊E,དེ་ཡང་a,b∊Eཚང་མའི་ཆེད་དུ་a+bདང་a⋅bགཉིས་ཀ་Eནང་དུ་ཡོད། དེ་བཞིན་Eནང་a≠0ཚང་མའི་ཆེད་དུ་−aདང་1/aགཉིས་ཀ་Eནང་དུ་ཡོད། 

ཁོངས་ཀྱི་འདྲ་མཚུངས་ནི་ཁོངས་གཉིས་ཀྱི་བར་གྱི་ས་ཁྲ་φ:E→Fཡིན། དཔེར་ན་φ༼e1+e2༽=φ༼e1༽φφ༼e2༽དང་། φ༼e2༽དང་φ༼1E༽=1F,དེའི་ནང་e1དང་e2ནི་Eཡི་གང་འདོད་ཀྱི་ཆ་ཤས་ཡིན། ཁོངས་ཀྱི་འདྲ་མཚུངས་རྣམ་པ་ཚང་མ་བཙུགས་ཐབས་ཡིན། གལ་ཏེ་φཡང་surjectiveཡིན་ན་དེ་ལ་isomorphismཟེར། ༼ཡང་ན་ཁོངས་Eདང་Fལ་isomorphismཟེར། ༽

གལ་ཏེ་ཁོངས་ཞིག་ལ་འོས་འཚམ་གྱི་༼དཔེར་ན་དམ་པོར་ཆུང་བ་༽ཁོངས་ཆུང་བ་མེད་ན་དེ་ལ་གཙོ་བོའི་ཁོངས་ཟེར། ཁོངས་Fགང་རུང་ཞིག་ལ་གཞི་གྲངས་ཁོངས་ཡོད། གལ་ཏེ་Fཡི་ཁྱད་ཆོས་ནི་p༼ཨང་གྲངས་གཙོ་བོ་ཞིག༽ཡིན་ན་གཞི་རིམ་གྱི་ཁོངས་དེ་གཤམ་དུ་ངོ་སྤྲོད་བྱས་པའི་ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས་Fpདང་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། དེ་མིན་ན་གཞི་རྩའི་ཁོངས་དེ་Qདང་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། 

 ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས། 

ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས་༼Galoisfieldsཡང་ཟེར༽ནི་ཚད་ལྡན་གྱི་ཆ་ཤས་མང་པོ་ཡོད་པའི་ཁོངས་ཡིན། གོང་གི་ངོ་སྤྲོད་དཔེ་མཚོན་F4ནི་འབྱུང་བ་བཞི་ཡོད་པའི་ཁོངས་ཤིག་ཡིན། དེའི་ཡན་ལག་ཁོངས་F2ནི་ཁོངས་ཆུང་ཤོས་ཡིན། རྒྱུ་མཚན་ནི་ངེས་ཚིག་ལྟར་ན་ཁོངས་ལ་ཉུང་མཐར་ཡང་ཆ་ཤས་མི་འདྲ་བ་གཉིས་ཡོད་དེ། 0དང་1། 
གཞི་རྩའི་གོ་རིམ་ཡོད་པའི་ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས་འཇམ་ཤོས་དེ་ཚོ་ཚད་གཞིའི་ཨང་རྩིས་བཀོལ་སྤྱོད་ཀྱིས་ཐད་ཀར་འཛུལ་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། གཏན་འཁེལ་གྱི་ངེས་གཏན་གྱི་ཧྲིལ་གྲངས་nལ་ཨང་རྩིས་"modulon"ནི་ཨང་གྲངས་དང་མཉམ་དུ་ལས་ཀ་བྱེད་པ་དེ་རེད། 

 Z/nZ={0,1,...,n−1}.

ཆ་ཚན་འདིའི་སྟེང་གི་བསྡོམས་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་ནི་ཧྲིལ་གྲངས་ཆ་ཚན་Zནང་དུ་དོགས་པ་ཡོད་པའི་བཀོལ་སྤྱོད་དེ་སྒྲུབ་ནས་nལ་བགོད་ནས་ལྷག་མ་དེ་གྲུབ་འབྲས་ལྟར་ལེན་དགོས། གལ་ཏེ་nནི་ཨང་གྲངས་གཙོ་བོ་ཞིག་ཡིན་ན། བཟོ་བཀོད་འདིས་ཁོངས་ཤིག་ཐོན་གྱི་ཡོད། དཔེར་ན། གོང་དུ་བརྗོད་པའི་ཁོངས་F2ནང་དུ་ཨང་གྲངས་གཙོ་བོ་n=2བླངས་ན། n=4དང་སྤྱིར་བཏང་དུ་བསྡོམས་རྩིས་ཨང་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་ལ། ༼དཔེར་ན། ཨང་གྲངས་nདེ་རང་བྱུང་ཨང་གྲངས་ཆུང་བ་གཉིས་ཀྱི་ཐོན་འབྲས་nrrnsལྟར་བརྗོད་ཐུབ། ZZ/ZZནི་Zམིན། ཁོངས། དེ་ལྟར་བཟོས་པའི་pཆ་ཤས་ཡོད་པའི་ཁོངས་Z/pZདེ་༼pནི་གཙོ་བོ་ཡིན། ༽སྤྱིར་བཏང་དུ་Fpགིས་མཚོན་གྱི་ཡོད། 

ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས་Fརེ་རེ་ལ་q=pnཆ་ཤས་ཡོད། དེའི་ནང་pནི་གཙོ་བོ་དང་n≥1ཡིན། བརྗོད་ཚིག་འདི་Fདེའི་གཙོ་བོའི་ཁོངས་སྟེང་དུ་བེག་ཊོར་གྱི་བར་སྟོང་ཞིག་ཏུ་བལྟ་སྲིད་པས་དེ་ལྟར་ཡིན། བརྡ་རྟགས་བར་སྟོང་འདིའི་རྒྱ་ཁྱོན་དེ་ངེས་པར་དུ་ཚད་གཞི་ཅན་ཡིན། དཔེར་ནn,དེས་གཏན་འཁེལ་བྱས་པའི་བརྗོད་ཚིག་དེ་བསྟན་ཡོད། 

q=pnཆ་ཤས་ཡོད་པའི་ཁོངས་ཤིག་ཚད་མང་གྲངས་ཀྱི་ཁ་ཕྱེ་ཁོངས་ལྟར་བཟོ་ཐུབ། 

 f༼x༽=xq−x.

དེ་ལྟ་བུའི་ཁ་ཕྱེ་སའི་ཁོངས་ནི་Fpཡི་རྒྱ་བསྐྱེད་ཅིག་ཡིན་ཞིང་། དེའི་ནང་དུ་མང་གྲངས་fqཀླད་ཀོར་ཡོད། འདིའི་དོན་ནི་fཚད་གཞི་དེ་fཡིན་པས་གང་མགྱོགས་ཀླད་ཀོར་མང་པོ་ཡོདqq=22=4ལ་གོང་འཁོད་ཀྱི་བསྒྱུར་རྩིས་ཐིག་ཁྲམ་བཀོལ་ནས་གནས་ཚུལ་རེ་རེ་བཞིན་བརྟག་དཔྱད་བྱེད་ཐུབ། F4ཡི་ཆ་ཤས་བཞི་པོ་དེ་དག་གིས་སྙོམ་རྩིས་x4=xལ་ཚང་ཡོདfདེ་དང་ཕྱོགས་མཚུངས་F2ནང་fཀླད་ཀོར་གཉིས་ལས་མེད་༼དེ་ཡང་0དང་1༽དེར་བརྟེན་fཁོངས་ཆུང་བ་འདིའི་ནང་རིམ་པ་ཅན་གྱི་ཆ་རྐྱེན་ལ་ཁ་ཕྱེ་མི་ཐུབ། གཞི་རྩའི་ཁོངས་གྲུབ་མཐའི་བསམ་ཚུལ་ལ་ཞིབ་ཕྲ་བཤད་ན། གོ་རིམ་གཅིག་པའི་ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས་གཉིས་དེ་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པ་སྟོན་ཐུབ། དེ་ལྟར་ན་qཆ་ཤས་ཡོད་པའི་ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས་སྐོར་ལ་སྐད་ཆ་བཤད་རྒྱུའི་ལུགས་སྲོལ་ཡོདཡང་Fqཡང་ན་GF༼q༽གིས་མཚོན་པ་རེད། 

 ལོ་རྒྱུས 
ལོ་རྒྱུས་ལྟར་ན་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་རིག་ཚན་གསུམ་གྱིས་ཁོངས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་ལ་སྣེ་ཁྲིད་བྱས། དེ་དག་ནི་ཚད་མང་སྙོམ་རྩིས་ཐག་གཅོད་བྱེད་པའི་དྲི་བ་དང་། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཨང་གྲངས་གྲུབ་མཐའ། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་དབྱིབས་རྩིས་བཅས་ཡིན། ༡༧༧༠ལོར་ཇོ་སེབ་ལུའུ་ཡི་ལག་རེནཇ་ཡིས་ཁོངས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་ལ་གོམ་པ་ཐོག་མ་སྤོས་པ་ཁོང་གིས་བརྡ་སྟོན་ནང་དུ་ཁུ་བིཀ་མང་གྲངས་ཀྱི་ཀླད་ཀོར་x༡,x༢,x༣བརྗེ་སྒྱུར་བྱེད་པ་དེ་བརྟག་དཔྱད་བྱས། 

 ༼x1+ωx2+ω2x3༽3

༼ωནི་མཐུན་སྒྲིལ་གྱི་རྩ་བ་གསུམ་པ་ཡིན་པས་༽གིས་རིན་ཐང་གཉིས་ལས་མེད། དེ་ལྟར་བྱས་ན་ལག་རེང་གིས་སི་ཀི་པི་ཡོན་ཌེལ་ཕེ་རོ་དང་ཕྲན་ཀོ་སི་ཝི་ཊི་xཀྱི་xསྲོལ་གྱི་ཐབས་ཤེས་ཐབས་ལམ་དེ་བསམ་གཞིག་གི་ཐོག་ནས་འགྲེལ་བཤད་བརྒྱབ་ཡོད། མཐའ་མར་ཁོངས་གྱི་བསམ་གཞིག་དང་སྡེ་ཚན་གྱི་བསམ་གཞིག་ལ་གྱུར་བའི་ལག་རེན་ཇི་ཡིས་རིམ་པ་༤པའི་སྙོམ་རྩིས་ལ་དོ་སྣང་འདྲ་མཚུངས་བྱས་པ་དང་མཉམ་དུ་འབྲེལ་བ་ཝན་ཌར་མོན་ཌི་ཡིས་ཀྱང་༡༧༧༠ལོར་དང་། དེ་བཞིན་ཁཱར་ལི་ཕི་རི་ཌི་རིཆ་གྷོ་སི་༼CarlFriedrichGauss༽ཡིས་ཁོང་གི་རྩིས་རིག་གི་གྲོས་བསྡུར་ནང་༼༡༨༠༡༽སྙོམ་རྩིས་དེ་ཞིབ་འཇུག་བྱས། 

 xp=1

pགཙོ་བོ་ཞིག་དང་། དེང་རབས་ཀྱི་སྐད་ཡིག་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་ནས་ཐོན་པའི་འཁོར་རིམ་གྱི་གྷ་ལོ་ཝ་སྡེ་ཚན་དེ་ཡིན། གལ་ཏེ་p=22k+1ཡིན་p། ལག་རེནཇ་ཡི་ལས་ཀའི་ཐོག་ལ་གཞི་བཅོལ་ནས་པའོ་ལོ་རུ་ཕི་ནི་ཡིས་༼༡༧༩༩༽ཀིན་ཊིག་སྙོམ་རྩིས་༼ཚད་གཞི་5པའི་ཚད་མང་སྙོམ་རྩིས་༽དེ་ཚབ་རྩིས་ཐོག་ནས་ཐག་གཅོད་བྱེད་མི་ཐུབ་ཅེས་བརྗོད་ཡོད། ཡིན་ནའང་ཁོང་གི་རྩོད་པ་དེ་ནོར་འཁྲུལ་ཅན་རེད། ༡༨༢༤ལོར་ནིལ་ཧེན་རི་ཀ་ཨེ་བྷེལ་གྱིས་སྟོང་ཆ་དེ་དག་བཀང་ཡོདལོར་ཨེ་ཝ་རི་སི་ཊི་གྷ་ལོའིས་ཚད་མང་སྙོམ་རྩིས་དེ་ཚབ་རྩིས་ཐོག་ནས་ཐག་གཅོད་བྱེད་ཐུབ་པའི་ཆེད་དུ་དགོས་ངེས་དང་ལྡང་བའི་ཚད་གཞི་བཏོན་ནས་དེང་སང་གྷ་ལོའི་གྲུབ་མཐའ་ཞེས་འབོད་པ་དེ་དངོས་སུ་བཙུགས་ཡོད། ཨེ་བྷེལ་དང་གྷ་ལོ་ཝ་གཉིས་ཀས་དེང་སང་ཨལ་ཇེབ་བྲའི་ཨང་གྲངས་ཁོངས་ཞེས་པ་དེ་དང་མཉམ་དུ་ལས་ཀ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། འོན་ཀྱང་ཁོང་ཚོས་ཁོངས་དང་སྡེ་ཚན་གྱི་བསམ་ཚུལ་གསལ་པོ་ཞིག་བསམ་གཞིག་མ་བྱས། 

༡༨༧༡ལོར་རི་ཅར་ཌི་ཌི་ཌི་ཀིན་ཌི་ཡིས་ཨང་རྩིས་བཀོལ་སྤྱོད་བཞིའི་འོག་ཁ་བརྒྱབ་པའི་ཨང་གྲངས་དངོས་པོའམ་ཡང་ན་མགོ་རྙོག་ཅན་གྱི་ཆ་ཚན་ཞིག་གི་ཆེད་དུ་འཇར་མན་གྱི་ཚིག་Körperཞེས་པ་དེ་ངོ་སྤྲོད་བྱས། དབྱིན་ཡིག་གི་ཐ་སྙད་"field"ཞེས་པ་དེ་Moore༼1893༽ཡིས་ངོ་སྤྲོད་བྱས། 

༡༨༨༡ལོར་ལིའོ་པོལཌ་ཀྲོ་ནེ་ཁར་གྱིས་ཁོང་གིས་རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཁོངས་ཞེས་འགྲེལ་བརྗོད་བྱས། དེ་ནི་དེང་རབས་ཀྱི་ཐ་སྙད་ནང་རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་ཁོངས་ཤིག་རེད། ཀྲོ་ནེ་ཀར་གྱི་བསམ་ཚུལ་དེས་ཚབ་རྩིས་ཨང་གྲངས་ཚང་མའི་ཁོངས་ཁྱབ་མི་ཐུབ། ༼དེ་ནི་ཌི་ཌི་ཀིན་ཌི་ཡི་བསམ་ཚུལ་ལྟར་ན་ཁོངས་ཤིག་ཡིན། ༽འོན་ཀྱང་ཕྱོགས་གཞན་ཞིག་ནས་ཌི་ཌི་ཀིན་ཌི་ལས་བཅུད་དོན་ཆེ་བ་ཡིན། ཀྲོ་ནེ་ཀར་གྱིས་Q༼π༽ལྟ་བུའི་ཁོངས་ཤིག་ལ་ཁུངས་ལྡན་གྱི་ལས་འགན་ཁོངས་Q༼X༽ཞེས་བརྗོད་ཡོད། དེའི་སྔོན་ལ་༡༨༤༤ལོར་ཇོ་སེབ་ལིའུ་ཝིལ་གྱི་ལས་ཀ་ནས་བཟུང་བརྒལ་བའི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་མཚོན་ཤེས་རྟོགས་བྱུང་བ་དང་། ཅཱར་ལིས་ཧར་མའི་ཊི་༼༡༨༧༣༽དང་ཕར་ཌི་ནན་ཌི་ཝོན་ལིན་ཌི་མན་༼༡༨༨༢༽གཉིས་ཀྱིས་གོ་རིམ་བཞིན་eདང་πགཉིས་ཀྱི་བརྒལ་བའི་བདེན་དཔང་མ་བྱས། 

བཅུད་དོན་གྱི་ཁོངས་ཀྱི་ངེས་ཚིག་གསལ་པོ་ཐོག་མ་དེ་Weber༼1893༽ལ་རག་ཁོངས་ཡོད། ལྷག་པར་དུ་ཧེན་རིཆ་མར་ཊིན་ཝེ་བྷར་གྱི་བསམ་ཚུལ་ནང་ལ་Fpཞེས་པའི་ཁོངས་ཚུད་ཇིའུ་སེ་པི་ཝེ་རོ་ནེ་སི་༼GiuseppeVeronese༽ཡིས་གཞུང་འབྲེལ་གྱི་ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱས་པ་དེས་Hensel༼1904༽p-adicཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས་ངོ་སྤྲོད་བྱེད་པར་སྐུལ་མ་བཏང་ཡོད། Steinitz༼1910༽ཡིས་ད་བར་བསྡུ་རུབ་བྱས་པའི་བཅུད་དོན་ཁོངས་གྲུབ་མཐའི་ཤེས་བྱ་བསྡུ་རུབ་བྱས། ཁོང་གིས་ཁོངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་ལ་གཏན་ཚིགས་ལྟར་ཞིབ་འཇུག་བྱས་པ་དང་ཁོངས་གྲུབ་མཐའི་བསམ་གཞིག་གལ་ཆེན་མང་པོ་གསལ་བཤད་བྱས། གྷ་ལོའི་གྲུབ་མཐའ་དང་། ཁོངས་བཟོ་སྐྲུན། གཞི་རྩའི་བསམ་ཚུལ་བཅས་ཀྱི་སྡེ་ཚན་ནང་བཀོད་པའི་གྲུབ་རྩིས་མང་ཆེ་བ་སི་ཊི་ནིཊ་ཀྱི་ལས་ཀའི་ནང་དུ་རྙེད་ཐུབ། Artin&ཤི་རི་ཡར་༼༡༩༢༧༽གཉིས་ཀྱིས་ཁོངས་ཤིག་གི་ནང་དུ་གོ་རིམ་སྒྲིག་པའི་ལྟ་བ་དང་དེ་ལྟར་དབྱེ་ཞིབ་ཀྱི་ཁོངས་དེ་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཁྱད་ཆོས་གཙང་མ་དང་འབྲེལ་བ་བྱས། ༡༩༢༨ནས་༡༩༤༢བར་ཨེ་མིལ་ཨར་ཊིན་གྱིས་གྷ་ལོའི་གྲུབ་མཐའ་དེ་བསྐྱར་དུ་གསར་གཏོད་བྱས་

 ཁོངས་འཛུགས་སྐྲུན་བྱེད་པ། 

 འཁོར་ལོ་ནས་ཁོངས་འཛུགས་སྐྲུན་བྱེད་པ། 
བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་སྒོར་ཕྱེད་ནི་བསྡོམས་རྩིས་དང་བསྒྱུར་རྩིས་བཀོལ་སྤྱོད་ཀྱི་ཆ་ཚན་ཞིག་ཡིན་ཞིང་། བསྒྱུར་རྩིས་ལྡོག་ཕྱོགས་a−1མ་གཏོགས་ཁོངས་ཀྱི་གཏན་ཚིགས་ཚང་མ་སྐོང་བར་བྱེད། དཔེར་ཧྲིལ་གྲངས་Zགིས་བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་སྒོར་ཕྱེད་ཅིག་བཟོ་གི་ཡོད། འོན་ཀྱང་ཁོངས་མིན། ཧྲིལ་གྲངས་nཡི་ཕན་ཚུན་དེ་རང་ཉིད་ཧྲིལ་གྲངས་མིནn=±1མ་གཏོགས། 

ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་སྒྲིག་བཀོད་ཀྱི་རིམ་པ་ནང་ཁོངས་དེ་ཚོ་ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་ཆ་ཤས་ཚང་མ་ཚད་གཞི་གཅིག་ཡིན་པའི་བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་སྒོར་ཕྱེད་Rལྟར་ཁྱད་ཆོས་བསྟན་ཐུབ། དེ་དང་འདྲ་བར་ཁོངས་ནི་བསམ་བློ་མི་འདྲ་བ་གཉིས་ཡོད་པའི་བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་སྒོར་ཕྱེད་ཡིན། ༼0༽དང་R.ཁོངས་དེ་ཚོ་ཡང་བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་སྒོར་ཕྱེད་ཡིན། དེའི་ནང་ལ་༼0༽ནི་གཙོ་བོའི་བསམ་གཞིག་གཅིག་པུ་ཡིན། 

བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་སྒོར་ཕྱེད་Rསྤྲད་ན་Rདང་འབྲེལ་བའི་ཁོངས་ཅིག་བཟོ་ཐབས་གཉིས་ཡོད། དེ་ཡང་Rཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་ཆ་ཤས་ཚང་མ་ཕྱིར་ལོག་ཐུབ་པའི་ཆེད་དུ་བསྒྱུར་བཅོས་བྱེད་པའི་ཐབས་ལམ་གཉིས་ཡོད། Zཡི་ཆ་ཤས་ཀྱི་ཁོངས་ནི་Qཡིན། དེ་ནི་ཁུངས་ལྡན་ཡིན། Zཡི་ལྷག་མའི་ཁོངས་ནི་ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས་Fpཡིན། 

 དཔྱ་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས། 
ཆ་ཤས་གཅིག་པའི་ཁོངས་Rལ་སྤྲད་ན། དེའི་དཔྱ་རྩིས་ཀྱི་ཁོངས་Q༼R༽དེ་Rཡི་ཆ་ཤས་གཉིས་ཀྱི་དཔྱ་རྩིས་དང་བཅས་བཟོས་ཡོད། གཏན་གཏན་དུ་Q༼R༽ཡི་ཆ་ཤས་དེ་ཚོ་aདང་bRནང་དུ་ཡོད་པའི་ཆ་ཤས་a/bཡིན། b≠0ཡིན། དཔྱ་རྩིས་གཉིས་a/bདང་c/dགཉིས་འདྲ་མཉམ་ཡིན། གལ་ཏེ་ad=bcཡིན། དཔྱ་རྩིས་ཀྱི་བཀོལ་སྤྱོད་དེ་ཁུངས་ལྡན་ཨང་གྲངས་དང་འདྲ་བར་ལས་ཀ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན,



གལ་ཏེ་སྒོར་སྒོར་དེ་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་ཞིག་ཡིན་ན། དཔྱ་རྩིས་ཀྱི་ཆ་ཚན་གྱིས་ཁོངས་ཤིག་གྲུབ་པ་སྟོན་རྒྱུ་དེ་ཐད་ཀར་ཡིན། 

ཁོངས་F༼ཡང་ན་ཆ་ཤས་གཙོ་བོའི་ཁོངས༽Fཡི་ཁོངས་F༼x༽ནི་མང་གྲངཁོངསར་རིམ་F[x]ཡི་ཆ་ཤས་ཀྱི་ཁོངས་ཡིན། ལུགས་མཐུན་གྱི་ལོ་རེན་རིམ་པའི་ཁོངས་F༼༼x༽༽



ཁོངས་Fནི་གཞུང་འབྲེལ་གྱི་ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་F[[x]]ཡི་ཆ་ཤས་ཀྱི་ཁོངས་ཡིན། ༼དེའི་ནང་k≥0༽ལོ་རེནཊ་རིམ་པ་གང་རུང་ཞིག་ནི་xཡི་ནུས་ཤུགས་ཀྱིས་བགོས་པའི་ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་དེའི་ཆ་ཤས་ཤིག་ཡིན་པས་༼གང་འདོད་ཀྱི་ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་ལ་འགལ་བ་ཡིན་ནའང་། ༽གནས་སྟངས་འདིའི་ནང་ཆ་ཤས་ཀྱི་མཚོན་ཚུལ་དེ་གལ་ཆེན་པོ་མ་རེད། 

 ལྷག་མའི་ཁོངས། 
ཆ་ཤས་ཀྱི་ཁོངས་ལ་མ་ཟད། ཁོངས་ནང་ལ་Rབཙུགས་ནས་ཁོངས་ཤིག་བཙུགས་ཡོད། ཁོངས་དེ་བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་སྒོར་ཐིག་Rནས་ཁོངས་Fལ་ཚོད་དཔག་གི་ས་ཁྲ་བརྒྱུད་ནས་ཐོབ་ཐུབ། འདི་ལྟར་ཐོབ་པའི་ཁོངས་གང་རུང་ཞིག་ནི་བགོ་གྲངས་R/mཡིན། དེའི་ནང་mནི་Rཡི་ཆེས་མཐོའི་བསམ་གཞིག་ཡིན། གལ་ཏེ་Rཆེས་མཐོའི་འཆར་གཞི་mགཅིག་ལས་མེད་ན། ཁོངས་འདི་ལ་Rཡི་ལྷག་མའི་ཁོངས་ཟེར། 

གལ་ཏེ་fནི་Eནང་དུ་ཉུང་དུ་གཏོང་མི་ཐུབ་པ་ཡིན་ན། དཔེར་R། fདེ་E[X]ffEཆུང་Eགྲངས་འབོར་གཉིས་ཀྱི་ཐོན་འབྲས་ལྟར་བརྗོད་མི་ཐུབ་ན། འདིས་ས་ཞིང་ཞིག་ཐོན་གྱི་ཡོད། 

 K=E[X]/༼f༼X༽༽.

འདིའི་ཁོངས་Kནང་དུ་འབྱུང་བ་x༼དེ་ཡང་Xཡི་ལྷག་མའི་རིགས་༽ཡོད། 

 f༼x༽=0.



 ཁོངས་ཆེ་བ་ཞིག་གི་ནང་དུ་ཁོངས་འཛུགས་སྐྲུན་བྱེད་པ། 
ཁོངས་དེ་ཚོ་སྣོད་ཆས་ཁོངས་ཆེ་བ་ཞིག་གི་ནང་དུ་བཟོ་ཐུབ། བསམ་གཞིག་བྱས་ན་ཁོངས་Eདང་། ཁོངས་Fདེའི་ནང་Eཡོད་པའི་ཁོངས་ཆུང་བ་ཞིག་ཡིན། Fཡི་ཆ་ཤས་xགང་རུང་ལ་Eདང་xཡོད་པའི་Fཡི་ཁོངས་ཆུང་ཤོས་ཤིག་ཡོད། དེ་ལ་xགིས་བཟོས་པའི་Fཡི་ཁོངས་ཆུང་བ་E། Eནས་E༼x༽བར་གྱི་འགྲོ་ལམ་དེ་Eལ་འབྱུང་བ་གཅིག་མཐུད་ནས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། སྤྱིར་བཏང་དུ་S⊂Fཡི་ཆ་ཚན་ཆུང་བ་ཞིག་ལ་Eདང་Sཡོད་པའི་Fཡི་ཆུང་ཤོས་ཁོངས་ཤིག་ཡོད། དེ་E༼S༽གིས་མཚོན་གྱི་ཡོད། 

ཁོངས་Fཁ་ཤས་ཀྱི་ཁོངས་ཆུང་བ་Eདང་E′གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་རྩིས་ནི་Fཡི་ཁོངས་ཆུང་ཤོས་དེ་ཡིན་ཞིང་། དེའི་ནང་Eདང་E′གཉིས་ཀ་ཡོད། བསྡོམས་རྩིས་དེ་རྒྱུ་ཆ་གཅིག་ལ་འདོད་བློ་ཁེངས་པའི་Fཡི་ཁོངས་ཆུང་ཤོས་དེ་བཟོ་བར་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་ཐུབ། དཔེར་ན། Fཡི་ཁོངས་ཆུང་ཤོས་དེ་གཤམ་དུ་ངོ་སྤྲོད་བྱས་པའི་སྐད་ཡིག་ནང་Eལས་ཚབ་རྩིས་རིག་པ་ཡིན། [ད].

 ཁོངས་རྒྱ་བསྐྱེད། 

ཡན་ལག་ཁོངས་E⊂Fཡི་བསམ་ཚུལ་དེ་ཡང་ལྡོག་ཕྱོགས་ཀྱི་ལྟ་ཚུལ་ནས་བལྟ་ཐུབFནི་Eཡི་ཁོངས་རྒྱ་བསྐྱེད་༼ཡང་ན་རྒྱ་བསྐྱེད་ཙམ་༽ཡིན་པར་གཞི་བཅོལ་ནས་

 F/E,

དེ་ནས་"Fལས་E"ཀློག

ཁོངས་རྒྱ་བསྐྱེད་ཀྱི་གཞི་རྩའི་གཞི་གྲངས་ནི་དེའི་ཚད་གཞི་[F]ཡིན། [:E],དེ་ཡང་Fཡི་ཆ་ཚད་དེ་E-vectorབར་སྟོང་ཞིག་ཡིན། འདིས་མན་ངག་འདོད་བློ་ཁེངས་པར་བྱེད། 

 [G:E]=[G:F][F:E].

ཚད་གཞི་ཚད་ལྡན་ཡིན་པའི་རྒྱ་བསྐྱེད་ལ་ཚད་ལྡན་རྒྱ་བསྐྱེད་ཟེར། རྒྱ་བསྐྱེད་C/Rདང་F4/F2ནི་ཚད་གཞི་2ཡིན། དེ་བཞིན་R/Qནི་ཚད་མེད་རྒྱ་བསྐྱེད་ཅིག་ཡིན། 

 ཚབ་རྩིས་རྒྱ་བསྐྱེད། 
ཁོངས་རྒྱ་བསྐྱེད་ཀྱི་ཞིབ་འཇུག་ནང་གལ་ཆེའི་བསམ་ཚུལ་F/Eནི་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཆ་ཤས་ཡིན། གལ་ཏེ་དེ་ནི་Eནང་དུ་གྲངས་ཚད་ཡོད་པའི་གྲངས་མང་གྲངས་ཀྱི་རྩ་བ་ཡིན་ནEདེ་ཡང་གལ་ཏེ་དེས་གྲངས་མང་སྙོམ་རྩིས་ལ་འདོད་བློ་ཁེངས་x། 

དང་མཉམ་དུ་en,...,e0ནང་དུ་E,དང་en≠0ཡིན། དཔེར་ན། Cནང་གི་འཆར་ཡན་གྱི་ཚད་གཞི་iནི་Rལས་ཚབ་རྩིས་རིག་པ་དང་། དེ་བཞིན་Qལས་ཀྱང་ཚབ་རྩིས་རིག་པ་ཡིན། 

 i2+1=0.

གོང་ལྟར་ཆ་ཤས་xགིས་བཟོས་པའི་ཁོངས་ཆུང་བ་E༼x༽དེ་Eཡི་ཚབ་རྩིས་རྒྱ་བསྐྱེད་ཡིན། གལ་ཏེ་xཚབ་རྩིས་ཆ་ཤས་ཡིན་ན། གལ་ཏེ་xནི་ཚབ་རྩིས་རིག་པ་ཡིན་ན། E༼x༽ཡི་ཆ་ཤས་གཞན་ཚང་མ་ཡང་ཚབ་རྩིས་རིག་པ་ཡིན། དེ་མིན་རྒྱ་བསྐྱེད་ཀྱི་ཚད་གཞི་E༼x༽/E,དེ་ཡང་E༼x༽ཡི་ཚད་གཞི་དེ་E-vectorspaceཡིན་པའི་ཆ་ནས་ཚད་གཞི་དམའ་ཤོས་nའདྲ་མཉམ་ཡིན་པས་གོང་ལྟར་xདང་འབྲེལ་བའི་མང་གྲངས་སྙོམ་རྩིས་ཞིག་ཡོད། གལ་ཏེ་ཚད་གཞི་འདི་nཡིན་ན། E༼x༽ཡི་འབྱུང་བ་རྣམས་ལ་རྣམ་པ་དེ་ཡོད། 



དཔེར་ན། གྷོ་སིའི་ཁུངས་ལྡན་གྱི་ཁོངས་Q༼i༽iCCཁོངས་ཆུང་བ་ཞིག་ཡིན་ཞིང་aདེའི་ནང་abaགཉིས་ཀ་ཁུངས་ལྡན་གྱི་aཡིན། 

 ཕ་རོལ་ཏུ་ཕྱིན་པའི་གཞི་གཞི། 
གོང་དུ་བརྗོད་པའི་རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཆ་ཤས་E༼X༽ཡི་ཁོངས་དེ་Xནི་གཏན་འཁེལ་མེད་པ་ཞིག་ཡིནEདེ་Eཡི་ཚབ་རྩིས་རྒྱ་བསྐྱེད་མིནXཚབ་རྩིས་རིག་པ་མིན་པའི་Xལྟ་བུའི་ཆ་ཤས་ལ་ཚད་ལས་བརྒལ་བ་ཟེར། ལུགས་མཐུན་མིན་པའི་ཐོག་ནས་བཤད་ན། གཏན་འཁེལ་མེད་པའི་Xདང་དེའི་ནུས་པ་དེ་Eཡི་ཆ་ཤས་དང་འབྲེལ་བ་བྱེད་ཀྱི་མེད། དེ་དང་འདྲ་བའི་བཟོ་སྐྲུན་དེ་གཅིག་གི་ཚབ་ཏུ་གཏན་འཁེལ་མེད་པའི་ཆ་ཚན་ཞིག་གིས་བསྒྲུབ་ཐུབ། 

གོང་དུ་གྲོས་བསྡུར་བྱས་པའི་ཁོངས་རྒྱ་བསྐྱེད་E༼x༽/Eནི་དཔེ་གཙོ་བོ་ཞིག་ཡིན། གལ་ཏེ་xཚབ་རྩིས་རིག་པ་མིན་ན། ༼དཔེར་ན། xནི་Eནང་དུ་གྲངས་ཚད་ཡོད་པའི་གྲངས་མང་གྲངས་ཀྱི་རྩ་བ་མིན་ན༽དེ་ནས་E༼x༽ནི་E༼X༽དང་འདྲ་མཉམ་ཡིན། འདྲ་མཉམ་གྱི་རྣམ་པ་འདི་ཁུངས་ལྡན་ཆ་ཤས་ནང་xདང་Xལ་ཚབ་བཙུགས་ནས་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད། 

གལ་ཏེ་དེ་Eལས་ཨཱལ་ཇེབ་བྲའི་ཐོག་ནས་རང་དབང་ཅན་ཡིན་ན་༼སྣ་མང་འབྲེལ་བ་གང་རུང་ལ་འདོད་བློ་ཁེངས་མི་ཐུབ་༽ཁོངས་Fཡི་ཆ་ཚན་ཆུང་བ་SFE༼S༽ཡི་ཨཱལ་ཇེབ་བྲའི་རྒྱ་བསྐྱེད་ཡིན་ན། ཁོངས་རྒྱ་བསྐྱེད་F/Eགང་རུང་ལ་བརྒལ་བའི་གཞི་རྩ་ཡོད། ཁོངས་རྒྱ་བསྐྱེད་དེ་ཚོ་E༼S༽/E༼purelytranscendentalextensions༽དང་ཚབ་རྩིས་རྒྱ་བསྐྱེད་ཀྱི་དབྱིབས་ལ་དབྱེ་ཐུབ། 

 སྒོ་བརྒྱབ་པའི་བྱ་སྤྱོད། 
གལ་ཏེ་ཁོངས་ཞིག་ལ་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་རྒྱ་བསྐྱེད་དམ་པོ་མེད་ན་ཡང་ན་དེ་དང་འདྲ་མཉམ་གྱི་སྒོ་ནས་གལ་ཏེ་ཚད་མང་སྙོམ་རྩིས་གང་རུང་ཞིག་ཡོད་ན། 

 fnxn+fn−1xn−1+⋯+f1x+f0=0,withcoefficientsfn,...,f0∈F,n>0,

ཐབས་ཤེས་x∊Fཡོད། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་རྩིས་ལྟར་ན། Cཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཐོག་ནས་ཁ་བརྒྱབ་ཡོད། དེ་ཡང་སྣ་མང་ཚད་གཞི་ཡོད་པའི་ཚད་མང་སྙོམ་རྩིས་གང་རུང་ལ་སྣ་མང་ཐབས་ཤེས་ཡོད། སྙོམ་རྩིས་ལས་བྱུང་བའི་ཁུངས་ལྡན་དང་དངོས་ཡོད་ཨང་གྲངས་གཉིས་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་སྒོ་ནས་ཁ་རྒྱག་མི་ཐུབ། 

 x2+1=0

རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའམ་དངོས་ཡོད་ཀྱི་ཐབས་ཤེས་གང་ཡང་མེད། Fཡོད་པའི་ཁོངས་ཤིག་ལ་FFཚབ་རྩིས་ཁ་བརྒྱབ་པ་ཞེས་འབོད་Fཡོད། 

གོང་དུ་བཤད་པ་ལྟར་ན། Cནི་Rཡི་ཨལ་ཇེབ་བྲའི་ཁ་རྒྱག་པ་ཞིག་རེད། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཁ་རྒྱག་དེ་ཁོངས་Fཡི་ཚད་ལྡན་གྱི་རྒྱ་བསྐྱེད་ཡིན་པའི་གནས་སྟངས་དེ་ཧ་ཅང་དམིགས་བསལ་ཞིག་རེད། ཨར་ཊིན་ཤི་རི་ཡར་གྲུབ་རྩིས་ལྟར་ན་རྒྱ་བསྐྱེད་འདིའི་ཚད་གཞི་དེ་ངེས་པར་དུ་2ཡིན་པ་དང་། Fནི་གཞི་རྩ་ནས་Rདང་འདྲ་མཉམ་ཡིན། དེ་ལྟ་བུའི་ཁོངས་ལ་སྒོ་བརྒྱབ་པའི་ཁོངས་ངོ་མ་ཡང་ཟེར། 

ཁོངས་Fགང་རུང་ཞིག་ལ་ཨལ་ཇེབ་བྲའི་ཁ་རྒྱག་ཡོད། དེ་ལ་སྤྱིར་བཏང་དུ་ཨལ་ཇེབ་བྲའི་ཁ་རྒྱག་ཅེས་འབོད་པ་དང་Fཞེས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། Qཡི་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཁ་རྒྱག་Qལ་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས་ཟེར། དེའི་བཟོ་བཀོད་ལ་འདེམས་སྒྲུག་གི་གྲུབ་མཐའ་ལས་ཞན་པའི་སྒྲིག་གཞིའི་གྲུབ་མཐའི་གྲུབ་མཐའ་དགོས་པས་ཁོངས་Fསྤྱིར་བཏང་དུ་མངོན་གསལ་དོད་པོ་ཡོད། འདིའི་སྐོར་ལ་Fq,ཡི་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཁ་རྒྱག་པ་དེ་ཧ་ཅང་ལས་སླ་པོ་ཡིན། དེ་ནི་Fqཡོད་པའི་ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས་ཀྱི་མཉམ་འབྲེལ་q། ཁྱད་ཆོས་0ཡི་ཚབ་རྩིས་ཁ་བརྒྱབ་པའི་ཁོངས་Fགང་རུང་ལ་ལོ་རེན་རིམ་སྒྲིག་གི་ཁོངས་F༼༼t༽༽ཡི་ཚབ་རྩིས་ཁ་བརྒྱབ་པ་དེ་tཡི་ཉེ་འགྲམ་གྱི་རྩ་བ་བརྒྱུད་ནས་ཐོབ་པའི་Puiseuxརིམ་པའི་ཁོངས་ཡིན། 

 སྒྲིག་གཞི་ཁ་སྣོན་ཡོད་པའི་ཁོངས། 
རྩིས་རིག་དང་དེ་ལས་ལྷག་པའི་ནང་དུ་ཁོངས་གང་སར་ཡོད་པའི་རྐྱེན་གྱིས་བསམ་གཞིག་དེའི་ལེགས་བཅོས་འགའ་ཤས་རྩིས་རིག་གི་ཁོངས་དམིགས་བསལ་གྱི་དགོས་མཁོ་ལ་བསྟུན་ནས་བསྟུན་ཡོད། 

 གོ་རིམ་སྒྲིག་པའི་ཁོངས། 

གལ་ཏེ་ཆ་ཤས་གཉིས་བསྡུར་ཐུབ་ན་ཁོངས་Fལ་གོ་རིམ་ཡོད་པའི་ཁོངས་ཟེར། དེར་བརྟེན་x≥0དང་yxy0ཡིན་པའི་སྐབས་x+y≥xདང་xy≥yཡིན། དཔེར་ན། ཨང་གྲངས་ངོ་མ་རྣམས་ཀྱིས་གོ་རིམ་ཅན་གྱི་ཁོངས་ཞིག་གྲུབ་པ་དང༌།  ≥.ཨར་ཊིན་ཤི་རི་ཡར་གྲུབ་རྩིས་ཀྱིས་ཁོངས་ཤིག་སྒྲིག་འཛུགས་བྱེད་ཐུབ་ཅེས་བརྗོད་ཡོད། གལ་ཏེ་དེ་དངོས་ཡོད་ཀྱི་ཁོངས་ཤིག་ཡིན་ན། 



ཐབས་ཤེས་x1=x2=⋯=xn=0ཙམ་ལས་མེད། གཏན་འཁེལ་གྱི་ཁོངས་Fཐོག་ལ་འབྱུང་སྲིད་པའི་གོ་རིམ་ཚང་མའི་ཆ་ཚན་དེ་Fནས་Zབར་གྱི་ཝིཊ་སྒོར་ཐིག་W༼F༽ནས་བཞི་ཆའི་རྣམ་པ་ཅན་གྱི་སྒོར་ཐིག་འདྲ་མཉམ་གྱི་ཆ་ཚན་ལ་འདྲ་མཚུངས་

ཨར་ཁི་མི་ཌིའི་ཁོངས་ནི་གོ་རིམ་ལྡན་པའི་ཁོངས་ཤིག་ཡིན་པས་ཆ་ཤས་རེ་རེར་ཚད་ལྡན་གྱི་བརྡ་སྟོན་ཡོད། 

 1+1+⋯+1

གང་གི་རིན་ཐང་དེ་འབྱུང་བ་དེ་ལས་ཆེ་བ་ཡིན་པ་དེ་ནི་འབྱུང་བ་ཚད་མེད་མེད་པ་རེད། འདྲ་མཉམ་གྱིས་ཁོངས་ནང་ལ་ཚད་མེད་ཆུང་ཆུང་མེད་༼ཁུངས་ལྡན་ཨང་གྲངས་ཚང་མ་ལས་ཆུང་བའི་ཆ་ཤས༽དང་། ཡང་ན་དེ་དང་འདྲ་མཉམ་གྱི་ཁོངས་དེ་Rཡི་ཁོངས་ཆུང་བ་ཞིག་ལ་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། 

དངོས་ཡོད་ཀྱི་ཡན་ལག་ཁོངས་ཚང་མར་ཡང་དེ་ལྟ་བུའི་བར་སྟོང་ཡོད་པས་Rནི་གོ་རིམ་ཆ་ཚང་ཡོད་པའི་ཁོངས་ཐུན་མོང་མ་ཡིན་པ་དེ་ཡིན། རྩིས་རིག་གི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་འབྲས་འགའ་ཤས་དངོས་ཡོད་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་འདི་ལས་ཐད་ཀར་འབྱུང་བ་

ཧྥུ་རི་ཡལ་R*གིས་ཨར་ཀི་མི་ཌི་ཡན་མིན་པའི་གོ་རིམ་ཅན་གྱི་ཁོངས་ཤིག་བཟོས། དེ་ནི་ཚད་མེད་དང་ཚད་མེད་ཆུང་བའི་གྲངས་ཚུད་ནས་ཐོབ་པའི་དངོས་ཡོད་ཀྱི་རྒྱ་བསྐྱེད་ཅིག་ཡིན། འདི་དག་ནི་ཨང་གྲངས་ངོ་མ་གང་རུང་ལས་ཆེ་བ་དང་། གོ་རིམ་བཞིན་ཆུང་བ་ཡིན། དངོས་ཡོད་ལས་བརྒལ་བ་དེས་ཚད་གཞི་མིན་པའི་དབྱེ་ཞིབ་ཀྱི་གཞི་རྩའི་གཞི་རྩ་ཆགས་ཡོད། 

 ས་ཁམས་རིག་པའི་ཁོངས། 
ཁོངས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་གི་ལེགས་བཅོས་aནི་ཁོངས་རིག་པའི་ཁོངས་ཡིན། དེའི་ནང་དུ་ཆ་ཚན་Faཁོངས་རིག་པའི་བར་སྟོང་ཡིན། གཤམ་དུ་གྲོས་བསྡུར་བྱས་པའི་ཁོངས་ཚང་མའི་ས་ཁམས་རིག་པ་དེ་ཚད་གཞི་ཞིག་ནས་བསླངས་པ་རེད། དེ་ཡང་ལས་འགན་ཞིག་

 d:F×F→R,

དེས་Fཡི་ཆ་ཤས་གཉིས་ཀྱི་བར་ཐག་ཚད་འཇལ་གྱི་ཡོད། 

Fཡི་མཇུག་སྒྲིལ་ནི་ཁོངས་གཞན་ཞིག་ཡིནFདཔེར་ན། xx√2ལྟ་བུའི་རྒྱུ་མཚན་མེད་པའི་ཨང་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་ནི་རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཨང་གྲངས་Qནང་དུ་xpཐག་"|p། |−p/q|འདོད་པ་ལྟར་ཆུང་ཆུང་ཡིན། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནང་འཛུགས་སྐྲུན་འདིའི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ཤས་ཐོ་འགོད་བྱས་ཡོད། ཀ་རིལ་བཞི་པ་དེས་ཀླད་ཀོར་གྱི་རིམ་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། དེ་ཡང་རིམ་པ་དེའི་ཚད་གཞི་༼n→∞ལ་༽ཀླད་ཀོར་ཡིན། 
ཁོངས མེ་ཊིག།  མཇུག་སྒྲིལ།  ཀླད་ཀོར་རིམ་པ།  Q |x−y|༼སྤྱིར་བཏང་གི་རིན་ཐང་ཆ་ཚང་། ༽ R 1/n Q <i id="mwBT4">p</i>-adicརིན་ཐང་བརྩི་སྟངས་སྤྱད་དེ་ཐོབ། ཨང་གྲངས་གཙོ་བོp Qp༼p-adicགྲངས་ཀ༽ pn F༼t༽༼Fཁོངས་གང་རུང་ཞིག༽ t-adicརིན་ཐང་བརྩི་སྟངས་སྤྱད་དེ་ཐོབ་པ་རེད།  F༼༼t༽༽ tn
གཞི་གྲངས་Qpནི་ཨང་གྲངས་གྲུབ་མཐའ་དང་p-adicདབྱེ་ཞིབ་ནང་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཁ་རྒྱག་པ་Qpལ་Qpཐོག་གི་ཚད་གཞི་དེ་རྒྱ་བསྐྱེད་བྱེད་པའི་ཚད་གཞི་གཞན་དང་མི་འདྲ་བ་ཞིག་འཁྱེར་ཡོད། འོན་ཀྱང་དེ་ཆ་ཚང་མིན། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་སྒོ་བརྒྱབ་པའི་མཇུག་སྒྲིལ་དེ་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཐོག་ནས་ཁ་རྒྱག་པ་རེད། དེའི་སྣ་མང་ཨང་གྲངས་དང་འདྲ་མཚུངས་ཚབས་ཆེན་ཡོད་པའི་རྐྱེན་གྱིས་སྐབས་རེ་དེ་ལ་སྣ་མང་p-adicཨང་གྲངས་ཞེས་འབོད་པ་དང་། དེ་ལ་Cpཞེས་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། 

 ས་གནས་ཀྱི་ཁོངས། 
གཤམ་གྱི་ས་ཁམས་རིག་པའི་ཁོངས་ལ་ས་གནས་ཁོངས་ཟེར། [e].

 Qpཡི་ཚད་ལྡན་རྒྱ་བསྐྱེད། ༼ཁྱད་ཆོས་ཀླད་ཀོར་གྱི་ས་གནས་ཀྱི་ཁོངས་༽
 མཐའ་མའི་རྒྱ་བསྐྱེད། Fp༼༼t༽༽,Fpཐོག་ལ་ལོ་རེན་རིམ་པའི་ཁོངས་༼ཁྱད་ཆོས་pཡི་ས་གནས་ཀྱི་ཁོངས་༽ཡིན། 

ས་གནས་ཀྱི་ཁོངས་འདི་གཉིས་ལ་གཞི་རྩའི་འདྲ་མཚུངས་འགའ་ཤས་ཡོད། འབྲེལ་བ་འདིའི་ནང་དུ་ཆ་ཤས་p∈Qpདང་t∈Fp༼༼t༽༽༼གཅིག་གྱུར་བཟོ་མཁན་ཞེས་བརྗོད་པ༽གཉིས་ཕན་ཚུན་མཐུན་ཡོད། འདིའི་མངོན་ཚུལ་དང་པོ་དེ་གཞི་རིམ་གྱི་གནས་ཚད་ལ་ཡོད། ཁོངས་གཉིས་ཀའི་ཆ་ཤས་དེ་ཚོ་གཅིག་གྱུར་བཟོ་མཁན་གྱི་ནུས་ཤུགས་རིམ་པ་ལྟར་བརྗོད་ཐུབ། དེའི་ཚད་གཞི་དེ་Fpནང་དུ་ཡོད། ༼ཡིན་ནའང་། Qpནང་དུ་བསྡོམས་རྩིས་བྱེད་པ་དེ་འཁྱེར་ནས་བྱེད་པ་ཡིན་པས་Fp༼༼t༽༽ནང་དུ་དེ་ལྟར་མ་རེད། 

 གོ་རིམ་དང་པོའི་བརྗོད་ཚིག་གང་རུང་ཞིག་ཧ་ལམ་Qpཚང་མར་བདེན་པ་ཡིན་ན་དེ་ཡང་Fp༼༼t༽༽ཧ་ལམ་ཚང་མར་བདེན་པ་ཡིན། འདིའི་བཀོལ་སྤྱོད་ནི་Qpནང་དུ་འདྲ་མཉམ་གྱི་ཚད་མང་གྲངས་ཀྱི་ཀླད་ཀོར་འགྲེལ་བཤད་བྱེད་པའི་ཨེགསི་–ཀོ་ཆེན་གྲུབ་རྩིས་ཡིན། 
 ཁོངས་གཉིས་ཀའི་ཡལ་ག་ཅན་གྱི་རྒྱ་བསྐྱེད་དེ་གཅིག་གིས་གཅིག་ལ་གདོང་ཐུག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། 
 pཡི་གང་འདོད་ཀྱི་p-powerརྩ་བ་༼Qpནང་༽དང་t༼Fp༼༼t༽༽ནང་༽༽ཡི་༼Fpནང་༼༼t༽༽༽གྱི་གང་འདོད་ཀྱི་p-powerརྩ་བ་དེ་དག་གིས་ཡང་དག་པའི་ཁོངས་ཞེས་འབོད་པའི་ཁོངས་འདི་དག་གི་༼མཐའ་མེད་༽རྒྱ་བསྐྱེད་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད། ཡིད་ཆེས་བྱེད་དགོས་པ་ཞིག་ལ། ཁོངས་འདི་གཉིས་ཀྱི་གྷ་ལོ་ཝ་སྡེ་ཚན་དེ་ཚོ་འདྲ་མཚུངས་

 ཁྱད་པར་ཅན་གྱི་ཁོངས། 
ཁྱད་པར་ཅན་གྱི་ཁོངས་ནི་འབྱུང་ཁུངས་བཀོད་སྒྲིག་བྱས་པའི་ཁོངས་ཡིན། དེ་ཡང་ཁོངས་ནང་དུ་འབྱུང་བའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་འབྱུང་ཁུངས་ལེན་ཆོགདཔེར་ན། ཁོངས་R༼X༽,དང་ཚད་མང་གྲངས་ཐོའི་ཚད་གཞིའི་འབྱུང་ཁུངས་མཉམ་དུ་ཁྱད་པར་ཅན་གྱི་ཁོངས་ཤིག་གྲུབ་ཡོད། དེ་དག་ནི་གྷ་ལོའི་གྲུབ་མཐའ་ཁྱད་པར་ཅན་གྱི་ལྟེ་གནས་ཡིན། དེ་ནི་རིམ་པ་ཁྱད་པར་ཅན་གྱི་སྙོམ་རྩིས་ལ་གདོང་ལེན་བྱེད་པའི་གྷ་ལོའི་གྲུབ་མཐའ་ཡི་ཁྱད་པར་ཞིག་ཡིན། 

 གྷ་ལོའི་གྲུབ་མཐའ། 

གྷ་ལོའི་གྲུབ་མཐའ་དེས་བསྡོམས་རྩིས་དང་བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་རྩིས་རིག་བཀོལ་སྤྱོད་ཀྱི་འདྲ་མཉམ་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱས་ནས་ཁོངས་ཤིག་གི་ཚབ་རྩིས་རྒྱ་བསྐྱེད་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ཁོངས་འདིའི་ནང་དུ་གལ་ཆེ་བའི་བསམ་ཚུལ་ཞིག་ནི་ཚད་གཞི་ཅན་གྱི་གྷ་ལོའི་རྒྱ་བསྐྱེད་F/Eཡིན། གནའ་བོའི་འབྱུང་བ་གྲུབ་རྩིས་དེས་ཚད་ལྡན་གྱི་དབྱེ་འབྱེད་རྒྱ་བསྐྱེད་དེ་ངེས་པར་དུ་ལས་སླ་པོ་ཡིན་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། 

 F=E[X]/f༼X༽,

གང་དུ་fནི་ཉུང་དུ་མི་ཐུབ་པའི་གྲངས་མང་གྲངས་ཡིན། ༼གོང་ལྟར་༽དེ་ལྟ་བུའི་རྒྱ་བསྐྱེད་ཀྱི་ཆེད་དུ་སྤྱིར་བཏང་དང་དབྱེ་འབྱེད་བྱེད་ཐུབ་པ་དེས་fཡི་ཀླད་ཀོར་ཚང་མ་Fནང་དུ་ཡོད་ཅིང་། fཀླད་ཀོར་སྟབས་བདེ་ཁོ་ན་ཡོད། གལ་ཏེ་Eཁྱད་ཆོས་0ཡོད་ན། མཐའ་མའི་གནས་སྟངས་དེ་རྟག་ཏུ་འདོད་བློ་ཁེངས་ཡོད། 

གྷ་ལོའི་རྒྱ་བསྐྱེད་ཀྱི་ཆེད་དུ་གྷ་ལོའི་སྡེ་ཚན་GalGal༼F/E༽ནི་Fཡི་ཁོངས་རང་འགུལ་གྱི་སྡེ་ཚན་དེ་Eསྟེང་ལ་ཆུང་ཆུང་ཡིནσ:F→Fདེས་བསྡོམས་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་སྲུང་སྐྱོབ་བྱེད་པ་དང་། དེས་རང་ཉིད་ལ་Eཡི་ཆ་ཤས་གཏོང་བ་རེད། གྷ་ལོའི་གྲུབ་མཐའ་དེའི་གཞི་རྩའི་གྲུབ་རྩིས་ལས་བྱུང་བ་ཡིན། དེས་Gal༼F/E༽ཡི་སྡེ་ཚན་ཆུང་བའི་ཆ་ཚན་དང་རྒྱ་བསྐྱེད་F/Eཡི་བར་མའི་རྒྱ་བསྐྱེད་ཆ་ཚན་གྱི་བར་ལ་གཅིག་ལ་གཅིག་གི་འབྲེལ་བ་གསལ་པོ་བཟོ་གི་ཡོད། མཐུན་སྒྲིལ་འདིའི་ཐོག་ནས་སྡེ་ཚན་གྲུབ་མཐའི་རྒྱུ་ཆ་དེ་ཚོ་ཁོངས་སྐོར་གྱི་བདེན་པ་ལ་སྒྱུར་གྱི་དཔེར་ན། གལ་ཏེ་གོང་ལྟར་གྷ་ལོ་རྒྱ་བསྐྱེད་ཀྱི་གྷ་ལོ་སྡེ་ཚན་དེ་སེལ་ཐུབ་ཀྱི་མེད་ན། ༼ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་སྡེ་ཚན་ནས་བཟོ་མི་ཐུབ། ༽དེ་ནས་fཡི་ཀླད་ཀོར་དེ་ཚོ་བསྡོམས་རྩིས་དང་། .དཔེར་ན། འདྲ་མཉམ་གྱི་སྡེ་ཚན་Snདེ་n≥5ལ་ཐག་གཅོད་བྱེད་ཐུབ་ཀྱི་མེད། དེར་བརྟེན་སྟོན་ཐུབ་པ་ལྟར་གཤམ་གྱི་ཚད་མང་གྲངས་ཀྱི་ཀླད་ཀོར་དེ་ཚོ་བསྡོམས་རྩིས་དང་ཐོན་འབྲས་དང་གཞི་གྲངས་བཅས་ཀྱིས་བརྗོད་མི་ཐུབ། མཐའ་མའི་ཚད་མང་གྲངས་ལ་དོན་དངོས་འདི་ཨེ་བྷེལ་རུ་ཕི་ནི་གྲུབ་རྩིས་ཟེར། 

 f༼X༽=X5−4X+2༼andE=Q༽,
 f༼X༽=Xn+an−1Xn−1+⋯+a0༼wherefisregardedasapolynomialinE༼a0,...,an−1༽,forsomeindeterminatesai,Eisanyfield,andn≥5༽.

ཁོངས་ཀྱི་གནོན་ཤུགས་ཐོན་འབྲས་དེ་སྤྱིར་བཏང་ཁོངས་མིན། དཔེར་ན། ཚད་གཞི་nཡི་ཚད་ལྡན་རྒྱ་བསྐྱེད་F/Eནི་གལ་ཏེ་F-ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་འདྲ་མཚུངས་ཡོད་ན་གྷ་ལོའི་རྒྱ་བསྐྱེད་ཡིན། 

 F⊗EF≅Fn.

དོན་དངོས་འདི་ནི་གྷོ་ཏེན་ཌིག་གི་གྷ་ལོའི་གྲུབ་མཐའ་འགོ་ཚུགས་པ་ཡིན། 

 ཁོངས་ཀྱི་འགྱུར་མེད་རིགས། 
ཁོངས་Fཡི་གཞི་རྩའི་འགྱུར་ལྡོག་མེད་པའི་ནང་ལ་Fཡི་ཁྱད་ཆོས་དང་དེའི་ཁོངས་གཙོ་བོའི་སྟེང་ནས་བརྒལ་བའི་ཚད་གཞི་ཚུད་ཡོད། ཕྱི་མ་དེ་Fནང་ཡོད་པའི་ཆ་ཤས་ཆེ་ཤོས་ཀྱི་གྲངས་ཚད་དེ་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཐོག་ནས་གཞི་རྩའི་ཁོངས་ཐོག་ལ་རང་དབང་ཅན་ཡིན་པར་འགྲེལ་བརྗོད་བྱེད། གལ་ཏེ་གནས་སྡུད་གཉིས་མོས་མཐུན་ཡོད་ན། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཐོག་ནས་ཁ་བརྒྱབ་པའི་ཁོངས་གཉིས་Eདང་Fནི་འདྲ་མཉམ་ཡིན། འདིས་རྩིས་རྒྱག་མི་ཐུབ་པའི་ཨལ་ཇེབ་རའི་ཐོག་ནས་ཁ་བརྒྱབ་པའི་ཁོངས་གཉིས་གང་རུང་ཞིག་ལ་གཞི་རྩའི་ཆ་ནས་གཅིག་པ་དང་ཁྱད་ཆོས་གཅིག་པ་དེ་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པ་བསྟན་ཡོད། དཔེར་ན་Qpདང་། Cpདང་Cནི་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། ༼འོན་ཀྱང་ས་ཁམས་རིག་པའི་ཁོངས་ལྟར་འདྲ་མཚུངས་མིན། ༽

 ཁོངས་ཀྱི་དཔེ་སྟོན་གྲུབ་མཐའ། 
དཔེ་སྟོན་གྲུབ་མཐའ་ནང་། རྩིས་རིག་གི་གཏན་ཚིགས་ཀྱི་ཡན་ལག་ཅིག་ཡིནFགལ་ཏེ་EEབདེན་པ་ཡིན་པའི་རྩིས་རིག་གི་བརྗོད་ཚིག་ཚང་མ་Fལ་ཡང་བདེན་པ་ཡིན་ན། དྲི་བ་ཡོད་པའི་རྩིས་རིག་གི་བརྗོད་ཚིག་དེ་ཚོ་གོ་རིམ་དང་པོའི་ཚིག་གྲུབ་ཡིན་དགོས། ༼0,1,བསྡོམས་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་བཅས་ཚུད་ཡོད། ༽སྤྱིར་བཏང་གི་དཔེ་མཚོན་n>0,nཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་ན། 

 φ༼E༽="anypolynomialofdegreeninEhasazeroinE"

nཚང་མའི་ཆེད་དུ་མན་ངག་དེ་འདྲའི་ཆ་ཚན་གྱིས་Eཚབ་རྩིས་ཐོག་ནས་ཁ་རྒྱག་པ་གསལ་སྟོན་བྱེད། ལེཕ་ཤེ་ཊིས་ཀྱི་གཞི་རྩ་དེས་Cནི་ཁྱད་ཆོས་ཀླད་ཀོར་གྱི་ཨལ་ཇེབ་བྲའི་སྒོ་བརྒྱབ་པའི་ཁོངས་Fགང་རུང་དང་གཞི་རྩའི་ཆ་ནས་འདྲ་མཉམ་ཡིན་པ་བརྗོད་ཡོད། དེ་མིན་གཏན་འཁེལ་གྱི་བརྗོད་གཞི་གང་རུང་ཞིག་φCནང་དུ་འཛིན་ཐུབ་ན་དེ་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་སྒོ་ནས་ཁ་བརྒྱབ་པའི་ཁོངས་གང་རུང་ཞིག་གི་ཁྱད་ཆོས་མཐོ་པོ་ཡོད་པའི་ནང་དུ་འཛིན་ཐུབ་ན། 

གལ་ཏེ་Uནི་ཆ་ཚན་Iཐོག་གི་ཚགས་རླུང་མཐོ་ཤོས་ཤིག་ཡིན་པ་དང་། FiFIIཡོད་པའི་iརེ་རེའི་ཆེད་དུ་ཁོངས་ཤིག་ཡིན་ནUགིས་མཚོན་ཡོད། 

 ulimi→∞Fi,

དེ་ཡང་Fi:Łośཡི་གྲུབ་རྩིས་ལྟར་ན། གོ་རིམ་དང་པོའི་བརྗོད་ཚིག་གང་རུང་ཞིག་གིས་ཚང་མ་ལ་འཛིན་ཐུབ་པ་མ་གཏོགས་ཚད་མེད་ཀྱི་Fiམང་པོ་ལ་ཡང་འཛིན་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། གོང་གི་ཚིག་གྲུབ་φལ་འཇུག་ན་འདིས་འདྲ་མཚུངས་ཀྱི་རྣམ་པ་[f]ཡོད་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། 



གོང་དུ་བརྗོད་པའི་Ax–Kochenགྲུབ་རྩིས་དེ་ཡང་འདི་ལས་བྱུང་བ་དང་། ཐོན་རྫས་ཆེ་ཤོས་ཀྱི་འདྲ་མཚུངས་ཡིནp

 ulimpQp≅ulimpFp༼༼t༽༽.

དེ་མིན་དཔེ་ཚད་གྲུབ་མཐའ་དེས་ཁོངས་རིགས་གཞན་སྣ་ཚོགས་ཀྱི་གཏན་ཚིག་གི་ཁྱད་ཆོས་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། དངོས་གནས་ཁ་བརྒྱབ་པའི་ཁོངས་ཡང་ན་སྒྱུར་རྩིས་ཁོངས་༼དེ་དག་ལ་མགྱོགས་ཚད་ཀྱི་ལས་འགན་exp:F→F×༽.

 གྷ་ལོ་ཝེ་སྡེ་ཚན། 
ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཐོག་ནས་ཁ་མ་བརྒྱབ་པའི་ཁོངས་ལ་༼ཡང་ན་ཁ་བྲལ་ཐུབ་པའི་ཁ་བརྒྱབ་མེད་པའི་༽གྷ་ལོ་ཝ་སྡེ་ཚན་Gal༼F༽དེ་གཞི་རྩའི་ཐོག་ནས་གལ་ཆེན་པོ་ཡིནFགཞི་རིམ་གྱི་ཐབས་ལམ་ཐོག་ནས་Gal༼Fq༽སྡེ་ཚན་དེ་Zཡི་ཆ་ཚང་མཇུག་སྒྲིལ་བའི་Prüferསྡེ་ཚན་ཡིན་པ་སྟོན་ཐུབ། བརྗོད་ཚིག་འདིས་Gal༼Fq༽ཡི་ཚབ་རྩིས་རྒྱ་བསྐྱེད་གཅིག་པུ་དེ་n>0ཡི་ཁོངས་Gal༼Fqn༽ཡིན་པའི་གནས་ཚུལ་དེ་བསྡུ་རུབ་བྱས་པ་དང་། 

 Gal༼Fqn/Fq༽=Z/nZ.

གློག་འདོན་འཕྲུལ་ཆས་དང་འབྲེལ་བའི་ཐད་ནས་འགྲེལ་བཤད་དེ་p-adicཨང་གྲངས་ཁོངས་ཀྱི་གྷ་ལོ་སི་སྡེ་ཚན་ལ་ཡང་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། ༼Qpཡི་ཚད་ལྡན་རྒྱ་བསྐྱེད་༽

གྷ་ལོའི་སྡེ་ཚན་དང་འབྲེལ་ཡོད་སྡེ་ཚན་དཔེར་ན་ཝེལ་སྡེ་ཚན་ལྟ་བུའི་མཚོན་ཚུལ་དེ་ཨང་རྩིས་རིག་པའི་ཡན་ལག་མང་པོའི་ནང་གཞི་རྩ་ཡིན། དཔེར་ན་ལང་ལེནཌ་ལས་རིམ་ལྟ་བུ། དེ་ལྟ་བུའི་མཚོན་ཚུལ་གྱི་མཉམ་སྦྱོར་རིག་པའི་ཞིབ་འཇུག་དེ་གྷ་ལོའི་མཉམ་སྦྱོར་རིག་པ་བཀོལ་ནས་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་སྔར་སྲོལ་ལྟར་ན་དབུས་མའི་F-algebrasཡི་སྡེ་ཚན་དུ་ངེས་ཚིག་བཀོད་པའི་Brauerསྡེ་ཚན་དེ་Galoiscohomologyསྡེ་ཚན་དུ་བསྐྱར་དུ་དོན་འགྲེལ་བྱེད་ཐུབ། 



2000ལོར་ཝ་ལ་ཌི་མིར་ཝོ་ཝོ་ཌི་སི་ཀི་ཡིས་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱས་པའི་ཚད་གཞིའི་ལྷག་མའི་འདྲ་མཚུངས་གྲུབ་རྩིས་དེས་འདྲ་མཉམ་གྱི་ཐོག་ནས་གྷ་ལོའི་མཉམ་སྦྱོར་རིག་པ་དང་འབྲེལ་བ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། 



ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་K-གྲུབ་མཐའ་དེ་སྤྲད་པའི་ཁོངས་ལ་ཚད་གཞི་ཡོད་པའི་ཕྱིར་ལོག་ཐུབ་པའི་མེ་ཊིགས་ཀྱི་སྡེ་ཚན་དང་འབྲེལ་བ་ཡོད། དཔེར་ན། ཕྱིར་ལོག་ཐུབ་པའི་མཐའ་མཚམས་ཀྱི་གཏན་འབེབས་བྱེད་མཁན་ལེན་པའི་བྱ་རིམ་གྱིས་འདྲ་མཉམ་གྱི་རྣམ་པ་K1༼F༽=F×ལ་སྣེ་ཁྲིད་བྱེད། མཙུ་མོ་ཊོ་ཡི་གྲུབ་རྩིས་ཀྱིས་K2༼F༽དང་K2M༼F༽གཉིས་མཐུན་པར་སྟོན་གྱི་ཡོད། མཐོ་རིམ་གྱི་རིམ་པ་ཁག་ལ་ཀེ་གྲུབ་མཐའ་དེ་མིལ་ནོར་ཀེ་གྲུབ་མཐའ་ལས་ཐ་དད་དུ་གྱུར་ནས་སྤྱིར་བཏང་རྩིས་རྒྱག་པར་དཀའ་ངལ་འཕྲད་ཀྱི་ཡོད། 

 ཞུ་ཡིག 

 ཐིག་རིས་ཚབ་རྩིས་དང་བརྗེ་སྒྱུར་ཚབ་རྩིས་རིག་པ། 
གལ་ཏེ་a≠0ཡིན་ན། 

 ax=b

ཁོངས་Fནང་དུ་ཐུན་མོང་མ་ཡིན་པའི་ཐབས་ཤེས་xཡོད། ཁོངས་ཀྱི་ངེས་ཚིག་གི་འཕྲལ་མར་གྱི་མཇུག་འབྲས་འདི་རིམ་འགྲོས་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ནང་གཞི་རྩ་ཡིན། དཔེར་ན། དེ་ནི་གྷོ་སི་༼Gaussian༽རྩ་མེད་གཏོང་བའི་གལ་ཆེའི་ཆ་ཤས་ཤིག་ཡིན་པ་དང་། 

ཚད་གཞིའི་གྲུབ་མཐའ་༼ཁོངས་ཀྱི་ཚབ་ཏུ་སྒོར་སྒོར་གྱི་སྟེང་དུ་བེག་ཊར་བར་སྟོང་གི་དཔེ་མཚུངས་༽དེ་ཧ་ཅང་རྙོག་འཛིང་ཆེ་བ་ཡིན། རྒྱུ་མཚན་ནི་གོང་འཁོད་ཀྱི་སྙོམ་རྩིས་ལ་ཐབས་ཤེས་འགའ་ཤས་ཡོད་སྲིད་པའམ་ཡང་ན་མེད་པ་ཡིན་སྲིད། དམིགས་བསལ་གྱི་རིམ་འགྲོས་སྙོམ་རྩིས་ལམ་ལུགས་དེ་ཁོངས་ཀྱི་གནས་སྟངས་ལས་ཐག་གཅོད་བྱེད་པར་དཀའ་ངལ་ཆེ་བ་ཡོད། ཐ་ན་ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྒོར་ཐིག་Zཡི་དམིགས་བསལ་གྱི་གནས་སྟངས་སྟབས་བདེ་པོ་དེ་ཡང་། 

 ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས། གསང་ཡིག་དང་གསང་གྲངས་གྲུབ་མཐའ། 
ཁྱབ་ཆེར་སྤྱོད་པའི་གསང་ཡིག་རྒྱུན་གཏན་གྱིས་ཐ་དད་ཀྱི་མགྱོགས་ཚད་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པའི་དོན་དངོས་དེ་དཔེར་ན།རྩིས་རྒྱག

 an=a⋅a⋅⋯⋅a༼nfactors,foranintegern≥1༽

༼ཆེ་བ༽ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས་ནང་Fqནི་ཐ་དད་ཀྱི་ལོ་གྷ་རི་དམ་ལས་ནུས་པ་ཆེ་བ་སྒྲུབ་ཐུབ། དེ་ནི་ལྡོག་ཕྱོགས་ཀྱི་བཀོལ་སྤྱོད་ཡིན། དེ་ཡང་སྙོམ་རྩིས་ཀྱི་ཐབས་ཤེས་nགཏན་འབེབས་བྱེད། 

 དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ། :བྱེད་ནུས་ཁོངས། 
འོས་འཚམ་གྱི་ས་ཁམས་རིག་པའི་བར་སྟོང་Xཐོག་གི་ལས་འགན་དེ་ཁོངས་Fནང་དུ་བསྡོམས་ནས་ས་ཚིགས་ལྟར་བསྒྱུར་ཐུབ། དཔེར་ན། ལས་འགན་གཉིས་ཀྱི་ཐོན་འབྲས་དེ་ཁོངས་ནང་ཁུལ་གྱི་རིན་ཐང་གི་ཐོན་འབྲས་ཀྱིས་ངེས་ཚིག་བཀོད་ཡོད། 

 ༼f⋅g༽༼x༽=f༼x༽⋅g༼x༽.

འདིས་ལས་འགན་འདི་དག་Fབརྗེ་སྒྱུར་གྱི་ཨལ་ཇེབ་ར་ལ་བཟོས། 

ལས་འགན་གྱི་ཁོངས་ཡོད་པའི་ཆེད་དུ་ལས་འགན་གྱི་ཨལ་ཇེབ་ར་དེ་ཆ་ཤས་གཙོ་བོ་ཡིན་པའི་ཁོངས་ཡིན་པར་བསམ་གཞིག་བྱེད་དགོས། གནས་སྟངས་དེའི་ནང་དུ་ལས་འགན་གཉིས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས། དཔེར་ན། རྣམ་པའི་བརྡ་སྟོན། 

ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་སྣ་མང་Xཡི་ལས་འགན་ཁོངས་༼དབྱིབས་རྩིས་དངོས་པོ་ཞིགཚད་མང་སྙོམ་རྩིས་ཀྱི་སྤྱིར་བཏང་གི་ཀླད་ཀོར་དུ་ངེས་ཚིག་བཀོད་ཡོད། ༽དེ་ལ་དུས་རྒྱུན་གྱི་ལས་འགན་གྱི་ཆ་སྙོམས་ཡོད། དེ་ཡང་སྣ་མང་སྟེང་གི་ཚད་མང་ལས་འགན་གྱི་ཆ་སྙོམས་ཡིན། nཚད་གཞིའི་བར་སྟོང་གི་ལས་འགན་ཁོངས་Fཡི་ཁོངས་F༼x1,...,xn༽ཡིན། དེ་ཡང་nགཏན་འཁེལ་མེད་པའི་ནང་དུ་མང་ཚིག་གི་ཆ་སྙོམས་ལས་གྲུབ་པའི་ཁོངས་ཡིན། Xཡི་ལས་འགན་ཁོངས་ནི་ཁ་ཕྱེ་བའི་མཐུག་ཚད་ཆུང་བ་གང་རུང་དང་གཅིག་པ་ཡིན། ཚིག་གཞན་ཞིག་གིས་བཤད་ན་ལས་འགན་ཁོངས་དེ་Xཚབ་ལ་༼ཅུང་ཟད་༽ཆུང་བའི་སྣ་མང་ཆུང་བ་ཞིག་གིས་ཚོར་སྣང་མེད་པ་རེད། 

ལས་འགན་གྱི་ཁོངས་དེ་རིགས་མཚུངས་དང་རིགས་གཉིས་ཀྱི་འདྲ་མཉམ་གྱི་འོག་ལ་འགྱུར་ལྡོག་མེད་པ་རེད། དེར་བརྟེན་དེ་ནི་བཅུད་དོན་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་སྣ་མང་ཞིབ་འཇུག་དང་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་སྣ་མང་དབྱེ་འབྱེད་བྱེད་པའི་ལག་ཆ་གལ་ཆེན་ཞིག་ཡིན། དཔེར་ན། F༼X༽ཡི་ཚད་ལས་བརྒལ་བའི་ཚད་གཞི་དང་འདྲ་མཉམ་གྱི་ཆ་ཚད་དེ་གཉིས་ལྡན་གྱི་འདྲ་མཉམ་གྱི་འོག་ལ་འགྱུར་ལྡོག་མེད་པ་རེད། གུག་རྟགས་ལ་ནXཆ་ཚད་གཅིག་ཡིན་༽ལས་འགན་ཁོངས་XFX༽ནི་Xདང་ཧ་ཅང་ཉེ་པོ་ཡོད། [g]མཐོ་ཚད་མཐོ་བའི་ནང་ལ་ལས་འགན་ཁོངས་ཀྱིས་Xསྐོར་གྱི་གནས་ཚུལ་ཉུང་བ་དྲན་གྱི་ཡོད་ཀྱང་། ལས་འགན་གྱི་ཁོངས་དང་དེའི་དབྱིབས་རྩིས་དོན་སྙིང་མཐོ་བའི་ཆ་ཚད་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་པ་དེ་ལ་དབྱིབས་རྩིས་གཉིས་ལྡན་ཟེར། དཔེ་ཚད་ཆུང་ཤོས་ཀྱི་ལས་རིམ་གྱིས་བཀོད་སྒྲིག་བྱས་པའི་ལས་འགན་ཁོངས་དང་མཉམ་དུ་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་སྣ་ཚོགས་སྟབས་བདེ་ཤོས་༼ངེས་གཏན་གྱི་དོན་དག་ཅིག་ནང་༽ངོས་འཛིན་བྱེད་པར་འབད་བརྩོན་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། 

 གྲངས་རིག་གྲུབ་མཐའ། གོ་ལ་ཧྲིལ་པོའི་ཁོངས། 
འཛམ་གླིང་ཡོངས་ཀྱི་ས་ཁོངས་ དེ་ཚོ་ ཨལ་ཇེབ་བྲའི་ཨང་གྲངས་གྲུབ་མཐའ་ དང་ ཨང་རྩིས་དབྱིབས་རྩིས་རིག་ པའི་ནང་ལ་གཙོ་བོར་གྱུར་ཡོད། དེ་དག་ནི་ངེས་ཚིག་ལྟར་ན་ ཨང་གྲངས་ས་ཁོངས་ ( Q ཡི་ཚད་ལྡན་རྒྱ་བསྐྱེད) ཡང་ན་ F q ཡི་ལས་འགན་ས་ཁོངས་( F q ( t ) ) ཡིན། ས་གནས་ཀྱི་ས་ཁོངས་ལ་མཚོན་ན། ས་ཁོངས་རིགས་གཉིས་པོ་དེ་དག་ལ་ཁྱད་ཆོས་འདྲ་མཚུངས་འགའ་ཤས་ཡོད། འོན་ཀྱང་དེ་དག་ལ་ཁྱད་ཆོས་ 0 དང་ཁྱད་ཆོས་བཟང་པོ་ཡོད། ལས་འགན་ས་ཁོངས་ཀྱི་དཔེ་མཚུངས་ འདིས་ཨང་རྩིས་ཀྱི་རེ་བ་བཟོ་བར་ཕན་ཐོགས། མང་ཆེ་བ་ཐོག་མར་ལས་འགན་ས་ཁོངས་ཀྱི་སྐོར་གྱི་དྲི་བ་ཤེས་རྟོགས་བྱུང་བ་དང་། དེ་རྗེས་ཨང་གྲངས་ས་ཁོངས་ཀྱི་གནད་དོན་ལ་བཅོས་ཐབས་བྱེད། ཕྱི་མ་དེ་རྒྱུན་དུ་དཀའ་ཁག་ཆེ་བ་རེད། དཔེར་ན། རི་མན་གྱི་ཟེ་ཊ་ལས་འགན་ གྱི་ཀླད་ཀོར་དང་འབྲེལ་བའི་ རི་མན་གྱི་ཚོད་དཔག་དེ་ (༢༠༡༧ ལོར་ཁ་ཕྱེ་ཡོད་)དེ་ ཝེལ་གྱི་ཚོད་དཔག་ དང་འདྲ་མཉམ་ཡིན་པར་བརྩིས་ཆོག (༡༩༧༤ ལོར་ པི་ཡར་ཌི་ལིན་ གྱིས་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱས།)
འཁོར་སྐྱོད་ཀྱི་ཁོངས་ནི་ཨང་གྲངས་ཀྱི་ཁོངས་ལ་ཞིབ་འཇུག་ཤུགས་ཆེ་ཤོས་བྱེད་པའི་ཁོངས་གྱི་གྲས་སུ་ཚུད་ཡོད། དེ་དག་ནི་Q༼ζn༽ཡི་རྣམ་པ་ཡིན། དེའི་ནང་ζnནི་གཅིག་སྒྲིལ་གྱི་རྩ་བ་nthཡིན། དེ་ཡང་0<m<nཚང་མའི་ཆེད་དུ་ζn=1དང་ζm≠1ལ་འདོད་བློ་ཁེངས་པའི་སྣ་མང་ཨང་གྲངས་ζཡིན། nནི་དུས་རྒྱུན་གྱི་གྲངས་གཞི་གཙོ་བོ་ཞིག་ཡིན་པས་ཀུ་མར་གྱིས་ཕེར་མཱ་ཊི་ཡི་གྲུབ་རྩིས་མཐའ་མ་དེ་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱེད་པར་འཁོར་སྐྱོད་རྡུལ་ཕྲན་གྱི་ཁོངས་བཀོལ་སྤྱོད་

 xn+yn=zn.

ས་གནས་ཀྱི་ཁོངས་ནི་གོ་ལ་ཧྲིལ་པོའི་ཁོངས་ཀྱི་མཇུག་སྒྲིལ་ཡིན། ཨོ་སི་ཊོ་ཝ་སི་ཀིའི་གྲུབ་རྩིས་ཀྱིས་གོ་ལ་ཧྲིལ་པོའི་ཁོངས་Qཡི་མཇུག་སྒྲིལ་གཅིག་པུ་དེ་ས་གནས་ཀྱི་ཁོངས་Qpདང་Rཡིན་པར་བཤད་ཡོད། འཛམ་གླིང་ཡོངས་ཀྱི་ཁོངས་ནང་རྩིས་རིག་གི་དྲི་བ་སློབ་སྦྱོང་བྱེད་པ་དེ་སྐབས་རེ་ས་གནས་དེ་གའི་དྲི་བ་དང་མཐུན་པར་བལྟས་ནས་བྱེད་ཐུབ། ཐབས་ཤེས་འདི་ལ་ས་གནས་དང་འཛམ་གླིང་གི་གཞི་རྩ་ཞེས་འབོད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། ཧ་སི་–མིན་ཀོབ་སི་ཀིའི་གྲུབ་རྩིས་ཀྱིས་གྲུ་བཞི་སྙོམ་རྩིས་ཀྱི་རྒྱུ་མཚན་ལྡན་པའི་ཐབས་ཤེས་འཚོལ་བའི་དཀའ་ངལ་དེ་Rདང་Qpནང་སྙོམ་རྩིས་འདི་དག་སེལ་བར་མར་ཕབ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། 

ས་གནས་ཀྱི་ཁོངས་དང་མི་འདྲ་བར་འཛམ་གླིང་ཁོངས་གྱི་གྷ་ལོ་ཝ་སྡེ་ཚན་ཤེས་ཀྱི་མེད། གྷ་ལོའི་གྲུབ་མཐའ་ལྡོག་ཕྱོགས་ཀྱིས་༼ཐག་གཅོད་མ་བྱས་པའི་༽དཀའ་ངལ་དེ་ཚད་ལྡན་གྱི་སྡེ་ཚན་གང་རུང་ཞིག་ཨང་གྲངས་ཁོངས་Fལ་གྷ་ལོའི་སྡེ་ཚན་Gal༼F/Q༽ཡིན་མིན་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དབྱེ་རིམ་ཁོངས་གྲུབ་མཐའ་དེས་ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་རྒྱ་བསྐྱེད་དེ་བརྗོད་ཀྱི་ཡོད། དེ་ཡང་ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་གྷ་ལོ་སྡེ་ཚན་ཡོད་པའམ་ཡང་ན་དེ་དང་འདྲ་མཉམ་གྱི་གོ་ལ་ཧྲིལ་པོའི་ཁོངས་ཀྱི་ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་གྷ་ལོ་སྡེ་ཚན་ཡོད། ཀྲོ་ནེ་ཀར་–ཝེ་བྷར་གྲུབ་རྩིས་སྔར་ལུགས་ཀྱི་གསལ་བསྒྲགས་ཤིག་གིས་Qཡི་ཆེས་མཐོའི་ཨེ་བྷེ་ལི་ཡན་Qabརྒྱ་བསྐྱེད་དེ་འགྲེལ་བཤད་རྒྱག་གི་ཡོད། 

 Q༼ζn,n≥2༽

མཐུན་སྒྲིལ་གྱི་རྩ་བ་nthཚང་མ་མཐུད་ནས་ཐོབ་པ་རེད། ཀྲོ་ནེ་ཀར་གྱི་ཇུ་ཇེན་ཊི་རུམ་གྱིས་སྤྱིར་བཏང་གི་ཨང་གྲངས་ཁོངས་Fཡི་Fabཡི་འགྲེལ་བཤད་གསལ་པོ་དེ་འདྲ་ཞིག་དགོས་འདུན་བཏོན་ཡོད། འཆར་ཡན་གྱི་གྲུ་བཞིའི་ཁོངས་ལ། ,d>0,མགུ་རྙོག་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་གྲུབ་མཐའ་དེས་སྒོང་དབྱིབས་གུག་རྟགས་བཀོལ་ནས་Fabབརྗོད་ཀྱི་ཡོད། སྤྱིར་བཏང་གི་ཨང་གྲངས་ཁོངས་ལ་དེ་ལྟ་བུའི་གསལ་པོའི་འགྲེལ་བཤད་ཤེས་ཀྱི་མེད། 

 འབྲེལ་ཡོད་བསམ་ཚུལ། 
ཁོངས་ལ་སྤྱོད་ཐུབ་པའི་ཁ་སྣོན་གྱི་བཀོད་སྒྲིག་ལ་མ་ཟད། ཁོངས་ལ་འབྲེལ་ཡོད་ཀྱི་བསམ་ཚུལ་གཞན་པ་སྣ་ཚོགས་ཁས་ལེན་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ཁོངས་གང་རུང་ནང་0≠1ཡིན་པས་ཁོངས་གང་རུང་ཞིག་ལ་ཉུང་མཐར་ཡང་ཆ་ཤས་གཉིས་ཡོད། དེ་ལྟ་ནའང་། ཆ་ཤས་གཅིག་ཡོད་པའི་ཁོངས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་ཅིག་ཡོད། དེ་ནི་ཚད་ལྡན་གྱི་ཁོངས་Fppཚད་གཞི་ཞིག་ཡིན་པར་བསམ་འཆར་འདོན་གྱི་ཡོད1བགོད་པའི་སྒོར་ཁུག་ལ་མ་ཟདདང་འབྲེལ་བའི་ཨལ་ཇེབ་བྲའི་སྒྲིག་བཀོད་ཞན་པོ་གཞན་པ་ཁ་ཤས་ཡོད། 

དེ་བཞིན་ཁོངས་སྒྲིག་བཀོད་ཡོད་པའི་སློབ་ཚན་ཡང་ཡོད། དེ་དག་ལ་སྐབས་རེ་ཡིག་འབྲུ་ཆེན་པོ་'F'ཡོད་པའི་ཁོངས་sཞེས་འབོད་ཀྱི་ཡོད། དངོས་ཡོད་ལས་བརྒལ་བའི་ཨང་གྲངས་དེ་ཚོས་དངོས་ཡོད་ཡོད་པའི་ཁོངས་ཤིག་བཟོས་པ་དང་། དེ་དག་སྡེ་ཚན་མིན་པར་སྡེ་ཚན་ངོ་མ་ཞིག་ཡིན་པ་མ་གཏོགས་ཁོངས་ཤིག་ཡིན། རྩེད་མོའི་གྲུབ་མཐའ་ལས་བྱུང་བའི་བསམ་གཞིག་ཅིག་ཡིན་པའི་ཨང་གྲངས་དེས་ཡང་དེ་ལྟ་བུའི་ཁོངས་ཤིག་གྲུབ་ཡོད། 

 བགོད་པའི་འཁོར་ལོ། 
ཁོངསའི་ངེས་ཚིག་ནང་ལ་གཏན་ཚིགས་གཅིག་ཡང་ན་འགའ་ཤས་བཞག་ན་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་སྒྲིག་བཀོད་གཞན་ལ་སྣེ་ཁྲིད་བྱེད། གོང་དུ་བརྗོད་པ་ལྟར། བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་སྒོར་ཕྱེད་ཀྱིས་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ཕྱིར་ལོག་མེད་པ་མ་གཏོགས་ཁོངས་ཀྱི་གཏན་ཚིགས་ཚང་མ་འདོད་བློ་ཁེངས་པར་བྱས། བསྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་བརྗེ་སྒྱུར་གྱི་ནུས་པ་དེ་བཏང་བ་དེས་བགོད་གྲངཁོངསར་ཁུག་ཡང་ན་སྒྱིད་ལུག་པའི་ཁོངས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་ལ་སྣེ་ཁྲིད་བྱེད། སྐབས་རེ་འབྲེལ་འདྲིས་ཀྱི་ནུས་པ་ཡང་ཞན་དུ་འགྲོ་གི་ཡོད། ལོ་རྒྱུས་ལྟར་ན་བགོད་པའི་སྒོར་སྒོར་ལ་སྐབས་རེ་ཁོངས་ཟེར་ཞིང་། ཁོངས་ལ་"བརྗེ་སྒྱུར་ཁོངས་"ཟེར། ཚད་ལྡན་གྱི་R-vectorspaceཡིན་པའི་བགོད་གྲངས་གཅིག་པུ་དེ་Rརང་ཉིད་དང་C༼དེ་ནི་ཁོངས་ཤིག་ཡིན། ༽དེ་བཞིན་H༼དེའི་ནང་བསྒྱུར་རྩིས་ནི་བརྗེ་སྒྱུར་མིན་པ༽བཅས་ཡིན། གྲུབ་འབྲས་འདི་ལ་ཕྲོ་བྷེ་ནིའུས་གྲུབ་རྩིས་ཞེས་འབོད་ཀྱི་ཡོད། སྒྱུར་རྩིས་དེ་བརྗེ་སྒྱུར་དང་འབྲེལ་མཐུད་མིན་པའི་ཨོག་ཊོ་ནིའོན་Oནི་ཚད་གཞི་ཅན་གྱི་བགོད་རྩིས་ཚབ་རྩིས་གཞན་ཞིག་ཡིན། འོན་ཀྱང་བགོད་རྩིས་འཁོར་ལོ་མིན། དོན་དངོས་འདི་༡༩༥༨ལོར་མི་ཤེལ་ཁེར་ཝེ་ཡར་དང་། རའོ་ལ་བྷོཊ། དེ་བཞིན་ཇོན་མིལ་ནོར་བཅས་ཀྱིས་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཐབས་ལམ་བཀོལ་ནས་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱས། 

ཝེ་ཌར་བྷརན་གྱི་གྲུབ་རྩིས་ཆུང་ཆུང་གིས་ཚད་ལྡན་གྱི་བགོད་གྲངཁོངསར་ཐིག་ཚང་མ་ཁོངས་ཡིན་པ་བརྗོད་ཡོད། 

 མཆན་འགྲེལ། 

 ལུང་འདྲེན། 

 དཔྱད་གཞི། 

 ཕྱི་ཕྱོགས་འབྲེལ་མཐུད།