জটিল বিশ্লেষণ

জটিল বিশ্লেষণ (), যা ঐতিহ্যগতভাবে জটিল চলকের ফাংশন তত্ত্ব হিসেবে পরিচিত, হলো গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি শাখা যা জটিল সংখ্যার জটিল চলকের ফাংশনসমূহ নিয়ে অনুসন্ধান করে। এটি বাস্তব বিশ্লেষণ, বীজগাণিতিক জ্যামিতি, সংখ্যাতত্ত্ব, বৈশ্লেষিক বিন্যাসতত্ত্ব এবং ফলিত গণিত সহ গণিতের অনেক শাখায় সহায়ক। পাশাপাশি এটি পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখা যেমন প্রবাহী গতিবিজ্ঞান, তাপগতিবিজ্ঞান, কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান এবং টুইস্টর তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়। অধিকন্তু, প্রকৌশল ক্ষেত্র যেমন পারমাণবিক, মহাকাশ, যন্ত্র এবং তড়িৎ ও বৈদ্যুতিন প্রকৌশলেও জটিল বিশ্লেষণের ব্যবহার রয়েছে।

প্রাথমিকভাবে, জটিল বিশ্লেষণ হলো হলোমর্ফিক ফাংশনসমূহের অধ্যয়ন, যা মূলত একটি জটিল চলকের অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন। বাস্তব ক্ষেত্রের বিপরীতে, একটি হলোমর্ফিক ফাংশন সর্বদা অসীমভাবে অন্তরীকরণযোগ্য এবং এটির ডোমেইন অঞ্চলের প্রতিটি বিন্দুর কোনো না কোনো প্রতিবেশে এটি নিজের টেলর ধারার সমষ্টির সমান। এটি জটিল বিশ্লেষণের পদ্ধতি এবং ফলাফলসমূহকে বাস্তব বিশ্লেষণের থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন করে তোলে। বিশেষ করে, বাস্তব ক্ষেত্রের বিপরীতে, প্রতিটি হলোমর্ফিক ফাংশনের ডোমেইন প্রায় পুরো জটিল সমতলে অনন্যভাবে সম্প্রসারিত করা যেতে পারে। এর অর্থ হলো বাস্তব বৈশ্লেষিক ফাংশনসমূহের অধ্যয়নে প্রায়শই জটিল বিশ্লেষণের ক্ষমতার প্রয়োজন হয়। বৈশ্লেষিক বিন্যাসতত্ত্বের ক্ষেত্রে এটি বিশেষভাবে প্রযোজ্য।

ইতিহাস
থাম্ব|ওগ্যুস্তাঁ-লুই কোশি, জটিল বিশ্লেষণের অন্যতম প্রতিষ্ঠাতা
জটিল বিশ্লেষণ গণিতের অন্যতম শাস্ত্রীয় শাখা, যার শিকড় অষ্টাদশ শতাব্দী এবং তার ঠিক আগের সময়ে প্রোথিত। জটিল সংখ্যার সাথে যুক্ত গুরুত্বপূর্ণ গণিতবিদদের মধ্যে রয়েছেন অয়লার, গাউস, রিম্যান, কোশি, উইয়েরস্ট্রাস এবং বিংশ শতাব্দীর আরও অনেকে। জটিল বিশ্লেষণ, বিশেষ করে কনফরমাল ম্যাপিং তত্ত্বের অনেক ভৌত প্রয়োগ রয়েছে এবং এটি বিশ্লেষণী সংখ্যাতত্ত্বের সর্বত্র ব্যবহৃত হয়। আধুনিক যুগে এটি জটিল গতিবিজ্ঞান থেকে পাওয়া নতুন প্রেরণা এবং হলোমরফিক ফাংশনের পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে তৈরি ফ্র্যাক্টাল ছবির মাধ্যমে অত্যন্ত জনপ্রিয় হয়ে উঠেছে। জটিল বিশ্লেষণের আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হলো স্ট্রিং তত্ত্ব, যা কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের অনুকৌণিক ইনভ্যারিয়েন্টসমূহ পরীক্ষা করে।

 জটিল ফাংশন 
থাম্ব|একটি বিচ্ছিন্ন (পূর্ণসংখ্যা) চলক -এর একটি সূচকীয় ফাংশন , যা গুনোত্তর অনুক্রমের সমতুল্য।
একটি জটিল ফাংশন হলো এমন একটি ফাংশন, যা জটিল সংখ্যা থেকে জটিল সংখ্যায় সংজ্ঞায়িত। অন্য কথায়, এটি এমন একটি ফাংশন যার ডোমেইন জটিল সংখ্যার একটি উপসেট এবং যার কোডোমেইন হলো জটিল সংখ্যা। সাধারণত জটিল ফাংশনসমূহের ডোমেইনে জটিল সমতলের অন্তত একটি অশূন্য উন্মুক্ত উপসেট থাকে বলে ধরে নেওয়া হয়।
যেকোনো জটিল ফাংশনের ক্ষেত্রে, ডোমেইন থেকে প্রাপ্ত মান  এবং রেঞ্জে তাদের প্রতিচ্ছবি -কে বাস্তব এবং অবাস্তব অংশে বিভক্ত করা যেতে পারে:


যেখানে  সবই বাস্তব-মান বিশিষ্ট।

অন্য কথায়, একটি জটিল ফাংশন -কে দুটি বাস্তব চলকের (, ) দুটি বাস্তব-মান বিশিষ্ট ফাংশনে (, ) বিয়োজিত করা যেতে পারে:
  and 

আরও দেখুন
ভেক্টর ক্যালকুলাস
তথ্যসূত্র

আরও পড়ুন
 অ্যাবলোভিটজ, এম. জে. এবং এ. এস. ফোকাস, Complex Variables: Introduction and Applications (ক্যামব্রিজ, ২০০৩)।
 আহলফোর্স, এল., Complex Analysis (ম্যাকগ্র-হিল, ১৯৫৩)।
 কার্তঁ, এইচ., Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes. (হেরম্যান, ১৯৬১)। ইংরেজি অনুবাদ, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables. (অ্যাডিসন-ওয়েসলি, ১৯৬৩)।
 কন্সতান্তিন, সি., Funktionentheorie. (বিরখাউজার, ১৯৫০)। ইংরেজি অনুবাদ, Theory of Functions of a Complex Variable (চেলসি, ১৯৫৪)। [২ খণ্ড।]
 ক্যারিয়ার, জি. এফ., এম. ক্রুক, এবং সি. ই. পিয়ারসন, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique. (ম্যাকগ্র-হিল, ১৯৬৬)।
 কনওয়ে, জে. বি., Functions of One Complex Variable. (স্প্রিঞ্জার, ১৯৭৩)।
 ফিশার, এস., Complex Variables. (ওয়ার্থসওয়ার্থ ও ব্রুকস/কোল, ১৯৯০)।
 ফোর্থসিথ, এ., Theory of Functions of a Complex Variable (ক্যামব্রিজ, ১৮৯৩)।
 ফ্রাইটাগ, ই. এবং আর. বুসাম, Funktionentheorie। (স্প্রিঞ্জার, ১৯৯৫)। ইংরেজি অনুবাদ, Complex Analysis। (স্প্রিঞ্জার, ২০০৫)।
 গুর্সা, ই., Cours d'analyse mathématique, tome 2। (গোতিয়ে-ভিলার্স, ১৯০৫)। ইংরেজি অনুবাদ, A course of mathematical analysis, vol. 2, part 1: Functions of a complex variable। (গিন, ১৯১৬)।
 হেনরিচি, পি., Applied and Computational Complex Analysis (উইলি)। [তিন খণ্ড: ১৯৭৪, ১৯৭৭, ১৯৮৬।]
 ক্রেইজিগ, ই., Advanced Engineering Mathematics. (উইলি, ১৯৬২)।
 লাভরেন্তিয়েভ, এম. এবং বি. শাবাত, Методы теории функций комплексного переменного. (Methods of the Theory of Functions of a Complex Variable)। (১৯৫১, রুশ ভাষায়)।
 মার্কুশেভিচ, এ. আই., Theory of Functions of a Complex Variable, (প্রেন্টিস-হল, ১৯৬৫)। [তিন খণ্ড।]
 মার্সডেন এবং হফম্যান, Basic Complex Analysis. (ফ্রিম্যান, ১৯৭৩)।
 নিডহ্যাম, টি., Visual Complex Analysis. (অক্সফোর্ড, ১৯৯৭)। http://usf.usfca.edu/vca/
 রেমার্ট, আর., Theory of Complex Functions। (স্প্রিঞ্জার, ১৯৯০)।
 রুডিন, ডব্লিউ., Real and Complex Analysis. (ম্যাকগ্র-হিল, ১৯৬৬)।
 শ, ডব্লিউ. টি., Complex Analysis with Mathematica (ক্যামব্রিজ, ২০০৬)।
 স্টেইন, ই. এবং আর. শাকারচি, Complex Analysis. (প্রিন্সটন, ২০০৩)।
 সেভেশনিকভ, এ. জি. এবং এ. এন. টিখোনভ, Теория функций комплексной переменной. (নাউকা, ১৯৬৭)। ইংরেজি অনুবাদ, The Theory Of Functions Of A Complex Variable (মির, ১৯৭৮)।
 টিচমার্শ, ই. সি., The Theory of Functions. (অক্সফোর্ড, ১৯৩২)।
 ওয়েগার্ট, ই., Visual Complex Functions। (বিরখাউজার, ২০১২)।
 হুইটেকার, ই. টি. এবং জি. এন. ওয়াটসন, এ কোর্স অফ মডার্ন অ্যানালাইসিস। (ক্যামব্রিজ, ১৯০২)। ৩য় সংস্করণ (১৯২০)

বহিঃসংযোগ

উলফ্রাম রিসার্চের ম্যাথওয়ার্ল্ড জটিল বিশ্লেষণ পাতা (ইংরেজি)
 গাইড টু কাল্টিভেটিং কমপ্লেক্স অ্যানালাইসিস: ওয়ার্কিং দ্য কমপ্লেক্স ফিল্ড — জিরি লেবল (ক্রিয়েটিভ কমন্স বিওয়াই-এনসি-এসএ)

বিষয়শ্রেণী:জটিল বিশ্লেষণ
বিষয়শ্রেণী:জটিল সংখ্যা