এয়ারি তরঙ্গ তত্ত্ব

এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি (প্রায়শই লিনিয়ার ওয়েভ থিয়োরি নামে পরিচিত) হলো ফ্লুইড ডায়নামিক্স-এ একটি তত্ত্ব যা একটি সমসত্ত্ব তরল স্তরের পৃষ্ঠে গ্র্যাভিটি ওয়েভ-এর প্রসারণের লিনিয়ারাইজড বর্ণনা প্রদান করে। এই তত্ত্ব ধরে নেয় যে তরল স্তরের গড় গভীরতা একই রকম, এবং তরল প্রবাহ অদৃশ্য (inviscid), অসংকোচনীয় (incompressible) এবং অঘূর্ণনীয় (irrotational)। এই তত্ত্বটি ১৯শ শতাব্দীতে জর্জ বিডেল এয়ারি সঠিকভাবে প্রথম প্রকাশ করেন।

এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি প্রায়শই সমুদ্র প্রকৌশল এবং উপকূলীয় প্রকৌশল-এ ব্যবহৃত হয় এলোমেলো সমুদ্র অবস্থা মডেলিংয়ের জন্য – যা তরঙ্গের কাইনেম্যাটিক্স এবং ডায়নামিক্স-এর যথেষ্ট সঠিক বর্ণনা দেয় অনেক উদ্দেশ্যে।Dean & Dalrymple (1991). এছাড়া, পৃষ্ঠের গ্র্যাভিটি তরঙ্গের কয়েকটি দ্বিতীয় ক্রমের ননলিনিয়ার বৈশিষ্ট্য এবং তাদের প্রসারণ এই তত্ত্বের ফলাফল থেকে অনুমান করা যায়।Phillips (1977), §3.2, pp. 37–43 and §3.6, pp. 60–69. এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি সমুদ্রে সুনামি তরঙ্গের জন্যও ভালো আনুমানিক, যতক্ষণ না তারা উপকূলের কাছে খাড়া হয়।

এই লিনিয়ার তত্ত্ব প্রায়শই তরঙ্গের বৈশিষ্ট্য এবং তাদের প্রভাবের দ্রুত ও রুক্ষ অনুমান পেতে ব্যবহৃত হয়। এই আনুমানিক সঠিক যখন তরঙ্গ উচ্চতা থেকে জলের গভীরতার অনুপাত ছোট (অগভীর জলের তরঙ্গ-এর ক্ষেত্রে), এবং তরঙ্গ উচ্চতা থেকে তরঙ্গদৈর্ঘ্যের অনুপাত ছোট (গভীর জলের তরঙ্গের ক্ষেত্রে)।

 বর্ণনা 

এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি পটেনশিয়াল ফ্লো (বা ভেলোসিটি পটেনশিয়াল) পদ্ধতি ব্যবহার করে তরল পৃষ্ঠে গ্র্যাভিটি তরঙ্গের গতি বর্ণনা করে। তরল পৃষ্ঠে তরঙ্গের জন্য (অদৃশ্য ও অঘূর্ণনীয়) পটেনশিয়াল ফ্লো ব্যবহার অসাধারণভাবে সফল, যদিও অন্য অনেক তরল প্রবাহে এটি ব্যর্থ হয় যেখানে সান্দ্রতা, ভর্টিসিটি, টার্বুলেন্স বা ফ্লো সেপারেশন বিবেচনা করা অপরিহার্য। এর কারণ হলো তরল গতির দোলনমূলক অংশের জন্য, তরঙ্গ-প্ররোচিত ভর্টিসিটি তরল ডোমেইনের সীমানায় কিছু পাতলা দোলনমূলক স্টোকস বাউন্ডারি লেয়ার-এ সীমাবদ্ধ থাকে।

এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি প্রায়শই সমুদ্র প্রকৌশল ও উপকূলীয় প্রকৌশল-এ ব্যবহৃত হয়। বিশেষ করে এলোমেলো তরঙ্গের ক্ষেত্রে, যাকে কখনো তরঙ্গ টার্বুলেন্স বলা হয়, তরঙ্গ পরিসংখ্যানের বিবর্তন – তরঙ্গ স্পেকট্রাম সহ – খুব দীর্ঘ দূরত্বে (তরঙ্গদৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে) এবং খুব অগভীর জলে না হলে ভালোভাবে পূর্বাভাস দেওয়া যায়। ডিফ্র্যাকশন হলো এমন একটি তরঙ্গ প্রভাব যা এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি দিয়ে বর্ণনা করা যায়। এছাড়া WKBJ আনুমানিক ব্যবহার করে তরঙ্গ শোয়ালিং ও রিফ্র্যাকশন পূর্বাভাস দেওয়া যায়।

এর আগে পটেনশিয়াল ফ্লো ব্যবহার করে পৃষ্ঠের গ্র্যাভিটি তরঙ্গ বর্ণনার চেষ্টা করেছিলেন ল্যাপলাস, পোয়াসোঁ, কোশি এবং কেল্যান্ড। কিন্তু জর্জ বিডেল এয়ারি ১৮৪১ সালে সঠিক ডেরিভেশন ও ফর্মুলেশন প্রথম প্রকাশ করেন। এর অল্প পরেই ১৮৪৭ সালে এয়ারির লিনিয়ার তত্ত্বকে স্টোকস নন-লিনিয়ার তরঙ্গ গতির জন্য সম্প্রসারিত করেন – যা স্টোকসের তরঙ্গ তত্ত্ব নামে পরিচিত – তরঙ্গের খাড়াত্বের তৃতীয় ক্রম পর্যন্ত সঠিক।Stokes (1847). এয়ারির লিনিয়ার তত্ত্বের আগেও গার্স্টনার ১৮০২ সালে ননলিনিয়ার ট্রকয়ডাল ওয়েভ তত্ত্ব প্রতিষ্ঠা করেন, যদিও এটি অঘূর্ণনীয় নয়।

এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি পটেনশিয়াল ফ্লোর পৃষ্ঠে এবং অনুভূমিক তলের উপরে তরঙ্গ প্রসারণের জন্য একটি লিনিয়ার তত্ত্ব। একটি তরঙ্গ উপাদানের মুক্ত পৃষ্ঠ উচ্চতা  সাইনাসয়ডাল, যা অনুভূমিক অবস্থান  এবং সময় -এর ফাংশন:

যেখানে
  হলো তরঙ্গের অ্যামপ্লিটিউড মিটারে,
  হলো কোসাইন ফাংশন,
  হলো কৌণিক ওয়েভনাম্বার রেডিয়ান প্রতি মিটারে, যা তরঙ্গদৈর্ঘ্য -এর সাথে  দ্বারা সম্পর্কিত,
  হলো কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ডে, যা পিরিয়ড  এবং ফ্রিকোয়েন্সি -এর সাথে  দ্বারা সম্পর্কিত।

তরঙ্গগুলো জলের পৃষ্ঠ বরাবর ফেজ স্পিড  দিয়ে প্রসারিত হয়:

কৌণিক ওয়েভনাম্বার  এবং ফ্রিকোয়েন্সি  স্বাধীন প্যারামিটার নয় (এবং তাই তরঙ্গদৈর্ঘ্য  ও পিরিয়ড ও স্বাধীন নয়), বরং এরা যুক্ত। তরল পৃষ্ঠে পৃষ্ঠের গ্র্যাভিটি তরঙ্গগুলো ডিসপারসিভ তরঙ্গ – ফ্রিকোয়েন্সি ডিসপারশন প্রদর্শন করে – অর্থাৎ প্রতিটি ওয়েভনাম্বারের নিজস্ব ফ্রিকোয়েন্সি ও ফেজ স্পিড রয়েছে।

প্রকৌশলে প্রায়শই তরঙ্গ উচ্চতা  ব্যবহৃত হয় – যা ক্রেস্ট ও ট্রফ-এর মধ্যে উচ্চতার পার্থক্য:

যা বর্তমান লিনিয়ার পিরিয়ডিক তরঙ্গের ক্ষেত্রে বৈধ।


পৃষ্ঠের নিচে মুক্ত পৃষ্ঠ গতির সাথে যুক্ত তরল গতি রয়েছে। পৃষ্ঠ উচ্চতা যখন প্রসারিত তরঙ্গ দেখায়, তখন তরল কণারা কক্ষপথ গতিতে থাকে। এয়ারি ওয়েভ থিয়োরির কাঠামোয় কক্ষপথগুলো বন্ধ বক্ররেখা: গভীর জলে বৃত্ত এবং সীমিত গভীরতায় উপবৃত্ত – বৃত্তগুলো তরল স্তরের তলায় পৌঁছানোর আগেই মরে যায়, এবং উপবৃত্তগুলো তরল স্তরের তলার কাছে চ্যাপ্টা হয়। তাই তরঙ্গ প্রসারিত হলেও তরল কণারা শুধু তাদের গড় অবস্থানের চারপাশে কক্ষপথে দোলে। প্রসারিত তরঙ্গ গতির সাথে তরল কণারা তরঙ্গ প্রসারণ দিকে শক্তি স্থানান্তর করে, কিন্তু কোনো গড় বেগ ছাড়াই। কক্ষপথের ব্যাস মুক্ত পৃষ্ঠের নিচে গভীরতার সাথে কমে। গভীর জলে কক্ষপথের ব্যাস মুক্ত পৃষ্ঠ মানের ৪% হয় অর্ধ তরঙ্গদৈর্ঘ্য গভীরতায়।

একইভাবে মুক্ত পৃষ্ঠের নিচে চাপের দোলন রয়েছে, তরঙ্গ-প্ররোচিত চাপ দোলন মুক্ত পৃষ্ঠের নিচে গভীরতার সাথে কমে – কক্ষপথ গতির মতোই।

 তরঙ্গ গতির গাণিতিক ফর্মুলেশন 

 প্রবাহ সমস্যার ফর্মুলেশন 

তরঙ্গগুলো অনুভূমিক দিকে প্রসারিত হয়,  স্থানাঙ্ক সহ, এবং তরল ডোমেইন উপরে মুক্ত পৃষ্ঠে -এ সীমাবদ্ধ, যেখানে  উল্লম্ব স্থানাঙ্ক (উপরের দিকে ধনাত্মক) এবং  সময়।সমীকরণ, সমাধান এবং গভীর ও অগভীর জলে ফলাফলের আনুমানিকের জন্য দেখুন Dingemans (1997), Part 1, §2.1, pp. 38–45. অথবা: Phillips (1977), pp. 36–45. স্তর  গড় পৃষ্ঠ উচ্চতার সাথে মিলে। তরল স্তরের নিচে অভেদ্য তল -এ। এছাড়া প্রবাহ অসংকোচনীয় এবং অঘূর্ণনীয় ধরা হয় – তরল পৃষ্ঠে তরঙ্গের জন্য তরল অভ্যন্তরের প্রবাহের ভালো আনুমানিক – এবং পটেনশিয়াল থিয়োরি প্রবাহ বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যায়। ভেলোসিটি পটেনশিয়াল  প্রবাহ বেগ উপাদান  এবং -এর সাথে যুক্ত অনুভূমিক () এবং উল্লম্ব () দিকে:

তারপর, অসংকোচনীয় প্রবাহের জন্য কন্টিনিউটি সমীকরণ-এর কারণে পটেনশিয়াল -কে ল্যাপলাস সমীকরণ পূরণ করতে হবে:

তল এবং মুক্ত পৃষ্ঠে বাউন্ডারি শর্ত প্রয়োজন সমীকরণ ব্যবস্থা বন্ধ করতে। লিনিয়ার তত্ত্বের কাঠামোয় তাদের ফর্মুলেশনের জন্য প্রবাহের বেস স্টেট (বা শূন্য ক্রমের সমাধান) কী তা নির্দিষ্ট করা প্রয়োজন। এখানে আমরা ধরে নিই বেস স্টেট বিশ্রামে, যার অর্থ গড় প্রবাহ বেগ শূন্য।

তল অভেদ্য হওয়ায় কাইনেম্যাটিক তল বাউন্ডারি-শর্ত পাওয়া যায়:

গভীর জলের ক্ষেত্রে – যার অর্থ অনন্ত জলের গভীরতা, গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে – প্রবাহ বেগ উল্লম্ব স্থানাঙ্ক মাইনাস ইনফিনিটির দিকে যাওয়ার সীমায় শূন্য হতে হবে: ।

মুক্ত পৃষ্ঠে, অণুসংখ্যক তরঙ্গের জন্য, প্রবাহের উল্লম্ব গতি মুক্ত পৃষ্ঠের উল্লম্ব বেগের সমান হতে হবে। এটি কাইনেম্যাটিক মুক্ত-পৃষ্ঠ বাউন্ডারি-শর্ত দেয়:

যদি মুক্ত পৃষ্ঠ উচ্চতা  একটি পরিচিত ফাংশন হতো, তাহলে প্রবাহ সমস্যা সমাধানের জন্য এটাই যথেষ্ট হতো। কিন্তু পৃষ্ঠ উচ্চতা অতিরিক্ত অজানা, যার জন্য অতিরিক্ত বাউন্ডারি শর্ত প্রয়োজন। এটি বার্নৌলির সমীকরণ দ্বারা অস্থির পটেনশিয়াল ফ্লোর জন্য প্রদান করা হয়। মুক্ত পৃষ্ঠের উপরে চাপ ধ্রুবক ধরা হয়। এই ধ্রুবক চাপ শূন্য নেওয়া হয়, সাধারণত্বের ক্ষতি ছাড়াই, কারণ এমন ধ্রুবক চাপের স্তর প্রবাহ পরিবর্তন করে না। লিনিয়ারাইজেশনের পর এটি ডায়নামিক মুক্ত-পৃষ্ঠ বাউন্ডারি শর্ত দেয়:

যেহেতু এটি লিনিয়ার তত্ত্ব, উভয় মুক্ত-পৃষ্ঠ বাউন্ডারি শর্তে – কাইনেম্যাটিক ও ডায়নামিক, সমীকরণ () এবং () –  এবং  গড় স্থির স্তর -এ মান ব্যবহার করা হয়।

 একটি প্রগ্রেসিভ মনোক্রোম্যাটিক তরঙ্গের সমাধান 

একক ফ্রিকোয়েন্সির প্রসারিত তরঙ্গের জন্য – একটি মনোক্রোম্যাটিক তরঙ্গ – পৃষ্ঠ উচ্চতা এরূপ:

সংশ্লিষ্ট ভেলোসিটি পটেনশিয়াল, যা তরল অভ্যন্তরে ল্যাপলাস সমীকরণ (১) পূরণ করে, সাথে মুক্ত পৃষ্ঠে (২) এবং তলের (৩) কাইনেম্যাটিক বাউন্ডারি শর্ত পূরণ করে, হলো:

যেখানে  ও  যথাক্রমে হাইপারবলিক সাইন ও হাইপারবলিক কোসাইন ফাংশন। কিন্তু  এবং  ডায়নামিক বাউন্ডারি শর্তও পূরণ করতে হবে, যা তরঙ্গ অ্যামপ্লিটিউড -এর জন্য অ-তুচ্ছ (শূন্য নয়) মান দেয় শুধু যদি লিনিয়ার ডিসপারশন সম্পর্ক পূরণ হয়:

যেখানে  হলো হাইপারবলিক ট্যানজেন্ট। তাই কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি  এবং ওয়েভনাম্বার  – বা সমতুল্যভাবে পিরিয়ড  এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য  – স্বাধীনভাবে নির্বাচন করা যায় না, বরং এরা যুক্ত। এর অর্থ হলো তরল পৃষ্ঠে তরঙ্গ প্রসারণ একটি আইজেনপ্রবলেম। যখন  এবং  ডিসপারশন সম্পর্ক পূরণ করে, তখন তরঙ্গ অ্যামপ্লিটিউড  মুক্তভাবে নির্বাচন করা যায় (কিন্তু এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি বৈধ আনুমানিক হওয়ার জন্য যথেষ্ট ছোট)।
 তরঙ্গের পরিমাণের সারণি

নিচের সারণিতে এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি অনুসারে বিভিন্ন প্রবাহের পরিমাণ ও প্যারামিটার দেওয়া হয়েছে। দেওয়া পরিমাণগুলো উপরে দেওয়া সমাধানের চেয়ে কিছুটা সাধারণ অবস্থার জন্য। প্রথমত, তরঙ্গগুলো  সমতলে যেকোনো অনুভূমিক দিকে প্রসারিত হতে পারে। ওয়েভনাম্বার ভেক্টর হলো , যা তরঙ্গ ক্রেস্ট-এর ক্যামের লম্ব। দ্বিতীয়ত, একটি গড় প্রবাহ বেগ  বিবেচনা করা হয়েছে, যা অনুভূমিক দিকে এবং গভীরতা -এর উপর স্বাধীন (একই)। এটি ডিসপারশন সম্পর্কে ডপলার শিফট প্রবর্তন করে। পৃথিবী-স্থির অবস্থানে পর্যবেক্ষিত কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি (বা পরম কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি) হলো । অন্যদিকে, গড় বেগ  দিয়ে চলমান রেফারেন্স ফ্রেম-এ (যেখানে গড় বেগ শূন্য), কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি ভিন্ন। এটিকে অভ্যন্তরীণ কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি (বা আপেক্ষিক কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি) বলা হয়, যাকে  দিয়ে চিহ্নিত করা হয়। তাই বিশুদ্ধ তরঙ্গ গতিতে, যখন , উভয় ফ্রিকোয়েন্সি  এবং  সমান। ওয়েভনাম্বার  (এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য ) রেফারেন্স ফ্রেমের উপর নির্ভর করে না এবং কোনো ডপলার শিফট নেই (মনোক্রোম্যাটিক তরঙ্গের ক্ষেত্রে)।

সারণিতে শুধু প্রবাহের দোলনমূলক অংশ দেওয়া হয়েছে – বেগ, কণার স্থানান্তর এবং চাপ – এবং তাদের গড় মান বা ড্রিফট নয়।

দোলনমূলক কণার স্থানান্তর  এবং  যথাক্রমে দোলনমূলক প্রবাহ বেগ  এবং -এর সময় ইন্টিগ্রাল।

জলের গভীরতাকে তিনটি শ্রেণিতে ভাগ করা হয়:Dean & Dalrymple (1991) pp. 64–65


 গভীর জল – যখন জলের গভীরতা তরঙ্গদৈর্ঘ্যের অর্ধেকের বেশি, , তখন তরঙ্গের ফেজ স্পিড গভীরতার দ্বারা খুব কম প্রভাবিত হয় (এটি সমুদ্র ও মহাসাগরের বেশিরভাগ বায়ু-তরঙ্গের ক্ষেত্রে ঘটে),যদি গভীরতা  অসীম ধরা হয় তাহলে ফেজ স্পিডের ত্রুটি ০.২% এর কম, -এর জন্য।
 অগভীর জল – যখন জলের গভীরতা তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ৫% এর কম, , তখন তরঙ্গের ফেজ স্পিড শুধু জলের গভীরতার উপর নির্ভর করে এবং আর পিরিয়ড বা তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ফাংশন নয়;যদি তরঙ্গদৈর্ঘ্যের প্রভাব উপেক্ষা করা হয় তাহলে ফেজ স্পিডের ত্রুটি ২% এর কম, -এর জন্য। এবং
 মধ্যবর্তী গভীরতা – অন্য সব ক্ষেত্রে, , যেখানে জলের গভীরতা এবং পিরিয়ড (বা তরঙ্গদৈর্ঘ্য) উভয়ই এয়ারি ওয়েভ থিয়োরির সমাধানে উল্লেখযোগ্য প্রভাব ফেলে।

গভীর ও অগভীর জলের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রে সমাধানের সরলীকৃত আনুমানিক করা যায়। মধ্যবর্তী গভীরতার ক্ষেত্রে পূর্ণ ফর্মুলেশন ব্যবহার করতে হয়।

 এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি অনুসারে গভীর জল, অগভীর জল এবং মধ্যবর্তী গভীরতায় পৃষ্ঠের গ্র্যাভিটি তরঙ্গের বৈশিষ্ট্য পরিমাণ প্রতীক একক গভীর জল() অগভীর জল() মধ্যবর্তী গভীরতা(সব  এবং ) পৃষ্ঠ উচ্চতা  m  তরঙ্গ ফেজ  rad  পর্যবেক্ষিত কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি  rad·s−1  অভ্যন্তরীণ কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি  rad·s−1  তরঙ্গ প্রসারণ দিকের ইউনিট ভেক্টর  –  ডিসপারশন সম্পর্ক  rad·s−1    ফেজ স্পিড  m·s−1    গ্রুপ স্পিড  m·s−1    অনুপাত  –    অনুভূমিক বেগ  m·s−1    উল্লম্ব বেগ  m·s−1    অনুভূমিক কণার স্থানান্তর  m    উল্লম্ব কণার স্থানান্তর  m    চাপ দোলন  N·m−2   

  পৃষ্ঠের টেনশনের প্রভাব 

পৃষ্ঠের টেনশন-এর কারণে ডিসপারশন সম্পর্ক পরিবর্তিত হয়:Phillips (1977), p. 37.

যেখানে  হলো নিউটন প্রতি মিটারে পৃষ্ঠের টেনশন। উপরের সকল সমীকরণ লিনিয়ার তরঙ্গের জন্য একই থাকে, যদি মহাকর্ষীয় ত্বরণ  কে প্রতিস্থাপন করা হয়Lighthill (1978), p. 223.

পৃষ্ঠের টেনশনের ফলে তরঙ্গগুলো দ্রুত প্রসারিত হয়। পৃষ্ঠের টেনশন শুধু স্বল্প তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে প্রভাব ফেলে, জল–বায়ু ইন্টারফেসের ক্ষেত্রে কয়েক ডেসিমিটারের কম তরঙ্গদৈর্ঘ্যে। অতি স্বল্প তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে – ২ মিমি বা তার কম, জল ও বায়ুর ইন্টারফেসে – মহাকর্ষের প্রভাব নগণ্য। লক্ষ্য করুন যে সারফ্যাকট্যান্ট দিয়ে পৃষ্ঠের টেনশন পরিবর্তন করা যায়।

ক্যাপিলারি তরঙ্গের – যেখানে পৃষ্ঠের টেনশন প্রভাব প্রধান – গ্রুপ ভেলোসিটি  ফেজ ভেলোসিটি -এর চেয়ে বেশি। এটি পৃষ্ঠের গ্র্যাভিটি তরঙ্গের বিপরীত (যেখানে পৃষ্ঠের টেনশন মহাকর্ষের তুলনায় নগণ্য), যেখানে ফেজ ভেলোসিটি গ্রুপ ভেলোসিটির চেয়ে বেশি।Phillips (1977), p. 175.

 ইন্টারফেসিয়াল তরঙ্গ 

পৃষ্ঠের তরঙ্গ হলো ইন্টারফেসিয়াল তরঙ্গের বিশেষ ক্ষেত্রে, যা ভিন্ন ঘনত্ব-এর দুটি তরলের ইন্টারফেস-এ ঘটে।

 দুটি অসীম গভীরতার স্তর 

দুটি তরলের মধ্যে একটি ইন্টারফেস ধরুন, এবং আর কোনো সীমানা নেই। তাহলে তাদের ডিসপারশন সম্পর্ক  হলোLamb, H. (1994), §267, page 458–460.Dingemans (1997), Section 2.1.1, p. 45.

যেখানে  এবং  যথাক্রমে ইন্টারফেসের নিচে () এবং উপরে () তরলের ঘনত্ব। এছাড়া γ হলো ইন্টারফেসে পৃষ্ঠের টেনশন।

ইন্টারফেসিয়াল তরঙ্গের অস্তিত্বের জন্য নিচের স্তরকে উপরের স্তরের চেয়ে ভারী হতে হবে, । অন্যথায় ইন্টারফেস অস্থির হয় এবং র‍্যালে–টেলর অস্থিরতা বিকশিত হয়।

 দুটি স্তর অনুভূমিক কঠিন তলের মধ্যে 


দুটি সমসত্ত্ব তরলের স্তরের জন্য, গড় পুরুত্ব  ইন্টারফেসের নিচে এবং  উপরে – মহাকর্ষের ক্রিয়ায় এবং উপরে ও নিচে অনুভূমিক কঠিন দেয়াল দ্বারা সীমাবদ্ধ – গ্র্যাভিটি তরঙ্গের ডিসপারশন সম্পর্ক  হলো:

যেখানে আবার  এবং  ইন্টারফেসের নিচে ও উপরে ঘনত্ব, এবং  হলো হাইপারবলিক কোট্যানজেন্ট ফাংশন। যদি  শূন্য হয় তাহলে এটি সীমিত গভীরতা -এ জলের উপর পৃষ্ঠের গ্র্যাভিটি তরঙ্গের ডিসপারশন সম্পর্কে পরিণত হয়।

 উপরে মুক্ত পৃষ্ঠ দ্বারা সীমাবদ্ধ দুটি স্তর 

এই ক্ষেত্রে ডিসপারশন সম্পর্ক দুটি মোডের অনুমতি দেয়: একটি ব্যারোট্রপিক মোড যেখানে মুক্ত পৃষ্ঠের অ্যামপ্লিটিউড ইন্টারফেসিয়াল তরঙ্গের অ্যামপ্লিটিউডের তুলনায় বড়, এবং একটি ব্যারোক্লিনিক মোড যেখানে বিপরীত – ইন্টারফেসিয়াল তরঙ্গ মুক্ত পৃষ্ঠের তরঙ্গের চেয়ে উঁচু এবং অ্যান্টিফেজ-এ। এই ক্ষেত্রের ডিসপারশন সম্পর্ক আরও জটিল আকারের।

 দ্বিতীয় ক্রমের তরঙ্গ বৈশিষ্ট্য 

এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি থেকে সরাসরি কয়েকটি দ্বিতীয় ক্রমের তরঙ্গ বৈশিষ্ট্য পাওয়া যায়, যা তরঙ্গ অ্যামপ্লিটিউড -এর কোয়াড্র্যাটিক। এগুলো অনেক ব্যবহারিক প্রয়োগে গুরুত্বপূর্ণ, যেমন তরঙ্গ অবস্থার পূর্বাভাস।উদাহরণস্বরূপ দেখুন: NOAA-এর ন্যাশনাল ওয়েদার সার্ভিসের হাই সিজ ফোরকাস্ট। WKBJ আনুমানিক ব্যবহার করে দ্বিতীয় ক্রমের তরঙ্গ বৈশিষ্ট্য ধীরে ধীরে পরিবর্তনশীল বাথিমেট্রি এবং কারেন্ট ও পৃষ্ঠ উচ্চতার গড়-প্রবাহ পরিবর্তনের ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যায়। সেইসাথে তরঙ্গ ক্ষেত্রের অ্যামপ্লিটিউড, ফ্রিকোয়েন্সি, তরঙ্গদৈর্ঘ্য ও দিকের সময় ও স্থান-পরিবর্তনের কারণে তরঙ্গ ও গড়-প্রবাহের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া বর্ণনায়।

 দ্বিতীয় ক্রমের তরঙ্গ বৈশিষ্ট্যের সারণি  

নিচের সারণিতে কয়েকটি দ্বিতীয় ক্রমের তরঙ্গ বৈশিষ্ট্য – সেইসাথে ধীরে ধীরে পরিবর্তনশীল অবস্থায় তাদের গতিবিদ্যার সমীকরণ – দেওয়া হয়েছে। এগুলোর বিস্তারিত বিবরণ নিচে দেওয়া হয়েছে। সারণিটি এক মাত্রায় তরঙ্গ প্রসারণের ফলাফল দেয়। এই বিভাগে পরে দ্বিমাত্রিক অনুভূমিক স্থানে প্রসারণের সাধারণ ক্ষেত্রের জন্য বিস্তারিত বিবরণ ও ফলাফল দেওয়া হয়েছে।

 এয়ারি ওয়েভ থিয়োরির ফলাফল ব্যবহার করে দ্বিতীয় ক্রমের পরিমাণ ও তাদের গতিবিদ্যা পরিমাণ প্রতীক একক সূত্র প্রতি একক অনুভূমিক ক্ষেত্রফল গড় তরঙ্গ-শক্তি ঘনত্ব  J·m−2  তরঙ্গ গতির কারণে রেডিয়েশন স্ট্রেস বা অতিরিক্ত অনুভূমিক মোমেন্টাম ফ্লাক্স  N·m−1  তরঙ্গ অ্যাকশন  J·s·m−2  তরঙ্গ গতির কারণে গড় ভর-ফ্লাক্স বা তরঙ্গ ছদ্ম-মোমেন্টাম  kg·m−1·s−1  গড় অনুভূমিক ভর-পরিবহন বেগ  m·s−1  স্টোকস ড্রিফট  m·s−1  তরঙ্গ-শক্তি প্রসারণ J·m−2·s−1  তরঙ্গ অ্যাকশন সংরক্ষণ J·m−2  তরঙ্গ-ক্রেস্ট সংরক্ষণ rad·m−1·s−1  গড় ভর সংরক্ষণ kg·m−2·s−1  গড় অনুভূমিক-মোমেন্টাম বিবর্তন N·m−2 

শেষ চারটি সমীকরণ ধীরে ধীরে পরিবর্তনশীল বাথিমেট্রি-এর উপর তরঙ্গ ট্রেনের বিবর্তন এবং গড়-প্রবাহের সাথে মিথস্ক্রিয়া বর্ণনা করে, এবং এগুলো একটি ভ্যারিয়েশনাল নীতি থেকে পাওয়া যায়: হুইথাম-এর এভারেজড ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান পদ্ধতি।, p. 559. গড় অনুভূমিক-মোমেন্টাম সমীকরণে  হলো স্থির জলের গভীরতা, অর্থাৎ তরল স্তরের নিচে তল -এ অবস্থিত। লক্ষ্য করুন যে ভর ও মোমেন্টাম সমীকরণে গড়-প্রবাহ বেগ হলো ভর-পরিবহন বেগ , যার মধ্যে তরঙ্গের স্প্ল্যাশ-জোনের প্রভাব অন্তর্ভুক্ত, এবং এটি গড় ইউলারিয়ান বেগ নয় (উদাহরণস্বরূপ, স্থির ফ্লো মিটার দিয়ে পরিমাপ করা)।
 তরঙ্গ শক্তি ঘনত্ব

তরঙ্গ শক্তি একটি প্রাথমিক আগ্রহের পরিমাণ, কারণ এটি তরঙ্গ ট্রেনের সাথে পরিবহিত প্রাথমিক পরিমাণ।Phillips (1977), p. 23–25. উপরে দেখা যায় যে পৃষ্ঠ উচ্চতা ও কক্ষপথ বেগের মতো অনেক তরঙ্গ পরিমাণ দোলনমূলক প্রকৃতির এবং গড় শূন্য (লিনিয়ার তত্ত্বের কাঠামোয়)। জলের তরঙ্গে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত শক্তি পরিমাপ হলো প্রতি একক অনুভূমিক ক্ষেত্রফল গড় তরঙ্গ শক্তি ঘনত্ব। এটি গতিশক্তি এবং সম্ভাব্য শক্তি ঘনত্বের যোগফল, যা তরল স্তরের গভীরতা জুড়ে ইন্টিগ্রেট করে এবং তরঙ্গ ফেজের উপর গড় করে নেওয়া হয়। সবচেয়ে সহজে ডেরাইভ করা যায় পৃষ্ঠের গ্র্যাভিটি তরঙ্গের গড় সম্ভাব্য শক্তি ঘনত্ব প্রতি একক অনুভূমিক ক্ষেত্রফল , যা তরঙ্গের উপস্থিতির কারণে সম্ভাব্য শক্তির বিচ্যুতি:

ওভারবার গড় মান নির্দেশ করে (বর্তমান পিরিয়ডিক তরঙ্গের ক্ষেত্রে এটি সময় গড় বা স্থানে এক তরঙ্গদৈর্ঘ্যের গড় হিসেবে নেওয়া যায়)।

তরঙ্গ গতির গড় গতিশক্তি ঘনত্ব প্রতি একক অনুভূমিক ক্ষেত্রফল  একইভাবে পাওয়া যায়:

যেখানে  হলো অভ্যন্তরীণ ফ্রিকোয়েন্সি, তরঙ্গ পরিমাণের সারণি দেখুন। ডিসপারশন সম্পর্ক ব্যবহার করে পৃষ্ঠের গ্র্যাভিটি তরঙ্গের জন্য ফলাফল হয়:

দেখা যায় যে গড় গতিশক্তি ও সম্ভাব্য শক্তি ঘনত্ব সমান। এটি কনজারভেটিভ সিস্টেম-এ প্রগ্রেসিভ লিনিয়ার তরঙ্গের শক্তি ঘনত্বের সাধারণ বৈশিষ্ট্য। Theory of Sound 1-এর পরিশিষ্ট হিসেবে পুনর্মুদ্রিত, MacMillan, ২য় সংশোধিত সংস্করণ, ১৮৯৪। সম্ভাব্য ও গতিশক্তি অবদান  এবং  যোগ করে তরঙ্গ গতির গড় শক্তি ঘনত্ব প্রতি একক অনুভূমিক ক্ষেত্রফল  হয়:

পৃষ্ঠের টেনশনের প্রভাব নগণ্য না হলে তাদের অবদানও সম্ভাব্য ও গতিশক্তি ঘনত্বে যোগ হয়, ফলেPhillips (1977), p. 38.

এবং

যেখানে  হলো পৃষ্ঠের টেনশন।

 তরঙ্গ অ্যাকশন, তরঙ্গ শক্তি ফ্লাক্স এবং রেডিয়েশন স্ট্রেস

সাধারণভাবে তরঙ্গ গতি ও গড় তরল গতির মধ্যে শক্তি স্থানান্তর হতে পারে। এর অর্থ হলো তরঙ্গ শক্তি ঘনত্ব সব ক্ষেত্রে সংরক্ষিত পরিমাণ নয় (ডিসিপেটিভ প্রভাব উপেক্ষা করে), কিন্তু মোট শক্তি ঘনত্ব – তরঙ্গ গতি ও গড় প্রবাহ গতির প্রতি একক ক্ষেত্রফল শক্তি ঘনত্বের যোগফল – সংরক্ষিত। তবে ধীরে ধীরে পরিবর্তনশীল তরঙ্গ ট্রেনের ক্ষেত্রে, যা ধীরে ধীরে পরিবর্তনশীল বাথিমেট্রি এবং গড়-প্রবাহ ক্ষেত্রে প্রসারিত হয়, একই ধরনের এবং সংরক্ষিত তরঙ্গ পরিমাণ রয়েছে, তরঙ্গ অ্যাকশন :Phillips (1977), p. 26.

যেখানে  হলো অ্যাকশন ফ্লাক্স এবং  হলো গ্রুপ ভেলোসিটি ভেক্টর। অ্যাকশন সংরক্ষণ অনেক বায়ু তরঙ্গ মডেল এবং তরঙ্গ টার্বুলেন্স মডেলের ভিত্তি।Phillips (1977), pp. 179–183. এটি উপকূলীয় প্রকৌশল মডেলের ভিত্তি তরঙ্গ শোয়ালিং গণনার জন্য।Phillips (1977), pp. 70–74. উপরের তরঙ্গ অ্যাকশন সংরক্ষণ সমীকরণ সম্প্রসারণ করে তরঙ্গ শক্তি ঘনত্বের বিবর্তন সমীকরণ পাওয়া যায়:Phillips (1977), p. 66.

যেখানে:
 হলো গড় তরঙ্গ শক্তি ঘনত্ব ফ্লাক্স,
 হলো রেডিয়েশন স্ট্রেস টেনসর এবং
 হলো গড়-বেগ শিয়ার রেট টেনসর।

এই সমীকরণে নন-কনজারভেশন ফর্মে ফ্রোবেনিয়াস ইনার প্রোডাক্ট  হলো তরঙ্গ গতি ও গড় প্রবাহের মধ্যে শক্তি বিনিময়ের উৎস পদ। শুধু যদি গড় শিয়ার-রেট শূন্য হয়, , তখন গড় তরঙ্গ শক্তি ঘনত্ব  সংরক্ষিত। দুটি টেনসর  এবং  কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা-য় এরূপ:

যেখানে  এবং  ওয়েভনাম্বার ভেক্টর -এর উপাদান এবং একইভাবে  এবং  গড় বেগ ভেক্টর -এর উপাদান।

 তরঙ্গ ভর ফ্লাক্স এবং তরঙ্গ মোমেন্টাম

তরঙ্গ গতির কারণে প্রতি একক ক্ষেত্রফলে গড় অনুভূমিক মোমেন্টাম  – এবং তরঙ্গ-প্ররোচিত ভর ফ্লাক্স বা ভর পরিবহন – হলো:Phillips (1977), pp. 39–40 & 61.

যা পিরিয়ডিক প্রগ্রেসিভ জল তরঙ্গের জন্য সঠিক ফলাফল, ননলিনিয়ার তরঙ্গের ক্ষেত্রেও বৈধ।Phillips (1977), p. 40. তবে এর বৈধতা তরঙ্গ মোমেন্টাম ও ভর ফ্লাক্স কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তার উপর ব্যাপকভাবে নির্ভর করে। স্টোকস ইতিমধ্যে পিরিয়ডিক ননলিনিয়ার তরঙ্গের জন্য ফেজ ভেলোসিটি-র দুটি সম্ভাব্য সংজ্ঞা চিহ্নিত করেছিলেন:

স্টোকসের প্রথম সংজ্ঞা তরঙ্গ সেলারিটি (S1) – যেখানে তরঙ্গ ট্রফ-এর নিচে সকল উচ্চতা -এর জন্য গড় ইউলারিয়ান প্রবাহ বেগ শূন্য, এবং
স্টোকসের দ্বিতীয় সংজ্ঞা তরঙ্গ সেলারিটি (S2) – যেখানে গড় ভর পরিবহন শূন্য।

উপরের তরঙ্গ মোমেন্টাম  এবং তরঙ্গ শক্তি ঘনত্ব -এর সম্পর্ক স্টোকসের প্রথম সংজ্ঞার কাঠামোয় বৈধ।

তবে উপকূলরেখার লম্ব তরঙ্গ বা বন্ধ ল্যাবরেটরি তরঙ্গ চ্যানেল-এর ক্ষেত্রে দ্বিতীয় সংজ্ঞা (S2) বেশি উপযুক্ত। এই তরঙ্গ ব্যবস্থায় দ্বিতীয় সংজ্ঞা ব্যবহার করলে ভর ফ্লাক্স ও মোমেন্টাম শূন্য।Phillips (1977), p. 70. বিপরীতে, স্টোকসের প্রথম সংজ্ঞা (S1) অনুসারে তরঙ্গ প্রসারণ দিকে তরঙ্গ-প্ররোচিত ভর ফ্লাক্স রয়েছে, যা বিপরীত দিকে গড় প্রবাহ  দিয়ে ভারসাম্য রাখতে হয় – যাকে আন্ডারটো বলা হয়।

সুতরাং সাধারণভাবে এতে বেশ কিছু সূক্ষ্মতা জড়িত। তাই তরঙ্গ মোমেন্টামের পরিবর্তে তরঙ্গের ছদ্ম-মোমেন্টাম শব্দটিও ব্যবহৃত হয়।

 ভর ও মোমেন্টাম বিবর্তন সমীকরণ 

ধীরে ধীরে পরিবর্তনশীল বাথিমেট্রি, তরঙ্গ এবং গড়-প্রবাহ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে গড় প্রবাহের বিবর্তন গড় ভর-পরিবহন বেগ  দিয়ে বর্ণনা করা যায়, যা নির্ধারিত হয়:Phillips (1977), pp. 61–63.

লক্ষ্য করুন যে গভীর জলে, যখন গড় গভীরতা  অসীমের দিকে যায়, গড় ইউলারিয়ান বেগ  এবং গড় পরিবহন বেগ  সমান হয়।

ভর সংরক্ষণ সমীকরণ:

যেখানে  হলো গড় জলের গভীরতা, স্থান ও সময়ে ধীরে ধীরে পরিবর্তনশীল।

একইভাবে গড় অনুভূমিক মোমেন্টাম বিবর্তিত হয়:

যেখানে  হলো স্থির-জলের গভীরতা (সমুদ্রতল -এ),  হলো তরঙ্গ রেডিয়েশন-স্ট্রেস টেনসর,  হলো আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স এবং  হলো ডায়াডিক প্রোডাক্ট:

লক্ষ্য করুন যে গড় অনুভূমিক মোমেন্টাম শুধু যদি সমুদ্রতল অনুভূমিক হয় (স্থির-জলের গভীরতা  ধ্রুবক) তখনই সংরক্ষিত, নোথারের উপপাদ্য-র সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

ব্যবস্থাটি তরঙ্গের বর্ণনার মাধ্যমে বন্ধ হয়। তরঙ্গ শক্তি প্রসারণ তরঙ্গ-অ্যাকশন সংরক্ষণ সমীকরণ দিয়ে বর্ণিত (ডিসিপেশন ও ননলিনিয়ার তরঙ্গ মিথস্ক্রিয়া ছাড়া):

তরঙ্গ কাইনেম্যাটিক্স তরঙ্গ-ক্রেস্ট সংরক্ষণ সমীকরণ দিয়ে বর্ণিত:

যেখানে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি  (কৌণিক) ওয়েভনাম্বার -এর ফাংশন, ডিসপারশন সম্পর্ক-এর মাধ্যমে যুক্ত। এটি সম্ভব হওয়ার জন্য তরঙ্গ ক্ষেত্রকে সুসংগত হতে হবে। তরঙ্গ-ক্রেস্ট সংরক্ষণের কার্ল নিলে দেখা যায় যে প্রাথমিকভাবে অঘূর্ণনীয় ওয়েভনাম্বার ক্ষেত্র অঘূর্ণনীয় থাকে।
 স্টোকস ড্রিফট 

বিশুদ্ধ তরঙ্গ গতিতে () একটি একক কণাকে অনুসরণ করলে, লিনিয়ার এয়ারি ওয়েভ থিয়োরি অনুসারে প্রথম আনুমানিকে জলের কণাগুলোর জন্য বন্ধ উপবৃত্তাকার কক্ষপথ পাওয়া যায়। তবে ননলিনিয়ার তরঙ্গের ক্ষেত্রে কণাগুলো স্টোকস ড্রিফট প্রদর্শন করে, যার জন্য এয়ারি ওয়েভ থিয়োরির ফলাফল থেকে দ্বিতীয় ক্রমের একটি প্রকাশ পাওয়া যায় (উপরের দ্বিতীয় ক্রমের তরঙ্গ বৈশিষ্ট্যের সারণি দেখুন)। স্টোকস ড্রিফট বেগ , যা এক তরঙ্গ চক্র পরে কণার ড্রিফটকে পিরিয়ড দিয়ে ভাগ করা হয়, লিনিয়ার তত্ত্বের ফলাফল ব্যবহার করে অনুমান করা যায়:Phillips (1977), p. 44.

যা উচ্চতার ফাংশন হিসেবে পরিবর্তিত হয়। দেওয়া সূত্রটি স্টোকসের তরঙ্গ সেলারিটির প্রথম সংজ্ঞার জন্য। যখন  গভীরতা জুড়ে ইন্টিগ্রেট করা হয়, তখন গড় তরঙ্গ মোমেন্টাম  পুনরুদ্ধার করা যায়।

 আরও দেখুন 
 বুসিনেস্ক আনুমানিক (জল তরঙ্গ) – অগভীর জলে তরঙ্গের ননলিনিয়ার তত্ত্ব।
 ক্যাপিলারি তরঙ্গ – পৃষ্ঠের টেনশন-এর ক্রিয়ায় পৃষ্ঠের তরঙ্গ।
 কনয়ডাল তরঙ্গ – অগভীর জলে ননলিনিয়ার পিরিয়ডিক তরঙ্গ, কোর্টভেগ–দে ভ্রিস সমীকরণ-এর সমাধান।
 মাইল্ড-স্লোপ সমীকরণ – পরিবর্তনশীল গভীরতায় পৃষ্ঠের তরঙ্গের রিফ্র্যাকশন ও ডিফ্র্যাকশন।
 সমুদ্র পৃষ্ঠের তরঙ্গ – সমুদ্র ও সাগরে দেখা বাস্তব জলের তরঙ্গ।
 স্টোকস তরঙ্গ – অগভীর-না-জলের ননলিনিয়ার পিরিয়ডিক তরঙ্গ।
 তরঙ্গ শক্তি – সমুদ্র ও সাগরের তরঙ্গ ব্যবহার করে বিদ্যুৎ উৎপাদন।

 টীকা 

 তথ্যসূত্র =
 ঐতিহাসিক 
 এছাড়া: "ত্রিকোণমিতি, পৃথিবীর আকৃতি, জোয়ার ও তরঙ্গ", ৩৯৬ পৃষ্ঠা।
পুনর্মুদ্রিত: 

 আরও পড়ুন 


  দুটি অংশ, ৯৬৭ পৃষ্ঠা।
  মূলত ১৮৭৯ সালে প্রকাশিত, ৬ষ্ঠ সম্প্রসারিত সংস্করণ প্রথম ১৯৩২ সালে।

  ৫০৪ পৃষ্ঠা।



 বহিঃসংযোগ 
 সমুদ্র পৃষ্ঠের তরঙ্গের লিনিয়ার তত্ত্ব  WikiWaves-এ।
 জলের তরঙ্গ MIT-তে।

বিষয়শ্রেণী:জলের তরঙ্গ
বিষয়শ্রেণী:তরঙ্গ মেকানিক্স