অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্য

অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্য হলো কোয়ান্টাম মেকানিক্স-এ একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। এর মূল রূপটি ম্যাক্স বর্ন ও ভ্লাদিমির ফক (১৯২৮) প্রদান করেন, যা নিম্নরূপে বিবৃত:

সহজ ভাষায়, যদি কোনো কোয়ান্টাম ব্যবস্থার উপর বাহ্যিক অবস্থা ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয়, তাহলে ব্যবস্থাটি তার ফাংশনাল ফর্ম (wavefunction) অভিযোজিত করে। কিন্তু যদি পরিবর্তন দ্রুত হয়, তাহলে ফাংশনাল ফর্ম অভিযোজিত হওয়ার জন্য যথেষ্ট সময় পায় না, ফলে স্থানিক সম্ভাব্যতা ঘনত্ব (probability density) অপরিবর্তিত থাকে।

 অ্যাডিয়াব্যাটিক পেন্ডুলাম 

১৯১১ সালের সলভে সম্মেলন-এ আইনস্টাইন কোয়ান্টাম হাইপোথিসিস নিয়ে বক্তৃতা দেন, যেখানে তিনি বলেন যে অ্যাটমিক অসিলেটরের জন্য । আইনস্টাইনের বক্তৃতার পর হেন্ড্রিক লরেন্টজ মন্তব্য করেন যে, ক্লাসিক্যালি যদি একটি সাধারণ পেন্ডুলামের তার দুই আঙুলের মাঝে ধরে ধীরে ধীরে নামানো হয়, তাহলে পেন্ডুলাম ছোট হওয়ার সাথে সাথে তার শক্তি মসৃণভাবে পরিবর্তিত হয় বলে মনে হয়। এটি ম্যাক্রোস্কোপিক ব্যবস্থার জন্য কোয়ান্টাম হাইপোথিসিস অবৈধ বলে প্রমাণ করে, এবং যদি ম্যাক্রোস্কোপিক ব্যবস্থা কোয়ান্টাম হাইপোথিসিস মানে না, তাহলে মাইক্রোস্কোপিক হওয়ার সাথে সাথে কোয়ান্টাম হাইপোথিসিস অবৈধ হয়ে পড়বে। আইনস্টাইন উত্তর দেন যে যদিও শক্তি  এবং ফ্রিকোয়েন্সি  উভয়ই পরিবর্তিত হবে, তবুও তাদের অনুপাত  সংরক্ষিত থাকবে, যা কোয়ান্টাম হাইপোথিসিসকে রক্ষা করে।

সম্মেলনের আগে আইনস্টাইন পল এহরেনফেস্ট-এর অ্যাডিয়াব্যাটিক হাইপোথিসিস নিয়ে একটি পেপার পড়েছিলেন।<ref>EHRENFEST, P. (1911): ``লাইটকোয়ান্টা হাইপোথিসিসের কোন বৈশিষ্ট্য তাপীয় বিকিরণ তত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে? Annalen der Physik 36, pp. 91–118. KLEIN (1959)-এ পুনর্মুদ্রিত, pp. 185–212।</ref> আমরা জানি তিনি এটি পড়েছিলেন কারণ সম্মেলনের আগে মিশেল বেসোকে লেখা এক চিঠিতে তিনি এটি উল্লেখ করেছেন।

 ডায়াব্যাটিক বনাম অ্যাডিয়াব্যাটিক প্রক্রিয়া 
+ তুলনা ডায়াব্যাটিক অ্যাডিয়াব্যাটিক দ্রুত পরিবর্তনশীল অবস্থা ব্যবস্থাকে প্রক্রিয়া চলাকালীন তার কনফিগারেশন অভিযোজিত করতে বাধা দেয়, ফলে স্থানিক সম্ভাব্যতা ঘনত্ব অপরিবর্তিত থাকে। সাধারণত চূড়ান্ত হ্যামিল্টোনিয়ানের কোনো আইজেনস্টেট প্রাথমিক অবস্থার মতো ফাংশনাল ফর্মের হয় না। ব্যবস্থাটি অনেকগুলো ভিন্ন আইজেনস্টেটের লিনিয়ার কম্বিনেশনে শেষ হয় যা প্রাথমিক সম্ভাব্যতা ঘনত্ব পুনরুৎপাদন করে। ধীরে ধীরে পরিবর্তনশীল অবস্থা ব্যবস্থাকে তার কনফিগারেশন অভিযোজিত করতে দেয়, ফলে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব প্রক্রিয়ার দ্বারা পরিবর্তিত হয়। যদি ব্যবস্থাটি প্রাথমিক হ্যামিল্টোনিয়ানের আইজেনস্টেটে শুরু হয়, তাহলে এটি চূড়ান্ত হ্যামিল্টোনিয়ানের সংশ্লিষ্ট আইজেনস্টেটে শেষ হবে।

কোনো প্রাথমিক সময় -এ একটি কোয়ান্টাম-মেকানিক্যাল ব্যবস্থার শক্তি হ্যামিল্টোনিয়ান  দ্বারা দেওয়া হয়; ব্যবস্থাটি -এর আইজেনস্টেট  লেবেলযুক্ত। পরিবর্তনশীল অবস্থা হ্যামিল্টোনিয়ানকে অবিচ্ছিন্নভাবে পরিবর্তন করে, ফলে কোনো পরবর্তী সময় -এ চূড়ান্ত হ্যামিল্টোনিয়ান  পাওয়া যায়। ব্যবস্থাটি সময়-নির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ অনুসারে বিবর্তিত হয়ে চূড়ান্ত অবস্থা  পৌঁছায়। অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্য বলে যে ব্যবস্থার পরিবর্তন সময় -এর উপর নির্ভরশীল, যে সময়ে পরিবর্তন ঘটে।

সত্যিকারের অ্যাডিয়াব্যাটিক প্রক্রিয়ার জন্য আমাদের  প্রয়োজন; এই ক্ষেত্রে চূড়ান্ত অবস্থা  চূড়ান্ত হ্যামিল্টোনিয়ান -এর আইজেনস্টেট হবে, পরিবর্তিত কনফিগারেশন সহ:

কোনো প্রদত্ত পরিবর্তন কতটা অ্যাডিয়াব্যাটিক প্রক্রিয়ার কাছাকাছি তা  এবং সন্নিহিত অবস্থার মধ্যে শক্তি পার্থক্য এবং সময়কাল  এবং সময়-স্বাধীন হ্যামিল্টোনিয়ানের জন্য -এর বিবর্তনের বৈশিষ্ট্য সময়স্কেল -এর অনুপাতের উপর নির্ভর করে, যেখানে  হলো -এর শক্তি।

বিপরীতে,  সীমায় আমরা অসীম দ্রুত, বা ডায়াব্যাটিক প্যাসেজ পাই; অবস্থার কনফিগারেশন অপরিবর্তিত থাকে:

বর্ন ও ফকের মূল সংজ্ঞায় অন্তর্ভুক্ত তথাকথিত "গ্যাপ শর্ত" বলতে -এর স্পেকট্রাম ডিসক্রিট এবং অ-ডিজেনারেট হওয়ার প্রয়োজনীয়তা বোঝায়, যাতে অবস্থার ক্রম নির্ধারণে কোনো অস্পষ্টতা না থাকে (সহজেই নির্ধারণ করা যায় -এর কোন আইজেনস্টেট -এর সাথে সংশ্লিষ্ট)। ১৯৯৯ সালে জে. ই. অ্যাভ্রন ও এ. এলগার্ট গ্যাপ শর্ত ছাড়া অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্যকে পুনর্গঠন করেন।

 থার্মোডায়নামিক্সে অ্যাডিয়াব্যাটিক ধারণার সাথে তুলনা 

"অ্যাডিয়াব্যাটিক" শব্দটি ঐতিহ্যগতভাবে থার্মোডায়নামিক্স-এ ব্যবহৃত হয় ব্যবস্থা ও পরিবেশের মধ্যে তাপ বিনিময় ছাড়া প্রক্রিয়া বর্ণনা করতে (দেখুন অ্যাডিয়াব্যাটিক প্রক্রিয়া), আরও সুনির্দিষ্টভাবে এই প্রক্রিয়াগুলো সাধারণত তাপ বিনিময়ের সময়স্কেলের চেয়ে দ্রুত। (উদাহরণস্বরূপ, চাপ তরঙ্গ তাপ তরঙ্গের তুলনায় অ্যাডিয়াব্যাটিক।) থার্মোডায়নামিক্সের প্রেক্ষাপটে অ্যাডিয়াব্যাটিক প্রায়শই দ্রুত প্রক্রিয়ার সমার্থক হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

ক্লাসিক্যাল ও কোয়ান্টাম মেকানিক্স-এর সংজ্ঞা বরং থার্মোডায়নামিক্সের কোয়াসিস্ট্যাটিক প্রক্রিয়া-এর কাছাকাছি, যা প্রায় সবসময় ভারসাম্যে থাকা প্রক্রিয়া (অর্থাৎ অভ্যন্তরীণ শক্তি বিনিময় মিথস্ক্রিয়ার সময়স্কেলের চেয়ে ধীর, যেমন সাধারণ বায়ুমণ্ডলীয় তাপ তরঙ্গ কোয়াসিস্ট্যাটিক, আর চাপ তরঙ্গ নয়)। মেকানিক্সের প্রেক্ষাপটে অ্যাডিয়াব্যাটিক প্রায়শই ধীর প্রক্রিয়ার সমার্থক হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

কোয়ান্টাম জগতে অ্যাডিয়াব্যাটিক মানে উদাহরণস্বরূপ ইলেকট্রন ও ফোটন মিথস্ক্রিয়ার সময়স্কেল ইলেকট্রন ও ফোটন প্রসারণের গড় সময়স্কেলের তুলনায় অনেক দ্রুত বা প্রায় তাৎক্ষণিক। তাই আমরা মিথস্ক্রিয়াগুলোকে ইলেকট্রন ও ফোটনের অবিচ্ছিন্ন প্রসারণের অংশ (ভারসাম্যে থাকা অবস্থা) এবং অবস্থার মধ্যে কোয়ান্টাম জাম্প (তাৎক্ষণিক) হিসেবে মডেল করতে পারি।

এই স্বজ্ঞাত প্রেক্ষাপটে অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্য মূলত বলে যে কোয়ান্টাম জাম্প এড়ানোই পছন্দনীয়, এবং ব্যবস্থাটি অবস্থা ও কোয়ান্টাম সংখ্যা সংরক্ষণের চেষ্টা করে।

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে অ্যাডিয়াব্যাটিক ধারণা অ্যাডিয়াব্যাটিক ইনভ্যারিয়েন্ট-এর সাথে সম্পর্কিত, এটি প্রায়শই পুরনো কোয়ান্টাম তত্ত্ব-এ ব্যবহৃত হয় এবং তাপ বিনিময়ের সাথে এর সরাসরি সম্পর্ক নেই।

 উদাহরণ ব্যবস্থা 
 সাধারণ পেন্ডুলাম 
উদাহরণস্বরূপ, একটি পেন্ডুলাম ভার্টিক্যাল সমতলে দোলছে ধরুন। যদি সাপোর্ট সরানো হয়, তাহলে পেন্ডুলামের দোলন মোড পরিবর্তিত হবে। যদি সাপোর্ট যথেষ্ট ধীরে সরানো হয়, তাহলে সাপোর্টের সাপেক্ষে পেন্ডুলামের গতি অপরিবর্তিত থাকবে। বাহ্যিক অবস্থার ধীর পরিবর্তন ব্যবস্থাকে অভিযোজিত হতে দেয়, যাতে এটি তার প্রাথমিক চরিত্র ধরে রাখে। বিস্তারিত ক্লাসিক্যাল উদাহরণ অ্যাডিয়াব্যাটিক ইনভ্যারিয়েন্ট পৃষ্ঠায় এবং এখানে পাওয়া যায়।

 কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর 

ক্লাসিক্যাল পেন্ডুলামের প্রকৃতি অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্যের প্রভাবের পূর্ণ বর্ণনা দিতে পারে না। আরেক উদাহরণ হিসেবে কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর ধরুন যখন স্প্রিং কনস্ট্যান্ট  বৃদ্ধি পায়। ক্লাসিক্যালি এটি স্প্রিং-এর কঠোরতা বৃদ্ধির সমতুল্য; কোয়ান্টাম-মেকানিক্যালি এটি সিস্টেম হ্যামিল্টোনিয়ান-এ সম্ভাব্য শক্তি কার্ভ সংকীর্ণ করে।

যদি  অ্যাডিয়াব্যাটিকভাবে বৃদ্ধি পায়  তাহলে সময় -এ ব্যবস্থাটি বর্তমান হ্যামিল্টোনিয়ান -এর তাৎক্ষণিক আইজেনস্টেট -এ থাকবে, যা -এর প্রাথমিক আইজেনস্টেটের সাথে সংশ্লিষ্ট। একক কোয়ান্টাম সংখ্যা দ্বারা বর্ণিত কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের বিশেষ ক্ষেত্রে এর অর্থ কোয়ান্টাম সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকবে। চিত্র ১ দেখায় কীভাবে গ্রাউন্ড স্টেটে () থাকা একটি হারমোনিক অসিলেটর সম্ভাব্য শক্তি কার্ভ সংকুচিত হওয়ার সাথে সাথে গ্রাউন্ড স্টেটে থাকে; অবস্থার ফাংশনাল ফর্ম ধীরে ধীরে পরিবর্তনশীল অবস্থার সাথে অভিযোজিত হয়।

দ্রুত বৃদ্ধি পাওয়া স্প্রিং কনস্ট্যান্টের ক্ষেত্রে ব্যবস্থাটি ডায়াব্যাটিক প্রক্রিয়ার মধ্য দিয়ে যায়  যেখানে পরিবর্তনশীল অবস্থার সাথে ফাংশনাল ফর্ম অভিযোজিত হওয়ার জন্য ব্যবস্থার কোনো সময় থাকে না। যদিও চূড়ান্ত অবস্থা প্রাথমিক অবস্থার মতোই দেখতে হবে  অতি ক্ষুদ্র সময়কালে ঘটে যাওয়া প্রক্রিয়ার জন্য, নতুন হ্যামিল্টোনিয়ান -এর কোনো আইজেনস্টেট প্রাথমিক অবস্থার মতো নয়। চূড়ান্ত অবস্থা -এর অনেক ভিন্ন আইজেনস্টেটের লিনিয়ার সুপারপজিশন দিয়ে গঠিত যা প্রাথমিক অবস্থার ফর্ম পুনরুৎপাদন করে।

 এভয়েডেড কার্ভ ক্রসিং 


আরও ব্যাপকভাবে প্রযোজ্য উদাহরণ হিসেবে বাহ্যিক চৌম্বক ক্ষেত্র-এর অধীনে একটি ২-লেভেল অ্যাটম ধরুন। ব্রা–কেট নোটেশন ব্যবহার করে লেবেলযুক্ত অবস্থা  এবং  অ্যাটমিক অ্যাঙ্গুলার-মোমেন্টাম অবস্থা হিসেবে ভাবা যায়, প্রত্যেকটির নির্দিষ্ট জ্যামিতি রয়েছে। পরিষ্কার হওয়ার জন্য এই অবস্থাগুলোকে এখন থেকে ডায়াব্যাটিক অবস্থা বলা হবে। ব্যবস্থার ওয়েভফাংশন ডায়াব্যাটিক অবস্থার লিনিয়ার কম্বিনেশন হিসেবে লেখা যায়:

ক্ষেত্র অনুপস্থিত থাকলে ডায়াব্যাটিক অবস্থার শক্তি পার্থক্য ; চৌম্বক ক্ষেত্র বৃদ্ধির সাথে -এর শক্তি বৃদ্ধি পায় (লো-ফিল্ড-সিকিং অবস্থা), আর -এর শক্তি হ্রাস পায় (হাই-ফিল্ড-সিকিং অবস্থা)। চৌম্বক ক্ষেত্রের উপর লিনিয়ার নির্ভরতা ধরে নিলে ক্ষেত্র প্রয়োগের সাথে ব্যবস্থার হ্যামিল্টোনিয়ান ম্যাট্রিক্স লেখা যায়

যেখানে  হলো অ্যাটমের চৌম্বক মোমেন্ট, দুটি ডায়াব্যাটিক অবস্থার জন্য একই ধরা হয়েছে, এবং  হলো দুটি অবস্থার মধ্যে কোনো সময়-স্বাধীন কাপলিং। ডায়াগোনাল উপাদানগুলো ডায়াব্যাটিক অবস্থার শক্তি ( এবং ), কিন্তু যেহেতু  ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স নয়, অফ-ডায়াগোনাল কাপলিং কনস্ট্যান্টের কারণে এই অবস্থাগুলো -এর আইজেনস্টেট নয়।

ম্যাট্রিক্স -এর আইজেনভেক্টরগুলো ব্যবস্থার আইজেনস্টেট, যাদের আমরা  এবং  লেবেল করব, সংশ্লিষ্ট আইজেনভ্যালু সহ

এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে আইজেনভ্যালু  এবং  হলো ব্যবস্থার শক্তির যেকোনো একক পরিমাপের জন্য একমাত্র অনুমোদিত আউটপুট, যেখানে ডায়াব্যাটিক শক্তি  এবং  ডায়াব্যাটিক অবস্থা  এবং -এ ব্যবস্থার শক্তির এক্সপেকটেশন ভ্যালু-র সাথে সংশ্লিষ্ট।

চিত্র ২ চৌম্বক ক্ষেত্রের মানের উপর ডায়াব্যাটিক ও অ্যাডিয়াব্যাটিক শক্তির নির্ভরতা দেখায়; লক্ষ্য করুন যে অ-শূন্য কাপলিং-এর জন্য হ্যামিল্টোনিয়ানের আইজেনভ্যালু ডিজেনারেট হতে পারে না, এবং তাই আমরা এভয়েডেড ক্রসিং পাই। যদি কোনো অ্যাটম প্রাথমিকভাবে শূন্য চৌম্বক ক্ষেত্রে অবস্থা -এ থাকে (বামদিকের চরমে লাল কার্ভে), তাহলে চৌম্বক ক্ষেত্রের অ্যাডিয়াব্যাটিক বৃদ্ধি  নিশ্চিত করবে যে প্রক্রিয়া জুড়ে ব্যবস্থা হ্যামিল্টোনিয়ানের আইজেনস্টেট -এ থাকবে (লাল কার্ভ অনুসরণ করবে)। চৌম্বক ক্ষেত্রের ডায়াব্যাটিক বৃদ্ধি  নিশ্চিত করবে যে ব্যবস্থা ডায়াব্যাটিক পথ অনুসরণ করবে (ডটেড নীল লাইন), যাতে ব্যবস্থাটি অবস্থা -এ ট্রানজিশন করে। সীমিত চৌম্বক ক্ষেত্র স্লু রেটের জন্য  ব্যবস্থাটিকে দুটি আইজেনস্টেটের যেকোনো একটিতে পাওয়ার সীমিত সম্ভাবনা থাকবে। এই সম্ভাবনা গণনার পদ্ধতি নিচে দেখুন।

এই ফলাফলগুলো অ্যাটমিক এবং মলিকুলার ফিজিক্স-এ অ্যাটম বা মলিকিউলের জনসংখ্যার এনার্জি-স্টেট বন্টন নিয়ন্ত্রণে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

 গাণিতিক বিবৃতি 
ধীরে ধীরে পরিবর্তনশীল হ্যামিল্টোনিয়ান -এর অধীনে, যার তাৎক্ষণিক আইজেনস্টেট  এবং সংশ্লিষ্ট শক্তি , একটি কোয়ান্টাম ব্যবস্থা প্রাথমিক অবস্থা থেকে

চূড়ান্ত অবস্থায় বিবর্তিত হয়

যেখানে কোয়েফিসিয়েন্টগুলো ফেজ পরিবর্তনের মধ্য দিয়ে যায়

যেখানে ডায়নামিক্যাল ফেজ

এবং জ্যামিতিক ফেজ

বিশেষভাবে, , তাই যদি ব্যবস্থাটি -এর আইজেনস্টেটে শুরু হয়, তাহলে বিবর্তনের সময় এটি -এর আইজেনস্টেটে থাকে শুধু ফেজ পরিবর্তন সহ।
 প্রমাণসমূহ

সাকুরাই-এর Modern Quantum Mechanics-এ প্রমাণএই প্রমাণটি আংশিকভাবে সাকুরাই-এর Modern Quantum Mechanics-এ দেওয়া প্রমাণ থেকে অনুপ্রাণিত।

তাৎক্ষণিক আইজেনস্টেট  এবং শক্তি , অনুমান অনুসারে, সব সময় -এ সময়-স্বাধীন শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ পূরণ করে

এইভাবে তারা একটি ভিত্তি গঠন করে যার সাহায্যে যেকোনো সময় -এ অবস্থা প্রসারিত করা যায়

ব্যবস্থার বিবর্তন সময়-নির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়

যেখানে  (দেখুন )। -এর প্রসারণ প্রবেশ করিয়ে,  ব্যবহার করে, প্রোডাক্ট রুল দিয়ে ডিফারেনশিয়েট করে, -এর সাথে ইনার প্রোডাক্ট নিয়ে এবং আইজেনস্টেটের অর্থোনর্মালিটি ব্যবহার করে পাওয়া যায়

এই যুক্ত প্রথম ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সঠিক এবং কোয়েফিসিয়েন্টের সময়-বিবর্তনকে আইজেনস্টেট ও সময়-ডিফারেনশিয়েটেড আইজেনস্টেটের মধ্যে ইনার প্রোডাক্ট -এর মাধ্যমে প্রকাশ করে। কিন্তু -এর জন্য ইনার প্রোডাক্টগুলোকে সময়-ডিফারেনশিয়েটেড হ্যামিল্টোনিয়ান -এর ম্যাট্রিক্স উপাদানের মাধ্যমে পুনর্ব্যক্ত করা সম্ভব। এর জন্য সময়-স্বাধীন শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের উভয় পক্ষকে সময়ের সাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করে প্রোডাক্ট রুল ব্যবহার করা যায়

আবার -এর সাথে ইনার প্রোডাক্ট নিয়ে  এবং অর্থোনর্মালিটি ব্যবহার করে পাওয়া যায়

এটি কোয়েফিসিয়েন্টের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রবেশ করিয়ে পাওয়া যায়

এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কোয়েফিসিয়েন্টের সময়-বিবর্তন বর্ণনা করে, এবার -এর ম্যাট্রিক্স উপাদানের মাধ্যমে। অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্যে পৌঁছানোর জন্য ডান পক্ষ উপেক্ষা করা যায়। এটি বৈধ যদি হ্যামিল্টোনিয়ানের পরিবর্তনের হার  ছোট হয় **এবং** শক্তিগুলোর মধ্যে একটি সীমিত ফাঁক  থাকে। এটিকে **অ্যাডিয়াব্যাটিক আনুমানিক** বলা হয়। অ্যাডিয়াব্যাটিক আনুমানিকের অধীনে,

যা সঠিকভাবে অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্যে ইন্টিগ্রেট হয়

যেখানে উপপাদ্যে দেওয়া ফেজগুলো সংজ্ঞায়িত।

ডায়নামিক্যাল ফেজ  বাস্তব কারণ এটি বাস্তব শক্তির উপর ইন্টিগ্রাল। জ্যামিতিক ফেজ  যে বিশুদ্ধ বাস্তব তা দেখতে আইজেনস্টেটের নর্মালাইজেশন  ডিফারেনশিয়েট করে প্রোডাক্ট রুল ব্যবহার করা যায়

সুতরাং,  বিশুদ্ধ কাল্পনিক, ফলে জ্যামিতিক ফেজ  বিশুদ্ধ বাস্তব।

অ্যাডিয়াব্যাটিক আনুমানিকঅ্যাডিয়াব্যাটিক আনুমানিকের বিস্তারিত প্রমাণ

আমরা উপপাদ্যের বিবৃতি নিম্নরূপে ফর্মুলেট করব:

এখন আমরা উপপাদ্য প্রমাণ করব।

সময়-নির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ বিবেচনা করুন

হ্যামিল্টোনিয়ান  সহ। আমরা জানতে চাই প্রাথমিক অবস্থা  এবং অ্যাডিয়াব্যাটিক সীমায় -এ চূড়ান্ত অবস্থা -এর মধ্যে সম্পর্ক, ।

প্রথমে সময়কে পুনর্নির্ধারণ করি :

প্রতিটি সময় বিন্দুতে  ডায়াগোনালাইজ করা যায়  আইজেনভ্যালু  এবং আইজেনভেক্টর  সহ। যেহেতু আইজেনভেক্টরগুলো যেকোনো সময়ে সম্পূর্ণ ভিত্তি গঠন করে আমরা  প্রসারিত করতে পারি:

যেখানে 

ফেজ কে ডায়নামিক ফেজ ফ্যাক্টর বলা হয়। শ্রোডিঙ্গার সমীকরণে প্রবেশ করিয়ে কোয়েফিসিয়েন্টের পরিবর্তনের জন্য আরেক সমীকরণ পাওয়া যায়:

 পদটি  দেয়, এবং বাম পক্ষের তৃতীয় পদ ডান পক্ষের সাথে বাতিল হয়, অবশিষ্ট থাকে

এখন যেকোনো আইজেনফাংশন -এর সাথে ইনার প্রোডাক্ট নিলে বাম পক্ষে   দেয়, যা শুধু -এর জন্য ১ এবং অন্যথায় শূন্য। অবশিষ্ট অংশ দেয়

-এর জন্য  দ্রুত দোলিত হবে এবং স্বজ্ঞাতভাবে শেষ পর্যন্ত ডান পক্ষের প্রায় সব পদ দমন করবে। একমাত্র ব্যতিক্রম যখন -এর ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট থাকে, অর্থাৎ । এটি -এর জন্য সত্য। যেহেতু অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্য যেকোনো সময়ে আইজেনশক্তির মধ্যে ফাঁক ধরে নেয় তাই -এর জন্য এটি হতে পারে না। সুতরাং  সীমায় শুধু  পদ অবশিষ্ট থাকবে।

এটি আরও কঠোরভাবে দেখাতে প্রথমে  পদটি অপসারণ করতে হবে। এটি করা যায়  সংজ্ঞায়িত করে। আমরা পাই:

এই সমীকরণ ইন্টিগ্রেট করা যায়:

বা ভেক্টর নোটেশনে

এখানে  একটি ম্যাট্রিক্স এবং

মূলত একটি ফুরিয়ে ট্রান্সফর্ম। রিম্যান–লেবেগ লেমা থেকে অনুসরণ করে যে  যখন । শেষ ধাপ হিসেবে উপরের সমীকরণের উভয় পক্ষে নর্ম নিন:

এবং গ্রোনওয়ালের অসমতা প্রয়োগ করে পাওয়া যায়

যেহেতু  তাই  যখন । এটি অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্যের প্রমাণ সমাপ্ত করে।

অ্যাডিয়াব্যাটিক সীমায় হ্যামিল্টোনিয়ানের আইজেনস্টেটগুলো একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে বিবর্তিত হয়। যদি ব্যবস্থাটি আইজেনস্টেট -এ প্রস্তুত করা হয় তাহলে তার সময় বিবর্তন দেয়:

সুতরাং, অ্যাডিয়াব্যাটিক প্রক্রিয়ায়, nতম আইজেনস্টেট থেকে শুরু করা ব্যবস্থা সময়-স্বাধীন প্রক্রিয়ার মতো nতম আইজেনস্টেটেই থাকে, শুধু কয়েকটি ফেজ ফ্যাক্টর গ্রহণ করে। নতুন ফেজ ফ্যাক্টর  আইজেনফাংশনের উপযুক্ত গেজ নির্বাচন করে বাতিল করা যায়। তবে যদি অ্যাডিয়াব্যাটিক বিবর্তন সাইক্লিক হয়, তাহলে  গেজ-ইনভ্যারিয়েন্ট ভৌত পরিমাণ হয়ে যায়, যাকে বেরি ফেজ বলা হয়।

প্যারামিটার স্পেসে সাধারণ প্রমাণএকটি প্যারামেট্রিক হ্যামিল্টোনিয়ান  থেকে শুরু করি, যেখানে প্যারামিটারগুলো সময়ে ধীরে পরিবর্তিত হয়, এখানে ধীর বলতে মূলত আইজেনস্টেটের মধ্যে শক্তির দূরত্ব দ্বারা সংজ্ঞায়িত (অনিশ্চয়তা নীতির মাধ্যমে আমরা একটি সময়স্কেল সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা বিবেচিত সময়স্কেলের চেয়ে সবসময় অনেক ছোট হবে)।

এভাবে আমরা স্পষ্টভাবে চিহ্নিত করি যে ধীরে পরিবর্তনের সময় আইজেনস্টেটগুলো শক্তিতে স্পষ্টভাবে পৃথক থাকে (যেমন আমরা যখন এটিকে TKNN সূত্র-এর মতো ব্যান্ডের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করি তখন ব্যান্ডগুলো স্পষ্টভাবে পৃথক থাকতে হবে)। যেহেতু তারা ছেদ করে না তাই অবস্থাগুলো ক্রমানুসারে থাকে এবং এই অর্থে এটি টপোলজিক্যাল অর্ডার নামের একটি অর্থ।

আমাদের তাৎক্ষণিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ আছে:

এবং তাৎক্ষণিক আইজেনস্টেট:

সাধারণ সমাধান:

পূর্ণ শ্রোডিঙ্গার সমীকরণে প্রবেশ করিয়ে এবং একটি সাধারণ আইজেনভেক্টর দিয়ে গুণ করে:

এবং অ্যাডিয়াব্যাটিক আনুমানিক প্রবর্তন করলে:

 প্রতিটি -এর জন্য

আমরা পাই

এবং

যেখানে

এবং C হলো প্যারামিটার স্পেসে পথ,

এটি উপপাদ্যের বিবৃতির মতোই কিন্তু মোট ওয়েভ ফাংশনের কোয়েফিসিয়েন্ট এবং তার প্রাথমিক অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে।

এখন এটি অন্য প্রমাণগুলোর চেয়ে কিছুটা সাধারণ কারণ আমরা সাধারণ প্যারামিটার সেট বিবেচনা করছি, এবং আমরা দেখি যে বেরি ফেজ প্যারামিটার স্পেসে স্থানীয় জ্যামিতিক পরিমাণ হিসেবে কাজ করে।

শেষ পর্যন্ত স্থানীয় জ্যামিতিক পরিমাণের ইন্টিগ্রাল টপোলজিক্যাল ইনভ্যারিয়েন্ট দিতে পারে যেমন গাউস-বনেট উপপাদ্য-এর ক্ষেত্রে।

আসলে যদি পথ C বন্ধ হয় তাহলে বেরি ফেজ গেজ ট্রান্সফরমেশনের পরেও থেকে যায় এবং ভৌত পরিমাণ হয়ে যায়।
 উদাহরণ প্রয়োগ

প্রায়শই একটি কঠিন স্ফটিককে স্বাধীন ভ্যালেন্স ইলেকট্রনের সমষ্টি হিসেবে মডেল করা হয়, যারা আয়নের কঠিন ল্যাটিস দ্বারা উৎপন্ন একটি গড় পুরোপুরি পিরিয়ডিক সম্ভাব্য ক্ষেত্রে চলাচল করে। অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্যের সাহায্যে আমরা ভ্যালেন্স ইলেকট্রনের স্ফটিক জুড়ে গতি এবং আয়নের তাপীয় গতিকে বর্ন–অপেনহাইমার আনুমানিক-এর মতো অন্তর্ভুক্ত করতে পারি।

এটি নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে অনেক ঘটনা ব্যাখ্যা করে:
 থার্মোডায়নামিক্স: তাপমাত্রার উপর নির্দিষ্ট তাপ, তাপীয় প্রসারণ, গলন-এর নির্ভরতা
 পরিবহন ঘটনা: পরিবাহী-র বৈদ্যুতিক রোধকতা-র তাপমাত্রা নির্ভরতা, অন্তরক-এ বৈদ্যুতিক পরিবাহিতা-র তাপমাত্রা নির্ভরতা, নিম্ন তাপমাত্রার সুপারকন্ডাক্টিভিটি-র কিছু বৈশিষ্ট্য
 অপটিক্স: আয়নিক স্ফটিক-এ ইনফ্রারেড অঞ্চলে আলোক শোষণ, ব্রিলুইন স্ক্যাটারিং, রামান স্ক্যাটারিং

 ডায়াব্যাটিক বনাম অ্যাডিয়াব্যাটিক প্যাসেজের শর্ত নির্ণয়

আমরা এখন আরও কঠোর বিশ্লেষণ করব। ব্রা–কেট নোটেশন ব্যবহার করে সময় -এ ব্যবস্থার স্টেট ভেক্টর লেখা যায়

যেখানে আগে উল্লিখিত স্প্যাশিয়াল ওয়েভফাংশন হলো অবস্থা ভেক্টরের পজিশন অপারেটর-এর আইজেনস্টেটে প্রজেকশন

সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলো পরীক্ষা করা শিক্ষণীয়, যেখানে  খুব বড় (অ্যাডিয়াব্যাটিক, বা ধীর পরিবর্তন) এবং খুব ছোট (ডায়াব্যাটিক, বা আকস্মিক পরিবর্তন)।

একটি ব্যবস্থার হ্যামিল্টোনিয়ান প্রাথমিক মান  থেকে, সময় -এ, ধারাবাহিকভাবে পরিবর্তিত হয়ে চূড়ান্ত মান -এ পৌঁছায়, সময় -এ, যেখানে । ব্যবস্থার বিবর্তন শ্রোডিঙ্গার ছবি-তে সময়-বিবর্তন অপারেটর দ্বারা বর্ণিত হয়, যা ইন্টিগ্রাল সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত

যা শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ-এর সমতুল্য।

প্রাথমিক শর্ত  সহ। -এ ব্যবস্থার ওয়েভ ফাংশন জানা থাকলে পরবর্তী সময়  পর্যন্ত বিবর্তন পাওয়া যায়

কোনো প্রক্রিয়ার অ্যাডিয়াব্যাটিসিটি নির্ধারণের সমস্যা -এর -এর উপর নির্ভরতা প্রতিষ্ঠা করার সমতুল্য।

কোনো প্রক্রিয়ার জন্য অ্যাডিয়াব্যাটিক আনুমানিকের বৈধতা নির্ধারণ করতে ব্যবস্থাটিকে শুরুর অবস্থা ছাড়া অন্য অবস্থায় পাওয়ার সম্ভাবনা গণনা করা যায়। ব্রা–কেট নোটেশন ব্যবহার করে এবং  সংজ্ঞা নিয়ে আমরা পাই:

আমরা  প্রসারিত করতে পারি

পার্টারবেশন সীমায় আমরা প্রথম দুটি পদ নিয়ে -এর সমীকরণে প্রবেশ করাতে পারি, স্বীকার করে যে

হলো ব্যবস্থার হ্যামিল্টোনিয়ান,  ব্যবধানে গড় করা, আমরা পাই:

প্রোডাক্ট প্রসারিত করে এবং উপযুক্ত বাতিল করে আমরা পাই:

যা দেয়

যেখানে  হলো আগ্রহের ব্যবধানে গড় করা ব্যবস্থার হ্যামিল্টোনিয়ানের রুট মিন স্কোয়ার বিচ্যুতি।

আকস্মিক আনুমানিক বৈধ যখন  (ব্যবস্থাটিকে শুরুর অবস্থা ছাড়া অন্য অবস্থায় পাওয়ার সম্ভাবনা শূন্যের কাছাকাছি), সুতরাং বৈধতার শর্ত হলো

যা হাইজেনবার্গ অনিশ্চয়তা নীতির সময়-শক্তি রূপ-এর একটি বিবৃতি।

 ডায়াব্যাটিক প্যাসেজ

 সীমায় আমরা অসীম দ্রুত, বা ডায়াব্যাটিক প্যাসেজ পাই:

ব্যবস্থার ফাংশনাল ফর্ম অপরিবর্তিত থাকে:

এটিকে কখনো আকস্মিক আনুমানিক বলা হয়। কোনো প্রক্রিয়ার জন্য আনুমানিকের বৈধতা ব্যবস্থার অবস্থা শুরুর অবস্থার মতো থাকার সম্ভাবনা দিয়ে চিহ্নিত করা যায়:

 অ্যাডিয়াব্যাটিক প্যাসেজ

 সীমায় আমরা অসীম ধীর, বা অ্যাডিয়াব্যাটিক প্যাসেজ পাই। ব্যবস্থাটি বিবর্তিত হয়, পরিবর্তনশীল অবস্থার সাথে তার ফর্ম অভিযোজিত করে,

যদি ব্যবস্থাটি প্রাথমিকভাবে -এর আইজেনস্টেট-এ থাকে, তাহলে  সময় পরে এটি -এর সংশ্লিষ্ট'' আইজেনস্টেটে পৌঁছাবে।

এটিকে অ্যাডিয়াব্যাটিক আনুমানিক বলা হয়। কোনো প্রক্রিয়ার জন্য আনুমানিকের বৈধতা ব্যবস্থার চূড়ান্ত অবস্থা প্রাথমিক অবস্থা থেকে ভিন্ন হওয়ার সম্ভাবনা থেকে নির্ধারণ করা যায়:

 অ্যাডিয়াব্যাটিক প্যাসেজ সম্ভাবনা গণনা

 ল্যান্ডাউ–জেনার সূত্র

১৯৩২ সালে লেভ ল্যান্ডাউ এবং ক্ল্যারেন্স জেনার পৃথকভাবে অ্যাডিয়াব্যাটিক ট্রানজিশন সম্ভাবনা গণনার সমস্যার একটি বিশ্লেষণাত্মক সমাধান প্রকাশ করেন, যেখানে পার্টারবেশন লিনিয়ারভাবে পরিবর্তিত হয় এবং সময়-পরিবর্তনশীল উপাদান প্রাসঙ্গিক অবস্থাগুলোকে কাপল করে না (ফলে ডায়াব্যাটিক হ্যামিল্টোনিয়ান ম্যাট্রিক্সে কাপলিং সময়-স্বাধীন)।

এই পদ্ধতিতে মূল পরিমাপক হলো ল্যান্ডাউ–জেনার ভেলোসিটি:

যেখানে  হলো পার্টারবেশন ভ্যারিয়েবল (বৈদ্যুতিক বা চৌম্বক ক্ষেত্র, মলিকুলার বন্ধন-দৈর্ঘ্য, বা ব্যবস্থার অন্য কোনো পার্টারবেশন), এবং  এবং  হলো দুটি ডায়াব্যাটিক (ছেদকারী) অবস্থার শক্তি। বড়  বড় ডায়াব্যাটিক ট্রানজিশন সম্ভাবনা দেয় এবং বিপরীত।

ল্যান্ডাউ–জেনার সূত্র ব্যবহার করে ডায়াব্যাটিক ট্রানজিশনের সম্ভাবনা  দেওয়া হয়

 সংখ্যাগত পদ্ধতি

পার্টারবেশন ভ্যারিয়েবলের ননলিনিয়ার পরিবর্তন বা ডায়াব্যাটিক অবস্থার মধ্যে সময়-নির্ভর কাপলিং-এর ক্ষেত্রে ব্যবস্থার গতিবিদ্যার গতিসমীকরণ বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধান করা যায় না। ডায়াব্যাটিক ট্রানজিশন সম্ভাবনা তবুও সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংখ্যাগত সমাধান অ্যালগরিদম-এর বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া যায়।

সমাধান করতে হবে সময়-নির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ থেকে পাওয়া সমীকরণ:

যেখানে  হলো অ্যাডিয়াব্যাটিক অবস্থা অ্যামপ্লিটিউড ধারণকারী কলাম ভেক্টর,  হলো সময়-নির্ভর অ্যাডিয়াব্যাটিক হ্যামিল্টোনিয়ান, এবং ওভারডট সময় ডেরিভেটিভ নির্দেশ করে।

প্রাথমিক শর্তের সাথে তুলনা করে ট্রানজিশনের পর অবস্থা অ্যামপ্লিটিউডের মান থেকে ডায়াব্যাটিক ট্রানজিশন সম্ভাবনা পাওয়া যায়। বিশেষ করে দুই-অবস্থা ব্যবস্থার জন্য:

যদি ব্যবস্থাটি  দিয়ে শুরু হয়।

 আরও দেখুন 
 ল্যান্ডাউ–জেনার সূত্র
 বেরি ফেজ
 কোয়ান্টাম স্টিরিং, র‍্যাচেট, এবং পাম্পিং
 অ্যাডিয়াব্যাটিক কোয়ান্টাম মোটর
 বর্ন–অপেনহাইমার আনুমানিক
 আইজেনস্টেট থার্মালাইজেশন হাইপোথিসিস
 অ্যাডিয়াব্যাটিক প্রক্রিয়া

 তথ্যসূত্র 

বিষয়শ্রেণী:কোয়ান্টাম মেকানিক্সের উপপাদ্য