গ্লিসনের উপপাদ্য

গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান-এ, গ্লিসনের উপপাদ্য দেখায় যে কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান-এ সম্ভাব্যতা গণনার জন্য ব্যবহৃত নিয়ম, অর্থাৎ বর্ন নীতি, কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে পরিমাপের প্রচলিত গাণিতিক উপস্থাপনা এবং অ-প্রাসঙ্গিকতার ধারণার সমন্বয়ে উদ্ভূত হতে পারে। অ্যান্ড্রু এম. গ্লিসন ১৯৫৭ সালে প্রথম এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করেন, যা জর্জ ডব্লিউ. ম্যাকি উত্থাপিত একটি প্রশ্নের উত্তর প্রদান করে। এই অর্জনটি ঐতিহাসিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ ছিল কারণ এটি দেখিয়েছিল যে গুপ্ত-চলক তত্ত্বের বিস্তৃত শ্রেণীগুলো কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ। পরবর্তী বছরগুলোতে এর অনেকগুলো বৈচিত্র্য প্রমাণিত হয়েছে। গ্লিসনের উপপাদ্যটি কোয়ান্টাম যুক্তি এবং কোয়ান্টাম তত্ত্বের জন্য ন্যূনতম গাণিতিক স্বতঃসিদ্ধ খুঁজে বের করার প্রচেষ্টার ক্ষেত্রে বিশেষ তাৎপর্যপূর্ণ।

 উপপাদ্যের বিবৃতি 

 ধারণাগত পটভূমি 
কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, প্রতিটি ভৌত সিস্টেম একটি হিলবার্ট স্থান-এর সাথে যুক্ত। এই আলোচনার উদ্দেশ্যে, হিলবার্ট স্থানকে সসীম-মাত্রিক বলে ধরে নেওয়া হয়েছে। জন ফন নিউম্যান কর্তৃক বিধিবদ্ধ পদ্ধতিতে, একটি ভৌত সিস্টেমের পরিমাপকে সেই হিলবার্ট স্থানের একটি স্ব-সংলগ্ন অপারেটর দ্বারা প্রকাশ করা হয় যাকে কখনও কখনও "পর্যবেক্ষণযোগ্য" বলা হয়। এই ধরনের অপারেটরের আইজেনভেক্টরগুলো হিলবার্ট স্থানের জন্য একটি অর্থোনরমাল বেসিস গঠন করে এবং সেই পরিমাপের প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফল বেসিসের অন্তর্ভুক্ত ভেক্টরগুলোর একটির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। একটি ঘনত্ব অপারেটর হলো হিলবার্ট স্থানের উপর একটি পজিটিভ-সেমিডেফিনিট অপারেটর যার ট্রেস ১-এর সমান। ফন ভাইটসেকারের ভাষায়, একটি ঘনত্ব অপারেটর হলো "সম্ভাব্যতার তালিকা": সংজ্ঞায়িত করা যায় এমন প্রতিটি পরিমাপের ক্ষেত্রে, সেই পরিমাপের ফলাফলের উপর সম্ভাব্যতার বণ্টন ঘনত্ব অপারেটর থেকে গণনা করা যেতে পারে। এটি করার পদ্ধতিটি হলো বর্ন নীতি, যা উল্লেখ করে যে

যেখানে  হলো ঘনত্ব অপারেটর, এবং  হলো সেই বেসিস ভেক্টরের উপর অভিক্ষেপ অপারেটর যা পরিমাপের ফলাফল -এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

বর্ন নীতি হিলবার্ট স্থানের প্রতিটি ইউনিট ভেক্টরের সাথে একটি সম্ভাব্যতা যুক্ত করে, এমনভাবে যাতে অর্থোনরমাল বেসিস গঠনকারী ইউনিট ভেক্টরের যেকোনো সেটের জন্য এই সম্ভাবনাগুলোর সমষ্টি ১ হয়। অধিকন্তু, একটি ইউনিট ভেক্টরের সাথে যুক্ত সম্ভাব্যতাটি ঘনত্ব অপারেটর এবং ইউনিট ভেক্টরের একটি ফাংশন, এবং এতে অতিরিক্ত কোনো তথ্যের (যেমন সেই ভেক্টরটিকে কোন বেসিসে স্থাপন করা হবে তার পছন্দ) প্রয়োজন হয় না। গ্লিসনের উপপাদ্য এর বিপরীতটি প্রতিষ্ঠা করে: ইউনিট ভেক্টরের ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতার সমস্ত বরাদ্দ (বা সমতুল্যভাবে, তাদের উপর অভিক্ষেপকারী অপারেটরগুলোর ক্ষেত্রে) যা এই শর্তগুলো পূরণ করে, সেগুলো কোনো একটি ঘনত্ব অপারেটরের ওপর বর্ন নীতি প্রয়োগ করার রূপ গ্রহণ করে। গ্লিসনের উপপাদ্যটি কার্যকর হয় যদি হিলবার্ট স্থানের মাত্রা ৩ বা তার বেশি হয়; ২ মাত্রার ক্ষেত্রে এর ব্যতিক্রমী উদাহরণ রয়েছে।

 অবস্থা স্থান এবং বর্ন নীতির প্রতিপাদন 
একটি কোয়ান্টাম সিস্টেমের উপর যেকোনো পরিমাপের ফলাফলের সম্ভাব্যতা অবশ্যই ০ এবং ১-এর (০ ও ১ সহ) মধ্যবর্তী একটি বাস্তব সংখ্যা হতে হবে এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়ার জন্য, যেকোনো পৃথক পরিমাপের বিভিন্ন সম্ভাব্য ফলাফলের সম্ভাবনাগুলোর যোগফল অবশ্যই ১ হতে হবে। গ্লিসনের উপপাদ্য দেখায় যে, অভিক্ষেপ অপারেটর দ্বারা চিহ্নিত পরিমাপের ফলাফলের সাথে সম্ভাব্যতা নির্ধারণকারী যেকোনো ফাংশনকে অবশ্যই একটি ঘনত্ব অপারেটর এবং বর্ন নীতির মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। এটি কেবল সম্ভাব্যতা গণনার নিয়মই দেয় না, বরং সম্ভাব্য কোয়ান্টাম অবস্থাগুলোর সেটও নির্ধারণ করে।

ধরা যাক,  হলো অভিক্ষেপ অপারেটর থেকে একক ব্যবধি-র একটি ফাংশন যার এমন বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে, যদি অভিক্ষেপ অপারেটরগুলোর একটি সেট -এর যোগফল অভেদ ম্যাট্রিক্স হয় (অর্থাৎ, তারা যদি একটি অর্থোনরমাল বেসিসের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়), তবে

এই ধরনের ফাংশন পরিমাপের ফলাফলের সাথে সম্ভাব্যতার মান নির্ধারণকে প্রকাশ করে; এই মান নির্ধারণ পদ্ধতিটি এমনভাবে "অ-প্রাসঙ্গিক" (noncontextual) যে একটি ফলাফলের সম্ভাবনা সেই ফলাফলটি কোন পরিমাপের অন্তর্ভুক্ত তার ওপর নির্ভর করে না, বরং শুধুমাত্র সেই নির্দিষ্ট ফলাফলের গাণিতিক উপস্থাপনার (অর্থাৎ এর অভিক্ষেপ অপারেটরের) ওপর নির্ভর করে। গ্লিসনের উপপাদ্য উল্লেখ করে যে, এই ধরনের যেকোনো ফাংশন -এর জন্য, একক ট্রেস বিশিষ্ট একটি পজিটিভ-সেমিডেফিনিট অপারেটর  বিদ্যমান থাকে যাতে

বর্ন নীতি এবং "সম্ভাব্যতার তালিকা" হিসেবে একক ট্রেস বিশিষ্ট পজিটিভ-সেমিডেফিনিট অপারেটরের ধারণা—উভয়ই এই অনুমানগুলো থেকে উদ্ভূত হয় যে পরিমাপগুলোকে অর্থোনরমাল বেসিস দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং সম্ভাব্যতার বণ্টন "অ-প্রাসঙ্গিক"। গ্লিসনের উপপাদ্যটি প্রযোজ্য হওয়ার জন্য, যে স্থানের ওপর পরিমাপগুলো সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তাকে অবশ্যই একটি বাস্তব বা জটিল হিলবার্ট স্থান অথবা একটি কোয়াটার্নিওনিক মডিউল হতে হবে। (গ্লিসনের যুক্তিটি অপ্রযোজ্য হবে যদি, উদাহরণস্বরূপ, কেউ পি-অ্যাডিক সংখ্যা ব্যবহার করে কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের একটি সাদৃশ্য তৈরির চেষ্টা করেন।)

 গ্লিসনের প্রমাণের ইতিহাস ও রূপরেখা 
১৯৩২ সালে, জন ফন নিউম্যান তার পাঠ্যপুস্তক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের গাণিতিক ভিত্তি-তেও বর্ন নীতি প্রতিপাদন করতে সক্ষম হয়েছিলেন। তবে, ফন নিউম্যান যে অনুমানগুলোর ওপর ভিত্তি করে তার লুকানো চলকহীন প্রমাণ তৈরি করেছিলেন তা বেশ শক্তিশালী ছিল এবং শেষ পর্যন্ত সেগুলো যথাযথভাবে অনুপ্রাণিত নয় বলে গণ্য করা হয়েছিল। বিশেষভাবে, ফন নিউম্যান ধরে নিয়েছিলেন যে সম্ভাব্যতার ফাংশনটি বিনিময়যোগ্য বা অবিনিময়যোগ্য সকল পর্যবেক্ষণযোগ্যের ওপর রৈখিক হতে হবে। তার এই প্রমাণটিকে জন বেল "কেবল ভুলই নয়, বরং বোকামি!" বলে উপহাস করেছিলেন। অন্যদিকে গ্লিসন রৈখিকতা ধরে নেননি, বরং বিনিময়যোগ্য প্রজেক্টরের জন্য কেবল যোগাত্মকতা এবং অ-প্রাসঙ্গিকতাকে বিবেচনা করেছেন; এই অনুমানগুলো অধিকতর যুক্তিযুক্ত এবং শারীরিকভাবে অর্থবহ বলে মনে করা হয়।

১৯৪০-এর দশকের শেষের দিকে, জর্জ ম্যাকি কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের গাণিতিক ভিত্তির প্রতি আগ্রহী হয়ে ওঠেন এবং বিশেষ করে ভাবছিলেন যে, যে তত্ত্বে পরিমাপকে হিলবার্ট স্থানের অর্থোনরমাল বেসিস হিসেবে প্রকাশ করা হয়, সেখানে বর্ন নীতিই কি সম্ভাবনা গণনার একমাত্র সম্ভাব্য নিয়ম কিনা। ম্যাকি শিকাগো বিশ্ববিদ্যালয়-এ আরভিং সেগাল-এর সাথে এই সমস্যাটি নিয়ে আলোচনা করেন, যিনি পরবর্তীতে তৎকালীন স্নাতক ছাত্র রিচার্ড ক্যাডিসন-এর কাছে এটি উত্থাপন করেন। ক্যাডিসন দেখান যে ২-মাত্রিক হিলবার্ট স্থানের জন্য এমন একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ বিদ্যমান যা কোয়ান্টাম অবস্থা এবং বর্ন নীতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। গ্লিসনের ফলাফল ইঙ্গিত করে যে এটি কেবল ২-মাত্রার ক্ষেত্রেই ঘটে।

গ্লিসনের মূল প্রমাণটি তিনটি ধাপে অগ্রসর হয়। গ্লিসনের পরিভাষায়, একটি ফ্রেম ফাংশন হলো হিলবার্ট স্থানের ইউনিট স্ফিয়ারের ওপর একটি বাস্তব-মানসম্পন্ন ফাংশন  যাতে

যখনই ভেক্টর  একটি অর্থোনরমাল বেসিস গঠন করে। পূর্ববর্তী বিভাগে সংজ্ঞায়িত অ-প্রাসঙ্গিক সম্ভাব্যতা বরাদ্দ একটি ফ্রেম ফাংশনের সমতুল্য। এই ধরনের যেকোনো পরিমাপ যা আদর্শ উপায়ে লেখা যায়, অর্থাৎ কোয়ান্টাম অবস্থায় বর্ন নীতি প্রয়োগ করে, তাকে নিয়মিত (regular) ফ্রেম ফাংশন বলা হয়। গ্লিসন একটি ফ্রেম ফাংশন কখন অবশ্যই নিয়মিত হবে সে সম্পর্কে ধারাবাহিকভাবে কিছু লেমা প্রতিপাদন করেন, যা শেষ পর্যন্ত চূড়ান্ত উপপাদ্যে উপনীত হয়। প্রথমত, তিনি প্রতিষ্ঠা করেন যে  হিলবার্ট স্থানের ওপর প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন ফ্রেম ফাংশন নিয়মিত। এই ধাপটি স্ফেরিক্যাল হারমোনিক্স-এর তত্ত্ব ব্যবহার করে। তারপর, তিনি প্রমাণ করেন যে -এর ওপর ফ্রেম ফাংশনগুলোকে অবশ্যই অবিচ্ছিন্ন হতে হবে, যা -এর বিশেষ ক্ষেত্রের জন্য উপপাদ্যটি প্রতিষ্ঠা করে। এই ধাপটিকে প্রমাণের সবচেয়ে কঠিন অংশ হিসেবে গণ্য করা হয়। সবশেষে, তিনি দেখান যে সাধারণ সমস্যাটিকে এই বিশেষ ক্ষেত্রে হ্রাস করা যেতে পারে। গ্লিসন প্রমাণের এই শেষ পর্যায়ে ব্যবহৃত একটি লেমার জন্য তার ডক্টরাল ছাত্র রিচার্ড প্যালে-কে কৃতিত্ব দেন।

রবিন লিথ হাডসন গ্লিসনের উপপাদ্যকে "বিখ্যাত এবং কুখ্যাতভাবে কঠিন" হিসেবে বর্ণনা করেছেন। কুক, কিন এবং মোরান পরবর্তীতে এমন একটি প্রমাণ তৈরি করেন যা গ্লিসনের প্রমাণের চেয়ে দীর্ঘ হলেও এতে কম পূর্বশর্তের প্রয়োজন হয়।

 তাৎপর্য 
গ্লিসনের উপপাদ্য কোয়ান্টাম পরিমাপ তত্ত্বের বেশ কিছু মৌলিক বিষয়কে আলোকপাত করে। ফুকস যুক্তি দেন যে, উপপাদ্যটি "একটি অত্যন্ত শক্তিশালী ফলাফল", কারণ "এটি নির্দেশ করে যে বর্ন সম্ভাব্যতা নীতি এবং এমনকি ঘনত্ব অপারেটরগুলোর অবস্থা-স্থান কাঠামো এই তত্ত্বের অন্যান্য স্বতঃসিদ্ধগুলোর ওপর কতটা নির্ভরশীল"। ফলস্বরূপ, কোয়ান্টাম তত্ত্ব হলো "একজনকে যা প্রাথমিকভাবে মনে হতে পারে তার চেয়ে অনেক বেশি সুসংবদ্ধ প্যাকেজ"। বিকল্প স্বতঃসিদ্ধ থেকে কোয়ান্টাম ফরমালিজম পুনরায় প্রতিপাদনের বিভিন্ন পদ্ধতি তাই গ্লিসনের উপপাদ্যকে একটি মূল ধাপ হিসেবে ব্যবহার করেছে, যা হিলবার্ট স্থানের কাঠামো এবং বর্ন নীতির মধ্যবর্তী ব্যবধান দূর করে।

 গুপ্ত-চলক 
অধিকন্তু, কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে নির্দিষ্ট শ্রেণীর গুপ্ত-চলকগুলোর সম্ভাবনা নাকচ করার ক্ষেত্রে এই উপপাদ্যটির ঐতিহাসিক গুরুত্ব রয়েছে। একটি গুপ্ত-চলক তত্ত্ব যা নির্ধারণবাদী, তা নির্দেশ করে যে কোনো একটি নির্দিষ্ট ফলাফলের সম্ভাবনা সর্বদাই ০ অথবা ১ হবে। উদাহরণস্বরূপ, একটি স্পিন-১ পরমাণুর ওপর স্টার্ন-গেরলাখ পরীক্ষা এটি প্রদর্শন করবে যে পরমাণুটির কৌণিক ভরবেগ নির্বাচিত অক্ষ বরাবর তিনটি সম্ভাব্য মানের একটি হবে, যেগুলোকে ,  এবং  হিসেবে চিহ্নিত করা যায়। একটি নির্ধারণবাদী গুপ্ত-চলক তত্ত্বে, একটি অন্তর্নিহিত ভৌত ধর্ম বিদ্যমান থাকে যা পরিমাপের ফলাফলটি নির্ধারণ করে দেয়। সেই অন্তর্নিহিত ভৌত ধর্মের মানের ওপর ভিত্তি করে, যেকোনো একটি নির্দিষ্ট ফলাফল (যেমন ) হয় অসম্ভব অথবা নিশ্চিত হতে হবে। কিন্তু গ্লিসনের উপপাদ্য ইঙ্গিত দেয় যে এই ধরনের কোনো নির্ধারণবাদী সম্ভাব্যতা পরিমাপ থাকতে পারে না। যেকোনো ঘনত্ব অপারেটর -এর জন্য হিলবার্ট স্থানের ইউনিট স্ফিয়ার-এ ম্যাপিং  অবিচ্ছিন্ন। যেহেতু এই ইউনিট স্ফিয়ারটি সংযুক্ত, তাই এর ওপর কোনো অবিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা পরিমাপ নির্ধারণবাদী হতে পারে না। সুতরাং গ্লিসনের উপপাদ্য পরামর্শ দেয় যে, কোয়ান্টাম তত্ত্ব সেই চিরায়ত অন্তর্দৃষ্টি থেকে একটি গভীর ও মৌলিক বিচ্যুতি যেখানে অনিশ্চয়তাকে গুপ্ত মাত্রার স্বাধীনতা সম্পর্কে অজ্ঞতা হিসেবে মনে করা হতো। আরও নির্দিষ্টভাবে, গ্লিসনের উপপাদ্য সেই গুপ্ত-চলক মডেলগুলোকে নাকচ করে দেয় যেগুলো "অ-প্রাসঙ্গিক"। কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের যেকোনো গুপ্ত-চলক মডেলকে গ্লিসনের উপপাদ্যের প্রভাব এড়ানোর জন্য অবশ্যই এমন গুপ্ত-চলক অন্তর্ভুক্ত করতে হবে যেগুলো কেবল পরিমাপকৃত সিস্টেমের নিজস্ব ধর্ম নয়, বরং যে বাহ্যিক প্রেক্ষাপটে পরিমাপ করা হচ্ছে তার ওপরও নির্ভরশীল। এই ধরনের নির্ভরতাকে প্রায়শই কৃত্রিম বা অনাকাঙ্ক্ষিত হিসেবে দেখা হয়; কিছু ক্ষেত্রে এটি বিশেষ আপেক্ষিকতা-র সাথেও অসঙ্গতিপূর্ণ।

২-মাত্রিক হিলবার্ট স্থানের জন্য একটি বিপরীত উদাহরণ তৈরি করতে, যা কিউবিট নামে পরিচিত, ধরা যাক ৩-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে একটি ইউনিট ভেক্টর  হলো একটি গুপ্ত-চলক। ব্লখ স্ফিয়ার ব্যবহার করে, একটি কিউবিটের ওপর প্রতিটি সম্ভাব্য পরিমাপকে ইউনিট স্ফিয়ারের ওপর একজোড়া বিপ্রতীপ বিন্দু হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে। একটি পরিমাপের ফলাফলের সম্ভাবনা ১ হবে যদি সেই ফলাফল নির্দেশকারী বিন্দুটি -এর মতো একই গোলার্ধে থাকে এবং অন্যথায় ০ হবে—এমন সংজ্ঞায়নের মাধ্যমে পরিমাপের ফলাফলের ওপর সম্ভাব্যতার একটি বণ্টন পাওয়া যায় যা গ্লিসনের অনুমানগুলো মেনে চলে। তবে, এই সম্ভাব্যতা বণ্টন কোনো বৈধ ঘনত্ব অপারেটরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। -এর সম্ভাব্য মানগুলোর ওপর একটি সম্ভাব্যতা বিন্যাস প্রবর্তনের মাধ্যমে কিউবিটের জন্য এমন একটি গুপ্ত-চলক মডেল তৈরি করা সম্ভব যা কোয়ান্টাম তত্ত্বের ভবিষ্যৎবাণীগুলোকে পুনরায় তৈরি করতে পারে।

গ্লিসনের উপপাদ্য পরবর্তীকালে জন স্টুয়ার্ট বেল, আর্নস্ট স্পেকার এবং সাইমন কোচেন-কে অনুপ্রাণিত করেছিল যা কোচেন-স্পেকার উপপাদ্য নামে পরিচিত ফলাফলে উপনীত হয়; এটিও একইভাবে দেখায় যে অ-প্রাসঙ্গিক গুপ্ত-চলক মডেলগুলো কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের সাথে অসামঞ্জস্যপূর্ণ। উপরে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, গ্লিসনের উপপাদ্য দেখায় যে হিলবার্ট স্থানের রেখাগুলোর (rays) ওপর এমন কোনো সম্ভাব্যতা পরিমাপ নেই যা কেবল ০ এবং ১ মান গ্রহণ করে (যতক্ষণ পর্যন্ত সেই স্থানের মাত্রা ২-এর বেশি হয়)। কোচেন-স্পেকার উপপাদ্যটি রেখাগুলোর একটি নির্দিষ্ট সসীম উপসেট তৈরির মাধ্যমে এই বিবৃতিটিকে আরও সুসংগত করে যার ওপর এই ধরনের কোনো সম্ভাব্যতা পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করা যায় না। রেখাগুলোর এমন একটি সসীম উপসেট অবশ্যই বিদ্যমান থাকার বিষয়টি গ্লিসনের উপপাদ্য থেকে একটি যৌক্তিক নিবিড়তা যুক্তির মাধ্যমে পাওয়া যায়, তবে এই পদ্ধতিটি কাঙ্ক্ষিত সেটটিকে স্পষ্টভাবে তৈরি করে না। বেলের উপপাদ্য হিসেবে পরিচিত সংশ্লিষ্ট গুপ্ত-চলকহীন ফলাফলে, গুপ্ত-চলক তত্ত্বটি অ-প্রাসঙ্গিক হওয়ার অনুমানের পরিবর্তে এটি স্থানীয় হওয়ার অনুমান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। কোচেন-স্পেকার গঠনে ব্যবহৃত একই রেখাগুলোর সেট বেল-টাইপ প্রমাণ প্রতিপাদনেও ব্যবহার করা যেতে পারে।

পিটোস্কি গ্লিসনের উপপাদ্য ব্যবহার করে যুক্তি দেন যে কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান সম্ভাব্যতার একটি নতুন তত্ত্বকে উপস্থাপন করে, যেখানে সম্ভাব্য ঘটনাগুলোর স্থানের কাঠামো চিরায়ত বুলিয়ান বীজগণিত থেকে পরিবর্তিত হয়েছে। তিনি এটিকে বিশেষ আপেক্ষিকতা যেভাবে নিউটনীয় বলবিজ্ঞানের গতিবিদ্যাকে পরিবর্তিত করে তার সাথে তুলনা করেন।

গ্লিসন এবং কোচেন-স্পেকার উপপাদ্যগুলো বিভিন্ন দর্শনের সমর্থনে উদ্ধৃত হয়েছে, যার মধ্যে পার্সপেক্টিভিজম, কনস্ট্রাক্টিভ এম্পিরিসিজম এবং এজেনশিয়াল রিয়ালিজম অন্তর্ভুক্ত।

 কোয়ান্টাম যুক্তি 
গ্লিসনের উপপাদ্যটি কোয়ান্টাম যুক্তিতে প্রয়োগ খুঁজে পায়, যা ব্যাপকভাবে ল্যাটিস তত্ত্ব ব্যবহার করে। কোয়ান্টাম যুক্তি একটি কোয়ান্টাম পরিমাপ-এর ফলাফলকে একটি যৌক্তিক প্রস্তাবনা হিসেবে বিবেচনা করে এবং এই যৌক্তিক প্রস্তাবনাগুলোর দ্বারা গঠিত সম্পর্ক ও কাঠামো নিয়ে অধ্যয়ন করে। এগুলো একটি ল্যাটিসে সংগঠিত হয়, যেখানে চিরায়ত যুক্তিতে বৈধ বণ্টন বিধি শিথিল করা হয়; এটি কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের এই সত্যকে প্রতিফলিত করে যে সকল জোড়া রাশিকে একই সাথে পরিমাপ করা যায় না। কোয়ান্টাম যুক্তিতে রিপ্রেজেন্টেশন থিওরেম দেখায় যে এই ধরনের একটি ল্যাটিস একটি স্কেলার গুণফল বিশিষ্ট ভেক্টর স্থান-এর উপ-স্থানগুলোর (subspaces) ল্যাটিসের সাথে আইসোমর্ফিক। সোলেয়ারের উপপাদ্য ব্যবহার করে, যে (স্কিউ ফিল্ড) ফিল্ড K-এর ওপর ভেক্টর স্থানটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তা অতিরিক্ত অনুমানের ভিত্তিতে হয় বাস্তব সংখ্যা, জটিল সংখ্যা, অথবা কোয়াটার্নিওন হিসেবে প্রমাণিত হতে পারে, যা গ্লিসনের উপপাদ্য কার্যকর হওয়ার জন্য প্রয়োজন।

গ্লিসনের উপপাদ্যকে কাজে লাগিয়ে, ল্যাটিস উপাদানগুলোর ওপর একটি সম্ভাব্যতা ফাংশনের রূপ সীমিত করা যেতে পারে। ল্যাটিস উপাদান থেকে সম্ভাব্যতার ম্যাপিং অ-প্রাসঙ্গিক বলে ধরে নিয়ে, গ্লিসনের উপপাদ্য এটি প্রতিষ্ঠা করে যে একে অবশ্যই বর্ন নীতির মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে।; দেখুন পৃ. ১৮৬

 সাধারণীকরণ 
গ্লিসন মূলত এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছিলেন এই অনুমানের ওপর ভিত্তি করে যে, সিস্টেমের ওপর প্রয়োগ করা পরিমাপগুলো ফন নিউম্যান ধরনের, অর্থাৎ প্রতিটি সম্ভাব্য পরিমাপ হিলবার্ট স্থানের একটি অর্থোনরমাল বেসিস-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। পরবর্তীতে, বুশ এবং স্বতন্ত্রভাবে কেভস প্রমুখ আরও সাধারণ শ্রেণীর পরিমাপের জন্য একটি সাদৃশ্যপূর্ণ ফলাফল প্রমাণ করেছেন, যা পজিটিভ-অপারেটর-ভ্যালুড মেজার্স (POVMs) নামে পরিচিত। সকল POVM-এর সেটে ফন নিউম্যান পরিমাপের সেটটিও অন্তর্ভুক্ত থাকে, এবং তাই এই উপপাদ্যের অনুমানগুলো গ্লিসনের অনুমানের চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে শক্তিশালী। এটি এই ফলাফলের প্রমাণকে গ্লিসনের প্রমাণের চেয়ে সহজ এবং এর সিদ্ধান্তকে আরও শক্তিশালী করেছে। গ্লিসনের মূল উপপাদ্যের বিপরীতে, POVM ব্যবহারকারী সাধারণীকৃত সংস্করণটি একটি একক কিউবিটের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। তবে POVM-এর জন্য অ-প্রাসঙ্গিকতা ধরে নেওয়াটি বিতর্কিত, কারণ POVM-গুলো মৌলিক নয়, এবং কিছু লেখক মনে করেন যে অ-প্রাসঙ্গিকতা কেবল অন্তর্নিহিত ফন নিউম্যান পরিমাপের জন্যই অনুমান করা উচিত। হিলবার্ট স্থান যদি মূলদ সংখ্যা-র ওপর সংজ্ঞায়িত হয়, অর্থাৎ হিলবার্ট স্থানের ভেক্টরগুলোর উপাদানগুলো যদি কেবল মূলদ সংখ্যা বা মূলদ অংশবিশিষ্ট জটিল সংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, তবে গ্লিসনের উপপাদ্যটি তার মূল সংস্করণে কার্যকর হয় না। তবে, যখন অনুমোদিত পরিমাপের সেটটি সকল POVM-এর সেট হয়, তখন উপপাদ্যটি কার্যকর হয়।

গ্লিসনের মূল প্রমাণটি গঠনমূলক ছিল না: এটি যে ধারণাগুলোর ওপর নির্ভর করে তার একটি হলো—একটি কম্প্যাক্ট স্পেস-এ সংজ্ঞায়িত প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন তার সর্বনিম্ন মান লাভ করে। যেহেতু সব ক্ষেত্রে সর্বনিম্ন মানটি ঠিক কোথায় ঘটে তা স্পষ্টভাবে দেখানো যায় না, তাই এই নীতির ওপর নির্ভরশীল কোনো প্রমাণ গঠনমূলক প্রমাণ হবে না। তবে, উপপাদ্যটিকে এমনভাবে পুনর্বিন্যস্ত করা যেতে পারে যাতে একটি গঠনমূলক প্রমাণ পাওয়া সম্ভব হয়।

গ্লিসনের উপপাদ্যটি এমন কিছু ক্ষেত্রেও বিস্তৃত করা যেতে পারে যেখানে তত্ত্বের পর্যবেক্ষণযোগ্যগুলো একটি ফন নিউম্যান অ্যালজেব্রা গঠন করে। বিশেষভাবে, গ্লিসনের ফলাফলের একটি সাদৃশ্য কার্যকর হতে পারে যদি পর্যবেক্ষণযোগ্যগুলোর অ্যালজেব্রায় এমন কোনো ডিরেক্ট সাম্যান্ড না থাকে যা একটি বিনিময়যোগ্য ফন নিউম্যান অ্যালজেব্রার ওপর ২×২ ম্যাট্রিক্সের অ্যালজেব্রা হিসেবে উপস্থাপনযোগ্য (অর্থাৎ টাইপ I2-এর কোনো ডিরেক্ট সাম্যান্ড নেই)। মূলত, উপপাদ্যটি প্রমাণের একমাত্র বাধা হলো এই সত্য যে—হিলবার্ট স্থানটি যখন একটি কিউবিটের হয়, তখন গ্লিসনের মূল ফলাফলটি আর কার্যকর থাকে না।

 টীকা 

 তথ্যসূত্র 

Category:হিলবার্ট স্থান
Category:কোয়ান্টাম পরিমাপ
Category:সম্ভাব্যতা তত্ত্বের উপপাদ্য