ল্যাপলাস-রাঞ্জ-লেঞ্জ ভেক্টর

চিরায়ত বলবিদ্যায়, ল্যাপ্লাস-রুঞ্জ-লেঞ্জ ভেক্টর (LRL ভেক্টর) হলো একটি ভেক্টর যা প্রধানত একটি জ্যোতিষ্ক কর্তৃক অন্য কোনো জ্যোতিষ্কের (যেমন- একটি যুগ্ম তারা অথবা কোনো নক্ষত্রের চারদিকে ঘূর্ণায়মান একটি গ্রহ) চারদিকে ঘূর্ণনের কক্ষপথের আকার এবং দিকনির্দেশনা বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র দ্বারা পারস্পরিক ক্রিয়ারত দুটি বস্তুর ক্ষেত্রে এলআরএল (LRL) ভেক্টর হলো একটি গতির ধ্রুবক। এর অর্থ হলো, কক্ষপথের যে স্থানেই এর হিসাব করা হোক না কেন, এটি সর্বদা একই থাকে; সমতুল্যভাবে বলা যায়, এলআরএল ভেক্টরটি হলো সংরক্ষিত। আরও সাধারণভাবে বলতে গেলে, যেসব সমস্যায় দুটি বস্তু এমন একটি কেন্দ্রীয় বল দ্বারা মিথস্ক্রিয়া করে যা তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়, সেসব ক্ষেত্রে এলআরএল ভেক্টর সংরক্ষিত থাকে; এই ধরনের সমস্যাগুলোকে কেপলার সমস্যা বলা হয়।

সুতরাং হাইড্রোজেন পরমাণুর সমস্যাটিও একটি কেপলার সমস্যা, কারণ এটি দুটি আহিত কণা নিয়ে গঠিত যারা স্থিরতড়িতের কুলম্বের সূত্র দ্বারা মিথস্ক্রিয়া করে; যা মূলত আরেকটি বিপরীত-বর্গীয় কেন্দ্রীয় বল। শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ বিকাশের পূর্বে, হাইড্রোজেন পরমাণুর বর্ণালির প্রথম কোয়ান্টাম যান্ত্রিক প্রতিপাদনে এলআরএল ভেক্টর অপরিহার্য ছিল। তবে, এই পদ্ধতিটি বর্তমানে খুব কমই ব্যবহৃত হয়।

চিরায়ত এবং কোয়ান্টাম বলবিদ্যায়, সংরক্ষিত রাশিগুলো সাধারণত কোনো সিস্টেমের প্রতিসাম্যের সাথে সম্পর্কিত থাকে। এলআরএল ভেক্টরের সংরক্ষণশীলতা একটি অস্বাভাবিক প্রতিসাম্যের সাথে সম্পর্কিত; গাণিতিকভাবে কেপলার সমস্যাটি একটি চার-মাত্রিক (হাইপার-)গোলকের পৃষ্ঠে অবাধে বিচরণশীল একটি কণার সমতুল্য, যার ফলে পুরো সমস্যাটি চার-মাত্রিক স্থানের নির্দিষ্ট ঘূর্ণনের অধীনে প্রতিসম হয়। কেপলার সমস্যার দুটি বৈশিষ্ট্যের কারণে এই উচ্চতর প্রতিসাম্যের সৃষ্টি হয়: বেগ ভেক্টর সর্বদা একটি নিখুঁত বৃত্তে ঘোরে এবং একটি নির্দিষ্ট মোট শক্তির জন্য এই সমস্ত বেগের বৃত্ত একে অপরকে একই দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।

ল্যাপ্লাস-রুঞ্জ-লেঞ্জ ভেক্টরের নামকরণ করা হয়েছে পিয়ের-সিমোঁ দ্য লাপ্লাস, কার্ল রুঞ্জ এবং ভিলহেল্ম লেঞ্জের নামানুসারে। এটি ল্যাপ্লাস ভেক্টর, রুঞ্জ-লেঞ্জ ভেক্টর এবং লেঞ্জ ভেক্টর নামেও পরিচিত। পরিহাসের বিষয় হলো, এই বিজ্ঞানীদের কেউই এটি আবিষ্কার করেননি। এলআরএল ভেক্টরটি বেশ কয়েকবার পুনঃআবিষ্কৃত এবং পুনর্গঠিত হয়েছে; উদাহরণস্বরূপ, এটি খ-বলবিদ্যার মাত্রাহীন উৎকেন্দ্রিকতা ভেক্টরের সমতুল্য। এলআরএল ভেক্টরের বিভিন্ন সাধারণীকরণ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা বিশেষ আপেক্ষিকতা, তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্র এবং এমনকি বিভিন্ন ধরনের কেন্দ্রীয় বলের প্রভাবকেও অন্তর্ভুক্ত করে।
প্রসঙ্গ
যেকোনো সংরক্ষণশীল কেন্দ্রীয় বলের অধীনে চলমান একটি একক কণার অন্তত চারটি গতি-ধ্রুবক থাকে: মোট শক্তি  এবং বলকেন্দ্রের প্রতি আপেক্ষিক কার্তেসীয় উপাংশসমূহসহ কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর -এর তিনটি উপাংশ। কণাটির কক্ষপথটি কণার প্রাথমিক ভরবেগ  (অথবা সমতুল্যভাবে, তার বেগ ) এবং কণা ও বলকেন্দ্রের মধ্যবর্তী ভেক্টর  দ্বারা সংজ্ঞায়িত সমতলে সীমাবদ্ধ থাকে (চিত্র ১ দেখুন)। এই গতি-সমতলটি ধ্রুব কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর -এর লম্ব; এটি গাণিতিকভাবে ভেক্টর ডট গুণন সমীকরণ  দ্বারা প্রকাশ করা যায়। নিচে প্রদত্ত এর গাণিতিক সংজ্ঞা অনুসারে, লাপ্লাস–রুঞ্জ–লেন্‌জ ভেক্টর (LRL ভেক্টর)  সকল কেন্দ্রীয় বলের ক্ষেত্রেই ধ্রুব কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর -এর লম্ব ()। অতএব,  সর্বদা গতি-সমতলের মধ্যেই অবস্থান করে। নিচে প্রদর্শিত হয়েছে যে,  বলকেন্দ্র থেকে গতির পেরিআপসিস-এর দিকে নির্দেশ করে—অর্থাৎ নিকটতম অবস্থান বিন্দুর দিকে—এবং এর দৈর্ঘ্য কক্ষপথের উৎকেন্দ্রতার সমানুপাতিক।

LRL ভেক্টর -এর দৈর্ঘ্য ও দিক উভয়ই ধ্রুব থাকে, তবে তা কেবলমাত্র বিপরীত-বর্গ কেন্দ্রীয় বলের ক্ষেত্রেই সত্য। অন্যান্য কেন্দ্রীয় বলের ক্ষেত্রে ভেক্টর  ধ্রুব নয়; এর দৈর্ঘ্য ও দিক উভয়ই পরিবর্তিত হয়। যদি কেন্দ্রীয় বলটি প্রায় বিপরীত-বর্গ সূত্র মেনে চলে, তবে ভেক্টর -এর দৈর্ঘ্য প্রায় ধ্রুব থাকে, কিন্তু এর দিক ধীরে ধীরে আবর্তিত হয়। সকল কেন্দ্রীয় বলের জন্য একটি সাধারণীকৃত সংরক্ষিত LRL ভেক্টর  সংজ্ঞায়িত করা যায়, কিন্তু এই সাধারণীকৃত ভেক্টরটি অবস্থানের একটি জটিল ফাংশন এবং সাধারণত বন্ধ রূপে প্রকাশযোগ্য নয়।

LRL ভেক্টর অন্যান্য সংরক্ষিত রাশির থেকে নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্যে ভিন্ন। সাধারণ সংরক্ষিত রাশির ক্ষেত্রে সিস্টেমের ত্রিমাত্রিক ল্যাগ্রাঞ্জীয়-এ একটি সংশ্লিষ্ট চক্রাকার স্থানাঙ্ক থাকে; কিন্তু LRL ভেক্টরের জন্য এমন কোনো স্থানাঙ্ক বিদ্যমান নয়। সুতরাং, LRL ভেক্টরের সংরক্ষণ সরাসরি নির্ণয় করতে হয়, যেমন নিচে বর্ণিত পোয়াসঁ বন্ধনী পদ্ধতির মাধ্যমে। এ ধরনের সংরক্ষিত রাশিকে "গতিশীল" বলা হয়, যা প্রচলিত "জ্যামিতিক" সংরক্ষণ সূত্র—যেমন কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ—থেকে ভিন্ন।
 পুনরাবিষ্কারের ইতিহাস 
LRL ভেক্টর  কেপলার সমস্যার একটি গতি-ধ্রুবক এবং জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক কক্ষপথ—যেমন গ্রহ ও দ্বৈত নক্ষত্রের গতি—বর্ণনায় এটি উপযোগী। তবুও, ভরবেগ ও কৌণিক ভরবেগের তুলনায় এটি কম স্বজ্ঞাত হওয়ায় পদার্থবিদদের মধ্যে এটি কখনও বিশেষভাবে পরিচিত ছিল না। ফলে গত তিন শতাব্দীতে এটি একাধিকবার স্বাধীনভাবে পুনরাবিষ্কৃত হয়েছে।

যাকব হারমান প্রথম দেখান যে বিপরীত-বর্গ কেন্দ্রীয় বলের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে  সংরক্ষিত থাকে, এবং তিনি এর সঙ্গে কক্ষপথের উপবৃত্ত-এর উৎকেন্দ্রতার সম্পর্ক নির্ণয় করেন। হারমানের কাজ ১৭১০ সালে ইয়োহান বার্নুলি আধুনিক রূপে সাধারণীকরণ করেন। শতাব্দীর শেষে পিয়ের-সিমোঁ দ্য লাপ্লাস -এর সংরক্ষণ নীতিটি পুনরাবিষ্কার করেন এবং জ্যামিতিক পদ্ধতির পরিবর্তে বিশ্লেষণাত্মকভাবে তা উদ্ভূত করেন। ঊনবিংশ শতাব্দীর মধ্যভাগে উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টন নিচে সংজ্ঞায়িত সমতুল্য উৎকেন্দ্রতা ভেক্টর নির্ণয় করেন, এবং তা ব্যবহার করে দেখান যে বিপরীত-বর্গ কেন্দ্রীয় বলের অধীনে গতির ক্ষেত্রে ভরবেগ ভেক্টর  একটি বৃত্তের উপর চলাচল করে (চিত্র ৩)।

বিংশ শতাব্দীর সূচনায় জোসাইয়া উইলার্ড গিবস ভেক্টর বিশ্লেষণ ব্যবহার করে একই ভেক্টরটি নির্ণয় করেন। গিবসের এই নির্ণয়টি কার্ল রুঙ্গে তাঁর একটি জনপ্রিয় জার্মান ভেক্টর-পাঠ্যপুস্তকে উদাহরণ হিসেবে ব্যবহার করেন, যা উইলহেল্ম লেঞ্জ তাঁর (প্রাচীন) কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে হাইড্রোজেন পরমাণুর আলোচনাসংক্রান্ত প্রবন্ধে উল্লেখ করেন। ১৯২৬ সালে ভলফগাং পাউলি কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের ম্যাট্রিক্স বলবিদ্যা বিন্যাস ব্যবহার করে হাইড্রোজেন পরমাণুর শক্তিস্তর নির্ণয়ে LRL ভেক্টর প্রয়োগ করেন, যার পর থেকে এটি প্রধানত রুঙ্গে–লেন্‌জ ভেক্টর নামে পরিচিত হয়ে ওঠে।
 সংজ্ঞা 
একটি বিপরীত-বর্গ কেন্দ্রীয় বল, যা একটি একক কণার উপর ক্রিয়া করে, নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত হয়

সংশ্লিষ্ট স্থিতিশক্তি দেওয়া হয়  দ্বারা। ধ্রুবক পরামিতি  কেন্দ্রীয় বলের তীব্রতা নির্দেশ করে; মহাকর্ষীয় বলের ক্ষেত্রে এটি -এর সমান এবং তড়িৎস্থিতিক বলের ক্ষেত্রে -এর সমান।  হলে বল আকর্ষণাত্মক এবং  হলে বিকর্ষণাত্মক।


LRL ভেক্টর  গাণিতিকভাবে নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত,

যেখানে
  হলো কেন্দ্রীয় বলের অধীনে চলমান বিন্দু কণার ভর,
  হলো তার ভরবেগ ভেক্টর,
  হলো তার কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর,
  হলো কণার অবস্থান ভেক্টর (চিত্র ১),
  হলো সংশ্লিষ্ট একক ভেক্টর, অর্থাৎ , এবং
  হলো -এর মান, অর্থাৎ বলকেন্দ্র থেকে ভরের দূরত্ব।

LRL ভেক্টরের এসআই একক হলো জুল-কিলোগ্রাম-মিটার (J⋅kg⋅m)। কারণ  এবং -এর একক যথাক্রমে kg⋅m/s এবং J⋅s। এটি  (kg) এবং  (N⋅m2)-এর এককের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

LRL ভেক্টর -এর এই সংজ্ঞাটি একটি নির্দিষ্ট বলের অধীনে চলমান ভর -বিশিষ্ট একক বিন্দু কণার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। তবে একই সংজ্ঞা দ্বি-পিণ্ড সমস্যা-র মতো সমস্যায় সম্প্রসারিত করা যায়, যেমন কেপলার সমস্যায়, যেখানে -কে দুই পিণ্ডের হ্রাসপ্রাপ্ত ভর হিসেবে এবং -কে দুই পিণ্ডের মধ্যবর্তী ভেক্টর হিসেবে ধরা হয়।

যেহেতু বলটি সংরক্ষণশীল, তাই মোট শক্তি  একটি গতি-ধ্রুবক,

বলটি কেন্দ্রীয় বল হওয়ায় কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর -ও সংরক্ষিত থাকে এবং এটি সেই সমতল নির্ধারণ করে যাতে কণাটি গমন করে। LRL ভেক্টর  কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর -এর লম্ব, কারণ  এবং  উভয়ই -এর লম্ব। অতএব,  গতি-সমতলে অবস্থিত।

একই গতি-ধ্রুবকের বিকল্প রূপসমূহও সংজ্ঞায়িত করা যায়, সাধারণত ভেক্টরটিকে ,  বা -এর মতো ধ্রুবকের দ্বারা স্কেল করে। সবচেয়ে প্রচলিত রূপটি হলো -কে  দ্বারা ভাগ করা, যাতে উৎকেন্দ্রতা ভেক্টর পাওয়া যায়, যা একটি মাত্রাবিহীন ভেক্টর এবং অর্ধ-মুখ্য অক্ষ বরাবর নির্দেশ করে; এর মান শঙ্কুর উৎকেন্দ্রতার সমান:

আরেকটি সমতুল্য রূপে এই উৎকেন্দ্রতা ভেক্টরকে মুখ্য অর্ধ-অক্ষ  দ্বারা গুণ করা হয়, ফলে প্রাপ্ত ভেক্টরের একক হয় দৈর্ঘ্য। আরও একটি রূপে -কে  দ্বারা ভাগ করা হয়, ফলে বিপরীত দৈর্ঘ্যের এককবিশিষ্ট একটি সমতুল্য সংরক্ষিত রাশি পাওয়া যায়, যা কেপলার সমস্যার সমাধানে উপস্থিত হয়:

এখানে  হলো  ও অবস্থান ভেক্টর -এর মধ্যবর্তী কোণ। অন্যান্য বিকল্প রূপসমূহ নিচে উল্লিখিত হয়েছে।
 কেপলারের কক্ষপথের উৎপত্তি 

কক্ষপথের আকৃতি এবং অভিমুখ LRL ভেক্টর থেকে নিম্নরূপে নির্ণয় করা যায়। অবস্থান ভেক্টর -এর সঙ্গে -এর ডট গুণন নিলে সমীকরণটি পাওয়া যায়

এখানে  হলো  ও -এর মধ্যবর্তী কোণ (চিত্র ২)। স্কেলার ত্রৈগুণিক গুণনফল-এর ক্রমবিন্যাস পরিবর্তন করলে পাওয়া যায়

পুনর্বিন্যাস করলে কেপলার সমীকরণের সমাধানটি দাঁড়ায়

এটি উৎকেন্দ্রতা e বিশিষ্ট একটি শঙ্কু অধ্যায়-এর সূত্রের সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ,

যেখানে উৎকেন্দ্রতা  এবং  একটি ধ্রুবক।

-এর সঙ্গে নিজস্ব ডট গুণন নিলে মোট শক্তি -সম্পর্কিত একটি সমীকরণ পাওয়া যায়,

যা উৎকেন্দ্রতার সাহায্যে পুনর্লিখন করা যায়,

অতএব, যদি শক্তি  ঋণাত্মক হয় (আবদ্ধ কক্ষপথ), তবে উৎকেন্দ্রতা একের কম এবং কক্ষপথটি একটি উপবৃত্ত। বিপরীতে, যদি শক্তি ধনাত্মক হয় (অনাবদ্ধ কক্ষপথ, যাকে "বিচ্ছুরিত কক্ষপথ"ও বলা হয়), তবে উৎকেন্দ্রতা একের বেশি এবং কক্ষপথটি একটি অধিবৃত্ত। সর্বশেষে, যদি শক্তি ঠিক শূন্য হয়, তবে উৎকেন্দ্রতা এক এবং কক্ষপথটি একটি পরাবৃত্ত। সব ক্ষেত্রেই -এর দিক শঙ্কু অধ্যায়ের সমমিতি অক্ষ বরাবর অবস্থান করে এবং বলকেন্দ্র থেকে নিকটতম অবস্থান বিন্দু পেরিআপসিসের দিকে নির্দেশ করে।
 বৃত্তাকার ভরবেগ হডোগ্রাফ 

LRL ভেক্টর  এবং কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর -এর সংরক্ষণশীলতা দেখাতে সহায়ক যে বিপরীত-বর্গ কেন্দ্রীয় বলের অধীনে ভরবেগ ভেক্টর  একটি বৃত্ত-এর উপর গমন করে।

নিম্নলিখিত সমীকরণের

উভয় পাশে নিজ নিজ সাথে ডট গুণন করলে পাওয়া যায়

অতঃপর -কে -অক্ষ বরাবর এবং বৃহৎ অর্ধ-অক্ষকে -অক্ষ বরাবর নিলে, -এর লোকাস সমীকরণ হয়

অর্থাৎ, ভরবেগ ভেক্টর   ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের মধ্যে সীমাবদ্ধ, যার কেন্দ্র ।সংরক্ষিত দ্বিলম্ব হ্যামিল্টন ভেক্টর , এই ভরবেগ সমতলে (গোলাপি) একটি সরলতর জ্যামিতিক তাৎপর্য বহন করে এবং প্রকৃতপক্ষে এটি এর বিকল্প হিসেবেও ব্যবহৃত হতে পারে, কারণ ; দেখুন Patera, R. P. (1981)। "Momentum-space derivation of the Runge-Lenz vector", Am. J. Phys 49 593–594। এর মান  এবং এটি #বিকল্প স্কেলিং, প্রতীক ও রূপায়ণ অনুচ্ছেদে আলোচিত হয়েছে। আবদ্ধ কক্ষপথের ক্ষেত্রে উৎকেন্দ্রতা  চিত্র ৩-এ প্রদর্শিত কোণ -এর কোসাইনের সমান। অনাবদ্ধ কক্ষপথের ক্ষেত্রে ; ফলে বৃত্তটি -অক্ষকে ছেদ করে না।

বৃত্তাকার কক্ষপথের অবক্ষয়ী সীমায়, অর্থাৎ  শূন্য হলে, বৃত্তটির কেন্দ্র উৎসবিন্দু -তে অবস্থান করে।
সংক্ষিপ্ততার জন্য,  চলকটি প্রবর্তন করাও সুবিধাজনক।

এই বৃত্তাকার হডোগ্রাফ কেপলার সমস্যার সমমিতি ব্যাখ্যা করতে সহায়ক।
 গতির ধ্রুবক এবং অতিসমাকলনযোগ্যতা 
সাতটি স্কেলার রাশি ,  এবং  (ভেক্টর হওয়ায় শেষের দুটি প্রত্যেকে তিনটি করে সংরক্ষিত রাশি প্রদান করে) দুটি সমীকরণের মাধ্যমে পরস্পর সম্পর্কিত,  এবং , ফলে পাঁচটি স্বতন্ত্র গতির ধ্রুবক পাওয়া যায়। (যেহেতু -এর মান, এবং সেইসঙ্গে কক্ষপথের উৎকেন্দ্রতা , মোট কৌণিক ভরবেগ  ও শক্তি  থেকে নির্ধারণ করা যায়, তাই কেবল -এর দিক স্বাধীনভাবে সংরক্ষিত থাকে; তদুপরি, যেহেতু  অবশ্যই -এর লম্ব, তাই এটি মাত্র একটি অতিরিক্ত সংরক্ষিত রাশি প্রদান করে।)

এটি কণার কক্ষপথ নির্ধারণকারী ছয়টি প্রাথমিক শর্তের (কণার প্রাথমিক অবস্থান ও বেগ ভেক্টর, প্রতিটিতে তিনটি উপাংশসহ) সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, কারণ প্রাথমিক সময় কোনো গতির ধ্রুবক দ্বারা নির্ধারিত হয় না। অতএব, ৬-মাত্রিক ফেজ স্থানে উৎপন্ন ১-মাত্রিক কক্ষপথ সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয়।

 স্বাধীনতার মাত্রাবিশিষ্ট একটি যান্ত্রিক ব্যবস্থায় সর্বাধিক  টি গতির ধ্রুবক থাকতে পারে, কারণ সেখানে  টি প্রাথমিক শর্ত থাকে এবং প্রাথমিক সময় কোনো গতির ধ্রুবক দ্বারা নির্ধারিত হয় না। -এর চেয়ে বেশি সংখ্যক গতির ধ্রুবকবিশিষ্ট ব্যবস্থাকে অতিসমাকলনযোগ্য (superintegrable) বলা হয় এবং  টি ধ্রুবকবিশিষ্ট ব্যবস্থাকে maximally superintegrable বলা হয়। যেহেতু একটি হ্যামিল্টন–জ্যাকোবি সমীকরণ-এর সমাধান একটিমাত্র স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা-এ কেবল  টি গতির ধ্রুবক দিতে পারে, অতএব অতিসমাকলনযোগ্য ব্যবস্থাগুলোকে একাধিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় বিচ্ছিন্নযোগ্য (separable) হতে হয়। কেপলার সমস্যা সর্বাধিক অতিসমাকলনযোগ্য, কারণ এর তিনটি স্বাধীনতার মাত্রা () এবং পাঁচটি স্বতন্ত্র গতির ধ্রুবক রয়েছে; এর হ্যামিল্টন–জ্যাকোবি সমীকরণ গোলীয় স্থানাঙ্ক এবং পরাবলীয় স্থানাঙ্ক—উভয় ব্যবস্থাতেই বিচ্ছিন্নযোগ্য, যা নিম্নে বর্ণনা করা হয়েছে।

সর্বাধিক অতিসমাকলনযোগ্য ব্যবস্থাগুলো ফেজ স্থান-এ বন্ধ, এক-মাত্রিক কক্ষপথ অনুসরণ করে, কারণ কক্ষপথটি তাদের গতির ধ্রুবকগুলোর ফেজ-স্থানের সমমান পৃষ্ঠ (isosurface)-গুলোর ছেদরেখা। ফলত, কক্ষপথগুলো এই সকল স্বতন্ত্র সমমান পৃষ্ঠের (এই সমস্যায় পাঁচটি) সবগুলোর গ্রেডিয়েন্টের লম্ব হয় এবং তাই এই গ্রেডিয়েন্টগুলোর সাধারণীকৃত ক্রস গুণনের মাধ্যমে নির্ধারিত হয়। এর ফলে, সমস্ত অতিসমাকলনযোগ্য ব্যবস্থা স্বয়ংক্রিয়ভাবে নাম্বু বলবিদ্যা দ্বারা বর্ণনাযোগ্য, বিকল্পভাবে এবং সমতুল্যভাবে হ্যামিল্টনীয় বলবিদ্যা দ্বারাও।

সর্বাধিক অতিসমাকলনযোগ্য ব্যবস্থাগুলোকে ক্যানোনিক্যাল কোয়ান্টাইজেশন পদ্ধতিতে কমিউটেশন সম্পর্ক ব্যবহার করে কোয়ান্টাইজ করা যায়, যেমনটি নিম্নে প্রদর্শিত হয়েছে। তবে সমতুল্যভাবে, এগুলোকে নাম্বু কাঠামোতেও কোয়ান্টাইজ করা যায়; যেমন এই ধ্রুপদী কেপলার সমস্যাকে কোয়ান্টাম হাইড্রোজেন পরমাণুতে রূপান্তর করা।
 বিঘ্নিত বিভবের অধীনে বিবর্তন 

লাপ্লাস–রুঙ্গে–লেন্‌জ ভেক্টর  কেবলমাত্র নিখুঁত বিপরীত-বর্গ কেন্দ্রীয় বলের ক্ষেত্রেই সংরক্ষিত থাকে। কিন্তু অধিকাংশ ব্যবহারিক সমস্যায়, যেমন গ্রহগত গতি, দুটি বস্তুর মধ্যকার পারস্পরিক বিভব শক্তি ঠিক বিপরীত-বর্গ সূত্র অনুসরণ করে না; এতে একটি অতিরিক্ত কেন্দ্রীয় বল থাকতে পারে, যাকে  বিভব শক্তি দ্বারা বর্ণিত তথাকথিত বিঘ্ন (perturbation) বলা হয়। এ ধরনের ক্ষেত্রে LRL ভেক্টর কক্ষপথের তলে ধীরে ধীরে ঘূর্ণায়মান হয়, যা কক্ষপথের ধীর অ্যাপসিডাল প্রিসেশন-এর সমতুল্য। পরামিতিগুলোর অ্যাডিয়াব্যাটিক বিবর্তনের ক্ষেত্রে, এটি LRL ভেক্টরের ঘূর্ণনের একটি জ্যামিতিক কোণ হিসেবেও প্রকাশ পেতে পারে।

অনুমান অনুযায়ী, বিঘ্ন সৃষ্টিকারী বিভব  একটি সংরক্ষণশীল কেন্দ্রীয় বল নির্দেশ করে; ফলে মোট শক্তি  এবং কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর  সংরক্ষিত থাকে। অতএব, গতি এখনও -এর লম্ব সমতলে সীমাবদ্ধ থাকে এবং  সমীকরণ অনুযায়ী -এর মানও সংরক্ষিত থাকে। বিঘ্ন বিভব  যেকোনো ধরনের ফাংশন হতে পারে, তবে এটি দুই বস্তুর মধ্যকার প্রধান বিপরীত-বর্গ বলের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে দুর্বল হওয়া উচিত।

LRL ভেক্টর যে হারে ঘোরে, তা বিঘ্ন বিভব  সম্পর্কে তথ্য প্রদান করে। ক্যানোনিক্যাল বিঘ্ন তত্ত্ব এবং ক্রিয়া-কোণ স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে সহজেই দেখানো যায় যে  নিম্নলিখিত হারে ঘোরে,

যেখানে  হলো কক্ষীয় কাল, এবং  পরিচয়টি ব্যবহার করে সময়-সমাকলনকে কোণীয় সমাকলনে (চিত্র ৫) রূপান্তর করা হয়েছে। কৌণিক বন্ধনীর মধ্যে থাকা রাশি  বিঘ্ন বিভবকে নির্দেশ করে, তবে এটি এক পূর্ণ কালের উপর গড় মান; অর্থাৎ বস্তুটি তার কক্ষপথে এক পূর্ণ আবর্তন সম্পন্ন করার উপর গড় নেওয়া হয়েছে। গাণিতিকভাবে, এই সময়-গড়টি কোঁকড়া বন্ধনীর মধ্যে প্রদত্ত রাশির সমতুল্য। এই গড়করণ ঘূর্ণনের হারের ওঠানামা দমন করতে সহায়তা করে।

এই পদ্ধতিটি আইনস্টাইনের সাধারণ আপেক্ষিকতা তত্ত্ব যাচাইয়ে সহায়ক ছিল, যা নিউটনীয় মহাকর্ষীয় বিভবে একটি ক্ষুদ্র কার্যকর বিপরীত-ঘন (inverse-cubic) বিঘ্ন যোগ করে,

এই ফাংশনটিকে সমাকলনে প্রতিস্থাপন করে এবং

সমীকরণটি ব্যবহার করে -কে -এর মাধ্যমে প্রকাশ করলে, এই অ-নিউটনীয় বিঘ্নের কারণে উপঅপসিসের প্রিসেশনের হার নির্ণীত হয়

যা পর্যবেক্ষিত অস্বাভাবিক প্রিসেশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যেমন বুধ এবং দ্বৈত পালসার-এর ক্ষেত্রে। পরীক্ষণের সাথে এই সামঞ্জস্য সাধারণ আপেক্ষিকতা তত্ত্বের পক্ষে শক্ত প্রমাণ প্রদান করে।
 পয়সঁ ব্র্যাকেট 
 স্কেলবিহীন ফাংশনসমূহ 
সমস্যাটির বীজগাণিতিক গঠন, যা পরবর্তী অনুচ্ছেদগুলোতে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, হলো ।

কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর -এর তিনটি উপাংশ Li-এর পয়সঁ ব্র্যাকেট হলো

যেখানে =1,2,3 এবং  হলো সম্পূর্ণ বিপরীত-সমমিত টেনসর, অর্থাৎ লেভি-চিভিতা প্রতীক; এখানে সমষ্টি সূচক  ব্যবহার করা হয়েছে যাতে উপরে সংজ্ঞায়িত বলের প্যারামিটার -এর সাথে বিভ্রান্তি না ঘটে (উপরে দেখুন)। যেহেতু LRL ভেক্টর  একটি ভেক্টরের মতো রূপান্তরিত হয়, তাই  এবং -এর মধ্যে নিম্নলিখিত পয়সঁ ব্র্যাকেট সম্পর্ক প্রযোজ্য: Proposition 17.25.

অবশেষে, -এর বিভিন্ন উপাংশের মধ্যে পয়সঁ ব্র্যাকেট সম্পর্কগুলো নিম্নরূপ: Proposition 18.7; note that Hall uses a different normalization of the LRL vector.

যেখানে  হলো হ্যামিল্টনীয়। লক্ষ্য করুন যে, এই শেষ সম্পর্কটির ডান পাশে  গুণকের উপস্থিতির কারণে  এবং -এর উপাংশগুলোর বিস্তার (span) পয়সঁ ব্র্যাকেটের অধীনে বদ্ধ নয়।

অবশেষে, যেহেতু  এবং  উভয়ই গতির ধ্রুবক, তাই

পয়সঁ ব্র্যাকেটসমূহকে পরবর্তী অনুচ্ছেদে কোয়ান্টাম বলবিদ্যার কমিউটেশন সম্পর্ক-এ এবং তার পরবর্তী অনুচ্ছেদে লি ব্র্যাকেট-এ সম্প্রসারিত করা হবে।
 স্কেলযুক্ত ফাংশনসমূহ 
নিম্নে উল্লেখ করা হয়েছে যে, -কে  দ্বারা ভাগ করে কৌণিক ভরবেগের সমান এককবিশিষ্ট একটি স্কেলযুক্ত লাপ্লাস–রুঙ্গে–লেন্‌জ ভেক্টর  সংজ্ঞায়িত করা যায়। যেহেতু  এখনও একটি ভেক্টরের মতো রূপান্তরিত হয়, তাই কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর -এর সাথে -এর পয়সঁ ব্র্যাকেট অনুরূপ আকারে লেখা যায়

-এর নিজের সাথে পয়সঁ ব্র্যাকেট -এর চিহ্ন-এর উপর নির্ভর করে; অর্থাৎ শক্তি ঋণাত্মক কি না (যা বিপরীত-বর্গ কেন্দ্রীয় বলের অধীনে আবদ্ধ, উপবৃত্তাকার কক্ষপথ সৃষ্টি করে) অথবা ধনাত্মক কি না (যা উন্মুক্ত, অতিপরাবৃত্তাকার কক্ষপথ সৃষ্টি করে)। ঋণাত্মক শক্তির ক্ষেত্রে—অর্থাৎ আবদ্ধ ব্যবস্থার জন্য—পয়সঁ ব্র্যাকেট হলো Theorem 18.9.

এখন -এর জন্য এই নির্দিষ্ট স্কেলিং নির্বাচন করার প্রেরণা স্পষ্ট হয়: এই স্কেলিংয়ে পূর্ববর্তী সম্পর্কের ডান পাশে আর হ্যামিল্টনীয় উপস্থিত থাকে না। ফলে -এর তিনটি উপাংশ এবং -এর তিনটি উপাংশের বিস্তার পয়সঁ ব্র্যাকেটের অধীনে একটি ছয়-মাত্রিক লি বীজগণিত গঠন করে। এই লি বীজগণিতটি -এর সাথে সমরূপ (isomorphic), যা ৪-মাত্রিক আবর্তন গোষ্ঠী -এর লি বীজগণিত।

অন্যদিকে, ধনাত্মক শক্তির ক্ষেত্রে পয়সঁ ব্র্যাকেটের চিহ্ন বিপরীত হয়,

এই ক্ষেত্রে লি বীজগণিতটি -এর সাথে সমরূপ।

ধনাত্মক ও ঋণাত্মক শক্তির মধ্যে এই পার্থক্য উদ্ভূত হয় কারণ কাঙ্ক্ষিত স্কেলিং—যা স্কেলযুক্ত LRL ভেক্টরের উপাংশগুলোর মধ্যে পয়সঁ ব্র্যাকেট সম্পর্কের ডান পাশ থেকে হ্যামিল্টনীয়কে অপসারণ করে—হ্যামিল্টনীয়ের বর্গমূল জড়িত করে। বাস্তবমান ফাংশন পেতে হলে তখন হ্যামিল্টনীয়ের পরম মান গ্রহণ করতে হয়, যা ধনাত্মক মানের ক্ষেত্রে () এবং ঋণাত্মক মানের ক্ষেত্রে () পার্থক্য সৃষ্টি করে।

 ভরবেগ স্থানে হাইড্রোজেন পরমাণুর জন্য লাপ্লাস–রুঙ্গে–লেন্‌জ অপারেটর 
ভরবেগ স্থানে স্কেলযুক্ত লাপ্লাস–রুঙ্গে–লেন্‌জ অপারেটর ২০২২ সালে নির্ণীত হয়। অপারেটরটির সূত্র অবস্থান স্থানের তুলনায় সরলতর:

যেখানে "ডিগ্রি অপারেটর" 

একটি সমঘাত বহুপদী-কে তার ঘাত দ্বারা গুণ করে।

 ক্যাসিমির ইনভ্যারিয়ান্ট ও শক্তিস্তর 
ঋণাত্মক শক্তির জন্য ক্যাসিমির ইনভ্যারিয়ান্টসমূহ হলো

এবং এদের পয়সঁ ব্র্যাকেট  ও -এর সকল উপাংশের সাথে শূন্য,

C2 তুচ্ছভাবে শূন্য, কারণ দুইটি ভেক্টর সর্বদা পরস্পর লম্ব।

তবে অন্য ইনভ্যারিয়ান্টটি, C1, অ-তুচ্ছ এবং কেবল ,  ও -এর উপর নির্ভরশীল। ক্যানোনিক্যাল কোয়ান্টাইজেশনের পর, এই ইনভ্যারিয়ান্টটি প্রচলিত শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান না করেই কেবল কোয়ান্টাম বলবিদ্যার ক্যানোনিক্যাল কমিউটেশন সম্পর্ক ব্যবহার করে হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণুগুলোর শক্তিস্তর নির্ণয়ে সহায়তা করে। এই নির্ণয় প্রক্রিয়াটি পরবর্তী অনুচ্ছেদে বিস্তারিতভাবে আলোচিত হয়েছে।
 হাইড্রোজেন পরমাণুর কোয়ান্টাম বলবিদ্যা 


পয়সঁ ব্র্যাকেট অধিকাংশ ধ্রুপদী ব্যবস্থাকে কোয়ান্টাইজ করার একটি সরল নির্দেশনা প্রদান করে: দুটি কোয়ান্টাম বলবিদ্যাগত অপারেটর-এর কমিউটেশন সম্পর্ক সংশ্লিষ্ট ধ্রুপদী চলকগুলোর পয়সঁ ব্র্যাকেট দ্বারা নির্ধারিত হয়, যা  দ্বারা গুণিত।

এই কোয়ান্টাইজেশন সম্পাদন করে এবং কেপলার সমস্যার 1 ক্যাসিমির অপারেটর-এর স্বমান (eigenvalue) নির্ণয় করে, উলফগ্যাং পাউলি হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণুগুলোর শক্তিস্তর (চিত্র ৬) এবং সেইসঙ্গে তাদের পারমাণবিক নির্গমন বর্ণালী নির্ণয় করতে সক্ষম হন। ১৯২৬ সালের এই চমৎকার নির্ণয়টি শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের বিকাশের পূর্বেই প্রাপ্ত হয়েছিল।

LRL ভেক্টর -এর কোয়ান্টাম বলবিদ্যাগত অপারেটরের একটি সূক্ষ্ম দিক হলো ভরবেগ ও কৌণিক ভরবেগ অপারেটর পরস্পরের সাথে কমিউট করে না; অতএব  ও -এর কোয়ান্টাম অপারেটর ক্রস গুণন সতর্কতার সাথে সংজ্ঞায়িত করতে হয়। সাধারণত, কার্তেসীয় উপাংশ -এর জন্য অপারেটরগুলো একটি সমমিত (হার্মিটীয়) গুণফল ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়,

এটি সম্পন্ন করার পর দেখানো যায় যে কোয়ান্টাম LRL অপারেটরগুলো পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের পয়সঁ ব্র্যাকেট সম্পর্কের সম্পূর্ণ অনুরূপ কমিউটেশন সম্পর্ক সন্তুষ্ট করে—শুধুমাত্র পয়সঁ ব্র্যাকেটকে  গুণিত কমিউটেটর দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হয়। Proposition 18.12.

এই অপারেটরগুলো থেকে -এর জন্য অতিরিক্ত ল্যাডার অপারেটর সংজ্ঞায়িত করা যায়,

এগুলো -এর ভিন্ন স্বঅবস্থা (eigenstate)-সমূহকে, অর্থাৎ ভিন্ন স্পিন মাল্টিপলেটগুলোকে, পরস্পরের সাথে সংযুক্ত করে।

উপরোক্তের কোয়ান্টাম সমতুল্য একটি স্বাভাবিকীকৃত প্রথম ক্যাসিমির ইনভ্যারিয়ান্ট অপারেটরও সংজ্ঞায়িত করা যায়,

যেখানে  হলো হ্যামিল্টনীয় শক্তি অপারেটরের বিপরীত এবং  হলো অভিন্নতা অপারেটর।

মোট কৌণিক ভরবেগ, আজিমুথীয় কৌণিক ভরবেগ এবং শক্তি অপারেটরের স্বঅবস্থা |ℓ〉-এর উপর এই ল্যাডার অপারেটরগুলো প্রয়োগ করলে দেখা যায় যে প্রথম ক্যাসিমির অপারেটর 1-এর স্বমানগুলো কোয়ান্টাইজড, । গুরুত্বপূর্ণভাবে, C2 শূন্য হওয়ার কারণে এগুলো ℓ ও  কোয়ান্টাম সংখ্যার উপর নির্ভরশীল নয়, ফলে শক্তিস্তরগুলো অধঃপতিত হয়।

অতএব, শক্তিস্তরগুলো হয়

যা হাইড্রোজেন-সদৃশ পরমাণুর জন্য রিডবার্গ সূত্র-এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ (চিত্র ৬)। অতিরিক্ত সমমিতি অপারেটর  একটি নির্দিষ্ট শক্তি (এবং C1) স্তরের জন্য ভিন্ন ℓ মাল্টিপলেটগুলোকে পরস্পরের সাথে সংযুক্ত করেছে, ফলে প্রতিটি স্তরে  টি অবস্থা নির্ধারিত হয়। কার্যত, এগুলো কৌণিক ভরবেগ গোষ্ঠী -কে সম্প্রসারিত করে -এ উন্নীত করেছে। Theorem 18.14.
 সংরক্ষণ ও সমমিতি 
এলআরএল ভেক্টরের সংরক্ষণ সিস্টেমের একটি সূক্ষ্ম সমমিতির সঙ্গে সম্পর্কিত। শাস্ত্রীয় বলবিদ্যাতে সমমিতি হলো এমন ধারাবাহিক ক্রিয়া যা সিস্টেমের শক্তি অপরিবর্তিত রেখে একটি কক্ষপথকে অন্য কক্ষপথে রূপান্তর করে; কোয়ান্টাম বলবিদ্যাতে সমমিতি হলো এমন ধারাবাহিক ক্রিয়া যা একই শক্তির ইলেকট্রনিক অরবিটালসমূহকে “মিশ্রিত” করে, অর্থাৎ অভিন্ন শক্তিস্তরসমূহকে। সংরক্ষিত রাশি সাধারণত এ ধরনের সমমিতির সঙ্গেই যুক্ত থাকে। উদাহরণস্বরূপ, প্রত্যেক কেন্দ্রীয় বল ঘূর্ণন গোষ্ঠী SO(3)-এর অধীনে সমমিত, যার ফলে কৌণিক ভরবেগ  সংরক্ষিত থাকে। শাস্ত্রীয়ভাবে, সিস্টেমের সামগ্রিক ঘূর্ণন কোনো কক্ষপথের শক্তিকে প্রভাবিত করে না; কোয়ান্টাম বলবিদ্যায়, ঘূর্ণন একই কোয়ান্টাম সংখ্যা -এর গোলীয় হার্মোনিকসমূহকে শক্তি পরিবর্তন না করেই মিশ্রিত করে।


ব্যস্ত-বর্গ কেন্দ্রীয় বলের ক্ষেত্রে সমমিতি আরও উচ্চতর এবং সূক্ষ্ম। কেপলার সমস্যার এই বিশেষ সমমিতির ফলেই কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর  এবং এলআরএল ভেক্টর  (উপরে সংজ্ঞায়িত)—উভয়ই সংরক্ষিত থাকে এবং কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় হাইড্রোজেনের শক্তিস্তর কৌণিক ভরবেগের কোয়ান্টাম সংখ্যা  ও -এর উপর নির্ভর করে না। তবে এই সমমিতি আরও সূক্ষ্ম, কারণ সমমিতি ক্রিয়াটি একটি উচ্চতর-মাত্রিক স্থানে সংঘটিত হতে হয়; এ ধরনের সমমিতিকে প্রায়ই “গুপ্ত সমমিতি” বলা হয়।

শাস্ত্রীয়ভাবে, কেপলার সমস্যার উচ্চতর সমমিতি এমন ধারাবাহিক পরিবর্তনের সুযোগ দেয় যা শক্তি অপরিবর্তিত রাখে কিন্তু কৌণিক ভরবেগ অপরিবর্তিত রাখে না; অন্যভাবে বললে, একই শক্তি কিন্তু ভিন্ন কৌণিক ভরবেগ (অর্থাৎ ভিন্ন উৎকেন্দ্রতা)-যুক্ত কক্ষপথসমূহকে ধারাবাহিকভাবে একে অপরের মধ্যে রূপান্তর করা যায়। কোয়ান্টাম বলবিদ্যায়, এটি  ও  কোয়ান্টাম সংখ্যায় ভিন্ন অরবিটালসমূহ—যেমন () এবং () পারমাণবিক অরবিটাল—মিশ্রণের সমতুল্য। সাধারণ ত্রিমাত্রিক সরণ বা ঘূর্ণনের মাধ্যমে এ ধরনের মিশ্রণ সম্ভব নয়; বরং এটি উচ্চতর মাত্রায় এক প্রকার ঘূর্ণনের সমতুল্য।

ঋণাত্মক শক্তির জন্য—অর্থাৎ আবদ্ধ সিস্টেমের ক্ষেত্রে—উচ্চতর সমমিতি গোষ্ঠী হলো , যা চার-মাত্রিক ভেক্টরের দৈর্ঘ্য সংরক্ষণ করে

১৯৩৫ সালে ভ্লাদিমির ফক দেখান যে কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় আবদ্ধ কেপলার সমস্যা চার-মাত্রিক স্থানে অবস্থিত একটি মুক্ত কণাকে ত্রিমাত্রিক একক গোলকে আবদ্ধ রাখার সমস্যার সমতুল্য। বিশেষভাবে, ফক দেখান যে কেপলার সমস্যার জন্য ভরবেগ স্থানে শ্রোডিঙ্গারের তরঙ্গ ফাংশন গোলকের উপরস্থিত গোলীয় হার্মোনিকসমূহের স্টেরিওগ্রাফিক অভিক্ষেপ। গোলকের ঘূর্ণন এবং পুনরায় অভিক্ষেপ উপবৃত্তাকার কক্ষপথসমূহের মধ্যে শক্তি অপরিবর্তিত রেখে ধারাবাহিক রূপান্তর ঘটায়; এটি  সমমিতি, যা কখনও কখনও ফক সমমিতি নামে পরিচিত; কোয়ান্টাম বলবিদ্যায়, এটি একই শক্তি কোয়ান্টাম সংখ্যা -এর সকল অরবিটালের মিশ্রণের সমতুল্য। পরবর্তীতে ভ্যালেন্টাইন বার্গমান লক্ষ্য করেন যে কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর  এবং স্কেলকৃত এলআরএল ভেক্টর -এর জন্য পয়সঁ ব্র্যাকেটসমূহ -এর লাই বীজগণিত গঠন করে। সহজভাবে বললে, ছয়টি রাশি  এবং  চার মাত্রায় সংরক্ষিত ছয়টি কৌণিক ভরবেগের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, যা ঐ স্থানে সম্ভাব্য ছয়টি সরল ঘূর্ণনের সাথে যুক্ত (চারটি অক্ষ থেকে যেকোনো দুটি বেছে নেওয়ার ছয়টি উপায় রয়েছে)। এই উপসংহার থেকে বোঝায় না যে আমাদের মহাবিশ্ব একটি ত্রিমাত্রিক গোলক; বরং এর অর্থ হলো এই নির্দিষ্ট পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যা (ব্যস্ত-বর্গ কেন্দ্রীয় বলের ক্ষেত্রে দ্বি-বস্তু সমস্যা) গাণিতিকভাবে একটি ত্রিমাত্রিক গোলকের উপর মুক্ত কণার সমস্যার সমতুল্য।

ধনাত্মক শক্তির জন্য—অর্থাৎ অনাবদ্ধ, “বিচ্ছুরিত” সিস্টেমের ক্ষেত্রে—উচ্চতর সমমিতি গোষ্ঠী হলো , যা মিন্‌কোভস্কি স্থান-এ ৪-ভেক্টরসমূহের মিন্‌কোভস্কি দৈর্ঘ্য সংরক্ষণ করে

ঋণাত্মক ও ধনাত্মক—উভয় শক্তির ক্ষেত্রই ফক এবং বার্গমান বিবেচনা করেছিলেন এবং পরে ব্যান্ডার ও ইৎজিকসন বিশ্বকোষীয় পর্যালোচনায় বিষয়টি উপস্থাপন করেন।

কেন্দ্রীয়-বল সিস্টেমের কক্ষপথসমূহ—বিশেষত কেপলার সমস্যার ক্ষেত্রে—প্রতিফলন-এর অধীনেও সমমিত। অতএব, উপরে উল্লিখিত ,  এবং  গোষ্ঠীগুলি তাদের কক্ষপথের পূর্ণ সমমিতি গোষ্ঠী নয়; পূর্ণ গোষ্ঠীগুলি যথাক্রমে ,  এবং O(3,1)। তবুও, কৌণিক ভরবেগ ও এলআরএল ভেক্টরের সংরক্ষণ প্রদর্শনের জন্য কেবলমাত্র সংযুক্ত উপগোষ্ঠীসমূহ—,  এবং —প্রয়োজনীয়; সংরক্ষণ নির্ণয়ে প্রতিফলন সমমিতি প্রাসঙ্গিক নয়, কারণ এটি গোষ্ঠীর লাই বীজগণিত থেকেই উদ্ভূত করা যায়।
 চার মাত্রায় ঘূর্ণন সমমিতি 

কেপলার সমস্যা এবং চার-মাত্রিক ঘূর্ণন সমমিতি -এর মধ্যে সম্পর্ক সহজেই দৃশ্যায়িত করা যায়। চার-মাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ককে  দ্বারা নির্দেশ করা যাক, যেখানে  স্বাভাবিক অবস্থান ভেক্টর -এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্দেশ করে। ত্রিমাত্রিক ভরবেগ ভেক্টর -কে চার-মাত্রিক একটি ভেক্টর -এর সাথে যুক্ত করা হয়, যা একটি ত্রিমাত্রিক একক গোলকের উপর অবস্থিত

যেখানে  নতুন  অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।  থেকে -এ রূপান্তরটি এককভাবে উল্টানো যায়; উদাহরণস্বরূপ, ভরবেগের  উপাংশ

এবং একইভাবে  ও -এর জন্য। অন্য কথায়, ত্রিমাত্রিক ভেক্টর  হলো চার-মাত্রিক  ভেক্টরের একটি স্টেরিওগ্রাফিক অভিক্ষেপ, যা  দ্বারা স্কেলকৃত (চিত্র ৮)।

সাধারণত্বের ক্ষতি না করে, আমরা কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক এমনভাবে নির্বাচন করে স্বাভাবিক ঘূর্ণন সমমিতি অপসারণ করতে পারি যাতে  অক্ষ কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর -এর সাথে সমরেখ হয় এবং ভরবেগ হডোগ্রাফসমূহ চিত্র ৭-এর মতো সজ্জিত থাকে, যেখানে বৃত্তগুলোর কেন্দ্র  অক্ষে অবস্থিত। যেহেতু গতি সমতলীয় এবং  ও  পরস্পর লম্ব, তাই  এবং মনোযোগ সীমাবদ্ধ করা যায় ত্রিমাত্রিক ভেক্টর -এ। ভরবেগ হডোগ্রাফসমূহের আপোলোনীয় বৃত্তসমূহের পরিবার (চিত্র ৭)  গোলকের উপরস্থিত মহাবৃত্তসমূহের একটি পরিবারের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, যেগুলো সকলেই  অক্ষকে দুই ফোকাসে ছেদ করে, , যা ভরবেগ হডোগ্রাফের ফোকাস -এর সাথে সম্পর্কিত। এই মহাবৃত্তগুলো -অক্ষের চারদিকে একটি সরল ঘূর্ণনের মাধ্যমে পরস্পর সম্পর্কিত (চিত্র ৮)। এই ঘূর্ণন সমমিতি একই শক্তির সকল কক্ষপথকে পরস্পরের মধ্যে রূপান্তরিত করে; তবে এ ধরনের ঘূর্ণন সাধারণ ত্রিমাত্রিক ঘূর্ণনের সাথে অর্থোগোনাল, কারণ এটি চতুর্থ মাত্রা -কে রূপান্তরিত করে। এই উচ্চতর সমমিতিই কেপলার সমস্যার বৈশিষ্ট্য এবং এটি এলআরএল ভেক্টরের সংরক্ষণের সাথে সম্পর্কিত।

কেপলার সমস্যার একটি সুশোভিত ক্রিয়া-কোণ চলক সমাধান পাওয়া যায় অতিরিক্ত চার-মাত্রিক স্থানাঙ্ক -কে উপবৃত্তীয় নলাকার স্থানাঙ্ক  দ্বারা প্রতিস্থাপন করে

যেখানে ,  এবং  হলো জ্যাকোবির উপবৃত্তীয় ফাংশন।
 অন্যান্য বিভব এবং আপেক্ষিকতার ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ 
লাপ্লাস–রুঞ্জে–লেন্‌জ ভেক্টরকে অন্যান্য পরিস্থিতিতেও প্রযোজ্য সংরক্ষিত রাশি সনাক্ত করার জন্য সাধারণীকরণ করা যায়।

একটি সমবেগ বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র -এর উপস্থিতিতে সাধারণীকৃত লাপ্লাস–রুঞ্জে–লেন্‌জ ভেক্টর  হলো

যেখানে  হলো পরিভ্রমণরত কণার আধান। যদিও  নিজে সংরক্ষিত নয়, এটি একটি সংরক্ষিত রাশির উৎপত্তি ঘটায়, যথা ।

অন্যান্য বিভব এবং বিশেষ আপেক্ষিকতা-এর ক্ষেত্রে লাপ্লাস–রুঞ্জে–লেন্‌জ ভেক্টরের আরও সাধারণীকরণ করলে এর সর্বাধিক সাধারণ রূপ লেখা যায়

যেখানে  এবং , এখানে কোণ  সংজ্ঞায়িত হয়

এবং  হলো লোরেঞ্জ গুণক। পূর্বের মতোই, সংরক্ষিত কৌণিক ভরবেগ ভেক্টরের সাথে ক্রস গুণন করে একটি সংরক্ষিত দ্বিনর্মাল ভেক্টর  পাওয়া যায়

এই দুটি ভেক্টরকে একত্রিত করে একটি সংরক্ষিত ডায়াডিক টেনসর -ও গঠন করা যায়,

উদাহরণস্বরূপ, অ-আপেক্ষিক, সমদিকীয় হার্মোনিক দোলকের জন্য এলআরএল ভেক্টর নির্ণয় করা যায়। যেহেতু বলটি কেন্দ্রীয়,

তাই কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর সংরক্ষিত থাকে এবং গতি একটি সমতলে সীমাবদ্ধ থাকে।

সংরক্ষিত ডায়াডিক টেনসরটি একটি সরল আকারে লেখা যায়

যদিও  এবং  অপরিহার্যভাবে পরস্পর লম্ব নয়।

সংশ্লিষ্ট রুঞ্জে–লেন্‌জ ভেক্টরটি আরও জটিল,

যেখানে 

হলো স্বাভাবিক দোলন কম্পাঙ্ক, এবং 

 কেপলার সমস্যায় লাপ্লাস–রুঞ্জে–লেন্‌জ ভেক্টর সংরক্ষিত থাকার প্রমাণসমূহ 
নিম্নে এমন কিছু যুক্তি উপস্থাপন করা হলো, যা দেখায় যে বিপরীত-বর্গ সূত্র মান্যকারী কেন্দ্রীয় বলের অধীনে LRL ভেক্টর সংরক্ষিত থাকে।

 সংরক্ষণশীলতার প্রত্যক্ষ প্রমাণ 
কণার উপর ক্রিয়াশীল একটি কেন্দ্রীয় বল  হলো

যেখানে  হলো ব্যাসার্ধ -এর একটি ফাংশন। যেহেতু কৌণিক ভরবেগ  কেন্দ্রীয় বলের ক্ষেত্রে সংরক্ষিত থাকে, তাই  এবং

যেখানে ভরবেগ  এবং ত্রিস্তর ক্রস গুণফলকে লাগরাঞ্জের সূত্র ব্যবহার করে সরলীকরণ করা হয়েছে

সত্তাটি

থেকে সমীকরণটি পাওয়া যায়

বিপরীত-বর্গ কেন্দ্রীয় বলের বিশেষ ক্ষেত্রে  হলে, এটি দাঁড়ায়

অতএব, বিপরীত-বর্গ কেন্দ্রীয় বলের জন্য  সংরক্ষিত থাকে Proposition 2.34.

আরও সংক্ষিপ্ত একটি প্রমাণ পাওয়া যায় কৌণিক ভরবেগ ও কৌণিক বেগ-এর সম্পর্ক ব্যবহার করে, , যা সেই কণার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যা -এর লম্ব সমতলে গমন করে। বিপরীত-বর্গ কেন্দ্রীয় বল নির্দিষ্ট করলে, -এর সময়গত উৎপন্ন হয়

যেখানে শেষ সমতা প্রযোজ্য, কারণ একক ভেক্টর কেবল ঘূর্ণনের মাধ্যমেই পরিবর্তিত হতে পারে, এবং  হলো ঘূর্ণায়মান ভেক্টরের কক্ষীয় বেগ। সুতরাং, -কে সমান সময়গত উৎপন্নবিশিষ্ট দুইটি ভেক্টরের পার্থক্য হিসেবে দেখা যায়।

এই নিবন্ধের অন্যত্র বর্ণিত অংশে যেমন বলা হয়েছে, এই LRL ভেক্টর  হলো একটি সাধারণ সংরক্ষিত ভেক্টর -এর বিশেষ রূপ, যা সব কেন্দ্রীয় বলের ক্ষেত্রেই সংজ্ঞায়িত করা যায়। তবে অধিকাংশ কেন্দ্রীয় বল আবদ্ধ কক্ষপথ উৎপন্ন করে না (দেখুন বার্ট্রান্ডের উপপাদ্য), ফলে সদৃশ ভেক্টর  সাধারণত সহজভাবে সংজ্ঞায়িত হয় না এবং এটি সাধারণভাবে কোণ -এর একটি বহুমূল্য ফাংশন, যা  এবং -এর মধ্যবর্তী কোণ নির্দেশ করে।
 পরাবলীয় স্থানাঙ্কে হ্যামিল্টন–জ্যাকোবি সমীকরণ 
পরাবলীয় স্থানাঙ্ক -এ হ্যামিল্টন–জ্যাকোবি সমীকরণ থেকে LRL ভেক্টরের ধ্রুবত্বও নির্ণয় করা যায়। এই স্থানাঙ্কদ্বয় নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত

যেখানে  কক্ষপথের সমতলে ব্যাসার্ধ নির্দেশ করে

এই স্থানাঙ্কগুলোর বিপরীত রূপান্তর হলো

এই স্থানাঙ্কে হ্যামিল্টন–জ্যাকোবি সমীকরণের চলক-বিচ্ছেদ নিম্নলিখিত দুইটি সমতুল্য সমীকরণ প্রদান করে

যেখানে  একটি গতি-ধ্রুবক। দুইটি সমীকরণ বিয়োগ করে এবং কার্তেসীয় ভরবেগ  ও -এর সাহায্যে পুনরায় প্রকাশ করলে দেখা যায় যে  LRL ভেক্টরের সমতুল্য

 নোয়েদারের উপপাদ্য 
উপরোক্ত ঘূর্ণন-সমতার সাথে LRL ভেক্টরের সংরক্ষণশীলতার সম্পর্ককে নোয়েদারের উপপাদ্য-এর মাধ্যমে পরিমাণগতভাবে প্রতিষ্ঠা করা যায়। এই উপপাদ্য, যা গতি-ধ্রুবক নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়, বলে যে কোনো ভৌত সিস্টেমের সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক-এর অতিক্ষুদ্র পরিবর্তন

যদি লাগ্রাঞ্জীয়কে প্রথম ক্রমে একটি পূর্ণ সময়-উৎপন্ন দ্বারা পরিবর্তিত করে

তবে তা একটি সংরক্ষিত রাশি -এর সমতুল্য

বিশেষত, সংরক্ষিত LRL ভেক্টরের উপাংশ  নিম্নলিখিত স্থানাঙ্ক-পরিবর্তনের সাথে সম্পর্কিত

যেখানে  এর মান ১, ২ এবং ৩; এখানে  ও  যথাক্রমে অবস্থান ও ভরবেগ ভেক্টর  এবং -এর -তম উপাংশ নির্দেশ করে; প্রচলিত রীতি অনুযায়ী,  হলো ক্রোনেকার ডেল্টা। এর ফলে লাগ্রাঞ্জীয়ের প্রথম-ক্রম পরিবর্তন হয়

সংরক্ষিত রাশি -এর সাধারণ সূত্রে প্রতিস্থাপন করলে LRL ভেক্টরের সংরক্ষিত উপাংশ  পাওয়া যায়,

 লাই রূপান্তর 

নোয়েদারের উপপাদ্য ব্যবহার করে LRL ভেক্টর -এর সংরক্ষণশীলতার উৎপাদন নান্দনিক হলেও একটি অসুবিধা রয়েছে: স্থানাঙ্ক পরিবর্তন -তে শুধু অবস্থান  নয়, বরং ভরবেগ  বা সমতুল্যভাবে বেগ -ও অন্তর্ভুক্ত থাকে। এই অসুবিধা দূর করা যায় Sophus Lie প্রবর্তিত পদ্ধতি ব্যবহার করে -এর সংরক্ষণশীলতা নির্ণয়ের মাধ্যমে। বিশেষভাবে, একটি লাই রূপান্তর সংজ্ঞায়িত করা যায়, যেখানে স্থানাঙ্ক  এবং সময় -কে একটি পরামিতি λ-এর ভিন্ন ভিন্ন ঘাতে স্কেল করা হয় (চিত্র ৯),

এই রূপান্তর মোট কৌণিক ভরবেগ  এবং শক্তি  পরিবর্তন করে,

কিন্তু তাদের গুণফল EL2 অপরিবর্তিত রাখে। অতএব, উৎকেন্দ্রতা  এবং মান  সংরক্ষিত থাকে, যা -এর সমীকরণ থেকে দেখা যায়

-এর দিকও সংরক্ষিত থাকে, কারণ উপঅক্ষদ্বয় একটি সামগ্রিক স্কেলিং দ্বারা পরিবর্তিত হয় না। এই রূপান্তর কেপলারের তৃতীয় সূত্র-ও সংরক্ষণ করে; অর্থাৎ, উপঅক্ষ  এবং কালপর্ব -এর অনুপাত  ধ্রুব থাকে।
 বিকল্প স্কেলিং, প্রতীক ও উপস্থাপন 
ভরবেগ ও কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর  এবং -এর বিপরীতে, লাপ্লাস–রুঞ্জে–লেন্‌জ ভেক্টরের কোনো সর্বজনস্বীকৃত সংজ্ঞা নেই; বৈজ্ঞানিক সাহিত্য্যে বিভিন্ন স্কেলিং গুণক ও প্রতীক ব্যবহৃত হয়। সর্বাধিক প্রচলিত সংজ্ঞাটি উপরে দেওয়া হয়েছে, তবে আরেকটি প্রচলিত বিকল্প হলো  রাশি দ্বারা ভাগ করে একটি মাত্রাহীন সংরক্ষিত উৎকেন্দ্রতা ভেক্টর নির্ণয় করা

যেখানে  হলো বেগ ভেক্টর। এই স্কেলকৃত ভেক্টর -এর দিক -এর সমান এবং এর মান কক্ষপথের উৎকেন্দ্রতার সমান; ফলে বৃত্তাকার কক্ষপথের ক্ষেত্রে এটি শূন্য হয়।

অন্যান্য স্কেলকৃত রূপও সম্ভব, যেমন কেবল  দ্বারা -কে ভাগ করলে

অথবা  দ্বারা ভাগ করলে

যার একক কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর -এর সমান।

বিরল ক্ষেত্রে, LRL ভেক্টরের চিহ্ন বিপরীতও নেওয়া হয়, অর্থাৎ  দ্বারা গুণ করা হয়। LRL ভেক্টরের জন্য অন্যান্য প্রচলিত প্রতীকগুলোর মধ্যে রয়েছে , , ,  এবং । তবে স্কেলিং ও প্রতীকের এই ভিন্নতা এর সংরক্ষণশীলতাকে প্রভাবিত করে না।


আরেকটি সংরক্ষিত ভেক্টর হলো বাইনর্মাল ভেক্টর  যা উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টন অধ্যয়ন করেছিলেন,

যা সংরক্ষিত এবং উপবৃত্তের গৌণ অর্ধ-অক্ষ বরাবর নির্দেশ করে। (উৎকেন্দ্রতা শূন্য হলে এটি সংজ্ঞায়িত নয়।)

LRL ভেক্টর  হলো  ও -এর ক্রস গুণফল (চিত্র ৪)। উপরের প্রাসঙ্গিক অনুচ্ছেদের ভরবেগ হডোগ্রাফে  সহজেই দেখা যায় যে এটি ভরবেগের উৎসবিন্দুকে বৃত্তাকার হডোগ্রাফের কেন্দ্রের সাথে সংযুক্ত করে এবং এর মান । উপসূর্য অবস্থানে এটি ভরবেগের দিক বরাবর নির্দেশ করে।

ভেক্টর -কে "বাইনর্মাল" বলা হয়, কারণ এটি  ও  উভয়ের প্রতিই লম্ব। LRL ভেক্টরের মতোই, বাইনর্মাল ভেক্টরও বিভিন্ন স্কেলিং ও প্রতীক দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

দুইটি সংরক্ষিত ভেক্টর,  এবং -কে একত্র করে একটি সংরক্ষিত ডায়াডিক টেনসর  গঠন করা যায়,

যেখানে  ও  ইচ্ছাধীন স্কেলিং ধ্রুবক এবং  দ্বারা টেনসর গুণন নির্দেশ করা হয় (এটি ভেক্টর ক্রস গুণন-এর সাথে সম্পর্কিত নয়, যদিও প্রতীক একই রকম)। উপাংশ আকারে সমীকরণটি হলো

পরস্পর লম্ব হওয়ায়  ও -কে সংরক্ষিত টেনসর -এর প্রধান অক্ষ হিসেবে দেখা যায়, অর্থাৎ এগুলো এর স্কেলকৃত স্বত্বভেক্টর।  ভেক্টর -এর প্রতি লম্ব,

কারণ  ও  উভয়ই -এর প্রতি লম্ব; অর্থাৎ ।

আরও প্রত্যক্ষভাবে, উপাংশ আকারে সমীকরণটি লেখা যায়

 আরও দেখুন 
 জ্যোতির্বিদ্যাগত গতিবিদ্যা
 কক্ষপথ
 উৎকেন্দ্রতা ভেক্টর
 কক্ষীয় উপাদান
 বার্ট্রান্ডের উপপাদ্য
 বিনে সমীকরণ
 দ্বি-পদার্থ সমস্যা

 তথ্যসূত্র 

 আরও পাঠ 



  Updated version of previous source.

 .


বিষয়শ্রেণী:ধ্রুপদী বলবিদ্যা
বিষয়শ্রেণী:কক্ষপথ
বিষয়শ্রেণী:ঘূর্ণন সমতা
বিষয়শ্রেণী:ভেক্টর (গণিত ও পদার্থবিজ্ঞান)
বিষয়শ্রেণী:প্রমাণসম্বলিত প্রবন্ধ
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান