কঠোর অন্তরীকরণযোগ্যতা

গণিতে, কঠোর অন্তরীকরণযোগ্যতা হল ফাংশনের অন্তরীকরণযোগ্যতা স্বাভাবিক ধারণার একটি পরিবর্তন যা বিশেষভাবে p-অ্যাডিক বিশ্লেষণের জন্য উপযুক্ত। সংক্ষেপে, পার্থক্য ভাগফলের মধ্যে ব্যবহৃত উভয় বিন্দুকে "সরানোর" অনুমতি দিয়ে সংজ্ঞাটিকে আরও সীমাবদ্ধ করা হয়েছে।

 মৌলিক সংজ্ঞা 
সবচেয়ে সহজ সেটিং যেখানে কঠোর অন্তরীকরণযোগ্যতা বিবেচনা করা যেতে পারে, তা হল বাস্তব রেখার একটি ব্যবধান I- তে সংজ্ঞায়িত একটি বাস্তব-মানবিশিষ্ট ফাংশন । ফাংশন f : I → R কে একটি বিন্দুতে কঠোরভাবে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হয় a ∈ I যদি



বিদ্যমান থাকে, যেখানে  সীমা হিসেবে বিবেচনা করা হবে , এবং অবশ্যই প্রয়োজন  .

একটি কঠোরভাবে অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন স্পষ্টতই অন্তরীকরণযোগ্য, কিন্তু বিপরীতটি ভুল, যেমনটি পাল্টা উদাহরণ থেকে দেখা যায়



তবে একটির ব্যবধান I- তে কঠোর অন্তরীকরণযোগ্যতার সমতুল্যতা রয়েছে, এবং অন্তরীকরণযোগ্যতা শ্রেণীর হওয়া  (অর্থাৎ ক্রমাগত অন্তরীকরণযোগ্যতা)।

Fréchet ডেরিভেটিভের সাথে সাদৃশ্য রেখে, পূর্ববর্তী সংজ্ঞাটি সেই ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে যেখানে R একটি Banach স্থান E দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় (যেমন  ), এবং একটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক মানচিত্র L এর অস্তিত্ব প্রয়োজন যাতে



যেখানে E × E তে স্বাভাবিকভাবে  কে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

 পি-অ্যাডিক বিশ্লেষণ থেকে প্রেরণা 
p- অ্যাডিক সেটিংয়ে, ডেরিভেটিভের স্বাভাবিক সংজ্ঞায় কিছু নির্দিষ্ট পছন্দসই বৈশিষ্ট্য থাকে না। উদাহরণস্বরূপ, স্থানীয়ভাবে ধ্রুবক না থাকা একটি ফাংশনের জন্য সর্বত্র শূন্য ডেরিভেটিভ থাকা সম্ভব। এর একটি উদাহরণ হল F : Z p → Z p ফাংশন, যেখানে Z p হল p-অ্যাডিক পূর্ণসংখ্যার বলয়, যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়



পরীক্ষা করে দেখা যায় যে F এর ডেরিভেটিভ, ডেরিভেটিভের স্বাভাবিক সংজ্ঞা অনুসারে, x = 0 সহ সর্বত্র বিদ্যমান এবং শূন্য। অর্থাৎ, Z p তে যেকোনো x এর জন্য,



তবুও, F উৎপত্তিস্থলে স্থানীয়ভাবে ধ্রুবক হতে ব্যর্থ হয় ।

এই ফাংশনের সমস্যা হল ভাগফল-এর পার্থক্য



x এবং y কে শূন্যের কাছাকাছি রাখলে শূন্যের কাছাকাছি যাবেন না। উদাহরণস্বরূপ, x = p n − p 2 n এবং y = p n নিলে, আমাদের কাছে আছে



যা শূন্যের কাছাকাছি পৌঁছায় না। কঠোর অন্তরীকরণযোগ্যতার সংজ্ঞা পার্থক্য ভাগফলের উপর সরাসরি একটি শর্ত আরোপ করে এই সমস্যাটি এড়ায়।

 p-অ্যাডিক ক্ষেত্রে সংজ্ঞা 
K কে Q p এর সম্পূর্ণ এক্সটেনশন হিসেবে ধরা যাক (উদাহরণস্বরূপ K = C p ), এবং X কে K এর একটি উপসেট হিসেবে ধরা যাক যার কোন বিচ্ছিন্ন বিন্দু নেই। তারপর একটি ফাংশন F : X → K কে x এ কঠোরভাবে পার্থক্যযোগ্য বলা হয় = a যদি সীমা



বিদ্যমান।

 তথ্যসূত্র 



বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা