N! অনুমান

গণিতে, n! অনুমান (n! conjecture) মতে তির্যক হারমোনিকসের একটি নির্দিষ্ট দ্বি-শ্রেণীবদ্ধ মডিউলের মাত্রা n! হবে। এটি প্রস্তাব করেন এ. এম. গার্সিয়া ও এম. হাইম্যান এবং পরবর্তীতে প্রমাণ করেন এম. হাইম্যান। এটি ম্যাকডোনাল্ডের ধনাত্মকতা অনুমানকে (Macdonald positivity conjecture) সমর্থন করে যা ম্যাকডোনাল্ড বহুপদীর সাথে সম্পর্কিত।

 প্রণয়ন ও পটভূমি 
ম্যাকডোনাল্ড বহুপদীসমূহ  হল একটি দ্বি-প্যারামিটার বিশিষ্ট লম্ব বহুপদীর (orthogonal polynomials) পরিবার, যাদের সূচক হয় মূল ব্যবস্থার একটি ধনাত্মক ওজন λ; এগুলি প্রবর্তন করেন ইয়ান জি. ম্যাকডোনাল্ড (১৯৮৭)। এগুলি জ্যাক বহুপদী ও হল–লিটলউড বহুপদীর মতো আরও কিছু লম্ব বহুপদীর পরিবারকে সাধারণীকরণ করে। এগুলির অ্যাফিন হেক বীজগণিত ও হিলবার্ট স্কীম-এর সাথে গভীর সম্পর্ক রয়েছে, যা এগুলির উপর ম্যাকডোনাল্ডের করা একাধিক অনুমান প্রমাণে ব্যবহৃত হয়েছে।

 সামমিতিক ফাংশনের স্থানের জন্য একটি নতুন ভিত্তি প্রবর্তন করেন, যা q ও t প্যারামিটারের উপযুক্ত প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে সুপরিচিত অনেক ভিত্তিতে (যেমন: শুর ফাংশন, হল–লিটলউড সামমিতিক ফাংশন, জ্যাক সামমিতিক ফাংশন, জোনাল সামমিতিক ফাংশন, জোনাল গোলাকার ফাংশন, প্রাথমিক ও একপদী সামমিতিক ফাংশন) রূপান্তরিত হয়।

q,t-কোস্তকা বহুপদী নামে পরিচিত সহগগুলি স্থানান্তর ম্যাট্রিক্সের (transition matrix) ফলাফল। ম্যাকডোনাল্ড অনুমান করেন যে এগুলি q ও t-এর বহুপদী হবে, যাদের সহগ অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হবে।

ধনাত্মকতা প্রমাণের জন্য (যেমনটি কোস্তকা–ফোলকস বহুপদীর শুর ধনাত্মকতা প্রমাণে প্রোসেসির সাথে তার পূর্ববর্তী যৌথ কাজে করা হয়েছিল) একটি উপযুক্ত মডিউল নির্মাণের ধারণাটি দেন অ্যাড্রিয়ানো গার্সিয়া।

ম্যাকডোনাল্ডের অনুমান প্রমাণের প্রচেষ্টায়,  তির্যক হারমোনিকসের দ্বি-শ্রেণীবদ্ধ মডিউল  প্রবর্তন করেন এবং অনুমান করেন যে পরিবর্তিত ম্যাকডোনাল্ড বহুপদীগুলি Hμ-এর চরিত্র উৎপাদক ফাংশনের (character generating function) ফ্রোবেনিয়াস চিত্র (Frobenius image) হবে, সমমিতিক গ্রুপের তির্যক ক্রিয়ার অধীনে।

এতে ম্যাকডোনাল্ডের অনুমানের প্রমাণ n! অনুমানের প্রমাণে পরিণত হয়; অর্থাৎ, Hμ-এর মাত্রা n! হবে তা প্রমাণ করা। ২০০১ সালে হাইম্যান প্রমাণ করেন যে মাত্রা প্রকৃতপক্ষে n! (দেখুন [4])।

এই যুগান্তকারী আবিষ্কার সমমিতিক গ্রুপ উপস্থাপন তত্ত্বের গোপন সংযোগ ও নতুন দিক, সেইসাথে সমাবেশ-সংক্রান্ত বস্তু (যেমন: সন্নিবেশ ট্যাবলো, হ্যাগলুন্ডের বিপরীত সংখ্যা, এবং উপস্থাপন তত্ত্বে পার্কিং ফাংশনের ভূমিকা) উদ্ঘাটন করে।

 তথ্যসূত্র 

 To appear as part of the collection published by the Lab. de. Comb. et Informatique Mathématique, edited by S. Brlek, U. du Québec á Montréal.

 বহিঃসংযোগ 
Bourbaki seminar (Procesi), PDF
n! conjecture  by François Bergeron
n! homepage of Garsia
http://www.maths.ed.ac.uk/~igordon/pubs/grenoble3.pdf
http://mathworld.wolfram.com/n!Theorem.html

বিষয়শ্রেণী:বীজগাণিতিক সমাবেশবিদ্যা
বিষয়শ্রেণী:বীজগাণিতিক জ্যামিতির উপপাদ্য
বিষয়শ্রেণী:লম্ব বহুপদী
বিষয়শ্রেণী:উপস্থাপন তত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:প্রমাণিত অনুমান
বিষয়শ্রেণী:ফ্যাক্টরিয়াল ও দ্বিপদ বিষয়ক
বিষয়শ্রেণী:বহুপদী সম্পর্কিত উপপাদ্য
বিষয়শ্রেণী:মডিউল তত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:রৈখিক বীজগণিতের উপপাদ্য