কাসাস-আলভারো অনুমান

গণিতে, কাসাস-আলভেরো অনুমান হলো বহুপদী সম্পর্কিত একটি উন্মুক্ত সমস্যা যা তাদের অন্তরকের সাথে সাধারণ গুণনীয়ক আছে, যা ২০০১ সালে এডুয়ার্ডো কাসাস-আলভেরো প্রস্তাব করেছিলেন।  
 বিবৃতি  
ধরা যাক f হলো একটি বহুপদী যার ডিগ্রি d এবং এটি শূন্য বৈশিষ্ট্যের একটি ক্ষেত্র K-তে সংজ্ঞায়িত। যদি f তার প্রতিটি ডেরিভেটিভ f(i), i = 1, ..., d − 1 এর সাথে একটি সাধারণ গুণনীয়ক থাকে, তবে অনুমানটি ভবিষ্যদ্বাণী করে যে f অবশ্যই একটি রৈখিক বহুপদীর ঘাত হতে হবে।

অশূন্য বৈশিষ্ট্যে সাদৃশ্য  
ধনাত্মক বৈশিষ্ট্য p-এর একটি ক্ষেত্রে অনুমানটি মিথ্যা: কোনো অবিভাজ্য বহুপদী f(Xp) যার ধ্রুবক পদ নেই, শর্তটি পূরণ করে কারণ সব ডেরিভেটিভ শূন্য। আরেকটি বিপরীত উদাহরণ (যা বিভাজ্য) হলো Xp+1 − Xp।

বিশেষ ক্ষেত্র 
শূন্য বৈশিষ্ট্যে অনুমানটি pk বা 2pk আকারের ডিগ্রির জন্য সত্য বলে জানা যায়, যেখানে p একটি মৌলিক সংখ্যা এবং k একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। একইভাবে, এটি 3pk আকারের ডিগ্রির জন্য জানা যায় যেখানে p ≠ 2, 4pk আকারের ডিগ্রির জন্য যেখানে p ≠ 3, 5, 7, এবং 5pk আকারের ডিগ্রির জন্য যেখানে p ≠ 2, 3, 7, 11, 131, 193, 599, 3541, 8009। 6pk এবং 7pk আকারের ডিগ্রির জন্যও অনুরূপ ফলাফল পাওয়া যায়। সম্প্রতি এটি d = 12 এর জন্য প্রতিষ্ঠিত হয়েছে, যা d = 20 কে সবচেয়ে ছোট উন্মুক্ত ডিগ্রি করে।

তথ্যসূত্র  







বিষয়শ্রেণী:অনুমান
বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্বের অমীমাংসিত সমস্যা