লেমান–শেফে উপপাদ্য

পরিসংখ্যানে পরিপূর্ণতা, যথেষ্টতা, অনন্যতা, এবং সেরা পক্ষপাতহীন অনুমানের ধারণাগুলো যে আসলে একই সূত্রে গাঁথা তা আমরা বুঝতে পারি লেমান–শেফে উপপাদ্য () থেকে। এই উপপাদ্যটি বলে যে, কোনো অনুমানকারী যদি একটি অজানা পরিমাণের জন্য পক্ষপাতহীন হয়, এবং শুধুমাত্র একটি পরিপূর্ণ ও যথেষ্ট পরিসংখ্যাতের মাধ্যমে ডেটার ওপর নির্ভর করে, তাহলে সেটি ওই অজানা পরিমাণের জন্য একমাত্র সেরা পক্ষপাতহীন অনুমানকারী। উপপাদ্যটির নামকরণ করা হয়েছে এরিখ লিয়ো লেমান এবং হেনরি শেফে-এর নামে, তাদের দুইটি প্রাথমিক গবেষণাপত্রের ভিত্তিতে।

ধরা যাক -এর জন্য  একটি পরিপূর্ণ ও যথেষ্ট পরিসংখ্যাত। আরও ধরা যাক -এর ওপর ভিত্তি করে তৈরী করা একটি পক্ষপাতহীন অনুমানকারী হলো । পক্ষপাতহীন হওয়াতে  হবে। তাহলে  হবে -এর জন্য একমাত্র সর্বনিম্নভেদ পক্ষপাতহীন অনুমানকারী (MVUE)।

 উপপাদ্যের বিবৃতি 

ধরি, 
 কোনো ডিস্ট্রিবিউশনের পিডিএফ  যেখানে  একটি প্যারামিটার এবং  হলো তার প্যারামিটার স্পেস।
  এই ডিস্ট্রিবিউশন থেকে নেওয়া একটি র‍্যান্ডম স্যাম্পল। 
 -এর জন্য  একটি যথেষ্ট পরিসংখ্যাত।
  একটি পরিপূর্ণ পরিবার।

যদি  হয়, তাহলে  হবে -এর একমাত্র সর্বনিম্নভেদ পক্ষপাতহীন অনুমানকারী।

 প্রমাণ 

ধরি । রাও–ব্ল্যাকওয়েল উপপাদ্য অনুযায়ী,  যদি -এর একটি পক্ষপাতহীন অনুমানকারী হয়, তাহলে -ও -এর একটি পক্ষপাতহীন অনুমানকারী এবং এর ভেদাঙ্ক -এর ভেদাঙ্কের চেয়ে বড়ো নয়। অর্থাৎ  একটি সর্বনিম্নভেদ পক্ষপাতহীন অনুমানকারী।

আমাদেরকে এখন -এর অনন্যতা প্রমাণ করতে হবে। অর্থাৎ আমাদেরকে প্রমাণ করতে হবে যে -ই একমাত্র সর্বনিম্নভেদ পক্ষপাতহীন অনুমানকারী।

ধরি  অন্য একটি সর্বনিম্নভেদ পক্ষপাতহীন অনুমানকারী। সেক্ষেত্রে -ও একটি পক্ষপাতহীন অনুমানকারী যার ভেদাঙ্ক -এর ভেদাঙ্কের চেয়ে বড়ো নয়। তাহলে,

যেহেতু  একটি পরিপূর্ণ পরিবার

অতএব,  ফাংশনটি -এর একমাত্র ফাংশন যার ভেদাঙ্ক অন্য কোনো পক্ষপাতহীন অনুমানকারীর চেয়ে বড়ো নয়। তাই  একমাত্র সর্বনিম্নভেদ পক্ষপাতহীন অনুমানকারী।

 তথ্যসূত্র 

বিষয়শ্রেণী:পরিসংখ্যান