আপেক্ষিক কোয়ান্টাম বলবিদ্যা

পদার্থবিজ্ঞানে, আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান (RQM) বলতে কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের এমন সব রূপকেই বোঝানো হয়, যা পোয়াঙ্কারে সমকোণীয়তা রক্ষা করে। এই তত্ত্বটি এমন ভরযুক্ত কণিকাদের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, যারা যেকোনো বেগে, এমনকি আলোর গতির কাছাকাছিও চলতে পারে। এটি ভরহীন কণিকাকেও বিবেচনায় নিতে পারে। এই তত্ত্বের ব্যবহার রয়েছে উচ্চ শক্তির পদার্থবিজ্ঞান, কণিকা পদার্থবিজ্ঞান ও অ্যাক্সেলারেটর পদার্থবিজ্ঞানে, পাশাপাশি পারমাণবিক পদার্থবিজ্ঞান, রাসায়ন ও ঘনীভূত পদার্থবিজ্ঞানেও ব্যবহৃত হয়।

অ-আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান বলতে বোঝায় গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতার প্রেক্ষিতে প্রয়োগকৃত ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানের সমীকরণকে অপারেটর দ্বারা প্রতিস্থাপন করে তার পরিমাণীকরণ (quantization)। অপরদিকে, আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান (RQM) হল বিশেষ আপেক্ষিকতার সাথে কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানকে মিলিয়ে তৈরি তত্ত্ব। যদিও শ্রডিঙ্গার রূপ ও হাইজেনবার্গ রূপ প্রাথমিকভাবে অ-আপেক্ষিকতামূলক প্রেক্ষিতে তৈরি, তবে এর কিছু রূপ (যেমন ডিরাক সমীকরণ বা পথ সমাকলন রূপ) বিশেষ আপেক্ষিকতার সাথেও কাজ করে।

সব ধরনের RQM-এর কিছু সাধারণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যেমন: বিরোধী পদার্থ (antimatter) পূর্বাভাস দেওয়া, মৌলিক স্পিন  ফার্মিয়নদের স্পিন চৌম্বক মুহূর্ত, সূক্ষ্ম গঠন এবং তড়িৎচুম্বক ক্ষেত্রের মধ্যে আধানযুক্ত কণিকার কোয়ান্টাম গতিবিদ্যা ব্যাখ্যা করা। এই তত্ত্বের মূল ফলাফল হল ডিরাক সমীকরণ, যা থেকে উপরোক্ত সব পূর্বাভাস স্বয়ংক্রিয়ভাবে বেরিয়ে আসে। এর বিপরীতে, অ-আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে পরীক্ষামূলক ফলাফলের সঙ্গে মিল আনতে হ্যামিলটোনিয়ানে এসব পদ কৃত্রিমভাবে যুক্ত করতে হয়।

সবচেয়ে সফল এবং ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত RQM হল আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব (QFT), যেখানে মৌলিক কণিকাগুলিকে ক্ষেত্র কোয়ান্টা হিসেবে বিবেচনা করা হয়। QFT-এর একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল কণিকা সংখ্যার সংরক্ষণ না হওয়া, যেমন দ্রব্য সৃষ্টির সময় কণিকা সৃষ্টি বা বিলুপ্তি ঘটে।

পল ডিরাকের ১৯২৭ থেকে ১৯৩৩ সালের কাজ কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান ও বিশেষ আপেক্ষিকতার সমন্বয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রেখেছিল। তিনি ডিরাক সমীকরণ প্রস্তাব করেন এবং কোয়ান্টাম ইলেক্ট্রোডায়নামিক্স (QED) এর সূচনা করেন, যা এই দুই তত্ত্বের সংমিশ্রণে উল্লেখযোগ্য সাফল্য অর্জন করে।

এই নিবন্ধে সমীকরণসমূহ প্রচলিত ৩-মাত্রিক ভেক্টর ক্যালকুলাস নোটেশনে উপস্থাপন করা হয়েছে, এবং অপারেটর নির্দেশে টুপি চিহ্ন (ˆ) ব্যবহার করা হয়েছে (যা সর্বত্র ব্যবহৃত নাও হতে পারে)। যেখানে স্থান ও সময়ের উপাদান একত্র করা যায়, সেখানে টেনসর সূচক নোটেশনও দেখানো হয়েছে, এবং আইনস্টাইনের যোগ রীতি প্রয়োগ করা হয়েছে। এখানে SI একক ব্যবহৃত হয়েছে; তবে গাউসীয় একক ও প্রাকৃতিক এককও প্রচলিত। সব সমীকরণই অবস্থান উপস্থাপনে (position representation) দেওয়া হয়েছে; ভরবেগ উপস্থাপনের জন্য এগুলোকে ফুরিয়ার রূপান্তর করতে হয় – বিস্তারিত দেখতে অবস্থান ও ভরবেগ স্থান দেখুন।

বিশেষ আপেক্ষিকতা ও কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান একত্রিতকরণ

একটি পদ্ধতি হল শ্রডিঙ্গার রূপকে এমনভাবে সংশোধন করা, যাতে তা বিশেষ আপেক্ষিকতার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়।

কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের একটি মূল অনুমান হল, যেকোনো কোয়ান্টাম সিস্টেমের সময় বিবর্তন (time evolution) শ্রডিঙ্গার সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত হয়:

এখানে,  হল সিস্টেমটির জন্য উপযুক্ত হ্যামিলটোনিয়ান অপারেটর। সমাধানটি একটি জটিল-মান বিশিষ্ট তরঙ্গফাংশন , যা কণিকার ত্রিমাত্রিক অবস্থান ভেক্টর  ও সময় -এর উপর নির্ভর করে এবং সিস্টেমের আচরণ বর্ণনা করে।

প্রতিটি কণিকার একটি অ-ঋণাত্মক স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা  থাকে। এই সংখ্যাটির দ্বিগুণ  একটি পূর্ণসংখ্যা, যা ফার্মিয়নের ক্ষেত্রে বিজোড় এবং বোসনের ক্ষেত্রে জোড় হয়। প্রতিটি -এর জন্য  টি z-দিকীয় স্পিন প্রক্ষেপণ কোয়ান্টাম সংখ্যা থাকে; যেমন, ।অন্যান্য প্রচলিত রূপ হল  ও , তবে এগুলোর অতিরিক্ত সাবস্ক্রিপ্টের কারণে প্রকাশে জটিলতা আসে। এখানে  যেসব সাবস্ক্রিপ্টে ব্যবহৃত হয়েছে, তা টেনসর সূচক বা পাউলি ম্যাট্রিক্সের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলার জন্য নয়। এই কারণে তরঙ্গফাংশনটি -রূপে একটি অতিরিক্ত বিচ্ছিন্ন চলকের ওপর নির্ভরশীল হয়।

ঐতিহাসিকভাবে, ১৯২০-এর দশকের গোড়ার দিকে পাউলি, ক্রোনিগ, উলেনবেক ও গুডস্মিট প্রথম স্পিনের ধারণা প্রস্তাব করেন। তরঙ্গফাংশনে স্পিন যুক্ত করার মাধ্যমে পাউলি বর্জন নীতি (১৯২৫) এবং পরবর্তীকালে ফির্ৎস কর্তৃক প্রস্তাবিত স্পিন–পরিসংখ্যান উপপাদ্য (১৯৩৯), যা পাউলি পরের বছর পুনরায় উপস্থাপন করেন—তথ্যগুলো অন্তর্ভুক্ত করা যায়। এই তত্ত্বের মাধ্যমেই বিভিন্ন আণবিক কণিকার আচরণ ব্যাখ্যা করা যায়, যেমন: পারমাণবিক বিন্যাস, নিউক্লিয়াসের গঠন (ফলে পিরিয়ডিক টেবিলএর সকল উপাদান এবং তাদের রাসায়নিক ধর্ম), কোয়ার্ক বিন্যাস ও বর্ণ আধান—ফলে ব্যারিয়ন ও মেসনদের ধর্ম ব্যাখ্যা করা যায়।

বিশেষ আপেক্ষিকতার একটি মৌলিক পূর্বাভাস হল আপেক্ষিকতামূলক শক্তি–ভরবেগ সম্পর্ক। একটি কণিকার স্থিতিশক্তিমত্তা , শক্তি  এবং ত্রিমাত্রিক ভরবেগ  (যার ডট গুণফল অনুসারে মান নির্ধারিত হয় ), সেই কণিকার জন্য সম্পর্কটি হল:

এই সমীকরণগুলো শক্তি অপারেটর ও ভরবেগ অপারেটর-এর সঙ্গে একত্রে ব্যবহৃত হয়, যথাক্রমে:

যার মাধ্যমে গঠিত হয় একটি আপেক্ষিকতামূলক তরঙ্গ সমীকরণ (Relativistic Wave Equation বা RWE)। এটি একটি আংশিক অন্তরকল সমীকরণ, যা উপরের শক্তি-ভরবেগ সম্পর্কের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং -এর সমাধানের মাধ্যমে কণিকার কোয়ান্টাম গতিবিদ্যার পূর্বাভাস দেয়। আপেক্ষিকতা অনুসারে স্থান ও সময়কে সমান গুরুত্ব দিতে চাইলে, স্থান ও সময়ের আংশিক অন্তরকলের ঘাত (order) সমান হওয়া উচিত, এবং যতটা সম্ভব নিম্নমাত্রার হওয়া উচিত, যাতে প্রাথমিক অবস্থায় অন্তরকলগুলোর মান দেওয়া না লাগে। এটি সম্ভাবনার ব্যাখ্যার জন্য গুরুত্বপূর্ণ, যেমন নিচে দেখানো হয়েছে। যেকোনো অন্তরকল সমীকরণের সর্বনিম্ন ঘাত হল প্রথম (শূন্য ঘাতের ক্ষেত্রে সমীকরণটি আর অন্তরকল সমীকরণ থাকবে না)।

হাইজেনবার্গ রূপ হল কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের আরেকটি রূপ, যেখানে তরঙ্গফাংশন  সময়-স্বাধীন থাকে, এবং অপারেটরগুলো  সময়-নির্ভর হয়। এই অপারেটরদের সময় বিবর্তন শাসিত হয় নিচের সমীকরণ দ্বারা:

এই সমীকরণটি RQM-এও প্রযোজ্য, যদি হাইজেনবার্গ অপারেটরগুলো বিশেষ আপেক্ষিকতার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে সংশোধিত হয়।

ঐতিহাসিকভাবে, প্রায় ১৯২৬ সালে শ্রডিঙ্গার ও হাইজেনবার্গ দেখান যে তরঙ্গ বলবিজ্ঞান ও ম্যাট্রিক্স বলবিজ্ঞান মূলত সমতুল্য। পরবর্তীকালে ডিরাক রূপান্তর তত্ত্ব (কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান) ব্যবহার করে তা আরও সুসংহত করেন।

আপেক্ষিকতামূলক তরঙ্গ সমীকরণের আধুনিক একটি পদ্ধতি হল লোরেন্‌জ গোষ্ঠীর উপস্থাপনাগুলি প্রয়োগ করা, যা যেকোনো স্পিনের কণিকার জন্য এই সমীকরণগুলো গঠনের ভিত্তি হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

স্থান ও সময়

ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান এবং অ-আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, সময় একটি পরম রাশিমাত্রা—যা সব পর্যবেক্ষক ও কণিকা সর্বদা একভাবে অনুভব করে থাকে, যেন এটি স্থান থেকে স্বাধীনভাবে পটভূমিতে "টিক টিক করে চলছে"। ফলে অ-আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান অনুযায়ী, একাধিক কণিকার জন্য তরঙ্গফাংশনটি হয় ।

কিন্তু আপেক্ষিকতামূলক বলবিজ্ঞানে, স্থানাঙ্ক স্থান এবং স্থানাঙ্ক সময় আর পরম নয়; একে অপরের তুলনায় চলমান যেকোনো দুটি পর্যবেক্ষক এক ইভেন্টের স্থান ও সময় ভিন্নভাবে পরিমাপ করতে পারে। কণিকার অবস্থান ও সময় একত্রে একটি চার-মাত্রিক স্পেসটাইম অবস্থান গঠন করে: , যা কোনো একটি ইভেন্টকে নির্দেশ করে। একইভাবে, শক্তি ও ত্রিমাত্রিক ভরবেগ একত্রে কণিকার চার-ভরবেগ গঠন করে: , যা নির্দিষ্ট একটি পার্থক্য কাঠামোতে পরিমাপ করা হয় এবং লোরেন্‌জ রূপান্তর অনুসারে পরিবর্তিত হয় যখন আমরা অন্য কোনো গতি প্রাপ্ত বা ঘূর্ণিত কাঠামো থেকে পরিমাপ করি। ডেরিভেটিভ অপারেটরসহ শক্তি ও ভরবেগ অপারেটরগুলোও এই লোরেন্‌জ রূপান্তরে অপরিবর্তনীয় নয়—তাও পরিবর্তিত হয়।

একটি যথাযথ অর্থোক্রোনাস লোরেন্‌জ রূপান্তর -এর অধীনে (যা মিঙ্কোস্কি স্থানে ঘটে), প্রতিটি এক-কণিকা কোয়ান্টাম অবস্থান  স্থানীয়ভাবে লোরেন্‌জ গোষ্ঠীর কোনো একটি উপস্থাপন  অনুসারে রূপান্তরিত হয়:; ; 

এখানে  হল একটি সসীম মাত্রিক উপস্থাপন, অর্থাৎ একটি  বর্গ ম্যাট্রিক্স। আবার, -কে একটি কলাম ভেক্টর হিসেবে ধরা হয়, যার উপাদানগুলো হল  টি অনুমোদিত  মান। এখানে  ও -সহ অন্যান্য কোয়ান্টাম সংখ্যা (চলমান বা বিছিন্ন রাশিমাত্রা) প্রকাশে পরিহার করা হয়েছে। নির্দিষ্ট কোনো উপস্থাপনার উপর নির্ভর করে একটি  মান একাধিকবার উপস্থিত হতে পারে।

অ-আপেক্ষিকতামূলক ও আপেক্ষিকতামূলক হ্যামিলটোনিয়ান  

ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানে একটি কণিকার জন্য সম্ভাব্যতা ক্ষেত্রের মধ্যে হ্যামিলটোনিয়ান হল গতিশক্তি  এবং সম্ভাব্য শক্তি -এর যোগফল। এর শ্রডিঙ্গার রূপে সংশ্লিষ্ট কোয়ান্টাম অপারেটরটি হয়:

এই অপারেটরটিকে শ্রডিঙ্গার সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে তরঙ্গফাংশনের জন্য একটি অ-আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান সমীকরণ পাওয়া যায়। এই প্রক্রিয়াটি সাধারণভাবে সরল প্রতিস্থাপন মাত্র। কিন্তু আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে বিষয়টি ততটা সরল নয়; এখানে শক্তি–ভরবেগ সম্পর্কটি শক্তি ও ভরবেগ উভয়ের ক্ষেত্রেই দ্বিঘাত হওয়ায় সমস্যা দেখা দেয়। সরলভাবে নিচের রূপে প্রতিস্থাপন করা হলে:

তা কার্যকর হয় না বিভিন্ন কারণে। এই অপারেটরের বর্গমূল সরাসরি ব্যবহার করা যায় না; এটি প্রথমে ঘাত ধারায় সম্প্রসারণ করতে হয়, যার প্রতিটি পদে ভরবেগ অপারেটর বিভিন্ন ঘাতে ব্যবহৃত হয় এবং তখনই কেবল তা তরঙ্গফাংশনের ওপর ক্রিয়া করতে পারে। এর ফলে স্থান ও সময়ের অন্তরকলগুলো সম্পূর্ণ অসমমিত হয়ে পড়ে: স্থানে অসীম-ঘাতের অন্তরকল, কিন্তু সময়ে প্রথম-ঘাত মাত্র, যা অগোছালো ও অশ্রাব্য হয়। আরও একটি সমস্যা হল, শক্তি অপারেটরটি অপরিবর্তনশীল নয়, আর বর্গমূলও তাই নয়—ফলে সেই রূপান্তরটি সঙ্গত নয়।

এর চেয়েও গুরুতর সমস্যা হল এটি অস্থানীয় (nonlocal) এবং এমনকি কারণতা লঙ্ঘন করতে পারে: যদি কণিকাটি প্রাথমিকভাবে একটি বিন্দুতে সঙ্কেন্দ্রিত হয় , অর্থাৎ  নির্দিষ্ট ও অন্যত্র শূন্য হয়, তাহলে এই সমীকরণ বলে যে যেকোনো পরবর্তী সময়ে তরঙ্গফাংশন  সব জায়গায় শূন্য নয়—even  অঞ্চলেও, যার মানে কণিকাটি আলোর চেয়েও দ্রুত চলে যেতে পারে। এই সমস্যাটি এড়াতে অতিরিক্ত শর্ত হিসেবে দিতে হয় ।

এছাড়া, হ্যামিলটোনিয়ানে স্পিন অন্তর্ভুক্ত করার সমস্যাও আছে, যা অ-আপেক্ষিকতামূলক শ্রডিঙ্গার তত্ত্বে পূর্বাভাস নয়। স্পিনযুক্ত কণিকার স্পিন চৌম্বক মুহূর্ত থাকে, যা  (বোhr চৌম্বক) এককে পরিমাপযোগ্য:

এখানে  হল কণিকার g-গুণক, এবং  হল স্পিন অপারেটর। ফলে, এই চৌম্বক মুহূর্ত বাহ্যিকভাবে আরোপিত চৌম্বক ক্ষেত্র -এর সঙ্গে মিথস্ক্রিয়া করে। এই মিথস্ক্রিয়া পদটি

অ-আপেক্ষিকতামূলক হ্যামিলটোনিয়ানে অতিরিক্তভাবে যোগ করতে হয়। এর বিপরীতে, আপেক্ষিকতামূলক হ্যামিলটোনিয়ানে স্পিন এমনিতেই অন্তর্ভুক্ত হয়, যেহেতু আপেক্ষিকতামূলক শক্তি–ভরবেগ সম্পর্ক বাস্তবায়নের জন্য এটি প্রয়োজনীয়।

আপেক্ষিকতামূলক হ্যামিলটোনিয়ান সাধারণত অ-আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান হ্যামিলটোনিয়ানের সঙ্গে কিছু দিক থেকে সাদৃশ্যপূর্ণ: যেমন, এতে স্থিতিশক্তিমত্তার পদ এবং বাহ্যিক ক্ষেত্রের সঙ্গে মিথস্ক্রিয়ার পদ থাকে (যা ধ্রুপদী সম্ভাব্য শক্তি পদের অনুরূপ), আবার ভরবেগ-সংক্রান্ত পদ থাকে (যা ধ্রুপদী গতিশক্তির অনুরূপ)। একটি মৌলিক পার্থক্য হল, আপেক্ষিকতামূলক হ্যামিলটোনিয়ানে স্পিন অপারেটরগুলো ম্যাট্রিক্স আকারে থাকে, যেখানে ম্যাট্রিক্স গুণ স্পিন সূচক  বরাবর চলে। ফলে, সাধারণভাবে আপেক্ষিকতামূলক হ্যামিলটোনিয়ান:

স্থান, সময়, ভরবেগ ও স্পিন অপারেটরের একটি ফাংশন হয়।

নিঃক ক্রিয়াশীল কণিকার জন্য ক্লেইন–গর্ডন ও ডিরাক সমীকরণ

শক্তি ও ভরবেগ অপারেটরগুলো সরাসরি শক্তি–ভরবেগ সম্পর্কের মধ্যে প্রতিস্থাপন করলে একটি আপাতদৃষ্টিতে আকর্ষণীয় সমীকরণ পাওয়া যায়, যা হল ক্লেইন–গর্ডন সমীকরণ:

এই সমীকরণটি বহু গবেষক স্বাধীনভাবে আবিষ্কার করেন, কারণ এটি পাওয়া তুলনামূলকভাবে সহজ। উল্লেখযোগ্যভাবে, শ্রডিঙ্গার ১৯২৫ সালে এটি আবিষ্কার করেন তার নিজের অ-আপেক্ষিকতামূলক সমীকরণ খোঁজার পূর্বে, এবং ক্লেইন ও গর্ডন ১৯২৭ সালে এতে তড়িৎচৌম্বকীয় মিথস্ক্রিয়া যুক্ত করে প্রবর্তন করেন। এই সমীকরণটি আপেক্ষিকতামূলকভাবে সমকোণীয়, কিন্তু এটি আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের জন্য একক ভিত্তি হিসেবে পর্যাপ্ত নয় অন্তত দুটি কারণে: প্রথমত, এটি নেতিবাচক-শক্তির অবস্থান (negative-energy states) সমাধান হিসেবে দেয়, এবং দ্বিতীয়ত, এই সমীকরণ কেবল স্পিনহীন কণিকার জন্য প্রযোজ্য। এই সমীকরণকে নিচের রূপে রূপান্তর বা "ফ্যাক্টর" করা যায়:

এখানে  ও  সাধারণ সংখ্যা বা ভেক্টর নয়, বরং ৪ × ৪ হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্স, যেগুলোকে নিচের শর্তানুযায়ী বিপ্রতিসম (anticommuting) হতে হয়, যদি  হয়:

এবং এগুলো পরিচয় ম্যাট্রিক্সে রূপান্তরিত হয়:

ফলে দ্বিতীয়-ঘাতের অন্তরকল যেসব পদ স্থান ও সময় উভয়েই মিশ্রিত, সেগুলো নিঃশেষ হয়ে যায়, এবং কেবল বিশুদ্ধ স্থান ও সময়ভিত্তিক দ্বিতীয়-ঘাতের পদ রয়ে যায়। প্রথম ফ্যাক্টরটি হল:

এটি হল ডিরাক সমীকরণ। অপর ফ্যাক্টরটিও ডিরাক সমীকরণ, তবে নেতিবাচক ভরবিশিষ্ট কণিকার জন্য। প্রতিটি ফ্যাক্টর আপেক্ষিকতামূলকভাবে সমকোণীয়। এই বিশ্লেষণটি উল্টো দিক থেকেও করা যায়: যেমন, ডিরাক ১৯২৮ সালে যেমন করেছিলেন, উপরের রূপে হ্যামিলটোনিয়ান প্রস্তাব করে, তারপর অপর ফ্যাক্টর দ্বারা সমীকরণটিকে পূর্বগুণ (premultiply) করে ক্লেইন–গর্ডন সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে  ও -এর ওপর শর্ত নির্ধারণ করা যায়। ধনাত্মক ভরের সমীকরণ ব্যবহার করলেই ধারাবাহিকতা বজায় থাকে। যেহেতু ম্যাট্রিক্সগুলো -তে গুণ হচ্ছে, এটি নির্দেশ করে যে  আর স্কেলার তরঙ্গফাংশন নয় (যেমন ক্লেইন–গর্ডন সমীকরণে হয়), বরং একটি চার-উপাদানবিশিষ্ট রাশি (যেমন স্পিনর বা চার-ভাগী ভেক্টর)।

ডিরাক সমীকরণ এখনও নেতিবাচক শক্তির সমাধান দেয়, তাই ডিরাক ধারণা দেন যে নেতিবাচক শক্তির সব অবস্থা সর্বদা পূর্ণ থাকে, কারণ পাউলি নীতি অনুসারে ইলেকট্রন ধনাত্মক অবস্থা থেকে নেতিবাচক অবস্থায় যেতে পারবে না। বিস্তারিত জানতে দেখুন: ডিরাক সাগর।

ঘনত্ব ও প্রবাহ

অ-আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, তরঙ্গফাংশন -এর বর্গ মডুলাস থেকে পাওয়া যায় সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন: । এটিই হল কোপেনহেগেন ব্যাখ্যা, যা প্রায় ১৯২৭ সালের। কিন্তু আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে (RQM), যদিও  তরঙ্গফাংশন হিসেবে ব্যবহৃত হয়, এর সম্ভাব্যতা ব্যাখ্যা অ-আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান থেকে ভিন্ন।

কিছু আপেক্ষিকতামূলক তরঙ্গ সমীকরণ (RWE) এমন একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব  বা সম্ভাব্যতা প্রবাহ  (অর্থাৎ সম্ভাব্যতা প্রবাহ ঘনত্ব) নির্ধারণ করে না, যেগুলো স্থান ও সময়ের ধনাত্মক-নির্ধারিত ফাংশন হয়—অর্থাৎ যেগুলো সর্বদা ধনাত্মক হবে, এমন নিশ্চয়তা থাকে না। কিন্তু ডিরাক সমীকরণ তা করে:

এখানে  হল হার্মিশিয়ান এডজয়েন্ট (কখনও  হিসেবে লেখা হয়, যা ডিরাক এডজয়েন্ট নামে পরিচিত), এবং  হল সম্ভাব্যতা চার-প্রবাহ (four-current)।

অন্যদিকে, ক্লেইন–গর্ডন সমীকরণ এমন একটি ঘনত্ব প্রদান করে না যা সর্বদা ধনাত্মক:

এখানে  নির্দেশ করে চার-গ্রেডিয়েন্ট। যেহেতু প্রাথমিক অবস্থায়  এবং -এর মান স্বাধীনভাবে নির্ধারণ করা যায়, তাই  নেতিবাচকও হতে পারে।

ফলে, আপাতদৃষ্টিতে "সম্ভাব্যতা ঘনত্ব" ও "সম্ভাব্যতা প্রবাহ" যা মনে হয়, সেগুলোকে আসলে আধান ঘনত্ব ও প্রবাহ ঘনত্ব হিসেবে পুনরায় ব্যাখ্যা করতে হয়, যদি তা তড়িৎ আধান দ্বারা গুণ করা হয়। তখন তরঙ্গফাংশন  আর শুধুমাত্র তরঙ্গফাংশন নয়, বরং একটি ক্ষেত্র (field) হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়। আধান ঘনত্ব ও প্রবাহ সবসময় একটি ধারাবাহিকতা সমীকরণ মেনে চলে:

কারণ আধান একটি সংরক্ষিত রাশি। সম্ভাব্যতাও একটি সংরক্ষিত রাশি, তাই সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ও প্রবাহও ধারাবাহিকতা সমীকরণ মেনে চলে, তবে এটি শুধুমাত্র তখনই সত্যি থাকে, যখন মিথস্ক্রিয়া অনুপস্থিত থাকে।

স্পিন ও তড়িৎচৌম্বকীয়ভাবে মিথস্ক্রিয় কণিকা

আপেক্ষিকতামূলক তরঙ্গ সমীকরণে (RWE) মিথস্ক্রিয়া যুক্ত করা সাধারণত কঠিন। ন্যূনতম সংযোজন (minimal coupling) হল তড়িৎচৌম্বকীয় মিথস্ক্রিয়া যুক্ত করার একটি সরল পদ্ধতি। একটি কণিকা, যার তড়িৎ আধান , যদি একটি তড়িৎচৌম্বক ক্ষেত্রের মধ্যে থাকে—যেখানে চৌম্বক ভেক্টর সম্ভাব্যতা  দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় (এবং যার দ্বারা চৌম্বক ক্ষেত্র ), এবং তড়িৎ স্কেলার সম্ভাব্যতা  থাকে—তবে:

এখানে  হল চার-ভরবেগ, যার একটি চার-ভরবেগ অপারেটর আছে, এবং  হল চার-সম্ভাব্যতা (four-potential)। নিম্নে উল্লিখিত অ-আপেক্ষিকতামূলক সীমা নির্দেশ করে:

অর্থাৎ কণিকার মোট শক্তি প্রায় তার স্থিতিশক্তির সমান, যদি তড়িৎ সম্ভাব্যতা ছোট হয়; এবং ভরবেগ প্রায় ধ্রুপদী ভরবেগের সমান।

স্পিন ০

আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, ক্লেইন–গর্ডন (KG) সমীকরণ ন্যূনতম সংযোজনকে অনুমোদন করে:

যদি আধান শূন্য হয়, তবে এটি সহজেই নিঃক কণিকার KG সমীকরণে পরিণত হয়, তাই নিচে ধরা হয়েছে যে আধান শূন্য নয়। এটি একটি স্কেলার সমীকরণ, যা লোরেন্‌জ গোষ্ঠীর অবিভাজ্য একমাত্রিক স্কেলার  উপস্থাপনার অধীনে অপরিবর্তনীয়। এর অর্থ, সমীকরণের সকল সমাধান  উপস্থাপনার সরল যোগফলে অন্তর্ভুক্ত। যেসব সমাধান অবিভাজ্য  উপস্থাপনার অন্তর্ভুক্ত নয়, সেগুলোতে দুই বা ততোধিক স্বাধীন উপাদান থাকবে। এইরকম সমাধান সাধারণত স্পিনযুক্ত কণিকাকে বর্ণনা করতে পারে না, কারণ স্পিনের উপাদানগুলো স্বাধীন নয়। সে ক্ষেত্রে অতিরিক্ত শর্ত প্রয়োগ করতে হয়, যেমন  স্পিনের জন্য ডিরাক সমীকরণ—নিচে বিস্তারিত আছে। অতএব, যদি কোনো সিস্টেম শুধুমাত্র KG সমীকরণ মেনে চলে, তাহলে তা শূন্য স্পিনবিশিষ্ট সিস্টেম হিসেবে ব্যাখ্যা করা যায়।

এই ক্ষেত্রে, তড়িৎচৌম্বক ক্ষেত্রটিকে ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ অনুসারে ধ্রুপদীভাবে বিবেচনা করা হয়, আর কণিকাকে বর্ণনা করা হয় তরঙ্গফাংশন দ্বারা, যা KG সমীকরণের সমাধান। তবুও এই সমীকরণ সবসময় খুব কার্যকর নয়, কারণ ভরযুক্ত স্পিনহীন কণিকা যেমন π-মেসন তড়িৎচৌম্বকীয় মিথস্ক্রিয়ার পাশাপাশি অনেক বেশি শক্তিশালী বল মিথস্ক্রিয়া অনুভব করে। তবে, অন্য কোনো মিথস্ক্রিয়া অনুপস্থিত থাকলে, এটি চার্জযুক্ত স্পিনহীন বোসনের সঠিক বর্ণনা প্রদান করে।

KG সমীকরণ প্রযোজ্য বাইরের তড়িৎচৌম্বকীয় সম্ভাব্যতার মধ্যে অবস্থানকারী স্পিনহীন চার্জযুক্ত বোসনদের জন্য। এই কারণে সমীকরণটি পরমাণুর বর্ণনার জন্য প্রযোজ্য নয়, কারণ ইলেকট্রন একটি স্পিন  কণিকা। অ-আপেক্ষিকতামূলক সীমায় এই সমীকরণ রূপান্তরিত হয় শ্রডিঙ্গার সমীকরণে, যা স্পিনহীন চার্জযুক্ত কণিকার জন্য তড়িৎচৌম্বক ক্ষেত্রের মধ্যে লেখা হয়:

স্পিন 

অ-আপেক্ষিকতামূলকভাবে, স্পিন প্রথমবার পাউলি ১৯২৭ সালে পাউলি সমীকরণে অনুভবগতভাবে প্রবর্তন করেন, একটি তড়িৎচৌম্বক ক্ষেত্রের মধ্যে কণিকার জন্য:

এখানে ব্যবহৃত হয়েছে 2×2 মাত্রার পাউলি ম্যাট্রিক্স এবং  আর অ-আপেক্ষিকতামূলক শ্রডিঙ্গার সমীকরণের মতো স্কেলার তরঙ্গফাংশন নয়, বরং একটি দুই-উপাদানবিশিষ্ট স্পিনর ক্ষেত্র:

যেখানে সাবস্ক্রিপ্ট ↑ ও ↓ নির্দেশ করে "স্পিন আপ" () ও "স্পিন ডাউন" () অবস্থান।এই স্পিনর লেখার ধরনটি সর্বজনীন নয়; সাহিত্যিকভাবে সাধারণত  বা  লেখা হয়, তবে স্পিন  প্রেক্ষিতে এই রূপটিও প্রচলিত।

আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, ডিরাক সমীকরণ-এও এই ন্যূনতম সংযোজন যুক্ত করা যায়, যার রূপ:

এই সমীকরণই প্রথমবার স্পিনকে সঠিকভাবে পূর্বাভাস দেয়, যা সম্ভব হয় 4×4 গামা ম্যাট্রিক্স , এবং  দ্বারা। শক্তি অপারেটরের (এবং সম্ভাব্য শক্তি) আগে একটি 4×4 পরিচয় ম্যাট্রিক্স গুণিত হলেও তা সাধারণত লেখায় বাদ দেওয়া হয়। এখানে  একটি চার-উপাদানবিশিষ্ট স্পিনর ক্ষেত্র, যেটিকে সাধারণত দুইটি 2-উপাদানবিশিষ্ট স্পিনরে ভাগ করা হয়:এই লেখার ধরনটিও সর্বজনীন নয়; অধিকতর উন্নত সাহিত্যিক উপস্থাপনা হয়:

তবে এখানে এনার্জি, হেলিসিটি ও স্পিন অবস্থানের উপস্থাপনার জন্য সরলীকরণে এই রূপ দেখানো হয়েছে।

এখানে 2-স্পিনর  নির্দেশ করে একটি কণিকা, যার 4-ভরবেগ  ও আধান , এবং যার স্পিন অবস্থা দুইটি ()। অপর স্পিনর  একই ভর ও স্পিনের একটি কণিকা, তবে তার 4-ভরবেগ  এবং আধান , অর্থাৎ নেতিবাচক শক্তি, সময়-বিপরীত ভরবেগ, এবং বিপরীত আধান। এটিই ছিল প্রথমবার কোনো কণিকা ও তার সংশ্লিষ্ট বিরোধী কণিকার ব্যাখ্যা ও পূর্বাভাস। বিস্তারিত দেখতে দেখুন: ডিরাক স্পিনর, বিস্পিনর।

অ-আপেক্ষিকতামূলক সীমায় ডিরাক সমীকরণ রূপান্তরিত হয় পাউলি সমীকরণে (পদ্ধতি দেখতে: ডিরাক সমীকরণ)। এক-ইলেকট্রন পরমাণু বা আয়নে, যেখানে  ও  উপযুক্ত স্থির তড়িৎ সম্ভাব্যতায় নির্ধারিত হয়, ডিরাক সমীকরণ অতিরিক্তভাবে স্পিন–কক্ষপথ মিথস্ক্রিয়া, ইলেকট্রনের জাইরোম্যাগনেটিক অনুপাত, এবং ডারউইন পদ প্রদান করে। সাধারণ কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে এই পদগুলো হাতে করে সংযোজন করতে হয় ও বিক্ষিপ্ত তত্ত্বের সাহায্যে ব্যবহার করতে হয়। তবে ডিরাক সমীকরণ দ্বারা এই পদগুলো স্বয়ংক্রিয়ভাবে আসে এবং সূক্ষ্ম গঠন ব্যাখ্যা করতে সক্ষম হয়।

আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, যদি কণিকা ভরহীন হয়, তাহলে ডিরাক সমীকরণ সরলীকৃত হয়:

এই সমীকরণগুলোর প্রথমটি হল ওয়াইল সমীকরণ, যা ভরহীন নিউট্রিনোদের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য একটি উল্লেখযোগ্য সরলীকরণ।. এখানে শক্তি অপারেটরের আগে একটি 2×2 পরিচয় ম্যাট্রিক্স গুণিত থাকলেও তা সাধারণত লেখা হয় না। RQM-এ এটি  বলে ধরা হয়, যা শক্তি অপারেটরের (সময় ডেরিভেটিভ) সঙ্গে যুক্ত হয়, ঠিক যেমন অন্য তিনটি পাউলি ম্যাট্রিক্স ভরবেগ অপারেটরের (স্থানীয় ডেরিভেটিভ) সঙ্গে যুক্ত হয়।

পাউলি ও গামা ম্যাট্রিক্সগুলো প্রথম তৈরি হয় এই তাত্ত্বিক পদার্থবিদ্যার প্রেক্ষিতে, বিশুদ্ধ গণিত নয়। এগুলোর প্রয়োগ রয়েছে কোয়াটারনিয়ন, SO(2) ও SO(3) লাই গোষ্ঠীয়, কারণ তারা নিম্নোক্ত গুরুত্বপূর্ণ কমিউটেটর ও অ্যান্টিকমিউটেটর সম্পর্ক মেনে চলে:

এখানে  হল ত্রিমাত্রিক লেভি-চিভিতা প্রতীক। গামা ম্যাট্রিক্সগুলো ক্লিফোর্ড বীজগণিতের ভিত্তি গঠন করে এবং মিঙ্কোস্কি ম্যাট্রিকের উপাদান -এর সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত অ্যান্টিকমিউটেটর দ্বারা:

(এই সম্পর্কটি বক্র স্থানকাল পর্যন্ত সম্প্রসারিত করা যায় কার্তান রূপবিন্যাস ব্যবহার করে, তবে এটি বিশেষ আপেক্ষিকতার আলোচনার বাইরে।)

১৯২৯ সালে আবিষ্কৃত ব্রাইট সমীকরণ ছিল একাধিক তড়িৎচৌম্বকীয়ভাবে মিথস্ক্রিয়কারী ভরযুক্ত স্পিন  ফার্মিয়নের জন্য প্রথম আপেক্ষিকতামূলক আনুমানিক সমাধান; এটি ছিল আপেক্ষিকতামূলক বহু-কণিকা সিস্টেম বর্ণনার প্রথম প্রচেষ্টা। তবে এটি এখনো কেবলমাত্র একটি আনুমানিক সমাধান, এবং এর হ্যামিলটোনিয়ানে বহু দীর্ঘ ও জটিল পদ রয়েছে।

হেলিসিটি ও কাইরালিটি

হেলিসিটি অপারেটর সংজ্ঞায়িত হয় নিচেরভাবে:

এখানে p হল ভরবেগ অপারেটর, S হল স্পিন অপারেটর (স্পিন s কণিকার জন্য), E হল কণিকার মোট শক্তি এবং m0 হল তার স্থিতিশক্তিমত্তা। হেলিসিটি নির্দেশ করে কণিকার স্পিন ভেক্টর ও গতিশীল ভরবেগ ভেক্টরের আপেক্ষিক অবস্থান। যেহেতু সংজ্ঞার মধ্যে ৩-ভরবেগ রয়েছে, তাই হেলিসিটি কাঠামো-নির্ভর (frame-dependent)। এটি স্পিন কোয়ান্টাইজেশনের ফলে পরিমাণায়িত (quantized), এবং সমান্তরাল সংযুক্তির জন্য ধনাত্মক মান ও বিপরীতমুখী সংযুক্তির জন্য ঋণাত্মক মান নেয়।

ডিরাক সমীকরণ (এবং ওয়াইল সমীকরণ)-এ হেলিসিটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে উপস্থিত হয়, যেখানে স্পিন  অপারেটরের ৩-ভরবেগে প্রক্ষেপণ (times c), , হল হেলিসিটি (স্পিন  ক্ষেত্রে) গুণিত  দ্বারা।

ভরহীন কণিকার ক্ষেত্রে, হেলিসিটি সরলীকৃত হয়:

উচ্চতর স্পিন
ডিরাক সমীকরণ কেবলমাত্র স্পিন  কণিকাকে বর্ণনা করতে পারে। ডিরাক সমীকরণের বাইরে, আপেক্ষিকতামূলক তরঙ্গ সমীকরণ (RWE) বিভিন্ন স্পিনের নিঃক কণিকাদের জন্য প্রয়োগ করা হয়েছে। ১৯৩৬ সালে ডিরাক তার সমীকরণকে সকল ফার্মিয়নের জন্য প্রসারিত করেন, এবং তিন বছর পর ফির্ৎস ও পাউলি সেটি পুনঃউপস্থাপন করেন। ১৯৪৮ সালে লোরেন্‌জ গোষ্ঠী তত্ত্ব ব্যবহার করে বার্গমান–উইগনার সমীকরণ আবিষ্কৃত হয়, যা যেকোনো স্পিনের নিঃক কণিকার জন্য প্রযোজ্য। পূর্বে বর্ণিত ক্লেইন–গর্ডন সমীকরণের ফ্যাক্টরাইজেশন এবং আরও সুসংহতভাবে লোরেন্‌জ গোষ্ঠী বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখা যায়, স্পিন ম্যাট্রিক্স আকারে অন্তর্ভুক্ত করা যৌক্তিক।

এই তরঙ্গফাংশনগুলো বহু-উপাদানবিশিষ্ট স্পিনর ক্ষেত্র, যা স্থান ও সময়ের ফাংশনগুলোর একটি কলাম ভেক্টর আকারে উপস্থাপন করা যায়:

ডানদিকের রূপটি হল হার্মিশিয়ান সহগামী। একটি ভরযুক্ত স্পিন s কণিকার জন্য টি উপাদান থাকে, এবং তার বিরোধী কণিকার জন্যও টি উপাদান থাকে (প্রতিটি ক্ষেত্রেই -এর টি মান)। মোট -উপাদানবিশিষ্ট স্পিনর ক্ষেত্র গঠিত হয়:

এখানে + সাবস্ক্রিপ্টটি কণিকাকে, এবং − সাবস্ক্রিপ্টটি বিরোধী কণিকাকে নির্দেশ করে। তবে, ভরহীন স্পিন s কণিকার জন্য কেবল দুটি উপাদানবিশিষ্ট স্পিনর ক্ষেত্র থাকে; একটি হল কণিকার জন্য +s হেলিসিটি অবস্থায়, অপরটি বিরোধী কণিকার জন্য –s হেলিসিটি অবস্থায়:

আপেক্ষিকতামূলক শক্তি–ভরবেগ সম্পর্ক অনুসারে, সকল ভরহীন কণিকা আলোর বেগে চলে, তাই এইসব কণিকা দুই-উপাদানবিশিষ্ট স্পিনর দ্বারা বর্ণিত হয়। ঐতিহাসিকভাবে, এলি কার্তান ১৯১৩ সালে স্পিনরর সবচেয়ে সাধারণ রূপ আবিষ্কার করেন, যা ১৯২৭ সালের পর RWE-তে প্রকাশিত স্পিনরের পূর্বসূরি।

উচ্চতর স্পিনের কণিকার সমীকরণে মিথস্ক্রিয়া অন্তর্ভুক্তকরণ ন্যূনতম সংযোজন এর মতো সহজ নয়; বরং এতে ভুল পূর্বাভাস এবং আত্ম-বিরোধ দেখা দিতে পারে। স্পিন -এর চেয়ে বেশি হলে, কণিকার ভর, স্পিন ও তড়িৎ আধান দ্বারা RWE নির্ধারিত হয় না; বরং তড়িৎচৌম্বকীয় মুহূর্ত (যেমন তড়িৎ দ্বিমেরু মুহূর্ত, চৌম্বক দ্বিমেরু মুহূর্ত) স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা অনুসারে যেকোনো মান নিতে পারে। (তাত্ত্বিকভাবে চৌম্বক আধানও প্রভাব ফেলতে পারে)। উদাহরণস্বরূপ, স্পিন  কণিকা কেবল চৌম্বক দ্বিমেরু মুহূর্ত রাখে, কিন্তু স্পিন ১ কণিকার জন্য চৌম্বক চতুর্মেরু এবং তড়িৎ দ্বিমেরু মুহূর্তও সম্ভব। এ বিষয়ে আরও জানতে দেখুন: বহুমেরু সম্প্রসারণ এবং Cédric Lorcé (২০০৯)।

বেগ অপারেটর

শ্রডিঙ্গার ও পাউলি তত্ত্বে একটি ভরযুক্ত কণিকার জন্য বেগ অপারেটর সংজ্ঞায়িত করা যায় ধ্রুপদী সংজ্ঞা  অনুসারে, যেখানে সাধারণ কোয়ান্টাম পদ্ধতিতে অপারেটর প্রতিস্থাপন করা হয়:

এই অপারেটরের মান যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে। কিন্তু আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, বিশেষ করে ডিরাক তত্ত্বে, বেগ অপারেটর হয়:

এবং এর নির্ণায়ক মান (eigenvalue) হতে পারে ±c-এর মধ্যে। বিশদ তাত্ত্বিক পটভূমির জন্য দেখুন: ফোল্ডি–ওউথুইসেন রূপান্তর।

আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম লাগরাঞ্জিয়ান

শ্রডিঙ্গার রূপে হ্যামিলটোনিয়ান অপারেটর ব্যবহার করে তরঙ্গফাংশন -এর জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ গঠনের একটি পদ্ধতি রয়েছে। এর একটি সমতুল্য বিকল্প হল লাগরাঞ্জিয়ান (আসলে লাগরাঞ্জিয়ান ঘনত্ব) নির্ধারণ করে ক্ষেত্র তাত্ত্বিক ঐলার–লাগরাঞ্জ সমীকরণ থেকে সমীকরণটি নির্ণয় করা:

কিছু আপেক্ষিকতামূলক তরঙ্গ সমীকরণের (RWE) জন্য লাগরাঞ্জিয়ান সরাসরি দেখেই নির্ধারণ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, ডিরাক লাগরাঞ্জিয়ান হল:

এবং ক্লেইন–গর্ডন লাগরাঞ্জিয়ান হল:

তবে সব ধরনের RWE-র জন্য লাগরাঞ্জিয়ান গঠন করা যায় না; এ কারণেই লোরেন্‌জ গোষ্ঠী ভিত্তিক পদ্ধতি গুরুত্বপূর্ণ ও আকর্ষণীয়। স্থান ও সময়ে মৌলিক সমবিকরণতা (invariance) ও সমরূপতা (symmetry) ব্যবহার করে উপযুক্ত গোষ্ঠীর উপস্থাপনা থেকে RWE ব্যখ্যা করা সম্ভব।

লাগরাঞ্জিয়ান পদ্ধতি ও তরঙ্গফাংশন -এর ক্ষেত্র ব্যাখ্যার বিষয়টি কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব (QFT)-এর অন্তর্গত, RQM নয়। ফাইনম্যানের পথ সংহাকরণ প্রণালী হ্যামিলটোনিয়ান নয়, বরং সমবিক লাগরাঞ্জিয়ান ব্যবহার করে, কারণ জটিল মিথস্ক্রিয়ার ক্ষেত্রে হ্যামিলটোনিয়ান অত্যন্ত জটিল হয়ে উঠতে পারে। উদাহরণস্বরূপ দেখুন: Weinberg (1995)।

আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম কৌণিক ভরবেগ

অ-আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে কৌণিক ভরবেগ অপারেটর গঠিত হয় ধ্রুপদী ছদ্মভেক্টর সংজ্ঞা  থেকে। আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, কণিকার চতুর্মাত্রিক অবস্থান ও ভরবেগ থেকে সংজ্ঞায়িত আপেক্ষিকতামূলক কৌণিক ভরবেগ টেনসরের উপাদানগুলিতে সরাসরি অবস্থান ও ভরবেগ অপারেটর বসিয়ে দেওয়া হয়, যা বাইভেক্টর হিসেবেও দেখা যায় বহির্গুনন বীজগণিতের ভাষায়:কিছু লেখক, যেমন পেনরোজ, এই সংজ্ঞায় 'ল্যাটিন' অক্ষর ব্যবহার করেন, যদিও স্থানকালের ভেক্টর ও টেনসরের জন্য প্রচলিতভাবে গ্রীক সূচক ব্যবহৃত হয়।

এই টেনসরের ছয়টি উপাদান রয়েছে: এর মধ্যে তিনটি অ-আপেক্ষিকতামূলক ৩-মাত্রিক কৌণিক ভরবেগ (যেমন , , ), এবং বাকি তিনটি , ,  হল ঘূর্ণায়মান বস্তুর ভরকেন্দ্রের বুস্ট। স্পিনযুক্ত কণিকার জন্য একটি অতিরিক্ত আপেক্ষিকতামূলক-কোয়ান্টাম পদ যোগ করতে হয়। একটি স্থিতিশক্তিমত্তা  বিশিষ্ট কণিকার জন্য মোট কৌণিক ভরবেগ টেনসর:

এখানে  নির্দেশ করে হজ দ্বৈত, এবং

হল পাউলি–লুবানস্কি ছদ্মভেক্টর। আপেক্ষিকতামূলক স্পিন বিষয়ে আরও জানতে দেখুন Troshin & Tyurin (1994)।

থমাস পূর্বগমন ও স্পিন–কক্ষপথ মিথস্ক্রিয়া

১৯২৬ সালে থমাস পূর্বগমন (Thomas precession) আবিষ্কৃত হয়: এটি হল মৌলিক কণিকার স্পিনের আপেক্ষিকতামূলক সংশোধন, যা পরমাণুর স্পিন–কক্ষপথ মিথস্ক্রিয়া এবং বৃহৎ বস্তুর ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। ১৯৩৯ সালে উইগনার এটি তাত্ত্বিকভাবে ব্যখ্যা করেন।

ধ্রুপদী তড়িৎচুম্বকত্ব ও আপেক্ষিকতায়, যদি একটি ইলেকট্রন কোনও তড়িৎক্ষেত্র  দিয়ে কিন্তু চৌম্বকক্ষেত্র  ছাড়া বেগ  সহকারে চলে, তবে ইলেকট্রনের নিজস্ব কাঠামোতে লোরেন্‌জ রূপান্তর অনুসারে একটি কার্যকর চৌম্বকক্ষেত্র  অনুভব করে:

অ-আপেক্ষিকতামূলক সীমায় :

ফলে স্পিন সংযুক্ত হ্যামিলটোনিয়ান অপারেটর হয়:

এখানে প্রথম পদটি অ-আপেক্ষিকতামূলক চৌম্বক মুহূর্ত মিথস্ক্রিয়া, এবং দ্বিতীয় পদটি আপেক্ষিকতামূলক সংশোধন  ক্রমে। তবে এই সংশোধন পরমাণু বর্ণালীর পরীক্ষামূলক ফলাফলের সঙ্গে  গুণকের পার্থক্য দেখায়।

এটি থমাস দেখান যে একটি দ্বিতীয় আপেক্ষিকতামূলক প্রভাবও কাজ করে: ইলেকট্রনের বেগের প্রতি লম্বভাবে উপস্থিত তড়িৎক্ষেত্র ইলেকট্রনে অতিরিক্ত অভিকর্ষ তৈরি করে, ফলে ইলেকট্রনের গতিপথ বাঁকানো হয় এবং সে একটি ঘূর্ণমান কাঠামোতে চলে। এই অতিরিক্ত ঘূর্ণনকেই বলা হয় থমাস পূর্বগমন।

এই প্রভাবে দেখা যায় যে স্পিন–কক্ষপথ মিথস্ক্রিয়া অর্ধেক হয়ে যায়, অর্থাৎ ইলেকট্রন একটি কার্যকর চৌম্বকক্ষেত্র অনুভব করে যার মান প্রকৃত মানের অর্ধেক। সংশোধিত হ্যামিলটোনিয়ান হয়:

আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, এই  গুণকটি ডিরাক সমীকরণে থেকে পূর্বাভাসিত হয়।

ইতিহাস

যেসব ঘটনা আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের (RQM) জন্ম দেয় এবং এর পরবর্তী বিকাশ যেমন কোয়ান্টাম ইলেক্ট্রোডাইনামিক্সে (QED) রূপান্তর ঘটে, তার সারাংশ নিচে তুলে ধরা হয়েছে [দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, R. Resnick এবং R. Eisberg (1985), এবং P.W Atkins (1974)]।

১৮৯০-এর দশক থেকে ১৯৫০-এর দশক পর্যন্ত অর্ধ-শতাব্দীরও বেশি সময়জুড়ে তাত্ত্বিক ও পরীক্ষামূলক গবেষণা চলার ফলে নতুন ও রহস্যময় কোয়ান্টাম তত্ত্বে একাধিক এমন ঘটনা প্রকাশ পায় যেগুলোর ব্যাখ্যা শুধুমাত্র কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে সম্ভব নয়। ২০শ শতকের সূচনায় আবিষ্কৃত বিশেষ আপেক্ষিকতা (SR) RQM গঠনে একটি আবশ্যকীয় উপাদানে পরিণত হয়। RQM-এর পূর্বাভাস ও পরীক্ষাগুলি মূলত পরমাণু বলবিজ্ঞান, নিউক্লিয়ার পদার্থবিজ্ঞান ও কণিকা পদার্থবিজ্ঞান-এ কেন্দ্রীভূত ছিল, যেখানে স্পেক্ট্রোস্কপি, বিক্ষিপ্তকরণ ও ডিফ্র্যাকশন-এর মাধ্যমে কণিকার গঠন বিশ্লেষণ করা হত। অনেক প্রভাবের পেছনে স্পিন একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

কোয়ান্টাম ঘটনার আপেক্ষিকতামূলক বর্ণনা
 ১৯০৫ সালে আলবার্ট আইনস্টাইন আলোকতড়িৎ প্রভাবের ব্যাখ্যা দেন; আলোকে কণিকা হিসেবে ফোটন রূপে বিবেচনা করা হয়।
 ১৯১৬ সালে সোমারফেল্ড সূক্ষ্ম গঠন ব্যাখ্যা করেন; এটি হল পরমাণুর স্পেকট্রাল রেখা বিভাজন, যা আপেক্ষিকতামূলক সংশোধনের কারণে ঘটে।
 ১৯২৩ সালে কম্পটন প্রভাব প্রমাণ করে যে ফোটন-ইলেকট্রন বিক্ষিপ্তকরণে বিশেষ আপেক্ষিকতা প্রযোজ্য।
 দ্য ব্রয় তরঙ্গ–কণিকা দ্বৈততাকে পদার্থে প্রসারিত করেন; তার দ্য ব্রয় সমীকরণ বিশেষ আপেক্ষিকতা ও কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
 ১৯২৭ সালে ক্লিনটন ড্যাভিসন ও লেসটার গার্মার, এবং পৃথকভাবে জর্জ পেজেট থমসন ইলেকট্রনের ডিফ্র্যাকশন প্রদর্শন করেন, যা তরঙ্গ–কণিকা দ্বৈততার পরীক্ষামূলক প্রমাণ।

পরীক্ষা
 ১৮৯৭: জে. জে. থমসন ইলেকট্রন আবিষ্কার করেন এবং তার ভর-আধান অনুপাত নির্ণয় করেন। একই সময়ে জিম্যান প্রভাব আবিষ্কৃত হয়: স্থির চৌম্বকক্ষেত্রে স্পেকট্রাল রেখার বিভাজন।
 ১৯০৮: মিলিকান তৈল ফোঁটা পরীক্ষায় ইলেকট্রনের আধান নির্ণয় করেন এবং তা পরিমাণায়িত (quantized) বলে প্রমাণ করেন।
 ১৯১১: আলফা কণিকা বিক্ষিপ্তকরণ গাইজার–মার্সডেন পরীক্ষা (রাদারফোর্ডের তত্ত্বানুসারে) পরমাণুর অভ্যন্তরীণ গঠন—নিউক্লিয়াস—প্রমাণ করে।
 ১৯১৩: স্টার্ক প্রভাব আবিষ্কৃত হয়—স্থির তড়িৎক্ষেত্রে স্পেকট্রাল রেখা বিভাজন।
 ১৯২২: স্টার্ন–গার্লাখ পরীক্ষা স্পিন ও তার পরিমাণায়নের পরীক্ষামূলক প্রমাণ প্রদান করে।
 ১৯২৪: স্টোনার চৌম্বকক্ষেত্রে শক্তিস্তর বিভাজন নিয়ে গবেষণা করেন।
 ১৯৩২: চ্যাডউইক নিউট্রন আবিষ্কার করেন এবং কার্ল ডেভিড অ্যান্ডারসন পজিট্রন আবিষ্কার করেন—ডিরাকের পূর্বাভাসকে নিশ্চিত করেন।
 ১৯৫৮: মেসবাওয়ার প্রভাব আবিষ্কৃত হয়—গামা রশ্মির প্রতিধ্বনি ও প্রতিপ্রক্ষেপণ পরমাণুর নিউক্লিয়াস দ্বারা, যা মহাকর্ষীয় লালচিত্র, সময় সম্প্রসারণ এবং হাইপারফাইন মিথস্ক্রিয়ার বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ।

কোয়ান্টাম নন-লোকালিটি ও আপেক্ষিকতামূলক লোকালিটি
১৯৩৫ সালে আইনস্টাইন, নাথান রোজেন ও বোরিস পডলস্কি একটি প্রবন্ধ প্রকাশ করেন, যেখানে তারা কণিকার কোয়ান্টাম জড়িতাবস্থা নিয়ে নন-লোকালিটি এবং আপাতদৃষ্টিতে কার্যকারণ লঙ্ঘনের প্রশ্ন তোলেন। দেখা যায়, কণিকাগুলি যেকোনো দূরত্বে তাৎক্ষণিকভাবে পরস্পরের সাথে প্রভাবিত হয়। তবে এটি একটি ভুল ধারণা ছিল, কারণ জড়িতাবস্থায় তথ্য স্থানান্তর ঘটে না; বরং পরিমাপের মাধ্যমে দুই পর্যবেক্ষকের মধ্যে যোগাযোগ স্থাপন করতে হয়, যা আলোর বেগ অতিক্রম করতে পারে না। ফলে কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান বিশেষ আপেক্ষিকতাকে লঙ্ঘন করে না। অধ্যায় ২৩: জড়িত কোয়ান্টাম বিশ্ব

১৯৫৯ সালে ডেভিড বোম ও ইয়াকির আহারোনভ আহারোনভ–বোম প্রভাব নিয়ে একটি প্রবন্ধ প্রকাশ করেন, যেখানে তারা কোয়ান্টাম তত্ত্বে তড়িৎচৌম্বক সম্ভাব্যতার গুরুত্ব নিয়ে প্রশ্ন তোলেন। ক্ষেত্র টেনসর ও ৪-সম্ভাব্যতা উভয়ই আপেক্ষিকতায় প্রযোজ্য, কিন্তু কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে সম্ভাব্যতাগুলো সরাসরি হ্যামিলটোনিয়ানে প্রবেশ করে এবং এমনকি সেই সব অঞ্চলেও কণিকার গতিপথ প্রভাবিত করে, যেখানে ক্ষেত্রের মান শূন্য।

১৯৬৪ সালে বেলের উপপাদ্য প্রকাশিত হয় EPR প্যারাডক্স বিষয়ক একটি প্রবন্ধে, যেখানে তিনি দেখান যে, যদি স্থানীয়তা বজায় রাখা হয় তবে স্থানীয় লুকায়িত চলরাশি তত্ত্ব থেকে কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান ব্যখ্যা করা সম্ভব নয়।

ল্যাম্ব শিফট

১৯৪৭ সালে ল্যাম্ব শিফট আবিষ্কৃত হয়: হাইড্রোজেন পরমাণুর 2S ও 2P শক্তিস্তরের মধ্যে ক্ষুদ্র পার্থক্য, যা ইলেকট্রন ও শূন্যস্থ মৌলিক অবস্থার (vacuum) মধ্যে মিথস্ক্রিয়ার ফলে ঘটে। ল্যাম্ব ও রেথারফোর্ড এই শক্তিস্তরের মধ্যে রেডিও-তরঙ্গ উত্তেজনার মাধ্যমে স্থানান্তর পরীক্ষামূলকভাবে পরিমাপ করেন। হান্স বেটে ল্যাম্ব শিফটের একটি তাত্ত্বিক ব্যাখ্যা প্রদান করেন। ১৯৫০-এর দশকে বিষয়টির উপর একাধিক গবেষণাপত্র প্রকাশিত হয়।

কোয়ান্টাম ইলেক্ট্রোডাইনামিক্সের বিকাশ
 ১৯২৭: ডিরাক QED ক্ষেত্রটি প্রতিষ্ঠা করেন এবং "quantum electrodynamics" শব্দটি প্রবর্তন করেন।
 ১৯৪৩: সিন-ইচিরো তোমনাগা পুনঃনিয়মায়ন (renormalization) নিয়ে কাজ শুরু করেন, যা QED-তে গুরুত্বপূর্ণ প্রভাব ফেলে।
 ১৯৪৭: শ্‌উইনগার ইলেকট্রনের অসামঞ্জস্যপূর্ণ চৌম্বক দ্বিমেরু মুহূর্ত (anomalous magnetic moment) গণনা করেন এবং কুশ তা পরীক্ষামূলকভাবে নিশ্চিত করেন—QED-এর অন্যতম বড় সফলতা।

আরও দেখুন

পরমাণু বলবিজ্ঞান ও রসায়ন
 আপেক্ষিকতামূলক কোয়ান্টাম রসায়ন
 ব্রাইট সমীকরণ
 ইলেকট্রন স্পিন রেজোন্যান্স
 সূক্ষ্ম গঠন ধ্রুবক

গাণিতিক বলবিজ্ঞান
 কোয়ান্টাম স্থানকাল
 স্পিন সংযোগ
 স্পিনর বান্ডিল
 ডিরাক সমীকরণ (ভৌত স্থানের বীজগণিত)
 কাসিমির অপরিবর্তক
 কাসিমির অপারেটর
 উইগনার ডি-ম্যাট্রিক্স

কণিকা বলবিজ্ঞান ও কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব
 জিটারবেভেগুন্‌গ
 দ্বি-কণিকা ডিরাক সমীকরণ
 আপেক্ষিকতামূলক হেভি আয়ন কোলাইডার
 সমমিতা (পদার্থবিজ্ঞান)
 প্যারিটি (পদার্থবিজ্ঞান)
 CPT অক্ষুন্নতা
 চিরালতা (পদার্থবিজ্ঞান)
 স্ট্যান্ডার্ড মডেল
 গেজ তত্ত্ব
 ট্যাকিয়ন
 লোরেন্‌জ লঙ্ঘনের আধুনিক অনুসন্ধান

পাদটীকা

তথ্যসূত্র

অতিরিক্ত পাঠ্যসূচি

রিলেটিভিস্টিক কোয়ান্টাম বলবিদ্যা ও ক্ষেত্র তত্ত্ব

















কোয়ান্টাম তত্ত্ব ও সাধারণ প্রয়োগ
















বহিঃসংযোগ








বিষয়শ্রেণী:আপেক্ষিকতা তত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:পারমাণবিক পদার্থবিজ্ঞান
বিষয়শ্রেণী:কণা পদার্থবিজ্ঞান
বিষয়শ্রেণী:তড়িৎচুম্বকত্ব
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান
বিষয়শ্রেণী:কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান