গুরমাঘটিগ অনুমান

গণিতে, গুরমাঘটিগ অনুমান (:En: Goormaghtigh Conjecture) হল সংখ্যা তত্ত্বের একটি অনুমান যা বেলজিয়ান গণিতবিদ রেনে গুরমাঘটিগের নামে নামকরণ করা হয়েছে। অনুমানটি বলে যে, 
  সূচকীয় ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণটির কেবল মাত্র দুটি পূর্ণসংখ্যা সমাধান রয়েছে, যেখানে  এবং  । যথা:



এবং



 রিপিউনিটের প্রয়োগ 

গুরমাঘটিগ অনুমানকে আরেকভাবে ব্যাখ্যা করা যায়: ৩১ (বেস ৫-এ "১১১" এবং বেস ২-এ "১১১১১") এবং ৮১৯১ (বেস ৯০-এ "১১১" এবং বেস ২-এ "১১১১১১১১১১১১১") হল একমাত্র দুটি সংখ্যা, যেগুলো দুইটি ভিন্ন বেসে অন্তত ৩ অঙ্কবিশিষ্ট রিপিউনিট (Repunit) হিসেবে বিদ্যমান।

 ব্যাখ্যা 
রিপিউনিট বলতে বোঝায় এমন সংখ্যা যা কোনো নির্দিষ্ট বেসে কেবলমাত্র ১ দ্বারা গঠিত হয়। যেমন, বেস ১০-এ "১১১" হলো:

 উদাহরণ 

৩১
 বেস ৫:

 বেস ২:

৮১৯১
 বেস ৯০:

 বেস ২:

আংশিক ফলাফল 

 ডেভেনপোর্ট, লুইস ও শিনজেল (১৯৬১):  
নির্দিষ্ট সূচক  ও -এর জন্য সমীকরণটির সীমিত সংখ্যক সমাধান রয়েছে। তবে তাদের প্রমাণ "সিগেলের সসীমতা তত্ত্ব"-এর উপর নির্ভরশীল, যা কার্যকরভাবে গণনা করা যায় না।

 নেস্টেরেঙ্কো ও শোরি (১৯৯৮):  
যদি  ও  হয় (যেখানে ), তবে -এর মান  ও -এর উপর নির্ভর করে একটি গণনাযোগ্য সীমার মধ্যে আবদ্ধ।

 ইউয়ান (২০০৫):  
 এবং বিজোড় -এর ক্ষেত্রে, পূর্বে আবিষ্কৃত দুটি সমাধান ছাড়া অন্য কোনো সমাধান নেই।

 বালাসুব্রামানিয়ান ও শোরি (১৯৮০):  
 ও -এর মৌলিক উৎপাদকগুলো যদি একটি সসীম সেটে থাকে, তবে সমাধানের সংখ্যাও সসীম এবং সেগুলো কার্যকরভাবে গণনা করা যায়।

 হে ও টোগবে (২০০৮):  
নির্দিষ্ট  ও -এর জন্য সর্বাধিক একটি সমাধান থাকতে পারে। আর  যদি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা বা ২-এর ঘাত হয়, তবে সর্বাধিক ৩টি সমাধান সম্ভব।

 সমাধানের সংখ্যার সীমা:  
 যদি ২-এর ঘাত হয় (যেমন ), তবে  ব্যতীত সর্বাধিক একটি সমাধান থাকতে পারে। প্রকৃতপক্ষে  এবং ।

তথ্যসূত্র
 Goormaghtigh, Rene. L’Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88









বিষয়শ্রেণী:Diophantine equations
বিষয়শ্রেণী:Conjectures
বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্বের অমীমাংসিত সমস্যা