শেষ সম্প্রসারণ

মডেল তত্ত্ব এবং সেট তত্ত্ব, গণিতের দুটি শাখা, এই ধারণাগুলির মধ্যে শেষ সম্প্রসারণ একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। যদি কোনো মডেল   সেট তত্ত্বের কোনো স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম -এর ভাষায় মডেল  -এর শেষ সম্প্রসারণ হয়, তাহলে প্রতীকীভাবে একে   হিসাবে প্রকাশ করা হয়। এটি তখনই প্রযোজ্য হবে যখন:

 , -এর একটি অবকাঠামো হয়। (অর্থাৎ,  এবং  )​, এবং
 মডেল , -এর উপাদানগুলির কোনো নতুন সম্পর্ক তৈরি না করে। অর্থাৎ, যদি  এবং  হয়, তবে অবশ্যই  হতে হবে।H. J. Keisler, J. H. Silver, "End Extensions of Models of Set Theory", p.177. In Axiomatic Set Theory, Part 1 (1971), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Dana Scott, editor.

উপরোক্ত দ্বিতীয় শর্তটি সমতুল্যভাবে নিম্নরূপে লেখা যায়:সবক্ষেত্রে  .

উদাহরণস্বরূপ,  এবং  উভয়ই ট্রানজিটিভ সেট হয় এবং  হয়, তবে   হলো -এর একটি শেষ সম্প্রসারণ।

শীর্ষ সম্প্রসারণ (যাকে র‌্যাঙ্ক সম্প্রসারণও বলা হয়) হল একটি সম্পর্কিত ধারণা। একটি মডেল  তখনই -এর শীর্ষ সম্প্রসারণ হবে, যদি  হয় (অর্থাৎ,  হল -এর শেষ সম্প্রসারণ), এবং  এবং  হলে, আমাদের আছে  হবে, যেখানে  একটি সেটের ক্রম নির্দেশ করে।

 অস্তিত্ব 
কেইসলার এবং মর্লে প্রমাণ করেছিলেন যে ZF (জার্মেলো-ফ্রাঙ্কেল সেট তত্ত্ব)-এর প্রতিটি গণনাযোগ্য মডেলের একটি শেষ সম্প্রসারণ রয়েছে, যা একইসঙ্গে একটি প্রাথমিক সম্প্রসারণ।  যদি প্রাথমিকতার শর্তটি কিছুটা শিথিল করে শুধুমাত্র লেভি শ্রেণিবিন্যাস-এর Σn​-সূত্রগুলোর জন্য প্রযোজ্য করা হয়, তবে Σn​-সংগ্রহ যেখানে প্রযোজ্য, এমন প্রতিটি গণনাযোগ্য গঠন একটি Σn​-প্রাথমিক শেষ সম্প্রসারণ ধারণ করতে পারে।

এই Σn​-সংগ্রহ লেভি শ্রেণিবিন্যাসের একটি নির্দিষ্ট স্তরে প্রযোজ্য সূত্রগুলোর জন্য গঠনকে নির্দেশ করে। এর ফলে, ধারণাটি মডেল তত্ত্বে এবং সেট তত্ত্বে গঠনের সম্প্রসারণ নিয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিশ্লেষণ প্রদান করে।

 তথ্যসূত্র 

বিষয়শ্রেণী:সেট তত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক যুক্তিবিজ্ঞান