কান্টরের কূটাভাস

সেট তত্ত্বে, কান্টরের কূটাভাস বিবৃত করে যে সমস্ত কার্ডিনালিটির কোন সেট নেই। 'কোন বৃহত্তম অঙ্কবাচক সংখ্যা নেই' এই উপপাদ্য থেকে এই কূটাভাসটি উদ্ভূত। অপরিপাট্য ভাষায়, কূটাভাসটি হলো যে সমস্ত সম্ভাব্য "অসীম আকারের" সংগ্রহ কেবলমাত্র মাত্র অসীম নয়, বরং এতটাই অসীম বড় যে এর নিজস্ব অসীম আকার সেই সংগ্রহে থাকা অসীম আকারগুলির কোনওটির সাথেই মেলে না।

এই সমস্যাটি স্বতঃসিদ্ধ সেট তত্ত্বে সমাধান করা হয় এই ঘোষণা করে যে এই সংগ্রহটি একটি সেট নয় বরং একটি যথাযথ শ্রেণী; ফন নিউম্যান-বার্নাইস-গোডেল সেট তত্ত্বে এটি এবং আকারের সীমাবদ্ধতার স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করে যে এই যথাযথ শ্রেণীটি সমস্ত সেটের শ্রেণীর সাথে bijection সম্পর্কিত হতে হবে।
সুতরাং, শুধুমাত্র অসীম সংখ্যক অসীমতাই নেই, বরং এই অসীমতা এত বড় যে এটি যে অসীমতাগুলিকে গণনা করে, সেই সবকটির চেয়ে বড়।

এই কূটাভাসটি গেয়র্গ কান্টরের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি ১৮৯৯ সালে (বা ১৮৯৫ এবং ১৮৯৭ এর মধ্যে) প্রথম এটি সনাক্ত করার কৃতিত্ব পান। অন্য অনেক "কূটাভাস" এর মতো এটি আসলে পরস্পর বিরোধী নয় তবে একটি ভুল অন্তর্দৃষ্টির ইঙ্গিত মাত্র, এই ক্ষেত্রে অসীমতার প্রকৃতি এবং একটি সেটের ধারণা সম্পর্কে। অন্যভাবে বলা যায়, এটি সরল সেট তত্ত্বের সীমার মধ্যে আপাতবিরোধী এবং তাই প্রমাণ করে যে এই তত্ত্বের অসতর্ক স্বতঃসিদ্ধীকরণ অসঙ্গত।

 বিবৃতি এবং প্রমাণ 
কূটাভাসটি ব্যাখ্যা করার জন্য বোঝা প্রয়োজন যে কার্ডিনাল সংখ্যা সম্পূর্ণভাবে সজ্জিত (totally ordered), যাতে একটি সংখ্যা অন্যটির তুলনায় বড় বা ছোট তা বলা যায়।

তারপর Cantor এর কূটাভাসের বিবৃতি হলো :

এই সত্যটি একটি সেটের পাওয়ার সেটের মূলত্বের উপর কান্টরের উপপাদ্যের সরাসরি পরিণতি।কান্টরের উপপাদ্যের আরেকটি ফলাফল হল যে কার্ডিনাল সংখ্যাসমূহ একটি সঠিক শ্রেণী গঠন করে। অর্থাৎ, এগুলিকে একক সেটের উপাদান হিসাবে একসাথে রাখা যায় না।
 আলোচনা এবং ফলাফল 
যেহেতু কার্ডিনাল সংখ্যাসমূহ অর্ডিনাল সংখ্যার সাথে সূচীকরণের মাধ্যমে সু-সজ্জিত (দেখুন কার্ডিনাল নম্বর, আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা ), এই কূটাভাস এও প্রতিষ্ঠিত করে যে কোনও সর্ববৃহৎ অর্ডিন্যাল সংখ্যা নেই; বিপরীতভাবে, পরবর্তী বিবৃতিটি কান্টরের প্যারাডক্সকে বোঝায়। বুরালি-ফর্টি প্যারাডক্সে এই সূচী প্রয়োগ করে আমরা আরেকটি প্রমাণ পাই যে কার্ডিনাল সংখ্যাগুলি একটি সেটের পরিবর্তে একটি সঠিক শ্রেণী, এবং (অন্তত ZFC বা ভন নিউম্যান-বার্নেস-গোডেল সেট তত্ত্বে ) এটি অনুসরণ করে যে সেখানে কার্ডিনালের ক্লাস এবং সমস্ত সেটের ক্লাসের মধ্যে একটি দ্বিখণ্ডন বা bijection। যেহেতু প্রতিটি সেট এই পরবর্তী শ্রেণীর একটি উপসেট, এবং প্রতিটি কার্ডিনালিটি কোনও সেটের কার্ডিনালিটি (সংজ্ঞা অনুযায়ী), স্বাভাবিকভাবে বোঝা যায় যে কার্ডিনালগুলোর সংগ্রহের "কার্ডিনালিটি" কোনও সেটের কার্ডিনালিটির চেয়েও বড়: এটি যেকোনো প্রকৃত অসীমতার চেয়েও বেশি অসীম।

এটিই কান্টরের "প্যারাডক্স" এর প্যারাডক্সিক্যাল প্রকৃতি।

 তথ্যসূত্র 



 বহিঃসংযোগ 

 An Historical Account of Set-Theoretic Antinomies Caused by the Axiom of Abstraction: report by Justin T. Miller, Department of Mathematics, University of Arizona.
 PlanetMath.org: article.

বিষয়শ্রেণী:অঙ্কবাচক সংখ্যা
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক যুক্তিবিজ্ঞান
বিষয়শ্রেণী:গেয়র্গ কান্টর