৯-জে প্রতীক

পদার্থবিজ্ঞানে, ইউজিন পল উইগনার ১৯৩৭ সালে উইগনারের ৯-জে প্রতীকগুলির প্রবর্তন করেন। এগুলি কোয়ান্টাম মেকানিক্সের চারটি কৌণিক মোমেন্টাম জড়িত পুনঃসংযোগ সহগ-এর সাথে সম্পর্কিত:

চার কৌণিক ভরবেগের পুনঃসংযোগ
দুটি কৌণিক ভরবেগ  এবং  এর যুগ্মন হলো  এবং  এর একযোগে আইগেনফাংশন গঠন, যেখানে , যেমন ক্লেবশ-গর্ডান সহগ নিবন্ধে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

তিনটি কৌণিক ভরবেগের যুগ্মন বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে, যেমন রাকাহ ডব্লিউ-গুণাঙ্ক নিবন্ধে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। সেই নিবন্ধের প্রতীক এবং কৌশল ব্যবহার করে, , , , এবং  কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর থেকে উদ্ভূত মোট কৌণিক ভরবেগের অবস্থাগুলিকে এভাবে লেখা যেতে পারে:

বিকল্পভাবে, কেউ প্রথমে  এবং  কে  এর সাথে এবং  এবং  কে  এর সাথে যুক্ত করতে পারে,  এবং  কে  এর সাথে যুক্ত করার আগে:

উভয় ফাংশনের সেটই  মাত্রা বিশিষ্ট স্থানটির জন্য একটি সম্পূর্ণ, অর্থোনরমাল ভিত্তি প্রদান করে।

অতএব, দুটি সেটের মধ্যেকার রূপান্তরটি ঐক্যিক এবং রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি ফাংশনগুলির স্কেলার গুণফল দ্বারা নির্ধারিত হয়।  রাকাহ ডব্লিউ-গুণাঙ্কের ক্ষেত্রে যেমন, এই ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি মোট কৌণিক ভরবেগ অভিক্ষেপ কোয়ান্টাম সংখ্যার উপর নির্ভরশীল নয়।
():

প্রতিসাম্য সম্পর্ক
একটি ৯-জে প্রতীক উভয় তির্যক সম্পর্কে প্রতিবিম্বের অধীনে এবং এর সারি বা স্তম্ভের জোড় বিন্যাসের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে:

সারি বা স্তম্ভের বিজোড় বিন্যাসের ফলে , 
ফেজ ফ্যাক্টর পাওয়া যায়, যেখানে 

উদাহরণস্বরূপ:

৬জে প্রতীকে রূপান্তর
৯-জে প্রতীকগুলিকে ৬-জে প্রতীকের ত্রৈধ গুণফলের উপর যোগফল হিসাবে গণনা করা যেতে পারে, যেখানে যোগফলটি গুণনীয়কগুলিতে ত্রিভুজ শর্ত দ্বারা স্বীকৃত সমস্ত   এর উপর বিস্তৃত:
.

বিশেষ ক্ষেত্র
যখন  হয়, তখন ৯-জে প্রতীকটি একটি ৬-জে প্রতীক-এর সমানুপাতিক হয়:

অর্থোগোনাল সম্পর্ক
৯-জে প্রতীকগুলি এই অর্থোগোনাল সম্পর্কটি পূরণ করে:

ত্রিভুজাকার ডেল্টা } ১ হয় যখন ত্রয়ী 
(j1, j2, j3) ত্রিভুজ শর্ত পূরণ করে, অন্যথায় শূন্য হয়

3n-j প্রতীক
৬-জে প্রতীক হল , -j প্রতীকের প্রথম প্রতিনিধি, যা উইগনারের 3-jm সহগের  গুণফলের যোগফল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যোগফলগুলি  এর সমস্ত সংমিশ্রণের উপরে বিস্তৃত যা -j সহগ স্বীকার করে, অর্থাৎ, যা অ-শূন্য অবদান রাখে।

যদি প্রতিটি 3-jm গুণনীয়ককে একটি শীর্ষবিন্দু দ্বারা এবং প্রতিটি জে কে একটি প্রান্ত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তাহলে এই -j প্রতীকগুলিকে নির্দিষ্ট 3-নিয়মিত গ্রাফ-এ  প্রান্ত এবং  নোড সহ ম্যাপ করা যেতে পারে। 6-j প্রতীকটি ৪টি শীর্ষবিন্দুতে K4 গ্রাফের সাথে, 9-j প্রতীকটি ৬টি শীর্ষবিন্দুতে ইউটিলিটি গ্রাফ (K3,3) এবং 8টি শীর্ষবিন্দুতে Q3 এবং ওয়াগনার গ্রাফ সহ দুটি স্বতন্ত্র (অ-সমরূপী) 12-j চিহ্নের সাথে যুক্ত। 
প্রতিসাম্য সম্পর্কগুলি সাধারণত এই গ্রাফগুলির অটোমরফিজম গ্রুপের বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারিত হয়।

 আরও দেখুন 
 ক্লেবচ–গর্ডান সহগ
 ৩-জে প্রতীক
 রাকাহ ডব্লিউ–সহগ
 ৬-জে প্রতীক

 তথ্যসূত্র 
 * * 






{{cite journal
|first1=H. A.
|last1=Jahn
|first2=J.
|last2=Hope
|title=Symmetry properties of the Wigner 9j symbol
|journal=Physical Review
|year=1954
|volume=93

 বহিঃসংযোগ 
  (Gives answer in exact fractions)
  (Answer as floating point numbers)

  (accurate; C, fortran, python)
  (fast lookup, accurate; C, fortran)

বিষয়শ্রেণী:ঘূর্ণন প্রতিসাম্য
বিষয়শ্রেণী:কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান