হারমোনিক সংখ্যা

গণিতে,  তম হারমোনিক সংখ্যা হলো প্রথম  সংখ্যক  স্বাভাবিক সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি: 

 থেকে শুরু করে হারমোনিক সংখ্যার ক্রম নিম্নরূপ:

হারমোনিক সংখ্যাসমূহ বিপরীত গড়ের সাথে সম্পর্কিত।  -তম হারমোনিক সংখ্যা প্রথম  সংখ্যক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বিপরীত গড়ের গুণাত্মক বিপরীতের  গুণ।

হারমোনিক সংখ্যাগুলো প্রাচীনকাল থেকেই অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং সংখ্যা তত্ত্বের বিভিন্ন শাখায় এর গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার রয়েছে। কখনো কখনো এ সংখ্যাগুলোকে হারমোনিক ধারা বলা হয় যা রিম্যান জেটা ফাংশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। এসব সংখ্যা বিভিন্ন বিশেষ ফাংশনের অভিব্যক্তিতে নানাভাবে উপস্থিত হতে দেখা যায়।

হারমোনিক সংখ্যা মোটামুটিভাবে প্রাকৃতিক লগারিদম ফাংশনের সাথে আনুমানিক  এবং একইভাবে সংশ্লিষ্ট হারমোনিক ধারা সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়, যদিও ধীরে ধীরে। ১৭৩৭ সালে, লিওনার্ড অয়লার মৌলিক সংখ্যার অসীমতার একটি নতুন প্রমাণ প্রদান করতে হারমোনিক ধারার অভিসৃতি ব্যবহার করেছিলেন। ১৮৫৯ সালে বার্নহার্ড রিম্যান তার এই পদ্ধতিটিকে জটিল সমতলে ব্যবহার করেছিলেন। যা সরাসরি মৌলিক সংখ্যার বণ্টন সম্পর্কিত বিখ্যাত রিম্যান হাইপোথিসিসের দিকে নিয়ে যায়।

যখন বৃহৎ পরিমাণ কোনো জিনিসের মান জিফ নীতি অনুযায়ী বন্টিত থাকে, তখন  (সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিস) এর মোট মান  -তম হারমোনিক সংখ্যার সমানুপাতিক হয়। যার মাধ্যমে বিভিন্ন বিস্ময়কর সিদ্ধান্ত উপনীত হওয়া যায় যেমন লম্বা লেজ তত্ত্ব এবং নেটওয়ার্ক মান তত্ত্ব।

বার্ট্র্যান্ড-চেবিশেভ উপপাদ্য অনুসারে  ব্যতীত হারমোনিক সংখ্যা কখনো পূর্ণসংখ্যা হয় না।
+প্রথম ৪০টি হারমোনিক সংখ্যাnহারমোনিক সংখ্যা, Hnভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশদশমিক মানআপেক্ষিক আকার1 1  2 3 /2  3 11 /6  ~4 25 /12  ~5 137 /60  ~6 49 /20  7 363 /140  ~8 761 /280  ~9 7 129 /2 520  ~10 7 381 /2 520  ~11 83 711 /27 720  ~12 86 021 /27 720  ~13 1 145 993 /360 360  ~14 1 171 733 /360 360  ~15 1 195 757 /360 360  ~16 2 436 559 /720 720  ~17 42 142 223 /12 252 240  ~18 14 274 301 /4 084 080  ~19 275 295 799 /77 597 520  ~20 55 835 135 /15 519 504  ~21 18 858 053 /5 173 168  ~22 19 093 197 /5 173 168  ~23 444 316 699 /118 982 864  ~24 1 347 822 955 /356 948 592  ~25 34 052 522 467 /8 923 714 800  ~26 34 395 742 267 /8 923 714 800  ~27 312 536 252 003 /80 313 433 200  ~28 315 404 588 903 /80 313 433 200  ~29 9 227 046 511 387 /2 329 089 562 800  ~30 9 304 682 830 147 /2 329 089 562 800  ~31 290 774 257 297 357 /72 201 776 446 800  ~32 586 061 125 622 639 /144 403 552 893 600  ~33 53 676 090 078 349 /13 127 595 717 600  ~34 54 062 195 834 749 /13 127 595 717 600  ~35 54 437 269 998 109 /13 127 595 717 600  ~36 54 801 925 434 709 /13 127 595 717 600  ~37 2 040 798 836 801 833 /485 721 041 551 200  ~38 2 053 580 969 474 233 /485 721 041 551 200  ~39 2 066 035 355 155 033 /485 721 041 551 200  ~40 2 078 178 381 193 813 /485 721 041 551 200  ~

 হারমোনিক সংখ্যা সম্পর্কিত অভেদক 

সংজ্ঞা অনুসারে, হারমোনিক সংখ্যাগুলি পুনরাবৃত্ত অন্বয়কে সন্তুষ্ট করে- 

হারমোনিক সংখ্যা নিন্মোক্ত সম্পর্কের মাধ্যমে প্রথম ধরণের স্টার্লিং সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত- 

হারমোনিক সংখ্যা নিম্নের ধারাগুলোকেও সন্তুষ্ট করে- এবং এই দুই ধারার ফলাফল সংশ্লিষ্ট সমাকলন ফলাফলের সাথে অত্যন্ত সাদৃশ্যপূর্ণ  এবং 

এখানে বেশ কয়েকটি অসীম ধারার সমষ্টি রয়েছে যেখানে হারমোনিক সংখ্যা এবং  অন্তর্ভুক্ত:

তথ্যসূত্র