বেথ সংজ্ঞায়ন-সক্ষমতা

গাণিতিক যুক্তিতে, বেথ সংজ্ঞায়ন-সক্ষমতা এমন একটি ফলাফল যা একটি সম্পত্তির অন্তর্নিহিত সংজ্ঞাকে তার সুস্পষ্ট সংজ্ঞাযোগ্যতার সাথে সংযুক্ত করে। বিশেষভাবে বেথ ডিফিনেবিলিটি বলে যে ডিফিনিবিলিটির দুটি ইন্দ্রিয় সমতুল্য। গণিতীয় যুক্তিতে, বেথ সংজ্ঞায়ন-সক্ষমতা এমন একটি ধারণা যা কোনো বৈশিষ্ট্যের অপ্রকাশিত সংজ্ঞাকে তার প্রকাশিত সংজ্ঞার সঙ্গে যুক্ত করে। সহজভাবে বলতে গেলে, এটি বলে যে এই দুই ধরনের সংজ্ঞা আসলে সমান।

প্রথম-ক্রম যুক্তি বেথ সংজ্ঞায়ন-সক্ষমতার এই বৈশিষ্ট্যটি ধারণ করে। রয়েছে।

 বিবৃতি 
প্রথম-ক্রম যুক্তির জন্য বেথ সংজ্ঞায়ন-সক্ষমতা উপপাদ্যটি বলে, যদি, L' ⊇ L ভাষায় একটি তত্ত্ব T এবং L'- এ একটি সূত্র φ দেওয়া থাকে, তবে দুটি শর্ত সমান অর্থ বহন করে:

 T-এর এমন দুটি মডেল  A এবং B, যাদের A∣L=B∣L (অর্থাৎ,  A এবং B, L-এর নিরিখে কম হয়), এর ক্ষেত্রে যদি A ⊨ φ[a] হয়, তবে B ⊨ φ[a]-ও হবে, এবং এটি সব ধরনের টুপল a-এর জন্য সত্য।
 সূত্র φ, T-এর নিরিখে L-এর একটি সূত্র ψ-এর সমতুল্য।

সহজ কথায়, যদি L′-এর কোনো সূত্র φ-এর মাধ্যমে L-এর একটি তত্ত্বে কোনো বৈশিষ্ট্য অপ্রকাশিতভাবে সংজ্ঞায়িত হয়, তবে সেটি স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করাও সম্ভব (মূল ভাষা L-এর একটি সূত্র ψ-এর মাধ্যমে)।

এই উপপাদ্যটি আরও বলে যে স্পষ্ট সংজ্ঞা ও অপ্রকাশিত সংজ্ঞার মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই। অর্থাৎ, কোনো বৈশিষ্ট্য যদি অপ্রকাশিতভাবে সংজ্ঞায়িত হতে পারে, তবে সেটি স্পষ্টভাবেও সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব।

তবে এই উপপাদ্যটি সীমিত মডেলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। এমন কিছু ক্ষেত্রে দেখা যায়, যেখানে দুটি সীমিত মডেল A এবং B-এর জন্য A ⊨ φ [ a ]  তখনই B ⊨ φ [ a ]-এর সমান হয়, কিন্তু T-এর নিরিখে কোনো L-সূত্র ψ থাকে না যা φ-এর সমতুল্য।

এই ফলাফলটি প্রথম প্রমাণ করেছিলেন এভার্ট উইলিয়াম বেথ।

 এছাড়াও দেখুন 

 সংগঠন (গাণিতিক যুক্তিবিজ্ঞান) – এটি গণিতের সূত্রগুলিকে একটি নির্দিষ্ট অর্থ বা প্রাসঙ্গিক অর্থ দেওয়ার প্রক্রিয়া, যা মূলত সার্বিক বীজগণিত এবং মডেল তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়।

 সূত্র 

 উইলফ্রিড হজেস একটি সংক্ষিপ্ত মডেল তত্ত্ব । কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস, ১৯৭৭।

বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক যুক্তিবিজ্ঞান
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক সংগঠন