গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম

গণিতে একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম হলো জ্যামিতিক ক্রমের উপাদানগুলোর সাথে গাণিতিক ক্রমের উপাদানগুলোর উপাদান-অনুপাতে গুণফল। একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রমের n-তম উপাদান হলো গাণিতিক ক্রমের n-তম উপাদান এবং জ্যামিতিক ক্রমের n-তম উপাদানের গুণফল। একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা হলো সেই ক্রমের উপাদানগুলোর যোগফল। গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম এবং ধারা বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যেমন সম্ভাবনা তত্ত্বে প্রত্যাশিত মান গণনার ক্ষেত্রে (বিশেষত বার্নুলি প্রক্রিয়াসমূহে)।

উদাহরণস্বরূপ নিম্নের ক্রমটি তথা

একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম। গাণিতিক অংশটি নীল রঙে (উপরে) এবং জ্যামিতিক অংশটি সবুজ রঙে (নিচে) চিহ্নিত। এই ক্রমের অসীম উপাদানগুলোর ধারা যোগফলকে গ্যাব্রিয়েলের সিঁড়ি বলা হয় এবং এর মান ২। সাধারণভাবে,

গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম শব্দটি মাঝে মাঝে এমন বিভিন্ন বস্তু বোঝাতেও ব্যবহৃত হয় যা গাণিতিক এবং জ্যামিতিক ক্রম উভয়ের বৈশিষ্ট্য ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, ফরাসি ধারণার গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম বলতে এমন ক্রমকে বোঝানো হয় যা পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক  পূরণ করে, যা গাণিতিক ক্রমের সংজ্ঞায়িত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক  এবং জ্যামিতিক ক্রমের  সংযুক্ত করে। এই ক্রমগুলো তাই রৈখিক পার্থক্য সমীকরণ-এর একটি বিশেষ শ্রেণির সমাধান: অপরিবর্তিত সহগবিশিষ্ট অসম প্রথম শ্রেণির স্থির সহগযুক্ত রৈখিক পুনরাবৃত্তি।

উপাদানসমূহ
গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম -এর উপাদানগুলো হলো গাণিতিক ক্রম  (নীল রঙে) এবং জ্যামিতিক ক্রম  (সবুজ রঙে) এর উপাদানগুলোর গুণফল। এখানে গাণিতিক ক্রমের প্রাথমিক মান  এবং সাধারণ পার্থক্য , যেখানে  এবং জ্যামিতিক ক্রমের প্রাথমিক মান  এবং সাধারণ অনুপাত , যেখানে  তাই


এই চারটি পরামিতি কিছুটা অপ্রয়োজনীয় এবং এগুলো তিনটি পরামিতিতে সংকুচিত করা যেতে পারে:   এবং 

উদাহরণ
যে ক্রমটি

এটি একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম, যেখানে , , এবং ।

 ধারাসমূহ 

 আংশিক যোগফল   
গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা -এর প্রথম  পদগুলোর যোগফল নিচের রূপে প্রকাশিত হয়:


যেখানে  এবং  যথাক্রমে গাণিতিক এবং জ্যামিতিক ক্রমের -তম উপাদান।

এই আংশিক যোগফলের বন্ধ-রূপ অভিব্যক্তি হলো:  

 নিরূপণ 
 সমীকরণটি -এর সাথে গুণ করলে:  

-কে  থেকে বিয়োগ করা, উভয় পক্ষকে  দ্বারা ভাগ করা, এবং টেলিস্কোপিক ধারা (দ্বিতীয় সমীকরণ) ও সীমিত জ্যামিতিক ধারার যোগফলের সূত্র (পঞ্চম সমীকরণ) ব্যবহার করলে:  

যা প্রমাণিত হলো।

 অসীম ধারা   
যদি −1 < r < 1 হয়, তবে গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারার যোগফল S, অর্থাৎ এর উপাদানগুলোর আংশিক যোগফলের সীমা, নিচের সূত্রে দেওয়া যায়:

যদি r উপরের পরিসরের বাইরে থাকে, b শূন্য না হয়, এবং a এবং d একসাথে শূন্য না হয়, তবে সীমা অস্তিত্বে থাকে না এবং সিরিজটি বিচ্ছিন্ন হয়।

 উদাহরণ   
ধারা

,

, , এবং  দ্বারা সংজ্ঞায়িত গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা, যা -তে অভিসারিত হয়। এই ক্রমটি মুদ্রা নিক্ষেপের মাধ্যমে প্রথমবার "টেল" পাওয়ার প্রত্যাশিত সংখ্যার সমান। "টেল" প্রথমবার পাওয়ার সম্ভাবনা  হলো:

।

তাই, প্রথমবার "টেল" পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় মুদ্রা নিক্ষেপের প্রত্যাশিত সংখ্যা:

এভাবে, ধারা

 ,

একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা, যা , , , এবং  দ্বারা সংজ্ঞায়িত। এটি -এ অভিসারিত হয়।

এই ক্রমটি ছয়-পার্শ্বযুক্ত পাশা নিক্ষেপের মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট মান (যেমন "৫") পাওয়ার প্রত্যাশিত সংখ্যাকে নির্দেশ করে।

সাধারণভাবে, এমন ধারা যেখানে , , , এবং , সেগুলো বার্নুলি প্রক্রিয়াগুলিতে "প্রথম সফলতার জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যা"-এর প্রত্যাশা প্রকাশ করে, যেখানে "সফলতার সম্ভাবনা" ।

প্রত্যেক ফলাফলের সম্ভাবনাগুলো জ্যামিতিক বন্টন অনুসরণ করে এবং ধারার পদের জ্যামিতিক ক্রমের উপাদানগুলো তৈরি করে। প্রত্যেক ফলাফলের জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যা গাণিতিক ক্রমের উপাদান সরবরাহ করে।

তথ্যসূত্র

আরও পড়ুন

বিষয়শ্রেণী:পূর্ণ সংখ্যার ধারা
বিষয়শ্রেণী:জ্যামিতিক ধারা
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধারা