কশি সূচক

গাণিতিক বিশ্লেষণে, কশি সূচক হলো একটি পূর্ণসংখ্যা যা একটি ব্যবধানে একটি বাস্তব মূলদ ফাংশনের সাথে যুক্ত। রাউথ-হুরউইটজ উপপাদ্য দ্বারা, আমাদের নিম্নলিখিত ব্যাখ্যা আছে। কশি সূচক:

 r ( x ) = p ( x ) / q ( x )

আসল রেখার উপরে হল ডান অর্ধেক প্লেনে অবস্থিত f ( z ) এর শিকড়ের সংখ্যা এবং বাম অর্ধেক প্লেনে অবস্থিতগুলির মধ্যে পার্থক্য। জটিল বহুপদী f ( z ) এমন

 f ( iy ) = q ( y ) + ip ( y )।

আমাদের অবশ্যই অনুমান করতে হবে যে p এর ডিগ্রী q এর ডিগ্রীর চেয়ে কম।

 সংজ্ঞা 

 ১৮৩৭ সালে অগাস্টিন-লুই কশি দ্বারা যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের মেরুগুলির জন্য কশি সূচকটি প্রথম সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল যেমন একতরফা সীমা ব্যবহার করে:



 কমপ্যাক্ট ব্যবধানের উপর একটি সাধারণীকরণ [ a, b ] সরাসরি (যখন a বা b উভয়ই r ( x ) এর মেরু নয়): এটি কচি সূচকের সমষ্টি  ব্যবধানে অবস্থিত প্রতিটি s-এর জন্য r। আমরা সাধারণত এটি দ্বারা চিহ্নিত করিঃ  .
 আমরা তখন টাইপের ব্যবধানে সাধারণীকরণ করতে পারি  যেহেতু r- এর মেরুগুলি একটি সসীম সংখ্যা ( a এবং b- এর জন্য কচি সূচকের সীমাকে [ a, b ] ধরে নিয়ে অসীমতায় চলে যায়)।

 উদাহরণ 
থাম্ব|300x300পিক্সেল| একটি যৌক্তিক ফাংশন

 যুক্তিবাদী ফাংশন বিবেচনা করুন:



আমরা ডিগ্রী ৩ এবং ৫ এর চেবিশেভ বহুপদ যথাক্রমে p (x) এবং q (x) এ চিনতে পারি। অতএব, r (x) এর খুঁটি রয়েছে , , ,  এবং , যেমন  জন্য  . আমরা ছবিতে দেখতে পাচ্ছি যে  এবং  . শূন্য মেরু জন্য, আমরা আছে  যেহেতু বাম এবং ডান সীমা সমান (যার কারণ p (x) এরও শূন্যের একটি মূল রয়েছে)। আমরা যে উপসংহার  যেহেতু q (x) এর মাত্র পাঁচটি মূল আছে, সবগুলোই [ − 1,1]। আমরা এখানে F (iy) এর সাথে প্রতিটি জটিল বহুপদী হিসাবে Routh-Hurwitz উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি না। = q (y)  + ip (y) এর কাল্পনিক লাইনে একটি শূন্য রয়েছে (যেমন মূলে)।

 তথ্যসূত্র 

বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক বিশ্লেষণ