অয়লার টোশেন্ট ফাংশন

থাম্ব|প্রথম ১০০ টি মানের গ্রাফ
সংখ্যাতত্ত্বে অয়লার টোশেন্ট ফাংশন ϕ নির্দেশ করে একটি পূর্ণসংখ্যার পূর্বে কতটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা রয়েছে যারা মূল সংখ্যাটির সাথে সহমৌলিক। অর্থাৎ n যদি একটি পূর্ণসংখ্যা হয় তবে ১ থেকে n পর্যন্ত, কিন্তু n এর চেয়ে বড় নয়, এমন মোট ϕ(n)-টি সংখ্যা আছে যাদের সাথে n এর কোন সাধারণ মৌলিক উৎপাদক নেই বা গ.সা.গু ১।Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, p.85Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, p.72 যেমন, ϕ(৯)=৬, কারণ ১ থেকে ৯ এর মধ্যে ১, ২, ৪, ৫, ৭, ৮ এই সংখ্যাগুলো (মোট ছয়টি সংখ্যা) ৯ এর সাথে সহমৌলিক, কিন্তু বাকি তিনটি সংখ্যা (৩, ৬, ৯) ৯ এর সাথে সহমৌলিক নয়।

 বৈশিষ্ট্য 

 যদি m ও n দুটি সহমৌলিক সংখ্যা হয়, তবে ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) হবে।
 আরো সাধারণভাবে যখন m ও n সহমৌলিক না-ও হতে পারে, তখন  হবে, যেখানে d হচ্ছে m ও n এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক।
 যদি a সংখ্যাটি দিয়ে b সংখ্যাটি নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তবে ϕ(a) দিয়ে ϕ(b) নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
 p যদি একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, আর k অন্য একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে 
 সাধারণভাবে, যদি n যে কোন একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে ϕ(n) এর জন্য নিম্নোক্ত সূত্রটি খাঁটবেঃ


যেখানে , , ....,  এই r-টি ভিন্ন ভিন্ন মৌলিক সংখ্যা দিয়ে n বিভাজ্য। এই সূত্রটিকে বলে অয়লারের প্রডাক্ট ফর্মুলা।

 একটি সংখ্যা n যে যে সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য সে সংখ্যাগুলোর ϕ মান যোগ করলে মূল সংখ্যাটি পাওয়া যাবে। যেমন, ২০ এর বিভাজকগুলো হচ্ছে ১, ২, ৪, ৫, ১০ ও ২০, আর ϕ(১)=১, ϕ(২)=১, ϕ(৪)=২, ϕ(৫)=৪, ϕ(১০)=৪ ও ϕ(২০)=৮, যেগুলো যোগ করলে হয় ২০। সংখ্যাতত্ত্বের নোটেশনেঃ  . এই বৈশিষ্ট্যটি প্রমাণ করেন গাউস।

 অয়লারের উপপাদ্য 
এ উপপাদ্য অনুসারে, যদি a ও n দুটি সহমৌলিক সংখ্যা হয়, তবে

অর্থাৎ, -কে n দিয়ে ভাগ করলে ১ অবশিষ্ট থাকে। n একটি মৌলিক সংখ্যা হলে এ উপপাদ্যের যে বিশেষ ক্ষেত্রটি পাওয়া যায় তাকে বলে ফার্মার লিটল উপপাদ্য।

 কিছু অসমাধানকৃত সমস্যা 

 লেহমারের অনুমান 
 যদি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে সহজেই দেখা যায় যে, . ডি.এইচ.লেহমার ১৯৩২-এ প্রশ্ন তোলেন এমন কোন যৌগিক সংখ্যা n আছে কিনা যেন ϕ(n) দিয়ে n নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। এখনো এমন কোন সংখ্যা n পাওয়া যায়নি।

 কার্মাইকেলের অনুমান 
এ অনুমান অনুসারে এমন কোন সংখ্যা  নেই যেন অন্য সব সংখ্যা  এর জন্য  সবসময়ই সত্যি হয়।

 তথ্যসূত্র 

বিষয়শ্রেণী:বীজগণিত
বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্ব