ত্রিভুজাকার সংখ্যা

থাম্ব|ত্রিভুজাকার সংখ্যার প্লট  

একটি ত্রিভুজাকার সংখ্যা বা ত্রিভুজ সংখ্যা সমবাহু ত্রিভুজাকারে সজ্জিত বস্তুর সংখ্যা নির্দেশ করে। ত্রিভুজাকার সংখ্যা এক ধরনের চিত্রিত সংখ্যার বিশেষ শ্রেণি, যার অন্যান্য উদাহরণ হলো বর্গ সংখ্যা ও ঘন সংখ্যা। -তম ত্রিভুজাকার সংখ্যাকে  দ্বারা সূচিত করা হয়, যা এমন একটি ত্রিভুজাকার বিন্যাসে বিন্দুগুলির মোট সংখ্যার সমান যেখানে প্রতিটি বাহুতে টি বিন্দু রয়েছে। এটি  থেকে  পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলির সমষ্টির সমতুল্য:  


 থেকে শুরু করে প্রথম ১০০টি ত্রিভুজাকার সংখ্যার অনুক্রম নিম্নরূপ:  

সূত্র  
থাম্ব|প্যাসকেল ত্রিভুজ থেকে ত্রিভুজাকার সংখ্যার উদ্ভব  
ত্রিভুজাকার সংখ্যার সুস্পষ্ট গাণিতিক সূত্র নিম্নরূপ:  

এখানে  একটি দ্বিপদ সহগ, যা  বস্তু থেকে নির্বাচিত ২টি বস্তুর সমাবেশ সংখ্যা নির্দেশ করে (" প্লাস ওয়ান চুজ টু")।

প্রথম সমীকরণটি দৃশ্যমান প্রমাণের মাধ্যমে উপস্থাপন করা যায়:  
যেকোনো ত্রিভুজাকার বিন্যাস -কে অনুলিপি করে  ঘোরালে একটি আয়তক্ষেত্র গঠিত হয়।  
এই আয়তক্ষেত্রের মাত্রা হয় , সুতরাং মোট বিন্দুসংখ্যা ।  
আদি ত্রিভুজাকার বিন্যাসে বিন্দুসংখ্যা এটির অর্ধেক:  


-এর উদাহরণ:  
  (সবুজ + হলুদ) →  (সবুজ)   চিত্র:Illustration_of_Triangular_Number_T_4_Leading_to_a_Rectangle.png    

সূত্রটি গাণিতিক আরোহ বিধি দ্বারা প্রমাণিতAndrews, George E.  Number Theory, Dover, New York, 1971. pp. 3-4.:  
ভিত্তি পদক্ষেপ ():   
আরোহী পদক্ষেপ: 
ধরি -এর জন্য সত্য, অর্থাৎ   
-এর জন্য:  


কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস শিশুকালে  জোড়ায় সংখ্যা সাজিয়ে () সূত্রটি উদ্ভাবন করেন। তবে এই সূত্রের উৎস সম্ভবত পিথাগোরাসীয়দের কাছে (খ্রিস্টপূর্ব ৫ম শতক)। ডিকুইল ৮১৬ খ্রিস্টাব্দে কম্পুটাস গ্রন্থে এটির বিবরণ দেনEsposito,M. An unpublished astronomical treatise by the Irish monk Dicuil. Proceedings of the Royal Irish Academy, XXXVI C. Dublin, 1907, 378-446.।  

ত্রিভুজাকার সংখ্যা  করমর্দন সমস্যার সমাধান করে:  ব্যক্তির একটি ঘরে প্রত্যেকে একবার করে সকলের সাথে করমর্দন করলে মোট করমর্দন সংখ্যা ।  ব্যক্তির জন্য এটি  হবে।  

ত্রিভুজাকার বিন্যাসে রেখাংশের সংখ্যা () এবং বিন্দুর সংখ্যার () মধ্যে সম্পর্ক:  

সীমাতে এদের অনুপাত:  

ত্রিভুজাকার মূল ও ত্রিভুজাকার সংখ্যার পরীক্ষা  
বর্গমূলের সাথে সাদৃশ্য রেখে, -এর ত্রিভুজাকার মূল ধনাত্মক সংখ্যা  হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে  হয়
:  


এই সূত্রটি সরাসরি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান থেকে প্রাপ্ত। সুতরাং, একটি পূর্ণসংখ্যা  ত্রিভুজাকার সংখ্যা হবে যদি ও কেবল যদি  একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা  হয়। সমতুল্যভাবে, যদি -এর ত্রিভুজাকার মূল  একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে  হল -তম ত্রিভুজাকার সংখ্যা।  

 তথ্যসূত্র 

বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্বে বর্গসংখ্যা
বিষয়শ্রেণী:গৌণিক ও দ্বিপদী বিষয়
বিষয়শ্রেণী:পূর্ণ সংখ্যার ধারা
বিষয়শ্রেণী:ত্রিভুজ