অয়লারের সূত্র

অয়লারের সূত্র জটিল বিশ্লেষণের একটি গাণিতিক সূত্র যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং জটিল সূচকীয় ফাংশনগুলির মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক স্থাপন করে। এ সূত্রটির নামকরণ করা হয় বিখ্যাত গণিতবিদ লিওনার্দ অয়লারের নামানুসারে। এ সূত্রানুসারে যে কোন বাস্তব সংখ্যা  এর জন্য,

যেখানে  হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি,  কাল্পনিক সংখ্যার একক,  হল ত্রিকোণমিতিক কোসাইন ও সাইন ফাংশন এবং  রেডিয়ানে প্রকাশিত। এই জটিল সূচকীয় ফাংশনটি কখনও কখনও  ("cosine plus i sine") দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়।  যদি জটিল সংখ্যা হয় তাহলেও সূত্রটি বৈধ এবং তাই কিছু লেখক অয়লারের সূত্র হিসাবে এই সাধারণ জটিল সংস্করণটি বোঝায়।

অয়লারে সূত্রে  বসিয়ে পাই, , যা অয়লারের অভেদ নামে পরিচিত।
থাম্ব|অয়লারের সূত্র।
 প্রমাণ 
থাম্ব|অয়লারের সূত্র।

 টেইলরের ধারার সাহায্যে 

 ক্যালকুলাসের সাহায্যে 

 প্রমাণ ১ঃ 

ধরা যাক,

 কে  এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে, 

যেহেতু ফাংশন  এর অন্তরীকরণ শূন্য সেহেতু এটি একটি ধ্রুব ফাংশন। অর্থাৎ, , যেখানে  একটি ধ্রুবক।

 বসিয়ে, 

সুতরাং, 

অর্থাৎ  (প্রমাণিত)

 প্রমাণ ২ঃ 
ধরা যাক,

যেখানে  সমাকলন ধ্রুবক। প্রথম লাইনের সমীকরণে  বসালে  হয়। শেষ সমীকরণে  এবং  বসিয়ে  পাওয়া যায়।

সুতরাং,

 (প্রমাণিত)

বিষয়শ্রেণী:গণিত
বিষয়শ্রেণী:জটিল বিশ্লেষণের উপপাদ্য
বিষয়শ্রেণী:বিশ্লেষণ
বিষয়শ্রেণী:ত্রিকোণমিতি