পরিমাপ (গণিত)

গণিতে একটি সেটের উপর পরিমাপ বলতে ওই সেটের প্রত্যেকটি উপযুক্ত উপসেটের উপর নিয়মমাফিক উপায়ে নম্বর প্রদান করা বোঝায়। এই নম্বরকে অনেকটা উপসেটটার মাপ বা সাইজ হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। এই অর্থে পরিমাপ হচ্ছে দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও আয়তন ধারণার সাধারণীকরণ। পরিমাপের একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হলো ইউক্লিডীয় দেশে লোবেগ পরিমাপ যা n-মাত্রিক ইউক্লিডীয় দেশ  -এর উপযুক্ত উপসেটের উপর ইউক্লিডীয় জ্যামিতিরে গতানুগতিক দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও আয়তনের মানগুলো ধার্য করে। যেমন, [০, ১] এই বাস্তব সংখ্যার বিরতিটার লোবেগ পরিমাপ হলো স্বাভাবিক অর্থে এর দৈর্ঘ্য বলতে আমরা যেটা বুঝে থাকি, অর্থাৎ ১।

একটা অপেক্ষক যা কোনও সেটের উপসেটগুলোর উপর অঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা অথবা +∞ ধার্য করে, তাকে পরিমাপ হবার জন্যে কিছু অতিরিক্ত শর্ত পূরণ করতে হয়। যেমন, একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হলো গণনাযোগ্য সংখ্যক যোগের শর্ত। এটা বলে যে, কতোগুলো গণনাযোগ্য নিশ্ছেদ সাবসেটের সংযোগ সেটের মাপ হলো উপসেটগুলোর আলাদা আলাদা মাপের যোগফলের সমান।

সাধারণত, একটি সেটের সকল উপসেটের উপর একটি মাপ ধার্য করে আবার পরিমাপের অন্যান্য শর্তগুলোও পূরণ করা সম্ভব হয় না। ফলে, যেটা করা হয় যে পরিমাপকে সকল উপসেটের একটা অংশবিশেষের উপর গঠন করা হয়। কেবল ওই উপসেটগুলোর ওপরই পরিমাপটা প্রযোজ্য হয় বলে তাদেরকে পরিমাপযোগ্য বলা হয় তারা একত্রে একটি সিগমা বীজগণিত গঠন করে।

 সংজ্ঞা 
যদি Σ সেট X এর উপর একটি σ-অ্যালজেব্রা হয়, তাহলে Σ হতে বর্ধিত বাস্তব সংখ্যার রেখার (extended real number line) উপর ফাংশন μ কে একটি পরিমাপ বলা হবে যদি:
 অঋণাত্মকতা:  হয়, যেখানে ।
 গণনাযোগ্য যোগফল: যদি  পরস্পর নিশ্ছেদ সেট ও Σ এর অন্তর্ভুক্ত হয়, তাহলে  হয়।
 ফাঁকা সেটের শূন্যমান:  হয়।

 তথ্যসূত্র 

 বহিঃসংযোগ 

 Tutorial: Measure Theory for Dummies
 Yet another, yet very reader-friendly, introduction to the measure theory (with application to quantitative finance in mind)

বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক বিশ্লেষণ